21.3实际问题与一元二次方程讲义-2025-2026学年人教版九年级数学上册

❊21.3 实际问题与一元二次方程 思维导图 题型精析 一．传播问题 思考 现有病毒a个，每个病毒每次传播x人，则： 第一轮传播，感染总数为__________； 第二轮传播，感染总数为__________=__________； 第三轮传播，感染总数为__________=__________. 【总结】若刚开始有a个病毒，每个病毒每次传播x人，则传播问题的公式为：_______________. 题型一 传播问题 某生物实验室需培育一群有益菌．现有个活体样本，经过两轮培育后，总和达个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 个有益菌．例1 冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感．例2 （1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ （2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天的时间，某养鸡场于某日发现一例鸡瘟病例，两天后发现共有324只鸡患有这种病．若每例病鸡每轮传染健康鸡的只数均相同，求每只病鸡每轮传染健康鸡的只数．变1 有10人患流感，经过两轮传染后共有1210人患流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？变2 二．树枝分叉问题 思考 现有一棵树干，若这棵树主干长出x个枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，则： 第一轮分叉，这棵树的枝干总数为__________； 第二轮分叉，这棵树的枝干总数为__________； 第三轮分叉，这棵树的枝干总数为__________. 【总结】树枝分叉问题与传播问题的区别是：___________________________. 题型二 树枝分叉问题 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（   ）根小分支例1 A．5 B．6 C．7 D．8 为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（ ）例2 A．9 B．10 C．11 D．12 某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是45，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为 ．变1 网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为______人．变2 三．单双循环问题 思考 现有x人，每两人握一次手，请问是否有重复？_____，故共握手_____次.（该问题是单循环还是双循环？_______） 现有x人两两之间互赠卡片，请问是否有重复？_____，故共赠卡片_____.（该问题是单循环还是双循环？_______） 【总结】握手问题的关键在于：_______________. 题型三 单双循环问题 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手45次，则这次会议参加的人数是（   ）例1 A．7 B．10 C．12 D．20 班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（    ）例2 A． B． C． D． 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯105次，则参加酒会的人数有多少人．变1 2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队．变2 四．平均变化率问题 思考 若2022年国内的GDP总量为a万亿，每年的增长率都是x，则： 2023年国内的GDP总量为_______________； 2024年国内的GDP总量为_______________； 2025年国内的GDP总量为_______________. 【总结】平均变化率问题的公式为：1.由a经过两次平均增长到b：_______________； 2.由a经过两次平均减少到b：_______________. 题型四 平均变化率问题 随着旅游旺季的到来，烟台某景区游客人数逐月增加，3月份游客人数为1.6万人，5月份游客人数为2.5万人．例1 （1）求这两个月该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计6月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区6月1日至6月20日已接待游客2.125万人，则6月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为100万元，到2025年累计共投入研发资金364万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（    ）例2 A． B． C． D． 某市2021年森林和人工绿化面积为20万亩，为了响应十九大的“绿水青山就是金山银山”号召，2023年该市的绿化面积比2021年提高了4.2万亩．变1 （1）求2021底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率． （2）按照这个增长速度，预测2024年底该市的绿化面积． 由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ）变2 A． B． C． D． 五．面积问题 内容 【注意】一元二次方程的解通常有两个，所以最终一定要检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去. 题型五 面积问题 如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余部分种绿植，绿植的面积为468平方米，求小路的宽．例1 如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为 m．变1 如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为米．例2 （1）AB=________米（用含的代数式表示）； （2）若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； （3）矩形围栏面积是否有可能达到270平方米？若有可能，求出相应的值；若不可能，则说明理由． 如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．变2 （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长； （2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，请说明理由． 六．营销问题 内容 利润=单利×销量. 若某商品进价40，售价60，每日销量为80件，若该商品没降价2元，可多售10件，则降价后的利润是多少？ 法一：若设降价x元，则利润=单利×销量=； 法二：若设售价x（x<60）元，则利润=单利×销量=. 【总结】利润=单利×销量=. 题型六 营销问题 某皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？例1 （1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整； 小明：设每件皮衣降价x元， 由题意，可列方程为________________； 小红：设每件皮衣定价为y元， 由题意，可列方程为________________； （2）每件皮衣定价为________元时，皮衣专卖店平均每天获得12000元． 近年来，电商平台带货主播成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的购书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．如果这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本．例2 （1）若每本降价10元，每天可销售______本书，每天销售获利为______元； （2）若降价销售该书，每天的利润为6000元，求该书的销售单价． “抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件；为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件．变1 （1）当销售量为30件时，产品售价为______元/件； （2）直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式； （3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？ 某水果店销售一批草莓，草莓的进价为10元/千克，市场调研发现：当草莓的售价为15元/千克时，平均每天能售出8千克，而当草莓的售价每降0.5元/千克时，平均每天能多售出4千克．变2 （1）当草莓的售价定为12元/千克时，求该水果店每天草莓的销售量和销售利润． （2）该水果店想在每天成本不超过200元的情况下，使得每天草莓的销售利润达到64元，售价应定为多少？ 题型七 动态几何问题 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=3cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以1cm/s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．例1 （1）当t为何值时，△BPQ为等腰三角形？ （2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由； （3）当t为何值时，P、Q间的距离等于？ 如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒.例2 （1）当______时，平分四边形的面积. （2）当与四边形的某一边平行时，求的值. （3）连接，是否存在△BPQ为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 如图，在中，∠B=90°，，点从开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒．变1 （1）填空：________， ________；（用含t的代数式表示） （2）当t为几秒时，的长度等于？ （3）是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由， 如图，已知为长方形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动．变2 （1）求证：在点移动过程中，四边形的面积始终不变； （2）两点从出发开始到几秒时，点和点间的距离是？ （3）两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 课后强化 1.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮平均一个人传染个人，列方程得 ，因此每轮平均一个人传染了 个人． 2.在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，那么每轮传播中平均一人传播了多少人？ 3，在某个商品交易会上，参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同．则参加交易会的公司有（    ） A．家 B．9家 C．10家 D．11家 4.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 5.初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）．已知全组共赠送了306张卡片，如果该兴趣小组的人数为x人，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 6.某地计划三年内投入1900万元资金进行生态建设，以此带动本地旅游业的发展，本年度当地旅游业收入估计为400万元，如果在今后的三年内（本年度为第一年）每年旅游业的收入比上年增长百分数相同，则三年内旅游业的总收入恰好等于投资总额，设旅游业的收入比上年增长的百分数为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 7.为深化疫情防控国际合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工作．2020年10月，国内某企业口罩出口订单额为1000万元，2020年12月该企业口罩出口订单额为1210万元． （1）求该企业2020年10月到12月口罩出口订单额的月平均增长率； （2）按照（1）的月平均增长率，预计该企业2021年1月口罩出口订单额为多少万元？ 8.太原迎泽公园是太原市内最大的综合性文化休闲公园，其间种植了数万株观赏树木、桥、廊、亭、榭多不胜数．如图，相关部门计划在公园内一块长为32米，宽为20米的近似矩形湖面上修筑宽度固定的观景长廊（图中阴影部分），要使湖面剩余部分（空白部分）的面积为540平方米，则长廊的宽为_____米． 9.如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x； （1）AB=_______米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长． 10.某商店将进价为8元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 200 件．若这种商品每件涨元，其销量就会减少10件，要使利润为640元，需将售价定为x元，下列列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 11.某商场将进货价为元的台灯以元售出，1月份销售个，月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到个，设月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加个若商场要想使月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？ 12.“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降1元，则每天能多售出3千克（同一天中售价不变）． （1）设售价每千克下降元，则每天能售出_______千克（用含的代数式表示）； （2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得9072元的销售额； （3）水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 13.如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； （1）当移动几秒时，△BPQ的面积为． （2）设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 14.如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）．    （1）当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 15.如图，矩形，cm，cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动． （1）问两动点运动几秒，使四边形的面积是矩形面积的； （2）问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 13 页 ❊21.3 实际问题与一元二次方程 思维导图 题型精析 一．传播问题 思考 现有病毒 a个，每个病毒每次传播 x人，则： 第一轮传播，感染总数为__________； 第二轮传播，感染总数为__________=__________； 第三轮传播，感染总数为__________=__________. 【总结】若刚开始有 a 个病毒，每个病毒每次传播 x 人，则传播问题的公式为：_______________. 题型一 传播问题 例 1 某生物实验室需培育一群有益菌．现有60个活体样本，经过两轮培育后，总和达 24000个，其中 每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 个有益 菌． 例 2 冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有 2人患了流感，在没有采取医疗手段的情 况下，经过两轮传染后共有 128人患流感． （1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ （2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 第 2 页 共 13 页 变 1 鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天的时间，某养鸡场于某日发现一例鸡瘟病例， 两天后发现共有 324只鸡患有这种病．若每例病鸡每轮传染健康鸡的只数均相同，求每只病鸡每轮传染健 康鸡的只数． 变 2 有 10人患流感，经过两轮传染后共有 1210人患流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？ 如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？ 二．树枝分叉问题 思考 现有一棵树干，若这棵树主干长出 x个枝干，每个枝干又长出同样数目的小 分支，则： 第一轮分叉，这棵树的枝干总数为__________； 第二轮分叉，这棵树的枝干总数为__________； 第三轮分叉，这棵树的枝干总数为__________. 【总结】树枝分叉问题与传播问题的区别是：___________________________. 题型二 树枝分叉问题 例 1 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的 总数是57，则每个支干长出（ ）根小分支 A．5 B．6 C．7 D．8 例 2 为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规 则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请 n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请 n个互不相同的好 友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有 111个人参与了宣传活动，则 n的值为（ ） A．9 B．10 C．11 D．12 变 1 某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规 第 3 页 共 13 页 律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支 的总数是 45，设这种植物每个支干长出的小分支个数为 x，则可列方程为 ． 变 2 网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议 书发表在自己的微博上，然后邀请 x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请 x个互不相同的好友转发，已 知经过两轮转发后，共 157人参与了此次活动，则 x为______人． 三．单双循环问题 思考 现有 x人，每两人握一次手，请问是否有重复？_____，故共握手_____次. （该问题是单循环还是双循环？_______） 现有 x人两两之间互赠卡片，请问是否有重复？_____，故共赠卡片_____. （该问题是单循环还是双循环？_______） 【总结】握手问题的关键在于：_______________. 题型三 单双循环问题 例 1 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手 45次，则这次会议参加 的人数是（ ） A．7 B．10 C．12 D．20 例 2 班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全 组共互送了 132张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为 x人，则可列方程为 （ ） A．  1 132x x   B．  1 2 132x x    C．  1 132 2x    D．  1 132x x ＋ 变 1 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯 105次，则参加酒会的人数有多少人． 变 2 2024年 11月 3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中 超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队 之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队． 四．平均变化率问题 第 4 页 共 13 页 思考 若 2022年国内的 GDP总量为 a万亿，每年的增长率都是 x，则： 2023年国内的 GDP总量为_______________； 2024年国内的 GDP总量为_______________； 2025年国内的 GDP总量为_______________. 【总结】平均变化率问题的公式为：1.由 a 经过两次平均增长到 b：_______________； 2.由 a 经过两次平均减少到 b：_______________. 题型四 平均变化率问题 例 1 随着旅游旺季的到来，烟台某景区游客人数逐月增加，3月份游客人数为 1.6万人，5月份游客人 数为 2.5万人． （1）求这两个月该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计 6月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区 6月 1日至 6月 20日已接待游客 2.125万人，则 6月份后 10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 例 2 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在 2023年投入研发资金为 100万元，到 2025年累计共投入研发资金 364万元，若这两年投入研发资金的年平 均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为 x，则下列方程正确的是 （ ） A．    2100 100 1 100 1 364x x     B．  2100 1 364x  C．    21 1 1 1 1 364x x     D．  2100 1 364x  变 1 某市 2021年森林和人工绿化面积为 20万亩，为了响应十九大的“绿水青山就是金山银山”号召， 2023年该市的绿化面积比 2021年提高了 4.2万亩． （1）求 2021底至 2023年底该市的绿化面积的年平均增长率． （2）按照这个增长速度，预测 2024年底该市的绿化面积． 第 5 页 共 13 页 变 2 由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追 求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约 5亿元，以后两周以相同的 增长率增长，三周后票房收入累计达约 20亿元，设增长率为 x，则方程可以列为（ ） A． 25 5 5 20x   B．  25 1 20x  C．  35 1 20x  D．    25 5 1 5 1 20x x     五．面积问题 内容 【注意】一元二次方程的解通常有两个，所以最终一定要检验方程的解 是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去. 题型五 面积问题 例 1 如图，某小区计划在一块长为30m，宽为 20m的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路， 其余部分种绿植，绿植的面积为 468平方米，求小路的宽． 变 1 如图，某单位准备在院内一块长30m、宽 20m的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的 小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为 2532m ，则小道进出口的宽度为 m． 例 2 如图，利用一面墙（墙长 25米），用总长度 49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏 ABCD， 且中间共留两个 1米的小门，设栅栏 BC长为 x米． 第 6 页 共 13 页 （1）AB=________米（用含 x的代数式表示）； （2）若矩形围栏 ABCD面积为 210平方米，求栅栏BC的长； （3）矩形围栏 ABCD面积是否有可能达到 270平方米？若有可能，求出相应 x的值；若不可能，则说明 理由． 变 2 如图，用一段 77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个 1 米的门，墙的最大可用长度为 30米． （1）如果羊圈的总面积为 300平方米，求边 AB的长； （2）请问羊圈的总面积能为 440平方米吗？若能，请求出边 AB的长；若不能，请说明理由． 六．营销问题 内容 利润=单利×销量. 若某商品进价 40，售价 60，每日销量为 80件，若该商品没降价 2元，可多售 10件，则降价后的利润是多少？ 法一：若设降价 x元，则利润=单利×销量= )10 2 80)(4060(  xx ； 法二：若设售价 x（x<60）元，则利润=单利×销量= )10 2 6080)(40(  xx . 【总结】利润=单利×销量= )/( 降涨影响的销量 降涨单价 涨价降价 原销量单利  . 题型六 营销问题 例 1 某皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件 750元，经市场调查发现，按每件 1100元出售，平 均每天可售出 30件，每件降价 50元，平均每天的销售量可增加 10件，皮衣专卖店想要平均每天获利 12000 元，则每件皮衣定价为多少元？ （1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整； 小明：设每件皮衣降价 x元， 由题意，可列方程为________________； 小红：设每件皮衣定价为 y元， 第 7 页 共 13 页 由题意，可列方程为________________； （2）每件皮衣定价为________元时，皮衣专卖店平均每天获得 12000元． 例 2 近年来，电商平台带货主播成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语 直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的购书热情．已知这本书的成本价为 10元，规定销售单价不低于成本 价，且不高于成本价的 3倍．如果这本书按每本 25元销售，每天可销售 500本，通过几天的销售发现，销 售单价每降低 5元，每天可多销售 100本． （1）若每本降价 10元，每天可销售______本书，每天销售获利为______元； （2）若降价销售该书，每天的利润为 6000元，求该书的销售单价． 变 1 “抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为 70元/件，根据一个 月的市场调研，商家发现当售价为 110元/件时，日销售量为 20件，售价每降低 1元，日销售量增加 2件； 为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过 99元/件． （1）当销售量为 30件时，产品售价为______元/件； （2）直接写出日销售量 y（件）与售价 x（元/件）的函数关系式； （3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利 1200元？ 变 2 某水果店销售一批草莓，草莓的进价为 10元/千克，市场调研发现：当草莓的售价为 15元/千克 时，平均每天能售出 8千克，而当草莓的售价每降 0.5元/千克时，平均每天能多售出 4千克． （1）当草莓的售价定为 12元/千克时，求该水果店每天草莓的销售量和销售利润． （2）该水果店想在每天成本不超过 200元的情况下，使得每天草莓的销售利润达到 64元，售价应定为 多少？ 第 8 页 共 13 页 题型七 动态几何问题 例 1 如图，在 Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=3cm，点 P从点 A开始沿 AB边向点 B以 2cm/s 的速度移动，点 Q从点 B开始沿边 BC向点C以 1cm/s的速度移动，如果 P、Q两点同时出发，设运动时间 为 t秒  0 3t  ． （1）当 t为何值时，△BPQ为等腰三角形？ （2）是否存在某时刻 t，使线段 PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求此时 t的值；若不存在，请说 明理由； （3）当 t为何值时，P、Q间的距离等于 2 5cm？ 例 2 如图，在四边形 ABCD中， , 90 , 4cm, 7cmAD BC B AB AD    ∥ ， 11cmBC  点 P从点 A出 发，以1cm / s的速度向点 D运动；点 Q从点 C同时出发，以2cm / s的速度向点 B运动，规定其中一个动点 到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为 t秒. （1）当 t  ______时， PQ平分四边形 ABCD的面积. （2）当 PQ与四边形 ABCD的某一边平行时，求 t的值. （3）连接 BP，是否存在△BPQ为等腰三角形？若存在请求出 t值，若不存在，说明理由. 第 9 页 共 13 页 变 1 如图，在 ABC 中，∠B=90°， 6cmAB  ， 8cmBC  点 P从A开始沿边 AB向点 B以1cm/s的速度 移动，与此同时，点Q从点 B开始沿边 BC向点C以2cm/s的速度移动．点 P，Q同时出发，当点Q运动到 点C时，两点停止运动，设运动时间为 t秒． （1）填空： BQ ________ cm，PB  ________cm；（用含 t的代数式表示） （2）当 t为几秒时， PQ的长度等于8cm？ （3）是否存在某一时刻 t，使四边形 APQC的面积等于 ABC 面积的 3 2 ？如果存在，求出 t的值，如果不 存在，请说明理由， 变 2 如图，已知 A B C D， ， ， 为长方形的四个顶点， 8cmAB  ， 3cmAD  ，动点 P Q， 分别从点 A C， 同时出发，点 P以1cm/ s的速度向点 B移动，一直到点 B为止，点Q以1cm/ s的速度向点D移动． （1）求证：在点 P Q， 移动过程中，四边形 PBCQ的面积始终不变； （2） P Q， 两点从出发开始到几秒时，点 P和点Q间的距离是5cm？ （3） P Q， 两点从出发开始到几秒时，点 P Q D， ， 组成的三角形是等腰三角形？ 第 10 页 共 13 页 课后强化 1.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，设每轮平均一个人传染 x个人，列方程 得 ，因此每轮平均一个人传染了 个人． 2.在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有 3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯 在共有 864人的居民小区中的知晓率达50%，那么每轮传播中平均一人传播了多少人？ 3，在某个商品交易会上，参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了55 份合同．则参加交易会的公司有（ ） A．8家 B．9家 C．10家 D．11家 4.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排 7天， 每天安排 4场比赛．设比赛组织者应邀请 x个队参赛，则 x满足的关系式为（ ） A． 1 ( 1) 28 2 x x   B． 1 ( 1) 28 2 x x   C． ( 1) 28x x   D． ( 1) 28x x   5.初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送 一张卡片（即 A送给 B一张，B也送给 A一张）．已知全组共赠送了 306张卡片，如果该兴趣小组的人数 为 x人，根据题意，下列方程正确的是（ ） A．  1 1 306 2 x x   B．  1 306x x   C．  1 1 306 2 x x   D．  1 306x x   6.某地计划三年内投入 1900万元资金进行生态建设，以此带动本地旅游业的发展，本年度当地旅游业收入 估计为 400万元，如果在今后的三年内（本年度为第一年）每年旅游业的收入比上年增长百分数相同，则 三年内旅游业的总收入恰好等于投资总额，设旅游业的收入比上年增长的百分数为 x，则下列方程正确的是 （ ） A．  400 1 1900x  B．  2400 1 1900x  C．    2400 1 400 1 1900x x    D．    2400 400 1 400 1 1900x x     7.为深化疫情防控国际合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工作．2020年 10月， 国内某企业口罩出口订单额为 1000万元，2020年 12月该企业口罩出口订单额为 1210万元． （1）求该企业 2020年 10月到 12月口罩出口订单额的月平均增长率； （2）按照（1）的月平均增长率，预计该企业 2021年 1月口罩出口订单额为多少万元？ 第 11 页 共 13 页 8.太原迎泽公园是太原市内最大的综合性文化休闲公园，其间种植了数万株观赏树木、桥、廊、亭、榭多不 胜数．如图，相关部门计划在公园内一块长为 32米，宽为 20米的近似矩形湖面上修筑宽度固定的观景长 廊（图中阴影部分），要使湖面剩余部分（空白部分）的面积为 540平方米，则长廊的宽为_____米． 9.如图，利用一面墙（墙长 25米），用总长度 49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏 ABCD，且 中间共留两个 1米的小门，设栅栏 BC长为 x； （1）AB=_______米（用含 x的代数式表示）； （2）若矩形围栏 ABCD面积为 210平方米，求栅栏BC的长． 10.某商店将进价为 8元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 200 件．若这种商品每件涨0.5元，其销量 就会减少 10件，要使利润为 640元，需将售价定为 x元，下列列方程正确的是（ ） A．   1010 200 10 640 0.5 xx         B．   108 200 10 640 0.5 xx         C．   1010 8 200 10 640 0.5 x         D．   108 200 10 640 0.5 xx         11.某商场将进货价为30元的台灯以 40元售出，1月份销售 400个， 2月份和 3月份这种台灯销售量持续增 加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到576个，设 2月份和 3月份两个月的销售量月平均增长率不 变． （1）求 2月份和 3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从 4月份起，在 3月份销售量的基础上，商场决定降价促销．经调查发现，售价在 35元至 40元范围 内，这种台灯的售价每降价 0.5元，其销售量增加6个．若商场要想使 4月份销售这种台灯获利 4800元，则 这种台灯售价应定为多少元？ 第 12 页 共 13 页 12.“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克 60元的价格出售杨梅，每天可卖出 150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降 1元，则每天能多售出 3千克（同一天中售价不变）． （1）设售价每千克下降 x元，则每天能售出_______千克（用含 x的代数式表示）； （2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得 9072元的销售额； （3）水果店定了“每天售出杨梅的销售额为 10000元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？ 若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 13.如图，在 ABC 中， 90B ， 12cmAB  ， 24cmBC  ，动点 P从点 A开始沿着边 AB向点 B以 2cm/s 的速度移动（不与点 B重合），动点 Q从点 B开始沿着边 BC向点 C以 4cm/s的速度移动（小与点 C重合）．若 P、Q两点同时移动  st ； （1）当移动几秒时，△BPQ的面积为 232cm ． （2）设四边形 APQC的面积为 2cmS ，当移动几秒时，四边形 APQC的面积为 2108cm ？请说明理由． 第 13 页 共 13 页 14.如图，在矩形 ABCD中， 10cmAB  ， 12cmBC  ，点 P从点 A开始沿边 AB向终点 B以 2cm / s的速度 移动，与此同时，点 Q从点 B开始沿边 BC向终点 C以4cm / s的速度移动．如果 P，Q分别从 A，B同时出 发，当点 Q运动到点 C时，两点停止运动．设运动时间为 t秒，（0 3t  ）． （1）当 t为何值时，点 B在 PQ的垂直平分线上？ （2）当 t为何值时， PQ的长度等于10cm？ （3）连接 PC，是否存在 t的值，使得 PQC△ 的面积等于 232cm ？若存在，请求出此时 t的值；若不存在， 请说明理由． 15.如图，矩形 ABCD， 6AB  cm， 2AD  cm，点 P以 2cm/s的速度从顶点 A出发沿折线 A－B－C向点 C 运动，同时点 Q以 lcm/s的速度从顶点 C出发向点 D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点 也停止运动． （1）问两动点运动几秒，使四边形 PBCQ的面积是矩形 ABCD面积的 4 9 ； （2）问两动点经过多长时间使得点 P与点 Q之间的距离为 5？若存在，求出运动所需的时间；若不存 在，请说明理由． ❊21.3 实际问题与一元二次方程 思维导图 题型精析 一．传播问题 思考 现有病毒a个，每个病毒每次传播x人，则： 第一轮传播，感染总数为__________； 第二轮传播，感染总数为__________=__________； 第三轮传播，感染总数为__________=__________. 【总结】若刚开始有a个病毒，每个病毒每次传播x人，则传播问题的公式为：_______________. 题型一 传播问题 某生物实验室需培育一群有益菌．现有个活体样本，经过两轮培育后，总和达个，其中每个有益菌每一次可分裂出若干个相同数目的有益菌．每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出 个有益菌．例1 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出个有益菌，根据题意得，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：每轮分裂中平均每个有益菌可分裂出个有益菌， 根据题意得，， 解得：，（舍去）， 故答案为：． 冬春季是传染病高发季节，据统计，去年冬春之交，有2人患了流感，在没有采取医疗手段的情况下，经过两轮传染后共有128人患流感．例2 （1）求每轮传染中平均一个人传染了多少人？ （2）若不及时控制，则第三轮感染后，患流感的共有多少人？ 【答案】(1)每轮传染中平均一个人传染了7人 (2)第三轮感染后，患流感的共有1024人 【分析】题考查了一元二次方程的应用，先求出每轮传染中平均每人传染了多少人数是解题关键． （1）设每轮传染中平均每人传染了人，根据经过两轮传染后共有128人患了流感，可求出； （2）用第二轮每轮传染中平均每人传染的人数，可求出第三轮过后，患流感的人数． 【详解】（1）解：设每轮传染中平均一个人传染了人， 由题意得：， 解得：，（不合题意舍去）， 答：每轮传染中平均一个人传染了7人； （2）解：第三轮感染的人数（人）， 第三轮感染后，患流感的总人数为：（人）， 答：第三轮感染后，患流感的共有1024人． 鸡瘟是一种传播速度很快的传染病，一轮传染为一天的时间，某养鸡场于某日发现一例鸡瘟病例，两天后发现共有324只鸡患有这种病．若每例病鸡每轮传染健康鸡的只数均相同，求每只病鸡每轮传染健康鸡的只数．变1 【答案】每只病鸡每轮传染健康鸡17只 【分析】本题主要考查了一元二次方程的实际应用，设每只病鸡每轮传染健康鸡x只，则第一天有x只鸡被传染，第二天有只鸡被传染，则经过两天的传染后感染患病的鸡共有只，据此列出方程求解即可． 【详解】解：设每只病鸡每轮传染健康鸡x只， 由题意得，， ∴， 解得或（舍去）， 答：每只病鸡每轮传染健康鸡17只． 有10人患流感，经过两轮传染后共有1210人患流感，求每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少个人患流感？变2 【答案】10人；13310人 【分析】设平均一人传染了人，根据有10人患了流感，经过两轮传染后共有1210人患了流感，列出方程求解；根据前面所求数据，进而表示出经过三轮传染后患上流感的人数． 【详解】解：设平均一人传染了人， 根据题意得：， 化简得：， 解得：，（不符合题意舍去） 故每轮传染中平均一个人传染了10个人， 所以经过三轮后患上流感的人数为： （人）； 经过三轮传染后共有13310个人患流感． 二．树枝分叉问题 思考 现有一棵树干，若这棵树主干长出x个枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，则： 第一轮分叉，这棵树的枝干总数为__________； 第二轮分叉，这棵树的枝干总数为__________； 第三轮分叉，这棵树的枝干总数为__________. 【总结】树枝分叉问题与传播问题的区别是：___________________________. 题型二 树枝分叉问题 某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的分支，主干，分支和小分支的总数是，则每个支干长出（   ）根小分支例1 A．5 B．6 C．7 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的应用；设每个支干长出个小分支，根据“每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是”得出一元二次方程，解方程可得答案． 【详解】解：设每个支干长出个小分支，由题意得：， 解得：（不合题意，舍去）， 故每个支干长出个小分支， 故选：C． 为了宣传垃圾分类，小明写了一篇倡议书，决定用微博转发的方式传播．他设计了如下的传播规则：将倡议书发表在自己的微博上，再邀请n个好友转发，每个好友转发之后，又邀请n个互不相同的好友转发，依此类推．已知经过两轮转发后，共有111个人参与了宣传活动，则n的值为（ ）例2 A．9 B．10 C．11 D．12 【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有111个人参与了宣传活动，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：依题意，得：， 解得：，． 故选：． 某校生物学科老师在组织学生进行野外实践活动时，学生发现自然界的植物生长具有神奇的规律．比如某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是45，设这种植物每个支干长出的小分支个数为，则可列方程为 ．变1 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是找准等量关系，正确列出一元二次方程，根据“主干、支干和小分支的总数是45”，列出方程即可． 【详解】解：设这种植物每个支干长出的小分支个数是x， 依题意得：． 故答案为：． 网课期间小夏写了封保护眼睛的倡议书，用微博转发的方式传播，设计了如下转发规则：将倡议书发表在自己的微博上，然后邀请x个好友转发，每个好友转发之后，又邀请x个互不相同的好友转发，已知经过两轮转发后，共157人参与了此次活动，则x为______人．变2 【分析】根据传播规则结合经过两轮转发后共有157个人参与了此活动，即可得出关于的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：依题意，得：， 解得：，（不合题意，舍去）． 故答案为：12． 三．单双循环问题 思考 现有x人，每两人握一次手，请问是否有重复？_____，故共握手_____次.（该问题是单循环还是双循环？_______） 现有x人两两之间互赠卡片，请问是否有重复？_____，故共赠卡片_____.（该问题是单循环还是双循环？_______） 【总结】握手问题的关键在于：_______________. 题型三 单双循环问题 一次会议上，每两个参加会议的人都相互握一次手，有人统计一共握手45次，则这次会议参加的人数是（   ）例1 A．7 B．10 C．12 D．20 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系是解答的关键．设这次会议参加的人数是x人，根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设这次会议参加的人数是x人， 根据题意，得， 解得， 故这次会议参加的人数是10人， 故选：B． 班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为（    ）例2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查一元二次方程的应用，设数学兴趣小组人数为x人，根据“每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了132张新年贺年卡”列方程解答即可． 【详解】解：设数学兴趣小组人数为x人，列方程为， 故选：A． 在一次酒会上，每两人都只碰一次杯，如果一共碰杯105次，则参加酒会的人数有多少人．变1 【答案】参加酒会的人数有15人． 【分析】设参加酒会的人数为x人，根据每两人都只碰一次杯且一共碰杯105次，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论． 【解答】解：设参加酒会的人数为x人， 依题意，得：x（x-1）=105， 整理，得：x2-x-210=0， 解得：x1=15，x2=-14（不合题意，舍去）． 答：参加酒会的人数有15人． 2024年11月3日，大连足球在万众期待中迎来历史性时刻，时隔一年重返中国足球超级联赛（中超），彰显了大连在中国足球历史上的重要地位．2025 年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛 240 场．求本次联赛共有多少支球队．变2 【答案】本次联赛共有16支球队 【分析】本题考查一元二次方程的应用，根据题意找准等量关系并正确列出一元二次方程是解题的关键．设本次联赛共有支球队，根据2025年赛季中超联赛仍然采用双循环比赛制（即每两队之间都进行两场比赛），共要比赛240场，列出一元二次方程，求解并取符合题意的值即可． 【详解】解：设本次联赛共有支球队， 由题意得， ， ， （舍去）， 本次联赛共有16支球队． 四．平均变化率问题 思考 若2022年国内的GDP总量为a万亿，每年的增长率都是x，则： 2023年国内的GDP总量为_______________； 2024年国内的GDP总量为_______________； 2025年国内的GDP总量为_______________. 【总结】平均变化率问题的公式为：1.由a经过两次平均增长到b：_______________； 2.由a经过两次平均减少到b：_______________. 题型四 平均变化率问题 随着旅游旺季的到来，烟台某景区游客人数逐月增加，3月份游客人数为1.6万人，5月份游客人数为2.5万人．例1 （1）求这两个月该景区游客人数的月平均增长率； （2）预计6月份该景区游客人数会继续增长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长率．已知该景区6月1日至6月20日已接待游客2.125万人，则6月份后10天日均接待游客人数最多是多少万人？ 【答案】(1)25% (2)0.1万人 【分析】本题考查一元二次方程和一元一次不等式的实际应用，找准等量关系，正确的列出方程和不等式，是解题的关键． （1）设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为，根据题意，列出一元二次方程，进行求解即可； （2）设6月份后10天日均接待游客人数是a万人，根据题意，列出不等式进行计算即可． 【详解】（1）解：设这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为． 由题意可得：． 解得：，（不合题意舍去）． 所以，这两个月中该景区游客人数的月平均增长率为； （2）设6月份后10天日均接待游客人数是万人． 由题意可得：， 解得：， 所以，6月份后10天日均接待游客人数最多是0.1万人． 随着人工智能技术的飞速发展，某科技公司投入研发资金进行人工智能项目开发．已知该公司在2023年投入研发资金为100万元，到2025年累计共投入研发资金364万元，若这两年投入研发资金的年平均增长率相同，求该公司投入研发资金的年平均增长率是多少？设年平均增长率为x，则下列方程正确的是（    ）例2 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决增长率问题，解题的关键是找准等量关系． 设年平均增长率为x，可得出2024、2025年投入研发资金，结合到2025年累计三年共投入研发资金364万元，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：设年平均增长率为x，根据题意得， ． 故选：A． 某市2021年森林和人工绿化面积为20万亩，为了响应十九大的“绿水青山就是金山银山”号召，2023年该市的绿化面积比2021年提高了4.2万亩．变1 （1）求2021底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率． （2）按照这个增长速度，预测2024年底该市的绿化面积． 【答案】(1) (2)万亩 【分析】本题考查了一元二次方程的应用平均增长率，找等量关系列出正确的方程是解题的关键． （1）设年平均增长率为x，根据2021年至2023年两年的增长，建立方程求解； （2）基于第一问的年增长率预测2024年的绿化面积． 【详解】（1）解：设2021底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率为x， 根据题意得：， 解得，（不符合题意，舍去）； 答：2021底至2023年底该市的绿化面积的年平均增长率是； （2）解：（万亩 ）， 答：预测2024年底该市的绿化面积为万亩． 由著名导演张艺谋执导的电影《第二十条》因深刻体现了普法的根本是人们对公平正义的勇敢追求，创下良好口碑，自上映以来票房连创佳绩．据不完全统计，第一周票房约5亿元，以后两周以相同的增长率增长，三周后票房收入累计达约20亿元，设增长率为，则方程可以列为（ ）变2 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．根据第一周的票房及增长率，即可得出第二周票房约亿元、第三周票房约亿元，根据三周后票房收入累计达约20亿元，即可得出关于的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：第一周票房约5亿元，且以后每周票房的增长率为， 第二周票房约亿元，第三周票房约亿元． 依题意得：． 故选：D． 五．面积问题 内容 【注意】一元二次方程的解通常有两个，所以最终一定要检验方程的解是否符合实际意义，不符合实际意义的舍去. 题型五 面积问题 如图，某小区计划在一块长为，宽为的矩形场地上修建三条互相垂直且宽度一样的小路，其余部分种绿植，绿植的面积为468平方米，求小路的宽．例1 【答案】小路宽为2米 【分析】本题考查了实际应用与一元二次方程，熟练掌握以上知识点是解题的关键． 根据绿植的面积列出方程并求解即可． 【详解】解：设小路的宽为， 根据题意得：， 解得：． 答：小路宽为2米． 如图，某单位准备在院内一块长、宽的长方形花园中修两条纵向平行和一条横向弯折的小道，剩余的部分种植花草．如图，要使种植花草的面积为，则小道进出口的宽度为 m．变1 【答案】1 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元二次方程，根据数量关系列出关于x的一元二次方程是解题的关键．设小道进出口的宽度为，根据平移可得种植花草是一个矩形，根据面积为，即可列出关于x的一元二次方程，整理后解得即可得出结论． 【详解】解：设小道进出口的宽度为， 根据题意，得：， 整理，得：． 解得或34（舍去）， 所以小道进出口的宽度为． 故答案为：1． 如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为米．例2 （1）AB=________米（用含的代数式表示）； （2）若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长； （3）矩形围栏面积是否有可能达到270平方米？若有可能，求出相应的值；若不可能，则说明理由． 【答案】(1) (2)篱笆的长为10米； (3)矩形围栏面积不可能达到270平方米． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式． （1）设篱笆长为x米，根据篱笆的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含x的代数式表示出的长； （2）根据矩形围栏面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论； （3）根据矩形围栏面积为270平方米，即可得出关于x的一元二次方程，由根的判别式，可得出该方程没有实数根，进而可得出矩形围栏面积不可能达到270平方米． 【详解】（1）解：设栅栏长为x米， ∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门， ∴米， 故答案为：； （2）解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：，． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为10米； （3）解：不可能，理由如下： 依题意，得：， 整理得：， ∵， ∴方程没有实数根， ∴矩形围栏面积不可能达到270平方米． 如图，用一段77米的篱笆围成三个一边靠墙、大小相同的长方形羊圈，每个长方形都有一个1米的门，墙的最大可用长度为30米．变2 （1）如果羊圈的总面积为300平方米，求边的长； （2）请问羊圈的总面积能为440平方米吗？若能，请求出边的长；若不能，请说明理由． 【答案】(1)15米 (2)不能，理由见详解 【分析】（1）设边的长为米，则米，然后根据矩形面积公式可列出一元二次方程并求解即可获得答案； （2）由（1）可得，然后根据一元二次方程根的判别式可获得答案． 【详解】（1）解：设边的长为米，则米， 根据题意可得， 解得，， ∵墙的最大可用长度为30米，且当时，（米），不合题意， ∴米． 答：边的长为15米； （2）若羊圈的总面积能为440平方米， 则结合（1）可得 ， 整理，得 ， ∵， ∴羊圈的总面积不能为440平方米． 六．营销问题 内容 利润=单利×销量. 若某商品进价40，售价60，每日销量为80件，若该商品没降价2元，可多售10件，则降价后的利润是多少？ 法一：若设降价x元，则利润=单利×销量=； 法二：若设售价x（x<60）元，则利润=单利×销量=. 【总结】利润=单利×销量=. 题型六 营销问题 某皮衣专卖店销售某款皮衣，其进价为每件750元，经市场调查发现，按每件1100元出售，平均每天可售出30件，每件降价50元，平均每天的销售量可增加10件，皮衣专卖店想要平均每天获利12000元，则每件皮衣定价为多少元？例1 （1）以下是小明和小红的两种不同设法，请帮忙填完整； 小明：设每件皮衣降价x元， 由题意，可列方程为________________； 小红：设每件皮衣定价为y元， 由题意，可列方程为________________； （2）每件皮衣定价为________元时，皮衣专卖店平均每天获得12000元． 【答案】(1)； (2)1050或950 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，理解题意，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解此题的关键． （1）根据利润单件利润件数列出一元二次方程即可； （2）根据（1）中列出的一元二次方程计算即可得解． 【详解】（1）解：小明：设每件皮衣降价x元，则平均每天的销售量为件， 依题意，得； 小红：设每件皮衣定价为y元，则平均每天的销售量为件， 依题意，得． （2）解：选择小明的设法，则， 整理，得， 解得，， 则定价为元或元， 答：每件皮衣定价为1050元或950元； 选择小红的设法，则， 整理，得， 解得，． 答：每件皮衣定价为1050元或950元． 近年来，电商平台带货主播成了一个火热的新兴职业，某主播带货图书《苏东坡传》，他用双语直播，风趣幽默，点燃了不同年龄者的购书热情．已知这本书的成本价为10元，规定销售单价不低于成本价，且不高于成本价的3倍．如果这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本．例2 （1）若每本降价10元，每天可销售______本书，每天销售获利为______元； （2）若降价销售该书，每天的利润为6000元，求该书的销售单价． 【答案】(1)， (2)20元 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）根据销售单价每降低5元，每天可多销售100本即可求得； （2）根据“总利润每千克利润销售量”列方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：∵这本书按每本25元销售，每天可销售500本，通过几天的销售发现，销售单价每降低5元，每天可多销售100本． ∴降价10元，平均每天可销售： 每天销售获利：， 故答案为：，； （2）解：设该书的销售单价为元， 依题意有： 化简得： ， 解得：， ∵， ∴； 答：该书的销售单价20元． “抖音”平台爆红网络，某电商在“抖音”上直播带货，已知该产品的进货价为70元/件，根据一个月的市场调研，商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件；为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件．变1 （1）当销售量为30件时，产品售价为______元/件； （2）直接写出日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式； （3）该产品的售价每件应定为多少，电商每天可盈利1200元？ 【答案】(1)105 (2) (3)90元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，求一次函数的解析式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）结合商家发现当售价为110元/件时，日销售量为20件，售价每降低1元，日销售量增加2件，进行列式计算，即可作答． （2）理解题意，列式化简得，结合成本价以及该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件，得出自变量的取值范围，即可作答． （3）结合电商每天可盈利1200元，进行列出一元二次方程，再解得，然后进行分析，即可作答． 【详解】（1）解：设当产品售价为元/件时，销售量为30件， 依题意，得， 解得， 即当销售量为30件时，产品售价为105元/件； （2）解：依题意，， ∵已知该产品的进货价为70元/件，且该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件． ∴， ∴日销售量y（件）与售价x（元/件）的函数关系式为． （3）解：该产品的售价每件应定为元，电商每天可盈利1200元， 由（2）得， 则， 整理得， ∴， 整理得， 解得， ∵为吸引流量，该电商在直播中承诺自家商品价格永远不会超过99元/件． ∴（舍去） 即该产品的售价每件应定为元，电商每天可盈利1200元． 某水果店销售一批草莓，草莓的进价为10元/千克，市场调研发现：当草莓的售价为15元/千克时，平均每天能售出8千克，而当草莓的售价每降0.5元/千克时，平均每天能多售出4千克．变2 （1）当草莓的售价定为12元/千克时，求该水果店每天草莓的销售量和销售利润． （2）该水果店想在每天成本不超过200元的情况下，使得每天草莓的销售利润达到64元，售价应定为多少？ 【答案】(1)该水果店每天草莓的销售量为32千克，销售利润为64元 (2)售价应定为14元/千克 【分析】（1）利用已知得出每天草莓的销售量，进而求出销售利润即可得出答案； （2）设售价应定为x元/千克，根据销售利润=一千克的利润×销售量，一千克的利润=售价-进价，即可列方程求解． 【详解】（1）∵当草莓的售价为15元/千克时，平均每天能售出8千克，而当草莓的售价每降0.5元/千克时，平均每天能多售出4千克． ∴当草莓的售价定为12元/千克时，该水果店每天草莓的销售量为： （千克）， ∴销售利润为：（元）； 答：该水果店每天草莓的销售量为32千克，销售利润为64元； （2）售价应定为x元，依题意得： ， 解得：， 由（1）知，当草莓的售价定为12元/千克时，该水果店每天草莓的销售量为32千克，销售利润为64元， ∴每天成本为（元）＞200元， ∴不合题意，舍去， 当草莓的售价定为14元/千克时，该水果店每天草莓的销售量为（千克）， ∴每天成本为（元）＜200元， ∴符合题意， 答：售价应定为14元/千克． 题型七 动态几何问题 如图，在Rt△ABC中，∠B=90°，AB=6cm，BC=3cm，点P从点A开始沿AB边向点B以2cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿边向点以1cm/s的速度移动，如果P、Q两点同时出发，设运动时间为t秒．例1 （1）当t为何值时，△BPQ为等腰三角形？ （2）是否存在某时刻t，使线段PQ恰好把△ABC的面积平分？若存在，求此时t的值；若不存在，请说明理由； （3）当t为何值时，P、Q间的距离等于？ 【答案】(1)当时，为等腰三角形 (2)不存在，理由见解析 (3) 【分析】（1）依题意得，，，当为等腰三角形时，只有，联立方程即可求解； （2）依题意得，，化简得，再根据判别式确定即可； （3）由于，则，代入化简求值即可. 【详解】（1）解：依题意得，，， 则， 当为等腰三角形时，只有， ， 解得， 即当时，为等腰三角形； （2）不存在，理由如下： 依题意得，， ， ， ， 方程无实根， 不存在某时刻，使线段恰好把的面积平分； （3），， ， ， 化简得：， 解得或， ∵ ∴不符合题意，舍去 故时，、间的距离等于． 如图，在四边形中，，点P从点A出发，以的速度向点D运动；点Q从点C同时出发，以的速度向点B运动，规定其中一个动点到达端点时，另一个动点也随之停止运动，设运动时间为秒.例2 （1）当______时，平分四边形的面积. （2）当与四边形的某一边平行时，求的值. （3）连接，是否存在△BPQ为等腰三角形？若存在请求出值，若不存在，说明理由. 【答案】(1) (2)或. (3)存在为等腰三角形，值为或或. 【分析】（1）根据题意可得，，解方程即可求出答案； （2）分和两种情况，根据平行四边形的判定和性质进行列方程解答即可； （3）连接，作于点E，，，分三种情况分别列方程，解方程进行解答即可. 【详解】（1）解：由题意可得，， ∵ ∴四边形是直角梯形， 由题意可得，， 解得， 故答案为： （2）当时， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， 解得， 当时， ∵ ∴， ∴四边形是平行四边形， ∴， 则， 解得， 综上可知，当与四边形的某一边平行时，求的值为或. （3）如图，连接，作于点E，则 ∵， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴，， 当时，，解得（不合题意的值的解已舍去） 当时， ，解得（不合题意的值的解已舍去） 当时，，解得（不合题意的值的解已舍去） 综上可知，值为或或. 如图，在中，∠B=90°，，点从开始沿边向点以的速度移动，与此同时，点从点开始沿边向点以的速度移动．点，同时出发，当点运动到点时，两点停止运动，设运动时间为秒．变1 （1）填空：________， ________；（用含t的代数式表示） （2）当t为几秒时，的长度等于？ （3）是否存在某一时刻t，使四边形的面积等于面积的？如果存在，求出t的值，如果不存在，请说明理由， 【答案】(1) (2) (3)存在，2 【分析】（1）由路程速度时间，可直接求解； （2）由勾股定理构建方程求解； （3）由题意可得的面积等于面积的，由三角形的面积公式可求解． 【详解】（1）点从开始沿边向点以的速度移动，点从点开始沿边向点以的速度移动， ，， ， 故答案为：，； （2）由题意得， ， 解得：，（不合题意，舍去）， 当时，的长等于； （3）存在，理由如下： 若四边形的面积等于面积的， 的面积等于面积的， ， ， 解得：或， 当时， 当时，，四边形变为三角形，不合题意，舍去， 存在时刻，使四边形的面积等于面积的，的值为2． 如图，已知为长方形的四个顶点，，，动点分别从点同时出发，点以的速度向点移动，一直到点为止，点以的速度向点移动．变2 （1）求证：在点移动过程中，四边形的面积始终不变； （2）两点从出发开始到几秒时，点和点间的距离是？ （3）两点从出发开始到几秒时，点组成的三角形是等腰三角形？ 【答案】(1)证明见解析 (2)或秒 (3)或或或秒时 【分析】（1）设点移动的时间是，得到，，再由梯形面积公式代值求解得到四边形的面积为定值，即可得证； （2）过点作于点，如图所示，在中，，，，由勾股定理列方程求解即可得到答案； （3）由题意，分三种情况：；；；分别由勾股定理列方程求解即可得到答案． 【详解】（1）证明：设点移动的时间是， 则， ， 四边形的面积是， 即四边形的面积为定值， 在点移动过程中，四边形的面积始终不变； （2）解：过点作于点，如图所示： ，， 则， 在中，，，若点和点间的距离是，即时，由勾股定理可得， 即，解得， 或， 即两点从出发开始到或秒时，点和点间的距离是； （3）解：连接，如图所示： 当点组成的三角形是等腰三角形时，分三种情况： ；；； 当时，过点作于点，如图所示： 由等腰三角形三线合一性质得到， ， ，即， 解得，即当两点从出发开始到秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 当时，过点作于点，如图所示： ， ，， 在中，，，时，由勾股定理可得， 即，解得， 或， 即当两点从出发开始到或秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 当时，过点作于点，如图所示： ， ， 在中，，时，由勾股定理可得， ， 即，解得， 即当两点从出发开始到秒时，点组成的三角形是等腰三角形； 综上所述，当两点从出发开始到或或或秒时，点组成的三角形是等腰三角形． 课后强化 1.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，设每轮平均一个人传染个人，列方程得 ，因此每轮平均一个人传染了 个人． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程的应用．最初有个人患流感，第一轮传染后新增个人被感染，那么第一轮后共有个人患病；第二轮这个人每人又传染个人，所以第二轮新增个病人，两轮后共有个人患病，根据两轮后共有人患病来列方程求解的值． 【详解】解：①最初有个病人，第一轮后共有个人患病， 第二轮传染后有个人患病， ∵两轮后共有人患流感， ∴可列方程为， 即； 故答案为：． ②对进行求解， 当时，； 当时，； ∵传染的人数不能为负数，所以舍去； ∴每轮平均一个人传染了个人； 故答案为：． 2.在人群密集的场所，信息传播很快，某居委会有3人同时得知一则喜讯，经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，那么每轮传播中平均一人传播了多少人？ 【答案】每轮传播中平均一人传播了11人 【分析】本题考查一元二次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设每轮传播中平均一人传播了x人，根据经过两轮传播后，使得这则喜讯在共有864人的居民小区中的知晓率达，列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：设每轮传播中平均一人传播了x人， 根据题意得：， 整理得：， 解得：或（舍去）． 答：每轮传播中平均一人传播了11人． 3，在某个商品交易会上，参加一次商品交易会的每两家公司之间都签订了一份合同，所有公司共签订了份合同．则参加交易会的公司有（    ） A．家 B．9家 C．10家 D．11家 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设共有家公司参加商品交易会，根据题意列出方程，然后解方程并检验即可，读懂题意，找出等量关系，列出方程是解题的关键． 【详解】解：设共有家公司参加商品交易会， 根据题意得：，整理得：， 解得：，（舍去）， ∴共有家公司参加商品交易会， 故选：． 4.要组织一次排球邀请赛，参赛的每个队之间都要比赛一场，根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛．设比赛组织者应邀请个队参赛，则满足的关系式为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了列一元二次方程解决实际问题，解题的关键是根据题意找准等量关系．根据单循环赛总场数的计算公式，结合总比赛场数，建立方程求解． 【详解】解：设比赛组织者应邀请个队参赛，每个队需与其他个队比赛一场，但每场比赛被计算了两次，因此总比赛场数为， 根据题意，总场数为场， 故方程为． 故选：B． 5.初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）．已知全组共赠送了306张卡片，如果该兴趣小组的人数为x人，根据题意，下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元二次方程的应用．每两名成员之间互相赠送一张卡片，即每对成员之间交换两张卡片．总卡片数等于成员数乘以每人赠送的卡片数，再考虑互赠关系即可建立方程． 【详解】解：设兴趣小组有人，每名成员需要给其他人各赠送一张卡片，因此每人赠送张卡片．全组共有人，总赠送卡片数为． 根据题意，总卡片数为306张，故方程为， 故选：B． 6.某地计划三年内投入1900万元资金进行生态建设，以此带动本地旅游业的发展，本年度当地旅游业收入估计为400万元，如果在今后的三年内（本年度为第一年）每年旅游业的收入比上年增长百分数相同，则三年内旅游业的总收入恰好等于投资总额，设旅游业的收入比上年增长的百分数为x，则下列方程正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． 根据每年的增长率相同，可以列出方程，本题得以解决． 【详解】设旅游业的收入比上年增长的百分数为x， 根据题意得，． 故选：D． 7.为深化疫情防控国际合作、共同应对全球公共卫生危机，我国有序开展医疗物资出口工作．2020年10月，国内某企业口罩出口订单额为1000万元，2020年12月该企业口罩出口订单额为1210万元． （1）求该企业2020年10月到12月口罩出口订单额的月平均增长率； （2）按照（1）的月平均增长率，预计该企业2021年1月口罩出口订单额为多少万元？ 【答案】(1) (2)2021年1月订单额为万元 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）设该企业2020年10月到12月口罩出口订单额的月平均增长率为x，根据2020年10月及12月该企业口罩出口订单额，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其正值即可得出结论； （2）根据该企业2021年1月口罩出口订单额=该企业2020年12月口罩出口订单额×（1+增长率），即可求出结论． 【详解】（1）设月平均增长率为，则， 解得：，（舍去）， 答：月平均增长率是． （2）（万元） 答：2021年1月订单额为万元． 8.太原迎泽公园是太原市内最大的综合性文化休闲公园，其间种植了数万株观赏树木、桥、廊、亭、榭多不胜数．如图，相关部门计划在公园内一块长为32米，宽为20米的近似矩形湖面上修筑宽度固定的观景长廊（图中阴影部分），要使湖面剩余部分（空白部分）的面积为540平方米，则长廊的宽为_____米． 【答案】2 【分析】设长廊的宽为x米，可得出剩余的部分可合成长为米，宽为米的矩形，根据剩余部分的面积为540平方米，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【详解】解：∵长廊的宽为x米， ∴剩余的部分可合成长为米，宽为米的矩形． 依题意得：， 解得：，（舍去）． 故答案为：2． 9.如图，利用一面墙（墙长25米），用总长度49米的栅栏（图中实线部分）围成一个矩形围栏，且中间共留两个1米的小门，设栅栏长为x； （1）AB=_______米（用含x的代数式表示）； （2）若矩形围栏面积为210平方米，求栅栏的长． 【答案】(1) (2)的长为10米 【分析】本题考查了一元二次方程的应用、列代数式以及根的判别式； （1）设栅栏长为米，根据栅栏的全长结合中间共留2个1米的小门，即可用含的代数式表示出的长； （2）根据矩形围栏面积为210平方米，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较大值即可得出结论． 【详解】（1）解：设栅栏长为米， ∵栅栏的全长为49米，且中间共留两个1米的小门， ∴（米）， 故答案为： （2）解：依题意，得：， 整理，得：， 解得：． 当时，，不合题意，舍去， 当时，，符合题意， 答：栅栏的长为10米． 10.某商店将进价为8元的商品按每件 10 元出售，每天可销售 200 件．若这种商品每件涨元，其销量就会减少10件，要使利润为640元，需将售价定为x元，下列列方程正确的是（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是一元二次方程的应用．读懂题意，找到等量关系准确地列出方程是解题的关键．设售价为x元，则利用每一件的销售利润×每天售出的数量=每天利润，列方程即可． 【详解】解：设售价为x元，根据题意列方程得． 故答案为：B 11.某商场将进货价为元的台灯以元售出，1月份销售个，月份和3月份这种台灯销售量持续增加，在售价不变的基础上，3月份的销售量达到个，设月份和3月份两个月的销售量月平均增长率不变． （1）求月份和3月份两个月的销售量月平均增长率； （2）从月份起，在3月份销售量的基础上，商场决定降价促销经调查发现，售价在35元至40元范围内，这种台灯的售价每降价元，其销售量增加个若商场要想使月份销售这种台灯获利4800元，则这种台灯售价应定为多少元？ 【答案】(1)月份和月份两个月的销售量月平均增长率为 (2)这种台灯售价应定为元 【分析】本题主要考查了一元二次方程的应用， 对于（1），先设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为，得到形如的方程，求出解可得答案； 对于（2），设这种台灯售价应定为元，根据单件利润乘以销售量等于总利润得出方程，求出解，再根据要求得出符合题意的答案. 【详解】（1）解：设月份和月份两个月的销售量月平均增长率为， 根据题意，得， 解得，舍去， 答：月份和月份两个月的销售量月平均增长率为； （2）解：设这种台灯售价应定为元， 根据题意，得， 解得，， 售价在元至元范围内， ， 答：这种台灯售价应定为元． 12.“端午杨梅挂篮头，夏至杨梅满山头”．端午期间，某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，后期因杨梅的大量上市，水果店决定采用降价促销的方式吸引顾客，若已知杨梅售价每千克下降1元，则每天能多售出3千克（同一天中售价不变）． （1）设售价每千克下降元，则每天能售出_______千克（用含的代数式表示）； （2）当杨梅每千克售价为多少元时，每天能获得9072元的销售额； （3）水果店定了“每天售出杨梅的销售额为10000元”的“小目标”，按题目的条件能否达成这个“小目标”？若能达成，求出达成时的售价；若不能达成，请说明理由． 【答案】(1) (2)54元或56元 (3)不能达成这个“小目标”，理由见解析 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及根的判别式，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键． （1）根据某水果店以每千克60元的价格出售杨梅，每天可卖出150千克，已知杨梅售价每千克下降2元，则每天能多售出6千克（同一天中售价不变）．即可得出结论； （2）设售价每千克下降x元，根据每天能获得9072元的销售额，列出一元二次方程，解之取符合题意的值即可； （3）设售价每千克下降m元，根据每天售出杨梅的销售额为10000元，列出一元二次方程，再由各边的判别式即可得出结论． 【详解】（1）由题意可知，每天能售出：千克，即千克， 故答案为： （2）解∶ 设售价每千克下降元 由题意得： 整理得： 解得：， ∴或 答：每千克售价为54元或56元时，每天能获得9072元的销售额 （3）解∶ 按题目的条件不能达成这个“小目标”，理由如下： 设售价每千克下降元 由题意得： 整理得： ∴ ∴不能达到这个“小目标”． 13.如图，在中，，，，动点P从点A开始沿着边向点B以的速度移动（不与点B重合），动点Q从点B开始沿着边向点C以的速度移动（小与点C重合）．若P、Q两点同时移动； （1）当移动几秒时，△BPQ的面积为． （2）设四边形的面积为，当移动几秒时，四边形的面积为？请说明理由． 【答案】(1)当移动2秒或4秒时，的面积为； (2)当移动3秒时，四边形的面积为，理由见解析． 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，三角形的面积． （1）求运动时间为t秒时、的长度，根据三角形的面积公式列一元二次方程计算即可； （2）令的面积减去的面积等于108即可得出关于t的一元二次方程，求解即可． 【详解】（1）解：运动时间为t秒时（），，， ∴， 解得：，． 答：当移动2秒或4秒时，的面积为； （2）解： ， 解得：． 答：当移动3秒时，四边形的面积为． 14.如图，在矩形中，，，点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动．如果P，Q分别从A，B同时出发，当点Q运动到点C时，两点停止运动．设运动时间为t秒，（）．    （1）当t为何值时，点B在的垂直平分线上？ （2）当t为何值时，的长度等于？ （3）连接，是否存在t的值，使得的面积等于？若存在，请求出此时t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，点B在的垂直平分线上 (2)当时，的长度等于 (3)存在，当时，使得的面积等于 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，勾股定理及矩形的性质，熟练掌握勾股定理是解题的关键． (1)先求出，，再根据线段垂直平分线的性质构造方程求解即可； (2)先求出，，再利用勾股定理建立方程，解方程即可得到答案； (3)先求出，再根据三角形面积计算公式得到方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ∵B在的垂直平分线上， ， ， 解得， ∴当时，点B在的垂直平分线上； （2）∵点P从点A开始沿边向终点B以的速度移动，与此同时，点Q从点B开始沿边向终点C以的速度移动，设运动时间为t秒， ， ， ， ∵四边形是矩形， ， 由勾股定理得， ， 即 解得，， 舍去 ∴当时，的长度等于； （3）由题意得，， 的面积等于， ， ， 化简得 或 舍去， ∴当时，使得的面积等于． 15.如图，矩形，cm，cm，点P以2cm/s的速度从顶点A出发沿折线A－B－C向点C运动，同时点Q以lcm/s的速度从顶点C出发向点D运动，当其中一个动点到达末端停止运动时，另一点也停止运动． （1）问两动点运动几秒，使四边形的面积是矩形面积的； （2）问两动点经过多长时间使得点P与点Q之间的距离为？若存在，求出运动所需的时间；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)秒 (2)秒或秒 【分析】（1）要使四边形的面积是矩形面积的，此时点P应在上，才是四边形．根据路程=速度时间，分别用t表示、的长，再根据梯形的面积公式列方程求解； （2）根据勾股定理列方程即可，注意分情况讨论． 【详解】（1）解：设两动点运动t秒，使四边形的面积是矩形面积的 ，， ， 解得： ∴两动点运动秒，使四边形的面积是矩形面积的． （2）设两动点经过t秒运动后，使点P与点Q之间的距离为， ①当时， 当点在点上方时，则，即， 过点作于点， 则，，， ∴， 在Rt中， ∵，，， ∴， ∴， 解得（舍），． 当点在点下方时，则，即， 过点作于点， 则，，， ∴， 在Rt中， ∵，，， ∴， ∴， 解得，（舍）． ②当时，则 ∵，， ∴， ∴， 在Rt中， ∵，，， ∴ 有， 得方程：， ， 此方程无实根． 综上所述，当点P运动s或s时，点P与点Q之间的距离为． 第 1 页 共 10 页 学科网（北京）股份有限公司 $$