2.2.2 第1课时函数的表示法-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(北师大版)

§1生活中的变量关系S2函数 学以致用·随堂检测促达标 1.函数f(x)=x十☐ 的定义域是( ) A.(-o∞，十∞) B.(-∞，-1] C.(-1,0) D.[-1,0)U(0,+∞) B 2.(多选题)下列四组中的f(x)与g(x)不是同 一个函数的是() Afa）s看 O12 12 B.f(x)=,g(t)= D 4.(1)函数y=2x+1,x∈(-1,1]的值域是 Cf)2gx)-是 D.f(x)=x,g(x)=lx (2)(2025河南开封高一期末)已知函数 3.若A={x|0≤x≤2}，B={y1≤y≤2}，下列 fx)=x-的值域为[0，+eo),则f) 图形中能表示以A为定义域，B为值域的函数 的定义域可以是 的是() 2.2 函数的表示法 第1课时函数的表示法 1.掌握函数的三种表示法：解析法、列表法、图象法，以及各自的优缺点.在解析法中尤其要掌握用 换元法和代入法求函数的解析式。 学习目标 2.在实际问题中，能够选择恰当的表示法来表示函数。 3.能利用函数图象求函数的值域，并确定函数值的变化趋势. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1函数的表示法 续表 常用的函数的表示方法有三种，具体如下： 任何一个表格内 表示 标出的数都是有通过图象很 解析法 列表法 图象法 用解析式表示函 方法 限个，只能表示有难得到每个 数时容易漏掉其 在函数y=∫(x)通过列出自变量 限个数值之间的自变量取值 用“图形”表 缺点定义域，而且对 (x∈A)中，f(x) 与对应函数值的 函数关系，若自变对应的精确 定义 于一些实际问题 用代数式（或解析表来表示函数关 示函数的 量取值有无限多函数值，误差 式)来表达的方法 系的方法 方法 很难得到解析式 个，则只能给出局较大 通过解析式可以可直接通过表 部的对应关系 求出任意一个自格读数，不必通可以通过图 变量所对应的函过计算就表示象直观地显 名师点睛 优点 数值，较便利地出两个变量之示函数的局 由列表法和图象法的概念可知，函数也可以说就 利用代数工具研间的对应值，非部变化规律 是一张表或一张图，根据这张表或这张图，由自变量 究其性质 常直观 工的值可查找到和它对应的唯一的函数值y. 67 数学「第二章函数 思考辨析 2.若f()-x+1,则2)=( 某学生离家去学校，一开始跑步前进，跑累了再走 A.2 C.3 余下的路程你能用纵轴表示离校的距离，用横轴表示 n含 出发后的时间，画出较符合该学生走法的图象吗？ 3.(人教A版教材例题)某种笔记本的单价是5元， 买x(x∈{1,2,3,4,5})个笔记本需要y元.试用 函数的三种表示法表示函数y=f(x). 自主诊断 1,判断正误.（正确的画√，错误的画×） (1)任何一个函数都可以用列表法表示. ( (2)任何一个函数都可以用解析法表示. (3)任何一个函数都可以用图象法表示. 知识点2函数的图象 名师点睛 函数图象的作法 从理论上来说，要作出一个函数的图象，只需描 (1)函数图象的特征 出所有点即可.但是，很多函数的图象都由无穷多个 函数图象既可以是连续的曲线，也可以是直 点组成，描出所有点并不现实，因此，实际作图时，经 线、折线、离散的点等。 常先描出函数图象上一些有代表性的点，然后根据有 (2)描点法作函数图象的三个步骤（注意函 关性质作出函数图象，这称为描，点作图法 数的定义域) 自主诊断 先找出一些有代表性的自变量x的值， 1.判断正误.（正确的画/，错误的画×） 列表 再计算出与这些自变量x相对应的函 (1)函数y=x2的图象向右平移3个单位长度可得 数值)，并用表格的形式表示出来 在平面直角坐标系中把上述表格中的 函数y-(x十3)2的图象 ( 描点 点，fx》一一描出米 (2)函数的图象一定是一条连续不断的曲线.()》 2.(人教A版教材习题)画出下列函数的图象，并说 连线 用光滑的曲线把这些点按自变量由小 到大（或由大到小）的顺序连接起来 出函数的定义域、值域： (3)利用常见函数图象作出所求函数的图象 y=3x:2y=3,(3y=-红+5； 已学过的常见函数图象有：①常函数的图 (4)y=x2-6.x+7. 象，如f(x)=1的图象为一条平行于x轴的直 线；②一次函数的图象，如f(x)=一3x十1的图 象是一条经过第一、二、四象限的直线；③一元二 次函数的图象，如f(x)=2x2一x十1的图象是 条开口向上的抛物线；④对于反比例函数 fx)=≠0，且为常数)，当k>0时，其图 44444444444444444444444444444444444444444444444444 象是在第一、三象限内，以原点为对称中心的双 曲线，当k<0时，其图象是在第二、四象限内，以 原点为对称中心的双曲线。 68 §1生活中的变量关系S2函数 式重难探究·能力素养速提升 探究点一三种表示法的应用 【例1】某商场新进了10台彩电，每台售价 1变式训练1将一条长为10cm的铁丝剪 3000元，试求售出台数x与收款数y之间的函 成两段，并用每一段铁丝各做一个正方形.试用解 数关系，分别用列表法、图象法、解析法表示出来 析法、列表法、图象法表示两个正方形的面积之和 [课堂笔记] S与其中一段铁丝长x(x∈N+)的函数关系. 缸规律方法函数表示法的注意事项 (1)列表法、图象法、解析法均是函数的表示法， 无论是哪种方式表示函数，都必须满足函数的概念. (2)列表法更直观形象，图象法从形的角度描述 函数，解析法从数的角度描述函数 (3)函数的三种表示法互相兼容或补充，许多函 数是可以用三种方法表示的，但在实际操作中，仍以 解析法为主 69 。数学「第二章函数 探究点二求函数的解析式 【例2】(1)已知f(x+1)=x2-3x+2,求 1变式训练2I(1)已知f(x)是一次函数，且 f(x). f(f(x))=2x-1,求f(x)的解析式. (2)已知f(x)是一元二次函数，且满足 (2)已知f(x+1)=x十2√x,求f(x)的 f(0)=1,f(x+1)-f(x)=2x,求f(x)的解 解析式。 析式 (3)已知函数f(x)对于任意的x都有 (3)设函数f(x)满足f(x)+2f(月） f(x)十2f(-x)=3x-2,求f(x). x(x≠0)，求f(x). [课堂笔记] 44 444444444444444 规律方法求函数解析式的四种常用方法 方法直接法（代入法）：已知∫(x)的解析式，求 f(g(x)的解析式，直接将g(x)代入 待定系数法：若已知函数的类型，可用待定系 方法数法求解，即由函数类型设出函数解析式，再 二 根据条件列方程（或方程组），通过解方程（或 方程组)求出待定系数，进而求出函数解析式 换元法（有时可用“配凑法"）：已知函数f(g(x) 方法的解析式求f(x)的解析式可用换元法（或 三 “配凑法”)，即令g(x)=t,反解出x,然后代 入f(g(x)中求出f(t),从而求出f(x) 消元法：在已知式子中，含有关于两个不同变量 的函数，而这两个变量有着某种关系，这时就要 方法 依据两个变量的关系，建立一个新的关于两个变 四 量的式子，由两个式子建立方程组，通过解方程 组消去一个变量，得到目标变量的解析式 70 §1生活中的变量关系S2函数 探究点三\ 函数的图象及应用 【例3】作出下列函数的图象，并求其值域。 「变式训练3作出下列函数的图象，并写出 (1)y=1-x(x∈Z): 其值域， (2)y=2x2-4x-3(0≤x<3) (1)y=2x+1,x∈[0,2]； [课堂笔记] 2y=是xeB,+o. ☒规律方法1.作函数图象最基本的方法是猫点 法。主要有三个步骤一列表、描点、连线.作图象时 一般先确定函数的定义域，再在定义城内化简函数解 析式，最后列表画出图象 本节要点归纳 2.函教的图象可能是平滑的曲线，也可能是一群 1.知识清单： 孤立的点，画图时要注意特殊点.如图象与坐标轴的 (1)函数的表示法； 交点、区间端点、二次函数的顶点等，还要分清这些特 (2)求函数解析式； 殊点是实心，点还是空心点 如例3(1)中图象是由一些散点构成的，这里不能 (3)函数的图象 将其用平滑曲线连起来；例3(2)中描出两个端，点及顶 2.方法归纳：待定系数法、换元法、配凑法、数 点，依据一元二次函数的图象特征作出函数图象，注 形结合法。 意x=3不在定义域内，从而点(3,3)处用空心点. 3.常见误区：求函数解析式时易忽视定义域」 学以致用·随堂检测促达标 1.(2025江苏南通开学考试)已知函数f(x)= 离开家的距离 离开家的距离 (x-1)2-1,则() A.f(x-1)=f(1-x) 时间 时间 B.f(x-1)=f(x+1) A B C.f(1+x)=f(1-x) 十离开家的距离 十离开家的距离 D.f(1+x)=-f(1-x) 2.某天早上，小明骑车上学，出发时感到时间较 时间 时间 紧，然后加速前进，后来发现时间还比较充裕， D 于是放慢了速度，与以上事件吻合得最好的图 象是() 71 数学「第二章函数 3.已知函数f(x),g(x)对应值如下表： 6.(人教B版教材例题)已知函数y=√x,指出这 x 01-1 个函数的定义域、值域，并作出这个函数的 f(x)10-1 图象 x01-1 g(x)-101 则g(f(g(-1))的值为() A.1 B.0 C.-1 D.无法确定 4.若一个长方体的高为80cm,长比宽多10cm,则 这个长方体的体积y(单位：cm3)与长方体的宽 x(单位：cm)之间的函数解析式是 5.(1)已知函数f(x十1)=3x十2，求f(x): 2已知f儿-)=2+是求f). 第2课时分段函数 1.了解分段函数的概念 学习目标 2.会求分段函数的函数值，能画出分段函数的图象 3.能在实际问题中列出分段函数，并能解决有关问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点分段函数 象组合到一起就可得到整个分段函数的图象 1.分段函数的定义 名师点睛 如果一个函数，在其定义域内，对于自变量的 1.求分段函数的函数值的关键是分段归类，即自 不同取值区间，有不同的对应关系，则称其为分段 变量的取值属于哪个区间，就只能用那个区间上的解 函数.分段属数是一个属数而不是几个西数 析式来进行计算。 2.写分段函数的定义城时，区间端点应不重不漏。 2.分段函数的图象 分段函数的定义城是各段自变量取值集合的并集 分段函数有几段，它的图象就由几部分组成 3.分段函数值城的求法是分别求出各段上的因变 在同一平面直角坐标系中，根据分段函数每段的 量的取值集合后取并集：分段函数的最大（小）值的求法 定义区间和解析式依次画出图象，要注意确定每 是先求出每段函数的最大（小）值，然后比较各段的最大 段图象的端点是空心点还是实心点，各段函数图 (小)值，其中最大（小）的为分段函数的最大（小）值 72由-5<4-3<6，解得-号<x<8,故通数f-z)的定义 城为[-号，可，故选B 探究点四函数的求值问题 【例4】解(1)f(2)=2+2-1=5, f(a+1)=(a+1)2+(a+1)-1=a+3a+1. (2)f(x)=x+x-1=5,.x2+x-6=0, 解得x=2或x=-3, 11 【变式i训练4)解(f代2)=1中23g(2)=2+2=6 2g2)=g(）-(3)'+2-号 1 1 f(gx)=1+gm-+3x∈R (37gzx+3=4,即r1,得x=士1 探究点五同一个函数 【例5】(1)②③①由一2x3>0,得x<0,所以f(x) 一x√一2正，又g(x)=x√一2证，对应关系不同，故f(x)与 g6)不是网-函数：0fx)-2-1(x≠0gx)-号-1 (红≠0)，对应美系与定义域均相同，故是同一函数：③f(x)= x2-2x一1与g()=t2-2一1，对应关系和定义域均相同，故 是同一函数 (②解不是对于画教y=可·币，由一D0, x+120, 得x≥1，故定义战为{xx≥1：对于函数y=√（红十1）(x-1D, 由(x十1)(x-1)≥0解得x≥1或x≤-1，故定义域为{xlx≥ 1或x≤一1}.显然两个函数定义城不同，故不是同一函数 【变式训练5】⑤Df(x)与g(x)的定义城不同，不是同 一个函数： ②f(x)与g(x)的对应关系不同，不是同一个函数： f(x)=|x十3|，与g(x)的对应关系不同，不是同一个 函数： ④f(x)与g(x)的定义域不同，不是同一个函数： ⑤f(:)与g(x)的定义域，对应关系都相同，是同一个函数 探究点六求函数的值域 【例6】解(1)√丘≥0，.√丘-1≥-1，y=丘-1的 值域为[-1，十o∞). (2)x∈{一2，一1,0,1,2,3}，把x=-2,一1,0,1,2,3代 入y=x2-2x+3中，得y=11,6,3,2,3,6,∴y=x2-2x+3 的值域为{2,3,6,11}. 39 （8y--27=2+子里热子0，所 x-3x-3 以y≠2，故函数的值拔为(-o∞，2)U(2,+o∞). (4)设t=√-I,则t≥0，且x=t2+1,所以y=2(:+ 1》-12北-》'+识由≥0，培合高数的图象（周感）可得 函数的值城为[臣，+) 【变式训练6)解(1)0≤16-x2≤16，∴.0≤√16一x≤4，即 函数y=√/16-x的债城为[0,4]. (2)y=x2-4x十6=(x-2)2+2,其中1≤x≤5，由函数图 象（图略）可知y∈[2,11]. 1 1 (8心y=弄=1有且定义域为≠一…心市≠ 0,脚y1.通数y=币有的值城为(-，1U1,+m (4)令t=√/1一x(t≥0)，则x=1一t2, 则y=-2:+4t+2=-2(t-1)2+4(t≥0)，由图象（图 略)可得函数y=2x十4√1一x的值城为（一∞，4]. Q学以致用·随堂检测促达标 x+1≥0， 1.D要使函数有意义，则《 解得f(x)的定义域 x≠0， 为[-1,0)U(0,十∞.故选D. 2.ACD对于速项A,C,数的定义城不同：对于选项D, 两个函数的对应关系不同， 3.BA中值战为{y0≤y≤2)，故A错误：C,D中值域为 1,2},故C,D错误，B符合题意，故选B 4.(1)(一1,3](2)[一1,0)U[1,+∞)（答案不唯一） 2岭x-≥0，解得-1<0浅， 则f(x)的定义域可以是[一1,0)U[1,十∞). 2.2函数的表示法 第1课时函数的表示法 @基础落实·必备知识一遍过 知识点1 【思考辨析】 提示由题意可知，一开始建度较快，后 来速度变慢，所以开始曲线比较陡崤，后来曲 线比较平媛，又纵抽表示离校的距离，所以开 始时距离最大，最后距离为0，图象如右。 【自主诊断】 1.(1)×(2)×(3)× 2D令是=2，则x=号f2-+1-是故选D 1 6 3.解这个函数的定义城是数集{1,2,3,4,5，用解析法可 将面数y=f(x)表示为y=5r,x∈{1,2,3,4,5引. 用列表法可将語数y=∫(x)表示为 笔记本数x12345 钱数y510152025 用图象法可将函数y=f(x)表示为下图. 20 15 10 012345x 知识点2 【自主诊断】 1.(1)×(2)× 2.解(1)定义域为R,值域为R,函数图象如图(1)所示 (2)定义域为(xx≠0}，值域为{y|y≠0}，函数图象如图 (2)所示 图(1) 图(2) 图(3) 图(4) (3)定义域为R,值城为R,函数图象如图(3)所示 (4)定义域为R,值域为{yy≥一2}，函数图象如图(4)所示 ○重难探究·能力素养速提升 探究点一三种表示法的应用 【例1】解①列表法： x/台0 1 23 4 5 y/元0 3000600090001200015000 x/台6 7 8 9 10 y/元1800021000240002700030000 ②图象法： 元 30000 3000 01 10x7治 ③解折法：y=3000x,x∈(0,1,2,3，，10}. 【变式训练1】解这个函数的定义域为(x|1≤x<10, x∈N+}. ①解析法：S= (任)'+().将上式整理得S -x+5xe1x<10,xeN 3 ②列表法： 一段铁丝长x/cm123456789 两个正方形的面积41172913251329171 之和S/cm2 848484848 ③图象法： S/em* 0123456789x6m 探究点二求函数的解析式 【例2】解(1)（方法一）令x十1=1，则x=t一1.将x= t-1代入f(x+1)=x2-3zx+2,得f(t)=(t-1)2-3(t- 1)+2=t2-5t+6,∴f(x)=x2-5x+6. (方法二)'f(x+1)=x2-3x+2=x2+2x十1-5x-51 6=(x+1)2-5(x十1)+6，.f(x)=x2-5x十6. (2)设所求的一元二次函数为f(x)=ax2十br十c(a≠0) f(0)=1,.c=1,则f(x)=ax+bx+1. ,'f(x十1)一f(x)=2x对任意的x∈R都成立， .a(x+1)2+b(x十1)+1-(ax2十bz+1)=2x,即 a=2, a=1, 2ax十a十b=2x,由恒等式的性质，得 a十b=0,b=一1 .所求一元二次函数为f(x)=x2一x十1. (3),对于任意的x,都有f(x）十2f(一x)=3x一2， ∴，将x替换为-x,得f(-x)十2f(x)=-3x一2，联立方 程组消去（一，可得f)=-3江-号 【变式圳练2】解(1)：f(x)为一次函数， .可设f(x)=ax十b(a≠0). f(f(x))=f(ax+b)=a(ax+b)+b=az+ab+b= 2x-1.. 2=2,解得 |a=2,a=-2, 或 b+b=-1,b=1-2b=1+2. 故f(x)=2x+1-√2或f(x)=-2x+1十2. (2)(方法一)f(五+1)=(E)2+2至+1-1= (+1)2-1,其中反+1≥1， 故所求蓝数的解析式为f(x)=x2一1，xE[门，十o∞). (方法二)令√反+1-t,则x=(1-1)2,且t≥1，画数 f(E+1)=x+2五可化为f(t)=(t-1)2+2(t-1)= t2-1,故所求函数的解析式为f(x)=x2-1,x∈[1，十o). (3)圈为对任意的x∈R,且x≠0都有f(x)+2f(）=工 成立，所以对于士∈R,且上≠0，有/(）+2()-子两式 fx)+2f(）=x, D 组成方程组 V(2）+2r)-2 @ 号×@x2-①)将，f)=号（经-≠0. 探究点三函数的图象及应用 【例3】解(1)因为x∈乙，所以函数图象为一条直线上的孤 立点（如图①），由图象知，y∈Z (2)因为x∈[0,3)，所以函数图象是抛物线的一段（如图 ②)，由图象知，y∈[-5,3). y 1=1 123x -2-11 123x 图① 图② 【变式训练3】解(1)当x=0时，y= 1:当x=1时，y=3:当x=2时，y=5. 函数图象过点(0,1)，(1,3)，(2,5) 图象如图所示， 由图可知，蓝数的值城为[1,5] 123 (2)当x=2时，y=1:当x=4时， y=立当x=6时y=了图象如图所示 由图可知，函数的值域为(0,1] ©学以致用·随堂检测促达标 1.C因为f(x-1)=(x-2)2-1≠f(1-x)=x2-1,而 f(x+1)=f(1十x)=x2-1,所以f(1十x)=f(1一x).故迭C 2.C因为选项A,D都有段时间停止不动，不合题意，故 排除选项A,D:首先加速前进，然后放慢速度，说明图象上升的 速度先快后慢，故选C 3.Cg(-1)=1,则f(g(-1)=f(1)=0, 则g(f(g(-1)=g(0)=-1. 4.y=80x(x+10),x∈(0，+o∞) 5.解(1)（方法一换元法）令x十1=t,∴x=1-1, .f(t)=3(t-1)+2=3t-1,∴.f(x)=3x-1. (方法二配凑法)f(x+1)=3x+2=3(x+1)-1, .f(x)=3x-1. 3 2:f(x-）=r+是-(x-是）‘+2x0, 令=x-子则Rfe)=2+2fx)=x+2 6.解函数的定义域为[0，十∞).由y=√反在y≥0时有解 可知，函数的值域为[0，十∞). 通过描点作图法，可以作出这个函数的图象，如图所示 可1234主 第2课时分段函数 ○基础落实·必备知识一遍过 知识点 【自主诊断】 1.(1)√(2)/(3)× 2.2由题图知f(2)=0,∴.f(f(2)=f(0)=4, ∴.f(f(f(2)=f(4)=2. x-2,x≥2， 3.解（方法一）y= 函数 2-x,x<2, y=x一2的图象如图所示. 01234 (方法二翩折法)先画出y=x一2的 图象，然后把图象位于x轴下方的部分沿x轴翻折到x轴 上面. ⊙重难探究·能力素养速提升 探究点一 分段函数的求值 【鳞1解Df(-)=-号+2=号， r()-()-()-, f(-)》-()-×号- (2)当f(x)=x十2=2时，x=0,不将合x<0.当f(x)= x2-2时，x=土2，其中x■2符合0≤x<2当f(x) 乞x=2时，江=4，符合x≥2，编上，x的值是2或4 【变式探究】解：f(x)>0, x<0, 10≤x<2, x≥2， 我1 .-2<x<0或0< x+2>0x2>0 2x>0. x<2或x≥2.∴.x的取值范围是(-2,0)U(0,十∞). 探究点二分段函数的图象 1 ,0<x<1, 【例2】解(1)函数y= x 的图象如图①，观察 2x,x≥1