课时训练(9)用空间向量研究距离问题-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

为w一2，所√任+y十2红，解得x一1或 这-一L所以=（一2,4,10友8=(2，-4，-1D. 13任明：敏题说，以D为坐标 原赢，建正如图所币的立河龙角坐 e系Dry,期C(1,0,o),P(0,0 17,A0.1,0,B(1,1.2). 十延C=(-1,1,0). (-1010,PE-1.1,1》. 所CA·=（-1,1,0)·(1,1,1》=0, p,P以=〔-10，)·11,1》=0， tC1 PB..CALP层，#PB,1CP,PR」CA 又8为CPnCA-C,且CPC平而PAC.CACP 面PAC, 所以直线PH1平面P日 14证明：如居所长，以A为坐标原点，AB,AD,AP所 在直些安到为x轴y轴：仙，建立空润直角史样系A= 设D(0,a,0,则A(0,0,0). B(2,0.0),C2,9,0),P0,0 ②.停o. t是正=（停，》.C= 0m.0m.F心-8a.一29 则A2,t-0.A.心-A 所以AE⊥，AE⊥巴 又界为C门PC-C,所就AEL平面PBC 课时知蓝（九}用空同向量研究距离网丽 L,C由巴加样i-4,-5,0)C=04.-3 议边AC上的南为BD,1-B: IACI 二划-4，-瓦， 所以边C上的高D=√1一16=5， 2C建立如图所币的空 间直角皇粹系 则点E以1,1w2) 12号》 所a-P+(-受 3A建息空间直舟会格素Dxy,知离所录，连 0,即1十u=L 接A,B 则N:-+一+u--2x+1-2以 A《a,0,a),B4aa:0) =-a+1=6-}'+号 不B-(0.a,-a. 国0a<L,找多-者时.WMN1-9 (-4,0w). 故选D =B=《0,一) -(91 6答案号 解桥：在王京体ABCDA,BCD中，建立如图所 “成A到的压离为√石一(a·》= 会的空闻直角坐释最。 ioa. 则w1小N2lo A如国，以A为堂标原成 (.0.1) AB.AD,AA尉在直气分剩为x 储y精、之轴建立空间直商生标系 a0oa-(分 局加A0,0,0),E(1,1.2,F1,2, 1).2.2.00. 冰（是 灵平而AEF的漆向量n-(红，3yx》 E然NM/QP,5AP不在直线MN上， x十y十2m0, 则有MNPQ, +划+e-0 四此，直此MN与是线Q之间的岳离， 令y-一1.解裤n-(3.一1，-1》 即为点P到直线MN的延离， 故，点C到平面AEF的距离为 丽-（位号 研以直线MN与直战P阳之写的乘高 天D知厕，以床D为坐标原 -√-(-√层o-4 A,分别以DA,DC.DD所在直 线为工，为，：轴，建立空同直角 7答案： 标春， 解析：建点空间直商来标泰D江，知图所京 制有0,0,0)，A1.0,1) gD(0,0.0,F(0, C0,1,0j,D0,0,1,B1,1,00: 依题意，风3-11-a1,0,1)-a,0,) E分l.l小110.Do,0 DN-心+CN-心+uC-《0,1,03+u《0, 1,所以-(0，号)或- -1,1)-(0,1-u2 于是M函=D-丽=(-A:1一"- (1,1.00. 美离⊥平西A做TD,DBC平面AD,副 y求得平面EFD品的一个决舟要为n=(一1，： C⊥BD. 其DB⊥AC.CC⊥AC-C,CC,ACC平面 ACCA,城BDL平面ACCA, 又DD-00,1),前以，点D到平面D,品的厘 放平面A4CC的法向量可单为-邓-1,1,0)， MN∥平面A4,CGC,故丽·=-2+1u- 家解：以D为恩点，地是空间 直角坐林系，如图所女， 则A1,0,1),D10,0,1 2D(0,0,00,4(1,0,00C0,2.00 (1虹明：设1，y,0》(0y2). 则DE-《1y,-.AD=(-1,0,-1D 由于E,A,D=0,故DEAD (2AC=〔-1,20)，DA=(1,0-1 爱平香ACD1的法向量为n=(z:y,e), e·C-0, w·D-D, 可(N=(2,1,2). 当E为AB动中点时，以1,1,01.则=o,1,o。 所么E到学有AD,特延高分码”-号 目因为有且只有一木平岳， 1 使表A(2,2.2)利a的死高为1，风成 (,0,0)到▣的龙幕为4，所以 AB⊥a:且A,B两成在平香g同阁 AB-4-1-3./(m—2)十1十4=3，m-13, 若AB>8,则线登AB与平面a至少有下列南种丝 置头意，即平西a夏少有两个 若AB<3,由上面AB>3的图形知，A,B两点到 平岳g的距离的差的总对值不文于B,奏巴加平盾，野 不存在平西▣满风理意】 10.C由指意知O0⊥平面ABCD,所200L 04,00⊥08 义0A1沿，刚以D为原A 建立堂间直角坐杆系Oy:,如图 国为赢面A队CD是边长为 4,∠DAB一0的菱8， 所04-2,0=2. 则A23,0.01.以0,2,0)，Ct-23,0,0).0(0, 0.304 所u4=0.2.一3).0C-(-23.0.-31. 视平而0BC的漆向是为m-rJy,), 则⊥点，周1C 2y-3知=0， 1-23r-s知-0 所以可取W-(一5,1,23. 国为E是OA的中成 所aE3,0,2)月 片以可=（一，0是} 所以点E到个面0，C的觉再为可：用-是 11A度对于A,国为平面 CCBN平面AADD,EFC平面 队CCA 则线段AB的长度印为直线 EF到平所A,ADD,的鹿离， 所就是找EF到平面AADD1的范离为2，故 A玉确： 时于B,加周，风D为来标原燕建是空间直身坐 则A(含，0.0，E1,2,0).F0.2,1D,A2.0,2》, 则4-(0,0,2，AE-(-1,2.0). 3-(-1.0,1>, 登平面AEF的途向量为期=（红3z, 、时有正=0厂厂+2一 可重n-2,1,2), Hmw忍清克高号 所以直线A,与孕西AEF除成的正弦值身子： 所以AA约个有ABF的延再为2X警-青载B 正： 时于CA=(-2,2.10. 州m武-恶器-品一 所以mAAP- 4 女a∠AAF-华 B答多： 所议点A到克线AF的距离为 解桥：过成P作PECD,交C于表E 不·n乙AAF-g,kC五： 图为SD=5A:P为AD的中表 所以SPLAD.文周为SP1AB, 对于D.G2.2,1),C0,2,00, 其AD门AB=A,AD,ABC平而ACD 制AG-(o,2,,-(10,0 所以SP⊥平香A度D, 西-流-器曾 周为PE孕南ABD.则SP1PE 国马得SP,PA,PE两两垂 m,=需-汤-号 直，所效以P为坐标原点，PA PE,P5所在直线分剂为”畅，3 所以直线AG与十有AF所成角的压级植为管 枪，：物，建立空间直角业系， 直线CE与个鱼A2F斯点角的正能值为号，所以 如周所京， N点P(0,0,0).义AD-SA=8D-2,AB=1,P AG到个西AEF的距高为×普-争 为AD的中点， 点C到个海AEF的匹高为C×号-景 副SPVa, tA(1.0,0》,S50,0w3.B1,1.0),C-1.1,0), 所议AC与点G到干而AEF的距离不相平，城D 斯以=（一1.1，-√3）： 3=(-1.0w3). 2答案 s8-(1,1,③ 解析：以点D为坐棘原.A,DA.DC,DD所在直线 又群为扇-2破， 分列为上，y:在枪建立下国所金物空同真角坐标系， 前以M5=(1-0A5=(-1,0w3(1-A0), 1A2.0,0,E1,2.0).F0. 设平面5C的法舟量为群=（红y,), 2.1》,A(2.0,2),提点Px,2,) m·S式-0，且m+巫=0， 并中1，xe10,2 这平面安的法白量为n j中y0女-1 x+y-3==0, n,,m),=(1,-20) 副m=(03,10 E3=(-1,0.1》 m…4-0 点M到个西58C的延焉d-:m_夏. 。,-一+n-0 取n=2,T样=(2,1,2 所a5山-号好-青1- A下=（士一2,2，一2），因为AP平面AEF,副 AP.m-2(—2)+2+2x一20=0. 又黑为01，所以-子 背误江十年一3=0,3一r 14答漏：V正2 所.A户-x一+十（一 解析：建边如周时云的空间直角坐标意， =VG-2+4+1-=V2-+9 +9 台且仅-时AP的长取最小值 则A(2.0,00,3,2,2,),D0,0,00,F(x.2,0 1)IF十IFE-2+A+√-十4， 代数式，任一到+4+，红一可+4表示横格上一流 减x0的到AN2,2)和AP1)的那离之和，中图库币 2 tP+N -2 夏N《2,2)美于精仙的对静点为Q2,一2)，当线侵 PQ与横格的文点为M点时，AF+FE有最小植 最小维为 PQ-2+-2-2p-7 (2》没OLDE,0为◆是， 刚有002然，21.DE=(1.2,22 0--x,粒-2，D,周为0LD述 所g币.证-0→1-士+2(2-2)+2·么-0= x=敦一4， 黑光下01=√一xP干(a一2十(2五羽 -√A-取+4+(2-2》+2了 化商落0=√2以一3十2， 台级-3一0时，即1一是时，北时红一宁 而有景小值，野最小值为互 15,解：(》0随意拜AB LAD, PALAD,PA⊥AR 以A为皇标原点，AB所在直 线为轴：AD所在直为y轴 AP所在直找为：轴，建立空间直 角坐她系，如图所币。 NA(0,0,o),C5,1,00,P(0,0,2),w3,0.0》 所xAC-W5.1,0》: PB=(8,0,-20 d-(0,0,2), 童弄面直此AC,PB竹会◆线的方肉有量为n一 (r,52, 剩a山CmP殖， a-w-0,+y=0◆- 所 1m+i-0,w3x-x=0. 4y--得。 r(红，一店 瓷并面直线AC,PB之间的题离为d, 删d,m。-2园 √++ 19 (2)量在侧面PAB内乔在一点N(e,0,e),线 NEL平面PACG 如o,2 斯a-(-a是1-小 Nt.-0, 片以，=0， 2(1-e)=0, 开-+片-0 -1 简aN停0.小 所以AN到直线AB的斯鼻为√G干下-1，点N 到直成P的乐离为，（得+付-华 课时练（十）用空间向量研究夹角问题 L,C是直线1与平面▣所盛的角为9，相m0 m%1201-7.0r90.∴0-30 2A根括题意，建立如避前示的空网直坐标 6,议BC-AB=AA:-2, 则E0,100,F2.0,12,0,0.21.G11,20, 斯以E乎-(2，-11， G-0.-1,-1》,BG=(11.0 5答案：号 灵平而BGF的法的量为一（江y, wm--y-0 解析：依题奢，建土空间直角 取m=(1,-1,21, :BGm+yo. 皇标系Dxy,女周稀录，到A(们 设EF与平面BGF脱成的角为9： ,0,M1,lC(o.1,0) 期血les(Ef,m-5。-点】 6x/66 M(11.). 3C度D=1,时A(1,0,2,B(1,2.0),所议 -(0专1C-(1.0,) ABw(0.2,-2). 8为E为CD的中点，所这E0,1,. 由于w(A2.C)= 将以A重-(-1.1,01.量w=(工，5，x)是千首 × ABE的法肉童， 南AE·四一0，而B·w0,可得平西ABE的一 AM与CN所藏角的金孩：为oa,C1-子 个法向量为国一(1，】，10 6答案号 义DA⊥平面A4A,斯以D=1,O,0》是平奇 ABBA:的一个涂向量 解新：建立空司直角坐标原D性，如图所众. 以mm-高-言-9 设正方体的棱长为1，刚平面 ABCD的个表向量为"1一(0， 经所水失角为尔影mg一osm,成一 0,10. 授平面AEF的染句量为 中平面ABA势平面AB距央原的食弦值为 1-(,3,8 因为A10.o.E1.1号)Ff0,1,) 4D由期可加，AB⊥平香以D, 所a证-o,1》-(-10, BC-CD.R BCI CD. 所以△BD为等装直角玉 由南·=0·0.了得平香4EF的一个 法南量是：《1，一1,3)， 角形， 所议过B传即的是就 目以B为生禁原表， 与年香BC的失舟为，则6eag■a8n,m)■ 建立如图所本的空间直角坐标系， 过点C种CH⊥D.意是为H,易拜△CH为等 经直角三角形，径AB-段C=CD一2， 7,解1(1束D的中克0，连接AO,C0, 别CH=BH2, 因为BCD一5,0为b的中燕， C22.0).D(0.2v2.0).E(0,2,1),B0,0. 所以OLBD 00. 又W为AC⊥HD,C0门AC=C,DACC平 片x证=0区，1》.b=(-2w2,0. 面AOC, 成-需：哥成导 所以DL平香AOC 所以DLA 又图为平雨ABD⊥平面EBCD, 所以济面直线E与CD失角时余孩值为 所以AO⊥平面BC, 所x0BD,0两两金直， 分利以0想，OC,0A所在直 线为x仙，于，：仙建立实间直 角坐特系，女围所市。 周为O为BD的中&，陈就 AB-AD-2, 又日为BD=2,斯以A=1: 所2A(0,0.1)B1,0,0》,D(-1.0,0),C0,2, m,E号0小 影50-《-80.m.7-(传-1 一成一惑恶 -2x月 00×,√位】++-伊 3 所以直线即身AE所点角的合被值为行 (2)连热DF,DE,F,如国 所帝， 所以D-1.0,0.C0,2,00 2000cm 量减A(0,0r》,红，y) 则7F-(红一c)0-(0,2,-c 国为AF-专4C,所x-C 中-0-}0,2，-山 解释Fo,号景 ㎡-.导)成-（侵1,0 爱平面FDE的法南量为香■（功，）： ,证=受+为=0， …㎡-6+是+号%-o 年为=一3%=0， 得=2.一3,00. 又目为平面DEC的一个法★量一0,0，e). 最二香角FDEC的平面角为6，课时训练（九） 用空 A级)基础巩固练 1.已知△ABC的三个顶点A(1,一1,2)，B(5, -6,2),C(1,3,-1),则边AC上的高等 于() A.3 B.4 C.5 D.6 2.如图所示，在长方体 D ABCD-A1BCD中， AB=BC=2,AA= √2，E,F分别是面 A1BCD、面BCCB的中心，则E,F两点 间的距离为( A.1 B⑥ C.6 n 3.已知正方体ABCD-A1B,CD的棱长为a, 则点A1到对角线BC所在直线的距离 为( A B.a C.√2a D.号 4.如图，已知正方体ABCD-A BC D1的棱长 为2，E,F分别为上底面A1BCD1和侧面 CDDC的中心，则点C到平面AEF的距离 为( B A41 B.v11 11 4 c细 D.2四 11 5.如图，在棱长为1的正方体ABCD A1BCD1中，DM=ADA(0<A<1),CN uCDi(0<<1),若MN∥平面AACC, 则线段MN的长度的最小值为() 15 间向量研究距离问题 D A B司 c D 6.已知正方体ABCD-A1B1CD1的棱长为1， 若M,N,P,Q分别为A1B,BC,A1D1,DC 的中点，则直线MN与直线PQ之间的距离 为 7.在棱长为1的正方体ABCD-ABC D中， E,F分别是BC,CD的中点，则点D到平面 EFD1B1的距离为 8.如图所示，在长方体ABCD-A B CD中 AD=AA1=1,AB=2,点E在棱AB上 移动. D (1)证明：D1E⊥A1D. (2)当E为AB的中点时，求点E到平面 ACD1的距离. 67 B级)综合提升练 9.在空间直角坐标系Oxyz中，若有且只有一 个平面a,使点A(2,2,2)到α的距离为1，且 点B(m,0,0)到a的距离为4，则m的值 为() A.2 B.1或3 C.2或4 D.2-√/17或2+√17 10.在四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，A1A⊥平面 ABCD,AA1=3,底面是边长为4，且 ∠DAB=60°的菱形，AC∩BD=O,A1C1∩ BD=O,E是O1A的中点，则点E到平 面O1BC的距离为( A.2 B.1 c D.3 11.(多选)如图，正方体ABCD D ABCD的棱长为2，E,F, A B G分别为棱BC,C,BB 的中点，则下列结论正确的 是( A.直线EF到平面A1ADD的距离为2 B点A到平面AEF的距离为 C点A到直线AF的距离为4y2 3 D.点C与点G到平面AEF的距离相等 12.如图所示，正方体ABCD-A1BCD1的棱长 为2，E,F分别是棱BC,CC的中点，动点 P在正方形BCC1B1(包括边界)内运动，若 PA1∥平面AEF,则线段PA1长度的最小 值是 13.如图，在四棱锥S-ABCD中，底面ABCD是 矩形，AD=SA=SD=2AB=2,P为棱AD 的中点，且SP⊥AB,AM=λAS(0≤≤1)， 15 若点M到平面SBC的 距离为得，则实数入的值 为 14.已知正方体ABCD-A1B,CD的棱长为2， E为线段B1C的中点，F为线段BC上的 动点，则(1)|AF|十FE|的最小值 为 (2)点F到直线DE距离的最小值 为 15.如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD 为矩形，侧棱PA⊥底面ABCD,AB=√3， BC=1,PA=2,E为PD的中点. (1)求异面直线AC与PB之间的距离； (2)在侧面PAB内找一点N,使NE⊥平面 PAC,并求出点N到直线AB和AP的 距离 58