21.2.4一元二次方程的根与系数的关系讲义-2025-2026学年人教版九年级数学上册

❊21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 思维导图daotu 题型精析 一．根与系数的关系 内容 根与系数的关系的推导 由求根公式可得：，， 1.两根之和：； 2.两根之积：. 【注意】韦达定理的使用前提是△≥0. 题型一 利用韦达定理求方程的根 已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是______．例1 若方程有一个根是，则另一个根是（ ）变1 A．7 B． C． D．2 若是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值. 变2 二．利用韦达定理求代数式的值 内容 代数式变形的目的 将代数式变形为含有与的形式，以便于能够利用韦达定理求代数式的值. 常用的代数式变形 1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.. 题型二 利用韦达定理求代数式的值 已知是方程的两个根，那么= ， ，______，______.例1 设，是方程的两个实数根，则的值是______．例2 若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值．变1 （1）______，______； （2）． 一元二次方程x2+4x+1=0的两个根是x1，x2，则的值为______．（其中x2＞x1）变2 已知，是关于的一元二次方程的两个实数解，若，则的值为（ ）例3 A． B．7 C．或7 D．或7 已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为7，那么m的值是_____．变3 已知关于的一元二次方程有实数根．例4 （1）求的取值范围； （2）方程的两个实数根、满足，求实数的值． 已知关于x的一元二次方程．变4 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若这个方程的两根为，，且满足，求k的值． 题型三 韦达定理与三角形 设直角三角的两条直角边，是方程的两个根，则该直角三角形的斜边为（ ）例1 A． B． C．3 D． 已知△的一条边的长为5，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根．例2 （1）当为何值时，△是以为斜边的直角三角形； （2）当为何值时，△是等腰三角形，并求△的周长． 关于的方程．变1 （1）求证：无论为任何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）以该方程的两根为一个直角三角形的两直角边长，已知该三角形斜边上的中线长为，求实数的值． 已知关于的一元二次方程．变2 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若△的两边，的长是这个方程的两个实数根．第三边的长为6，当△是等腰三角形时，求的值． 已知关于的一元二次方程．例3 （1）求证：无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，该方程的两个根分别是菱形的两条对角线的长，求菱形的面积． 已知关于的一元二次方程为常数）．变3 （1）若方程的两根为菱形相邻两边长，求的值； （2）是否存在满足条件的常数，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 三．韦达定理与代根法 内容 代根法 若是一元二次方程的两个根，则此时既可用韦达定理，也可将或代入方程. 利用代根法降幂 再解决次数较高的题目时，我们可以先利用代根法降幂，再根据韦达定理求解. 题型四 韦达定理与代根法 已知和是方程的两个根，则的值为（ ）例1 A． B． C． D． 若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．变1 设，是方程的两实数根，则 ．例2 已知，是方程的两个实根，则的值为______.变2 已知α，β是方程的两个实数根，则式子的值为（ ）变3 A．3 B．4 C．5 D．6 课后强化 1.已知是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值 2.请写一个两根分别是和的一元二次方程______． 3.已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 4.已知：m、n是方程的两根，则______． 5.若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 6.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，它们分别为． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 7.已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是______；（填写序号） ①；② （2）已知关于的方程是“差根方程”，求的值． （3）已知△是直角三角形，的长为，若△的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 8.已知△的两边，是关于的方程的两个实数根，第三边的长度是6，那么为何值时，△是等腰三角形？ 9.已知关于x的一元二次方程． （1）当m为何值时，该方程有两个实数根？ （2）若边长为的菱形的两条对角线的长分别为该方程两根的2倍，求m的值． 10.已知 ，是一元二次方程的两根，则______． 11.设，是一元二次方程的两根，则等于（ ） A．1 B．5 C．11 D．13 12.设，是方程的两个根，则的值为______． 13.已知实数、满足，，则______． 14.若关于x的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为，则的值为______． 第 1 页 共 6 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 6 页 ❊21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 思维导图 题型精析 一．根与系数的关系 内容 根与系数的关系的推导 由求根公式可得： a acbbx 2 42 1   ， a acbbx 2 42 2   ， 1.两根之和： a b a b a acbb a acbbxx  2 2 2 4 2 4 22 21 ； 2.两根之积： a c a acbb a acbb a acbbxx  2 2222 21 4 4 2 4 2 4 . 【注意】韦达定理的使用前提是△≥0. 题型一 利用韦达定理求方程的根 例 1 已知 2 3 是一元二次方程 2 3 4 0x x   的一个根，则方程的另一个根是______． 变 1 若方程 2 5 0x x n   有一个根是 2 ，则另一个根是（ ） A．7 B． 3 C． 1 2  D．2 变 2 若 73 是方程 062  cxx 的一个根，求方程的另一个根及 c的值. 二．利用韦达定理求代数式的值 内容 第 2 页 共 6 页 代数式变形的目的 将代数式变形为含有 21 xx  与 21xx 的形式，以便于能够利用韦达定理求 代数式的值. 常用的代数式变形 1. 1 2 1 2 1 2 1 1 x x x x x x     ； 2. 2 21 2 1 2 1 2 1 2( )x x x x x x x x   ； 3. 2 2 21 2 1 2 1 2( ) 2x x x x x x    ； 4. 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 x x x x x x x x    2 1 2 1 2 1 2 ( ) 2x x x x x x    ； 5. 2 21 2 1 2 1 2( ) ( ) 4x x x x x x    ； 6. 2 21 2 1 2 1 2 1 2( ) ( ) 4x x x x x x x x        ； 7. 2 21 2 1 2 1 2 1 2| | ( ) ( ) 4x x x x x x x x      ； 8. ab baab b a a b   . 题型二 利用韦达定理求代数式的值 例 1 已知 1 2,x x 是方程 22 3 4 0x x   的两个根，那么 1 2 1 1 x x  = ， 2 21 2x x  ，    1 21 1x x   ______， 1 2x x ______. 例 2 设 1x ， 2x 是方程 2 2 1 0x x   的两个实数根，则 2 1 1 2 x x x x  的值是______． 变 1 若方程 2 2 6 0x x   的两根为 1x ， 2x ，不解方程，求下列代数式的值． （1） 1 2x x  ______， 1 2x x ______； （2） 2 21 2x x ． 变 2 一元二次方程 x2+4x+1=0的两个根是 x1，x2，则 2 1 1 2 x x x x  的值为______．（其中 x2＞x1） 例 3 已知 1x ， 2x 是关于 x的一元二次方程 2 3 2 0x mx m    的两个实数解，若 2 2 1 2 11x x  ，则m的值 为（ ） 第 3 页 共 6 页 A． 1 B．7 C． 1 或 7 D． 3 或 7 变 3 已知关于 x的一元二次方程 2 2 1 0x mx m    的两个实数根的平方和为 7，那么 m的值是_____． 例 4 已知关于 x的一元二次方程  2 22 1 5 0x m x m     有实数根． （1）求m的取值范围； （2）方程的两个实数根 1x 、 2x 满足    1 21 1 3x x m   ，求实数m的值． 变 4 已知关于 x的一元二次方程  2 1 2 0x k x k     ． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若这个方程的两根为 1x ， 2x ，且满足 2 2 1 1 2 23 1x x x x   ，求 k的值． 题型三 韦达定理与三角形 例 1 设直角三角的两条直角边 a，b是方程 22 6 1 0x x   的两个根，则该直角三角形的斜边为（ ） A． 7 B． 2 2 C．3 D． 10 例 2 已知△ ABC 的一条边 BC 的长为 5，另两边 AB 、 AC 的长是关于 x 的一元二次方程 2 ( 1) 3( 2) 0x m x m     的两个实数根． （1）当m为何值时，△ ABC是以 BC为斜边的直角三角形； （2）当m为何值时，△ ABC是等腰三角形，并求△ ABC的周长． 变 1 关于 x的方程    2 2 1 3 0x a x a     ． （1）求证：无论 a为任何实数，该方程总有两个不相等的实数根； 第 4 页 共 6 页 （2）以该方程的两根为一个直角三角形的两直角边长，已知该三角形斜边上的中线长为 35 2 ，求实数 a 的值． 变 2 已知关于 x的一元二次方程 2 ( 1) 2 2 0x k x k     ． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若△ ABC的两边 AB， AC 的长是这个方程的两个实数根．第三边 BC的长为 6，当△ ABC是等腰 三角形时，求 k的值． 例 3 已知关于 x的一元二次方程 2 ( 3) 5 0x k x k     ． （1）求证：无论 k取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当 11k  时，该方程的两个根分别是菱形 ABCD的两条对角线的长，求菱形 ABCD的面积． 变 3 已知关于 x的一元二次方程 2 22( 1) 3 0(x k x k k k      为常数）． （1）若方程的两根为菱形相邻两边长，求 k的值； （2）是否存在满足条件的常数 k，使该方程的两解等于边长为 2的菱形的两对角线长，若存在，求 k的 值；若不存在，说明理由． 三．韦达定理与代根法 内容 代根法 若 、 是一元二次方程 02  cbxax 的两个根，则此时既可用韦达定理，也可 将 或  代入方程. 第 5 页 共 6 页 利用代根法降幂 再解决次数较高的题目时，我们可以先利用代根法降幂，再根据韦达定理求解. 题型四 韦达定理与代根法 例 1 已知 a和b是方程 2 2025 4 0x x   的两个根，则 2 2024a a b  的值为（ ） A． 2023 B．2025 C．2027 D． 2029 变 1 若 ，  是方程 2 2 2025 0x x   的两个实数根，则代数式 2      的值为 ． 例 2 设 1x ， 2x 是方程 2 2024 0x x   的两实数根，则 3 1 22025 2024x x   ． 变 2 已知 1x ， 2x 是方程 2 10 0x x   的两个实根，则 31 1 210x x x  的值为______. 变 3 已知α，β是方程 2 1 0x x   的两个实数根，则式子 4 3  的值为（ ） A．3 B．4 C．5 D．6 课后强化 1.已知 2 3 是方程 2 4 0x x c   的一个根，求方程的另一个根及 c的值 2.请写一个两根分别是 2 和3的一元二次方程______． 3.已知 21 xx， 是一元二次方程 2 5 0x x   的两个实数根，则 2 2 1 1 2 2x x x x  的值是______． 4.已知：m、n是方程 022  xx 的两根，则  )1)(1( 22 nm ______． 5.若关于 x的一元二次方程 2 22 4 1 0x mx m m     有两个实数根 1x ， 2x ，且   1 2 1 22 2 2 20x x x x    ， 则m （ ） A．2或 6 B．3或 5 C．4 D．6 6.已知关于 x的一元二次方程 2 2(2 1) 2 0x m x m     有两个不相等的实数根，它们分别为 ,  ． （1）求 m的取值范围； （2）若 2 2 11   ，求 m的值． 7.已知关于 1x ， 2x 是一元二次方程 2 0ax bx c   的两个实数根，若满足 1 2| | 1x x  ，则此类方程叫做差根 方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是______；（填写序号） ① 2 0x x  ；② 2 4 5 0x x   （2）已知关于 x的方程 2 2 0x ax  是“差根方程”，求 a的值． （3）已知△ ABC是直角三角形， BC的长为 5 ，若△ ABC的两边 AB、 AC 的长是一个“差根方程”的 两个实数根，求出这个差根方程． 第 6 页 共 6 页 8.已知△ ABC的两边 a， b是关于 x的方程 2 2(3 1) 2 2 0x k x k k     的两个实数根，第三边 c的长度是 6， 那么 k为何值时，△ ABC是等腰三角形？ 9.已知关于 x的一元二次方程  2 22 1 3 0x m x m     ． （1）当 m为何值时，该方程有两个实数根？ （2）若边长为 13的菱形的两条对角线的长分别为该方程两根的 2倍，求 m的值． 10.已知 1x ， 2x 是一元二次方程 2 4 1 0x x   的两根，则 2 1 1 25x x x  ______． 11.设 1x ， 2x 是一元二次方程 2 3 0x x   的两根，则 3 21 24 20x x  等于（ ） A．1 B．5 C．11 D．13 12.设 1x ， 2x 是方程 0142  xx 的两个根，则 14 1 2 2 3 1  xxx 的值为______． 13.已知实数 a、b满足 2 3 1 0a a   ， 2 3 1 0b b   ，则 b a a b   ______． 14.若关于 x的一元二次方程  2 23 0 0x x m m m     ，当 1, 2,3, , 2024m   时，相应的一元二次方程的两 根分别记为 1 1 2 2 2024 2024, ; , ; ; ,      ，则 1 1 2 2 2024 2024 1 1 1 1 1 1             的值为______． ❊21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 思维导图daotu 题型精析 一．根与系数的关系 内容 根与系数的关系的推导 由求根公式可得：，， 1.两根之和：； 2.两根之积： 【注意】韦达定理的使用前提是△≥0. 题型一 利用韦达定理求方程的根 已知是一元二次方程的一个根，则方程的另一个根是 ___ ．例1 【答案】/ 【分析】本题考查了根与系数的关系，设方程的另一个根为利用根与系数的关系得，然后解关于t的方程即可． 【详解】解： ∵是一元二次方程的一个根，设方程的另一个根为 ∴根据根与系数的关系得， 解得， 所以方程的另一个根为． 故答案为：． 若方程有一个根是，则另一个根是（ ）变1 A．7 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系．由根与系数的关系知，两根之和为5，可得另一个根为7． 【详解】解：方程有一个根是， 根据一元二次方程的根与系数的关系可知，两根之和为5， 则另一个根为7． 故选：A． 若是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值. 变2 【答案】解：∵ 是此方程的一个根，设另一个解为 则 ， ，即方程的另一个根为 . 二．利用韦达定理求代数式的值 内容 代数式变形的目的 将代数式变形为含有与的形式，以便于能够利用韦达定理求代数式的值. 常用的代数式变形 1.； 2.； 3.； 4.； 5.； 6.； 7.； 8.. 题型二 利用韦达定理求代数式的值 已知是方程的两个根，那么= ， ，______，______.例1 【答案】 【分析】根据根与系数的关系得出，，再变形后代入，即可求出答案． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， ∴； ∵ ∴ 故答案为：，，，． 设，是方程的两个实数根，则的值是______．例2 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 由一元二次方程根与系数的关系可分别求出与的值，再化简要求的式子，代入即可得解． 【详解】解：由方程可知 ， 故答案为：． 若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值．变1 （1）______，______； （2）. 【答案】(1)2，； (2)16． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系即可得出答案； （2）把原式变形为，把（1）中的结果整体代入即可求解． 【详解】（1）解：∵方程的两根为，， ∴，， 故答案为：； （2）解：． 一元二次方程x2+4x+1=0的两个根是x1，x2，则的值为______．（其中x2＞x1）变2 【分析】利用根与系数的关系得到x1+x2=﹣4，x1x2=1，再通过通分和完全平方公式变形得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：根据题意得x1+x2=﹣4，x1x2=1， 所以 =﹣8． 故答案为﹣8 已知，是关于的一元二次方程的两个实数解，若，则的值为（ ）例3 A． B．7 C．或7 D．或7 【答案】A 【分析】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，掌握两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键． 由根与系数的关系可用表示出两根之和与两根之积，代入已知条件可得到关于的方程，即可求得的值．由方程根的情况，根据判别式可求得符合要求的； 【详解】解：∵方程的两个实数根分别为和， ， ， ， 或， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ， 当时，，不符合要求， ， 故选：A． 已知关于x的一元二次方程的两个实数根的平方和为7，那么m的值是_____．变3 【答案】 【分析】由方程一元二次方程有两个实数根，可得，然后把两个实数根的平方和变形为两根之积或两根之和的形式，根据这两种情况确定m的值即可． 【详解】解：∵有两个实数根， 设原方程的两个实数根为a、b，则，， ， 又， ， 解得：或， 当时，，符合题意， 当时，，不符合题意， ， 故答案为：． 已知关于的一元二次方程有实数根．例4 （1）求的取值范围； （2）方程的两个实数根、满足，求实数的值． 【答案】(1) (2)4 【分析】（1）根据方程的系数结合根的判别式，即可得出关于的一元一次不等式，解之即可得出的取值范围； （2）根据方程的系数结合，可得出关于的方程，解之经检验后即可得出结论． 本题考查了根的判别式以及根与系数的关系，解题的关键是：找出关于的方程． 【详解】（1）解： 关于的一元二次方程有实数根， ， 解得：． （2）解：方程的两个实数根、， ∴，， 原式 ∴ ∴ ∴ ∴（与相矛盾，故舍去），． 已知关于x的一元二次方程．变4 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若这个方程的两根为，，且满足，求k的值． 【答案】(1)见解析 (2)， 【分析】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，熟练掌握相关知识点，是解题的关键： （1）求出判别式的符号，即可得证； （2）根据根与系数的关系，得到，整体代入法列出方程进行求解即可． 【详解】（1）证明：∵， ∴， ∴方程总有两个实数根； （2）∵， ∴， ∵， ∴， 解得：，． 题型三 韦达定理与三角形 设直角三角的两条直角边，是方程的两个根，则该直角三角形的斜边为（ ）例1 A． B． C．3 D． 【答案】 【考点】勾股定理；根与系数的关系 【分析】根据根与系数关系求得，，利用完全平方公式求得，然后根据勾股定理求解即可． 【解答】解：由题意可知：，， ， 该直角三角形的斜边为， 故选：． 【点评】本题考查一元二次方程根与系数关系、勾股定理，解答的关键是熟知一元二次方程根与系数的关系：设一元二次方程的两个根为、，则，． 已知△的一条边的长为5，另两边、的长是关于的一元二次方程的两个实数根．例2 （1）当为何值时，△是以为斜边的直角三角形； （2）当为何值时，△是等腰三角形，并求△的周长． 【答案】（1）；（2），周长为13；，周长为11． 【考点】等腰三角形的判定与性质；直角三角形的性质；勾股定理；根与系数的关系 【分析】（1）根据勾股定理结合根与系数的关系进行求解即可； （2）分为腰和为底边两种情况进行求解即可． 【解答】解：（1）由题意，得：，， △是以为斜边的直角三角形， ， ， 解得：或（不合题意，舍去）； ； （2）①当为腰长时，则方程有一个根为5，代入方程，得： ， ， 方程为：， 解得：，， 等腰三角形的三边为：5，5，3， 周长为：； ②当为底边时，则方程有2个相同的实数根， △， ， 方程为：， 解得：， 等腰三角形的周长为：； 综上：周长为11或13． 【点评】本题考查根的判别式，根与系数之间的关系，勾股定理及等腰三角形的性质，熟练掌握各知识点是解题的关键． 关于的方程．变1 （1）求证：无论为任何实数，该方程总有两个不相等的实数根； （2）以该方程的两根为一个直角三角形的两直角边长，已知该三角形斜边上的中线长为，求实数的值． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题解决的关键是依据直角三角形的性质，由已知斜边上的中线长为，能转化为方程的根的关系，从而转化为解方程的问题求解． （1）求证无论a为任何实数，该方程总有两个不等实数根，只要证明根的判别式即可； （2）根据直角三角形的性质，直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半，已知该三角形斜边上的中线长为，即已知直角三角形斜边的长是，即两直角边的平方和是35，利用勾股定理结合根与系数的关系，即可得到关于a的方程，求出a的值． 【详解】（1）证明：∵， ， ， ， ∴无论为任何实数，方程总有两个不相等的实数根． （2）解：由题意，得，即， ∵， ∴， 解得或， 由于方程的两根是三角形的边长，则需满足且， 则， ∴ 已知关于的一元二次方程．变2 （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若△的两边，的长是这个方程的两个实数根．第三边的长为6，当△是等腰三角形时，求的值． 【考点】根的判别式；根与系数的关系；三角形三边关系；等腰三角形的性质 【分析】（1）证明△即可； （2）求出方程的解，根据△是等腰三角形分类讨论即可． 【解答】（1）证明：△ ， 方程总有两个实数根； （2）解：原方程分解因式得：， ，， 当等腰三角形的腰是2时，，不合题意， 等腰三角形的腰是6， ， ． 故的值为7． 【点评】本题考查了根的判别式，解一元二次方程，解题的关键是对原方程进行因式分解，求出方程的根． 已知关于的一元二次方程．例3 （1）求证：无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，该方程的两个根分别是菱形的两条对角线的长，求菱形的面积． 【答案】（1）证明过程见解答； （2）3． 【考点】根的判别式；根与系数的关系；菱形的性质 【分析】（1）根据△，可得出△，由偶次方的非负性，可得出，进而可得出，即△，再利用“当△时，方程有两个不相等的实数根”，即可证出：无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）代入，可得出原方程为，利用两根之积等于，可得出，再利用菱形的面积对角线的乘积，即可求出菱形的面积． 【解答】（1）证明：△， ， ，即△， 无论取什么实数值，该方程总有两个不相等的实数根； （2）当时，原方程为， ， 菱形的面积． 【点评】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及菱形的性质，解题的关键是：（1）牢记“当△时，方程有两个不相等的实数根”；（2）利用根与系数的关系及菱形的面积公式，求出菱形的面积． 已知关于的一元二次方程为常数）．变3 （1）若方程的两根为菱形相邻两边长，求的值； （2）是否存在满足条件的常数，使该方程的两解等于边长为2的菱形的两对角线长，若存在，求的值；若不存在，说明理由． 【答案】（1）2；（2）详细过程见上面． 【考点】根与系数的关系；菱形的判定与性质 【分析】（1）根据菱形的性质知四边相等，方程的两根为菱形相邻两边长，得△，求出； （2）根与系数的关系求出两根之和、两根之积，根据菱形的两对角线互相垂直平分，由勾股定理列等式，求出． 【解答】解：（1）方程的两根为菱形相邻两边长， 此方程有两个相等的实数根， △， ， ， ， ， ， （2）不存在，理由如下： 该方程的两解是菱形的两对角线长， ，， 设菱形的两对角线长，． 菱形的两对角线互相垂直平分， 由勾股定理得，， ， ， ， ， ， 解得， △， ． ， ， 不存在满足条件的常数． 【点评】此题主要考查了根与系数的关系、菱形的判定与性质，掌握根的判别式、菱形的性质、勾股定理的综合应用，第二问求出时，一定注意这个知识点． 三．韦达定理与代根法 内容 代根法 若是一元二次方程的两个根，则此时既可用韦达定理，也可将或代入方程. 利用代根法降幂 再解决次数较高的题目时，我们可以先利用代根法降幂，再根据韦达定理求解. 题型四 韦达定理与代根法 已知和是方程的两个根，则的值为（ ）例1 A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟记相关结论：若一元二次方程的两个根为，则，，利用根与系数的关系得出，再利用，即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， 又∵是方程的根， ∴， ∴， 故选 D． 若，是方程的两个实数根，则代数式的值为 ．变1 【答案】 【分析】本题考查了根与系数的关系，根据，是方程的两个实数根，得出，，，再将所求代数式变形，整体代入求值即可． 【详解】解：根据题意得：，，， ， ． 故答案为：2． 设，是方程的两实数根，则 ．例2 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，由题意可得，，整体代入所求式子计算即可得解，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：∵，是方程的两实数根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为：． 已知，是方程的两个实根，则的值为______.变2 【分析】根据题意利用根与系数关系求出两根之和与两根之积，原式变形后代入计算即可求出值． 【解答】解：，是方程的两个实根， ，即，，， 则原式 ． 故选：． 已知α，β是方程的两个实数根，则式子的值为（ ）变3 A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系．难度中等．关键是利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解． 利用方程根的定义及根与系数的关系，通过降次化简表达式即可得出答案． 【详解】∵是方程的根， ， ， ， 又∵、是方程的两个实根， ， ． 故选：C． 课后强化 1.已知是方程的一个根，求方程的另一个根及c的值 设方程的另一个根为， ∵， ∴， 又∵ ∴， ∴方程的另一个根为，的值为1． 2.请写一个两根分别是和的一元二次方程 ． 【答案】 【分析】利用根与系数的关系可知求得该方程的系数，再写出该方程即可． 【详解】根据题意可知：， 整理得：， 故答案为：． 3.已知是一元二次方程的两个实数根，则的值是______． 【答案】16 【分析】先根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据题意得， 所以． 故答案为：16． 4.已知：m、n是方程的两根，则______． 【答案】0 【分析】根据一元二次方程的解和根与系数的关系，可得，从而得到，再代入，即可求解． 【详解】解：∵m、n是方程 的两根， ∴， ∴， ∴ 故答案为：0 5.若关于x的一元二次方程有两个实数根，，且，则（ ） A．2或6 B．3或5 C．4 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了根的判别式、根与系数的关系以及解一元二次方程，解题的关键是牢记“当时，方程有两个实数根”． 根据一元二次方程有实数根先确定m的取值范围，再根据一元二次方程根与系数的关系得出，，把变形为，再代入得方程，求出m的值即可． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根， ∴， ∴， ∵是方程的两个实数根， ∵，， 又， ∴， ∴， ∴， 解得，． 故选B． 6.已知关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，它们分别为． （1）求m的取值范围； （2）若，求m的值． 【答案】(1) (2)1 【分析】本题主要考查了一元二次方程的判别式、韦达定理以及方程的求解方法．解题的关键在于利用韦达定理将 转化为关于 m 的方程，并解出 m 的值． （1）利用判别式 确定方程有两个不相等的实数根，从而得到 m 的取值范围； （2）应用韦达定理将根的和与积表示出来，并通过给定条件转化为关于 m 的方程；最后解出 m 的值并验证其合理性，确保满足初始条件，特别是判别式的条件． 【详解】（1）解：， ∵一元二次方程有两个不相等的实数根， ， ， 的取值范围为； （2）解：∵关于x的一元二次方程有两个实数根分别为， ， ， ， ， 解得：（不符合题意，舍去）， 的值为1． 7.已知关于，是一元二次方程的两个实数根，若满足，则此类方程叫做差根方程．根据“差根方程”的定义，解决下列问题： （1）下列是“差根方程”的是______；（填写序号） ①；② （2）已知关于的方程是“差根方程”，求的值． （3）已知△是直角三角形，的长为，若△的两边、的长是一个“差根方程”的两个实数根，求出这个差根方程． 【答案】（1）①； （2）； （3）和． 【考点】根与系数的关系 【分析】（1）根据“差根方程”定义判断即可． （2）根据是“差根方程”，解方程求得，得到，从而得到； （3）分 为直角边和斜边两种情况，根据韦达定理计算即可求得答案． 【解答】解：（1）①， ， ，， 该方程是差根方程； ②， ， ，， ， 该方程不是差根方程； 故答案为：① （2）， 因式分解得：， 解得：，， 关于的方程是“差根方程”， ，； （3）设， 当为斜边时，，， ， ， ， 解得， ， 解得舍去，边长不能为负）， ，， 方程为， 当为斜边，则，， ， ， ， 当 时，时，解得，由韦达定理可得方程为， 当 时，（边长不能为负，舍去）， 综上，这个差根方程为和． 【点评】本题考查了一元二次方程的解，根与系数的关系，正确的理解“差根方程”的定义是解题的关键． 8.已知△的两边，是关于的方程的两个实数根，第三边的长度是6，那么为何值时，△是等腰三角形？ 【答案】或5． 【考点】等腰三角形的判定；三角形三边关系；根与系数的关系 【分析】根据等腰三角形的性质以及一元二次方程的解法即可求出答案． 【解答】解：当、是腰时， △， 解得， 该方程为， ， ， 不能组成三角形， 当为腰时， 是其中一根， 设另外一根为， ，， ，或，， 6，6，4或6，6，10能组成三角形， 综上所述，或5． 【点评】本题考查根与系数的关系，解题的关键是掌握，是一元二次方程的两根时，，． 9.已知关于x的一元二次方程． （1）当m为何值时，该方程有两个实数根？ （2）若边长为的菱形的两条对角线的长分别为该方程两根的2倍，求m的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查的是一元二次方程根的判别式的应用，根与系数的关系，菱形的性质，勾股定理的应用； （1）根据，再建立不等式求解即可； （2）设方程的两根分别为、，由根与系数的关系得：，结合菱形的边长为，两条对角线的长为，满足，即：，再建立方程求解并检验即可． 【详解】（1）解：方程有两个实数根， ， 解之得：． 当时，方程有两个实数根； （2）解：设方程的两根分别为、， 由根与系数的关系得：， 由题意可知：菱形的边长为，两条对角线的长为， ∵菱形的对角线互相垂直平分， ∴其半对角线长与边长构成直角三角形， ∴， 即， ， 解之得：或． ，， ，， 当时，，． 当时，， 不合题意，舍去， 又由（1）知：， ． 10.已知 ，是一元二次方程的两根，则______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，的两根为、，则，，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键；首先把代入一元二次方程中得到进行降幂，可以得到，然后运用根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两根， ∴，， ∴， ∴ ， 故答案为： ． 11.设，是一元二次方程的两根，则等于（ ） A．1 B．5 C．11 D．13 【分析】先利用一元二次方程解的定义和降次的方法得到，，则化为，再根据根与系数的关系得到，然后利用整体代入的方法计算． 【解答】解：，是一元二次方程的两根， ，， ，， ， ， ，是一元二次方程的两根， ， ． 故选：． 12.设，是方程的两个根，则的值为______． 【分析】根据根与系数的关系即可求出答案． 【解答】解：由题意可知：x1+x2=4，x1x2=1， 4x1﹣1， ∴4x1， ∴原式=4x1+4x1﹣1 =4（）﹣1 =4（x1+x2）2﹣8x1x2﹣1 =4×16﹣8﹣1 =55， 故答案为：55 13.已知实数、满足，，则______． 【答案】或 【分析】实数、满足等式，，①当时，，可能是方程的同一个根，两数相等；②当a≠b时，由根与系数的关系，得，，把代数式变形成与两根之和和两根之积有关的式子，代入两根之和与两根之积，即可求得代数式的值． 【详解】解：①当时，原式． ②当时，可以把，看作是方程的两个根． 由根与系数的关系，得，． ∴． 故本题答案为：或． 14.若关于x的一元二次方程，当时，相应的一元二次方程的两根分别记为，则的值为______． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．利用根与系数的关系得到，；，；，，把原式变形，再代入，即可求出答案． 【详解】解：∵，， ∴，， ∴由根与系数的关系得：，；，；，； ∴原式 ． 故答案为：． 第 1 页 共 20 页 学科网（北京）股份有限公司 $$