第1章 集合与常用逻辑用语章末总结-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(人教A版)

酸选C (2),3aEN,a十0是存在量命雄 ,A选项错联，B选项正： :省单如0时，a3十<0成生， 三命慧为真命理，中C正确，D错误 批法BC 探究二全称量闺降题和存在量国中抛的真似判盾雨 「鼻例精析】 C肉例]C解析：对子1)，取x一1，(x一1)= 0,(1)情误： 时于(2)，数x=0r1■01，(2)正州： 时于(3)，者g-b=0时，考程这十6-0有无穷多 个解，(3》错误： 时卡(4)w2,12想是无理数，表反+(1一2)=1 麦有理数，()得溪。 所以餐命延的个数是 教法已 [针对国练2]C解桥：Vx∈R.x3+1]>0,故 是氧◆是： 当T=0时，x十lx=0,板户：是假◆题： xEZr|EN,故P,是真◆题： 才程x3一7x+15=0中6=7-4×150，龙方程 无解，城户：是假命划 故选C 探究三全称量国命题、存在量国命题的应用 [典闲精析】 [典例】A解析：出巴如可知D和？均为真命 道，由命观户为养命理，得出1：由命观g为养命观，制 △=如2-4(2-a)30成生，得a6-2,或0⊙1，除以 实数日的取值花国为{aa可一2，（一1.战速A [计对i练a司答案：1a0政单420m>5 新折：1◆期”V长R,+a-x+>0 远氧◆意，技4=a--XX0 航得或u0, 故答策为：(a40友34， (2)“3x∈江1x31,线得x一r+0 成1”为假命超， T裤"YxE(r1Gx3),使特r2一世十40成 上“分真命是， a释 叶实载m的京值花周是四> 【随堂演练+达标】 上D解断：城播全格量调命题和春在量词命道的 次夏加A.B,C均为全称量炯每周，D为丹在查何命想 所以◆是“3xER,x”+5r十4的否发是“VxER: 1D解析：A遇项，任何”是全标量胡，故A醋 ++4>0月 溪：日通项，雀感了量抑质有，“阶有是企格童得，故日 4B解桥：因勇存在量得命题的否定是全称量胡 错误C遂项，省略了量调所有，“所有“是全称量鸿，酰 命题，所以命题“3x∈Z.+1是4的得数"的香定为 C绿溪：D选璃，“年在“是存在量间.盆力三隔，故选1 Vx∈第.x2十1不是4的格数”， 3已解析：快是意，全锋量稀命理：Hx∈「x|3运 5.解：(1》3n∈Z,和足0：(2)存在一个奇数竹平为 上4引，一业0为真命题， 不是寺数：(3》存森一个平行四边形不是中心对林周形， 所议q>x&r3r)上量成在，所试a>4 二、提示这科的命是理解为全释量词命题（量词 所汉使“Yx∈任|3写上运4}，正一@<为再命湖 有味了)，以它竹香定是有的形的两成装 的一个充舟不必要各件是“>5 相等” 故送五 【关键能力·探究】 4答案1 探究一盘有量网的价题的吾定 解析：风为命题卢：“YxEA,x∈B”是真命题，所 【典例精析] xA仁B, [典例1门解：(1)这一命想可汉表连为“对阶有的实 m十12m一1. 数网，方粗工十一用一0有宪数想”，并否定形式是 又B≠②，所以M十1运一2，无解， 在餐m使得2十一=0有实数机，“菌为 2m-155, 故来数w的取植集合是区 天解：门)根抵超意，若P是真◆恩，中ux红E 一元二求方根十x一稀一0没有笑我根，所以原命避 [1,2们)成 的看定是弃命题。 出xE,2]时，x的最小模为1： 《?)这一命通可以表还为“所有羊面的面积相等” 所保ù1，即丝的最大值为1 其定形是“存在一对等，其飘不相”山平国 (2》若9是真◆题，△=(2知+4(a一220.解样 的气金如虑◆随的否文是复命观 e写-2浅1. ()这一命理的香定形人是“有的土角形至多有 肉巴如，g一真一俱， 个纪角”，山三角形的内角和为18加加原命题的香文为 若P真g做，则2m1→一2<a<, 【针对利等1门解：(1》命延的否定，存在一个平行 2成e心 四边形的对迫不海平行”，由平行四说形的瓷又物，这是 假命翅 推上a>1我-2<a<1, 2)命期的看定，“存在一个套负数竹平方不是正 成实餐a的取推范周为{知阳>1.或一2a<1 餐”，国为0一0，不是正表，所这流命剩是真命理 15.1全称量词命题和存在量词命题的香定 {3)命题的吾定，“上，3∈乙.都有Ea十y≠3”国 【必备知识·统理】 为年z=0,y=3时W2r十下=3，所以原◆是为真，命 情狮探究】 道的否定为能命题 提示班规至少一本月学的数学成量不超过0分 探究二利用体”的吾定求参数的取值范围 血域所有同学的数季成情双格 [鼻刷精析] [知阴慎理) [典例门解：命着“3x∈B,江氏A”是阻命通，它的 1.3x∈M,一Pz1群在量词 否瓷◆题“YrEB:xEA”是真◆周，出时A, 1HxEM,一P1全称量词 4=xx2-1x+2=0=1,2. [科学见维】 ①B为单元素集分时，（一4一4a=0信=4.B -.11ù×()(3W(40X ulr-4r+4=01=2A: 左C解析：命频p:春在实数，使方植十wu ②日为观元素集合时，H■1,2，这是不军能的， 一1=0有条根。为存在量同◆理，兵否瓷为：时任意案 国为方程一正十一0如最有根，之和为4，而】 数m,使方程x°十mu一10无实模 、C解析：网为存在量何◆题的否定是全除量河 修上可知，实数日竹单值他离是(4， 命理，◆“3：∈民，+5让十40是存在量命观 [针对国练2]解：出"Vx∈A,这∈B”的否定为健 命恩，得“VrEA.rEB”为真◆是， 可知ACB, 220,P10, .实数年的取维范周是ag。10。 【随常演练·达标】 1,C解析：在写◆随的否家时，一是视童师，二是 否结轮，量调：“有些戏为“所有”，雄论是重角无角形” 及为”不是直角三角形”，放选已 2 BCD A解所：户皆舌完是戴命题，户是真命题.x十1 的量大值是2，e32: ◆相g是具命题.△-16一4如30，a64 命题户与令都是真命题，所以有2如运4，故选A 4答案a0 解析：命通“3r毛=[x一1Gx≤31，ra是 氧命观，它的吾定”￥g∈▣={任=143}，z>a" 是真◆恩 工∈g任|一r3时，x的最小值无0，所以 00,期a0. 天答案：存在一个雀被6整除的数，不能被2整除 且不衡技3整爵 解析：“水“和“夏”至相香定，体会追的浙的套义否 促是意思的否定，不是局单学面的吾定 章末总结 【我型例丽】 【例们A糊圳=n时4-血士长乙 当-n+1时，x-234中+13weZ 当=3n+2a2+20山a5wez. 所以县一，盖一，或 因为A=上-，列：所aA云队我 3 A [例2习匹解折：A--m+如E {-mme,B-r-是-言a 6 ∈-n后E2,且2领十1为★数，e为 整数， A空B,南A三B:A,D属，C正州： 十D一，L+1w均为垫我， ,B=CB正魂故法汇 [例a]D解折：集分A=xz一70zEN=x r7.r∈N°1=1,23,45，阶 B-6∈NEA-1.2,a.6,tB有2-5 个子桌故选几 [例4]D解析：因为桌金A=@b1的所有车空真 子集：a,6c,ab.ac,h,r2,筒议有a+b十c十 a十b+u+r十b+r-12*a十b十)-18*+b+r-4 故法D [例司C解桥：向是意年.A=xe7刀一<2)曰 (一1,0.1，，B=,a1,BA,.害数a岭取值桑合为 (-1,07,t选C [例6们解：(1小当B为堂集时，四十12w一1w之2 m+13m-1, ②当B不是空集时，？A,m一1一3， m中1<4， ,一1m2螺上①w3一1 2)①遇B为堂是时，m十12m一1n2.成是 ②当月不是业表.四十，一1， w+1C-3, m<-4球上w>2我m<-《 [例7]C解折：四为A=xEN-r2=0,1 2,又B-(一2，-10，，所xA门B=0,I1.t选C [例8】B解析：两为A=:0<x<8,B 20j.时以AUB-女00，收选且 [例9)D制插：四为B=xx3,所禄CB=x 所议A门(【B)-一2，-1，.1h.故4 例1可B解析：题国中园影峰分表示集会N门K【M (a2x510r1x<3}■(x26x31.戴4且 [例11门D解析：由补a竹版多，C4在◆的区线 如油所衣阴移落域 (CM)门B表衣的区线为下图所泰即都蓝境。 中为圈中的区城W,此慧D 时4<一2 [例12]B解新：根据题套得，P·Q=(《3,6) (3.7).(4.6).(4,7),(5,5),(5,7)1,P×Q中有6个 当Aa≥-名南AB得样 元素，，P+Q的真寺集个数为2一1-3.故选且 [例13]答案：56 撑上所逃，实数a的取值范国为<一2我一1a网 解析：时于1,1+1一2∈T,副1不是孤3光”： 对于2,2-1=1ET,几2十1=3ET,时2不是“花 远②，由“xEA是“x毛8"的克分不必要条件，则A国 B. 对于3,3-1=2E丁，则8不延“张点元“ 多A=必时，期4一1D+1,昨g<一2，满是AFB, 对子5,5-1一4年T,显5十1一6任T,制5是“那 则<-2 根城以上分桥可知，不金“菲立元”是箱在是合中有 吉A8时2-南A版B传不 与止相畅的无者， 能同时取等号，解得一：1. 所议出S中的4个元素构成的所有桌合中，不舍 惊上斯追，务ù的取值就为<一2或一1a 张克元“传爆合有(1,2.3,4)，(1,2,4,5).(1,2,5,61， 2.3,4,5},2.3,5,,3,4.5,1,46个 进③，A时，则一十1，中<一2，满 故爹案为5：6. A门B=必，剩a<-2成立： [倒14们日解断：由题念年A=x1Cr<7》,阶 当A≠0时w2一2由AH=②裤：+1<-2或 。一5，得a友a>4 所以xEA”是“：毛B"的必要不克分条件，故选且 [例15D解析：一克二火不号式十证0的 解集为民， 中二次画数y十证x的国是在x物的下才，等 特上所运，法款后的取佳脱调为8<营道@> 于利一九二水不等文时十缸十女<0的解秦为 [例1]A解桥：由题意，◆理“V>0x3一x一1 ”是企种量词命题，根排全静量调命通每存在性命通的美 g片《。n f,可得其希文是”3x0,x2一士一10位选A [例1]C解析：◆随“3x毛R.x2一2十2考存 [例16]解：(1山条件A=一1<x3,P是9的克 在量调今通，其吾定为，Yr∈R,一十Q.批透C 食备件， [例20]答米0a4 得A-B.冲解样m-2, 解断：国为◆理户：V不∈R,句有十g十日0是真 m十1-3. 命道，所以40，即a60,解得a4,所以失数 前以实复网的京值范写是 的敢值花调为aA (②南户是g的克分不必要条件，得A具也合于B,凰 【8例]答需的> 1一m<十1>0，所以一w一1， 解桥1希命身”3x长凡一工十世=为假命是，时 M十> 元二求考柜x一十阳=0元架貌解， m>0 d-一如<0>0销取值税周是> 1一时<一1，解保国>2 w十3， 第二章一元二次所数，方程和不等式 嫁上实数a的取陵范国是加>之 21等式性质与不等式性质 [到17]解：1D当a-2时，A=x1x5,6B 【必备知识·梳理】 }-a3 (情境探究] 所以.AUB-x-2x5.C.CAUB)-r| 2我x>》, ⑦p6的 (2》速D,南AUB-B知：A二B. [知识宽理】 皆A一万时，副金-1%十1.中a<-2,满花A4, 1(2a-bm6金< >><> [科华易峰】 -,1.G/423、3)X4X 2D 3C 4D 5x+缸 二漫茶因冷山前以：与台月寺：汤。君 又所6aa角言a,时表 【关健修力·探究】 探究一两不第式的)表示不等关暴 [典侧精析1 〔奥例门解：说每天浓出甲型中本x辆，乙型卡车y ， +39. x+9 04, 04, 0<y5, l0dv. [针对测练1】解：若规骨后有品竹售骨为工元，则锡 8量核少一×10，盟比，春天的程钩为一8网 一10风x一10)门无，刺“每天的利鸿不餐于0元”可效表 示为不￥大(：-8D[100-10(上一10)]s320 探究二实美数（代敏式）得比较大小 [典例精新] [具例2]解：(1)(x+3》-3r=x2-3x+3 (+>>0, x2十33z. (2)(a'+62一(@6+ad)-a'+6”-u26-u6 =g3(g一)一6(a一b》m《g一bj(a一)=(a s)(a+6). g0.b>0且a*6, .(a-6)0,w十6>0 ,(a+b2)-(ab十b)>0.a1+6'>a6+ [针对W体2门(1C(2C解轿：(1)色和0<a< 3制0ab<1a>0b>0. aN-N-。)(。 +8-4✉0g0-》- 1+e(1+》 ++00,琴批，>N, 教一动) 故遥C数学必修第一册人教A版 章未总结 ②知识整合 确定性 概念元素性质 互异性 无序性 自然语言 表示方法 列举法 集合 描述法 子集 关系 包含关系 真子集 相等 Venn图 并集 运算 交集 补集 P是q的充分条件P→9 充分条件、必要条件、充要条件P是g的必要条件9→P p是g的充要条件p台9 常用逻辑用语 全称量词+全称量词命题 全称量词命题的否定 存在量词3 存在量词命题存在量词命题的否定 ⑨典型例题 n 1 专题一集合 k∈Z,则A,B,C之间的关系有( 考点1集合间基本关系的判断 集合间基本关系的两种判定方法和一个关键 A.A=B=C B.B=C 两种方法：(1)化简集合，从表达式中寻找 C.ACB D.BCA 两集合的关系； 考点2子集、真子集的问题 (2)用列举法（图示法）表示各集合，从元素 求集合子集、真子集的步骤 (图形)中寻找关系， 判断 根据子集、真子集的概念判断出集合中 一个关键：关键是看它们是否具有包含关 含有元素的可能情况 系，若有包含关系就是子集关系， 分类根据集合中元素的多少进行分类 [例已知集合A=女=2+∈， 列举采用列举法逐一写出每种情况的子集 [例3]集合A={x|x-7<0,x∈N·},则 A.AB B.A∩B= 6 C.A=B D.BA B=yS∈Ny∈A)的子集的个数为 例习（多选若集合A-女m+。nc, A.4 B.8 C.15 D.16 …32 ©第一章集合与常用逻辑用语 [例4]已知集合A={a,b,c}的所有非空 时，不能说A与B没有交集，而是A∩B=0 真子集的元素之和等于12，则a十b十c的值为 [例7]设集合A={x∈N-1≤x≤2}， ( B={-2,-1,0,1},则A∩B=() A.1 B.2 C.3 D.4 A.{-2,-1,0,1,2}B.{-1,0,1} 考点3根据集合的包含关系求参数 C.{0,1} D.{1】 根据两集合的关系求参数的方法 2.集合并集的运算 已知两个集合之间的关系求参数时，要明 (1)运算结果：AUB仍是一个集合，由所 确集合中的元素，对子集是否为空集进行分类 有属于A或属于B的元素组成； 讨论（必须优先考虑空集的情况），做到不漏解， (2)并集概念中的“或”指的是只要满足其 其次是将条件转化为元素或区间端点间的关 中一个条件即可，符号语言“x∈A,或x∈B” 系，进而转化为参数所满足的关系，常用数轴、 包含三种情况：“x∈A,但xB”;“x∈B,但x Venn图等来直观解决这类问题. 任A”;“x∈A,且x∈B”.因此，AUB是由所 [例5]已知集合A={x∈Zx2<4},B= 有至少属于A,B两者之一的元素组成的集合 {1,a},B二A,则实数a的取值集合为( 可用图表示。 A.{-2,-1,0} B.{-2,-1} xEA或x∈B C.{-1,0} D.{-1} [例6]已知集合A={x|一3≤x<4}, B={x|2m-1≤x≤m+1}. (1)若B二A,求实数m的取值范围； ② 3 (2)若A∩B=⑦，求实数m的取值范围. xEA,但x年BxEA,且xEBx∈B,但x庄A [例8]集合A={x|0<x<8},B z2<x≤10，则AUB=( A.78 B.{x|0<x≤10】 c2<8 D.<10 3.补集的运算 考点4集合的运算 (1)补集是相对于全集而言的，它与全集不 1.集合交集的运算 可分割.一方面，若没有定义全集，则不存在补 (1)运算结果：A∩B是一个集合，由A与 集的说法：另一方面，补集的元素逃不出全集的 B的所有公共元素组成，而非部分元素组成； 范围， (2)关键词“所有”：概念中的“所有”两字的 (2)补集既是集合之间的一种关系，同时也 含义是，不仅“A∩B中的任意元素都是A与B 是集合之间的一种运算.求集合A的补集的前 的公共元素”，同时“A与B的公共元素都属于 提是A为全集U的子集，随着所选全集的不 A∩B”; 同，得到的补集也是不同的。 (3)⑦情形：当集合A与B没有公共元素 [例9]设全集U=R,A={-2,一1,0,1， 33 数学必修第一册人教A版 2},B={x|x≥2}，则A∩(CuB)=( [例13]设A是整数集的一个非空子集， A.{1,2} B.{-1,0,1} 对于k∈A,若k一1任A,且k十1任A,则称k C.{-2,-1,0} D.{-2,-1,0,1} 是A的一个“孤立元”，集合T={1,2,3,5}中 考点5韦恩图的应用 的“孤立元”是 :对给定的集合S= 对离散的数集间的运算或抽象集合间的运 {1,2,3,4,5,6},由S中的4个元素构成的所有集 算，可借助韦恩(Venn)图实施；对连续的数集 合中，不含“孤立元”的集合有 个 间的运算，常利用数轴进行；对点集间的运算， 专题二常用逻辑用语 则往往通过坐标平面内的图形求解.这些在本 考点1充分条件与必要条件的判断 质上都是数形结合思想的体现和运用. 充要条件的四种判断方法 [例10们设全集U是实数集R,M={xx (1)定义法：根据p→q,q→p进行判断； ≥3}，N={x|2≤x≤5}都是U的子集（如图所 (2)集合法：根据使p,q成立的对象的集 示)，则阴影部分所表示的集合为( 合之间的包含关系进行判断.抓住“以小推大” 的技巧，即小范围推得大范围，即可解决充分必 要性的问题 [例14]已知集合A={x|x2一8x+7< 0},B={x1<x<4},则“x∈A”是“x∈B”的 A.{x2<x<3} B.{x|2≤x<3} () C.{x|2<x≤3} D.{x|2x≤5} A.充分不必要条件 [例11]如图，集合A,B均为U的子集， B.必要不充分条件 (CA)∩B表示的区域为( C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 [例15]一元二次不等式a.x2+bx+c<0 的解集为R的一个充要条件是( A.I B.II C.Ⅲ D.IV a>0, A. Ba>0, 考点6集合的新定义问题 4>0 △<0 集合新定义问题的求解思路 a<0, [a<0, C. D. (1)遇到新定义问题，先分析新定义的特 4>0 △<0 点，把新定义所叙述的问题的本质弄清楚，并能 考点2利用充分、必要条件求参数的取 够应用到解题的过程中，这是解答新定义型问 值范围 题的关键所在； 根据充分、必要条件求解参数范围的方法 (2)集合的性质是解答集合新定义问题的 及注意点 基础，也是突破口，在解题时要善于从试题中发 (1)先把充分条件、必要条件或充要条件转 现可以使用集合性质的一些条件。 化为集合之间的关系，再根据集合之间的关系 [例12]集合P={3,4,5},Q={6,7},定 列出关于参数的不等式（或不等式组）求解； 义P*Q={(a,b)|a∈P,b∈Q},则P*Q的 (2)要注意区间端点值的检验，尤其是利用 真子集个数为( 两个集合之间的关系求解参数的取值范围时， A.31 B.63 C.32 D.64 不等式是否能够取等号决定端点值的取舍，处 ●34 。第一章集合与常用逻辑用语 理不当容易出现漏解或增解的现象， 考点3含有一个量词的命题的否定 [例16]设集合A={-1<x<3},B={x 全称量词命题与存在量词命题的否定的 1一m<x<m十1，m>0},命题p:x∈A,命题 步骤 q:x∈B. (1)改写量词：确定命题所含量词的类型， (1)若p是9的充要条件，求正实数m的 省去量词的要结合命题的含义加上量词，再对 取值范围： 量词进行改写； (2)若p是q的充分不必要条件，求正实 (2)否定结论：对原命题的结论进行否定 数m的取值范围. [例18]命题“Hx>0,x2一x一1>0”的否 定是() A3x>0,x2-x-1≤0 B.Hx>0,x2-x-1≤0 C.]x≤0，x2-x-1≤0 D.Hx≤0，x2-x-1≤0 [例19]命题“了x∈R,x2一2x十2≤0”的 [例17]已知集合A={xa-1≤x≤ 否定是( 2a+1},B={x|-2≤x≤3}.在①AUB=B; A3x∈R,x2-2x+2≥0 ②“x∈A”是“x∈B”的充分不必要条件； B.3x∈R,x2-2x+2>0 ③A∩B=心这三个条件中任选一个，补充到 C.Hx∈R,x2-2x+2>0 本题第(2)问的横线处，求解下列问题， D.Hx∈R,x2-2x+20 (1)当a=2时，求CR(AUB)； 考点4根据全称（存在）量词命题的真假 (2)若 ,求实数a的取值范围， 求参数 [例20们已知命题p:Hx∈R,都有x2+ a.x十a≥0是真命题，则实数a的取值范围是 [例21]若命题“3x∈R,x2-x十a=0” 为假命题，则实数a的取值范围为 35。.