2.3 第2课时函数的最值(课时训练)-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(北师大版)

增，故f(4-a)>f(a)台4-a>a,解得a<2. 10.D因为a十b≤0，所以a≤-b,b≤-a,又函数f(x) 在区间(-∞，十∞)上是减函数，所以f(a)≥f(-b),f(b)≥ f(-a),所以f(a）+f(b)≥f(-a)+f(-b). 「-a≥1， 11.[-3,一1]由题意可得a<0, 食 12+2aX1+3aX1+1, 得-3≤a≤-1，剩实数a的取值范围是[-3，一1]. 12解a:f0=m++号-2，f2)-2m+会 1 -4…0 n■2. (2)f(x)在区间[1，十o∞)上单调递增.证明如下， 由（1)将f(x)=x+2云+2 1,1 任取1长<，则fc)-f)=+站十 2 a+这+）--)-2)-西-)… 2xx4-） 2x1x2 1≤x1<xgx1-x2<0,x1x>1,2x1xg-1>1, f(x1)-f(xg)<0,即f(x1)<(x .f(x)在区间[门，十o)上单调递增. (3),1+2x2≥1，x2-2x+4=(x-1)2+3≥3， .只需1+2x2>x2-2x十4， .x2十2x一30，解得x<-3或x>1. 即实数x的取值范国为（一o∞，一3）U(1,十0∞). 13.ABx1f(x1)+xgf(x)>x1f(x2)+f(x)化简为 (x1一x2)[f(x)一f(xg)]>0,故函数f(x)在R上是增函数，故 A正确，f)=f>-1白f)+]-fx)+ x1-x: I1-I: 0,则函数y=f(x)十x在R上是增函数，故B正确；C选项中， 令f(x)=[x],[x]表示不超过x的最大的整数，满足f(x十 1)>f(x),但f(x)在R上不是增函数，如f(1.2)=f(1.5), 故C错误：D选项中，令f(x)=g(x)=x,函数y=∫(x)· g(x)=x在R上不单调，故D错误.故选AB 14.证明(1)根据题意，令m=0,可得f(0十n)=f(0)· f(n),:f(n)≠0，f(0)=1 (2)由题意知，当x>0时，0<f(x)<1: 当x=0时，f(0)=1>0: 当x<0时，一x>0,.0<f(一x)<1. f(0)=f(x+(-x)=f(x)·f(-x)=1, fu)-7n>0故xER时，恤有>0 (3)任取x1,x∈R,且x1>x, 4 则f(x1)=f(x1十(x1-xz). f(x1)-f(x)=f(x:+(x1-x)-f(x:)= f(x:)f(x1-x)-f(x2)=f(x)[f(x1-x)-1]. 由(2)知，f(x2)>0. x1-x2>0,0<f(x1-x2)<1, ∴.f(x1一xz)一1<0，.f(x1)-f(x)0, 即f(x1)<f(x2),故f(x)在R上是减函数. 第2课时函数的最值 1.A因为函数y=一|x|的图象如 图所示，所以函数y=一x在R上有最 大值0，无最小值， 2.C因为1-x(1-x)=x2-x+ 1=(-）广+≥，所以0< z可号故f)的最大值为行 3Af)-曰-1-子当x∈[22习时，格合图象 可知，函数f)单洞递增当x-立时，画数取得最小值，最 小值为（号）=1-士-1-2=-1山当x=2时，画数取释最 2 大值，最大值为2)=1-名=名，即画数f)的值域为 [-1,】选A 4De)=(+2厂-e(-50当x 一受时，✉)有最小值一子，x)无最大值 5.AC在A中，因为f(x)=一2x十1(x∈[一2,2])单调递 减，所以当x=2时，函数取得最小值，最小值为一3，因此 a<-3,A正确：在B中，因为f(x)=-2x十1(x∈[-2,2])单 调递减，所以当x=一2时，函数取得最大值，最大值为5，因此 a<5,B错误：在C中，g(x)=x2-2x=(x-1)2-1(x∈[0,3])， .当x=1时，函数取得最小值，最小值为一1，当x=3时，函数 取得最大值，最大值为3，故函数的值城为[一1,3]，由g(x)=a 有解，知a∈[-1,3]，C正确：在D中，Vx∈[-2,2]，3t∈[0， 3],fx)=g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值城的子集，而 f(x)的值域是[一3,5]，g(1)的值城是[一1,3]，D错误.故选AC 6.0作出函数y=x2-2x的 图象如图所示， 若a≥1，则y血=-1，不特合 题意，则a<1,当且仅当a=0时， 有y血=0，所以a=0. 10112, 77由题意知造于户外活动的时间为 或 -10t+290200. 12<1≤24， 解得9≤1≤12或12<1≤16， 56f-24≤200， 故适于户外活动的时长为3十4=7（小时）. 8.解(1)"，f(x)=ax2-4ax十b(a>0), ,函数f(x)的图象开口向上，且对称轴方程为x=2, .f(x)在[0,1]上单调递减，.f(x)m=f(0)=b=1, f(x)m=f(1)=b-3a=-2,∴.a=b=1. (2)由f(x)>一x十m,可得x2一4x+1>一x十m,即 x一3红十1一m>0,要使此不等式在[一1,1]上恒成立， 只需使函数g(x)=x2一3x十1一m在[一1,1]上的最小值 大于0即可， g(x)=x2-3x+1一m在[-1,1门上单调递减， g(x)m=g(1)=-m-1,由-m-1>0,得m<-1. 因此满足条件的实数m的取值范围是（一©，一1）. 9.D令t=x+1(x>0),则x■t一1(t>1), 所以f)=++9可转化为y=-1+3-1D+ x+1 即y--1+30=1)+6-+4+1 又画数y=t+4十1在区间(1,2)上单调递减，在区间 (2,十0∞)上单调递增，所以当t=2时，y取到最小值为5， 即当x=1时，f(x)取到最小值，最小值为5. 故选D, 10.AC根据特号[x]的意义，讨论当自变量x取不同范围 时函数f(x)=x-[x]的解析式：当-1≤x<0时，[x]=-1,则 f(x)=x-[x]=x十1：当0≤x<1时，[x]=0,则f(x)= x一[x]=x:当1≤x<2时，[x]=1,则f(x)=x一[x]= x一1：当2x<3时，[x]=2,则f(x)=x-[x]=x一2.画出 函数∫(x)=x一[x]的图象如图所示 根据定义可知，f(-39)=-3.9-(-4)=0.1,f(4,1)= 4.1-4=0.1,即f(-3.9)=f(4.1),所以A正确：根据图象易 判断，函数f(x)=x一[x]在最高点处取不到，所以B错误：函 数图象最低点处函数值为0，所以C正确：根据函数单调性，可 知函数f(x)=x一[x]在特定区间内单调造增，在整个定义城 内没有单调性，所以D错误 11D由题意知，r+z-<a在r∈[0，]上越成 主，设x)=8x+红-受则画数f)在[0，号]上单调递 增当x=2时，fa）)=f(2）=8×(2)}'+2-号 2-1=1,则a≥1.故选D. 12.C当-2≤x≤1时，f(x)=1·x-2×2=x-4:当 1<x≤2时，f(x)=x·x-2×2=x2一4.所以f(x)= x-4,-2≤x≤1， 易知f(x)在区间[一2,2]上单调道增，所以由 x2-4,1<x≤2. -2m十1≤2， fon+D<fGm得-23m,解得<m<号故选c m十1≤3m, 13.9f(x)=(x2-4)(x2+ax+b),∴f(2)= f(-2)=0.:f(x)=f(2-x),∴.f(0)=f(2)=0,f(4)= f(-2)-0,f(x)=x(x-2)(x+2)(x-4)-(x2 2x)(x2-2x-8). 当x∈[0,2]时，令t=x2-2x=(x-1)2-1∈[-1,0]， y=t(t-8)=(t一4)2-16，该二次函数在区间[-1,0]上 单调递减， 当=一1时，y取得最大值，即y=一1X(一9)=9. 14.[一2,3)由题意得y=f(x)为增函数，∴3一a>0,且 -(2-2)2≤2(3-a)十5a,∴.-2a3. 15.6在同一平面直角坐标系 y=+2 10 中画出函数y=x十2和y=10-x 的图象.报据min{x十2,10-x} =10-x (x≥0)的含义可知，f(x》的图象应 -2 10小文 为图中实线部分.解方程x十2= 10一x,得x=4,此时y=6,故两图象的交点坐标为(4,6).由图 象可知，函数f(x)的最大值为6 16.解(1)任取x1x∈(0,1]，且x1<x:则x一xg<0, 所以f)-f=-2+)>0, 即a<-2x1x:恒成立， ∴a≤-2，即a的取值范围为(-o∞，一2]. (2)由2x-兰>5(x∈(0,1，得a<2x3-5x(x∈(0,1D 位成主：2r2-5x=2(e-)》-曾通数y=2-5在 区间(0,1]上单调递减，当x=1时，函数y取得最小值一3， 即a<-3,即a的取值范国为(-co,-3). 17.解(1)当a=-2时，f(x)=x-2x十4=(x-1)2+3, 则f(x)在[一2,1)上单调递减，在(1,2]上单调递增， .f(x)=f(1)=3,f(-2)=12,f(2)=4, 故f(x)的值城为[3,12]. (2)选择条件①： 57 若a≥4，则f(x)在[-2,2]上单调递增， fx)m=f(-2)=8-2a≥0，解得a≤4.又a≥4，∴a=4 若-4<a<4,则f(x)在[-2，-2)上单调递减，在 (-号，2上单调递增， fe)=f(-受）=4->0，解得-4a< 若a≤-4，则f(x)在[一2,2]上单调递减， ∴.f(x)m=f(2)=8+2a≥0，解得a≥-4. 又a≤一4，a■-4. 棕上所述，a的取值范围是[一4,4]. 选择条件②： 3x∈[1,3]，f(x)2≥0，∴f(x)≥0， 中/1≥0或了3)≥0，解得a≥-5或a>≥-号 a≥-5，即a的取值范围为[-5，十o∞). 18.解(1)函数f(x)=x2一mx十2，其图象的对称轴为直 线x=受当m<2时)-f(受）=四+2=-1 ∴m=-23; 当m>2时，f(x)在区间（一∞，1门上单调递减， ∴f(x)m=f(1)=12-m+2=-1,.m=4. 综上可知，m=一23成m=4. (2):m≥4，受∈[1，罗+且（受+）-受≤ 空-1当x∈，受+1]时fx)m=f1)=3-m, frm=f(受）=- 4+2 :对任意的x∈[1，受+1]，芯有f)-f,)区 年-4，fx)m一fx)a=3-m+m 有一m十1≤ 年一4，解得m5,“实数m的取值范偶是[5，十©. §4函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1函数的奇偶性 1.CD先判断函数的定义城是否关于原，点对称，再确定 ∫（一x)与f(x)的关系，进项A中函数的定义域为（一0,1）U (1,十∞)，不关于原点对称，所以排除A:选项B,D中函数定义 城均为R,且f(一x)=一fx),故为奇函数；选项C中函数定义 城为(-o∞，0)U(0,十o∞)，且f(-x)=-f(x),也是奇画数. 2.C因为奇函数的图象关于原点对称，所以函数f(x)在 y轴两侧单调性相同.因为f(x)在区间[一2，一1]上单调造减， 所以f(x)在区间[1,2]上单调递减，所以f(x)在区问[1,2]上 有最大值f(1),最小值f(2),故选C 3.C由f(x)为偶函数，得a=f(-√E)=f(2). 又反<号<受，c)在0，十四)止单满递增， ∴fw2)<f()<f()脚a<c<. 4.f(3)<f(一2)<f(1)由已知条件可知f(x)在区间 [0,十oo)上单调递减，所以f(3)<f(2)<f(1). 再由偶函数的性质得f(3)<f(一2)<f(1). 5.2x3-3x-1当x∈(0，十∞)时，-x∈(-o∞，0)， .f(-x)=2(-x)3-3(-x)+1=-2x3+3x十1. :f(x)是R上的奇函数， .f(x)=-f(-x)=2x1-3x-1 62f)=x++1D x2十1 1计号构递画量 )-1=十挡的定义战为R,期g(-x)=2= x2+1 x8+1 一g(x),故g(x)为奇虽数，所以g(x)mm十g(x）n=M十 N-2=0,所以M+N=2. 7.(一9，一2)U(2,十∞)函数f(x)是定义在R上的 偶函数，且在（一∞，0]上单调递增，所以f(x)在(0，十oo)上单 调递减.又固为f(2)=0,所以f(x)<0白f(x1)<0=f(2), 即x>2,所以x>2或x<-2. 8.解当x<0时，f(x)=x2十3x十2，且f(x)是奇 数，∴.当x>0时，-x<0,则f(-x)=x2-3x十2，故 f)=-f-x)=3x--2.当x,】时，fx)单 调递增：当x(侵，3]时，f)单调递减.周光当x[1,3]时， j)=f(侵）=是jc)=j3)=-2.&m= 9 0=一2，从而m一n=4 9.C:∫(x)是奇函数，g(x)是偶函数，∫(-x)= -f(x),g(-x)=g(x) 对于A,f(-x)g(-x)=一f(x)g(x),故f(x)g(x)是 奇函数，故A错误： 对于B,lf(-x)lg(-x)=一fx)lg(x)=|f(x)g(x),故 f(x)g(x)是偶函数，故B错误： 对于C,f(-xlg(-x)l=-f(x)lg(x)l,故fx)lg(x)川是 奇函数，故C正确； 对于D,|f(-x)g(-x)|=|f(x)g(x)l,故|f(x)g(x) 是偶函数，故D错误.故迭C 10.C函数f(x)和g(x)都是奇函数，.F(x)-2= af(x)十bg(x)为奇函数.义F(x)在区间(0，十o∞)上有最大值 58班级 姓名 第二章 02 §3函数的单调性和最值 第2课时 函数的最值 A级|必备知识基础练[ 值范围是（一∞，一3） 1.(探究点一)函数y=一x在R上( C.3x∈[0,3]，g(x)=a,则实数a的取值 A.有最大值0，无最小值 范围是[-1,3] B.无最大值，有最小值0 D.Vx∈[-2,2]，3t∈[0,3]，f(x)=g(t) C.既无最大值，又无最小值 6.(探究点一)设函数y=x2-2x,x∈[一2， D.既有最大值，又有最小值 a],若函数的最小值为0，则a= 7.(探究，点二)“空气质量指数(AQ)”是定量描 2.(探究点一)函数f(x)=1=z1-的最 述空气质量状况的无量纲指数.当AQI大于 大值是() 200时，表示空气重度污染，不宜开展户外活 A月 c号 n 动.某地某天0~24时的空气质量指数y随 时间t变化的趋势由函数y= 3.(探究点-)函数fx)=(x∈[号，2]) -10t+290,0≤t≤12， 描述，则该天适宜开 56t-24,12<t≤24 的值域为( 展户外活动的时长至多为 小时. A[-1, B.[-1,2] 8.(探究，点三)已知函数f(x)=a.x2-4ax十b (a>0)在区间[0,1]上有最大值1和最小 c[22习 n[2] 值-2. 4.(探究点一)函数f(x)=x2+3x十2在区间 (1)求a,b的值； (-5,5)内() (2)若在区间[一1,1]上，不等式f(x)> A.有最大值42，有最小值12 一x十m恒成立，求实数m的取值范围. B有最大值42，有最小值一】 C有最大值12，有最小值-} D无最大值，有最小值-号 5.(探究点三)（多选题）已知函数f(x)= -2x+1(x∈[-2,2])，g(x)=x2-2x (x∈[0,3])，则下列结论正确的是( A.Hx∈[-2,2]，f(x)>a恒成立，则实数 a的取值范围是（一∞，一3） B.3x∈[一2,2]，f(x)>a,则实数a的取 256 B级|关键能力提升练| 15.用min{a,b}表示a,b两个数中的最小值. 9.(2025湖南永州开学考试)已知f(x)= 设f(x)=min{x十2,10-x}(x≥0)，则 x+1x>0),则fx)的最小值是( x2+3x+6 f(x)的最大值为一 A.2 B.3 C.4 D.5 16,函数f(x)=2红-一兰的定义域为0,1]a为 10.（多选题)对于实数x,符号[x]表示不超过x 实数) 的最大整数，例如[π]=3，[-1.08]=一2， (1)若函数y=f(x)在定义域上是减函数， 定义函数f(x)=x一[x],则下列结论正确 求a的取值范围； 的是() (2)若f(x)>5在定义域上恒成立，求a的 Af(-3.9)=f(4.1) 取值范围。 B.函数f(x)的最大值为1 C.函数f(x)的最小值为0 D.函数f(x)是增函数 11.若关于x的不等式8x2+x-a≤在x∈ [0,]上恒成立，则实数a的取值范围是 A(-0,-2 B.(0,1] c[-2可 D.[1,+o) 12.在实数的原有运算法则中，补充定义新运 算“①”如下：当a≥b时，a⊕b=a;当a<b 时，a①b=b.已知函数f(x)=(1⊕x)x 2(2⊕x)(x∈[-2,2])，则满足f(m+ 1)≤f(3m)的实数m的取值范围是( ) A2+) B22 c n1,引 13.(2025广东开学考试)若函数f(x)= (x2-4)(x2十ax十b)满足f(x)=f(2-x), 则f(x)在[0,2]上的最大值为 -(x-2)2,x<2, 14.若函数f(x)= 满足 (3-a)x+5a,x≥2 对任意工1≠，都有f,）二f:>0成 x1一x2 立，则实数a的取值范围是 -257 17.在①Hx∈[-2,2]，②3x∈[1,3]这两个 C级|学科素养创新练 条件中任选一个，补充到下面问题的横线 18.已知函数f(x)=x2-mx+2. 中，并求解该问题. (1)若f(x)在区间（一∞，1]上的最小值为 已知函数f(x)=x2十ax十4， 一1，求实数m的值； (1)当a=-2时，求f(x)在[一2,2]上的 (2)若m≥4时，对任意的x1,x2∈ 值域； (2)若 ,f(x)≥0，求实数a的取值 ,罗+1]，总有/)-f(x)1≤ 范围。 一4，求实数m的取值范围。 -258