2.2.3 第1课时函数的单调性-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(北师大版)

§3函数的单调性和最值 §3函数的单调性和最值 第1课时 函数的单调性 1.理解函数单调性的概念 学习目标 2.会根据函数的图象判断函数的单调性 3.能够根据函数单调性的定义证明函数在某一区间上的单调性 式基础落实·必备知识一遍过 知识点1 单调性、单调区间 思考辨析 单调 在函数单调性的定义中，能否去掉“任意”？ 单调递增 单调递减 性 设函数y=f(x)的定义域是D,I是定义域D 上的一个区间，如果对于任意的x1,x∈I,当 自主诊断 条件 x1<x2时，都有 1.判断正误.（正确的画、/，错误的画×） f(x1)<f(x2) f()>f(z2) (1)函数单调性定义中的“任意两个自变量的值 称函数y=f(x)在称函数y=∫(x)在区 x1,x:”可以改为“存在两个自变量的值x1, 结论 区间【上单调递增 间【上单调递减 xz” () (2)若函数y=f(x)在I上满足f(1)<f(2),则 单调区间I叫作函数y= 区间I叫作函数y= 函数y一f(x)在I上单调递增. () 区间f(x)的单调递增区间 f(x)的单调递减区间 (3)函数f(x)=上在定义域上单调递减.（) 图象 自左向右图象逐渐 自左向右图象逐渐 2.已知函数y=f(x)(x∈[-2,6])的图象如图.根 特征上升 下降 据图象写出y=f(x)的单调区间，单调递增区间 为 ,单调递减区间为」 y=f(x) 2》 图示 if) fx切 如果函数y=∫(x)在区间I上单调递增或 3.(人教A版教材习题)画出下列函数的图象，并根 单调递减，那么就称函数y=f(x)在区间I上 据图象说出函数y=f(x)的单调区间及在每一单 具有单调性.单调递增区间和单调递减区间统称为 调区间上的单调性 单调区间 、-单性是函数的周部性质 (1)y=x2-5x-6,(2)y=9-x2. 名师点睛) x1,x2的三个特征： (1)同区间性，即x1x2∈D: (2)任意性，即不可用区间D上的两个特殊值代 替x1工2 (3)有序性，即需要区分大小，通常规定x1<x2 77 数学「第二章函数 知识点2增函数、减函数的定义 增，你能得出函数f(x)在区间(1,3)上单调递增吗？ 函数 增函数 减函数 设函数y=f(x)的定义域是D,如果对于任 条件 意的x1,x2∈D,当x1<x2时，都有 f(x1)<f(x2) f(n)>f(x:) 自主诊断 称函数y=∫(x)是 称函数y=∫(x)是 结论 1.判断正误.（正确的画√，错误的画×） 增函数 减函数 (1)一个函数f(x)不是增函数，就是减函数. 名师点睛 () (2)若函数f(x)为R上的减函数，则f(-3)> 1.若∫(x)g(x)均是区间A上的增（减）函数， f(3). () 则f(x)十g(x)也是区间A上的增（减）函数；若 (3)若函数f(x)为定义在R上的函数且满足 ∫(x),g(x)分别是区间A上的增函数和减函数，则 f(一3)>f(3),则函数f(x)为R上的减 f(x)一g(x)是区间A上的增函数. 函数. () 2.若k>0,则kf(x)与f(x)的单调性相同；若 2.(人教B版教材例题)求证：函数f(x)=一2x在R上 k<0,则f(x)与f(x)的单调性相反 是减函数 思考辨析 若函数f(x)在区间(1,2]和(2,3)上均单调递 重难探究·能力素养速提升 探究点一 判断函数的单调性 角度1利用图象判断函数的单调性 I变式训练11已知x∈R,函数f(x)= 【例1一1】根据函数图象直观判断下列函数 xx一2引，试画出y=f(x)的图象，并结合图象 的单调性： 判断函数的单调性。 (1)y=x2+2x-3;(2)y=-x2+2x+1 [课堂笔记] 角度2利用单调函数的运算性质判断函数 的单调性 【例1-2】判断函数f)=2-3 单调性 [课堂笔记] 规律方法图象法判断函数单调性的注意点 图象法判断函数的单调性主要用于常见函效（如 次函数、二次函数、反比例函数等)的单调性判断， 或应用于能通过常见函数图象的平移、翻折等变换得 到所给函数的图象，从而进行单调性的判断 78 §3函数的单调性和最值 规律方法利用单调函数的运算性质判断函数 1变式训练2判断函数f()=-4红十3 单调性的思路 (x<0)的单调性 当函数解析式通过变换、转化之后，是由几个基 本函数的解析式构成的，则可分析这几个基本函数的 单调性，则看是否符合单调函数运算性质的规律，若 符合，可直接得出结论，否则，不能用这种方法判断函 数的单调性此外，研究函数的单调性时，一定要坚持 “定义域优先”的原则。 探究点二利用定义证明或判断函数的单调性 【例2】证明：函数f(x)=-2x2+3x十3在 位规律方法利用定义证明或判断函数的单调性 区间(-©，]上单调递增。 的步骤 [课堂笔记] 取值 设x1,是区间内的任意两个值，且x1<x2 作差 作差c低)，并通过因式分解 变形 通分、配方等手段，转化为易判 断正负的式子 (定号) 确定山低)的符号 (结论) 根据低))的符号及单调性的定义判断单调性 |变式训练31判断函数f(x)=a+出 x+2 a≠》在区间(-2，+∞)上的单调性 操究点三、函数单调性的应用 x2+1,x≥1， 【例3】(1)若函数f(x)= a.x-1,x<1 在R上单调递增，则实数a的取值范围是 ★(2)已知函数f(x)在区间(0，十∞)上单 调递减，试比较f(a2-a+1)与f(经)的大小 [课堂笔记] 79 数学「第二章函数 规律方法1利用函数的单调性可以比较函数 求t的取值范围. 值或自变量的大小，在利用函数的单调性比较函数值 大小时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区 间内. 2.利用函数的单调性解有关函数值的不等式就 是利用函数在某个区间内的单调性，去掉对应关系 “∫”，转化为自变量的不等式，此时一定要注意自变 量的限制条件，以防出错 3.由分段函数单调性求参数取值范围时，一般从 两个方面思考：一方面每个分段区间上函数具有相同 的单调性，由此列出相关式子；另一方面是考虑端点 处的衔接情况，由此列出另一相关式子，求解即可. 本节要点归纳 1.知识清单： I变式训练4(1)已知f(2x)=|x一a,若 (1)增函数、减函数的定义： 函数f(x)在区间（一∞，2]上单调递减，则实数a (2)函数单调性的定义及单调区间的确定， 的取值范围是() 2.方法归纳：数形结合法、定义法 A.[1,+∞)） B.(1,十∞) 3.常见误区：函数具有多个单调区间时，单调 C.[2,十∞) D.(2,十∞) 区间之间用“，”与“和”连接，含参数的分段函数的 ★(2)已知函数g(x)的定义域是[-2,2]，且 单调性易忽视定义域端点处函数值的大小 在定义域[一2,2]上单调递增，g(t)>g(1一3t), 学以致用·随堂检测促达标 L.函数y=f(x)的图象如图所示，其单调递减区 4.已知函数f(x)为定义在区间[一1,1]上的增 间是( 函数，则满足f(x)<f()的实数x的取值范 围是 5求证：函数f(x)=三在区间(0，+∞)上单调 递减。 A.[-4,4] B.[-4,-3U[1,4] C.[-4,-3],[1,4]D.[-3,1 2.(2025广东茂名模拟)已知函数f(x)= √x2-6x+5在区间(a,十o∞)上单调递增，则a 的取值范围为( A.(-∞，1] B.(-o∞，3] C.[3,+∞) D.[5,+∞) 3.已知函数f(x)=ax+1在R上单调递减，则 函数g(x)=a(x2一4x+3)的单调递增区间为 () A.(-2,十∞) B.(2,十∞) C.(-∞，2) D.(-∞，-2) 80§3函数的单调性和最值 第1课时函数的单调性 ○基础落实·必备知识一遍过 知识点1 【思考辨析】 提示不能，不能用特球代替一般 【自主诊断】 1.(1)×(2)×(3)× 2.[-2,-1]和[2,6][-1,2]由图象可知f(x)在 [一2,6]上的单调递增区间为[一2，一1]和[2,6]，单调递减区间 为[-1,2]. 3.解(1)函数y=x2-5x一6的图象如 图所示.由图象可知，单调区间有（一∞， ],[受+∞).共中y=f)在区间 y=x2-5x-6 (一，】]上单调递减，在区间[》，十o∞)上单调通增。 (2)函数y=9一x2的图象如图所示. 由图象可知，单调区间有（一∞，0] [0,十o∞).其中y=f(x)在区间(-oo,0]上单 调递增，在区间[0，十∞)上单调递减. 知识点2 【思考辨析】 提示不能得出.函数图象是连续的才可以得出，有的分段 函数不能得出. 【自主诊断】 1.(1)×(2)/(3)× 2.证明任取x1,x2∈R且x1<x2,则x1一x:<0,那么 f(x1)-f(x:)=(-2x1)-（-2x:)=2(x:-x1)>0,从而 f(x1)>f(x:).因此，函数f(x)=一2x在R上是减函数. ⊙重难探究·能力素养速提升 探究点一判断函数的单调性 【例1一1】解(1)令f(x)=x2十 2x-3=(x十1)2-4作出f(x)的图象， 保留其在工轴上及x轴上方部分，将位 于x轴下方的部分翻新到x轴上方，得 到y=x2十2x一3的图象，如图所示. 由图象可得原函数在区间[一3，一1]和[1，+∞)上单调递 增，原函数在区间（一0∞，一3]和[一1,1门上单调递减。 -x2+2x+1,x≥0， (2)y= -x2-2x+1,x<0, 4 」-(x-1)2+2,x≥0， 即y= -(x+1)2+2,x<0, 函数图象如图所示，原函数在区间 (-o∞，一1门和[0,1门上单调递增，在区间 [-1,0]和[1，十∞)上单调递减. 【变式训练1】解f(x)=x|x一2| x(x-2),x≥2， 图象如图所示 x(2-x),x2, 由图象可知，函数在区间（一o∞，1]，[2， +∞)上单调递增，在区间[1,2]上单调递减. 【例1一2】解f)23-2x-3,且画数的定义城 为(-∞，0)U(0,十6∞)，因为函数y=2x和y=-3在区间 （一©，0上均单调适增，所以fx)-2z-兰在区间(-四，0) 上单调递增.同理可得了(x)=2x-3在区间(0，十)上也单 x 调适增，所以函数f)-2红3在区间(-0,0)和(0，十0) 上单调递增 【变式训练2】解因为f(x)=一4红十3=x-4+3 (x<0),且函数y=x2-4及y=三在区间(-60,0)上都单调 递减，所以f)=工-红+3(z<0)在区间(-60,0)上单调 递减 探究点二利用定义证明或判断函数的单调性 【例2】证明任取∈(0，]，且<，测 f(x)-f(x1)=(-2x号+3z1+3)-(-2x+3x1+3)= 2x-2x+3x2-3x1=2(x1十x:)(x1-x2)-3(x1-x)= [21+）3-由(-0，]且x< 得+<+是=号-<0，则2+3，即 2(x1+x)-3<0,所以f(x1)<f(x2),故函数f(x)= -2x+3江+3在区间(-，]上单调递增。 【变式训练3】解任取x1x1∈（一2，十∞），且x1<x2 :fx)=+2at1-24-a+1- x十2 x+2 f)-f)-+)-a+)- 2a)(中2十2）=1-2），2+ 工1一x1 1 ”x1x∈（-2，+o).心+2+2>0，又1- 00 <0,当1-2a>0,即a<2时，fx)fzi 当1-2a<0,即a>2时，f红)>f以 故当a<号时，f)在区间(-2，十o∞)上单调运减： 当a>2时，fx)在区间(-2，十∞)上单调递增. 探究点三函数单调性的应用 【例3】(1)(0,3]因为函数f(x)在R上单调递增，所以 a>0, 解得0<a≤3，所以a的取值范围是(0,3]. a-1≤1+1， 2懈a-a+1-(a-）广+>是与a2 a+1都是区间(0，十∞)上的值.：f(x)在区间(0，十∞)上单 满道减，∴fa-a+1)f(子) 【童式调练1aDA令=2红，则fe)-乞-@，所以 -a,x≥2a, f()-2-a 所以f(x)在(-o,2a]上 a- 2x<2a, 单调递诚.因为函数∫(x)在区间（一∞，2]上单调递减，所以 2a≥2，得a≥1.故选A. (2)解：g(x)在定义城[一2,2]上单调递增，且gu)> f-2t≤2， 1-2≤1≤2， g1-0.-21-2.中-31. t>1-3t, > ∴<1.的取值范阔为（仔] ©学以致用·随堂检测促达标 1.C 2,D由x2-6x十5≥0，可得x≤1或x≥5，即函数f(x) 的定义域为(-o∞，1]U[5,+0∞)，又国为t=x2一6x十5在 [5,十∞)上单调递增，在（一∞，1]上单调递诚，y=E在 [0,十©)上单调递增，所以由复合函数的单调性可知f(x) √x-6x+5在区间[5，十o∞)上单调递增，故a≥5.故选D. 3C,函数f(x)=ax十1在R上单调递减，.a<0, g(x)=a(x2-4x十3)的图象为开口向下的抛物线，其 对称轴方程为x=2,∴g(x)在（一∞，2）上单调递增，即函数 g(x)=a(x2-4x十3)的单调递增区间为(-o∞，2).故选C -1≤x≤1， 4[-1,号）由题意得 解得-1长x< 5.证明任取x1x2∈(0，十∞)，且x1<xg, 有)日员-治园 Tixi 0<x1<x :-x1>0x:+z1>0xix>0. .f(x1)-f(x3)>0,即f(x1)>f(xa) 通数/)=子在区间0，十o)止单调适减 第2课时函数的最值 ○基础落实·必备知识一遍过 知识点 1.f(x)≤M最高f(x)≥M最低 【思考辨析】 提示函数图象的最高点可以有无数多个，若这些点的钢坐 标都相等，则最大值只有1个 【自主诊断】 1.(1)/(2)/(3)× 2.2函数y=一3x2十2的图象的对称轴为直线x=0又 0∈[-1,2]，∴.f(x)=f(0)-2. 3.解任取x1,z:∈[-1,6]且x1<x2,则x1一x2<0,那么 f(x1)-f(x)=(3x1+5)-(3x2十5)=3(x1-x2)<0,所以 这个函数是增函数 因此，当-1≤x≤6时，有f(-1)≤f(x)≤f(6),从而这 个函数的最小值为f(一1)-2，最大值为f(6)一23 ⊙重难探究·能力素养速提升 探究点一求函数的最值 【例1一1】解y=-1x-1+ 3-x,x≥1， 2= 函数图象如图 x+1,x<1, 所示 由图象知，函数y=一x一1十2 的最大值为2，没有最小值所以其值域为（一0∞，2. 【变式训练1】解(1)盛数f(x)的图象如图所示， 012 (2)由图象可知f(x)的最小值为f(1)=1,无最大值 【例1一2】解(1)任取x1,x2∈[，2]，且1<x,则 ）fu)=-+培身-a-(1-)= (-x-.:1≤x1<x≤2， T1I: