4.4指数函数、幂函数、对数函数增长的比较课时训练-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册

4.4 指数函数、幂函数、对数函数增长的比较 课时训练-2024-2025学年高一上学期数学北师大版（2019）必修第一册 一、单选题 1．随着人们健康水平的不断提高，某种疾病在某地的患病率以每年的比例降低，若要将当前的患病率降低到原来的一半，需要的时间至少是（    ）(，) A．6年 B．7年 C．8年 D．9年 2．某种细胞分裂时，由1个分裂成2个，2个分裂成4个，……，这样一个细胞分裂__________次以后，得到的细胞个数是128个. A．5 B．6 C．7 D．8 3．若函数为偶函数，则（    ） A．-1 B．0 C． D．1 4．下列函数中，满足的为（    ） A． B． C． D． 5．方程的解为（　　） A．2 B．﹣2 C．﹣1 D．1 6．已知函数，则方程的解为（    ） A． B．或 C．或 D．或 二、多选题 7．已知函数，若，则实数a的值可以是（    ） A．1 B． C．5 D． 8．（多选）已知函数，则方程的解可能为（　　） A． B． C． D． 三、填空题 9．若存在实数x使得成立，则实数m的最大值为 ． 10．设函数，，（其中）， （1） ； （2）若函数与的图象有3个交点，则实数的取值范围为 ． 11．设，满足，则 . 12．若，则 . 四、解答题 13．解方程： (1)； (2)． 14．解下列关于的方程： (1)； (2)； (3)． 15．已知函数，其中. (1)若恒成立，求； (2)若，试比较与的大小，并证明. 16．已知函数f(x)=lg ，f(1)=0，当x>0时，恒有f(x)=lgx. (1)若不等式f(x)≤lgt的解集为A，且A(0,4]，求实数t的取值范围； (2)若方程f(x)=lg(8x+m)的解集为，求实数m的取值范围. 参考答案： 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B C B B C C BC BD 1．B 【分析】首先根据条件列式，再通过两边取对数，计算需要的时间. 【详解】设至少需要年的时间，则，两边取对数， 即. 故选：B 2．C 【分析】由题意，次分裂后，共有个，故可得方程，从而得解． 【详解】由题意，次分裂后，共有个，所以有， ∴，故选C. 【点睛】本题主要考查指数函数的运用，考查由实际问题选择函数类型，属于基础题． 3．B 【分析】根据函数是偶函数，则，解出后验证即可. 【详解】因为为偶函数， ， 则有， 解得， 经验证时，符合条件， 故选：B. 4．B 【分析】方法1：令，证明，找到满足此条件的函数； 方法2：令，得，找到满足条件的选项． 【详解】（方法1）令，则，． 由于，即， 所以． 而满足的函数有对数函数（，）， 所以，只有B选项符合题意，其它选项均不符合． （方法2）令，则，得．在四个选项中，只有B选项满足，其它选项均不符合． 故选：B 5．C 【分析】由，再利用指数函数的单调性求解    . 【详解】解：∵， ∴x﹣1＝﹣2， ∴x＝﹣1． 故选：C． 6．C 【分析】换底公式化简可得出关于的等式，求出的值，再利用对数式与指数式的互化可得出的值. 【详解】因为， 由可得， 得或， 当时，；当时，. 综上所述，原方程的解为或. 故选：C. 7．BC 【分析】根据分段函数解析式进行分类讨论，通过解方程求得的值. 【详解】当时，，解得； 当时，，解得，又，所以舍去． 综上所述，或． 故选：BC 8．BD 【分析】根据对数的运算性质可得，利用换元法，即可求解. 【详解】由已知得， ∴， 即， 令，则方程可化为，解得或， 故，或者 ∴或， 故选：BD. 9．1 【分析】令，转化问题为，进而根据函数的单调性求出，转化问题为，即可求解． 【详解】解：， ， ，， 令， 若存在使得不等式成立， ， 函数在上单调递增，在上单调递减， 函数在上单调递增，在上单调递减， ， ， 即， ， 解得：， ， 实数的最大值为1， 故答案为：1． 10． 【分析】根据题意，推得，即可求得的值，作出函数和的图象，结合和，结合图象，即可求得的取值范围. 【详解】由题意，函数， 所以； 当时，则，可得； 当时，则，可得； 当时，则，可得； 当时，则，可得， 画出函数和的图象，如图所示， 由，可得；又由，可得， 由图象可知，若两个函数的图象有3个交点时，可得， 所以实数的取值范围为. 故答案为：；. 11．/0.5 【分析】令，则，根据即可求解． 【详解】令，则， 所以，整理得， 解得(负值舍去)，所以. 故答案为：. 12．/0.25 【分析】根据对数式与指数式的互化可得，利用指数幂的运算可得结果. 【详解】由，可得，则. 故答案为：. 13．(1) (2)． 【分析】（1）利用对数的运算性质，真数大于求出的范围，将，从而建立等式求解； （2）利用换元的思想将等式转化成一元二次方程求解，注意参数的取值范围，得到即可求解． 【详解】（1）解：由题意，根据对数的运算性质，可得， 可得 解得． ∴原方程的解为． （2）解：令，则方程变为：， 即， ∴， 解得，（舍去）． ∴，． ∴原方程的解为． 14．(1) (2) (3)， 【分析】（1）转化为，利用一元二次不等式的解法求解； （2）由，利用对数函数的单调性求解； （3）转化为，利用一元二次不等式的解法求解. 【详解】（1）解：原方程可化为， 即， ∴（舍去）或， ∴． （2）由， 得，即， 解得或． 经检验知，当时，，，不满足真数大于0，舍去； 当时，，，符合题意．故． （3）原方程整理得，即， 所以或，解得或． 经检验知，，都是原方程的根． 15．(1) (2) 【分析】（1）根据题意，函数带入式子，计算即可； （2）利用，求出对应的，用表示出、的值，再根据对数的降幂功能，得到与，从而得到其大小关系. 【详解】（1）因为恒成立， 得 所以， 即. （2）因为，所以， ，得 得 因为； 所以. 16．（1）（2）0≤m<18 【分析】(1)求出函数的表达式，转化为一个方程，分离参数,根据的定义域即可求出；(2)根据对数的运算性质，可将方程，转化为一个关于的分式方程组，进而根据方程的解集为，则从方程组有解求出的范围，再求其补集即可. 【详解】(1) 当时，恒有成立. ， 即恒成立， ，且由可得， 故，， 得且>0，由于A(0, 4]， 故，得 又因为，所以实数t的取值范围是 (2)先当方程有解，则得在或内有解 令，则 所以，从而 所以时方程的解集为. 【点睛】本题考查的知识点是对数函数的图象与性质，及对数函数单调性的综合应用，考查学生的分析问题解决问题的能力. 学科网（北京）股份有限公司 $$