第2章 直线和圆的方程章末总结-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

。第二章直线和圆的方程 章未总结 知识整合 倾斜角与斜率倾斜角a∈0°，180)和斜率k=tana的变化 点斜式：y-y=k-x) 斜截式：y=ax+b 分奶 注意：(1)截距可正，可负， 直线方程 两点式： 也可为0；(2)方程各种形 式的变化和适用范围 栽距式：音+方=1e+0,6+0 直线的方程 般式：Ax+By+C=0AB≠0) 两直线平行k=k,且b1≠b或A,B,=AB1,且A1C,≠A,C 平面内两条 两直线垂直 k1·k=-1或AA+B1B=0 位置关系 两直线相交 两直线斜交k1≠k:或A,B,≠A,B1 两直线重合k1=k,且b1=b,或A1B,=AB1,且B,C,=B,C 点点距 PP/-X+-) 距离 点线距 d=IAxo+Byo+CT A+B 线线距 d=IC--Cl A+B 标准方程：-a+0y-=以4B为直径圆方程：-x)-x+0y-y)0-y=0 圆的方程 般方程：x2+y2+Dx+Ey+F=0D2+E2-4F>0) 点在圆内→dr台co-a+0ya-b<r2 点和圆的 位置关系 点在圆上台d=r台。-a}+(0yb=r2 点在圆外台d少r台化-a2+0y-b>r产 圆的方程 相离 4<0,或d>r 直线和圆的 弦长公式：代数法：A刷=+x,-x 位置关系 相切 △=0，或d=r =/1+kX+x)-4xx: 相交 4>0,或dk 几何法：AB2d 相离 圆和圆的 (1）利用两圆方程组解的个数是0,1,2 位置关系 相切 (2)-rl<d<+r2中相交；d=r1+r2→外切；d曰r1-台内切； 相交 d>r1+r2台外离；0<dr1-r台内含 ⑧典型例题 (b为参数) 考点一 (3)与已知直线Ax十By+C=0平行的直 求直线的方程 线系方程为Ax十By十A=0(A为参数，A≠C). 具有某种共同属性的一类直线的集合，我 (4)与已知直线Ax十By十C=0垂直的直 们称之为直线系，这一属性可通过直线系方程 线系方程为Bx一Ay十1=0（为参数）. 体现出来，它们的变化存在于参数之中，常见的 (5)过直线1：A:x+B1y+C1=0与2： 直线系有： A2x十B2y+C2=0的交点的直线系方程l1: (1)过已知点P(xo,y%)的直线系y一y%= A1x+B1y+C1+λ(A2x+B2y+C2)=0(A为参 k(x一xo)(k为参数). 数)（但不包含直线A2x十B2y十C2=0) (2)斜率为k的平行直线系方程y=kx十b 101 数学选择性必修第一册人教A版 [例1]已知正方形中心为点M(一1,0)， 考点二求圆的方程 一条边所在直线的方程是x十3y一5=0，求其 利用待定系数法求圆的方程的一般步 他三边所在直线的方程. 骤为： 第一步：选择圆的方程的某一形式： 第二步：由题意得a,br(或D,E,F)的方 程（组）： 第三步：解出a,b,r(或D,E,F): [跟踪训练1] 第四步：代入圆的方程. 求通过两条直线x十3y一10=0和3x 注：解题时充分利用圆的几何性质可获得 y=0的交点，且距原点为1的直线方程. 解题途径，减少运算量，例如：圆的切线垂直于 经过切点的半径：圆心与弦的中点连线垂直于 弦；两圆相交时，连心线垂直平分两圆的公共 弦；两圆相切时，连心线过切点等， [例2]已知圆的半径为√10，圆心在直线 y=2x上，圆被直线x一y=0截得的弦长为 4√2，求圆的方程. [跟踪训练2] 已知圆C与圆x2+y2一2x=0相外切，并 且与直线x+√3y=0相切于点Q(3,一√3)，求 圆C的方程. 。102 。第二章直线和圆的方程 考点三直线与圆、圆与圆的位置关系 于图形分析转化为动点到定点距离平方的最值 1,求过某点的圆的切线问题时，应首先确 问题 定点与圆的位置关系，再求直线方程.若点在圆 [例4]已知实数x,y满足y=√3一x2,则 上（即为切点），则过该点的切线只有一条：若点 在圆外，则过该点的切线有两条，此时应注意斜 代数式牛的取值范周为 率不存在的切线 [跟踪训练4] 2.求直线被圆所截得的弦长时，通常考虑 当曲线y=1十√4一x与直线y=k(x 由弦心距垂线段作为直角边的直角三角形，利 2)十4有两个相异交点时，实数k的取值范围 用勾股定理来解决问题， 是( [例3]已知点M(3,1),直线ax-y+4=0 及圆(x-1)2+(y-2)2=4. Ao,》 B(分，别 (1)求过M点的圆的切线方程； c(最别 D.(+) (2)若直线ax一y+4=0与圆相交于A,B 考点五双切线模型与切点弦方程 两点，且弦AB的长为2√3，求a的值. 切点弦方程（二级结论）：圆外一点P(xo, y)向圆x2+y2=2作切线，两个切点A,B的 连线方程为xox十y0y=2. 双切线性质：OP⊥l时候 切线长最小；②切点四边形面积最小；③切 点弦AB最短；④切线夹角最大；⑤AB平行l. 切点弦的方程的常规求法：如图，易知 [跟踪训练3] PAOB四点共圆，且PO为圆的直径，而AB为 已知圆M:x2+y2-2ay=0(a>0)截直线 两圆的公共弦 x十y=0所得线段的长度是2√2，则圆M与圆 N:(x-1)2+(y-1)2=1的位置关系是() A.内切 B.相交 C.外切 D.相离 考点四最值问题 “数形结合”是把代数中的“数”与几何上的 “形”结合起来认识问题、理解问题并解决问题 [例5]如图，圆M:(x-2)2+y2=1,点 的思维方法，是人们一种普遍思维习惯在数学 P(一1，t)为直线1：x=一1上一动点，过点P 上的具体表现.数形结合一般包括两个方面，即 引圆M的两条切线，切点分别为A,B. 以“形”助“数”，以数”解形”形如=名的 最值问题，可借助于图形分析转化为直线斜率 的最值问题；形如t-ax十by的最值问题，可借 助图形分析转化为动直线截距的最值问题；形 如z=(x一a)2十(y一b)2的最值问题，可借助 (1)若t=一1，求切线所在直线方程； 103。. 数学选择性必修第一册人教A版 (2)求|AB|的最小值. 考点六阿氏圆 1.圆心位置：圆心M在AB或BA的延长 线上 2.反找定点：若点A和B相关的阿氏圆M 的半径为r,P为圆M的点， 则必有1MA·IMB1=产，且PA- UPBI MA NMBI =λ. [跟踪训练5] Me B 在平面直角坐标系中，O为坐标原点， A(0,t)(t>0),圆M:(x-2)2+y2=1. [例6](1)已知两个定点A(一2,0)， (1)若t=1,过点A作圆M的切线，求此 B(4,0),若动点C满足ICB|=2CA|,则点C 切线的方程； (2)若在圆M上存在唯一一点P,使|PA= 的轨迹方程为 21PO1,求t的值. (2)已知实数x,y满足x2+y2=4,则 2√(x-1)+y2+√x+(y-1)的最小值为 [跟踪训练6] (1)在△ABC中，AB=6,BC=2AC,则 △ABC的面积的最大值为 (2)在平面直角坐标系中，已知点B(4,0), D(1,4),C为圆M:(x十4)+y2=16上的动 点，则ICB|+2CD的最小值为 。104共属a为（清》代入厂y一4=0，* 得A=-1 故所衣国的才粒为2十y一x+y一32-L [针对测冻2】解：(1)司G:x一1)+(y+1) 4,G:(r-w)十y=w(m>0 山所匿相交，可得引2一m<w1+(十下< 2十m,解保m的取植觉图是1，十©2 (2)两周会共独所在直战的方程为(m一1》士十y一1■ 南清国公大长是务名汽司】 100.解得m一经 探究三肉夏烟切同是 [典例精析] [频例门解：1)向已知可得雨个周的方程分利为 (x-1)+《y一3驴=11，r→5+(y-6=61- Mw<6】》, 腾置的国心是d一√一1)+(6一下=3，南国 的平整之和为江十√1一m, 由两周的年径之和为√江+，61一m一5， T年m25十10√， (2)由两圈的厦心题d=√(5一1)+(6-3了-5 等于两圈的年摄之是的地对值务√们一们一国。 年T一√一w1-5.可得√T一√一国 5(舍去)成/T一一网-一5，解得m-25-0/T 针对别练)答案()+(-1 解析：录阶求期的属心为C代n:n》,则O,P,C三产 并线，具OC-6,设直线OC的艇麟角为8， 则cm-子血0-是 所红国時方短泛一)+(y一y-L 【防堂演练·达标】 L.C 2答案：3 解斯：C1,2n2C(一2.-2)，n-8,1GCG 5,十-5，月此丙国外女.所以公切观有3来. 答案：2x-4y-1=0 解析：国为C:x十y一1一0①，喝C:十y一 南方形康：得高 2x+4y-g②， 解得C1m一5以会去)或C■7， ☆①一②得，2江4y一1=0，斯以背置竹公共孩所 所以与直线x+3y一5=0相对的边所在的直战为 在的真我方程为2山一4灯一1一L 程为十3y+70 4答案：1 设与直线x十3y一5一0金直的边附在的直绳方和 解析：特两周的方和其减，得相交弦所在岭直线方 为5江一y十CG-0由理意，得 程分y一十国心《0,0》到重线特须高为d一】 -1x$-0×1+C1.6 √3+1V 16 四厅-1，所话8-1 期年Cm或■一3， 5答案：1 所以号两效所在直线的方往分3r一y十0一0和 解析：K0,0),C3,0),号属本轻均为1，”0C [跟章调练1门 √十0=3，Q的羲小任为3-1-1=1. 解：☆一，过两条重线文壶的直线系方为x十 长解：说所来蜀C的方根为(r一a护十(y一一一 3y-10+(3x-y》=0,年(1+30x+(3-1)Jy-10■ 南则C与直线y一0相切且来桂为4， 别国心C片坐粹为Cu4)气C(a,一4， 原成到直线的至离为1： 已为属(x一2)中十(y一1)■9的属白A的坐特为 (2.1).丰籍为. m0+:0-》0-0=1,解年x=, 南两司相初，则1CA-4十3一7友ICA=4一3一1， =土& ①泰国哈为C{丝，4}时， 代入方宝①中，得所农皇线方盟为江一1或山 (a-2+《4-102=户煮(g-2)+(4-1)=1日 3y+5-0 (无解)： 故可得a一2士21百，故所来国的方程为(x一名一 二南方程位任+3y-10=0, 解得两条直城妈 l3-y=0: 20+(0y一4-16表r一2+2W0)+0-40P-6 度高为A613) 否壶国心为Ca,4)时 当解率存在时，这阶求直线方程为3y一3一（工一 (a-2)+(-4一1■户或a-2y+(-4-1 1》,年一y十3一一0 1(无解)，解得4-2士25 √+（一 板简桌的程为(r一2-26)十《y十4)泸■16 减(x-2十26)+（十4P-16 63-制=e+可k= 俗上所生，所桌国的方程为一2一2T0十 (3-402-16或(x-2+20)°+(5一4)-16气x 4=Q 2-26+(Gy+42-16兔(x-2+2》+Gy+F-16 书重线斜枣不乔在时，直线方程为：=1也料合 章来总结 【奥型例原】 管所康直线方程为￥■1或：一3十后■0， [例1门解：压方形中心到直线1十3y5=0片见 [例2]解：法一：设国的常程是(x一阳)+(y 高d-1x1+3X×0-1.6 =10, √+3 10 国为国心在直我y-2x上，所以6-2a, 浸与是线x十3y一5=0平行的直线方程为x十 f-y=0 山方程 3y十C0. Hy-ky-10. 年2-2(g十br+a+H-10=0, 所a到十-a十面·一+女一0 南依长会人得度·va十一2a十十一16 42, 化商得a一■4图 解①②组成岭方根虹， 得2=2，b-4友@--2，b=-L 故时意园的方框是(：一2+(y一4)=10左 (x十2P+(3t402-1a 法二：读聘的才程为红一e)'十(y-=10 则国为ah),平径r-VT6, 国心a,到直线x一y-0竹厘离d世-创 2 脚丰让未、孩心乐，半径姐城的虚角三角形得 d+(佳)-，南a亏炉+R-10. 所以(u一b)'■4 义图为一2g,所这g-2,k-4或日-一2,6--4 技所衣国的方程是《红一2中(y一1)”-10我 (x+2y+(y十40P=10 限溶裙峰】 解：经所求图C的方粗为（正）+(y=, 离心C以a)与Q3,一√)的魂直合直于直我x十 y=0,且韩率为及 a-1+B=+1, 卑恩意开 a士=r -a x=4,a=0, 解得=0，友b=-4石. rm2,rm6. 找骑桌围的方程为（红一）炉十了一4发十 (y+4-36. [例3]解：(1)园心C(1,2),半径r■2，峰直值竹鲜 年不存在射，方程为四3， 为国心C1,2)利直线士“8岭距离d-3一1一2 Ψ知，克时，支线与墨智似 行直属的斜华存在时，授方柱为y一1一{红一3)， pr一y+1-3新w0 由班多知一生告一么，解得长一青 I :围的初减方框为y一1=一》，脚3江一y- 效试M成的国的每值方程为士3或：一—4y一5Q (2)图心到直线时一y十4=0的程离 为士2 w@T1 到4：。一 [留踪训练3门B司M的方程可化为上+ (y-e)-,城并面@芳M0,),半径R-0: 所以图心到直线+y一9的是离d一0+ √1+1 尉以直践x十y0收面品所在微长为2，√风一d - 由观意可环②e—2,反，位a=2 周N的图心NI,1),平径r- 商MN-√10干1-2P-2, 显然R一<MNCR十r,除以两国和交， [答案[，3可 解桥：(1)如图所帝y一3一云子化为2+y2 就心》.人家的图形为半图架用的儿灯意又为定 先A一3，一1)年来属然上任意一在M:y)的连线的 斜车， 人8o-号-学.成线AC 方程为y+1=(a+3), 年k拉-y+3t-1-. :直线AC势丰离期钢， [巢琼练5] 1质-作.脚3地一3边-1-0，解每- 解：日)由超意得M《2,0),图M岭平接为1，A 1+ 《0,1)在周M外， 厘（合*。 址点A作属竹切找，则切线解单存在，设为， 副如战方程为y-红十1，中红y十1-0， b-±￥风.±网 所似+旦-1，解得-一音或表一0， √居+可 [最gW悠门G由线y=1+-子是以0,1) 故切线才程为4x十3y一3=0或y=1, 为圆心，2为年径岭车圆（如图），直观y一(x一2》十4 2》设P〔r:y),中于|PA|=2|Oj,两以 是止定点(2，D的克线： F+y-)2√F+y: 垫理得产+y+-专-0，两+(+5} . 录初线P℃的解单为占刷初线C岭方程为y 华P点在以(0，一言)为国心，号为丰径的国上， (x-一2)中4，国4(0,1)到直找PC的距离等于平提2， 由通意可为P泛生一岭.兄有当周十（十） 苦与面M有切时开台进高 直线PA的针华为=是，时以品<k号 [例月解：1)南理或如1时风的斜平存在，可爱切 线才程为y+1=(a+1D,年表3y+k-1一0， 由国的方在加：需心为(2,0)，半是r=1: 到周心M到期气的每高d-1--1,解得： + 一0或-寻， 当两国外时，，√2-0y+0+号厂=号+1。 ,所桌特线考程为：y-一1成3r一4y一1-0 (2选接PM.AB交于点N, 整理样十4一9=0，解年=一2+√/13(t -2-√1丽会去： 故一一2+√丽： 当两周内抑时，脱2-0)+(0+)=多- 整理符2一4一9▣0，解样=2十√13(：■2 这∠APA=∠3MMN=0,到AB=21ANom9= 13◆女)，期2+13. 肆上，可得=一2十√宿%一2+1玉 在k△MP中，a血9-0- [例6]答案：(10（十4）2+y-16《2)17 解析：(1是C(z,y,图为CB1-2CA, 所以（一4）+y一2√(x+2)+y,化黄样， (x+4+y=16. 2》才法一亿0(0,0)，A(1.0):B(01). P(x,3)为属O:+y4上-流 期月理格化为長2PA十PB的豪小值， 精题x的上本在点C线得2引PA=PC,脚P十 =4是在A和C和吴的有氏翼， 期电OM,C1=P.择1×10C=4.则xC 4.tC(409 所x2I1PAI+IPB=1PC+IPB≥IBC= √4-0+《0-1=√17， 当P处于周中P。的仕置时，等号成是， 所这2十了+√2干y一下的最小值 为 方法二因为x+y2-4. 所铁2√-)+y=√4（一1》+了= √/F+YBx+十+4 =w+3y+16-√正-4)+y 刚2一1)+y+2+(y-1) √-+y+√干(y. 相每子面2+=4上的任一表P(x,y)到点A (4,0)车B(0,1)的是离之和，如周， 两为IPA|+PBAB,南P在线授AB与国 的交点P,处时，AB群为阶， 所双所桌最小业为A一√干平-√7 找答案为，√ [最避谓练灯 苦案：1012(210 解析：(1)城AB中成D为原表遮意平面直年坐 时A-3,0),H(3,0),设C(ry): 国BC-2AC,所以(r3十- 2√《r+3)+y. 化模得，11+5)”+y=16(3≠0) 研以友C的触边是以M(一5,0》为到心，4冷车径 岭国（不合海x种岭受点）， 由周可，(c》-吉×6X412 (2)先根据阿气图性厦，我到海点B(4,O)时点的 里M(=4,0)内的文点A, 由M·M=,B=8r=4,得1=2 所tA(一2,0)，且对于冒M玉龄任意一高C, 年有周-√-√-2从1c® 2引CA1, CB+2ICD-21CA1+2CDI- 2(CAHICD). 山西可加年东C在国M上选动到如国斯帝住工 时，CA十CD取拜我小佳， 且最小值为1AD1=√21)+(0一1丁-5， 所x引CH十2CD川的最小线为10 第三章国锥曲线的方程 31椭圆 5,1.1椭图及其标准方程 【必备知识·植理】 【情境探究】 提示1网偶，笔尖到两个定点的距离的和等于常数 [知阙植理] 程为后+后=1a>6>0 一距肉的和焦距一半 二.E(-e,0,F(c0)F(0,-c,F0,c) 又脑国经过.点0,2)和1,0。 +-. a=4, [科学思维 所以 导+-1. 1 一.1.1D×2)×3)/(40× ZD 求面的准方为十一1 王目由题设才程，州面从点点x轴上且上= (3)方淡1：①当k在x种上时，说销属的标难考 安=原. 框为5+话-1a>>m, :发无坐标为3,0) A方后子-1表华发点在上心上片精眼， +二-1， 2-15 解得 副m之0 长答案莺+-1蜡+后」 就得京侧雨的相准方程为后十苦-1 解析：南用意，城图的然乐是6，可挥2一5，甲 =3, ②当线底在y轴上时，爱侧国的标准方程为三十 又由然国上的点到两个焦点的更需之和等于10： -1a>6-0, 可科2a=10,牌￥5， 期分-g2-2-25-0=16, d-5. 查机周的然杰在于格上时，情眉的考程为若十 解 +y-1 1=15 图为不润是血>6>0，所以无解， 每销园的从太在工轴上时，精因的本框为若十 才法2，夜所求所司的才程为M世2十子一1(m0, 二器示：花.桶覆的焦点在x轴上标准方程中 12w十题=1， 含2项的分母较大：树偶的集点在y轴上白标准方程 中含项的分较大 效所水猫图竹标准才程为后十兰一1 【关轻能力·探究】 限究一求州圆的标准方程 [典例2门解：两文国的到心和丰是分到为2《一3： o>,n-1:Q(3,00,-9. [典例精桥 设动图国过为M《江y),平经为R,而理鸯考 [典例1】解：《1)同为满因的类A在x种上， Q=1+R,IQ1=9-R,.M01+lQ= 济以受它竹移准才程功后+芳-1>6>0以 0>QQ|=6, 周力2如=√5+4)丁十√/（后-4-0，所这a-i. 由辆国的发义可知点M在Q公为发无的精国 上，具￥-5c=3.N■a'-2=5-9=t6, 又=4，所20=--25一16-9 故简水销调的标净方程为后十苦一1， 做动国国：的轨蜂才程动后+若一L 2》四为幅国的焦点在￥轴上，所以量它的标准才 [针时调练】答案：1后+苦-1 a+苏-可 解桥1逢菌国F的格速才程为行+苦-1(@> 0),依题意得-2， 2a=1PF,I+1PR,1=√（停+2+(-）+ √倍-+(-2而， 所我aa/10,雨形=a一=6，故精国F的标津 为程为号+后一1 2调为所套剂霸券侧四系十苦-1的焦水物同： 所以其巢克在x轴上，里2一25一9一16 灵所来精周均桥凉方程为后十苦-1>>0 调为2■16，风2■一价，藏a2-#■16少 又.在所袋盖国上：所+零 1.号+2-1@ 南①②得-36，一刘，除以除求衡面岭补准考 发为茶+品-L 探究二剩图标准方程的应用 [典例精析刷 [典例】C国为才程与本。一1表市从点在 2-0. x铸上的酒国，所必+十20 2一>42， 解得一2D. 故架餐素的取值吃腾是（一2，O),故送G E典例】AD1PF+PB,|=4>|FF,l-2, 所以动点P的秋峰是脑周，A高项正确：PF,十 PF一2一F,F,所以动AP的秋速是找级F,乃， 目连锋蔬：PF,1+PF=1<FF=2,所以对 成P不存在，C远项倍溪，|P下，1十|PF1■3 FF1一2，斯以动点P的桃隆是轴国，D选听五. 域选An [针对练2】D方短√F+y区+ vF+(y十2一3泰本动在K士y到文点P0,1)的