1.4.2 第1课时用空间向量研究距离问题-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学选择性必修第一册(人教A版)

。第一章空间向量与立体几何 1.4.2用空间向量研究距离、夹角问题 第一课时 用空间向量研究距离问题 学业目标·定位 课标要求 学习目标 1.掌握点到直线的距离公式、点到平面的距离公式。 通过点到直线的距离公式、点到平面的距离公 2.能用向量方法解决点到直线、点到平面、相互平行的直线、 式的学习以及利用向量方法解决点到直线、点 相互平行的平面的距离问题， 到平面、相互平行的直线、相互平行的平面的距 3.能描述用向量方法解决距离问题的程序，体会向量方法在 离问题。 研究距离问题中的作用. 必备知识 梳理 答案见P2551 ○情境探究 二、点到平面的距离 如图，在蔬菜大棚基地有一条笔直的公路，某人 如图，设平面a的法向量为n,A是平面a内的 要在点A处，修建一个蔬菜存储库。如何在公 定点，P是平面a外一点，则点P到平面a的距 路上选择一个点，修一条公路到达A点，要想 离d= 使这个路线长度理论上最短，应该如何设计？ 科学思维 一、思考判断 1.判断正误.（请在括号中打“/”或“×”） (1)用向量法求点线距，是将点线距转化为已 知点与直线上一点构成的向量在与直线垂直 的向量方向上的投影向量的模.() 国知识梳理 (2)用向量法求点面距，是将点面距转化为已 一、点到直线的距离 知点与平面内一点构成的向量在平面的法向 已知直线L的单位方向向量为， 量方向上的投影向量的模.() A是直线I上的定点，P是直线I (3)两异面直线间的距离可以转化成线面距， 外一点.如图，设AP=a,则向量AaQ 进而可转化成点面距.() AP在直线L上的投影向量A反 (4)两平行直线间的距离可以转化成点线 点P到直线L的距离PQ=√TAI?-AQ2 距.() (5)线面距、面面距可以转化成点面距() 39●. 数学选择性必修第一册人教A版 2.已知平面a的一个法向量n=(-2,一2,1)， 行直线之间的距离？ 点A(一1,3,0)在平面a内，则点P(一2,1， 4)到平面a的距离为() A.10 B.3 c n号 3.已知向量n=(6,3,4)和直线1垂直，点A(2, 0,2)在直线1上，则点P(一4,0,2)到直线 2.类比点到平面的距离，如何求两个平行平面 的距离为 的距离？ 4.已知直线AB∥平面a,平面a的法向量为 n=(1,0,1),平面a内一点C的坐标为(0,0， 1),直线AB上点A的坐标为(1,2,1)，则直 线AB到平面a的距离为 二、思维探究 1.类比点到直线的距离的求法，如何求两条平 关键能力 探究 答案见P2551 探究一 点到直线的距离 名师点拔 用向量法求点到直线的距离时需注意以 自知识深化 下几，点： (1)不必找点在直线上的垂足以及垂 用向量法求点到直线的距离的一般步骤 线段 (1)求直线的单位方向向量. (2)在直线上可以任意选点，但一般选较 (2)计算所求点与直线上某一点所构成的向量 易求得坐标的特殊点。 在直线的方向向量上的投影向量的长度， (3)直线的方向向量可以任取，但必须保 (3)利用勾股定理求解.另外，要注意平行直线 证计算正确。 间的距离与点到直线的距离之间的转化， [针对训练1]如图，在正三棱柱ABCA1B,C @典例精析 中，若AB=√2BB1=2,则点C到直线AB1的 【典例1】如图，已知正方体ABCD-A1BCD, 距离为( 的棱长为1，则线段AD上的动点P到直 线A,C的距离的最小值为( D A 5 B.V10 D30 A.1 B. 2 4 D.3 C⑤ 3 3 .。40 。第一章空间向量与立体几何 探究二 点到平面的距离 的距离为( 自知识深化 求点到平面的距离的主要方法 (1)作点到平面的垂线，点到垂足的距离即为点 到平面的距离。 (2)在三棱锥中用等体积法求解 A. C.1 D.2 (3向量法：d=n:(m为平面的法向量， n 探究三线线距、线面距和面面距 A为平面上一点，MA为过点A的斜线段). 知识深化 ⊙典例精析 1.当直线与平面平行时，要求直线到平面的距 【典例2】如图，在正四棱柱 D 离，需要在直线上任取一点，求出该点到平面 ABCD-A1BCD1中，已 的距离即可 知AD=AB=2,AA1=5, 2.当平面与平面平行时，要求两个平面之间的 E,F分别为DD1,BB上 距离，需在一个平面内找到一点，求出该点到 的点，且DE=BF=1. 另一个平面的距离即可. (1)求证：BE⊥平面ACF; ⊙典例精析 (2)求点B到平面ACF的距离. 【典例3】已知在棱长为1的正方体ABCD A1B1C1D1中，E为线段A1B的中点，F为 线段AB的中点， (1)若DC的中点为H,求直线AH与直 线FC的距离； (2)求平面AEC与平面FB:C的距离， 名师点拔 利用向量法求，点到平面的距离的一般步骤 (1)建立空间直角坐标系. (2)求出该平面的一个法向量 (3)找出该，点与平面内一点连线形成的斜 名师点拔 线段对应的向量. 线面距、面面距的求法 (4)法向量与斜线段对应向量的数量积的 (1)求线面距离可以转化为求直线上任意 绝对值再除以法向量的模，即为点到平面的 一点到平面的距离，利用求点到平面的距离的 距离 方法求解即可 [针对训练2]如图，在圆锥SO中，AB是底面 (2)求两个平行平面间的距离可以转化为 圆O的直径，SO=AB=4,AC=BC,D为SO 求点到平面的距离，利用求点到平面的距离的 的中点，N为AD的中点，则点N到平面SBC 方法求解即可. 41 数学选择性必修第一册人教A版 [针对训练3]已知正方体ABCD-A1BC1D,的 微探究对距离公式记忆不够准确致误 棱长为2 (1)求直线B,C到平面A,BD的距离； 【典例4】已知四边形ABCD是边长为4的正 (2)求平面A1BD与平面B1CD,间的距离. 方形，E,F分别是边AB,AD的中点，CG 垂直于正方形ABCD所在的平面，且CG= 2,求，点B到平面EFG的距离. 42 D 随堂演练·达标 答案见P2571 1.已知正方体ABCD-A1BCD的棱长为4，E 3.如图所示，正方体ABCD-A,BCD1的棱长 是CC1的中点，则点E到直线AB的距离 为4，M为BD1的中点，N在AC上，且 为() 1AN|=3|NCI,则MN的长为 A43 3 B.2√6 C.2√5 D.3√2 2.如图所示，正方体的棱长为1，E,F,M,N分 别为棱AD,AB,DC,BC的中点.则平面 D AEF与平面B1NMD1间的距离为() 4.在四面体PABC中， PA,PB,PC两两垂直， 设PA=PB=PC=a, 建立如图所示的空间直 A B 角坐标系Pxyz,则点P A22 C33 到平面ABC的距离为 3 B.2 .。42一十为=0， 年一为t0 ◆n=1,期n一-1，所这n=1,1,10. 夜平看FD的法向量为m-(为，卧) 则m-8, 周·可-0， 经w心 -为十=0 ◆=2，剩许==-1，所以m(2,一1，一1)， 因为#·m=2×1+1×(-1+1×(-10=0 所以n上m,所城平面EAD⊥平面EFD 【随堂演练·达标】 l,Ba上良平面金+月的米向量相至金直 0·b=-x一2一8=0，x■一10，量法且 2.B平面整的米向量u=《2.一2,2)，平雷月的淡 向量1■1,2.1).网为w·r=2一4十2=0，所以两个平 禹叠直就选且 3B平面g的读向量平行等传于平面：年 行，故A项正：平面a:9的读向量垂直等骨于平雨a 垂直，故B项正精，直线的客向句量平行于平面的法 向量等价于直线查度于平面，故C项督误：直战的方向 向量唐直于平面的法向量等作于直汽平行于平西点直 践在平面内，做D谓情流盘选书 4,证阴：建立中图阶示空间直角坐标系， 或正方体的校表为2.刚01,1,0)，L(2,0,2,出 (2,200,M0,2.10a=1,-1,2.Dd=(2,2,0). D0=0.2,12, .DB-0.0.D-0. A⊥DB.O⊥D9, ∴QA.LDB.0M⊥DM 又DB门DM-D,DB,DM亡平奇MBD,所H A:O⊥平雨NBD 1头工用空间向量研究距南、夹角问盟 一课时用空可肉量研究更离问题 【必备知识·梳理】 线A,G的原高的混小佳为得 [情境探究 t法D 提示：过点A修一条意直于该条公幕的路线理论 [针对到练1门D由题意如， 上量是， AC=AB=2.B出=√豆，点AC的 [知闲植通 中成0， 一.(a·3)n √a一《a·时 则OLAC,BD-8,建主 二a3.n 困所币的堂闻直角业释系Q, [科学思维] 副A00。-1,00,品(W3,02).C0.1,0), 一.1.10/(2/(3/(4(6W 所46-(w,1②0，心-⊙，2,0》 2D 酰点C到直境AB,的矩鼻为 16 4AC) 厦故选D 3 号 探究二点到平边的更离 [典侧精析] 二望示：1.在其中一条直线上取一点P,转化为点 [典例2](1》证期：以D为坐标原在，DA所在直线 P到另一条直望的距真 为工仙，D汇所在直线为y袖，DD所在直线为仙患 工在其中一个平面上取一点P,转化为点P到另 主堂同直角坐标系，如图所币 一个平面的距真 【关健能力·探究】 探究一点到直线的更离 [典例精析) [典例1】D如图建主空周重角坐标系， A(2,0,07,B(2.2.01.0,2,0),E(0,0,1): P2,2.40 授平面ACF的一个法向量为n-x,y,), A心-(-2,2,9)，7-(0,8.0. A1,01).C(0,1,1.tP%x.01-x》,0 年0…-/一2r+20. e·AF=0,12y+4:=0, 61, 不势◆=-1，期是=（一2，一21）-正，所以E 制A产-x-10,-x2,C-(-1.1.0, 平面ACP 所以动成P到直线A后的压高为 《2)解：A店-(0,2,0).则盖B到平而ACF岭距离 -A-EAC 为- Vo-i-o- [针对到练2]B解析：欢点0为垒禁原高，CC QAS阶在直践分剩为xy:轴遮是室同直角坐相 √-+-√+9 意，利用空间向童法可求得灰N到平面SC的E离， 因为AC=O为AB的中点，则(C⊥AB. 南国维的儿解性质可知O1平面AC, 以点0为卖标辰点，.0M (5所在直气分的为Fy、:轴建立 中右调黄帝的空鸭直角是解系， 则5(0,0,4，B(0.-2.0), C2,0.0),A(0,2,09,D[0,0,2), Nk0.1,1). 设平面SC的法向量为n=(,y,x),武一(22， 0),3-(0,2,40 n·0-2+2y-0 取y=一2.可拜知=(2， m:852y十4a=0. -2,1》, 又四为=0,3，)，斯以，表N到千面SBC的垂 高为1-中出-是 故选弘 探究三线线距、线使和面街园 「典例精桥] [典例3]解：(1)建立如 图所恋竹实间直角坐标最， 则H(o,20A1,0, o,FL,21C0,11 1,20)41.01民d, 1.0),C0,1,0, 所x音-(-1，是式(-10) 所xA百-尾， 阶深AHT 所以友A:到直线℃的平高中为直线A:H考FG 的矩再. ke-=(0,7 -盛-(-9兽 所议-号a·g一得牌城点A到直线C特 施满为√骨(-画 所线AH直线C的离为国 2周为a-0,号，-1)F-(@.- 瞬以AEBF,阶这AE∥B下 网理可得FCAC,又BF门F=F:AE自 =E, 尉以平面A成千面F品C 所以，成F到平面A:的是高群为两平行平面的 是离， 逢平面A℃的法向量为国■红，5，)： C-(-1.1,-10 0.0. w+0■0， 取y一2， 则m一(1,2,1)为平面AC的一个法向量， 又-(0令0)%点F到平面A5C的题 离为dm-要 所以子香AC海干两FBC的距高为号 【针对闲练3】解：(1》如圈 D 建主空间直角坐她系，则D(⊙， 0,00.B(2.2.0),A2,0,2), B1(2,2,2),C(0,2,0),所以 g=(2,0.21 2A=(2,0,2),l-(2, 2,00 所以C所DA,群CB∥DA 又CB,亡早面A,BD.DAC平斯A,BD 所以C∥平香AD, 所以直线BC到平面A:D的是离等于点出到 平面ABD的垂离， 设平面ABD的一个法向量为m=,5y,》, 伞1=1，则n=1。-1,一1. 又A以-(0,2,0)， 所以成B到平面ABD的压离 dA·m-28 3 (2)★1)知BCN平雨ABD.网理.D品∥平面 AD,BC阶A品=品，前以平雨ABDM平面我D) 品A,-√(-4)+4+-2)a6, AB=+(一下=42 --意 En1=AE-A=√6-1B=32, 2,B建生加相时帝的 4 中平面A:BD与平面B:CD月的矩离装于点B) 空间直角坐标最，副A1 0,0),4(1,1,0 到平面ABD的岳离， 的《1)如，成B到平香ABD的系离d= 2小F(L, n0.a,.M(0,2 片以个面A,BD与卡鱼.CD,以的是青为票 N(51, :E,F,M,N分到是所在棱的中点 微探究对距离公式记忆不够准魂数娱 ,MN∥EF,AEHN, [典例们解：建立如因所本竹空间直角坐林系，时 平面AEF∥平面压ND G0,0,2》,E4,-2,0》,F2,-4,0》,B(4,000, ,平西AEF与平面B,D,间的距离中为点 证-《4，-2,2，证-(0，-2,0)，CP-(2 A到平雨所ND的乐离. 4,-2). 平面BND的一个法向量为n=x,y, 最平面BG的途向量为日一（红，y,z) 副w·高=0.几南·A及=0 Gt·n-0,2-y=0, 0n=0,x2y0 0或-(1,1,0，N-(-0,: (zy,)·1.1,0)=0,L《x4y:)+ 阶议x■一y,一3y 取y=1,剩n=(一1,1.一33， (-201j=0 所以成日到年面E记的匹路d一证，n 6x+y-0,直-+-0， ◆x=2,剩y=一2=1，n=(2,-2,1. 行 房-0,1,00 二，点A到平面BNMD的距高 易 易储原因 妈储心得 d-景 怒略法岗量岭模，误 利用距离公式录解时 3.若案后 议为d一配·. 一党率记更离公式， 解根1如用，以D为恩灰，DA背益直线力x物，DC 所在直线为y精：DD骑在直线为：轴.到A(4.O,4) 【随棠演练·达标】 B4,4,0),C《0,4,4),D《0,0,4).又M为ED1的中 1.D建玉如图所示 .以M2,2.2N在AG上.且N3C 的堂同直角丝林系，选接 AE,BE,作EHLA:B于 表H,刚A:{4,0,4,B4 4.0》.E0,4,2). .2=《-4,4 2,Ai=(0,4,-40, 阶xN1,3,40,时-=(-112， M=(-1)+1+8=6 4若案得。 解析：根据题意，祥P0,0,0》,A(a,0,O),B(0,a, 0),C0,Oa》,试点P作PH⊥◆面AC,交平面AC 于点H,则PH的长中为点P到平面AC竹亚离： PA=PB-PC,H为△AC的外心 又△AC为三三角形，H为△AC的重心，可 得在H竹坐标功（管音，管}月 HV信-o+(号o+借o可- 成P装4面AC的距高为 第二课时用空间向量研究夹角闯是 【必箭如识·统理】 [情境探究 便示，身体与地面成5角 [知识桃理 一.60s(a,y 二.le0a(a,w}l 洲 三.1.不大于9 工夹角将角✉m两川没 [科学思地】 一.1.1)×(2×(3)X40 2D3B445 二提示：1=0,0=受c[0] 工相等减耳补， 【关健能力·探究】 探究一求异菌直线新成的角 [典例精斯 [典例1门D从A为坐 标章点，AB,AC,AM所在 直线合别为王特，y格，轴 建立如图所示的空闻直角坐 林系，是AA一AB-AC= 2.则M-02》,-0,-12