21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系同步教学讲义（知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固）-2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系同步教学讲义 （知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固） 知识点01：一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系  方程 ax2+bx+c=0(a ≠ 0)，当 b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根， 设这两个实数根分别为 x1， x2. 这两个根与系数的关系是x1+x2=－， x1x2= (下面简称“根与系数的关系” ) . 2. 与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形  知识点02：一元二次方程的根与系数的关系的应用 （1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可检验两个数是不是一元二次方程的两个根； （2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； （3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1，x2的对称式的值。 （4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程； （5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号 题型1：已知其中一根求另一根 【例1】已知一元二次方程的一个根为．则另一个根为（　　） A． B． C． D． 【练1】若关于x的一元二次方程有两个实数根，其中，则的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 题型2： 根与系数的关系 【例1】设、是方程的两根，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 【练1】已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于（   ） A．2 B． C．3 D． 【练2】已知一元二次方程的两根分别为，，根据一元二次方程的根与系数的关系可得为（   ） A．2 B．7 C．8 D． 题型3： 根与系数的关系的应用 【例1】关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．10或12 【练1】关于x的一元二次方程的两个根是，则的值为（   ） A．8 B． C． D．2 一、单选题 1．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，则（   ） A．6 B．3 C． D． 2．已知关于的一元二次方程，以下不正确的是（　　） A．此方程必有实数根 B．若方程有一个根为，则另一个根为 C．两根之积为 D．两根之和为 3．已知，是关于的一元二次方程的两个实数解，若，则的值为（   ） A． B．7 C．或7 D．或7 4．关于的方程的两个实数根，，满足，那么的取值可以是（   ） A． B． C． D． 5．已知是方程的两根，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 6．已知α，β是方程的两个实数根，则式子的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 7．设m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 8．已知和是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 二、填空题 9．已知，是一元二次方程的两个实数根，则 ． 10．已知是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 11．已知m，n是一元二次方程的两根，则 ． 12．已知一元二次方程的两个实数根为a、b，且，则m的值是 ． 13．一元二次方程的两根为m，n，且，则b为 ． 14．已知α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 15．一元二次方程的两个根为、，且，其中■表示一个数，则■为 ． 16．已知分别是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 三、解答题 17．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 18．已知一元二次方程． (1)当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． (2)当时，请判别方程根的情况． 19．已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 20．若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值． (1)___________，___________； (2)； 2 / 4 学科网（北京）股份有限公司 $$ 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系同步教学讲义 （知识总结梳理+重难点题型精讲+变式训练巩固） 知识点01：一元二次方程的根与系数的关系 1.一元二次方程的根与系数的关系  方程 ax2+bx+c=0(a ≠ 0)，当 b2－4ac ≥ 0 时，方程有实数根， 设这两个实数根分别为 x1， x2. 这两个根与系数的关系是x1+x2=－， x1x2= (下面简称“根与系数的关系” ) . 2. 与一元二次方程两根有关的代数式的常见变形  知识点02：一元二次方程的根与系数的关系的应用 （1）验根：不解方程，利用根与系数的关系可检验两个数是不是一元二次方程的两个根； （2）已知方程的一个根，求方程的另一根及未知系数； （3）不解方程，可以利用根与系数的关系求关于x1，x2的对称式的值。 （4）已知方程的两根，求作一个一元二次方程； （5）已知一元二次方程两根满足某种关系，确定方程中字母系数的值或取值范围； （6）利用一元二次方程根与系数的关系可以进一步讨论根的符号 题型1：已知其中一根求另一根 【例1】已知一元二次方程的一个根为．则另一个根为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查一元二次方程根与系数的关系,如果一元二次方程的两根为，，则+．由题意得，，而，据此求解即可． 【详解】解：由题意得，，而， ∴， 故选：B． 【练1】若关于x的一元二次方程有两个实数根，其中，则的值为（　　） A．2 B．4 C．5 D．6 【答案】A 【分析】本题考查了根与系数的关系，牢记“一元二次方程的两根之和等于”是解题的关键．利用根与系数的关系，可得出，结合，即可求出的值． 【详解】解：是关于x的一元二次方程有两个实数根， ， 又， ． 故选：A． 题型2： 根与系数的关系 【例1】设、是方程的两根，则的值是（    ） A．3 B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，此题可以直接由根与系数的关系求得． 【详解】解：、是方程的两根， 故选：D． 【练1】已知，是一元二次方程的两个根，则的值等于（   ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根据根与系数的关系，可得的值． 【详解】解：∵，是一元二次方程的两个根， ∴ 故选：C． 【练2】已知一元二次方程的两根分别为，，根据一元二次方程的根与系数的关系可得为（   ） A．2 B．7 C．8 D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握和运用一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 直接利用一元二次方程根与系数的关系求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两根分别为，， ∴． 故选D． 题型3： 根与系数的关系的应用 【例1】关于的方程的两个根是等腰的两条边长，已知一个根是2，则的周长为（   ） A．14 B．10 C．14或10 D．10或12 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程的解，一元二次方程根与系数的关系，等腰三角形的定义；由方程的解求出，解方程求出另一个根，由等腰三角形的定义即可求解． 【详解】解：由题意得 ， 解得：， 设另一根为， ， 解得：， 当为腰时， 此种情况不符合； 当为腰时， ， 符合题意， 的周长为：， 故选：A． 【练1】关于x的一元二次方程的两个根是，则的值为（   ） A．8 B． C． D．2 【答案】A 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握根与系数的关系是解题的关键． 根据根与系数的关系得到，，即可求出的值． 【详解】解：∵关于x的一元二次方程的两个根是， ∴，， ∴， 故选：A． 一、单选题 1．若关于x的一元二次方程有两个实数根，，则（   ） A．6 B．3 C． D． 【答案】A 【分析】此题考查根与系数的关系．根据一元二次方程根与系数的关系， 即可求解． 【详解】解：关于x的一元二次方程有两个实数根，， 根据根与系数的关系得 故选：A． 2．已知关于的一元二次方程，以下不正确的是（　　） A．此方程必有实数根 B．若方程有一个根为，则另一个根为 C．两根之积为 D．两根之和为 【答案】D 【分析】本题考查了根与系数的关系。根的判别式和一元二次方程的解，解题的关键是熟练掌握一元二次方程根的判别式，以及根与系数的关系． 先把二次项系数化为正系数，计算根的判别式的值，结合根与系数的关系，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：方程化为， ∵， ∴方程有两个不相等的实数解， ∴选项的说法正确，不符合题意； ∵方程的两根之积为， ∴若方程有一个根为，则另一个根为， ∴选项、选项的说法正确，不符合题意； ∵方程的两根之和为， ∴选项的说法不正确，符合题意， 故选：． 3．已知，是关于的一元二次方程的两个实数解，若，则的值为（   ） A． B．7 C．或7 D．或7 【答案】A 【分析】本题主要考查根与系数的关系及根的判别式，掌握两根之和、两根之积与方程系数的关系是解题的关键． 由根与系数的关系可用表示出两根之和与两根之积，代入已知条件可得到关于的方程，即可求得的值．由方程根的情况，根据判别式可求得符合要求的； 【详解】解：∵方程的两个实数根分别为和， ， ， ， 或， ∵关于的一元二次方程有两个实数根， ， 当时，，不符合要求， ， 故选：A． 4．关于的方程的两个实数根，，满足，那么的取值可以是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解不等式，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解决问题的关键．根据一元二次方程的根与系数的关系得到，，结合，得到，整理得到关于的不等式，进而得到取值范围，即可得到答案． 【详解】解：∵关于的方程的两个实数根，， ∴，， ∵， ∴，， ∴， 整理得，， ∴， 解得， 那么的取值可以是． 故选：D． 5．已知是方程的两根，则的值是（    ） A．2 B． C．3 D． 【答案】C 【分析】本题考查了一元二次方程的根与系数的关系，解题关键是掌握一元二次方程的根与系数的关系． 直接根据一元二次方程的根与系数的关系求解． 【详解】解：∵是方程的两根， ∴， 故选：C． 6．已知α，β是方程的两个实数根，则式子的值为（    ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】C 【分析】本题主要考查了方程的根的定义，一元二次方程根与系数的关系．难度中等．关键是利用方程根的定义及完全平方公式将所求代数式降次，再结合根与系数的关系求解． 利用方程根的定义及根与系数的关系，通过降次化简表达式即可得出答案． 【详解】∵是方程的根， ， ， ， 又∵、是方程的两个实根， ， ． 故选：C． 7．设m，n是方程的两个实数根，则的值为（   ） A．2023 B．2024 C．2025 D．2026 【答案】B 【分析】本题考查了一元二次方程的根和一元二次方程根与系数的关系，根据题意得出和是解答本题的关键． 根据m，n是方程的两个实数根，可得，即，根据一元二次方程根与系数的关系可知，将变形为，然后整体代入求解即可． 【详解】解：∵m，n是方程的两个实数根， ∴，， ∴， ∴， 故选：B． 8．已知和是方程的两个根，则的值为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，一元二次方程的解，熟记相关结论：若一元二次方程的两个根为，则，，利用根与系数的关系得出，再利用，即可求解． 【详解】解：∵是方程的两个根， ∴， 又∵是方程的根， ∴， ∴， 故选 D． 二、填空题 9．已知，是一元二次方程的两个实数根，则 ． 【答案】2 【分析】本题考查了根与系数的关系：若，是一元二次方程的两根时，，．先利用根与系数的关系得，，然后利用整体代入的方法计算． 【详解】解：根据根与系数的关系得，， 所以． 故答案为：2． 10．已知是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系、代数式求值等知识点，掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． 利用一元二次方程根与系数的关系求得和，然后整体代入计算即可． 【详解】解：∵是一元二次方程的两个根， ∴， ∴． 故答案为． 11．已知m，n是一元二次方程的两根，则 ． 【答案】 【分析】本题考查一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是方程的两个根，那么，，代入求解即可． 【详解】解：m，n是一元二次方程的两根， ，， ， 故答案为：． 12．已知一元二次方程的两个实数根为a、b，且，则m的值是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系、一元二次方程的解等知识点，熟练掌握一元二次方程的根与系数的关系是解答的关键． 根据一元二次方程根与系数的关系得到，结合求得b值，再将b值代入方程中求解即可． 【详解】解：∵一元二次方程的两个实数根为a、b， ∴， 又∵， ∴，即，解得：， ∴方程有一个实数根是， 将代入中，得，解得：． 故答案为：． 13．一元二次方程的两根为m，n，且，则b为 ． 【答案】7 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键； 利用一元二次方程根与系数的关系可得，，代入求解即可． 【详解】一元二次方程的两根为m，n， ，， 又， ， 解得． 故答案为：7． 14．已知α，β是方程的两个实数根，则的值为 ． 【答案】0 【分析】此题主要考查了根与系数的关系，将根与系数的关系与代数式变形相结合解题是一种经常使用的解题方法．利用一元二次方程的解及根与系数的关系，可得出，再将其代入中，即可求出结论． 【详解】解：∵是方程的两个实数根， ∴， ∴， ∴； 故答案为：0． 15．一元二次方程的两个根为、，且，其中■表示一个数，则■为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数关系定理，熟练掌握定理是解题的关键．根据一元二次方程的两根为，，得到，结合得到，解答即可． 【详解】解：由一元二次方程的两根为，， 故， 又， 故， 解得． 故答案为：． 16．已知分别是一元二次方程的两个根，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，熟知若是一元二次方程的两个实数根为，，则，是解本题的关键．直接根据一元二次方程根与系数的关系进行解答即可． 【详解】解：，是一元二次方程的两个实数根， ，， 则， 故答案为：． 三、解答题 17．已知关于x的一元二次方程有实数根． (1)求实数k的取值范围． (2)设方程的两个实数根分别为，若，求k的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程根的判别式，根与系数的关系是解题的关键． （1）利用一元二次方程根的判别式，即可求解； （2）利用一元二次方程根与系数的关系可得，，再由，列式计算即可求解． 【详解】（1）解：∵一元二次方程有实数根， ∴， 解得：； （2）解：∵方程的两个实数根分别为， ∴，， ∵， ∴， 解得：． 18．已知一元二次方程． (1)当时，若方程的一个根为，求的值以及方程的另一个根． (2)当时，请判别方程根的情况． 【答案】(1)，方程的另一个根为 (2)方程有两个不相等的实数根 【分析】本题考查了一元二次方程根的定义，一元二次方程根和系数的关系，一元二次方程根的判别式，掌握以上知识点是解题的关键． （）把，代入方程可求出的值，利用根和系数的关系可求出方程的另一个根； （）求出的值即可判断求解； 【详解】（1）解：把，代入方程，得， 解得， 设方程的另一个根为， 由根和系数的关系得，， ∴， 即方程的另一个根为； （2）解：∵， ∴， ∴方程有两个不相等的实数根． 19．已知关于的一元二次方程的两个根是和． (1)当时，求的值； (2)设该方程的两个根为，，且满足，求的值． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了一元二次方程根的判别式，一元二次方程根与系数的关系，熟知解一元二次方程根与系数的关系是解题的关键． （1）由根与系数的关系得到，，再根据代值计算即可； （2）由，可得出无论为何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根，由根与系数的关系得到，，再根据得到关于m的方程，解方程即可得到答案． 【详解】（1）解：当时，原方程为， ∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∴ ； （2）解：∵， ∴无论为何值，关于的一元二次方程总有两个不相等的实数根． ∵关于的一元二次方程的两个根是和， ∴，， ∵， ∴． 20．若方程的两根为，，不解方程，求下列代数式的值． (1)___________，___________； (2)； 【答案】(1)2，； (2)16． 【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，掌握相关知识是解题的关键． （1）根据一元二次方程根与系数的关系即可得出答案； （2）把原式变形为，把（1）中的结果整体代入即可求解． 【详解】（1）解：∵方程的两根为，， ∴，， 故答案为：； （2）解：． 13 / 14 学科网（北京）股份有限公司 $$