2.2.3 第2课时函较的最值-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(北师大版)

<0,当1-2a>0,即a<2时，fx)fzi 当1-2a<0,即a>2时，f红)>f以 故当a<号时，f)在区间(-2，十o∞)上单调运减： 当a>2时，fx)在区间(-2，十∞)上单调递增. 探究点三函数单调性的应用 【例3】(1)(0,3]因为函数f(x)在R上单调递增，所以 a>0, 解得0<a≤3，所以a的取值范围是(0,3]. a-1≤1+1， 2懈a-a+1-(a-）广+>是与a2 a+1都是区间(0，十∞)上的值.：f(x)在区间(0，十∞)上单 满道减，∴fa-a+1)f(子) 【童式调练1aDA令=2红，则fe)-乞-@，所以 -a,x≥2a, f()-2-a 所以f(x)在(-o,2a]上 a- 2x<2a, 单调递诚.因为函数∫(x)在区间（一∞，2]上单调递减，所以 2a≥2，得a≥1.故选A. (2)解：g(x)在定义城[一2,2]上单调递增，且gu)> f-2t≤2， 1-2≤1≤2， g1-0.-21-2.中-31. t>1-3t, > ∴<1.的取值范阔为（仔] ©学以致用·随堂检测促达标 1.C 2,D由x2-6x十5≥0，可得x≤1或x≥5，即函数f(x) 的定义域为(-o∞，1]U[5,+0∞)，又国为t=x2一6x十5在 [5,十∞)上单调递增，在（一∞，1]上单调递诚，y=E在 [0,十©)上单调递增，所以由复合函数的单调性可知f(x) √x-6x+5在区间[5，十o∞)上单调递增，故a≥5.故选D. 3C,函数f(x)=ax十1在R上单调递减，.a<0, g(x)=a(x2-4x十3)的图象为开口向下的抛物线，其 对称轴方程为x=2,∴g(x)在（一∞，2）上单调递增，即函数 g(x)=a(x2-4x十3)的单调递增区间为(-o∞，2).故选C -1≤x≤1， 4[-1,号）由题意得 解得-1长x< 5.证明任取x1x2∈(0，十∞)，且x1<xg, 有)日员-治园 Tixi 0<x1<x :-x1>0x:+z1>0xix>0. .f(x1)-f(x3)>0,即f(x1)>f(xa) 通数/)=子在区间0，十o)止单调适减 第2课时函数的最值 ○基础落实·必备知识一遍过 知识点 1.f(x)≤M最高f(x)≥M最低 【思考辨析】 提示函数图象的最高点可以有无数多个，若这些点的钢坐 标都相等，则最大值只有1个 【自主诊断】 1.(1)/(2)/(3)× 2.2函数y=一3x2十2的图象的对称轴为直线x=0又 0∈[-1,2]，∴.f(x)=f(0)-2. 3.解任取x1,z:∈[-1,6]且x1<x2,则x1一x2<0,那么 f(x1)-f(x)=(3x1+5)-(3x2十5)=3(x1-x2)<0,所以 这个函数是增函数 因此，当-1≤x≤6时，有f(-1)≤f(x)≤f(6),从而这 个函数的最小值为f(一1)-2，最大值为f(6)一23 ⊙重难探究·能力素养速提升 探究点一求函数的最值 【例1一1】解y=-1x-1+ 3-x,x≥1， 2= 函数图象如图 x+1,x<1, 所示 由图象知，函数y=一x一1十2 的最大值为2，没有最小值所以其值域为（一0∞，2. 【变式训练1】解(1)盛数f(x)的图象如图所示， 012 (2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值 【例1一2】解(1)任取x1,x2∈[，2]，且1<x,则 ）fu)=-+培身-a-(1-)= (-x-.:1≤x1<x≤2， T1I: x1-x1<0,1<x1x1<4,x1xg-4<0. ∴f(x1)>f(x),∴f(x)在区间[1,2]上单调递减 (②)由1)知f)的最小4值为f(2)=2+2=4,f(x)的最 大值为f(1)-1十4-5，∴f(x)的最小值为4，最大值为5. 【变式探究】解任取x1,x2∈[1,3]，且x1<x2,由本例知， fx1)-f,)=-)3-0.当1≤1<1≤2时. f(x1>f(x),f(x)在区间[1,2]上单调递减： 当2<x1<x1≤3时，x1x>0,4<x1x1<9,即工1x4 4>0,f(x1)<f(x),.f(x)在区间(2,3]上单调造增. f红)的最小值为f2)=2+音=4 f0=3+号-号<f0-5e的最大焦为5 【例1-3】解y=(x-a)2-1-a2 当a<0时，函数在[0,2]上单调递增，如图①。 故函数在x■0处取得最小值一1， 在x■2处取得最大值3一4a. 当0≤a≤1时，结合函数图象（如图②）知， 函数在x=a处取得最小值一a2一1， 在x=2处取得最大值3一4a. 图① 图② 图③ 图④ 当1<a2时，结合图象（如图③）知，函数在x=a处取得 最小值一a-1,在x=0处取得最大值-1. 当a>2时，函数在区间[0,2]上单调递减，如图④ 函数在x=0处取得最大值一1，在工=2处取得最小值 3-4a. 综上，当a<0时，函数在区间[0,2]上的最小值为一1，最 大值为3一4a: 当0≤a≤1时，函数在区间[0,2]上的最小值为一a-1, 最大值为3一4a: 当1<a≤2时，函数在区间[0,2]上的最小值为-a2-1, 最大值为一1： 当a>2时，函数在区间[0,2]上的最小值为3一4a,最大值 为-1 【变式调练2】解由函数f(x)=x2一2x+2知其图象开口 向上，对称轴为直线x=1.下面分三种情况讨论： 当t十1≤1，即≤0时，如图①所示，此时函数f(x)在[1， t十1]上单调递减，∴.g(1)=f(u+1)=(1十1)-2(t+1)+2= 2+1.当 即0<t<1时，如图②所示，此时，函数 +1>1, f(x)在[t,1门上单调递减，在[1，t十1门上单递增，∴g(:)= f(1)=1.当≥1时，如图③所示，此时，函数f(x)在[t,t十1] 上单调递增，∴，g(1)=f(t)=t2-2十2. 图①D 图② 图3③ 〔t2+1,t0 综上可知，g(t)=1,0<t<1, t2-2t十2，t≥1. 探究点二与最值有关的应用问题 【例2】解(1)当每柄车的月租金为3600元时，未租出的车 辆数为3600-3000 50 12,所以此时租出了100一12=88（辆）车. (2)设每辆车的月租金为x元，租赁公司的月收益为y= (100--300)(x-150)-Z二300×50，整理得y= 50 50 50+162x-21000=- 0(z-4050)+307050 所以当x=4050,啊每辆车的月租金为4050元时，租赁公 司的月救益最大，最大月收益是307050元. 【变式调练3】解(1)总成本为20000十100x(元)，从而 2x2+300x-20000,0≤x≤400， f(x)= 60000-100x,x>400. (②当0r≤40时，e）=-7c-30P+2500, .当x=300时，f(x)x=25000. 当x>400时，f(x)=60000-100x单调递减， f(x)<60000-100×400<25000. ∴.当x=300时，f(x)x=25000.即产量为300台时利润 最大，最大利润为25000元. 探究点三利用函数的最值解决恒成立问题 【例3】解(D当a号时e)- 02 任取x1x∈[1，十∞)，且x1<x1, Nf-）=a-1-2） 因为x1<x1且x1≥1，x>1,所以x1-x1<0,x1x>1, 2>0,所以-1-2x)<0, 所以1一2x1x 所以f(x1)<fx),即函数fx在[1，十o∞)上单调递增， 所以函数∫x)在[1，十∞)上的最小值为f)=1+号十 （2)周为f)=+2红+>0在[1，十©)上恒成立， 所以x2+2x十a>0在[1，十o∞)上恒成立. 记y=x2十2x十a,x∈[1，+oo), 因为y=(x十1)2+a-1在[1，十∞)上单调递增， 故当x=1时，y取得最小值，最小值为3十a, 所以当3十a>0,即a>-3时，f(x)>0恒成立， 所以实数a的取值范国为（一3，十∞）. 【变式训练4解“x>0ar十z1可化为a≤一 要使a<号-士对任意xE0,1]版成立， 只需a<(侵）设1=”xe01. 3-士=-=(-）》”-子 当曰1时，心-)=0，即当=1时.（侵-2）=0， a≤0.实数a的取值范国是（一∞，0]. @学以致用·随堂检测促达标 1.C由图象可知，此函数的最小值是f(一2)，最大值是2. 2,Cy■x十1+2的图象如图所示. 43210 由图可知函数的最小值为2 3.D函数y=x2-2x=(x-1)2-1,x∈[0,3]，.当 x一1时，函数取得最小值为一1，当x■3时，函数取得最大值 为3.故函数的值域为[一1,3]，故选D. 4.11当x∈[1,2]时，∫(x)单调递增，其最大值为 f(2)=10:当x∈[一4,1)时，f(x)单调递减，其最大值为 f(一4)=11.故函数f(x)的最大值为11. 5(-0,2】由题意知(x+）≥ay=x+子在1， 2)上单调递增，则当工=1时，江十1=2u≤2. 6.解设一个正方形的边长为xcm,则另一个正方形的边 长为124红-(3-x)cm,两个正方形的西积之和为Sm,则 4 S=+8-=2(-2）'+号0<<3所以当=2时， S取得最小值号：技这两个正方形面积之不的最小值为号丽。 §4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1函数的奇偶性 ⊙基础落实·必备知识一遍过 知识点1 【思考辨析】 1.提示由f(一x)十f(x)=0,得f(一x=一f(x),则 f(x)为奇盛数.由f(一x)一f(x)=0,得f(-x)-f(x),则 f(x)为偶函数 2.提示(1)f(x)的图象关于原点对称，即f(x)为奇函数， 则f(一x)=一f(x).因为f(x)在x=0处有定义，所以f(0)= -f(0),即f(0)=0. (2)若f(x)为奇函数，则点（一x,一f(x)一定在其图象 上：若∫(x)为偶函数，则点（一x,f(x))一定在其图象上 【自主诊断】 L.1:当x>0时，f(x)=一x十1， ∴.f(2)=-2+1=-1 又f(x)为定义在R上的奇函数，f(一2)=一(2)=1. 2.解补充后图象如图所示】 3.证明(1)充分性：若y-f(x)的图象关于y轴对称，设 M(xo,f(xo)为图象上任意一点，则M关于y轴的对称点 M'(-x0,f(x)仍在该图象上，即f(一xo)=f(xa 所以y=f(x)为偶函数 必要性：若y=f(x)为偶函数，设M(x。,f(xo)为f(x)图 象上任意一点，因为y=f(x)为偶函数，所以f(xo)=f(一xo). 所以图象上另一点M(一x。:f(-xa)与M关于y轴对 称，所以y=∫(x)的图象关于y轴对称. (2)充分性：若y=f(x)的图象关于原点对称，设M(xo, fx)为其图象上任意一点，则M关于原点的对称点M(一z0, 一f(xo)仍在该图象上，所以f(一x)=一f(xn),所以y= f(x)为奇函数§3函数的单调性和最值 第2课时 函数的最值 1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义. 学习目标 2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值或值域. 3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题。 冒基础落实·必备知识一遍过 知识点函数的最值 自主诊断 1.定义 1.判断正误.（正确的画/，错误的画×） 名称 前提 条件 图象 (1)f(x)=上在其定义域内无最大值，最小值 函数 函数的最大 ( 的最 设函数 都有 值对应其图 (2)f(x)=2x2十4x+1的值域为[-1，+∞). 大 值y=f(x) 且存在 象 点 ( M 的定义域 xo∈D, 的纵坐标 (3)若函数f(x)在其定义域内有最大值和最小 是D.若存 使得 值，则最大值一定大于其最小值 () 在实数M, f(xo)= 函 数对所有的 2.函数y=一3x2+2在区问[-1,2]上的最大值为 M 函数的最小 的最x∈D 都有 对应其图 小值 象 点 3.(人教B版教材例题)判断函数f(x)=3x十5， M 的纵坐标 x∈[一1,6]的单调性，并求这个函数的最值. 注意M是一 工0也可理解为方程 确定的实数 f(x)=M的根 2.函数的最大值和最小值统称为最值. 名师点睛 函数的最值和值域的联系与区别 (1)联系：函数的最值和值域反映的都是函数的 基本性质，针对的是整个定义战 (2)区别： ①函数的值域一定存在，而函数的最大（小）值不 一定存在： ②若函数的最值存在，则最值一定是值域中的 元素 444444444444444444404年 思考辨析 函数的最大值只有1个，函数图象的最高点有 几个？ 81 数学「第二章函数 重难探究·能力素养速提升 探究点一 求函数的最值 角度1利用函数的图象求最值 角度2利用函数的单调性求最值 【例1一1】已知函数y=一|x一1+2，画出 函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域。 【例1-2】已知函数fc)=x+兰 [课堂笔记] (1)判断f(x)在区间[1,2]上的单调性： (2)根据f(x)的单调性求出f(x)在区间 [1,2]上的最值 [课堂笔记] 规律方法图象法求最值的基本步骤 作 作出函数图象 找 在图象上找到最高，点和最低，点的纵坐标 确定函数的最大（小）值 1变式训练11已知函数f(x) g,0<x<1 x,1≤x≤2. (1)画出f(x)的图象； (2)利用图象写出该函数的最大值和最小值。 1变式探究1本例已知条件不变，判断 f(x)在区间[1,3]上的单调性，并求f(x)在区间 [1,3]上的最值 82 §3函数的单调性和最值 规律方法函数的最值与单调性的关系 规律方法L.探求一元二次函数在给定区间上 (1)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增（或单 的最值问题，一般要先作出y=f(x)的图象，再根据 调递减)，则f(x)在区间[a,b]上的最小（大）值是 函数的单调性进行研究，特别要注意一元二次函数图 f(a),最大（小）值是f(b), 象的对称轴与所给区间的位置关系，它是求解一元二 (2)若函数f(x)在区间[a,b]上单调递增（或单 次函数在已知区间上最值问题的主要依据.一元二次 调递减)，在区间(b,c]上单调递减（或单调递增），则 函数图象的对称轴与所给区间的位置关系通常有三 f(x)在区间[a,c]上的最大（小）值是f(b),最小 种：(1)对称轴在所给区间的右侧：(2)对称轴在所给 (大)值是f(a)与f(c)中较小（大）的一个 区间的左侧：(3)对称轴在所给区间内」 (3)若函数f(x)在区间[a,b]上的图象是一条连续 2.对于一元二次函数f(x)=a(x一h)2+k 不断的线，则函数f(x)在区间[a,b]上一定有最值 (a>0)在区间[m,n]上的最值可作如下讨论： 角度3利用数形结合思想与分类讨论思想 f(x)的 h与m,n的关系 最大值 最小值 单调性 求一元二次函数的最值 在[m,n]上 【例1一3】求函数y=x2-2ax一1在区间 h<m f(n) f(m) 单调递增 [0,2]上的最值 在[m,n]上 [课堂笔记] h>n f(m) f (n) 单调逆减 m≤h 2 在[m,h]上 f(n) f(h) h=m+n 单调递减， f(m)或 mh≤n f(h) 在[h,n]上 f(n) 十nh≤n 单调递增 2 f(m) f(h) 1变式训练2I函数f(x)=x2一2x十2（其 中x∈[t,t+1],t∈R)的最小值为g(t),求 g(t)的表达式 标究点二与最值有关的应用问题 【例2】某租赁公司拥有汽车100辆，当每辆 [课堂笔记] 中 车的月租金为3000元时，可全部租出，当每辆车 的月租金每增加50元时，未租出的车将会增加一 辆，租出的车每辆每月需要维护费150元，未租出 的车每辆每月需要维护费50元. (1)当每辆车的月租金为3600元时，能租出 多少辆车？ (2)当每辆车的月租金为多少元时，租赁公司 的月收益最大？最大月收益是多少？ 83 数学「第二章函数 1变式训练3某公司生产一种电子仪器的固 定成本为20000元，每生产一台仪器需增加投入 100元，已知总收益满足函数：R(x)= 400x- 22,0区x<400·其中x(单位：台)是仪 80000,x>400. 规律方法1.本题建立的是一元二次函数模 器的产量。 型，应利用配方法求函数的最值 (1)将利润表示为产量的函数f(x). 2.解函数应用题的一般步骤是 (2)当产量为何值时，公司所获利润最大？最 审题弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系 大利润为多少元？（总收益=总成本十利润） 建模 将文字语言转化成数学语言，用数学知识建 立相应的数学模型 求模 求解数学模型，得到数学结论 还原 将用数学方法得到的结果还原为实际问题的 结论 对于数学模型得到的数学解，必须险证这个 数学解对实际问题的合理性 探究点三 利用函数的最值解决恒成立问题 【例3】已知函数f)=+2x+e,x∈ 1变式训练4已知ax2十x≤1对任意x∈ (0,1]恒成立，求实数a的取值范围. [1,+∞). (1)当a= 2时，求函数f(x)的最小值； (2)若对任意的x∈[1，+∞)，f(x)>0恒成 立，试求实数a的取值范围， [课堂笔记] 本节要点归纳 1.知识清单： (1)函数的最值： (2)一元二次函数在给定区间上的最值（或 值域)： (3)与最值有关的应用. 规律方法对于任意x∈D,f(x)>a恒成立， 2.方法归纳：数形结合法、分类讨论法。 一般转化为最值问题f(x)血>a来解决；对于任意 3.常见误区：在求函数的最值时，一定注意函 x∈D,f(x)<a恒成立，一般可转化为f(x)mx<a 数的定义域，有值域不一定存在最值。 来解决 84 §4函数的奇偶性与简单的幂函数 学以致用·随堂检测促达标 1.函数f(x)在[一2,2]上的 5.(2025上海浦东新区高一阶段练习)关于x的 图象如图所示，则此函数的 不等式x+>a在1,2)上恒成立，则实数a 最小值、最大值分别是 ( 的取值范围是 A.f(-2),0 B.0,2 6.把长为12cm的细铁丝截成两段，各自围成一 C.f(-2),2 D.f(2),2 个正方形，求这两个正方形面积之和的最小值 2.函数y=|x十1|+2的最小值是() A.0 B.-1 C.2 D.3 3.函数y=x2-2x,x∈[0,3]的值域为( ) A.[0,3] B.[-1,0] C.[-1,+o) D.[-1,3] 2x+6,x∈[1,2]， 4.若函数f(x)= 7-x,x∈[-4,1)， 则f(x)的 最大值为 §4 函数的奇偶性与简单的幂函数 4.1函数的奇偶性 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的概念和几何意义 学习目标 2.了解奇函数、偶函数图象的特征 3.会判断（或证明）函数的奇偶性， 基础落实·必备知识一遍过 知识点1奇、偶函数的定义 注：当函数f(x)是奇函数或偶函数时，称 ∫(x)具有奇偶性.奇偶性是属数的整体性质 函数 奇函数 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域是A,如 名师点睛 果对任意的x∈A,有一x∈A,且 条件 说明集金A是美于原点对称的 1.判断函数的奇偶性要“二看” f(-x)=-f(x) f(-x)=f(x) (1)一看定义域.定义城A要关于原，点对称，即 称函数f(x)为奇 称函数f(x)为偶 对任意x∈A,一x∈A,定义域不关于原点对称时， 结论 函数 函数 f(x)既不是奇函数，也不是偶函数 图象 如f(x)=x2,x∈R是偶函数，但f(x)=x2,x∈ 图象关于原点对称 图象关于y轴对称 特征 [一1,2]既不是奇函数，也不是偶函数 定义域 奇函数和偶函数的定义域均关于原点 (2)二看等式.当∫(x)的定义城关于原点对称 特征 对称 时，要看f(x)与f(一x)的关系： 85