21.2.1配方法讲义-2025-2026学年人教版九年级数学上册

❊21.2.1 配方法 思维导图 题型精析 一．直接开平方法 分类 直接开平方法 形如，可以用直接开平方法解方程. 【注意】1.时，方程有实数根，时，方程无实数根； 2.时，方程有两个相等的实数根； 3.时，方程有两个不相等的实数根. 题型一 直接开平方法 若方程有解，则的取值范围是 ．例1 【答案】 【分析】本题考查了解一元二次方程，根据完全平方数是非负数得到关于的不等式，解不等式即可求解，掌握完全平方数是非负数是解题的关键． 【详解】解：∵方程有解， ∴， ∴， 故答案为：． 关于的一元二次方程，则下列说法正确的是（   ）变1 A．时，方程无实数根 B．时，方程有两个相等的实数根 C．时，方程有两个不相等实数根 D．时，方程有一个实数根 【答案】B 【分析】该题考查了直接开平方法解方程，根据选项中的k值得出方程，求解即可． 【详解】解：A． 时，，，方程有两个不相等的实数根，故错误，不符合题意； B． 时，，，方程有两个相等的实数根，正确，符合题意； C． 时，，方程没有实数根，故错误，不符合题意； D． 时，，，，方程有两个不相等的实数根，故错误，不符合题意； 故选：B． 求下列各式中的值：例2 （1） （2） 【答案】(1)或 (2)或 【分析】本题考查了利用平方根解方程，熟练掌握知识点是解题的关键． （1）根据平方根解方程即可； （2）先表示出，再根据平方根解方程即可． 【详解】（1）解：∵， 开平方，得， ∴，或， 解得，或； （2）解：∵， 移项，得， 两边都除以25，得， 开平方，得， ∴，或， 解得，或． 解方程：．变2 【答案】， 解方程：.例3 【答案】，； 【详解】解：移项得， ∴， ∴或， ∴，； 解下列方程：变3 （1） （2） . 【答案】（1） 【详解】解：∵， ∴， ∴或， 解得； （2），， 所以，； 二．配方法 内容 配方法 将一元二次方程配方成，再利用直接开平方法解方程. 【配方法的步骤】 1.先将方程化为一般形式：； 2.将常数项移到等号右边，将二次项系数化为“1”； 3.配方：等号两边同时加上一次项系数一半的平方； 4.利用直接开平方法解方程. 题型二 配方法 用配方法解方程，配方结果正确的是（   ）例1 A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解一元二次方程——配方法，熟练掌握配方法解一元二次方程的基本步骤是解本题的关键． 利用配方法解答，即可求解． 【详解】解：， ， 即． 故选：A． 用配方法解方程时，变形结果正确的是（   ）变1 A． B． C． D． 【答案】D 【详解】本题考查用配方法解一元二次方程，掌握用配方法解一元二次方程的一般步骤是解题的关键．注意：只有当二次项的系数是1的时候，才是等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方．首先将常数项移到等号的右侧，将等号左右两边同时加上一次项系数一半的平方，即可将等号左边的代数式写成完全平方形式． 【分析】解：， ， ， ． 故选：D． 解方程：例2 （1） （2） 【答案】（1），；（2） 【分析】本题主要考查了配方法解一元二次方程，解题的关键是掌握配方法的步骤，属于中考常考题型．首先把常数项移到等号的右边，在等号两边同时加上一次项系数的一半的平方，然后把左边写成完全平方式，右边化简，再对方程的两边直接开平方求解． 【详解】（1）解： 移项，得． 配方，得， 即． 所以． ∴，． （2）解：移项，得， 两边同除以4，得， 配方，得， 即， ， 故答案为：． 解方程：变2 （1） （2） 【答案】（1），；（2）， 【分析】本题考查了一元二次方程的求解．化简后利用配方法解方程． 【详解】（1）解：， 化简为：， 配方得：，即， 开方得． ∴，． （2）解：， ， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； 三．配方法的应用 内容 配方法 将一元二次方程配方成，再利用直接开平方法解方程. 【配方法的步骤】 1.先将方程化为一般形式：； 2.将常数项移到等号右边，将二次项系数化为“1”； 3.配方：等号两边同时加上一次项系数一半的平方； 4.利用直接开平方法解方程. 题型三 配方法的应用 分类 平方的非负性 1.是非负数，即，此外. 2.有最_____值，此时_____； 3.有最_____值，此时_____； 4.有最_____值，此时_____, 利用配方法求最值 将式子配方为或，根据平方的非负性，则： 1.（）有最_____值，此时_____； 2.（）有最_____值，此时_____. 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用．例1 例如：求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： （1）求的最小值； （2）若，求的最小值． 【答案】 (1) (2) 本题考查了配方法的应用，因式分解，非负数的性质，掌握配方法是解题的关键． 【详解】 （1）解：， ∵是非负数，即， ∴， ∴代数式的最小值是； （2）解：∵， ∴， ∴， ∵是非负数，即， ∴， ∴的最小值为． 将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用．变1 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． （1）求多项式的最大值； （2）比较多项式与多项式的大小，并说明理由； （3）求多项式的最小值． 【答案】(1) (2)，理由见详解 (3) 【分析】本题主要考查配方的运用，掌握完全平方公式，配方法的计算方法是关键． （1）找出一次项系数，运用配方法得到，即可求解； （2）运用作差法得到，再运用配方法比较结果的正负，即可求解； （3）运用配方法分别求出最值即可求解． 【详解】（1）解：， ∵， ∴， ∴当时，多项式有最大值，最大值是； （2）解：，理由如下， ， ∵， ∴，即， ∴； （3）解： ， ∵， ∴， ∴多项式的最小值为． 已知实数a、b，满足，则代数式的最小值等于______．例2 【答案】 【分析】由题意得，代入代数式可得，故此题的最小值是5． 【详解】， ， ， 代数式的最小值等于5， 故答案为：． 已知实数满足，则代数式的最小值等于（ ）变2 A．1 B．-4 C．-8 D．无法确定 【答案】C 【分析】由已知得，代入代数式即得变形为，再配方，即可求解． 【详解】解：∵， ∴，代入代数式即得，得 ， ， ， ∵， ∴， ∴的最小值等于， 故选：C 课后强化 1.如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【分析】利用解一元二次方程直接开平方法，进行计算即可解答． 【解答】解：关于的方程有实数根， ， ， 故选：． 2.方程的根是（ ） A．， B．， C． D．， 【分析】利用直接开平方法解方程即可． 【解答】解：， ， ，， 故选：． 3.解方程：． 【答案】， 【分析】本题考查了解一元二次方程，熟练掌握直接开平方法，因式分解法，配方法和公式法是解题的关键． 利用直接开平方法求解即可． 【详解】解： 或， 解得：或， ∴原方程的根为：，． 4.一元二次方程，经过配方可变形为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方程移项，两边加上一次项系数一半的平方，利用完全平方公式化简得到结果，即可作出判断． 【详解】解：方程移项得：， 配方得：，即． 故选：A． 5.用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】先把移到方程的右边，然后方程两边都除以2再都加上，最后把左边根据完全平方公式写成完全平方的形式即可． 【详解】解：， ， ， ， ， 故选：A． 6.用配方法解下列方程： （1） （2） （3） 【答案】(1)，； (2)，； (3)，； 【分析】本题考查了配方法解一元二次方程；掌握配方方法是解题的关键． （1）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （2）移项、二次项系数化成1，再配方，开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； （3）移项后配方，再开方即可得出两个一元一次方程，求出方程的解即可； 【详解】（1）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （2）解：， ， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； （3）解：， ， 配方得：， ， 开方得：， ，； 7.阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，因为，所以．所以当时，有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问题： （1）代数式的最小值为； （2）求代数式的最大或最小值． 【答案】(1) (2)最大值为10 【分析】本题考查配方法的应用，熟练掌握配方法，以及完全平方的非负性，是解题的关键： （1）仿照题干的方法进行求解即可； （2）仿照题干的方法进行求解即可． 【详解】（1）解： ； ∵， ∴， ∴当时，有最小值为； （2） ； ∵， ∴， ∴， ∴当时，有最大值为10． 8.已知实数a，b满足，则代数式的最小值等于______． 【答案】 【分析】将代入代数式，根据配方法即可求解． 【详解】解：∵ ∴ ， ∵， ∴， 故答案为：． 第 1 页 共 13 页 学科网（北京）股份有限公司 $$ ❊21.2.1 配方法 思维导图 题型精析 一．直接开平方法 分类 直接开平方法 形如，可以用直接开平方法解方程. 【注意】1.时，方程有实数根，时，方程无实数根； 2.时，方程有两个相等的实数根； 3.时，方程有两个不相等的实数根. 题型一 直接开平方法 若方程有解，则的取值范围是 ．例1 关于的一元二次方程，则下列说法正确的是（   ）变1 A．时，方程无实数根 B．时，方程有两个相等的实数根 C．时，方程有两个不相等实数根 D．时，方程有一个实数根 求下列各式中的值：例2 （1） （2） 解方程：．变2 解方程：.例3 解下列方程：变3 （1） （2） . 二．配方法 内容 配方法 将一元二次方程配方成，再利用直接开平方法解方程. 【配方法的步骤】 1.先将方程化为一般形式：； 2.将常数项移到等号右边，将二次项系数化为“1”； 3.配方：等号两边同时加上一次项系数一半的平方； 4.利用直接开平方法解方程. 题型二 配方法 用配方法解方程，配方结果正确的是（   ）例1 A． B． C． D． 用配方法解方程时，变形结果正确的是（   ）变1 A． B． C． D． 解方程：例2 （1） （2） 解方程：变2 （1） （2） 三．配方法的应用 内容 配方法 将一元二次方程配方成，再利用直接开平方法解方程. 【配方法的步骤】 1.先将方程化为一般形式：； 2.将常数项移到等号右边，将二次项系数化为“1”； 3.配方：等号两边同时加上一次项系数一半的平方； 4.利用直接开平方法解方程. 题型三 配方法的应用 分类 平方的非负性 1.是非负数，即，此外. 2.有最_____值，此时_____； 3.有最_____值，此时_____； 4.有最_____值，此时_____. 利用配方法求最值 将式子配方为或，根据平方的非负性，则： 1.（）有最_____值，此时_____； 2.（）有最_____值，此时_____. 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用．例1 例如：求代数式的最小值： ， ∵是非负数，即， ∴，则代数式的最小值是． 请根据上述材料解决下列问题： （1）求的最小值； （2）若，求的最小值． 将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用．变1 例如：求多项式的最大值． 解：． ， ， 当时，多项式有最大值，最大值为4． 根据上述材料，解答下列问题． （1）求多项式的最大值； （2）比较多项式与多项式的大小，并说明理由； （3）求多项式的最小值． 已知实数a、b，满足，则代数式的最小值等于______．例2 已知实数满足，则代数式的最小值等于（ ）变2 A．1 B．-4 C．-8 D．无法确定 课后强化 1.如果关于的方程有实数根，那么的取值范围是（ ） A． B． C． D． 2.方程的根是（ ） A．， B．， C． D．， 3.解方程：． 4.一元二次方程，经过配方可变形为（ ） A． B． C． D． 5.用配方法解一元二次方程时，配方正确的是（ ） A． B． C． D． 6.用配方法解下列方程： （1） （2） （3） 7.阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式的最小值时，利用公式，对式子作如下变形：，因为，所以．所以当时，有最小值，最小值为1．通过阅读，解下列问题： （1）代数式的最小值为； （2）求代数式的最大或最小值． 8.已知实数a，b满足，则代数式的最小值等于______． 第 1 页 共 5 页 学科网（北京）股份有限公司 $$第 1 页 共 5 页 ❊21.2.1 配方法 思维导图 题型精析 一．直接开平方法 分类 直接开平方法 形如 )0()( 2  ppnmx ，可以用直接开平方法解方程. 【注意】1. 0p 时，方程有实数根， 0p 时，方程无实数根； 2. 0p 时，方程有两个相等的实数根； 3. 0p 时，方程有两个不相等的实数根. 题型一 直接开平方法 例 1 若方程  22 1x m   有解，则m的取值范围是 ． 变 1 关于 x的一元二次方程  21 2024x k   ，则下列说法正确的是（ ） A． 2022k  时，方程无实数根 B． 2024k  时，方程有两个相等的实数根 C． 2025k  时，方程有两个不相等实数根 D． 2023k  时，方程有一个实数根 例 2 求下列各式中 x的值： （1）  21 9x   （2）  225 2 36 0x    第 2 页 共 5 页 变 2 解方程： 4 3)2( 3 1 2  x ． 例 3 解方程： 22 )12()2(  xx . 变 3 解下列方程： （1） 22 )1()13(  xx （2） 2 225( 1) 9( 2)x x   . 二．配方法 内容 配方法 将一元二次方程配方成 )0()( 2  ppnmx ，再利用直接开平方法解方程. 【配方法的步骤】 1.先将方程化为一般形式： 02  cbxax ； 2.将常数项移到等号右边，将二次项系数化为“1”； 3.配方：等号两边同时加上一次项系数一半的平方； 4.利用直接开平方法解方程. 题型二 配方法 例 1 用配方法解方程 2 6 1 0x x   ，配方结果正确的是（ ） A．  23 10x   B．  26 10x   C．  23 8x   D．  26 8x   变 1 用配方法解方程 2 2 1 0 3 x x   时，变形结果正确的是（ ） A． 21 8 3 9 x      B． 21 10 3 9 x      C． 22 1 3 x      D． 21 10 3 9 x      第 3 页 共 5 页 例 2 解方程： （1） 2 6 12 0x x   （2） 24 7 2 0  x x 变 2 解方程： （1） 2 4 3 8x x x   （2） 23 8 3 0x x   三．配方法的应用 内容 配方法 将一元二次方程配方成 )0()( 2  ppnmx ，再利用直接开平方法解方程. 【配方法的步骤】 1.先将方程化为一般形式： 02  cbxax ； 2.将常数项移到等号右边，将二次项系数化为“1”； 3.配方：等号两边同时加上一次项系数一半的平方； 4.利用直接开平方法解方程. 题型三 配方法的应用 分类 平方的非负性 1. 2a 是非负数，即 02 a ，此外 02  a . 2. ka 2 有最_____值，此时 a _____； 3. ka  2 有最_____值，此时 a _____； 4. )0()( 2  apkxa 有最_____值，此时 x _____. 利用配方法求最值 将式子配方为 khxa  2)( 或 khxa  2)( ，根据平方的非负性，则： 1. khxa  2)( （ 0a ）有最_____值，此时 x _____； 2. khxa  2)( （ 0a ）有最_____值，此时 x _____. 例 1 配方法是数学中一种重要的思想方法，它是指将代数式的某一部分通过恒等变形化为一个完全平 方式或几个完全平方式的和的形式，这种方法常被用到代数式的变形中，并结合非负数的意义来解决一些 第 4 页 共 5 页 问题，在因式分解、最值问题中有着广泛的应用． 例如：求代数式 2 6 11x x  的最小值：  2 2 26 11 6 9 9 11 ( 3) 2x x x x x          ， ∵ 2( 3)x  是非负数，即 2( 3) 0x   ， ∴ 2( 3) 2 2x    ，则代数式 2 6 11x x  的最小值是 2． 请根据上述材料解决下列问题： （1）求 2 8 12x x  的最小值； （2）若 2 3 5 0x x y     ，求 y x 的最小值． 变 1 将代数式通过配方得到完全平方式，再运用完全平方式的非负性这一性质解决问题，这种解题方 法叫做配方法，配方法在求代数式的最值问题时有广泛的应用． 例如：求多项式 2 2 3x x   的最大值． 解：    22 22 3 2 1 4 1 4x x x x x            ．  21 0x   ，  21 4 4x    ， 当 1x   时，多项式 2 2 3x x   有最大值，最大值为 4． 根据上述材料，解答下列问题． （1）求多项式 2 6 5x x   的最大值； （2）比较多项式 23 5 1x x  与多项式 22 3 7x x  的大小，并说明理由； （3）求多项式 2 28 4 25x x y y    的最小值． 例 2 已知实数 a、b，满足 1b a  ，则代数式 2 2 6 7a b a   的最小值等于______． 变 2 已知实数 a b， 满足 2 1a b  ，则代数式 2 22 4 1a b a   的最小值等于（ ） A．1 B．-4 C．-8 D．无法确定 课后强化 第 5 页 共 5 页 1.如果关于 x的方程 2( 9) 4x m   有实数根，那么m的取值范围是（ ） A． 3m  B． 3m C． 4m   D． 4m 2.方程 2( 3) 4x   的根是（ ） A． 1 1x   ， 2 5x   B． 1 1x  ， 2 5x   C． 1 2 1x x   D． 1 1x   ， 2 5x  3.解方程：    2 23 1 2x x   ． 4.一元二次方程 2 6 8 0x x   ，经过配方可变形为（ ） A． 2( 3) 17x   B． 2( 3) 1x   C． 2( 3) 17x   D． 2( 6) 44x   5.用配方法解一元二次方程 22 3 1 0x x   时，配方正确的是（ ） A． 23 17 4 16 x      B． 23 1 4 2 x      C． 23 13 2 4 x      D． 23 11 4 4 x      6.用配方法解下列方程： （1） 2 6 11 0x x   （2） 22 6 7x x  （3） 2 10 25 7x x   7.阅读材料：数学课上，吴老师在求代数式 2 4 5x x  的最小值时，利用公式 2 22a ab b    2a b ，对式 子作如下变形：  22 24 5 4 4 1 2 1x x x x x         ，因为  22 0x   ，所以  22 1 1x    ．所以当 2x  时， 2 4 5x x  有最小值，最小值为 1．通过阅读，解下列问题： （1）代数式 2 8 12x x  的最小值为； （2）求代数式 2 2 9x x   的最大或最小值． 8.已知实数 a，b满足 1b a  ，则代数式 2 2 6 5a b a   的最小值等于______．