21.3实际问题与一元二次方程 讲义　 2025-2026学年 人教版（2012）九年级数学上册

21.3实际问题与一元二次方程 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】循环比赛、传播问题 3 【题型2】增长率、销售问题 3 【题型3】图形面积问题 4 【题型4】数字问题 6 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 1.（2025春•石景山区期末）某科技产业园区2022年的营业收入为5亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，2024年的营业收入达到7.2亿元，求该产业园区这两年营业收入的年平均增长率．设该产业园区这两年营业收入的年平均增长率为x,依题意，可列方程为（　　） A．5（1+x）2=7.2 B．5（1+2x）=7.2 C．5（1-x）2=7.2 D．7.2（1+x）2=5 【知识点2】一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 1.（2024春•牟平区期中）某批发店将进价为4元的小商品按5元卖出时，可卖出500件，已知这种商品每件涨价1元，其销售量就减少10件，若要赚得4100元利润，售价应定为（　　） A．45元 B．14元 C．45元或14元 D．50元 2.（2024秋•临高县期中）临高教育局要组织一次篮球联赛，赛制为单循环（每两队都赛一场），计划安排36场比赛，则参加比赛的球队有（　　）支． A．7 B．8 C．9 D．10 【题型1】循环比赛、传播问题 【典型例题】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出(　　) A.2根小分支 B.3根小分支 C.4根小分支 D.5根小分支 【举一反三1】班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为(　　) A.x(x－1)=90 B.x(x－1)=2×90 C.x(x－1)=90÷2 D.x(x＋1)=90 【举一反三2】庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有            队参加比赛． 【举一反三3】九年级某班的每位同学都将自己的相片向全班其他同学各赠送一张作为留念，全班共送出1560张相片，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程    ． 【举一反三4】某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，求八年级有多少个班级． 【题型2】增长率、销售问题 【典型例题】随州市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是(　　) A.20(1＋2x)=28.8 B.28.8(1＋x)2=20 C.20(1＋x)2=28.8 D.20＋20(1＋x)＋20(1＋x)2=28.8 【举一反三1】2020年某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为15000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增．为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到21600个，则口罩日产量的月平均增长率为（　　） A.10% B.15% C.20% D.25% 【举一反三2】在过去的2023年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 　    　元． 【举一反三3】新青年商店从厂家以每件21元的价格购得一批商品，出售时，每件a元，则可卖出(350－10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，该商店计划要赚400元，需要卖出多少件该商品？每件商品的售价应为多少？ 【举一反三4】在四川某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年，共种植288亩． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 【题型3】图形面积问题 【典型例题】如图1，有一张长32cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是130cm2，则纸盒的高为（　　） A.2cm B.2.5cm C.3cm D.4cm 【举一反三1】如图，在渝中区的劳动技能课程中，小张同学将一张长16cm，宽12cm的矩形纸板，剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分恰好制作成底面积为48cm2的有盖的长方体工艺盒，则剪去的正方形的边长为（　　） A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　     　s后，△AEF的面积恰为12cm2． 【举一反三3】京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米． （1）求原计划每天摊铺沥青多少米． （2）如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米． 【举一反三4】如图，九年级学生要设计一幅幅宽20 cm、长30 cm的图案，其中有宽度相等的一横两竖的彩条.如果要使彩条所占的面积是图案的一半.求彩条的宽度. 【题型4】数字问题 【典型例题】如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)，若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为(　　) A.32 B.126 C.135 D.144 【举一反三1】有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为(　　) A.62 B.44 C.53 D.35 【举一反三2】有两个连续整数，它们的平方和为25，则这两个数是(　　) A.3，4 B.－3，－4 C.－3，4 D.3，4或－3，－4 【举一反三3】已知一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于这个两位数，则这个两位数是___________. 【举一反三4】已知两个数的差等于2，积等于15，则这两个数中较大的是________. 【举一反三5】两个数的和为8，积为9.75.求这两个数. 【举一反三6】 “五一国际劳动节”是世界上80多个国家的全国性节日，中国中央人民政府政务院于1949年12月作出决定，将5月1日确定为“劳动节”．如图是2024年5月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为136，求这个最小的数（请用方程知识解答）． 学科网（北京）股份有限公司 $ 21.3实际问题与一元二次方程 xix   快速定位题型 题 型 目 录 【题型1】循环比赛、传播问题 3 【题型2】增长率、销售问题 5 【题型3】图形面积问题 7 【题型4】数字问题 11 xix   夯实必备知识 新 知 梳 理 【知识点1】由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 1.（2025春•石景山区期末）某科技产业园区2022年的营业收入为5亿元，随着各项扶持政策的落实以及创新技术的应用，2024年的营业收入达到7.2亿元，求该产业园区这两年营业收入的年平均增长率．设该产业园区这两年营业收入的年平均增长率为x,依题意，可列方程为（　　） A．5（1+x）2=7.2 B．5（1+2x）=7.2 C．5（1-x）2=7.2 D．7.2（1+x）2=5 【答案】A 【分析】设该产业园区这两年营业收入的年平均增长率为x,根据该市2022年及202年的营业收入，即可得出关于x的一元二次方程，此题得解． 【解答】解：根据题意得：5（1+x）2=7.2． 故选：A． 【知识点2】一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率=增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2=后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 1.（2024春•牟平区期中）某批发店将进价为4元的小商品按5元卖出时，可卖出500件，已知这种商品每件涨价1元，其销售量就减少10件，若要赚得4100元利润，售价应定为（　　） A．45元 B．14元 C．45元或14元 D．50元 【答案】C 【分析】设售价应定为x元，则销售量为500-10（x-5）=550-10x件，根据总利润=单件利润×销售数量结合总利润为4100元，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【解答】解：设售价应定为x元，则销售量为500-10（x-5）=550-10x件， 根据题意得：（x-4）（550-10x）=4100， 整理得：x2-59x+630=0， 解得：x1=14，x2=45． 故选：C． 2.（2024秋•临高县期中）临高教育局要组织一次篮球联赛，赛制为单循环（每两队都赛一场），计划安排36场比赛，则参加比赛的球队有（　　）支． A．7 B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】设参加比赛的球队有x支，利用比赛的总场数=参赛球队数×（参赛球队数-1）÷2，可列出关于x的一元二次方程，解之取其符合题意的值，即可得出结论． 【解答】解：设参加比赛的球队有x支，根据题意，得 x（x-1）=36， 整理，得x2-x-72=0， 解方程，得x1=9，x2=-8（不符合题意，舍去）， ∴参加比赛的球队有9支． 故选：C． 【题型1】循环比赛、传播问题 【典型例题】某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干和小分支的总数是13，则每个支干长出(　　) A.2根小分支 B.3根小分支 C.4根小分支 D.5根小分支 【答案】B 【解析】设每个支干长出x个小分支，根据题意得1＋x＋x•x=13，整理得x2＋x－12=0，解得x1=3，x2=－4(舍去).综述,每个支干长出3个小分支. 【举一反三1】班上数学兴趣小组的同学在元旦时，互赠新年贺卡，每两个同学都相互赠送一张，小明统计出全组共互送了90张贺年卡，那么数学兴趣小组的人数是多少？设数学兴趣小组人数为x人，则可列方程为(　　) A.x(x－1)=90 B.x(x－1)=2×90 C.x(x－1)=90÷2 D.x(x＋1)=90 【答案】A 【解析】数学兴趣小组人数为x人，由题意得x(x－1)=90，因为互赠贺卡，不要除以2. 【举一反三2】庆“元旦”，市工会组织篮球比赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），共进行了45场比赛，这次有            队参加比赛． 【答案】10 【解析】解：设这次有x队参加比赛，则此次比赛的总场数为场，根据题意列出方程得： =45， 整理，得：x2-x-90=0， 解得：x1=10，x2=-9（不合题意舍去）， 所以，这次有10队参加比赛． 答：这次有10队参加比赛． 【举一反三3】九年级某班的每位同学都将自己的相片向全班其他同学各赠送一张作为留念，全班共送出1560张相片，如果全班有x名学生，根据题意，可列方程    ． 【答案】x（x-1）=1560． 【解析】解：全班有x名学生，那么每名学生送照片（x-1）张， ∴全班应该送照片x（x-1）， 则可列方程为：x（x-1）=1560． 故答案为：x（x-1）=1560． 【举一反三4】某校八年级组织一次篮球赛，各班均组队参赛，赛制为单循环形式（每两班之间都赛一场），共需安排15场比赛，求八年级有多少个班级． 【答案】解：设八年级有x个班， x(x−1)＝15， x2−x＝15， x2-x-30=0， （x-6）（x+5）=0， 解得x1=6，x2=-5（舍）， 则八年级有6个班． 【题型2】增长率、销售问题 【典型例题】随州市“桃花节”观赏人数逐年增加，据有关部门统计，2014年约为20万人次，2016年约为28.8万人次，设观赏人数年均增长率为x，则下列方程中正确的是(　　) A.20(1＋2x)=28.8 B.28.8(1＋x)2=20 C.20(1＋x)2=28.8 D.20＋20(1＋x)＋20(1＋x)2=28.8 【答案】C 【解析】设观赏人数年均增长率为x，那么依题意得20(1＋x)2=28.8. 【举一反三1】2020年某口罩生产厂生产的口罩1月份平均日产量为15000个，1月底因突然爆发新冠肺炎疫情，市场对口罩需求量大增．为满足市场需求，工厂决定从2月份起扩大产能，3月份平均日产量达到21600个，则口罩日产量的月平均增长率为（　　） A.10% B.15% C.20% D.25% 【答案】C 【解析】解：设口罩日产量的月平均增长率为x， 根据题意得：15000（1+x）2＝21600， 解得x＝0.2或x＝﹣2.2（舍去）， ∴口罩日产量的月平均增长率为20%， 故选：C． 【举一反三2】在过去的2023年，直播电商一词，我们并不陌生．原本以内容为主的视频平台在入局电商后，大力开拓直播带货模式，并实现高速增长．某电商在抖音上对一款成本价为40元的小商品进行直播销售，如果按每件60元销售，每天可卖出20件．通过市场调查发现，每件小商品售价每降低5元，日销售量增加10件．若日利润保持不变，商家想尽快销售完该款商品，每件售价应定为 　    　元． 【答案】50． 【解析】解：设售价应定为x元，则每件的利润为（x﹣40）元，日销售量为件， 依题意，得：（x﹣40）（140﹣2x）＝（60﹣40）×20， 整理，得：x2﹣110x+3000＝0， 解得：x1＝50，x2＝60． 故商家想尽快销售完该款商品，售价应定为50元． 故答案为：50． 【举一反三3】新青年商店从厂家以每件21元的价格购得一批商品，出售时，每件a元，则可卖出(350－10a)件，但物价局限定每件商品加价不能超过进价的20%，该商店计划要赚400元，需要卖出多少件该商品？每件商品的售价应为多少？ 【答案】解：(a－21)(350－10a)=400,解得a1=25，a2=31(超过20%，舍去)， 所以350－10a=100， 答：需要卖出100件该商品，每件商品的售价应为25元. 【举一反三4】在四川某地一村民，2021年承包种植橙子树200亩，由于第一年收成不错，该村民每年都增加种植面积，到2023年，共种植288亩． （1）求该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率． （2）某水果批发店销售该种橙子，市场调查发现，当橙子售价为18元/千克时，每天能售出120千克，售价每降低2元，每天可多售出30千克，为了减少库存，该店决定降价促销，已知该橙子的平均成本价为8元/千克，若使销售该种橙子每天获利840元，则售价应降低多少元？ 【答案】解：（1）设该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为x， 根据题意得：200（1+x）2＝288， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）． 答：该村民这两年种植橙子亩数的平均增长率为20%； （2）设售价应降价y元，则每千克的销售利润为（18﹣y﹣8）元，每天能售出（120+30×）千克， 根据题意得：（18﹣y﹣8）（120+30×）＝840， 整理得：y2﹣2y﹣24＝0， 解得：y1＝6，y2＝﹣4（不符合题意，舍去）． 答：售价应降低6元． 【题型3】图形面积问题 【典型例题】如图1，有一张长32cm，宽16cm的长方形硬纸片，裁去角上2个小正方形和2个小长方形（图中阴影部分）之后，恰好折成如图2所示的有盖纸盒．若纸盒的底面积是130cm2，则纸盒的高为（　　） A.2cm B.2.5cm C.3cm D.4cm 【答案】C 【解析】解：设当纸盒的高为x cm时，纸盒的底面积是130cm2， 依题意，得： ×（16﹣2x）＝130， 化简，得：x2﹣24x+63＝0， 解得：x1＝3，x2＝21． 当x＝3时，16﹣2x＝10＞0，符合题意； 当x＝21时，16﹣2x＝﹣26＜0，不符合题意，舍去， 答：若纸盒的底面积是130cm2，纸盒的高为3cm． 故选：C． 【举一反三1】如图，在渝中区的劳动技能课程中，小张同学将一张长16cm，宽12cm的矩形纸板，剪去两个全等的正方形和两个全等的矩形后，剩余部分恰好制作成底面积为48cm2的有盖的长方体工艺盒，则剪去的正方形的边长为（　　） A.1.5 B.2 C.2.5 D.3 【答案】B 【解析】解：设剪去正方形的边长为x cm，则长方体盒子的底面长为（12﹣2x）cm，宽为＝（8﹣x）cm． 依题意得：（12﹣2x）（8﹣x）＝48， 整理得：x2﹣22x+72＝0， 解得：x1＝2，x2＝12（不符合题意，舍去）． 答：剪去的正方形的边长为2cm． 故选：B． 【举一反三2】如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm，点E从A点出发，沿射线AB运动，速度为2cm/s，点F从点C出发，沿线段CA运动，速度为1cm/s，连接EF．E、F两点同时出发，当点F到达点A时，点E也停止运动，请问经过 　     　s后，△AEF的面积恰为12cm2． 【答案】4或6． 【解析】解：过E作EH⊥AC于H，如图： 设运动时间为t s， ∵Rt△ABC中，∠BAC＝30°，BC＝5cm， ∴AC＝2BC＝10cm， 根据题意得：AE＝2t cm，CF＝t cm， ∴AF＝（10﹣t）cm，EH＝AE＝t cm， ∵△AEF的面积恰为12cm2， ∴t（10﹣t）＝12， 解得t＝4或t＝6， ∴经过4s或6s后，△AEF的面积恰为12cm2． 故答案为：4或6． 【举一反三3】京哈高速公路辽宁绥中至盘锦改扩建工程已经施工，计划2026年10月底建成通车．在施工中，某路段为了避免冬季低温对沥青黏度带来的不利影响，原计划30天的摊铺任务，仅用了12天就全部完成．实际每天摊铺的长度比原计划多120米． （1）求原计划每天摊铺沥青多少米． （2）如图是京哈高速公路辽宁段某服务区的一幅旅游广告图，整幅图是在两张风景区图片的基础上，四周及两张图中间镶以宽度相等的木质框架而成．若两张风景区图片的长都为3米，宽都为2米，镶上木质框架后整幅旅游广告图的面积是两张风景区图片总面积的．求镶上的木质框架的宽为多少米． 【答案】解：（1）设原计划每天摊铺沥青x米，则实际每天摊铺沥青（x+120）米， 根据题意得：30x＝12（x+120）， 解得：x＝80． 答：原计划每天摊铺沥青80米； （2）设镶上的木质框架的宽为y米，则镶上木质框架后整幅旅游广告图的长为3y+3×2＝（3y+6）米，宽为（2y+2）米， 根据题意得：（3y+6）（2y+2）＝2×3×2×， 整理得：y2+3y﹣＝0， 解得：y1＝0.2，y2＝﹣3.2（不符合题意，舍去）． 答：镶上的木质框架的宽为0.2米． 【举一反三4】如图，九年级学生要设计一幅幅宽20 cm、长30 cm的图案，其中有宽度相等的一横两竖的彩条.如果要使彩条所占的面积是图案的一半.求彩条的宽度. 【答案】解：设彩条的宽为x cm，则有(30－2x)(20－x)=20×30÷2， 解得x1=5，x2=30(舍去). 答：彩条宽5 cm. 【题型4】数字问题 【典型例题】如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)，若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和为(　　) A.32 B.126 C.135 D.144 【答案】D 【解析】根据图象可以得出，圈出的9个数，最大数与最小数的差为16，设最小数为：x，则最大数为x＋16，根据题意得出x(x＋16)=192，解得x1=8，x2=－24(不合题意舍去)，故最小的三个数为8，9，10，下面一行的数字分别比上面三个数大7，即为15，16，17，第3行三个数，比上一行三个数分别大7，即为22，23，24，故这9个数的和为8＋9＋10＋15＋16＋17＋22＋23＋24=144. 【举一反三1】有一个两位数，它们的十位数字与个位数字之和为8，如果把十位数字与个位数字调换后，所得的两位数乘以原来的两位数就得1855，则原来的两位数中较大的数为(　　) A.62 B.44 C.53 D.35 【答案】C 【解析】设原来个位为x，则十位上的数字为8－x， 由题意得[10×(8－x)＋x][10x＋8－x]=1855, 解得x=3或x=5， 原来十位上的数字为5， 即原来这个两位数53. 【举一反三2】有两个连续整数，它们的平方和为25，则这两个数是(　　) A.3，4 B.－3，－4 C.－3，4 D.3，4或－3，－4 【答案】D 【解析】设这两个连续整数的第一个数为x，另一个数为(x＋1)， 根据题意列方程得，x2＋(x＋1)2=25， 解得x1=－4，x2=3， 当x=－4时，x＋1=－3； 当x=3时，x＋1=4； 所以，这两个连续整数是－4、－3或3、4. 【举一反三3】已知一个两位数，它的十位数字比个位数字小3，个位数字的平方恰好等于这个两位数，则这个两位数是___________. 【答案】25或36 【解析】设这个两位数的个位数字是x，则十位数字是(x－3)，由题意得x2=10(x－3)＋x解得x1=5，x2=6，当x=5时，x－3=2，当x=6时，x－3=3.所以，这个两位数是25或36. 【举一反三4】已知两个数的差等于2，积等于15，则这两个数中较大的是________. 【答案】5 【解析】设这两个数中的大数为x，则小数为x－2， 由题意，得x(x－2)=15， 解得x1=5，x2=－3， ∴这两个数中较大的数是5. 【举一反三5】两个数的和为8，积为9.75.求这两个数. 【答案】解：设较小的数为x,则较大的数为（8-x）， 由题意，得x（8-x）=9.75， 整理，得4x2-32x+39=0， 解得x1=1.5，x2=6.5＞8-6.5（舍去）， 当x=1.5时，8-x=6.5． 答：这两个数分别为1.5和6.5． 【举一反三6】 “五一国际劳动节”是世界上80多个国家的全国性节日，中国中央人民政府政务院于1949年12月作出决定，将5月1日确定为“劳动节”．如图是2024年5月的月历表，用一个方框在表中圈出六个数（如图所示），若圈出的六个数中，最小的数与最大的数的乘积为136，求这个最小的数（请用方程知识解答）． 【答案】解：设这个最小的数为x,则最大的数为（x+9）． 依题意得x（x+9）=136． 解得x1=8，x2=-17（不合题意，舍去）． 答：这个最小的数为8． 学科网（北京）股份有限公司 $