4.4 指数函数、幂函数，对数函数增长的比较&4.5 信息技术支持的函数研究(课时训练)-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(北师大版)

它的图象关于y轴对称.：f(x)在 [0,十o∞)上单调递增，.f(x)在(-o∞，0]上 单调递减由f(得）=0得f(吉）-0 f(lg)>0,lgx<-号 8>,解得x>2浅0K<, xe(o.2)U2,+o) 7.解由v=10log1x-20, 当0=10log1x一20=10时，得1og1x=3,得x=33-27; 当v=101ogx-20=30时，得1ogx=5,得x=3=243, 所以黑嘴鸣每秒耗氧量的单位数的取值范围是[27,243]. 8.D由[log2x]=2,可得2≤log2x<3,解得4≤x<8.故 选D. 9.D由f(x)的图象可知0<a<1,0<b<1,故g(x)为 减函数，且g(x)>0.故选D 10.Df(4)=loge4+a=3, (log:+1,>0 a=1,∴f(x)= x+1,x≤0， 当x>0时，logx+1>0, .logs1logs >2 当x≤0时，x+1>0, .x>-1..-1<x≤0. 综上，-1Kx<0成x> u[2ua,2】 当a>1时，y=ogx在区间 (2,十∞)上单调递增，由log2≥1，得1<a≤2；当0<a<1时， y=l0gx在区同(2，+oo)上单调递减，且1og2≤-1，得2≤ a<1.数a的取值范偶是[2)U1,2 卫解（漫数)=e晋是专数- -.le晋=-6e其票即l6e骨 o年品a=士h.当a=-1时fc)=le号无意又， 金去a=1个当0，解释<一1或>1所以西数的定 义城为{x|x<一1或x>1}. (2)f(x)十log(x一1)=1og(1十x),当x>1时，x十1> 2,log2(1+x)>log2=1. x∈(1，十o∞)，f(x)十log(x-1)>m恒成立， m≤L.故m的取值范周是（一o,1]. 13.解(1)：函数f(x)的图象关于原点对称， ,函数f(x)为奇商数， f(-x)=-f(x), 中晋-号-品 解得a=一1或a=1(含去). (2)/(z)+log (-1)log (-1)= log1(1+x),当x>1时，log1(1十x)<-1. 当x∈(1，十o)时，f(x)十log1(x一1)<m恒成立， .m≥-1， 即m的取值范围是[一1，十∞). §4指数函数、幂函数对数函数增长的比较 ·§5信息技术支持的函数研究 1.B对数函数增长的速度越来越慢.故选B 2.Ax∈(1,2) .2>2,x3∈(1,2)，lgx∈(0,1)， 2严>x>gx.故选A 3.B依据生活常识，茶温一般不会低于室内温度，因此选 80=20+ba, 4 择模型③，得到 解得 68=20+6a2, b=75, 国地20+5·（告厂<60（告）≤是→t≥ 3g2-g3-g5_4lg2-g31≈2.82， 21g 2-lg 5 3g2-1 4.y:从表格观慕函数值y1,y2yy4的增加值，哪个变 量的增加值最大，则该变量关于x呈指数函数变化.以爆炸式 增长的变量是指数函数变化.从表格中可以看出，四个变量y1, yyy均是从2开始变化，变量y1y2yy4都是越来越 大，但是增长速度不同，其中变量y?的增长速度最快，可知变 量y:关于x星指数函数变化.故填y2. 5.解在同一平面直角坐标系中作出函数y=0.2x,y= l0gxy=1.02的图象（图略）.观察图象可知，在区间[5,100] 内，函数y=0.2x,y=1.02的图象都有一部分在直线y=3的 上方，只有函数y=l0gx的图象始终在直线y=3和y=0.2x 的下方，这说明只有按模型y=gx进行奖励才符合商场的 要求 6.C 1.①③根据题意，函数的图泉经过点(2，号)，故画数为 y=(号)八.易知①8③正确 8.解(1)根据该地区新能源汽车保有量的增长趋势知，应 选择的函数模型是y=a·b(a>0,b>0且b≠1)， a·6°=1500， 由题意得 a·6'=2250, a=1500, 解得 = 所以y=1500,(2) (2)设传统能源汽车保有量每年下降的百分比为r,依题意 得，50000(1-r》5-50000(1-10%),解得1-，-0.9. 设从2020年年底起经过x年后的传统能源汽车保有量为 y辆， 则有y=500001-ry=50000(0.9), 设从2020年年底起经过x年后新能源汽车的数量将超过 传就能源汽奉， 则有150·（受）广>5000(0.g),化简得3· (2)>1oo(a.g) 所以g3+xg3-1g2)>2+号(2g3-1), 2-g3 —≈8.09， z之+2g3-82 故从2020年年底起经过9年后， 即2029年年底该地区的新能潭汽车的数量将超过传统能 源汽车 9.解(1)以身高为横坐标，休重为纵坐标，画出散，点图. y 0 根据点的分布特征，可考虑以y=口·b作为刻画这个地 区未成年男性的体重与身高关系的函数模型，取其中的两组数 据(70,7.90)，(160,47.25)，代入y■a·b,得 f7.9=a·b", 用计算器算得a2,b=1.02 47.25=a·610 这样，我们就得到一个函数模型y=2×1.02 将已知数据代入上述函数解析式，或作出上述函数的图 原，可以发现，这个函数模型与已知数据的椒合程度较好，这说 明它能校好地反映这个地区未成年男性体重与身高的关系。 (2)将x=175代入y=2×1.02得y=2×1.025,由计算 4 器算得y63.98.由于78÷63.981.22>1.2，所以这个男生 偏胖 第五章函数应用 §1方程解的存在性及方程的近似解 1.1利用函数性质判定方程解的存在性 1.A 2.B由f(x)=4一2一2=(2一2)(2+1)=0得2= 2,解得x=1. 3ABD由于y=（号）广在(0，+∞)上单调递减y 1ogx在(0，十o)上单调适增，可得f(x)-(号）广-1ogx在 定义城(0，十oo)上是减函数，当0<a<b<c时，f(a)>f(b)> f(c),又因为f(a)·f(b)·f(c)<0,f(d)=0,所以①当 f(a),f(b),f(c)都为负值时，则a,b,c都大于d,②当f(a)> 0f(b)>0,f(c)<0时，则a,b都小于d,c大于d.笨合①②可 得d>c不可能成立. 4.C由列表可知f(-1)=g(-1)十1-3=0.37-2= -1,63,f(0)=g(0)-0-3=1-3=-2,f(1)=-1.28, f(2)=2.39,f(3)=1439,:f(1)·f(2)<0,.函数f(x)的 一个零点所在的区间为(1,2. 5.C当0r<2时f)-,光时f儿)*调适增. 当x>2时，)=（合）”+1，此时fx)单调运减， 又函数f(x)是定义在R上的偶函数，其图象关于y轴对 称，作出函数f(x)的图象如下 y y=m =) 0 国为函数y=∫(x)一m有且仅有4个零点，所以函数y= f)与y=m的图象有4个交点，根据图象可知1<m<号，即 实数m的取位花围是(1，哥），故选C 61因为e)-h2)》上-hx士+h2定义线为 (0,十∞)，且y=hx与y=-上二均在(0，十∞)上单调递增， x 所以f(x)在(0，十c∞)上单调递增， 又f-n2-1<0,f2)=h4->h。-2-1-班级 姓名 第四章 §4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 04 *§5信息技术支持的函数研究 A级|必备知识基础练 关于x呈指数函数变化的变量是 1.(探究，点一)下列函数中增长速度最慢的是 5.(探究点三)某商场为了实现100万元的利润 ( 目标，准备制订一个激励销售人员的奖励方 A.y=6 B.y=logsx 案：在利润达到5万元时，按利润进行奖励， C.y=x5 且奖金y(单位：万元)随利润x(单位：万元) D.y=6x 的增加而增加，但奖金总数不超过3万元，同 2.(探究点二)若x∈(1,2)，则下列结论正确的 时奖金不超过利润的20%.现有三个奖励模 是() 型：y=0.2x,y=1ogx,y=1.02,其中哪 A.2>>g I B.2>1g 个模型符合该商场的要求？ C.x>2>g x D.x>g r>2 3.(探究点三)茶文化起源于中国，中国饮茶据 说始于神农时代.现代研究结果显示，饮茶 温度最好不要超过60℃.一杯茶泡好后置 于室内，1分钟、2分钟后测得这杯茶的温度 分别为80℃，68℃，给出三个茶温T(单 位：℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位： 分钟)的函数模型：①T=at十b(a<0): ②T=logt+b(0<a<1);③T=20+b·a (b>0,0<a<1).根据生活常识，从这三个 函数模型中选择一个，模拟茶温T(单 位：℃)关于茶泡好后置于室内时间t(单位： 分钟)的关系，并依此计算该杯茶泡好后到 饮用至少需要等待的时间为( )(参考数 据：lg2≈0.301，lg3≈0.477) A.2.72分钟 B.2.82分钟 C.2.92分钟 D.3.02分钟 4.(探究点一)四个变量y1y2,y3,y随变量 x变化的数据如下表： x151015 20 25 30 y226101226 401 626 901 y:2321024327681.05×103.36×1021.07×10° y321020 30 40 50 60 y424.3225.3225.9076.322 6.6446.907 276 B级丨关键能力提升练 车保有量y关于x的函数关系式： (2)假设每年新能源汽车保有量按(1)中求 6.下列对函数f(x)=1og4x,g(x)=(号广， 得的函数模型增长，且传统能源汽车保 hx)=x一在区间0，十∞)止的递减情况 有量每年下降的百分比相同，2020年年 底该地区传统能源汽车保有量为50000 的说法正确的是() 辆，预计到2025年年底传统能源汽车保 A.f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度 有量将下降10%.试估计到哪一年年底新 越来越快，h(x)递减速度越来越慢 能源汽车保有量将超过传统能源汽车保有 B.f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度 量.（参考数据：1g2≈0.30，lg3≈0.48） 越来越慢，h(x)递减速度越来越快 C.f(x)递减速度越来越慢，g(x)递减速度 越来越慢，h(x)递减速度越来越慢 D.f(x)递减速度越来越快，g(x)递减速度 越来越快，h(x)递减速度越来越快 7.如图所示的是某受污染 y 的湖泊在自然净化过程 2制 中某种有害物质的残留 量y与净化时间t(月)的01234阴 近似函数关系：y=a'(t≥0，a>0且a≠1) 的图象.有以下叙述： ①第4个月时，残留量就会低于弓 ②每月减少的有害物质量都相等； ③若残留量为2，，时，所经过的时间分 别是t1,t2,t3,则t1十t2=t3 其中所有正确叙述的序号是 8.某地区2020年年底新能源汽车保有量为 1500辆，2021年年底新能源汽车保有量为 2250辆，2022年年底新能源汽车保有量为 3375辆. (1)根据以上数据，试从y=a·b(a>0, b>0且b≠1)，y=a·1ogx(a>0,b>0 且b≠1)，y=ax+b(a>0)三种函数模 型中选择一个最恰当的模型来刻画新能 源汽车保有量的增长趋势（不必说明理 由)，设从2020年年底起经过x年后新 能源汽车保有量为y辆，求出新能源汽 -277- C级|学科素养创新练」 (2)若体重超过相同身高男性体重平均值的 9.某地区不同身高的未成年男性的体重平均 1.2倍为偏胖，低于0.8倍为偏瘦，那么 值如表： 这个地区一名身高为175cm,体重为 78kg的在校男生的体重是否正常？ 身高/cm 60 70 80 90 100 110 体重/kg 613 7.90 9.90 12.15 15.0217.50 身高/cm 120 130 140 150 160 170 体重/kg20.9226.8631.1138.85 47.2555.05 (1)根据表中提供的数据，能否建立恰当的 函数模型，使它能比较近似地反映这个 地区未成年男性体重ykg与身高xcm 的函数关系？试写出这个函数模型的解 析式 -278