21.2.1 配方法 暑期预习讲义 2025-2026学年人教版数学九年级上册

2025-2026学年人教版数学九年级上册 21.2.1 配方法 暑期预习讲义 思维导图 学习目标 1. 理解配方法的基本原理和数学思想 2. 掌握用配方法解二次项系数为1的一元二次方程的步骤 3. 掌握用配方法解二次项系数不为1的一元二次方程的步骤 4. 能运用配方法推导一元二次方程的求根公式 5. 能解决与配方法相关的简单实际问题 知识点梳理 1. 配方法的基本原理 · 通过配方将一元二次方程转化为(x+n)²=p的形式 · 依据完全平方公式：(a±b)²=a²±2ab+b² · 核心思想：将方程左边配成完全平方式 2. 二次项系数为1的方程的配方法步骤 · 步骤1：将方程化为x²+bx=c的形式 · 步骤2：配方：两边同时加上一次项系数一半的平方(b/2)² · 步骤3：写成完全平方形式：(x+b/2)²=c+(b/2)² · 步骤4：开平方求解 3. 二次项系数不为1的方程的配方法步骤 · 步骤1：将方程化为ax²+bx=c的形式 · 步骤2：两边同除以a，使二次项系数化为1 · 步骤3：按二次项系数为1的方法继续配方 · 步骤4：开平方求解 4. 配方法的应用 · 推导一元二次方程求根公式 · 解决实际问题中的最值问题 · 为后续学习二次函数奠定基础 易错点提醒 1. 配方时忘记二次项系数化为1（当a≠1时） 2. 配方时加错常数项（应加(b/2)²而非b²） 3. 完全平方式写错符号（如(x-b/2)²写成(x+b/2)²） 4. 开平方时漏掉负根 5. 配方后右边计算错误 6. 实际问题中忽视解的合理性检验 7. 配方步骤不完整，直接跳步求解 知识点小结 1. 核心方法：通过配方将方程转化为完全平方式 2. 关键步骤：移项→系数化1→配方→开方→求解 3. 数学思想：化归思想、整体思想 4. 重点掌握： · 准确的配方过程 · 完整的解题步骤 · 系数的正确处理 5. 注意事项： · 配方前必须保证二次项系数为1 · 配方时要两边同时加相同数 · 开平方时注意正负两种情况 · 实际问题中注意解的取舍 注：配方法是解一元二次方程的重要方法，也是推导求根公式的基础。要重点理解配方原理，掌握规范的解题步骤。在解题过程中要特别注意系数的处理和符号的正确使用，避免跳步和计算错误。 巩固练习 一、选择题 1．把方程转化成的形式，则，的值是（　　） A．3，8 B．3，10 C．，3 D．，10 2．用配方法解一元二次方程x2-6x+1=0，此方程可化为（　　） A． B． C． D． 3．用配方法解方程时，应将其变形为（　　） A． B． C． D． 4．若关于x的一元二次方程有一个根是，则a的值为（　　） A． B．0 C．1 D．或1 5．如果是关于的方程的一个根，那么关于的方程的解是（　　） A． B． C． D． 6．若一元二次方程（x+6）2＝64可转化为两个一元一次方程，其中一个一元一次方程是x+6＝8，则另一个一元一次方程是（　　） A．x﹣6＝﹣8 B．x﹣6＝8 C．x+6＝8 D．x+6＝﹣8 二、填空题 7．将一元二次方程配方为的形式为　 　． 8．用配方法解一元二次方程时，将它化为的形式，则的值为　 　． 9．下面是用配方法解关于x的一元二次方程的具体过程， 解：第一步： 第二步： 第三步： 第四步：， 以下四条语句与上面四步对应：“①移项：方程左边为二次项和一次项，右边为常数项；②求解：用直接开方法解一元二次方程；③配方：根据完全平方公式，在方程的两边各加上一次项系数一半的平方；④二次项系数化1，方程两边都除以二次项系数”，则第一步，第二步，第三步，第四步应对应的语句分别是　 　． 10．若“※”是新规定的某种运算符号，设，则中的值是　 　． 11．已知3是一元二次方程的一个根，则另一根是　 　． 12．已知方程（x2+y2﹣1）2＝16，则x2+y2的值为　 　． 三、解答题 13．解方程： 14．小明在解一元二次方程时，发现有这样一种解法：如：解方程． 解：原方程可变形，得：．，．直接开平方并整理，得．，． 我们称小明这种解法为“平均数法” （1）下面是小明用“平均数法”解方程时写的解题过程． 解：原方程可变形，得：．，∴．直接开平方并整理，得．，． 上述过程中的a、b、c、d表示的数分别为______，______，______，______． （2）请用“平均数法”解方程：． 15．计算 （1）解不等式组：； （2）解方程：． 16．【问题发现】我国数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载了一元二次方程的几何解法．例如，可变形为．如图1，构造一个长为、宽为x、面积为35的矩形；如图2，将4个矩形构造成一个边长为的大正方形，中间恰好是一个边长为2的小正方形．大正方形的面积可表示为，也可表示为，由此可得新方程：（，易得这个方程的正数解为．注意：这种构造图形的方法只能求出方程的一个根! （1）尝试：小颖根据赵爽的解法解方程，请将其解答过程补充完整： 第一步：将原方程变为，即（ 　　）； 第二步：利用四个全等的矩形构造“空心”大正方形；（在画图区画出示意图，标明各边长） 第三步：根据大正方形的面积可得新的方程：　　；解得原方程的一个根为 　　； （2）【思维拓展】参照以上方法求出关于x的一元二次方程的正数解（用含b，的代数式表示）． 参考答案 1．D 2．A 3．C 4．A 5．B 6．D 7． 8． 9．④①③② 10． 11． 12．5 13．解：∵， ∴， ∴或， ∴或． 14．（1）7，2，，． （2），． 15．（1） （2） 16．（1）；， （2） 学科网（北京）股份有限公司 $$