专题02 直线和圆的方程16大题型108题（期中专项训练）高二数学上学期人教A版选择性必修第一册

专题02 直线和圆的方程 基础·固本强基 题型1 直线的倾斜角与斜率 题型2 直线方程的几种形式（重点） 题型3 直线的位置关系 题型4 直线的交点坐标与距离公式（重点） 题型5 圆的方程与点与圆的位置关系 题型6 直线与圆、圆与圆的位置关系（重点） 提升·进阶突破 题型7 直线与线段的相交和夹角问题 题型8 直线围成图形的面积问题 题型9 直线与圆过定点问题 题型10 圆的切线方程（难点） 题型11 圆的弦长与弦心距 题型12 两圆的公共弦和公切线问题（难点） 题型13 直线和圆中的对称问题（难点） 拔高·压轴破难 题型14 与圆有关的最值（范围）问题（重难点） 题型15 直线和圆的轨迹问题（重难点） 题型16 直线与圆的综合应用（重难点） 基础·固本强基 题型1 直线的倾斜角与斜率 (共 5 小题) 1．（26-27高二上·河南·期中）直线的倾斜角是（ ） A． B． C． D． 2．（25-26高二上·江苏无锡·期中）若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 3．（26-27高二上·四川·期中）在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 4．（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（ ） A． B． C． D． 5．（24-25高二上·湖南常德·期中）直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A． B． C． D． 题型2 直线方程的几种形式 (共 6 小题) 6．（26-27高二上·安徽·期中）直线在轴上的截距为（ ） A．2 B． C． D． 7．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知圆和点，则直线 CM的方程是______. 8．（25-26高二上·江苏南通·期中）若直线不经过第四象限，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 9．（25-26高二上·四川阿坝·期中）（多选）下列说法中，正确的有（  ） A．直线在y轴上的截距是 B．直线经过第一、三、四象限 C．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D．过点，且倾斜角为90°的直线方程为 10．（24-25高二上·浙江·期中）（多选）下列命题正确的是（   ） A．直线在轴的截距是 B．直线的倾斜角为 C．过点且倾斜角为的直线方程为 D．过点的直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，则（为坐标原点）面积的最小值为． 11．（25-26高二上·四川阿坝·期中）已知的顶点为，，． (1)求过点且平行于直线的直线方程； (2)求边上的中线所在直线方程； (3)求边上的高所在直线方程． 题型3 直线的位置关系 (共 4 小题) 12．（25-26高二上·福建南平·期中）若直线与直线垂直，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 13．（26-27高二上·山东·期中）（多选）若直线：与直线：平行，则实数可能为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 14．（25-26高二上·广东湛江·期中）求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程． 15．（26-27高二上·河南·期中）在等腰梯形中，，且，，. (1)求点的坐标； (2)求梯形的面积. 题型4 直线的交点坐标与距离公式 (共 9 小题) 16．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为 （ ） A． B． C． D． 17．（25-26高二上·福建福州·期中）三条直线与相交于一点，则___________． 18．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（ ） A．26 B．18 C． D．6 19．（26-27高二上·河南·期中）两直线与之间的距离为______. 20．（25-26高二上·广西钦州·期中）若直线与直线间的距离为1，则__________. 21．（24-25高二上·山东济南·期中）求经过直线和直线的交点C，并且满足下列条件的直线方程. (1)与直线平行； (2)到原点的距离等于1. 22．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知的顶点，边的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求A的坐标； (2)求点A到直线的距离． 23．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知直线经过点. (1)若点到直线的距离为1，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距等于在轴上的截距的5倍，求直线的方程. 24．（25-26高二上·山东济南·期中）求以下直线方程 (1)已知直线若直线过点，且，求直线的方程； (2)已知直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程． 题型5 圆的方程与点与圆的位置关系 (共 9 小题) 25．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）圆的圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 26．（26-27高二上·河北保定·期中）以为圆心，为半径的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 27．（25-26高二下·四川成都·期中）圆的半径为（ ） A． B． C． D． 28．（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 29．（25-26高二上·江苏盐城·期中）设，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 30．（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆的内部，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 31．（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆外，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 32．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知圆经过，，三点. (1)求圆的一般方程； (2)求直线被圆截得的弦长. 33．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）的顶点的坐标分别为. (1)过点A与直线平行的直线方程； (2)的外接圆方程； (3)已知过点的直线l与的外接圆相交的弦长为6，求直线l的方程. 题型6 直线与圆、圆与圆的位置关系 (共 6 小题) 34．（25-26高二上·陕西汉中·期中）判断直线与圆的位置关系（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 35．（26-27高二上·广西·期中）直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 36．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆与直线恰有2个交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 37．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 38．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知圆和圆，则使得圆与圆相切的的值有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 39．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知圆. (1)若直线过点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆D的半径为1，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程. 提升·进阶突破 题型7 直线与线段的相交和夹角问题 (共 5 小题) 40．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 41．（24-25高二下·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 42．（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线和的夹角的余弦值为________． 43．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 44．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 题型8 直线围成图形的面积问题 (共 7 小题) 45．（25-26高二上·重庆·期中）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．点在直线上 B．在轴上的截距为 C．与坐标轴围成的三角形的面积为 D．直线到的距离为 46．（25-26高二上·新疆喀什·期中）过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 47．（25-26高二上·浙江台州·期中）已知的顶点为，直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若为，求的面积． 48．（25-26高二上·广东汕头·期中）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边所在直线的方程，以及这条边的垂直平分线的方程； (2)求的面积； (3)求的外接圆的方程. 49．（26-27高二上·河南·期中）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 50．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知直线过定点，直线的方程是． (1)若直线的横截距为纵截距的3倍，求直线的方程． (2)若直线与轴正半轴分别交于两点，过分别作直线垂线，垂足分别是．求四边形面积的最小值． 51．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知点分别是两射线和上的点，点. (1)若点是线段的中点，求线段的长. (2)设点在直线上，为坐标原点. ①若直线垂直于轴，求的面积； ②求面积的最小值，并求取到最小值时直线的方程. 题型9 直线与圆过定点问题 (共 5 小题) 52．（25-26高二上·重庆·期中）直线：恒过定点______． 53．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线 的距离的最大值为（ ） A． B． C． D． 54．（26-27高二上·江苏·期中）（多选）已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（ ） A．直线恒过定点 B．点为圆上一动点，则到直线距离的最大值为5 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离都等于 D．直线上存在点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则 55．（25-26高二上·上海·期中）圆：. (1)若圆与轴相切，求圆的方程； (2)求证：不论为何值，圆必过两定点. 56．（25-26高二上·湖北荆州·期中）动圆：与直线：交于两点． (1)证明：动圆必过两定点，并求出这两点坐标； (2)求的最小值； (3)是否存在一条定直线，在其上任取点，无论为何值，都有为常数，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由． 题型10 圆的切线方程 (共 7 小题) 57．（25-26高三上·河北·期中）（多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．若直线与圆相切，则 D．圆上的点到直线的最大距离为7 58．（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 59．（25-26高二下·河南·期中）已知点，，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，，则_________． 60．（25-26高二上·浙江杭州·期中）过点作圆的两条切线，设切点为，，则线段的长为__________． 61．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点__________. 62．（25-26高二上·山东淄博·期中）过点引圆C：的切线 (1)求切线方程 (2)设两个切点为，求切点弦所在的直线方程及线段的长． 63．（26-27高二上·河南·期中）已知圆的半径为，圆心在直线上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若圆位于第一象限内，直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. (3)若圆位于第四象限内，过作圆的两条切线，为实数，设这两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 题型11 圆的弦长与弦心距 (共 4 小题) 64．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知圆经过点，，且_______． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，求． 要求：从①过点，②圆心在直线上这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 65．（26-27高二上·江苏·期中）已知圆：（为实数）． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 66．（26-27高二上·河南·期中）已知圆的半径为，圆心在直线上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若圆位于第一象限内，直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. (3)若圆位于第四象限内，过作圆的两条切线，为实数，设这两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 67．（26-27高二上·四川·期中）（多选）已知圆：，过点作两条互相垂直的直线和分别交圆于和点，又过分别作圆的切线交于，则下列说法正确的是（ ） A．若为，且，则这样的弦共有条 B．若为，则动点在直线上 C．若为，则四边形面积的最大值为 D．若为，则凸四边形面积的最大值为 题型12 两圆的公共弦和公切线问题 (共 7 小题) 68．（26-27高二上·江苏·期中）圆：与圆：公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 69．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 70．（26-27高二上·河北保定·期中）已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 71．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知圆和圆，则（ ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 72．（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知圆与圆，则（ ） A．圆心距 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 73．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和. 求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 74．（25-26高二上·河北雄安·期中）已知圆，半径为1的圆的圆心在第二象限，圆与两条坐标轴均相切. (1)求圆的标准方程； (2)求圆和圆的公切线的方程； (3)过点的直线与圆交于、两点，直线与圆交于、两点，证明：. 题型13 直线和圆中的对称问题 (共 8 小题) 75．（26-27高二上·四川·期中）若圆关于直线对称，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 76．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 77．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）（多选）已知直线，下列说法正确的是：（ ） A．点关于的对称点的坐标是； B．直线关于的对称直线的方程是； C．直线关于点的对称直线的方程是； D．过点，垂直于直线的直线的方程是 78．（25-26高二上·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A． B． C． D． 79．（25-26高二下·上海·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 80．（25-26高二上·四川自贡·期中）在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 81．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）（多选）已知圆，则下列结论正确的有（ ） A．的取值范围为 B．若，则点在圆内 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆的方程为 82．（25-26高二上·辽宁大连·期中）（多选）在平面直角坐标系中，设曲线的方程为，则（ ） A．曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．曲线围成图形的面积为 C．曲线的周长为 D．曲线上任意两点间距离的最大值8 拔高·压轴破难 题型14 与圆有关的最值（范围）问题 (共 8 小题) 83．（25-26高二上·浙江杭州·期中）设点P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 84．（26-27高二上·广西·期中）已知实数x，y满足，则的最大值为__________. 85．（24-25高二上·湖南·期中）已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 86．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（ ） A．4 B．8 C．32 D．64 87．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知A，B是圆上的动点，且，P是圆上的动点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 88．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点，点在圆上运动． (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)已知，，求的最值； (3)过点向圆作切线，切点分别为，，求直线的方程． 89．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）如果一个圆同时与轴和一条过原点的直线l相切，则称该圆为直线l的“V圆”，直线l称为该圆的“V直线” (1)已知圆C：为直线l的“V圆”，求直线l的方程； (2)如图1所示，圆和圆均为直线l：的“V圆”，且两圆半径之积为2，点P是圆和圆的一个公共点，求证：为定值； (3)如图2所示，点为椭圆上第一象限的点，圆和圆均为直线的“V圆”，且圆和圆与直线相切于点，求两圆的面积之和的最小值. 90．（25-26高二上·宁夏银川·阶段检测）已知圆C过，，且圆心C在x轴上. (1)求圆C的周长； (2)若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； (3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记的面积为，的面积为，求的最大值. 题型15 直线和圆的轨迹问题 (共 8 小题) 91．（25-26高二上·四川成都·期中）（多选）元素，，，，其中则下列说法正确的是（   ） A．中元素个数不定 B．N表示在x轴、y轴上的截距相等的直线时，直线方程为或 C．，点，则直线： D．中有两个元素，分别记为，，线段ST中点的轨迹长度为 92．（25-26高二上·云南昆明·期中）（多选）阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的有（ ） A．曲线的方程为 B．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 93．（25-26高二上·广东·期中）（多选）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，设点P及直线l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l），则下列命题中正确的是（    ） A．，，则 B．对任意平面内的三点A、B、C，都有 C．平面内到定点M的距离和到M的“切比雪夫距离”都等于1的点只有4个 D．已知点和直线l：，则 94．（26-27高二上·河南·期中）（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线（）与曲线分别交于，两点，点，则下列说法正确的是（ ） A．曲线的方程为 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．当取得最大值时， 95．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）（多选）已知动点与两定点，的距离的比为，设点所构成的曲线为，则（ ） A．曲线的方程为 B．曲线上的点到直线的最小距离为 C．曲线上恰有三点到直线的距离为，则 D．若点坐标为，则的最小值为 96．（25-26高二上·上海虹口·期中）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 97．（24-25高二上·浙江杭州·期中）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由. 98．（25-26高二上·江苏无锡·期中）定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G为圆“”的“共生点”．已知圆，P为圆A的“伴随点”． (1)求点P所在曲线的方程； (2)已知圆，P，Q均为圆“”的“共生点”． （i）求直线的方程； （ii）若圆H是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线l与圆H交于J、K两点，是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的W点坐标；若不存在，请说明理由． 题型16 直线与圆的综合应用 (共 10 小题) 99．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知圆被直线所截得的弧长之比为，则实数m的值是（ ） A． B．1 C．3 D．4 100．（25-26高二上·河南郑州·期中）公元1765年瑞士数学家莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（三条中垂线的交点）､重心（三条中线的交点）､垂心（三条高线的交点）在同一条直线上.后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（ ） A． B． C． D． 101．（24-25高二下·上海青浦·期中）在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是_____. 102．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，则的取值范围是________． 103．（24-25高二上·辽宁大连·期中）树林的边界是直线l（如图所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线上的点A和点B处，（a为正常数），若兔子沿方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段方向以速度μ进行追击（μ为正常数），若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子.则兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积为__________；若兔子要想不被狼吃掉，则的取值范围为_____________ 104．（25-26高二上·江西·期中）某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（ ） A．8m B．7m C．7.5m D．6.5m 105．（25-26高二上·山东济南·期中）如图，某标准足球场的底宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置，现在攻方球员甲位于边线上的点处. (1)若球员甲直接在点起脚打门，球的轨迹为一条射线（不考虑球的飞行高度）.则为了进球，该球员需要控制球的飞出方向在多大的角度范围内（即求的大小，若该角度不是特殊值，则只需求出其一个三角函数值）？ (2)若球员甲直接在点起脚打门，球的初速度方向为OB方向，球画出一条美妙的圆弧（不考虑球的飞行高度），挂入球门远角，则这段圆弧所在圆的半径是多少码？ 106．（25-26高二上·广东·期中）已知点，，动点在曲线上运动，且满足. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？其中为直线的斜率，为直线的斜率.若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若直线（）将分割为面积相等的两个部分，求的取值范围. 107．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知圆，圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程. (2)写出圆与圆的一条公切线方程.（不需要写出解题过程） (3)已知点，是否存在定点，对于经过点且与圆交于，两点的任意直线，恒有？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 108．（25-26高二上·浙江杭州·期中）我们知道，在平面直角坐标系中，可以用两点之间距离公式刻画两点的距离，事实上，这里的距离属于这两个点的一种“度量”．在拓扑学中，我们规定某一实数满足： ①，当且仅当时等号成立； ②； ③． 其中，为平面直角坐标系内的三个点，我们就称是关于两点的一个“度量”．设：平面直角坐标系（O为坐标原点）内两点的“距离”． (1)求证：两点的“P距离”是关于两点的一个“度量”． (2)设P为平面直角坐标系内任意一点．若，请在下图中定性做出P点的集合组成的图象（不必说明理由，但要求做出特殊点与其特征）． (3)设Q是圆上的动点．求的取值范围． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $ 专题02 直线和圆的方程 基础·固本强基 题型1 直线的倾斜角与斜率 题型2 直线方程的几种形式（重点） 题型3 直线的位置关系 题型4 直线的交点坐标与距离公式（重点） 题型5 圆的方程与点与圆的位置关系 题型6 直线与圆、圆与圆的位置关系（重点） 提升·进阶突破 题型7 直线与线段的相交和夹角问题 题型8 直线围成图形的面积问题 题型9 直线与圆过定点问题 题型10 圆的切线方程（难点） 题型11 圆的弦长与弦心距 题型12 两圆的公共弦和公切线问题（难点） 题型13 直线和圆中的对称问题（难点） 拔高·压轴破难 题型14 与圆有关的最值（范围）问题（重难点） 题型15 直线和圆的轨迹问题（重难点） 题型16 直线与圆的综合应用（重难点） 基础·固本强基 题型1 直线的倾斜角与斜率 (共 5 小题) 1．（26-27高二上·河南·期中）直线的倾斜角是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】写出直线斜截式，根据倾斜角与斜率的关系确定倾斜角大小. 【详解】由题设，设倾斜角为且，则， 所以. 2．（25-26高二上·江苏无锡·期中）若向量是直线的一个方向向量，则的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】先根据直线的方向向量计算直线的斜率，再结合倾斜角的取值范围求解倾斜角. 【详解】设直线的倾斜角为， 由向量是直线的一个方向向量，故直线斜率， 则，故. 3．（26-27高二上·四川·期中）在平面直角坐标系中，过点和点的直线的倾斜角为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由已知直线过点和点， 则直线斜率， 则直线的倾斜角满足， 又，故. 4．（25-26高二下·贵州毕节·期中）直线经过、两点，且倾斜角是，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【详解】由直线的倾斜角为，所以 直线的斜率； 又直线经过、两点，可得，且， 整理得， 解得，经检验符合题意. 5．（24-25高二上·湖南常德·期中）直线的方程为，则直线的倾斜角的范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】当时，可得倾斜角，当时，由直线方程可得斜率，然后由余弦函数和正切函数的性质求解． 【详解】当时，直线的方程为，此时倾斜角， 当时，由直线方程可得斜率， 因为且， 所以，即， 又，所以， 综上， 故选：D 题型2 直线方程的几种形式 (共 6 小题) 6．（26-27高二上·安徽·期中）直线在轴上的截距为（ ） A．2 B． C． D． 【答案】B 【详解】令，得，解得，则直线在轴上的截距为. 7．（25-26高二上·新疆乌鲁木齐·期中）已知圆和点，则直线 CM的方程是______. 【答案】 【分析】先把圆的一般方程化为标准方程得，再根据两点式直线方程求解即可. 【详解】由题意得圆的标准方程为， 所以圆心，又， 所以由两点式可得直线的方程为，即. 8．（25-26高二上·江苏南通·期中）若直线不经过第四象限，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将直线化为斜截式，结合其不经过的象限列不等式求参数范围. 【详解】由题设不经过第四象限， 则. 故选：B 9．（25-26高二上·四川阿坝·期中）（多选）下列说法中，正确的有（  ） A．直线在y轴上的截距是 B．直线经过第一、三、四象限 C．过点且在x轴，y轴上的截距相等的直线方程为 D．过点，且倾斜角为90°的直线方程为 【答案】AD 【详解】直线在y轴上的截距是，故A正确； 直线，即经过第一、二、三象限，故B错误； 若过原点，则过点且横纵截距相等的直线方程为， 若不过原点，则过点且横纵截距相等的直线方程为，故C错误； 过点，且倾斜角为90°的直线方程为，故D正确. 10．（24-25高二上·浙江·期中）（多选）下列命题正确的是（   ） A．直线在轴的截距是 B．直线的倾斜角为 C．过点且倾斜角为的直线方程为 D．过点的直线与轴，轴正半轴分别交于，两点，则（为坐标原点）面积的最小值为． 【答案】BCD 【分析】根据直线的截距、倾斜角、直线方程结合基本不等式等知识可确定正确答案. 【详解】对于A：由，令，得， 所以直线在轴的截距是，即A错误； 对于B：由，得斜率，所以倾斜角为，故B正确； 对于C：过点且倾斜角为的直线方程为，即，故C正确； 对于D：设与轴，轴的交点，， 则， ∵过点，∴， 由基本不等式得， ∴，当且仅当时，等号成立 所以，即面积的最小值为，故D正确. 故选：BCD. 11．（25-26高二上·四川阿坝·期中）已知的顶点为，，． (1)求过点且平行于直线的直线方程； (2)求边上的中线所在直线方程； (3)求边上的高所在直线方程． 【答案】(1) (2) (3) 【详解】（1）直线的斜率为， 设平行于直线的直线方程为，将代入得， 故过点且平行于直线的直线方程为； （2）线段的中点，则， 则边上的中线所在直线方程为，即； （3）因为直线的斜率为，所以直线的斜率为， 所以边上的高所在直线方程为，即. 题型3 直线的位置关系 (共 4 小题) 12．（25-26高二上·福建南平·期中）若直线与直线垂直，则（    ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】D 【分析】根据一般式方程下直线垂直的关系列式求解即可. 【详解】因为直线与直线垂直， 所以，解得. 故选：D 13．（26-27高二上·山东·期中）（多选）若直线：与直线：平行，则实数可能为（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】BC 【分析】对于直线和直线，若两直线平行，则，且或者.我们先根据求出可能的值，再检验是否满足后面的条件. 【详解】对于直线和直线. 由可得，解得或者. 当时：直线，直线. 此时，两直线平行. 当时：直线，直线. 此时，两直线平行. 14．（25-26高二上·广东湛江·期中）求满足下列条件的直线方程（最后答案以直线方程的一般式表示）： (1)过点，且与直线平行的直线方程； (2)已知，，求线段的垂直平分线的方程． 【答案】(1) (2) 【详解】（1）设与直线平行的直线方程为， 由于过点，代入，解得， 可得， 所以直线方程为：． （2）由题意知，，则线段的中点， 直线的斜率， 因为直线与直线垂直，则有，所以， 再由直线经过点， 则由点斜式方程可得直线的方程为：， 化为一般式为：． 15．（26-27高二上·河南·期中）在等腰梯形中，，且，，. (1)求点的坐标； (2)求梯形的面积. 【答案】(1) (2)6 【详解】（1）由题意可知， ，因为， 所以 ，所以边所在直线的方程为 ，即. 设， 因为， 所以， 整理得，解得或， 当时，，此时与不平行，四边形为等腰梯形，符合题意； 当时，，此时，四边形为平行四边形，不符合题意； 故点的坐标为. （2）， ， 等腰梯形的高为点到直线的距离，即， 故梯形的面积为. 题型4 直线的交点坐标与距离公式 (共 9 小题) 16．（25-26高二下·湖南长沙·期中）若直线与直线垂直，则这两条直线的交点坐标为 （ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】显然时不合题意，则直线的斜率为，直线的斜率为， 因为两条直线垂直，所以，解得， 联立可得，解得，即两条直线的交点坐标为. 17．（25-26高二上·福建福州·期中）三条直线与相交于一点，则___________． 【答案】 【分析】先联立方程得交点，再代入求解即可. 【详解】根据题意，联立方程，解得， 所以与相交于点， 因为三条直线与相交于一点， 所以点在上，即，解得 所以. 故答案为： 18．（25-26高二上·天津滨海新区·期中）已知点，则（ ） A．26 B．18 C． D．6 【答案】C 【分析】由两点间距离公式即可求解. 【详解】由两点间距离公式可得. 故选：C 19．（26-27高二上·河南·期中）两直线与之间的距离为______. 【答案】 【详解】两直线 与 之间的距离， 即两条直线与 之间的距离，为. 20．（25-26高二上·广西钦州·期中）若直线与直线间的距离为1，则__________. 【答案】6或 【分析】由平行线间距离公式即可求解. 【详解】直线化为， 根据平行线间的距离公式：　　， 解得：或. 故答案为：6或-14 21．（24-25高二上·山东济南·期中）求经过直线和直线的交点C，并且满足下列条件的直线方程. (1)与直线平行； (2)到原点的距离等于1. 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）设所求直线为，整理为一般方程后利用两直线平行的充要条件可求，即得解； （2）设所求直线为，整理为一般方程后利用点到直线距离求解，即得解. 【详解】（1）设所求直线为，即， 因为此直线与平行， 所以，解得， 故所求直线为. （2）由于原点到直线的距离为， 设所求直线为，即， 所以，解得或， 故所求直线方程为或. 22．（25-26高一下·浙江宁波·期中）已知的顶点，边的中线所在直线方程为，边上的高所在直线方程为． (1)求A的坐标； (2)求点A到直线的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先由求出直线的斜率与方程，再联立直线与中线的方程，求出点的坐标； （2）先设出中线上点的坐标，利用中点坐标公式表示出点的坐标，再结合点在直线上求出参数，确定坐标与直线方程，最后用点到直线的距离公式计算结果. 【详解】（1），， 由得直线： 又在中线：上， 联立，解得 （2）在直线：上，设 是中点，， 在直线：上， ，解得 由、，得直线： 点到直线的距离：. 23．（25-26高二上·福建莆田·期中）已知直线经过点. (1)若点到直线的距离为1，求直线的方程； (2)若直线在轴上的截距等于在轴上的截距的5倍，求直线的方程. 【答案】(1)或. (2)或. 【分析】（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为，验证是否满足题意，当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即，利用点到直线的距离公式即可求解； （2）分过原点和不过原点两种情况讨论，当不过原点时，设的方程为：，代入点解出即可求解. 【详解】（1）当直线的斜率不存在时，直线的方程为， 此时到直线的距离为1，满足题意； 当直线的斜率存在时，设直线的方程为：，即， 所以，，此时直线的方程为. 综上，直线的方程为或； （2）当过原点时，满足题意，可求出的方程为：，即. 当不过原点时，设的方程为：，把代入， 则有，，，此时的方程为：. 综上，直线的方程为：或. 24．（25-26高二上·山东济南·期中）求以下直线方程 (1)已知直线若直线过点，且，求直线的方程； (2)已知直线经过点，且点和点到直线的距离相等，求直线的方程． 【答案】(1) (2)或 【分析】（1）利用两条直线垂直的斜率关系，结合直线的点斜式方程求解即可； （2）点和到直线距离相等，分两种情况：①直线，②直线过中点，分别求出直线方程即可. 【详解】（1）因为直线的方程为，所以直线的斜率为．因为，所以直线的斜率为． 因为直线过点，所以直线的方程为， 即． （2）点和到直线距离相等，分两种情况： ①直线，因为直线斜率， 故直线方程为，即． ②直线过中点．中点为，又直线经过点， 所以直线方程为． 综上，直线的方程为或． 题型5 圆的方程与点与圆的位置关系 (共 9 小题) 25．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）圆的圆心坐标为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用圆的标准方程求解圆心坐标即可. 【详解】由题意得圆的方程为，该圆的圆心坐标为. 26．（26-27高二上·河北保定·期中）以为圆心，为半径的圆的方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【详解】以为圆心，为半径的圆的方程为． 27．（25-26高二下·四川成都·期中）圆的半径为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将圆的方程通过配方法由一般形式化为标准形式即可. 【详解】原方程为，分组配方得， 整理为圆的标准方程， 对比圆的标准方程 （为半径），可得半径 . 28．（25-26高二上·福建三明·期中）已知方程表示圆，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据圆的一般方程成立的条件列出关于的不等式求解即可. 【详解】由题意可知，，即，解得. 故选：B. 29．（25-26高二上·江苏盐城·期中）设，若直线与圆相交，则点与圆的位置关系是（    ） A．在圆上 B．在圆外 C．在圆内 D．不能确定 【答案】B 【分析】利用点到直线的距离公式，根据直线与圆相交，推得，再利用两点间距离公式理解点的运动轨迹，即可判断结论. 【详解】因直线与圆相交， 则圆心到的距离，化简得， 即动点的轨迹为以原点为圆心，半径为2的圆的外部（不含圆弧）， 故点在圆的外面. 故选：B. 30．（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆的内部，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】直接将点的坐标代入结合点与圆的位置关系求解即可. 【详解】因为点在圆内部， 所以，解得. 故选：C. 31．（25-26高二上·重庆·期中）若点在圆外，则的取值范围（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先将圆的方程化为标准方程，再根据点在圆外列出不等式组即可. 【详解】将圆化为标准方程得， 因为点在圆外， 所以，解得， 所以的取值范围. 故选：D. 32．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知圆经过，，三点. (1)求圆的一般方程； (2)求直线被圆截得的弦长. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先设圆的一般方程，再应用待定系数法求出待定参数即得答案； （2）先求圆心到直线的距离，再利用弦长公式计算即可. 【详解】（1）设圆的一般方程为，， 将各点坐标代入，可得，解得， 所以圆的一般方程为； （2）由（1）可得圆的方程为，则圆心为，半径， 圆心到直线的距离， 所以直线被圆截得的弦长为. 33．（25-26高二上·甘肃兰州·期中）的顶点的坐标分别为. (1)过点A与直线平行的直线方程； (2)的外接圆方程； (3)已知过点的直线l与的外接圆相交的弦长为6，求直线l的方程. 【答案】(1) (2) (3)或 【分析】（1）先求出的斜率，再由点斜式求出其方程，然后设所求直线方程为，代入点可得； （2）设出圆的一般方程，由待定系数法可得； （3）求出圆心到直线的距离，再分斜率存在与否可得. 【详解】（1）由题意得， 所以的方程为，即：， 因为所求直线过点A与直线平行，所以设其为， 代入点可得， 所以直线的方程： （2）设所求圆的方程为， 因点在圆上，则有，解得：， 故的外接圆的方程是 （3）圆的方程为，圆心，半径为5， 因为过点的直线l与的外接圆相交的弦长为6， 则圆心到直线的距离为， 所以当直线的斜率不存在时，可得直线l的方程为，符合题意； 当直线的斜率存在时设为，则直线l的方程为， 所以，解得， 所以直线l的方程为， 综上直线l的方程或. 题型6 直线与圆、圆与圆的位置关系 (共 6 小题) 34．（25-26高二上·陕西汉中·期中）判断直线与圆的位置关系（ ） A．相交 B．相切 C．相离 D．不确定 【答案】B 【分析】根据点到直线的距离公式，结合直线与圆的位置关系判断即可． 【详解】圆中，圆心坐标为，半径， 直线即， 所以圆心到直线的距离， 故该直线与圆相切． 35．（26-27高二上·广西·期中）直线与曲线有两个不同的交点，则实数的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】作出曲线与直线的图象，由题意根据图象计算可解. 【详解】由，平方得表示圆心在原点半径为1的上半圆， 表示恒过定点的直线， 直线与曲线有两个不同的交点即半圆和直线始终有两个公共点， 如图： 圆心到直线的距离为，解得， 当直线经过时由得， 当直线经过时由得， 所以实数的取值范围为. 36．（25-26高二下·广东广州·期中）已知圆与直线恰有2个交点，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据直线与圆有2个交点的位置关系，等价于圆心到直线的距离小于半径，表示出距离，列出不等式求解即可. 【详解】解：由题意得，，半径，直线为， 设圆心到直线的距离为，则由点到直线的距离公式，可得， 若圆与直线有2个交点，则，即，解得，所以. 37．（25-26高二下·上海·期中）圆与圆的位置关系是（ ） A．外离 B．外切 C．相交 D．内切 【答案】C 【分析】将两圆的一般方程化为标准方程，求得圆心坐标与半径，计算圆心距后与两半径的和、差比较，即可判断两圆位置关系。 【详解】对于圆：，配方得，故圆心，半径； 对于圆：，配方得，故圆心，半径； 显然两圆圆心距， 两半径之差为，两半径之和为， 显然满足，即，因此两圆相交. 38．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知圆和圆，则使得圆与圆相切的的值有（ ）个． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】确定两圆的圆心坐标与半径，再分两圆相外切与相内切两种情况讨论. 【详解】圆的圆心为，半径； 圆的圆心为，半径； 若圆与圆相外切，则，即，解得或； 若圆与圆相内切，则，即，解得或； 故使得圆与圆相切的的值有、、、，共个. 39．（25-26高二上·广西河池·阶段检测）已知圆. (1)若直线过点，且与圆C相切，求直线的方程； (2)若圆D的半径为1，圆心在直线上，且与圆C外切，求圆D的方程. 【答案】(1)或 (2)或 【分析】（1）求出已知圆的圆心和半径，然后按照直线的斜率存在和不存在两种情况分类讨论，进而利用圆心到直线的距离等于半径列方程求解即可； （2）由题意设，利用两圆外切列方程求得或，代入圆的标准方程即可求解. 【详解】（1）圆，化为标准方程为， 所以圆C的圆心为，半径为5， ①若直线的斜率不存在，即直线为，符合题意； ②若直线的斜率存在，设直线的方程为，即. 由题意知，圆心到已知直线的距离等于半径5， 所以，即，解得，所以直线方程为. 综上，所求直线的方程为或； （2）由圆心D在直线上，故设圆D的圆心为， 又已知圆C的圆心为，半径为5， 由两圆外切，可知，所以， 解得或， 所以或， 所以所求圆D的方程为或. 提升·进阶突破 题型7 直线与线段的相交和夹角问题 (共 5 小题) 40．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知点，，过点的直线l与线段AB有交点，则直线l斜率的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用斜率公式，分别求得直线和直线的斜率，结合图象，即可求解. 【详解】由，得直线的斜率分别为，， 而过点的直线与线段有交点，如图， 所以直线l斜率的取值范围为. 41．（24-25高二下·上海·期中）已知直线过点，且与直线的夹角为，则直线的方程为______________. 【答案】或 【分析】先求出直线的倾斜角，再根据直线和直线夹角为，可得直线的倾斜角，进而得到直线的斜率，从而求得直线的方程. 【详解】由题意得：直线的斜率为，所以其倾斜角为， 设直线的倾斜角为， 又直线与直线的夹角为，所以或， 又直线过点， 当时，直线的方程为：， 当时，斜率，所以直线的方程为：， 即. 42．（25-26高二上·浙江杭州·期中）直线和的夹角的余弦值为________． 【答案】　/　 【详解】设直线和的倾斜角分别为，两直线的夹角为， 则， 所以， 而，，，解得， 则直线和的夹角的余弦值为. 43．（25-26高二上·广东东莞·期中）已知，直线上存在点，满足，则的倾斜角的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】首先确定直线所过定点，根据线段长度，可将问题转化为直线与线段有交点，结合图象确定临界状态，得到直线斜率的取值范围，进而求得倾斜角的范围. 【详解】直线方程可化为：， 令得，所以直线恒过定点， 因为，所以， 又，所以直线与线段有交点，如图所示， 由，则，， 要使直线与线段有交点，则直线的斜率需满足， 则直线的倾斜角范围为. 故选：B 44．（25-26高二上·河北石家庄·期中）已知三条直线，，. (1)若，，交于一点，求实数的值； (2)若，，可以围成一个三角形，求实数的取值范围. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）先求出，的交点，再应用交点在上，列式计算求参； （2）先求出，，不可以围成一个三角形时的参数取值，进而得出，，可以围成一个三角形时参数范围. 【详解】（1）联立与的方程，得解得 即与的交点坐标为， 由题意知点在上，所以， 解得. （2）由（1）知， 当时，，所以， 当时，，所以， 当，，三条直线可以围成三角形，则且且， 故的取值范围为. 题型8 直线围成图形的面积问题 (共 7 小题) 45．（25-26高二上·重庆·期中）（多选）已知直线，则下列说法正确的是（    ） A．点在直线上 B．在轴上的截距为 C．与坐标轴围成的三角形的面积为 D．直线到的距离为 【答案】AC 【分析】利用点与直线的位置关系可判断A选项；利用截距的定义可判断B选项；求出直线与坐标轴的交点坐标，结合三角形的面积公式可判断C选项；利用平行线间的距离公式可判断D选项. 【详解】对于A选项，因为直线的方程为，且， 故点在直线上 ，A对； 对于B选项，在直线的方程中，令，可得，所以在轴上的截距为，B错； 对于C选项，在直线的方程中，令，可得， 故直线与坐标轴围成的三角形的面积为，C对； 对于D选项，直线的方程可化为，则直线与直线平行， 所以，直线到的距离为，D错. 故选：AC. 46．（25-26高二上·新疆喀什·期中）过定点的直线与过定点的直线交于点（与、不重合），则面积的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由已知方程求得点A，点B的坐标，求得直线的方程；用m表示出点P的坐标，利用点到直线的距离公式求得点P到直线的距离，并求得其取值范围，从而得到面积的最大值.或根据方程得两直线垂直，从而得到面积为，根据不等式得到其最大值. 【详解】由，得; 由，得. 所以直线的斜率为，所以直线的方程为，即. 由，得，且. 所以，所以点P到直线的距离为. 因为且，所以且，所以且， 即且. 所以面积为，当且仅当时，等号成立. 所以当时，面积取得最大值，最大值为2. 故选：D. 方法二：由，得; 由，得.所以. 易知直线与直线垂直. 所以. 所以面积为. 所以时，面积取得最大值，最大值为2. 故选：D. 47．（25-26高二上·浙江台州·期中）已知的顶点为，直线的方程为． (1)求直线的方程； (2)若为，求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】（1）由已知得出，可求出直线的斜率，再利用点斜式可得出直线的方程； （2）求出点到直线的距离，并求出，利用平行四边形的面积公式可求得结果. 【详解】（1）因为四边形为平行四边形，所以，所以， 又因为点，所以直线的方程为，即. （2）点到直线的距离为，且， 故平行四边形的面积为． 48．（25-26高二上·广东汕头·期中）已知的三个顶点分别是，，. (1)求边所在直线的方程，以及这条边的垂直平分线的方程； (2)求的面积； (3)求的外接圆的方程. 【答案】(1)边所在直线的方程：，垂直平分线的方程：； (2) (3) 【分析】（1）求出，利用点斜式求出边所在直线的方程，求出的中点坐标，再由点斜式计算可得； （2）求出及点到直线的距离，再由面积公式计算可得； （3）设的外接圆的方程为，代入点的坐标得到方程组，解得即可. 【详解】（1）因为，，所以， 所以边所在直线的方程为，即， 又的中点为，即， 所以边垂直平分线的方程为，即； （2）因为， 又点到直线：的距离， 所以. （3）设的外接圆的方程为， 依题意可得，解得， 所以，即， 即的外接圆的方程为. 49．（26-27高二上·河南·期中）已知直线． (1)证明：直线过定点； (2)若直线不经过第四象限，求的取值范围； (3)若直线交轴负半轴于点，交轴正半轴于点，为坐标原点，设的面积为，求的最小值及此时直线的方程． 【答案】(1)证明：直线的方程可化为，故无论取何值，直线总过定点． (2) (3)的最小值为4，直线l的方程为 【分析】（1）直线方程化为，可以得出直线总过定点； （2）考虑直线的斜率及在轴上的截距建立不等式求解； （3）利用直线在坐标轴上的截距表示出三角形的面积，利用均值不等式求最值，确定等号成立条件即可求出直线方程. 【详解】（1）略 （2）直线的方程为，且恒过点， 则直线在轴上的截距为， 要使直线不经过第四象限，则 ，解得， 故的取值范围是． （3）依题意，直线l在x轴上的截距为，在y轴上的截距为， 所以 ，． 又且，． 故， 当且仅当，即时取等号． 故的最小值为4，此时直线l的方程为． 50．（25-26高二上·广东湛江·期中）已知直线过定点，直线的方程是． (1)若直线的横截距为纵截距的3倍，求直线的方程． (2)若直线与轴正半轴分别交于两点，过分别作直线垂线，垂足分别是．求四边形面积的最小值． 【答案】(1)或； (2)4 【分析】（1）分别考虑直线的横、纵截距是否均为0设方程，代入求出参数，可得结果； （2）设出的方程，分别表示出的面积，结合基本不等式求解出四边形面积的最小值． 【详解】（1）当直线的横、纵截距均为0时，设其方程为，代入，得，则得； 当直线的横、纵截距均不为0时，可设，代入点，解得， 则直线方程为， 所以直线的方程为或； （2）由题意直线的斜率存在，可设， 令，则，所以， 令，则，所以， 所以， 因为的倾斜角为，所以， 所以均为等腰直角三角形， 所以， 所以 因为，所以， 当且仅当，即时取等号， 由二次函数性质可知，，当且仅当时取等号， 所以四边形PQSR面积的最小值为4． 51．（25-26高二上·福建宁德·期中）已知点分别是两射线和上的点，点. (1)若点是线段的中点，求线段的长. (2)设点在直线上，为坐标原点. ①若直线垂直于轴，求的面积； ②求面积的最小值，并求取到最小值时直线的方程. 【答案】(1) (2)①；②最小值6， 【分析】（1）方法一：先考虑直线的斜率不存在，不合要求，再考虑直线的斜率存在，直线的方程为，联立求出两点的坐标，得到方程组，求出，得到，求出答案； 方法二：设，根据是线段的中点得到方程，求出，所以，求出答案. （2）方法一：①在（1）基础上，得到； ②在（1）基础上，得到，换元后，由函数单调性得到面积最小值为6，因为，所以最小值为6，此时直线的方程为. 方法二：①在（1）基础上，得到； ②设，由三点共线得到，由基本不等式“1”的妙用求出，从而得到，求出此时直线的方程. 【详解】（1）方法一：若直线的斜率不存在，即的方程为，易得，， 此时的中点坐标为，与点不符，不合题意. 可知直线的斜率存在，不妨设为，依题意得或， 此时直线的方程为， 由可得， 由可得， 因为的中点为，所以 解得， 则， 则； 方法二：设， 由是线段的中点可得 所以， 所以， 则. （2）方法一：①当直线的斜率不存在时，由（1）的结论， 可得. ②当直线的斜率存在时，设为，依题意得或， 则直线的方程为， 由（1）可得. . 设，则且，令， 则且，即且， 可得且不等于， 因为，所以当，即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. 方法二：①当直线的斜率不存在时，由①的结论， 可得. ②设， 由三点共线可得，即， 整理得，即， 所以， 当且仅当时取到等号. ， 即时，取得最小值6， 此时直线的方程为. 题型9 直线与圆过定点问题 (共 5 小题) 52．（25-26高二上·重庆·期中）直线：恒过定点______． 【答案】 【分析】原方程整理为，解方程组得解. 【详解】由可得， 联立，解得， 故直线恒过点, 故答案为： 53．（25-26高二上·重庆·期中）点到直线 的距离的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出直线所过定点，点到直线的距离的最大值为. 【详解】直线， 即，由，解得， 所以直线过定点，， 点到直线的距离的最大值为. 故选：C 54．（26-27高二上·江苏·期中）（多选）已知圆：，直线：（），则下列结论正确的是（ ） A．直线恒过定点 B．点为圆上一动点，则到直线距离的最大值为5 C．当时，圆上恰有两个点到直线的距离都等于 D．直线上存在点，使过点所作的圆的两条切线相互垂直，则 【答案】AD 【分析】将直线方程变形求解定点判断A；先求出圆心到直线的距离，然后求解范围，利用直线与圆的位置关系求解距离范围判断B；利用圆心到直线的距离判断C；设，由圆的性质得，即 ，根据判别式法求得参数范围即可判断D. 【详解】对于A，直线：，即 ， 由解得， 所以直线恒过定点，故A正确； 对于B，圆的圆心为，半径为， 圆心到直线的距离为， 当时，，当时，， 所以， 则圆上一动点到直线距离的最大值小于，故B错误； 对于C，当时，， 圆心到直线的距离为， 因为， 所以圆上恰有个点到直线的距离都等于，所以C错误； 对于D，设， 因为过点所作的圆的两条切线相互垂直， 所以由圆的性质可知两切点与两点形成正方形，且边长为， 则， 平方化简得， 根据点的存在性可知方程有解， 所以， 整理得，解得， 即，所以D正确. 55．（25-26高二上·上海·期中）圆：. (1)若圆与轴相切，求圆的方程； (2)求证：不论为何值，圆必过两定点. 【答案】(1)或. (2)证明: 圆的方程即：， 联立方程组：可得或， 则圆恒过定点和. 【分析】（1）将圆的方程化为标准式，求出圆心和半径，然后利用圆心到轴距离等于半径列式，求解即可； （2）将圆的方程变形，然后解方程组即可求得圆经过的定点. 【详解】（1）圆的方程：， 其中恒成立，圆心为，半径为， 因为圆与轴相切，所以， 解得或， 所以圆的方程为或. （2）略. 56．（25-26高二上·湖北荆州·期中）动圆：与直线：交于两点． (1)证明：动圆必过两定点，并求出这两点坐标； (2)求的最小值； (3)是否存在一条定直线，在其上任取点，无论为何值，都有为常数，若存在，求出定直线方程；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)或； (2)； (3)存在，. 【分析】（1）将圆的方程整理得，由，可解得两定点； （2）求出圆的圆心坐标和半径，求圆心到直线的距离为，使用公式，将和代入整理得，设，利用二次函数的图像和性质求出； （3）设定，，，根据向量法得出，经整理后得到，因为无论为何值，都有为常数，则有，进而得到定直线. 【详解】（1）， 整理得， 由，解得或， 即动圆恒过两定点的坐标为或. （2）由圆的方程可得， 圆的圆心坐标为， 圆的半径为， 则圆的圆心到直线：的距离为， 所以两点间的距离， 整理得， 设，其对称轴为， 故， 所以. （3）设，， 将直线代入圆中， 得， 整理得，根据韦达定理得， 设，则，， 则有， 整理得， 即有， 整理得， 因为无论为何值，都有为常数， 则令，为常数. 故存在定直线，即，其上任意点满足条件. 题型10 圆的切线方程 (共 7 小题) 57．（25-26高三上·河北·期中）（多选）已知圆，直线，则下列说法正确的是（ ） A．直线恒过定点 B．圆被轴截得的弦长为 C．若直线与圆相切，则 D．圆上的点到直线的最大距离为7 【答案】ABD 【分析】化简直线为，可判断A正确；利用圆的弦长公式，可判断B正确；由圆心到直线的距离等于圆的半径，列出方程，求得的值，可判断C不正确；求得圆心到直线的距离的最大值，结合圆的性质，可判断D正确. 【详解】对于A，由直线，可得， 可得直线恒过定点，所以A正确； 对于B，由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到轴的距离，所以弦长为，所以B正确； 对于C，若直线与圆相切，则满足，即， 解得，所以C不正确； 对于D，由圆的圆心为，直线恒过定点，可得， 当直线与垂直时，此时圆心到直线的距离取得最大值，最大值为， 又因为圆的半径为，所以圆上的点到直线的最大距离为，所以D正确. 故选：ABD. 58．（25-26高二上·江苏无锡·期中）过点作圆 ： 的切线，则切线方程为_______． 【答案】 【分析】先验证点在圆上，进而求出切线斜率，最后用点斜式写出切线方程并整理． 【详解】将点代入圆的方程左侧，与右侧相等， 所以点在圆上， 由圆的标准方程，得圆心的坐标为， ，所以切线斜率为1， 所以过点的切线方程为，即． 59．（25-26高二下·河南·期中）已知点，，线段为的一条直径．设过点且与相切的两条直线的斜率分别为，，则_________． 【答案】　/　 【分析】根据给定条件，利用圆的切线性质列式求解. 【详解】由点，线段为的一条直径，得， 的半径， 由两条切线的斜率均存在，设切线方程为，则， 整理得，因此是方程的两个根， 所以　　. 60．（25-26高二上·浙江杭州·期中）过点作圆的两条切线，设切点为，，则线段的长为__________． 【答案】 【详解】 如图示，由已知得，，且， 则，即线段的长为. 61．（25-26高二上·山东济宁·期中）已知圆，点为直线上一动点，过点向圆引两条切线为切点，则直线经过定点__________. 【答案】 【分析】设出点坐标，得到以为直径的圆的方程，与已知圆的方程联立，可得直线的方程，再由直线系方程求解． 【详解】设，则以为直径的圆的方程为，① 又圆，② ①②可得直线，即， 联立，解得． 直线经过定点． 故答案为： 62．（25-26高二上·山东淄博·期中）过点引圆C：的切线 (1)求切线方程 (2)设两个切点为，求切点弦所在的直线方程及线段的长． 【答案】(1)与 (2)， 【分析】（1）利用圆的切线的性质，结合点到直线距离公式求解； （2）先求出切点坐标，再利用圆的切线的基本性质求出所在直线斜率，进而求出直线方程，最后求出圆心到直线的距离，利用弦长公式求出． 【详解】（1）圆的圆心为，半径， 过的直线与圆相切，则圆心到直线的距离为1， 若直线斜率不存在，则过的直线方程为，则圆心到直线的距离为， 符合题意，故是圆的切线方程； 若直线斜率存在，设为，则直线方程为，圆心到直线的距离为， 即，解得，则直线方程为， 切线方程为与． （2） 联立切线与圆的方程，解得，故点， 点位于圆外，连接交于点， 　　， ，， 　　，为等腰三角形，为中点， 　　　　， ，解得， 直线的方程为，一般方程为：， 圆心到直线的距离为， ． 63．（26-27高二上·河南·期中）已知圆的半径为，圆心在直线上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若圆位于第一象限内，直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. (3)若圆位于第四象限内，过作圆的两条切线，为实数，设这两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）根据题目要求，列方程求圆心即可； （2）求出圆心到直线的距离，由勾股定理表示弦长，解方程即可； （3）设切线方程，由相切关系得到切线距离等于圆的半径可列等式；得到关于的二次函数，根据韦达定理求出，，再根据弦长公式将表示出来，结合，，将转化为关于的函数，即可求最小值. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心为， 由题意得，解得或， 故圆的标准方程为或. （2）圆位于第一象限内，故圆心为， 所以圆心到直线的距离为，半径， 因为直线被圆截得的弦的长度为， 所以， 整理得，解得或. 故的值为或. （3）因为圆位于第四象限内，所以圆心为， 易知切线斜率均存在，设过作圆的切线方程为， 两切线的斜率分别为，，由圆心到切线的距离， 整理得， 所以，， 在切线方程中，令，则， 不妨取，， 则　　　　， 当时，取得最小值，为. 题型11 圆的弦长与弦心距 (共 4 小题) 64．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）已知圆经过点，，且_______． (1)求圆的标准方程； (2)若直线与圆相交于两点，求． 要求：从①过点，②圆心在直线上这两个条件中任选一个，补充在上面的问题中，并给出解答．如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分． 【答案】(1) 选①： （解法一）:设圆的标准方程为． 因为圆经过点，，三个点， 所以，消去得，解得， 再将代入解得， 圆的标准方程为． （解法二）:设圆的一般方程为． 由题意可得，， 消去得，解得，再代入方程解得. 圆的一般方程为， 即圆的标准方程为． 选②： （解法一）：由，，得，中点为， 线段的垂直平分线为，即． 又圆心在直线上， 联立，解得，即圆心． 圆的半径， 圆的标准方程为． （解法二）：因为圆心在直线上， 所以设圆心，且，在圆上， ，， 整理得，解得. 所以圆心． 圆的标准方程为． (2) 【分析】（1）选① ：解法一：设圆的标准方程，根据已知条件列方程，由此求得圆的标准方程；解法二：设圆的一般方程，根据已知条件列方程，由此求得圆的标准方程.选②：解法一：先求得线段垂直平分线的方程，通过联立方程组求得圆心的坐标，进而求得圆的半径，从而求得圆的标准方程；解法二：根据圆心在直线上，设圆心，再由可得，从而可得圆的标准方程； （2）由（1）知圆的标准方程，解法一：利用点到直线的距离公式以及圆的弦长公式求得；解法二：通过联立方程组的方法，求得两点的坐标，进而求得. 【详解】（1）略 （2）（解法一）：由（1）知圆的标准方程为， 所以圆心到直线的距离. 因为圆的半径，所以弦长． （解法二）：联立直线方程与圆的方程得， 消去，化简整理得，解得或， 当时，代入得； 当时，代入得. 所以交点，由两点间距离公式得． 65．（26-27高二上·江苏·期中）已知圆：（为实数）． (1)若直线被圆截得的弦长为，求的值； (2)若过点的圆与圆相切于点，求圆的标准方程． 【答案】(1) (2). 【分析】（1）根据圆的方程得到圆心坐标，然后利用距离公式得到圆心到直线的距离，再利用勾股定理得到半径，最后列方程求即可； （2）根据相切得到圆心在直线上，在的中垂线上，然后联立方程得到圆心坐标，再计算半径，写标准方程即可. 【详解】（1）由题意得圆：（为实数）． 圆的圆心， 则到直线的距离， 所以圆的半径， 则， 解得. （2）因为圆与圆相切， 所以圆的圆心在直线上， 又因为，， 所以, 所以直线的方程为， 即为①， 因为圆与圆相切于点， 所以为圆上的点，又圆过点， 所以圆圆心在的中垂线上， ，中点坐标为， 所以的中垂线方程为②， 联立① ②得 ， 所以圆圆心为，半径， 所以圆的标准方程为. 66．（26-27高二上·河南·期中）已知圆的半径为，圆心在直线上，且直线与圆相切. (1)求圆的标准方程； (2)若圆位于第一象限内，直线被圆截得的弦的长度为，求实数的值. (3)若圆位于第四象限内，过作圆的两条切线，为实数，设这两条切线与轴分别交于两点，求的最小值. 【答案】(1)或 (2)或 (3) 【分析】（1）根据题目要求，列方程求圆心即可； （2）求出圆心到直线的距离，由勾股定理表示弦长，解方程即可； （3）设切线方程，由相切关系得到切线距离等于圆的半径可列等式；得到关于的二次函数，根据韦达定理求出，，再根据弦长公式将表示出来，结合，，将转化为关于的函数，即可求最小值. 【详解】（1）因为圆心在直线上，设圆心为， 由题意得，解得或， 故圆的标准方程为或. （2）圆位于第一象限内，故圆心为， 所以圆心到直线的距离为，半径， 因为直线被圆截得的弦的长度为， 所以， 整理得，解得或. 故的值为或. （3）因为圆位于第四象限内，所以圆心为， 易知切线斜率均存在，设过作圆的切线方程为， 两切线的斜率分别为，，由圆心到切线的距离， 整理得， 所以，， 在切线方程中，令，则， 不妨取，， 则　　　　， 当时，取得最小值，为. 67．（26-27高二上·四川·期中）（多选）已知圆：，过点作两条互相垂直的直线和分别交圆于和点，又过分别作圆的切线交于，则下列说法正确的是（ ） A．若为，且，则这样的弦共有条 B．若为，则动点在直线上 C．若为，则四边形面积的最大值为 D．若为，则凸四边形面积的最大值为 【答案】BCD 【分析】对于A，由弦长公式计算得，由对称性，求出这样的弦的条数；对于B，设，求出切点弦所在直线的方程，将点代入直线，得到，说明在直线上；对于C，求出圆心到的距离分别为，求出，，，，从而得到四边形面积的最大值；对于D，如图所示，由作的垂线，连接，记，，，求出，，，，，进而求出的最大值． 【详解】对于A，因为，所以在圆的内部， 过的弦中最长弦为直径，则最长弦长为， 最短弦为过且垂直于的弦，，， 则最短弦长为， 又，可得， 由对称性，这样的弦共条，A错误； 对于B，设，，， 设过点与圆：的切线斜率存在，设为， 由切线的性质可知， 所以切线方程为，即， 因为在切线上，所以；同理， 因为两点均满足，两点确定一条直线， 所以切点弦所在直线的方程为， 该直线过，则满足， 所以在直线上，B正确； 对于C，因为圆：，所以圆心坐标，半径， 设圆心到的距离分别为， 因为，则 ， 所以，， 所以 ， 当且仅当时取等号， 所以四边形面积的最大值为，C正确； 对于D，如图所示，由作的垂线，连接， 记，，， 则，，，，， 故 ，当且仅当时，等号成立． 题型12 两圆的公共弦和公切线问题 (共 7 小题) 68．（26-27高二上·江苏·期中）圆：与圆：公切线的条数是（ ） A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【详解】由圆：，所以圆心，半径， 又由圆：得，所以圆心，半径， 所以，， 所以， 所以圆与圆外切，所以圆与圆有3条公切线， 69．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知圆和圆，则圆与公切线段的长度为__________. 【答案】2 【分析】由圆和圆的圆心和半径确定两圆位置关系，从而得到轴为与的一条公切线，确定与轴相切的点坐标，即可得公切线段的长度. 【详解】圆的圆心为，半径， 则轴为的切线，切点为， 圆的圆心，半径， 则轴为的切线，切点为， 如图所示： 又， 则，故两圆相交，则轴为圆与的一条公切线， 公切线段的长度为. 故答案为：2. 70．（26-27高二上·河北保定·期中）已知圆：与圆：交于，两点，则四边形的面积为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】将两圆方程作差求相交弦方程，再应用弦心距、半径与弦长关系，利用两点间距离公式，进而求得四边形的面积. 【详解】圆的方程配方得，因此圆心，半径； 圆的方程配方得，因此圆心，半径. 由两点间距离公式得. 将两圆方程相减，消去二次项得到公共弦所在直线方程，即. 点到直线的距离，因此弦长的一半为， 即. 四边形可拆分为以为公共底的两个三角形和， 点到直线的距离， 因此总面积. 71．（25-26高二上·辽宁大连·期中）已知圆和圆，则（ ） A．圆与圆相切 B．两圆公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公切线段长为3 D．有且仅有一个点，使得过点能作两条与两圆都相切的直线 【答案】D 【分析】首先将圆的方程化为标准式，即可得到圆心坐标与半径，求出圆心距，即可判断A，两圆方程作差即可判断B，求出即可判断C，根据公切线的性质判断D. 【详解】由题可得圆的圆心为，半径， 圆的圆心为，半径. 对于A，显然，圆与圆相交，故A错误； 对于B，易知两圆相交，将方程与相减， 得公共弦所在直线的方程为，故B错误； 对于C，因为，， 所以公切线段长为，故C错误； 对于D，因为两圆相交，所以两圆的公切线只有两条， 又因为两圆半径不相等，所以公切线交于一点， 即过点可以作出两条与两圆都相切的直线，故D正确； 故选：D 72．（25-26高二上·江苏南通·期中）（多选）已知圆与圆，则（ ） A．圆心距 B．两圆的公共弦所在直线的方程为 C．两圆的公共弦长为 D．直线是两圆的一条公切线 【答案】ABD 【分析】根据圆的方程确定圆心坐标后计算圆心距，可得A;两圆方程相减得出公共弦所在直线方程，再在其中一个圆中计算公共弦弦长可判断B,C;计算两个圆到给定直线的距离是否分别等于各自半径，可判断D. 【详解】根据两圆方程，可知圆的圆心坐标,半径,圆的圆心坐标,半径. 对于A：,故A正确； 对于B：由A可知，,因此两圆相交.两圆的公共弦所在直线方程可由两圆方程相减得到，即将减去, 得到,整理化简得,故B正确； 对于C：两圆相交，存在公共弦，在其中一个圆中计算该弦长即可.圆心到公共弦的距离,故弦长,故C错误； 对于D：圆心到直线的距离,圆心到直线的距离,故直线是两圆的一条公切线，故D正确. 故选：ABD. 73．（25-26高二下·上海浦东新·期中）已知两圆和. 求： (1)取何值时两圆外切？ (2)当时，两圆相交于两点，求公共弦所在的直线方程及. 【答案】(1)57 (2)， 【分析】（1）求出两圆的标准方程得到圆心和半径，利用两圆外切的性质进行求解即可； （2）利用两圆的方程作差求出公共弦所在直线的方程，然后利用弦长公式求解即可. 【详解】（1）由圆，即， 则圆心为，半径为， 圆，即， 则圆心为，半径为，， 因为两圆外切，所以两圆圆心距为， 即，解得. （2）当时，两圆方程相减得：，即， 所以两圆的公共弦所在直线的方程为， 圆心到直线的距离为， 所以公共弦长为. 74．（25-26高二上·河北雄安·期中）已知圆，半径为1的圆的圆心在第二象限，圆与两条坐标轴均相切. (1)求圆的标准方程； (2)求圆和圆的公切线的方程； (3)过点的直线与圆交于、两点，直线与圆交于、两点，证明：. 【答案】(1) (2)或或或 (3) 设过点的直线的方程为，整理为， 点到直线的距离为，点到直线的距离为， 可得. 又由，， 所以. 【分析】（1）根据题意可得圆的圆心坐标为，即可写出圆的标准方程； （2）先判断圆和圆相外离，可得圆和圆共有4条公切线，易得轴和轴与圆和圆均相切，再根据直线为圆外一点出发的圆的两条切线的角平分线，求另外两条公切线； （3）设过点的直线的方程为，利用几何法求弦长可证. 【详解】（1）由圆与两条坐标轴均相切，圆的圆心在第二象限，半径为1， 可得圆的圆心坐标为， 故圆的标准方程为. （2）由，，有， 又由，可得圆和圆相外离，可得圆和圆共有4条公切线， 又由，，圆和圆的半径分别为1，2， 在平面直角坐标系中画出圆和圆的图象，可知轴和轴与圆和圆均相切， 直线的方程为，整理为， 可得直线与轴的交点为. 设直线的倾斜角为，有，有， 由于直线为圆外一点出发的圆的两条切线的角平分线， 可得圆和圆的另一条公切线的斜率为， 可得另一条公切线的方程为，整理为， 轴与直线的交点为，可知点在圆和圆的另一条公切线上， 设另一条公切线的方程为，整理为， 有，解得. 可得另一条公切线方程为，整理为， 故圆和圆的公切线的方程为或或或. （3）略 题型13 直线和圆中的对称问题 (共 8 小题) 75．（26-27高二上·四川·期中）若圆关于直线对称，则的值为（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】A 【分析】根据圆的一般方程得出圆的圆心坐标，再结合圆关于直线对称，将圆心代入直线方程中求解即可. 【详解】因为圆方程为，所以圆心为， 又因为圆关于直线对称，所以圆心在直线上， 所以，即. 76．（25-26高二上·北京昌平·阶段检测）圆关于点对称的圆的标准方程为___________ 【答案】 【分析】先将圆的方程化为标准方程得到圆心和半径，再求出圆心关于的对称点即可得到对称的圆的标准方程. 【详解】由，所以， 得圆心为，半径为， 由关于点对称点为， 所以关于对称的圆的标准方程为：， 故答案为：. 77．（26-27高二上·河南焦作·开学考试）（多选）已知直线，下列说法正确的是：（ ） A．点关于的对称点的坐标是； B．直线关于的对称直线的方程是； C．直线关于点的对称直线的方程是； D．过点，垂直于直线的直线的方程是 【答案】ABC 【分析】A：利用两点连线与对称轴垂直、中点在对称轴上两个条件联立求解对称点坐标；B：先求出两条直线交点，再在已知直线上任取一点算出其对称点，通过两点求出对称直线方程； C：直线关于定点对称后斜率不变，求出原直线上一点的对称点，代入斜截式得到对应直线方程；D：根据垂直直线斜率关系写出垂线点斜式，代入已知点验证. 【详解】A：设点关于直线的对称点为，则线段的中点在直线上，且直线垂直于直线， 即，解得， 所以点的坐标为，A正确. B：解方程组得，则点在所求直线上. 在直线上任取一点，设点关于直线的对称点为， 则，解得，则点也在所求直线上， 由两点式得直线方程为，化简得，故所求直线的方程，B正确. C：在直线上取两点、， 则、关于点的对称点分别为、. 因为点、在所求直线上，所以由两点式得所求直线方程为，即C正确. D：直线斜率为3，故垂直于的直线斜率为，过点的垂线正确方程为， 整理得，故过点垂直于直线的直线的方程是，故D错误. 78．（25-26高二上·云南怒江·期中）光线从点出发，经过直线反射，反射光线经过点，则反射光线所在直线的方程是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】求出点关于直线的对称点，然后结合点可得直线方程. 【详解】设点关于直线的对称点为，则， 解得，即点，故所求直线的斜率为， 所以，所求直线的方程为，即. 故选：B 79．（25-26高二下·上海·期中）唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句为“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河”，其中隐含了一个有趣的数学问题——“将军饮马”，即将军白天观望烽火台，黄昏时从山脚下某处出发先到河边饮马再回到军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，已知将军从山脚下的点处出发，军营所在的位置为，河岸线所在直线的方程为，则“将军饮马”的最短总路程为_______. 【答案】5 【分析】确定点关于的对称点，设饮马点为，利用求最短路程. 【详解】若是关于的对称点， 则， 设饮马点为，如下图示， 由图知：， 当且仅当共线时等号成立， 所以. 故答案为：5 80．（25-26高二上·四川自贡·期中）在中，已知顶点，过点的角平分线方程是，过点的中线的方程是，则直线的方程为______________. 【答案】 【分析】根据点与过点的角平分线方程，过点的中线的方程，可求出点的坐标，再根据点关于过点的角平分线的对称点在直线上，求出点关于角平分线的对称点即可求出直线的方程. 【详解】因为过点的角平分线方程是，所以设， 又因为，所以线段的中点为， 又因为过点的中线的方程是， 所以， 解之得，于是， 设关于直线的对称点为， 所以， 解之得，即， 因为直线为过点的角平分线方程， 所以在直线上， 所以直线即直线， 所以直线的斜率为， 所以直线的方程为，即， 故答案为：. 81．（25-26高二上·陕西咸阳·期中）（多选）已知圆，则下列结论正确的有（ ） A．的取值范围为 B．若，则点在圆内 C．若，则直线与圆相离 D．若，圆关于直线对称的圆的方程为 【答案】ABD 【分析】A：化简得到圆的标准方程，根据半径大于求解结果；B：根据与半径的大小关系作出判断；C：根据圆心到直线的距离与半径的关系作出判断；D：先判断点的位置，然后可求圆的方程. 【详解】，圆心，半径， 对于A：因为，所以，故正确； 对于B：因为，， 所以，所以点在圆内，故正确； 对于C：当时，，圆心到直线的距离， 所以直线与圆相切，故错误； 对于D：因为在直线上，所以圆关于的对称圆即为圆， 所以圆的方程为，故正确； 故选：ABD. 82．（25-26高二上·辽宁大连·期中）（多选）在平面直角坐标系中，设曲线的方程为，则（ ） A．曲线既是轴对称图形，又是中心对称图形 B．曲线围成图形的面积为 C．曲线的周长为 D．曲线上任意两点间距离的最大值8 【答案】ACD 【分析】根据给定方程的特征，结合曲线对称性的探讨方法、计算判断ABC；画出图形并结合图形求出最大值. 【详解】当时方程为；当时方程为； 当时方程为；当时方程为， 对于A，在方程中，用换或用换该方程均不变， 因此曲线关于轴对称，关于轴对称，关于原点中心对称，A正确； 对于B，曲线交轴正半轴于，曲线在第一象限部分图形是以为圆心， 为半径，所对的圆心角为的，圆心到轴的距离， 因此曲线在第一象限围成图形面积， 由对称性得总面积为，B错误； 对于C，由选项B得，的长度为，由对称性得曲线的周长为，C正确； 对于D，曲线交轴负半轴于，曲线上任意两点间距离的最大值为，D正确. 故选：ACD 拔高·压轴破难 题型14 与圆有关的最值（范围）问题 (共 8 小题) 83．（25-26高二上·浙江杭州·期中）设点P是圆上的动点，则点P到直线的距离的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【知识点】由标准方程确定圆心和半径、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围） 【分析】根据题意，利用点到直线的距离公式，求得圆心到直线的距离，结合圆的性质，即可求解. 【详解】由圆，可得圆心，半径为， 则圆心到直线的距离为， 所以点P到直线的距离的最小值为. 84．（26-27高二上·广西·期中）已知实数x，y满足，则的最大值为__________. 【答案】 【知识点】求点到直线的距离、由直线与圆的位置关系求参数、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】先将圆一般方程化为标准方程确定圆心半径，借助直线与圆有公共点的位置关系列式，求解目标式的最大值. 【详解】方程化为， 表示以点为圆心，为半径的圆， 设，即， 依题意，直线与圆有公共点， 因此，解得， 所以的最大值为. 85．（24-25高二上·湖南·期中）已知圆与圆，过动点分别作圆、圆的切线，（，分别为切点），若，则的最小值是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【知识点】轨迹问题——直线、由直线与圆的位置关系求参数 【分析】求出 点的轨迹为直线，再根据点到直线的距离公式即可得到最值. 【详解】由题意得，， 因为， 又，即， 即， 化简得点的轨迹为，即在直线上， 表示的几何意义为点到原点距离的平方， 故只需计算原点到直线的距离再平方就可得最小值， 即最小值为. 故选：B. 86．（25-26高二上·江苏常州·期中）已知直线：与直线：交于点，则的最大值为（ ） A．4 B．8 C．32 D．64 【答案】D 【知识点】由一般式方程判断直线的垂直、直线过定点问题、用两点间的距离公式求函数最值、轨迹问题——圆 【分析】首先根据已知条件得到直线恒过定点，直线恒过定点，且，根据交点得到点在以为直径的圆上，再利用点与圆的位置关系即可得到最值． 【详解】直线　　恒过定点， 直线　　化简为，恒过点， 当时，直线的斜率不存在，直线的斜率，则， 当时，，，，则， 综上：直线恒过定点，直线恒过定点，且， 因为直线与直线交于点， 所以点在以为直径的圆上，线段的中点坐标为， 且，则其轨迹方程为，圆的半径， 又转化为，其表示圆上的点到距离的平方， 设， 则，所以的最大值为64． 故选：D. 87．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知A，B是圆上的动点，且，P是圆上的动点，则的取值范围为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【知识点】数量积的运算律、圆上点到定直线（图形）上的最值（范围）、已知圆的弦长求方程或参数、由圆的位置关系确定参数或范围 【分析】设AB的中点为Q，根据弦AB的长，可得点Q的轨迹以O为圆心，半径的圆，根据向量线性运算法则及数量积公式，可得的表达式，根据两圆的位置关系，可得的范围，代入所求，即可得答案. 【详解】设AB的中点为Q，连接OQ，OA，则，且， 因为圆的半径，则， 所以点Q的轨迹是以O为圆心，半径的圆， 又， 所以， 因为P是圆上的动点，圆的半径，且， 所以，即， 所以. 88．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知点，点在圆上运动． (1)求过点且与圆相切的直线方程； (2)已知，，求的最值； (3)过点向圆作切线，切点分别为，，求直线的方程． 【答案】(1)和 (2)最大值为76，最小值为44 (3) 【知识点】定点到圆上点的最值（范围）、过圆外一点的圆的切线方程、相交圆的公共弦方程 【分析】（1）分斜率不存在和斜率存在两种情况求切线方程； （2）利用距离公式和圆的方程得到，然后求最值即可； （3）根据圆的性质得到是以为直径的圆与圆公共弦所在的直线，然后求直线方程即可. 【详解】（1）圆的圆心为，半径为， 当过点的直线斜率不存在时，方程为与圆相切 当斜率存在时，设切线方程为，则，解得， 则，整理得， 所以过点与圆相切的直线方程为和. （2）设，则， ， 因为点在圆上，所以， 所以当时取得最大值76， 当时取得最小值44. （3） 由题意得，，所以在以为直径的圆上， 是以为直径的圆与圆公共弦所在的直线， 中点为，，所以以为直径的圆方程为，整理得， 圆与联立得， 所以直线的方程为. 89．（25-26高二上·安徽芜湖·期中）如果一个圆同时与轴和一条过原点的直线l相切，则称该圆为直线l的“V圆”，直线l称为该圆的“V直线” (1)已知圆C：为直线l的“V圆”，求直线l的方程； (2)如图1所示，圆和圆均为直线l：的“V圆”，且两圆半径之积为2，点P是圆和圆的一个公共点，求证：为定值； (3)如图2所示，点为椭圆上第一象限的点，圆和圆均为直线的“V圆”，且圆和圆与直线相切于点，求两圆的面积之和的最小值. 【答案】(1) (2) 由平面几何知识得平分直线与轴的夹角，设直线的斜率为， 则，解得. 设，，因为圆与轴相切， 所以圆的方程为， 设，则，即， 同理可得， 所以是一元二次方程的两个不相等实根， 则，又， 所以，所以为定值. (3). 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弧长、面积、圆心角等计算、由直线与圆的位置关系求参数、直线与圆中的定点定值问题 【分析】（1）先根据“V圆”定义，确定直线l过原点且与圆C相切，设直线斜截式方程，利用点到直线距离公式（圆心到直线距离等于半径）列方程求解斜率，同时要考虑x轴这种特殊情况； （2）借助平面几何中角平分线的性质确定两圆圆心所在直线的斜率，设出圆心坐标并写出圆的方程，利用点P在两圆上，得到关于圆心横坐标的一元二次方程，根据根与系数的关系，结合已知半径之积，推导出的表达式，证明其为定值； （3）设出相关点的坐标，由三角形相似得到坐标间的比例关系，结合椭圆方程进行代数变形，将两圆半径的平方和转化为关于的表达式，再利用基本不等式求出最小值，从而得到两圆面积和的最小值. 【详解】（1）显然直线的斜率存在，设直线的方程为，即. 由题意得直线与圆相切，则，解得， 所以直线的方程为. （2）略 （3）设圆心，，，则. 由三角形相似得，整理得， 又，所以， 则，当且仅当符合， 则两圆面积之和的最小值为. 90．（25-26高二上·宁夏银川·阶段检测）已知圆C过，，且圆心C在x轴上. (1)求圆C的周长； (2)若直线过点，且被圆C截得的弦长为，求直线的方程； (3)过点C且不与x轴重合的直线与圆C相交于M，N，O为坐标原点，直线，分别与直线相交于P，Q，记的面积为，的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2)或 (3) 【知识点】由圆心（或半径）求圆的方程、圆的弧长、面积、圆心角等计算、求直线与圆交点的坐标、已知圆的弦长求方程或参数 【分析】（1）由已知设圆的方程为，代入，，即可求解； （2）由已知根据勾股定理可得圆心C到直线的距离，分斜率存在和斜率不存在两种情况求解即可； （3）设直线的斜率为，联立直线和圆C的方程，可得点的坐标，根据可得直线的斜率，同理可求解点的坐标，由此可知点的坐标，然后根据结合基本不等式求解即可. 【详解】（1）由圆心C在x轴上，设圆的方程为， 又圆C过，得 ， 解得，，所以圆的方程为， 其周长为； （2）因为直线与圆C截得的弦长为， 所以圆心C到直线的距离为， ①若直线的斜率不存在时，直线与圆C交点为， 直线与圆C截得的弦长为，故直线符合题意； ②若直线斜率存在时，设，整理得， 所以圆心C到直线的距离为，解得， 则直线，即直线， 综上所述，直线的方程为或； （3）因为原点在圆上，直线过圆心，且与轴所在直线不重合， ，，设直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或， 则点的坐标为， 又直线的斜率为，则直线的方程为， 由，得， 解得或， 则点的坐标为， 由题可知：，， 故， 又因为，， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最大值为. 题型15 直线和圆的轨迹问题 (共 8 小题) 91．（25-26高二上·四川成都·期中）（多选）元素，，，，其中则下列说法正确的是（   ） A．中元素个数不定 B．N表示在x轴、y轴上的截距相等的直线时，直线方程为或 C．，点，则直线： D．中有两个元素，分别记为，，线段ST中点的轨迹长度为 【答案】ABC 【知识点】直线截距式方程及辨析、直线过定点问题、轨迹问题——圆、相交圆的公共弦方程 【分析】分析可知集合表示以为圆心，半径的圆，集合表示过点的直线.对于A：根据定点可知直线与圆位置关系：相离、相切或相交，即可判断交集元素个数；对于B：求截距列式求解即可；对于C：根据公共弦方程的求法运算求解即可；对于D：设线段ST中点为，根据垂径定理分析可得，根据两圆位置关系分析轨迹长. 【详解】因为元素，，， 则，解得， 则即为， 可知集合表示以为圆心，半径的圆， 又因为即为， 可知集合表示过点的直线. 对于选项A：因为，则点在圆外， 可知直线与圆的位置关系：相离、相切或相交， 所以中元素个数不定，故A正确； 对于选项B：若N表示在x轴、y轴上的截距相等的直线，则， 对于，令，可得；令，可得； 即直线在x轴、y轴上的截距分别为，， 则，解得， 所以直线方程为或，故B正确； 对于选项C：集合表示以圆心，半径的圆， 因为，即， 可知圆与圆相交点，两圆方程作差可得， 所以直线：，故C正确； 对于选项D：设线段ST中点为，则，， 因为，则， 整理可得，表示以为圆心，半径的圆， 又因为，即，可知圆与圆相交， 设两圆交点为，可知点的轨迹是优弧， 又因为圆的周长为，所以轨迹长度不为，故D错误； 故选：ABC. 92．（25-26高二上·云南昆明·期中）（多选）阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现平面内到两个定点的距离之比为定值的点所形成的图形是圆，后来人们将这个圆以他的名字命名，称为阿波罗尼斯圆.已知在平面直角坐标系中，，点满足，设点的轨迹为曲线，下列结论正确的有（ ） A．曲线的方程为 B．过点的直线与曲线有公共点，则直线的斜率范围是 C．曲线上的点到直线的最小距离为 D．过点作曲线的一条切线，切点为F，则等于 【答案】AD 【分析】设，由点满足，求得曲线的轨迹方程为，结合圆的性质，直线与圆的位置关系和圆的切线长公式，逐项分析判断，即可求解. 【详解】对于A，设，因为，且点满足， 可得，即， 可得， 整理得，即曲线的方程为，所以A正确； 对于B，由曲线的方程为，可得其圆心，半径为， 设过点的直线的斜率为，则其直线方程为，即， 若直线与圆有公共点，则满足圆心到直线的距离小于等于半径，即， 可得，解得，即直线的斜率范围是，所以B错误； 对于C，由圆心到直线的距离为， 则曲线上的点到直线的最小距离为，所以C不正确； 对于D，由圆心到点的距离为， 根据圆的切线长公式，可得切线长为，所以D正确. 93．（25-26高二上·广东·期中）（多选）在平面直角坐标系中，定义为两点，的“切比雪夫距离”，设点P及直线l上任意一点Q，称d（P，Q）的最小值为点P到直线l的“切比雪夫距离”，记作d（P，l），则下列命题中正确的是（    ） A．，，则 B．对任意平面内的三点A、B、C，都有 C．平面内到定点M的距离和到M的“切比雪夫距离”都等于1的点只有4个 D．已知点和直线l：，则 【答案】BCD 【分析】A.根据新定义，直接求，B.首先根据坐标写出，再根据绝对值不等式的性质，即可判断；C.根据距离转化为轨迹问题，即可判断；D.根据新定义，求的最小值，即可判断. 【详解】A. ，，，， 所以，故A错误； B.设，，， ， ， 同理　　， 所以，故B正确； C.设点，到定点的距离和到的“切比雪夫距离”相等切距离为1的点为，则到定点的距离为1的点的轨迹是单位圆，到的“切比雪夫距离”的距离为1的点，所以，即或，点的轨迹是正方形，所以只有四个点，，，符合要求，故C正确； D. 设为直线上任一点， ，当时，得或，此时， 当，得，此时， 所以的最小值为，即，故D正确. 故选：BCD 94．（26-27高二上·河南·期中）（多选）在平面直角坐标系中，已知点，，动点满足，记动点的轨迹为曲线，直线（）与曲线分别交于，两点，点，则下列说法正确的是（ ） A．曲线的方程为 B．的最小值为 C．存在点，使得 D．当取得最大值时， 【答案】ACD 【分析】根据直接法求轨迹方程，可判定A正确；根据直线过定点，结合圆的性质，可判B错误；求得以为直径的圆与曲线是否相交，得到是否存在点，使得，可判定C正确；找到与曲线相切时，分别求得和，结合两角和的正切公式，可判定D正确. 【详解】对于A，设，由，可得， 所以，整理得， 所以曲线的方程为，所以A正确； 对于B，直线恒过定点，且曲线的圆心为， 当时，取得最小值，所以B错误； 对于C，由点，， 以为直径的圆的方程为，可得圆心为，半径为， 则， 因为，所以圆与圆相交， 当点为两圆的交点时，，所以C正确； 对于D，如图所示，当与曲线相切，且切点在第二象限时，取得最大值， 此时，则，所以， 因为，所以，所以D正确. 95．（26-27高二上·黑龙江吉林·期中）（多选）已知动点与两定点，的距离的比为，设点所构成的曲线为，则（ ） A．曲线的方程为 B．曲线上的点到直线的最小距离为 C．曲线上恰有三点到直线的距离为，则 D．若点坐标为，则的最小值为 【答案】ABD 【分析】根据已知条件求出曲线C的方程，利用两点之间线段最短以及点到直线的距离公式对各个选项逐个计算即可求解. 【详解】设点的坐标为，根据题意，，即， 所以， 整理得，即， 因此，曲线是以为圆心，为半径的圆，故A正确； 圆心到直线的距离为：， 则曲线上的点到直线的最小距离为，故B正确； 圆心到直线的距离为：， 若曲线上恰有三点到直线的距离为，则， 所以，即，解得或，因此，的取值不唯一，故C错误； 曲线的方程，， 因此， 因为，，所以， 因此，故D正确. 96．（25-26高二上·上海虹口·期中）已知圆：，直线：，设直线与圆相交于，两点 (1)若直线恒过定点，求出点坐标； (2)求弦中点的轨迹方程； (3)相交弦长度的最小值及相应的的值． 【答案】(1) 定点的坐标为； (2) 弦中点的轨迹方程为； (3) 弦长度的最小值为，对应的。 【分析】（1）分离参数求直线恒过定点； （2）利用垂径定理的垂直关系推导中点轨迹； （3）结合弦长公式与距离最值求最短弦长及对应参数. 【详解】（1） 对直线的方程变形：将整理为， 该式对任意实数恒成立，因此需满足，解得， 即定点的坐标为. （2）设弦的中点为，圆的圆心为，由垂径定理可得. 因为在直线上，直线恒过，故，即， 代入，得： ， 展开并配方得， 因为圆内含于圆C,故圆上所有点都符合题意， 所以弦中点的轨迹方程为; （3）设圆心到直线的距离为，圆的半径， 由弦长公式得，因此最大时最小， 由于直线恒过定点，故，当且仅当时取最大值， 计算得，. 此时直线的斜率，由得，解得. 97．（24-25高二上·浙江杭州·期中）人脸识别是基于人的脸部特征进行身份识别的一种生物识别技术.主要应用距离测试样本之间的相似度，常用测量距离的方式有种.设，则欧几里得距离；曼哈顿距离，余弦距离，其中（为坐标原点）. (1)若，求之间的曼哈顿距离和余弦距离； (2)若点，求的最大值； (3)已知点，是直线上的两动点，问是否存在直线使得，若存在，求出所有满足条件的直线的方程，若不存在，请说明理由. 【答案】(1)，； (2)； (3)或. 【分析】（1）利用相应概念计算即可； （2）根据曼哈顿距离的定义先得出N的轨迹，再根据余弦函数的性质数形结合计算即可； （3）根据（2）的结论及点到直线的距离公式建立等量关系计算即可. 【详解】（1）根据题意可知， ， 则， 所以； （2）设，因为，则有， 即的轨迹， 作出的轨迹图形如图所示， 若要最大，只需最小，由图象可知当时，最大， 根据余弦函数的单调性可知此时最小， 则的最大值为； （3）易知， 设，则， 若，则，符合题意； 若，则， 根据分段函数的性质可知， 又恒成立， 当且仅当时取得等号. 综上：或. 【点睛】思路点睛：对于曼哈顿距离问题，一方面可以转化为几何问题，作出相应正方形数形结合来处理；也可以利用绝对值的意义分类讨论来处理. 98．（25-26高二上·江苏无锡·期中）定义：M是圆C上一动点，N是圆C外一点，记的最大值为m，的最小值为n，若，则称N为圆C的“伴随点”；若G同时是圆E和圆F的“伴随点”，则称G为圆“”的“共生点”．已知圆，P为圆A的“伴随点”． (1)求点P所在曲线的方程； (2)已知圆，P，Q均为圆“”的“共生点”． （i）求直线的方程； （ii）若圆H是以线段为直径的圆，过点且斜率不为0的直线l与圆H交于J、K两点，是否存在x轴上的定点，使得为定值？若存在，求出所有这样的W点坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】(1) (2)（i）； （ii）存在点为或或时，取定值，理由如下： 易知直线与圆和圆的交点为； 因此线段的中点为，且，因此圆H的方程为； 依题意直线的斜率存在，设其方程为，,如下图： 联立，整理可得， 易知,； 此时　　 , 令，解得或或 易知时,取定值为4，时,取定值为12， 当时,取定值为3； 综上可知，存在x轴上的定点，使得为定值， 当点的坐标为时，取定值为4； 当点的坐标为时，取定值为12； 当点的坐标为时，取定值为3； 【分析】（1）根据“伴随点”的定义得出点满足的方程即可求出点所在曲线的方程； （2）（i）由“共生点”定义可求直线的方程即为圆与圆的公共弦所在直线，可得其方程； （ii）易知圆H的方程为，对直线的斜率是否存在进行分类讨论，联立直线和圆的方程利用韦达定理得出的表达式，由其为定值解得的值可得结论. 【详解】（1）易知圆的圆心为，半径为, 因为点为圆的“伴随点”，所以， 可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 故点所在曲线的方程为. （2）（i）易知圆的圆心为，半径为， 因为点为圆的“伴随点”，所以， 可得， 因此点的轨迹是以为圆心，为半径的圆， 所以点所在曲线的方程为； 可得点为圆与圆的交点； 因为P，Q均为圆“”的“共生点”， 所以直线的方程即为圆与圆的公共弦所在直线， 两圆方程相减可得， 因此直线的方程为. （ii）略 题型16 直线与圆的综合应用 (共 10 小题) 99．（25-26高二上·浙江杭州·期中）已知圆被直线所截得的弧长之比为，则实数m的值是（ ） A． B．1 C．3 D．4 【答案】B 【知识点】求点到直线的距离、圆的弧长、面积、圆心角等计算、由直线与圆的位置关系求参数、由圆的一般方程确定圆心和半径 【分析】根据所给方程，求出圆心C和半径r，由条件分析可得圆心C到直线l的距离，根据点到直线距离公式，即可求得答案. 【详解】将圆C化为标准方程可得，由得，， 则圆心，半径， 因为圆C被直线l所截得的弧长之比为， 则弧长对应的圆心角之比为，即劣弧所对的圆心角为，优弧所对的圆心角为， 如图所示，设直线l与圆交于A、B两点，则， 在中，，则圆心C到直线l的距离， 又圆心到直线l的距离， 所以，解得. 100．（25-26高二上·河南郑州·期中）公元1765年瑞士数学家莱昂哈德•欧拉（LeonhardEuler）在其所著的《三角形的几何学》一书中提出：三角形的外心（三条中垂线的交点）､重心（三条中线的交点）､垂心（三条高线的交点）在同一条直线上.后来，人们把这条直线称为欧拉线.若的顶点，则其欧拉线方程为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据三角形顶点坐标得重心的坐标，确定，垂直平分线确定外接圆圆心即外心坐标，从而可得其欧拉线方程. 【详解】因为的顶点，可得的重心的坐标为， 由，，可得中点的坐标为， 所以的垂直平分线所在直线的斜率， 所以可得的垂直平分线所在直线的方程为， 又由，可得的垂直平分线所在直线的方程为， 联立方程组，解得， 即的外心的坐标为， 则，所以的方程为，即， 所以的欧拉线方程为. 故选：C. 101．（24-25高二下·上海青浦·期中）在直角坐标平面中，已知两定点与，，到直线的距离之差的绝对值等于，则平面上不在任何一条直线上的点组成的图形面积是_____. 【答案】　/　 【分析】分直线位于直线的同侧还是两侧分类讨论，确定直线的轨迹，则面积可求得 【详解】①位于直线的同侧，如左图所示，，正方形边长为， 直线是与正方形的边平行的直线， 到直线的距离之差的绝对值为， 即正方形外与正方形各边平行的直线均符合题意; ②位于直线的异侧，如右图所示，和是半径为的圆上的两段弧， 其中， 直线是或的切线，到直线的距离之差绝对值为， 即或的切线均符合题意. 不在任何一条直线上的点组成的图形如下图阴影所示， 其面积. 故答案为：. 102．（25-26高二上·江苏无锡·期中）已知，则的取值范围是________． 【答案】 【分析】将看成是平面直角坐标系中点与点连线的斜率，然后根据的范围求出斜率的范围，进而得出结果. 【详解】表示平面直角坐标系中点与点连线的斜率， 其中点在直线的的部分上，点在线段上， 取点，点的坐标为时，直线的斜率为， 当时，直线的斜率小于0且趋近于0， 所以的取值范围是． 故答案为：. 103．（24-25高二上·辽宁大连·期中）树林的边界是直线l（如图所在的直线），一只兔子在河边喝水时发现了一只狼，兔子和狼分别位于l的垂线上的点A和点B处，（a为正常数），若兔子沿方向以速度2μ向树林逃跑，同时狼沿线段方向以速度μ进行追击（μ为正常数），若狼到达M处的时间不多于兔子到达M处的时间，狼就会吃掉兔子.则兔子的所有不幸点（即可能被狼吃掉的点）的区域面积为__________；若兔子要想不被狼吃掉，则的取值范围为_____________ 【答案】 　　 【分析】建立直角坐标系，由得，由此求圆的面积；设及题意知直线AD与所得圆相离，根据直线与圆的位置关系列出不等式即可求得斜率k的取值范围，从而求得的范围. 【详解】建立如图所示直角坐标系，设， 由，即，整理得， 所以M在以为圆心，半径为的圆及其内部， 所以； 设，由题意该直线与所在的圆相离， 由，得， 所以，由图知. 故答案为：. 104．（25-26高二上·江西·期中）某圆拱桥的圆拱的平面图如图所示，该圆拱的跨度，拱高．为加固该圆拱桥，现决定建造两根支柱，（将支柱，视为两条线段），且，则支柱的高度为（ ） A．8m B．7m C．7.5m D．6.5m 【答案】B 【分析】以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系，求解圆的方程，再将坐标代入求解即可. 【详解】由题意可得，，圆拱的跨度，拱高，所以， 如图，以为原点，为轴，为轴，建立直角坐标系， 设圆心，半径为，所以圆：， ，，， 所以，解得，， 所以圆：， 将代入，因为，解得， 所以. 故选：B. 105．（25-26高二上·山东济南·期中）如图，某标准足球场的底宽码，球门宽码，球门位于底线的正中位置，现在攻方球员甲位于边线上的点处. (1)若球员甲直接在点起脚打门，球的轨迹为一条射线（不考虑球的飞行高度）.则为了进球，该球员需要控制球的飞出方向在多大的角度范围内（即求的大小，若该角度不是特殊值，则只需求出其一个三角函数值）？ (2)若球员甲直接在点起脚打门，球的初速度方向为OB方向，球画出一条美妙的圆弧（不考虑球的飞行高度），挂入球门远角，则这段圆弧所在圆的半径是多少码？ 【答案】(1) (2)码. 【分析】（1）先求，的正切，利用两角差的正切公式求的正切即可. （2）以为原点建立平面直角坐标系，根据为圆的弦，为圆的切线，可确定圆心的坐标，再利用两点间的距离公式求即为所求圆弧的半径. 【详解】（1）由题意可知，所以， 所以. （2）以为原点，分别以AO，AB所在直线为x，y轴，建立如图所示的平面直角坐标系， 则， 则， 因线段OF的中点为，则线段OF的垂直平分线为， 即， 设所求圆弧的圆心为， 因球的初速度方向为OB方向，则直线OB为圆的切线，则，则， 则直线OD的方程为， 联立得，，即， 则， 则这段圆弧所在圆的半径是码. 106．（25-26高二上·广东·期中）已知点，，动点在曲线上运动，且满足. (1)求曲线的方程； (2)过点的直线与交于，两点，在轴上是否存在定点，使得？其中为直线的斜率，为直线的斜率.若存在，求出点的坐标；若不存在，说明理由； (3)若直线（）将分割为面积相等的两个部分，求的取值范围. 【答案】(1)； (2)存在，； (3). 【分析】（1）点，利用给定移动式列出方程并化简即得. （2）直线不垂直于轴时，设出其方程并与曲线的方程联立，利用韦达定理及斜率坐标公式列式求解，再验证直线与重合情况即可得解. （3）求出直线与x轴的交点为，由面积可得点在射线OA上，再求出该直线和BC的交点的坐标，就的3种位置分类讨论即可. 【详解】（1）设点，由及， 得，整理得， 所以曲线的方程为. （2）当直线不垂直于轴时，设其方程为，， 由消去得，则， 假定在轴上存在定点，使得，设， 于是，即， 整理得，则， 因为不恒为0，故，即点； 当直线与轴重合时，直线过点，且，符合题意， 所以在轴上存在定点，使得，点的坐标为. （3）依题意，的面积为， 直线交x轴于点， 由直线将分割为面积相等的两部分，得，则，点在射线OA上， 设直线和BC的交点为，由得点的坐标为， ①若点和点A重合，则点为线段BC的中点，即，于是； ②若点在点O和点A之间，此时，点在点之间，设点纵坐标为， 由的面积等于，得，即 ， 解得，即 ，因此； ③若点在点A的左侧，则，由点的横坐标，得， 设直线和AC的交点为，由得点的坐标为， 设点横坐标分别为，由的面积等于，得， 则，化简得， 而此时，，因此， 即，解得 ，于是， 所以的取值范围应是. 107．（25-26高二上·广西来宾·期中）已知圆，圆经过，两点，且圆心在直线上. (1)求圆的标准方程. (2)写出圆与圆的一条公切线方程.（不需要写出解题过程） (3)已知点，是否存在定点，对于经过点且与圆交于，两点的任意直线，恒有？若存在，求出点的坐标，若不存在，请说明理由. 【答案】(1) (2) (3)存在满足条件的定点. 【分析】（1）由题意得圆心在线段的中垂线上，联立线段的中垂线方程和直线求出圆心坐标，接着求出即可由圆的标准方程求解； （2）先由圆与圆的圆心距为5，等于两圆的半径之和得到两圆外切，数形结合即可求解公切线有，两圆方程相减可得公切线方程 ，由连心线与第一条公切线的交点结合点到直线距离、点斜式即可求出公切线 ； （3）分直线的斜率不存在和直线的斜率存在两种情况结合韦达定理和题设条件进行分析即可求解. 【详解】（1）线段的中垂线方程为，即， 所以圆心在直线上，又圆心在直线上， 所以直线与直线的交点就是圆心. 解方程组得即. 因为圆的半径， 所以圆的标准方程为. （2）因为，等于两圆的半径之和， 所以两圆外切，如图，两圆的一条公切线为； 圆与圆的方程相减得公切线； 两圆的连心线所在直线方程为，即， 所以直线与交点为， 则另外一条公切线过点，设　　， 因为原点到的距离为4，所以，解得， 所以，即 综上，两圆的公切线方程有或或； （3）显然当直线的斜率不存在时，只要直线与圆交于两点，根据对称性恒有. 当直线的斜率存在时，设经过点的直线与圆交于两 点. 由得， 所以，且， 由，得，即， 所以，整理得 将代入上式可得 直线即，该直线恒过点， 所以存在满足条件的定点. 108．（25-26高二上·浙江杭州·期中）我们知道，在平面直角坐标系中，可以用两点之间距离公式刻画两点的距离，事实上，这里的距离属于这两个点的一种“度量”．在拓扑学中，我们规定某一实数满足： ①，当且仅当时等号成立； ②； ③． 其中，为平面直角坐标系内的三个点，我们就称是关于两点的一个“度量”．设：平面直角坐标系（O为坐标原点）内两点的“距离”． (1)求证：两点的“P距离”是关于两点的一个“度量”． (2)设P为平面直角坐标系内任意一点．若，请在下图中定性做出P点的集合组成的图象（不必说明理由，但要求做出特殊点与其特征）． (3)设Q是圆上的动点．求的取值范围． 【答案】(1) ①显然成立， 令，由于， 故当且仅当时等号成立 令，则单调递增， 得到，即，当且仅当时等号成立， ②易知显然成立， ③由于单调递增，故由可得： ， 故， 即，所以距离是一种度量． (2) (3) 【知识点】求平面两点间的距离、轨迹问题——圆、定点到圆上点的最值（范围） 【分析】（1）根据题设定义逐一检验①②③，即可证明结果； （2）根据题设定义，利用得：，进而分段讨论即可得到函数图象； （3）设，根据题设结合三角恒等变换公式化简可得，令，可得，进而结合对勾函数的性质求解即可. 【详解】（1）略 （2）设，则由得：， 当时，曲线为，即； 当时，曲线为，即； 当时，曲线为，即； 当时，曲线为，即. 如图： （3）设． 则 ． 令，则．于是． ，且， ． 2 / 24 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 学科网（北京）股份有限公司 $