21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版数学九年级上册 21.2.4 一元二次方程的根与系数的关系 暑期预习讲义 思维导图 学习目标 1. 掌握一元二次方程根与系数的关系（韦达定理） 2. 能根据方程直接写出两根之和与两根之积 3. 会利用根与系数的关系求关于两根的对称式 4. 能根据根与系数的关系构造新方程 5. 会解决与根与系数关系相关的简单实际问题 知识点梳理 1. 韦达定理内容 对于一元二次方程ax²+bx+c=0(a≠0)： · 两根之和：x₁+x₂=-b/a · 两根之积：x₁x₂=c/a 2. 定理成立条件 · 方程必须是一元二次方程（a≠0） · 方程必须有实数根（Δ≥0） 3. 常见应用类型 (1) 已知方程求两根关系 (2) 已知两根求原方程系数 (3) 求关于两根的代数式的值 (4) 已知一个根求另一个根 (5) 判断两根的符号特征 4. 特殊情形 · 当a=1时，x₁+x₂=-b，x₁x₂=c · 两根互为相反数：x₁+x₂=0（即b=0） · 两根互为倒数：x₁x₂=1（即a=c） 易错点提醒 1. 符号错误：将x₁+x₂=-b/a写成b/a 2. 系数对应错误：混淆a、b、c的位置 3. 忽略判别式条件：在Δ<0时仍使用韦达定理 4. 记忆混淆：两根之和与两根之积的公式记反 5. 应用错误：在非标准形式方程中直接套用公式 6. 计算错误：在求复杂代数式时运算出错 7. 条件遗漏：忘记说明a≠0和Δ≥0的前提 知识点小结 1. 核心定理：x₁+x₂=-b/a，x₁x₂=c/a 2. 关键条件：a≠0且Δ≥0 3. 典型应用： · 求对称式值（如1/x₁+1/x₂） · 构造新方程 · 不解方程判断根的性质 4. 数学思想：整体代换思想 5. 重点掌握： · 定理的准确记忆 · 代数式的变形技巧 · 实际问题的转化方法 6. 注意事项： · 使用前必须验证Δ≥0 · 非标准形式要先化为一般式 · 实际问题要检验解的合理性 注：本节内容是研究一元二次方程的重要工具，要理解定理的推导过程，掌握其应用方法。特别注意定理使用的前提条件，在解题时要养成先判断Δ的习惯。通过典型例题掌握常见问题的解决方法，为后续学习二次函数奠定基础。 巩固练习 一、选择题 1．已知关于x的一元二次方程 有两个不相等的实数根x1，x2，若 则 m 的值为(　　). A．2 B．-1 C．2或-1 D．不存在 2．设是一元二次方程的两根，则（　　） A．2 B． C． D．10 3．已知一元二次方程 的两根为x1，x2，则 的值为(　　). A．-7 B．-3 C．2 D．5 4．已知关于x的一元二次方程 有两个实数根，m为正整数，且该方程的根都是整数，则符合条件的所有正整数 m 的和为(　　). A．6 B．5 C．4 D．3 5．若存在正实数y，使得，则实数x的最大值为（　　） A． B． C．1 D．4 6．规定：如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）有两个实数根，且其中一个根是另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”现有下列结论 ①方程x2+2x﹣8＝0是倍根方程；②若关于x的方程x2+ax+2＝0是倍根方程，则a＝±3；③若（x﹣3）（mx﹣n）＝0是倍根方程，则n＝6m或3n＝2m；④若点（m，n）在反比例函数y＝ 的图象上，则关于x的方程mx2﹣3x+n＝0是倍根方程.上述结论中正确的有（　　） A．② B．①③ C．②③④ D．②④ 二、填空题 7．若是一元二次方程的两个实数根，多项式的值是　 　． 8．（1）设α，β是方程. 的两个根，则 　 　。 （2）已知x1，x2是方程 的两个实数根，那么 的值为　 　. 9．写出一个以和4为根的一元二次方程　 　． 10．如果m，n是一元二次方程的两个根，那么多项式的值是　 　． 11．已知三个均不为0且互不相等的实数m，n，p，满足，.请解决下列问题： （1）当时，　 　； （2）当时，　 　. 12．设关于x的方程x2﹣2x﹣m+1=0的两个实数根分别为α，β，若|α|+|β|=6，那么实数m的取值是　 　． 三、解答题 13．已知关于的一元二次方程有两个实数根，． （1）求的取值范围； （2）若，满足，求的值． 14．阅读材料： 材料1：法国数学家弗朗索瓦·书达于1615年在著作《论方程的识别与订正》中建立了方程根与系数的关系，提出一元二次方程（，）的两根x1，x2有如下的关系（韦达定理）：，； 材料2：如果实数m、n满足、，且，则可利用根的定义构造一元二次方程，然后将m、n看作是此方程的两个不相等实数根去解决相关问题． 请根据上述材料解决下面问题： （1）若实数a，b满足：，则　 　，　 　； （2）若是方程两个不等实数根，且满足，求k的值； （3）已知实数m、n、t满足：，，且，求的取值范围． 15．阅读下列材料，解答问题： 材料：若为一元二次方程的两个实数根，则． （1）已知实数满足，且，求的值． 解：根据题意，可将看作方程的两个实数根． ∴　 　，　 　． ∴　 　． （2）已知实数满足，且，求的值． （3）已知实数满足，求实数的最大整数值． 参考答案 1．A 2．D 3．A 4．B 5．A 6．D 7．11 8．（1）4 （2） 9． 10．2029 11．（1）-6 （2）2 12．9. 13．（1）解：∵方程有两个实数根，， ∴，即 ∴； （2）解：∵，， 由得，， ∴， 解得，， ∵， ∴． 14．（1）-3；-5 （2）解：由题意，得：，，∴， ∴， 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 当时，，解得：， ∴， ∴， ∴； 综上：或； （3）解：∵，∴， 又∵， ∴是一元二次方程的两个实数根，， ∴， ∴ ； ∵， ∴， ∴， ∴； ∴． 15．（1）；； （2）解：∵， ∴ ∵ ∴是一元二次方程的不相等的两个实数根 整理方程得：， ∴ ∴ （3）解：∵， ∴可得：， 即： 可得：， 即： ∴可以看作是一元二次方程的两个实数根 ∴ 化简得：， 解得：， ∴实数的最大整数值为 学科网（北京）股份有限公司 $$