22.1.4-二次函数y＝ax^2＋bx＋c的图象和性质 教案 2024--2025学年人教版九年级数学上册

22.1.4　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 第1课时　二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象和性质 教学目标： 1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k. 2.能熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴及最值. 2.能根据所给的自变量的取值范围画二次函数的图象. 教学重难点： 1.会用配方法或公式法将一般式y＝ax2＋bx＋c化成顶点式y=a(x-h)2+k. 2.能熟练求出二次函数一般式y＝ax2＋bx＋c的顶点坐标、对称轴及最值. 教学内容： 回顾旧知： ①二次函数顶点式y＝a(x－h)2＋k的性质 y=a(x-h)2+k(a≠0) a＞0 a＜0 开口方向 向上 向下 顶点坐标 (h ,k) (h ,k) 对称轴 x=h x=h 增减性 当x<h时， y随着x的增大而减小. 当x>h时， y随着x的增大而增大. 当x<h时, y随着x的增大而增大. 当x>h时， y随着x的增大而减小. ( 抛物线 y=a(x-h) 2 +k(a≠0) 的图象可由 y=ax 2 的图象通过 上下 和 左右 平移得到. )最 值 x=h时,ymin=k x=h时,ymax=k ②用配方法将y＝ax2＋bx＋c化成y＝a(x－h)2＋k的形式，则h＝ － ，k＝ ，则二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象的顶点坐标是(－ , )，对称轴是x＝－ ，当x＝－ 时，二次函数y＝ax2＋bx＋c有最大(最小)值，当a>0时，函数y有最小值，当a<0时，函数y有最大值． 教学过程： 探究新知 阅读教材P37－39，自学“思考”和“探究”，掌握将一般式化成顶点式的方法． 自学反馈 知识点1 画出二次函数y=ax2+bx+c的图象. 我们已经知道y=a(x-h)2+k的图象和性质，能否利用这些知识来讨论 y=x2-6x+21的图象和性质？ 【思考1】怎样将y=x2-6x+21化成y=a(x-h)2+k的形式？ 配方可得：y=x2-6x+21 =(x2-12x)+21 =(x2-12x+36)-18+21 =(x-6)2+3 想一想：配方的方法及步骤是什么？ 配 方 y=x2-6x+21 y=(x-6)2+3 你知道是怎样配方的吗？ y=x2-6x+21 =(x2-12x)+21 (1)“提”：提出二次项系数；=(x2-12x+36)-18+21 (2)“配”：括号内配成完全平方式； =(x-6)2+3 (3)“化”：化成顶点式. 【提示】配方后的表达式通常称为配方式或顶点式. 【思考2】你能说出y=(x-6)2+3的对称轴及顶点坐标吗？ 答：对称轴是直线x=6,顶点坐标是（6，3）. 【思考3】二次函数y=(x-6)2+3可以看作是由y=x2 怎样平移得到的？ 答：平移方法1： 先向上平移3个单位，再向右平移6个单位得到的； 平移方法2： 先向右平移6个单位，再向上平移3个单位得到的. 【思考4】如何画二次函数y=x2-6x+21的图象？ y=x2-6x+21 y=(x-6)2+3 x ... 3 4 5 6 7 8 ... y=x2-6x+21 ... 7.5 5 3.5 3 3.5 7.5 ... 描点法：列表，描点，连线. 1.利用图形的对称性列表 2.然后描点画图，得到图象如右图 教师点拨：先将此函数解析式化成顶点式，再解其他问题，在画函数图象时，要在顶点的两边对称取点，画出的抛物线才能准确反映这个抛物线的特征． 【思考5】结合二次函数y=x2-6x+21的图象，说出其性质. 开口方向：向上 对称轴：直线x=6 顶点：(6,3) 当x<6时，y随x的增大而减小； 当x>6时，y随x的增大而增大. 探究新知 素养考点 1 画二次函数y=ax2+bx+c的图象并且说出它的性质 例1 画出函数y=-x2+x-的图象，并说明这个函数具有哪些性质. 解:函数y=-x2+x- 通过配方可得 y=-(x-1)2 - 2 先列表： x ... -2 -1 0 1 2 3 4 ... y ... -6.5 -4 -2.5 -2 -2.5 -4 -6.5 ... y=-x2+x- y=-(x-1)2 - 2 然后描点、连线，得到图象如下图： 由图象可知，这个函数具有如下性质： 开口方向：向下 顶点坐标：（1，-2） 对称轴：直线x=1 最值：x=1时，y最大值=-2 当x＜1时，函数值y随x的增大而增大； 当x＞1时，函数值y随x的增大而减小； 当x=1时，函数取得最大值，y最大值=-2. 巩固练习 变式题1 求二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴和顶点坐标. 解：y=2x2-8x+7 =2（x2-4x）+7 =2(x2-4x+4)-8+7 =2(x-2)2-1 因此，二次函数y=2x2-8x+7图象的对称轴是直线x=2，顶点坐标为(2,-1). 知识点 2 二次函数y=ax2+bx+c 的图象与性质 根据下列关系你能发现二次函数y=ax2+bx+c的图象和性质吗？ y=ax2+bx+c(一般式) y=a(x+)2 +（顶点式） 显然二次函数y=a(x+)2 +的顶点坐标为（-，）, 对称轴为x=-. 因此，抛物线的对称轴是 x=- ，顶点是 （-，) . 二次函数的增减性： 二次函数y=ax2+bx+c的图象：顶点坐标（-，) 课堂小结1： 素养考点 2 指出二次函数y=ax2+bx+c的有关性质 例2 二次函数y=x2+2x﹣3的开口方向、顶点坐标分别是（　　） A．开口向上，顶点坐标为（﹣1，﹣4） B．开口向下，顶点坐标为（1，4） C．开口向上，顶点坐标为（1，4） D．开口向下，顶点坐标为（﹣1，﹣4） 解析 ∵二次函数y=x2+2x﹣3的二次项系数为a=1＞0， ∴函数图象开口向上， ∵y=x²+2x﹣3=（x+1）2﹣4， ∴顶点坐标为（﹣1，﹣4）． 所以选择A. 方法点拨：把函数的一般式化为顶点式，再由定点式确定开口方向、对称轴、顶点及其他性质. 课堂小结2： 配方法 y=ax2+bx+c（a≠0） y=a(x+)2 + (一般式) 公式法 （顶点式） 顶点坐标：（-，) 对称轴：直线x=- 学生试述：这节课你学到了些什么？ 巩固练习 变式题2 填一填. 顶点坐标 对称轴 最值 y=-x2+2x (1,1) 直线x=1 最大值1 y=-2x2-1 (0,-1) y轴（或直线x=0） 最大值-1 y=9x2+6x-5 (-,-6) 直线x=- 最小值-6 教师点拨：注意h值的符号；配方法是数学里的一个重要方法，需多加练习，熟练掌握；抛物线的顶点坐标也可以根据公式直接求解． 教学评价： 二次函数的一般式能够准确地描述开口方向，顶点，对称轴等，通过对二次函数一般式的图象和性质的评价，可以更好地理解和利用二次函数进行问题解决和数学推导. 教学反思：： 本节课必须学会画二次函数y＝ax2＋bx＋c的图象，能将二次函数一般式化为顶点式，掌握顶点坐标公式，会求抛物线的对称轴、顶点坐标及二次函数的最值.通过两种不同函数解析式互化，体验探究的乐趣，通过图象和配方法描述二次函数y＝ax2＋2x＋c(a≠0)的性质，体会数形结合的思想. 学科网（北京）股份有限公司 $$