22.2二次函数与一元二次方程讲义-2025-2026学年人教版九年级数学上册

第 1 页 共 7 页 ❊22.2 二次函数与一元二次方程 思维导图 题型精析 一．二次函数与坐标轴的交点 二次函数与坐标轴的交点 与 y 轴的交点 二次函数 y=ax2+bx+c与 y轴的交点坐标是_______. 与 x 轴的交点 1.当Δ>0时，二次函数与 x轴_______交点； 2.当Δ=0时，二次函数与 x轴_______交点； 3.当Δ<0时，二次函数与 x轴_______交点. 题型一 二次函数与 y 轴的交点 例 1 二次函数 22 3y x  的图象与 y轴的交点坐标为 ． 例 2 二次函数  21 2y x   的图象与 y轴的交点坐标为（ ） A．  0,2 B．  1,2 C．  0,3 D．  0, 1 变 1 抛物线 ( 3)( 1)y x x   与 y轴的交点坐标是 ． 变 2 抛物线 22( 3) 4y x    与 y轴的交点坐标为 ． 题型二 二次函数与 x 轴的交点个数 第 2 页 共 7 页 例 1 针对抛物线 2 ( 1)y x a x a    与 x轴公共点的情况，下列说法正确的是（ ） A．有两个公共点 B．有一个公共点 C．一定有公共点 D．可能无公共点 例 2 若函数 2( 3) 4 2y m x x    的图象与 x轴只有一个交点，则 m的值是（ ） A．3或 5 B．3 C．4 D．5 变 1 已知函数 2 2 1y kx x k    与 x轴只有一个交点，则 k  ． 变 2 已知抛物线 22y x bx c   与 x轴只有一个公共点，且过点    2, , 10,A m p B m p  ，则 p等于 （ ） A．18 B．36 C．48 D．72 变 3 抛物线 2 2 2y x x  与坐标轴交点个数为（ ） A．3个 B．2个 C．1个 D．无交点 题型三 求二次函数与 x 轴的交点 例 1 二次函数 2 2 3y x x    的图象与 x轴交点的坐标是（ ） A．  1,0 ，  3,0 B．  1,0 ，  3,0 C．  1,0 ，  3,0 D．  1,0 ，  3,0 例 2 二次函数  2 4 5 0y ax ax a a    与 x轴交于 ,M N两点（点M 在点 N左侧），则点M 的坐标为 （ ） A．  5,0 B．  4,0 C．  1,0 D．  1,0 变 1 求抛物线 2 2 8  y x x 与坐标轴的交点坐标． 变 2 已知抛物线  2: 2 8 0G y mx mx m m    ，求函数与 x轴的交点坐标. 二．对 ax2+bx+c=k 的理解 ax2+bx+c=k 的两种理解方式 几何意义 y=k y=ax2+bx+c 1.方程 kcbxax 2 的几何意义：表示两个函数 cbxaxy  2 与函数 ky  的交点； 2.特殊地，若 k=0时，表示 cbxaxy  2 与 0y （即 x 轴）的交点. 第 3 页 共 7 页 代数意义 表示一元二次方程 kcbxax 2 的解 1. 0 时，有两个不相同的解（两个函数有两个交点）； 2. 0 时，有两个相同的解（两个函数有一个交点）； 3. 0 时，无解（两个函数没有交点）. 特殊地，若 k=0，则表示方程 02  cbxax 的解. 【总结】方程的解就是函数的交点，函数的交点亦是方程的解. 题型四 函数的交点与方程解的关系 例 1 若二次函数 2y ax bx c   的图象经过点 ( 1,0) ， (2,0)，则关于 x的方程 2 0ax bx c   的解为 （ ） A． 1 1x   ， 2 2x  B． 1 2x   ， 2 1x  C． 1 1x  ， 2 2x  D． 1 1x   ， 2 2x   例 2 抛物线 2 3y x bx    的部分图象如图所示，则一元二次方程 2 3 0x bx    的根为（ ） A． 1 2 1x x  B． 1 1x  ， 2 1x   C． 1 1x  ， 2 2x   D． 1 1x  ， 2 3x   变 1 已知抛物线 2y x bx c   与 x轴交于点 (1,0)A ， ( 3,0)B  ，则关于 x的方程 2 0x bx c   的解是 （ ） A． 1 1x   ， 2 3x   B． 1 1x   ， 2 3x  C． 1 1x  ， 2 3x   D． 1 1x  ， 2 3x  变 2 二次函数 2y ax bx c   在平面直角坐标系中的图象如图所示，则图象与 x轴的另一个交点的横 坐标为（ ） A．2 B．3 C．3.5 D．4 例 3 已知二次函数  2 2 0y ax ax c a    的图象与 x轴的一个交点为  1,0 ，则关于 x的一元二次方 程 2 2 0ax ax c   的两实数根是 ． 第 4 页 共 7 页 变 3 若二次函数 2 2y ax ax c   的图象经过点 ( 1,0) ，则方程 2 2 0ax ax c   的解为（ ） A． 1x   B． 1 3x  ， 2 1x  C． 1 1x   ， 2 3x   D． 1 3x  ， 2 1x   题型五 对 ax2+bx+c=k 的理解 例 1 已知二次函数  2 0y ax bx c a    的图象如图所示，直线 1x  是它的对称轴，则方程 2 3 0ax bx c    有____个实数根． 变 1 如图所示是抛物线  2 0y ax bx c a    的部分图象，其顶点坐标为  1,n ，则一元二次方程 2 2ax bx c n    有____个实数根． 变 2 已知抛物线  2 0y ax bx c a    的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为  1, n  ，则关于 x的方 程 2 1 0ax bx c n     有____个实数根． 三．二次函数与一元二次不等式 二次函数与一元二次不等式 第 5 页 共 7 页 1.若 y>0，则应找二次函数图像位于 x轴____方的部分； 2.若 y<0，则应找二次函数图像位于 x轴____方的部分. 题型六 二次函数与一元二次不等式 例 1 已知二次函数  2 0y ax bx c a    的图像如图所示，则一元二次不等式 2 0ax bx c   的解集 是 ． 变 1 如图，二次函数 2y ax bx c   （ a，b，c为常数， 0a  ）的图像与 x轴交于点  3,0 ，顶点坐标 为  1,3 ，则不等式 2 0ax bx c   的解集为 ． 变 2 已知函数 2y x ax b   的图象如图所示，当 0y  时，则于 x的取值范围是（ ） A． 1 3x   B． 1x   或 3x  C． 1x   且 4x  D． 1 4x   例 2 如图，已知抛物线 2y ax bx c   与直线 y kx h  相交于    2, , 2,m n 两点，则不等式 2ax bx h kx c    成立时， x的取值范围是 ． 第 6 页 共 7 页 变 3 如图，二次函数 21y ax bx c   和一次函数 2y mx n  交点的横坐标分别为 2 和 1，观察图象， 当 1 2y y 时， x的取值范围是 ． 课后强化 1.抛物线 2 2y x x   与 y轴的交点坐标是 ． 2.抛物线  22 1 3y x    与 y轴的交点纵坐标为 ． 3.若关于 x的二次函数 2 2 1y kx x   与 x轴有交点，则 k的取值范围是（ ） A． 1k  B． 1k  且 0k  C． 1k  D． 1k  且 0k  4.若函数 2( 1) 1(y a x x a    为常数）的图象与 x轴有且只有一个交点，那么 a满足（ ） A． 5 4 a  且 1a  B． 5 4 a  C． 1a  D． 5 4 a  或 1a  5.抛物线 2 1 2 2 y x  与 x轴的交点坐标为 ，与 y轴的交点坐标为 ． 6.已知二次函数 2 6 5y x x    与 x轴交于 A、B两点，则 A、B两点之间的距离为 ． 7.已知二次函数  2 4 3 0y ax ax a a    ，求函数与 x轴的交点坐标. 8.二次函数  2 2 0y ax ax c a    的图象过点  3,0 ，则 2 2 0ax ax c   的解为（ ） A． 1 3x   ， 2 1x   B． 1 3x   ， 2 1x  C． 1 3x  ， 2 1x   D． 1 3x  ， 2 1x  9.已知方程 2 1 0 2 x bx c   的两根为 2和 4 ，则抛物线 2 1 2 y x bx c   的对称轴是直线 ． 10.已知二次函数 2 2y x x m    的部分图象如图所示，则关于 x的一元二次方程 2 2 0x x m    的解为 （ ） 第 7 页 共 7 页 A． 1 3x  ， 2 2x   B． 1 3x  ， 2 1x   C． 1 3x  ， 2 1x  D． 1 3x  ， 2 7x   11.二次函数 2 ( 0)y ax bx c a    的部分图象如图所示，则不等式 2 0ax bx c   的解集是 ． 12.如图，二次函数 21y ax bx c   与一次函数 2y mx n  的交点 A，B的坐标分别为 (1, 2) ， (7,1)，则不等 式 2ax bx c mx n    的解集为 ． 13.如图，二次函数 21y x bx c   与一次函数为 2y mx n  的图象相交于 A，B两点，则不等式  2 0x b m x c n     的解为 ． 14.如图所示是二次函数  2 0y ax bx c a    的部分图像，该函数图像的对称轴是直线 1x  ，图像与 y轴 交点的纵坐标是 2，则方程 2 3 0 2 ax bx c    有____个实数根． ❊22.2 二次函数与一元二次方程 思维导图 题型精析 一．二次函数与坐标轴的交点 二次函数与坐标轴的交点 与y轴的交点 二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是_______. 与x轴的交点 1.当Δ>0时，二次函数与x轴_______交点； 2.当Δ=0时，二次函数与x轴_______交点； 3.当Δ<0时，二次函数与x轴_______交点. 题型一 二次函数与y轴的交点 二次函数的图象与y轴的交点坐标为 ．例1 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，解题时要熟练掌握并能灵活运用二次函数的性质是关键． 依据题意，令，求出y值，进而得出图象与轴的交点坐标． 【详解】解：由题意，令， ． 图象与轴的交点坐标为． 故答案为：． 二次函数的图象与轴的交点坐标为（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点，只需将代入二次函数解析式，计算对应的值即可得出答案． 【详解】解：将代入中，得： ， 因此，二次函数的图象与轴的交点坐标为， 故选：C． 抛物线与轴的交点坐标是 ．变1 【答案】 【分析】本题考查了二次函数图像上点的坐标特征，求出时，的值即可得到抛物线与轴的交点坐标，根据轴上点的横坐标为求出交点的纵坐标是解题的关键． 【详解】解：当时，， ∴抛物线与轴的交点坐标是， 故答案为：． 抛物线与y轴的交点坐标为 ．变2 【答案】 【分析】本题考查了二次函数的性质，求二次函数图像与y轴的交点的坐标． 令，得到，即可得到答案． 【详解】解：令， 则， 抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：． 题型二 二次函数与x轴的交点个数 针对抛物线与轴公共点的情况，下列说法正确的是（ ）例1 A．有两个公共点 B．有一个公共点 C．一定有公共点 D．可能无公共点 【分析】根据判别式△，即可判断． 【解答】解：△ ， 所以抛物线与轴一定有公共点， 故选：． 若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（ ）例2 A．3或5 B．3 C．4 D．5 【分析】分及两种情况考虑：当时，由一次函数图象与轴只有一个交点，可得出符合题意；当时，由二次函数图象与轴只有一个交点结合根的判别式，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出的值．综上即可得出结论． 【解答】解：①当，即时，， 令，则， 解得， 此时函数的图象与轴只有一个交点， ②当时， 二次函数的图象与轴只有一个交点， △， 解得． 综上所述，当图象与轴有且只有一个交点时，的值为3或5． 故选：． 已知函数与x轴只有一个交点，则 ．变1 【答案】或或 【分析】本题考查了判别式的应用，抛物线与x轴的交点问题，先理解函数与x轴只有一个交点，进行分类讨论，当时，得出，再解得或，当时，则为一次函数，满足与x轴只有一个交点，即可作答． 【详解】解：∵函数与x轴只有一个交点， ∴当时，令则， 则 则 即 ∴ 解得或， 当时，则为一次函数，满足与x轴只有一个交点， 综上：的值为或或0． 故答案为：或或0 已知抛物线与轴只有一个公共点，且过点，则等于（ ）变2 A．18 B．36 C．48 D．72 【答案】D 【分析】本题主要考查了抛物线与轴的交点、求抛物线解析式等知识点，正确求得抛物线的解析式为解题的关键．根据点、的坐标易求该抛物线的对称轴是直线，故设抛物线解析式为，直接将代入，得到方程求解即可． 【详解】解：∵抛物线过点， ∴对称轴是直线， 又∵抛物线与轴只有一个交点， ∴顶点为， ∴设抛物线解析式为， 把代入，得：，即． 故选：D． 抛物线与坐标轴交点个数为（ ）变3 A．3个 B．2个 C．1个 D．无交点 【答案】C 【分析】本题考查了二次函数与坐标轴的交点问题，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 先求出时，的值，再求出当时，判别式的值，由此即可得出交点个数． 【详解】解：∵， 当时，，即与轴的交点为，有1个， 当时，， 此时 即抛物线与轴无交点， 综上，此抛物线与坐标轴的交点个数为1个， 故选：C． 题型三 求二次函数与x轴的交点 二次函数的图象与轴交点的坐标是（ ）例1 A．， B．， C．， D．， 【答案】A 【分析】本题主要考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题关键． 令，解方程求出x的值，即可得得答案． 【详解】解：令，则， 解得，， ∴二次函数的图象与轴交点的坐标是的图象与轴交点的坐标是，， 故选：A． 二次函数与轴交于两点（点在点左侧），则点的坐标为（ ）例2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查求二次函数图象与轴交点坐标，涉及解一元二次方程等知识，由题意，令，解一元二次方程即可得到答案．熟记二次函数图象与性质、解一元二次方程是解决问题的关键． 【详解】解：二次函数与轴交于两点， 令，则， ， ，即， 解得或， 点在点左侧， 点的坐标为， 故选：A． 求抛物线与坐标轴的交点坐标．变1 【答案】 【分析】令分别为，解方程，即可求解． 【详解】解：当时，， 当时，， ∴， ∴或， 解得：或， ∴抛物线与坐标轴的交点坐标为． 已知抛物线，求函数与x轴的交点坐标.变2 【答案】（-2，0），（4，0） 二．对ax2+bx+c=k的理解 ax2+bx+c=k的两种理解方式 几何意义 y=k y=ax2+bx+c 1.方程的几何意义：表示两个函数与函数的交点； 2.特殊地，若k=0时，表示与（即x轴）的交点. 代数意义 表示一元二次方程的解 1.时，有两个不相同的解（两个函数有两个交点）； 2.时，有两个相同的解（两个函数有一个交点）； 3.时，无解（两个函数没有交点）. 特殊地，若k=0，则表示方程的解. 【总结】方程的解就是函数的交点，函数的交点亦是方程的解. 题型四 函数的交点与方程解的关系 若二次函数的图象经过点，，则关于的方程的解为（ ）例1 A．， B．， C．， D．， 【分析】方程的解是二次函数的图象与轴交点的横坐标． 【解答】解：二次函数的图象经过点，， 方程的解为，． 故选：． 抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ）例2 A． B．， C．， D．， 【分析】解法一：观察图象可得抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为，再根据抛物线的对称性即可求解． 解法二：直接利用跟与系数的关系即可求解． 解法三：将代入抛物线解析式中，求出，再令，求解即可． 【解答】解：解法一：抛物线的对称轴为直线，与轴的一个交点为， 抛物线的另外一个交点为， 一元二次方程的根为，． 故选：． 已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是（ ）变1 A．， B．， C．， D．， 【分析】利用抛物线与轴的交点的横坐标与一元二次方程根的联系即可得出结论． 【解答】解：与交于点，两点， 方程个根为，， 故选：． 二次函数在平面直角坐标系中的图象如图所示，则图象与轴的另一个交点的横坐标为（ ）变2 A．2 B．3 C．3.5 D．4 【分析】由图象可知二次函数的对称轴方程为，根据对称性可求得答案． 【解答】解：由图象可知二次函数的对称轴方程为， 又图象与轴的交点关于对称轴对称， 故另一个交点到对称轴的距离等于， 故另一交点的横坐标为4， 故选：． 已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是 ．例3 【答案】， 【分析】此题考查抛物线与坐标轴的交点问题．根据抛物线的对称轴，确定抛物线与x轴的两个交点的坐标，交点的横坐标就是方程的解． 【详解】解：由题意可知： 二次函数的对称轴是， 关于的对称点是． 则一元二次方程的两个实数根是，． 故答案为：，． 若二次函数的图象经过点，则方程的解为（ ）变3 A． B．， C．， D．， 【分析】首先求出二次函数图象与轴的另一个交点坐标，进而求出方程的解． 【解答】解：， 二次函数的图象的对称轴方程为直线， 二次函数的图象经过点， 二次函数图象与轴的另一个交点坐标为， 方程解为． 故选：． 题型五 对ax2+bx+c=k的理解 已知二次函数的图象如图所示，直线是它的对称轴，则方程有____个实数根．例1 【答案】1 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，则一元二次方程有____个实数根．变1 【答案】2 已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为，则关于的方程有____个实数根．变2 【答案】2 三．二次函数与一元二次不等式 二次函数与一元二次不等式 1.若y>0，则应找二次函数图像位于x轴____方的部分； 2.若y<0，则应找二次函数图像位于x轴____方的部分. 题型六 二次函数与一元二次不等式 已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ．例1 【答案】或 【分析】本题考查了抛物线与不等式的解集，熟练掌握二者的关系是解题的关键． 利用数形结合思想求解，符合条件的取值在x轴下方． 【详解】根据题意，得一元二次不等式的解集是：或， 故答案为：或． 如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ．变1 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数的性质、图象法求不等式的解集．根据二次函数图象的对称性，求出抛物线与x轴的另一个交点，找到图象在x轴上方时的自变量的取值范围即可． 【详解】解：∵二次函数的顶点坐标为， ∴对称轴为直线， 又∵该函数的图像与轴交于点， ∴抛物线与x轴的另一个交点坐标为：， 由图象可知：当时，， ∴不等式的解集为， 故答案为：． 已知函数的图象如图所示，当时，则于的取值范围是（ ）变2 A． B．或 C．且 D． 【分析】利用图象即可的出当时的取值范围． 【解答】解：如图所示，抛物线图象与轴的交点坐标为和， 则当时，则或， 故选：． 如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ．例2 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与不等式的关系，由图像可求得的解集，即可获得答案，解题关键是利用数形结合的思想分析问题． 【详解】解：∵抛物线 与直线相交于两点， ∴由图可知，当时，二次函数图象在一次函数图象上方，此时， ∴的解集为， ∴不等式的解集为． 故答案为：． 如图，二次函数和一次函数交点的横坐标分别为和1，观察图象，当时，的取值范围是 ．变3 【答案】或 【分析】本题主要考查二次函数与一次函数的图象综合，解题的关键是熟练掌握二次函数与一次函数的图象；因此此题直接根据图象即可求解． 【详解】解：∵二次函数和一次函数交点的横坐标分别为和1， ∴由图象可得：当时，则x的取值范围是或． 故答案为：或． 课后强化 1.抛物线与y轴的交点坐标是 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象上点的坐标特征．令，即可求出抛物线的与y轴的交点坐标． 【详解】解：令，则， 抛物线与y轴的交点坐标是． 故答案为：． 2.抛物线与轴的交点纵坐标为 ． 【答案】 【分析】本题考查二次函数图象与纵坐标轴的交点，解题的关键是掌握轴上的点的横坐标为0． 将代入解析式求出y值即可． 【详解】解：将代入，得：， 抛物线与轴交点的纵坐标为． 故答案为：． 3.若关于x的二次函数与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 【答案】B 【分析】此题主要考查了抛物线与轴的交点问题，根据二次函数与轴有交点则且，进而求出的取值范围即可，熟练掌握二次函数的图象与性质是解题的关键． 【详解】解：∵关于x的二次函数与x轴有交点， ∴且， ∴且， 故选：B． 4.若函数为常数）的图象与轴有且只有一个交点，那么满足（ ） A．且 B． C． D．或 【分析】当该函数是一次函数时，满足条件；当是二次函数时，当时，一元二次方程根据的判别式为0，进而得出结果． 【解答】解：当时，， 此时一次函数与轴只有一个公共点， 当时， 令，则， 二次函数与轴只有一个交点， △， 解得， 综上所述，或． 故选：． 5.抛物线与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了抛物线与坐标轴的交点问题，当时，即可求出抛物线与x轴的交点坐标，当时，即可求出抛物线与y轴的交点坐标． 【详解】解：当，则，即， 解得：，， 则抛物线与x轴的交点坐标为． 当时，， 则抛物线与y轴的交点坐标为， 故答案为：； 6.已知二次函数与x轴交于A、B两点，则A、B两点之间的距离为 ． 【答案】4 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，理解题意得，故，即可列式得出A、B两点之间的距离． 【详解】解：∵二次函数与x轴交于A、B两点， ∴令，则 解得： 即A、B两点之间的距离为， 故答案为：4 7.已知二次函数，求函数与x轴的交点坐标. 【答案】（-1，0），（-3，0） 8.二次函数的图象过点，则的解为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】C 【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点问题，求抛物线对称轴，把求关于x的一元二次方程的解转化为求二次函数图象与x轴的交点坐标是解题的关键．先求抛物线的对称轴，再根据二次函数的对称性得到二次函数图象与x轴的另外一个交点坐标，从而得到的解． 【详解】解：∵二次函数的对称轴为直线，且函数图象与x轴交于点， ∴二次函数图象与x轴的另一个交点为横坐标满足，解得， ∴方程的解为，， 故选：C． 9.已知方程的两根为2和，则抛物线的对称轴是直线 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了二次函数与一元二次方程之间的关系，二次函数与x轴的两个交点的横坐标即为其对应的一元二次方程的两个实数根，据此可得抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为，再根据对称轴计算公式求解即可． 【详解】解：∵方程的两根为2和， ∴抛物线与x轴的两个交点的坐标分别为， ∴抛物线的对称轴是直线， 故答案为：． 10.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（ ） A．， B．， C．， D．， 【答案】B 【分析】本题考查了二次函数的图象与性质，二次函数与一元二次方程的关系，由图知，二次函数的对称轴为直线，先根据对称性求出二次函数与x轴的另一个交点坐标，再根据二次函数与x轴两个交点的横坐标即为二次函数对应的一元二次方程的两个解即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，二次函数的对称轴为直线，且与x轴的一个交点坐标为， 二次函数与x轴的另一个交点坐标为， 关于x的一元二次方程的解为，， 故选：B． 11.二次函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是 ． 【答案】 【分析】本题考查的是二次函数与不等式（组，能利用数形结合求不等式的解集是解答此题的关键．直接根据二次函数的图象即可得出结论． 【详解】解：由图象知，二次函数的图象与轴交于，对称轴为直线， 二次函数的图象与轴另1交点为， 不等式的解集为， 故答案为：． 12.如图，二次函数与一次函数的交点A，B的坐标分别为，，则不等式的解集为 ． 【答案】或 【分析】本题主要考查一元二次不等式及其解法 ，解答本题的关键在于熟练掌握利用图象解一元二次不等式，结合图象分析即可求解． 【详解】解：∵与一次函数的交点的坐标分别为1,7, 由图象可知， 当 ，时， ； 当， 二次函数图象在一次函数图象下方，即 ； 当时 二次函数图象在一次函数图象上方， 此时， 也即， ∴不等式的解集：或． 故答案为：或． 13.如图，二次函数与一次函数为的图象相交于A，B两点，则不等式的解为 ． 【答案】/ 【分析】本题考查二次函数与不等式（组），由图象可知，与图象的交点的横坐标为和3，当时，的图象在的图象的下方，即可得答案． 【详解】解：由图象可知，与图象的交点的横坐标为和3， ∵当时，的图象在的图象的下方， ∴不等式的解为：， 不等式的解为：． 故答案为：． 14.如图所示是二次函数 的部分图像，该函数图像的对称轴是直线，图像与y轴交点的纵坐标是2，则方程有____个实数根． 【答案】0 第 1 页 共 16 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ❊22.2 二次函数与一元二次方程 思维导图 题型精析 一．二次函数与坐标轴的交点 二次函数与坐标轴的交点 与y轴的交点 二次函数y=ax2+bx+c与y轴的交点坐标是_______. 与x轴的交点 1.当Δ>0时，二次函数与x轴_______交点； 2.当Δ=0时，二次函数与x轴_______交点； 3.当Δ<0时，二次函数与x轴_______交点. 题型一 二次函数与y轴的交点 二次函数的图象与y轴的交点坐标为 ．例1 二次函数的图象与轴的交点坐标为（ ）例2 A． B． C． D． 抛物线与轴的交点坐标是 ．变1 抛物线与y轴的交点坐标为 ．变2 题型二 二次函数与x轴的交点个数 针对抛物线与轴公共点的情况，下列说法正确的是（ ）例1 A．有两个公共点 B．有一个公共点 C．一定有公共点 D．可能无公共点 若函数的图象与x轴只有一个交点，则m的值是（ ）例2 A．3或5 B．3 C．4 D．5 已知函数与x轴只有一个交点，则 ．变1 已知抛物线与轴只有一个公共点，且过点，则等于（ ）变2 A．18 B．36 C．48 D．72 抛物线与坐标轴交点个数为（ ）变3 A．3个 B．2个 C．1个 D．无交点 题型三 求二次函数与x轴的交点 二次函数的图象与轴交点的坐标是（ ）例1 A．， B．， C．， D．， 二次函数与轴交于两点（点在点左侧），则点的坐标为（ ）例2 A． B． C． D． 求抛物线与坐标轴的交点坐标．变1 已知抛物线，求函数与x轴的交点坐标.变2 二．对ax2+bx+c=k的理解 ax2+bx+c=k的两种理解方式 几何意义 y=k y=ax2+bx+c 1.方程的几何意义：表示两个函数与函数的交点； 2.特殊地，若k=0时，表示与（即x轴）的交点. 代数意义 表示一元二次方程的解 1.时，有两个不相同的解（两个函数有两个交点）； 2.时，有两个相同的解（两个函数有一个交点）； 3.时，无解（两个函数没有交点）. 特殊地，若k=0，则表示方程的解. 【总结】方程的解就是函数的交点，函数的交点亦是方程的解. 题型四 函数的交点与方程解的关系 若二次函数的图象经过点，，则关于的方程的解为（ ）例1 A．， B．， C．， D．， 抛物线的部分图象如图所示，则一元二次方程的根为（ ）例2 A． B．， C．， D．， 已知抛物线与轴交于点，，则关于的方程的解是（ ）变1 A．， B．， C．， D．， 二次函数在平面直角坐标系中的图象如图所示，则图象与轴的另一个交点的横坐标为（ ）变2 A．2 B．3 C．3.5 D．4 已知二次函数的图象与轴的一个交点为，则关于的一元二次方程的两实数根是 ．例3 若二次函数的图象经过点，则方程的解为（ ）变3 A． B．， C．， D．， 题型五 对ax2+bx+c=k的理解 已知二次函数的图象如图所示，直线是它的对称轴，则方程有____个实数根．例1 如图所示是抛物线的部分图象，其顶点坐标为，则一元二次方程有____个实数根．变1 已知抛物线的图象如图所示，抛物线的顶点坐标为，则关于的方程有____个实数根．变2 三．二次函数与一元二次不等式 二次函数与一元二次不等式 1.若y>0，则应找二次函数图像位于x轴____方的部分； 2.若y<0，则应找二次函数图像位于x轴____方的部分. 题型六 二次函数与一元二次不等式 已知二次函数的图像如图所示，则一元二次不等式的解集是 ．例1 如图，二次函数（，，为常数，）的图像与轴交于点，顶点坐标为，则不等式的解集为 ．变1 已知函数的图象如图所示，当时，则于的取值范围是（ ）变2 A． B．或 C．且 D． 如图，已知抛物线与直线相交于两点，则不等式成立时，的取值范围是 ．例2 如图，二次函数和一次函数交点的横坐标分别为和1，观察图象，当时，的取值范围是 ．变3 课后强化 1.抛物线与y轴的交点坐标是 ． 2.抛物线与轴的交点纵坐标为 ． 3.若关于x的二次函数与x轴有交点，则k的取值范围是（ ） A． B．且 C． D．且 4.若函数为常数）的图象与轴有且只有一个交点，那么满足（ ） A．且 B． C． D．或 5.抛物线与x轴的交点坐标为 ，与y轴的交点坐标为 ． 6.已知二次函数与x轴交于A、B两点，则A、B两点之间的距离为 ． 7.已知二次函数，求函数与x轴的交点坐标. 8.二次函数的图象过点，则的解为（ ） A．， B．， C．， D．， 9.已知方程的两根为2和，则抛物线的对称轴是直线 ． 10.已知二次函数的部分图象如图所示，则关于x的一元二次方程的解为（ ） A．， B．， C．， D．， 11.二次函数的部分图象如图所示，则不等式的解集是 ． 12.如图，二次函数与一次函数的交点A，B的坐标分别为，，则不等式的解集为 ． 13.如图，二次函数与一次函数为的图象相交于A，B两点，则不等式的解为 ． 14.如图所示是二次函数 的部分图像，该函数图像的对称轴是直线，图像与y轴交点的纵坐标是2，则方程有____个实数根． 第 1 页 共 7 页 学科网（北京）股份有限公司 $$