2.3 第1课时函数的单调性(课时训练)-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

y=a与y=x一2(x十1)的图象的交点的个数.作出图象如图 所示 fx) y=r-2r+1) y=a 由图象可知， 当a<0时，有一个交点：当a=0时，有两个交点： 当0a<号时，有三个文点：当a-号时，有两个文点： 当>号时，有一个变点 上，当a<0或a>号时，方程有-个解： 当a=0或a=时，方程有两个解 当0<a<号时，方程有三个解 13.解(1)当1≤x≤30且x∈N时，y=850: 当30<x≤60且x∈N时，y=850-10(x-30)= /850,1x30,且x∈N, 1150-10x,所以y= 1150-10x,30x≤60，且x∈N (2)当1≤x≤30且x∈N时，Q=850x-12000,Qx= 850×30-12000=13500: 当30<x≤60且x∈N时，Q=-10x2+1150x-12000, 共图象的对袋轴方程为x=5=6,5 故当x=57或x=58时，Qmm=21060. 所以当公司参加培训的员工为57人或58人时，培训机构 可获得最大利润，最大利涧为21060元. §3函数的单调性和最值 第1课时函数的单调性 1C若f)=x十二在(0,2)上单调递减， 设任意x1,x2∈(0,2)，且x1<x2,则f(x1)-f(x:)= +号-(+）@0时，a, 又x1x2<4,所以可得a≥4， 故“a>≥4是“f)=x+是在0,2)上单洞造减"的充要条件。 故选C 2.B当x≥-1时，g(x)=x(x十1)+1=x2+x+1, 则g(x)在[-1，-门上单润递减，在(-2+∞）上单 调递增，当x<-1时，g(x)=一x(x十1)十1=一x2-x十1， 则g(x)在（一∞，一1]上单调递增，所以g(x) x2+x+1,x≥-1， -x2-x+1,x<- 的单调递减区间为[-1，一] 故选B 3.B函数y=x2+(2a-1)x+1的图象开口向上，对称 轴为直线x=2会，：函数在区间（一60,2]上单满递减，故 2号解得a<-是 4.B周为函数y=f(x)在定义城（一1,1）上是减函数，且 2a-1>1-a, 2a-D<0-a,所以-1<2a-11,解得号<a<1,所 -1<1-a<1, 以实数a的取值范周是（号，），故选B 5.B 6B由于函数y=ax与y=-2在区间(0，十60)上都单 调递减，所以a<0,b<0.因为抛物线y=ax十b:的对称袖为 直线工=一品<0，且热扬线开口向下，所以禹数y=a十证 在区问(0，十∞)上单调递减， 7.解设x1,x:是(0，十∞)上的任意两个实数，且x1<xg, 则f)-f)=(+号）-(+)=1- x)-91-2_1-x)红-92 工1工8 x1工a 0<x1<x2,∴.x1-x2<0,x1x2>0. 当x1,x∈(0,3]时，有x1x2一9<0，即f(x1)-f(xg)> 0,f(x1)>f(xa),.f(x)在区间(0,3]上单调递减： 当x1x2∈[3，十o∞)时，x1x2-9>0,即f(x1)-f(x2)< 0,f(x1)<f(x),∴f(x)在区间[3，十oo)上单调递增 蜍上可知，画数∫(x)=x十9(x>0)的单调道减区间是 (0,3],单调递增区间是[3，十∞). 8C根据增面数、减函数的定义，知两个相同单调性的函 数相加单调性不变，选项A,B正确：对于D,g(x)为增函数， 则一g(x)为减函数，f(x)为减画数，f(x)十(-g(x)为减函 数，选项D正确：对于C,若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则 f(x)十g(x)的单调性不确定，例如f(x)=x+2为R上的增 画数，当gx)=-2x时，fx)+g(x)=受+2在R上为增 函数：当g(x)=一3x时，f(x)十g(x)=一2红十2在R上为减 函数，故不能确定f(x)十g(x)的单调性，故选C 9.A画出f(x)的图象（图略）可判断f(x)在R上单调递 65 增，故f(4-a)>f(a)台4-a>a,解得a<2. 10.D因为a十b≤0，所以a≤-b,b≤-a,又函数f(x) 在区间(-∞，十∞)上是减函数，所以f(a)≥f(-b),f(b)≥ f(-a),所以f(a）+f(b)≥f(-a)+f(-b). 「-a≥1， 11.[-3,一1]由题意可得a<0, 食 12+2aX1+3aX1+1, 得-3≤a≤-1，剩实数a的取值范围是[-3，一1]. 12解a:f0=m++号-2，f2)-2m+会 1 -4…0 n■2. (2)f(x)在区间[1，十o∞)上单调递增.证明如下， 由（1)将f(x)=x+2云+2 1,1 任取1长<，则fc)-f)=+站十 2 a+这+）--)-2)-西-)… 2xx4-） 2x1x2 1≤x1<xgx1-x2<0,x1x>1,2x1xg-1>1, f(x1)-f(xg)<0,即f(x1)<(x .f(x)在区间[门，十o)上单调递增. (3),1+2x2≥1，x2-2x+4=(x-1)2+3≥3， .只需1+2x2>x2-2x十4， .x2十2x一30，解得x<-3或x>1. 即实数x的取值范国为（一o∞，一3）U(1,十0∞). 13.ABx1f(x1)+xgf(x)>x1f(x2)+f(x)化简为 (x1一x2)[f(x)一f(xg)]>0,故函数f(x)在R上是增函数，故 A正确，f)=f>-1白f)+]-fx)+ x1-x: I1-I: 0,则函数y=f(x)十x在R上是增函数，故B正确；C选项中， 令f(x)=[x],[x]表示不超过x的最大的整数，满足f(x十 1)>f(x),但f(x)在R上不是增函数，如f(1.2)=f(1.5), 故C错误：D选项中，令f(x)=g(x)=x,函数y=∫(x)· g(x)=x在R上不单调，故D错误.故选AB 14.证明(1)根据题意，令m=0,可得f(0十n)=f(0)· f(n),:f(n)≠0，f(0)=1 (2)由题意知，当x>0时，0<f(x)<1: 当x=0时，f(0)=1>0: 当x<0时，一x>0,.0<f(一x)<1. f(0)=f(x+(-x)=f(x)·f(-x)=1, fu)-7n>0故xER时，恤有>0 (3)任取x1,x∈R,且x1>x, 4 则f(x1)=f(x1十(x1-xz). f(x1)-f(x)=f(x:+(x1-x)-f(x:)= f(x:)f(x1-x)-f(x2)=f(x)[f(x1-x)-1]. 由(2)知，f(x2)>0. x1-x2>0,0<f(x1-x2)<1, ∴.f(x1一xz)一1<0，.f(x1)-f(x)0, 即f(x1)<f(x2),故f(x)在R上是减函数. 第2课时函数的最值 1.A因为函数y=一|x|的图象如 图所示，所以函数y=一x在R上有最 大值0，无最小值， 2.C因为1-x(1-x)=x2-x+ 1=(-）广+≥，所以0< z可号故f)的最大值为行 3Af)-曰-1-子当x∈[22习时，格合图象 可知，函数f)单洞递增当x-立时，画数取得最小值，最 小值为（号）=1-士-1-2=-1山当x=2时，画数取释最 2 大值，最大值为2)=1-名=名，即画数f)的值域为 [-1,】选A 4De)=(+2厂-e(-50当x 一受时，✉)有最小值一子，x)无最大值 5.AC在A中，因为f(x)=一2x十1(x∈[一2,2])单调递 减，所以当x=2时，函数取得最小值，最小值为一3，因此 a<-3,A正确：在B中，因为f(x)=-2x十1(x∈[-2,2])单 调递减，所以当x=一2时，函数取得最大值，最大值为5，因此 a<5,B错误：在C中，g(x)=x2-2x=(x-1)2-1(x∈[0,3])， .当x=1时，函数取得最小值，最小值为一1，当x=3时，函数 取得最大值，最大值为3，故函数的值城为[一1,3]，由g(x)=a 有解，知a∈[-1,3]，C正确：在D中，Vx∈[-2,2]，3t∈[0， 3],fx)=g(t)等价于f(x)的值域是g(t)的值城的子集，而 f(x)的值域是[一3,5]，g(1)的值城是[一1,3]，D错误.故选AC 6.0作出函数y=x2-2x的 图象如图所示， 若a≥1，则y血=-1，不特合 题意，则a<1,当且仅当a=0时， 有y血=0，所以a=0.班级 姓名 第二章 02 §3函数的单调性和最值 第1课时 函数的单调性 A级丨必备知识基础练 1.(探究点一)(2025湖北武汉高一期末)“a≥ 4”是“f(x)=x+a在(0,2)上单调递减”的 A.[-4,-2] B.[-2,1] A.充分不必要条件 C.[1,4] D.[-4,-2]U[1,4幻 B.必要不充分条件 6(镓完成一)若函数y=ar与y=一在区间 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 (0,十∞)上都单调递诚，则函数y=a.x2十 2.(探究点一)(2025福建泉州高一月考)函数 bx在区间(0，十o∞)上() g(x)=xx十1十1的单调递减区间为( A单调递增 B.单调递减 C.先增后减 D.先减后增 A(-∞，剖 .(探究点二)求函数f(x)=x十 二(x>0)的 B[-1,-2 单调区间， C.[1,+o∞) D.(-o,]U1,+o∞) 3.(探究，点三)若函数y=x2+(2a一1)x+1在 区间（一∞，]上单调递减，则实数a的取值 范围是( A(-是+回 B(,-引 B级|关键能力提升练 C.(3,十∞) D.(-∞，-3] 8.下列有关函数单调性的说法不正确的是 4.(探究点三)已知函数y=f(x)在定义域 () (-1,1)上是减函数，且f(2a-1)< A.若f(x)为增函数，g(x)为增函数，则 f(1一a),则实数a的取值范围是( ) f(x)十g(x)为增函数 B.若f(x)为减函数，g(x)为减函数，则 A(导，+o) B(导，) f(x)十g(x)为减函数 C.(0,2) D.(0,十∞) C.若f(x)为增函数，g(x)为减函数，则 5.(探究点一)函数y=f(x)(x∈[-4,4])的 f(x)十g(x)为增函数 图象如图所示，则函数f(x)的单调递增区 D.若f(x)为减函数，g(x)为增函数，则 间为() f(x)一g(x)为减函数 -254 x2十4x,x≥0， 9.已知函数∫(x)= 若f(4 C级丨学科素养创新练 4z-x2,x<0, 13.(多选题)下列说法正确的是() a)>f(a),则实数a的取值范围是( A.若对于Hx1,x2∈R,x1≠x2,都有 A.(-∞，2) B.(2,+c∞) x1f(x1)十x2f(x2)>x1f(x2)十x2f(x1), C.(-∞，-2) D.(-2,+∞) 则函数y=f(x)在R上是增函数 10.若函数f(x)在（一∞，十∞）上是减函数， B.若对于Hx1,x2∈R,x1≠x2,都有 a,b∈R且a十b≤0，则下列选项正确的是 fx)-fx2>-1,则函数y=fx)十x x1一x2 A.f(a)+f(b)<-[f(a)+f(b)] 在R上是增函数 B.f(a)+f(b)<f(-a)+f(-b) C.若对于Hx∈R,都有f(x+1)>f(x)成 C.f(a)+f(b)-[f(a)+f(b)] 立，则函数y=f(x)在R上是增函数 D.f(a)+f(b)>f(-a)+f(-b) D.函数y=f(x),y=g(x)在R上都是增 x2十2a.x十3，x≤1， 函数，则函数y=f(x)·g(x)在R上 11若函数f(x)= 是定义 ax+1,x>1 也是增函数 域上的减函数，则实数a的取值范围为 14.设f(x)是定义在R上的函数，对任意m, n∈R,恒有f(m+n)=f(m)·f(n)(f(m)≠ 0,f(n)≠0)，且当x>0时，0<f(x)<1. 12.已知函数f(x)=mx十，z大 2(m,n是常 求证： 数0，且f1)=2,12- (1)f(0)=1: (2)当x∈R时，恒有f(x)>0; (1)求m,n的值； (3)f(x)在R上是减函数. (2)当x∈[1，十o)时，判断f(x)的单调性 并证明； (3)若不等式f(1+2x2)>f(x2-2x+4) 成立，求实数x的取值范围。 -255