第1章 预备知识总结提升-【志鸿优化训练】2026-2027学年高中数学必修第一册(北师大版)

数学「第一章预备知识 本章征总结提升 ©知识网络·整合构建 元素的确定性 集合的概念 元素的互异性 元素的无序性 必要条件 列举法 集合 集合的表示 描述法 充分条件 真子集 充要条件 全称量词 包含关系 子集 常用逻辑用阔 全称量词 全称量词命圆 相等关系 全称量词命题的否定 集合间的关系 交集■ 存在量词 运算关系 并集 存在量词 存在量词命圈 补集 存在量词命题的否定 量 基本关系 基本类型 一元一次方程 等量 方 二元一次方程 不等式的性质 关系 程 不等式 一元二次方程 基本不等式及其应用 分式方程 解法 一元二次 不等量 不 一元一次不等式 应用 不等式 次函数 送系」 一元二次不等式 一元一次函数 函数 反比例函数 关系 数 一元二次函数 ©专题突破·素养提升 (BUC)={xa≤x≤b},则a= ,b= 专题一集合的综合运算 1.集合的运算有交、并、补这三种常见的运 ★(2)已知集合A={x|x>3a十1}，B={x| 算，它是集合中的核心内容.在进行集合的运算 x2-5x+6>0以. 时，往往由于运算能力差或考虑不全面而出错，此 ①当a=3时，求A∩B; 时，数轴分析（或Venn图）是个好帮手，能将复杂 ②若AUB=B,求实数a的取值范围 问题直观化.在具体应用时要注意检验端点值是否 [课堂笔记] 适合题意，以免增解或漏解 2.掌握集合的基本关系与基本运算，重点提 升逻辑推理和数学运算素养. 【例1】(1)设集合A={x|一1≤x≤2，B= {x|-1<x≤4}，C={x|-3<x<2},且集合A∩ 56 本章总结提升 ★【例2】(1)（多选题）下列条件中，是 “2x2>5十3x”的一个充分不必要条件的是 ( A.x>3 B.x<-3 444444444444444444444444444444444 C.x>0 D.x<0 (2)设p:实数x满足A={xx≤3a,或x≥ a(a<0)},q:实数x满足B={x|一4≤x< 一2)，且q是p的充分不必要条件，求实数a的 规律方法集合运算过程中应力求做到“三化” 取值范围。 (1)意义化：首先分清集合的类型，是表示数集 [课堂笔记] 点集，还是某类图形：是表示函数自变量的取值范围 因支量的取值范围，还是表示方程或不等式的解集 (2)具体化：具体求出相关集合中函数的自变量、 因变量的取值范图或方程、不等式的解集等；不能具 体求出的，也应力求将相关集合转化为最简形式. (3)直观化：借助数轴、Venn图等将有关集合直 观地表示出来，从而借助数形结合思想解决问题】 I变式训练1已知集合A={x|a<x< 想律方法在判定充分条件、必要条件时，要注 a2+1},集合B={xl1<x<5}. 意既要看由p能否推出q,又要看由q能否推出p, (1)当a=3时，求AUB; 不能顾此失彼 (2)若A∩B=A,求实数a的取值范围. 1变式训练21(1)已知集合A={x|一4≤ x≤4，x∈R},B={x|x<a),则“a>5”是 “A二B”的( A充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要的条件 ★(2)已知关于x的一元二次方程①mx2 4x+4=0,②x2-4m.x+4m2-4m-5=0,m∈Z 且m≠0，求两方程的根都是整数的充要条件， 专题二充分条件、必要条件与充要条件 1.若p→q,且q不能推出p,则p是q的充 分不必要条件，同时q是p的必要不充分条件；若 p台g,则p是q的充要条件，同时q是p的充要 条件 2.掌握充要条件的判断和证明，提升逻辑推 理和数学运算素养 57 数学「第一章预备知识 专题三全称量词命题与存在量词命题 专题四基本不等式及应用 1.全称量词命题的否定一定是存在量词命 题，存在量词命题的否定一定是全称量词命题.含 1基本不等式：≥历(a>0.6≥0)是 有量词的命题否定时，首先改变量词，把全称量词 每年高考的热点，主要考查实数比较大小、不等式 改为存在量词，把存在量词改为全称量词，然后把 证明以及求最值问题，特别是求最值问题往往与 判断词加以否定 实际问题相结合，同时在基本不等式的使用条件 2.通过含有量词的命题的否定及利用命题的 上设置一些问题，实际上是考查学生恒等变形的 真假求参数范围等，培养逻辑推理和数学运算 技巧，另外，基本不等式的和与积的转化在高考中 素养. 也经常出现 【例3】(1)命题“Hx∈R,x2一2x十1>0”的 2.熟练掌握基本不等式的应用，重点提升数 否定是( ) 学抽象和数学运算素养」 A.3x∈R,x2-2x+1≤0 【例4】(1)已知2a+b=1,a>0,b>0,则 B.3x∈R,x2-2x十10 +方的最小值是( ) a C.3x∈R,x2-2x+1<0 D.Hx∈R,x2-2.x+1<0 A.22 B.3-2√2 (2)若命题p:Hx∈R,x2一2x十m≠0是真 C.3+22 D.3+√2 命题，则实数m的取值范围是( ②)当>1时，不等式的最小值是 A.[1,+o∞) B.(1,+∞) C.(-∞，1) D.(-o∞，1] [课堂笔记] [课堂笔记] 缸规律方法全称量词命题、存在量词命题真假 规律方法1.注意子求已知条件与目标函数之 的判断 间的联系 (1)全称量词命题的真假判定：要判定一个全称 2.利用添项和拆项的配凑方法，使积（或和）产生 量词命题为真，必须对限定集合M中每一个x验证 定值.特别注意“1”的代换。 p(x)成立，一般用代数推理的方法加以证明；要判定 一个全称量词命题为假，只需举出一个反例即可. 1变式训练4(1)若y=4x十a(x>0,a> (2)存在量词命题的真假判定：要判定一个存在 量词命题为真，只要在限定集合M中，找到一个x, 0)在x=3时取得最小值，则a= 使p(x)成立即可；否则，这一存在量词命题为假. ★②没ab为正实数，且时+分1 1变式训练31(1)3m,n∈Z,使得m2= ①求(a-1)(6-1)的值； n2+2024成立的否定是() A.Hm,n∈Z,有m2=n2+2024 ②球二+。之的最小值 B.3m,n∈Z,使得m2≠n2+2024成立 C./m,n∈Z,有m2≠n2+2024 D.以上都不对 (2)设命题p:Hx∈R,x2十ax十2<0，若p 的否定为真命题，则实数a的取值范围是 58 本章总结提升 专题五解一元二次不等式 专题六不等式的实际应用 1.对于不含参数的一元二次不等式首先转化 本专题主要涉及不等式的解法、基本不等式求 为标准形式，然后能分解因式的变成因式相乘的 最值，构建数学模型是关键，重，点培养数学建模和数 形式，从而得到不等式的解集。 学运算素养，不等式的应用题常以函数为背景，多是 2.对于含参数的不等式要注意对参数进行讨 解决现实生活、生产中的优化问题 论，做到不重不漏 【例6】某汽车厂上年度生产汽车的投入成本 3.掌握不等式的解法，重点提升逻辑推理和 为10万元/辆，出厂价为12万元/辆，年销售量为 数学运算素养 10000辆.本年度为适应市场需求，计划提高产品 【例5】解关于x的不等式x2-(a十a2)x+ 质量，适度增加投人成本，若每辆车投入成本增加 a3>0(a∈R) 的比例为x(0<x<1),则出厂价相应地提高比例 [课堂笔记] 为0.75.x,同时预计年销售量增加的比例为 0.6x.已知年利润=（出厂价一投入成本）×年销 售量. (1)写出本年度预计的年利润y(单位：万元) 与投入成本增加的比例x的关系式： (2)为使本年度的年利润比上年度有所增加， 缸规律方法对于含参数的一元二次不等式，若 则投人成本增加的比例x应在什么范围内？ 二次项系数为常数，则可先考虑分解因式，再对参数 [课堂笔记] 进行讨论：若不易分解因式，则可对判别式分类讨论， 分类要不重不漏 1变式训练5若一元二次不等式(1一a)· x2一4x+6>0的解集是{x|-3<x<1}. 4444444444444444 04444444444444444444444444444 44444 (1)解关于x的不等式(a-2)x2-x-t2十 t<0: (2)若一元二次不等式ax2+bx十3≥0的解 集为R,求b的取值范围. 59 数学「第一章预备知识 1变式训练61某居民小 北 ⊙易错易混·衔接高考 区欲在一块空地上建一面积为 1.(2024新高考I,1)已知集合A={x|-5< 1200m2的矩形停车场，停车 4 停车场 x3<5},B={-3,-1,0,2,3},则A∩B= 3 场的四周留有人行通道，设计 南 () 要求停车场外侧南北的人行通道宽3m,东西的 A.{-1,0} B.{2,3} 人行通道宽4m,如图所示（图中单位：m),问如 C.{-3,-1,0} D.{-1,0,2} 何设计停车场的边长，才能使人行通道占地面积 2.(2024·新高考Ⅱ，2)已知命题p:Vx∈R, 最小？最小面积是多少？ |x十1>1，命题q:3x>0,x3=x,则() A.p和q都是真命题 B.一p和g都是真命题 C.p和一q都是真命题 D.一p和一q都是真命题 3.(2023新高考Ⅱ，2)设集合A={0,-a},B {1,a-2,2a-2},若A≤B,则a=() A.2 B.1 c号 D.-1 4.若命题“Hx∈[一1,2]，m≤x2十1”是真命题， 则实数m的取值范围是() A.[1,+o∞) B.(-∞，2] C.(-∞，1] D.(-∞，5] 5.设x∈R,不等式x2-6x+5<0成立的一个充 分不必要条件是( A.{x|1<x<5】 B.(xx>0】 C.{x|x<4} D.{x|2≤x≤3 6.已知x>0,y>0,xy+2x-y=10,则x+y的 最小值为( A.22-1 B.22 C.42 D.42-1 60车可，心m的取值范周为mm<号}。 探究点四一元二次不等式的实际应用 6+10<, 400 【例4】解(1)由题意得 4<0+器<1n, 5<n<10, 将5<二95周为n∈N,所以n=o (2)由于制车距高不超过12.6m,即5≤126，所以器十 v 00≤12.6，因此v+24知-5040≤0，解得-84≤0≤60.因为 o0,所以0≤D≤60，即行驶的最大速度为60km/h 【变式探究】解由超意知5>25,65，即30+文 50t400>25.65,即 v2十24U-102600,解得v>90或v<-114.由于≥0，所以 该车当时的速度>90>80，因此该车超速行驶 ©学以致用·随堂检测促达标 1C不等式9>0等价于 (x+6)(1-x)≥0， 解 1一x≠0， 得一6x<1,故解集为{x|一6≤x<1}. 2,ABC“Vx<1,x2<1"的否定是“3x<1,x≥1”，故A 正璃：0，得x(一53]，则“x[一5”是不等式 0成主”的必要不充分条件，故B正确：一元二次不等式 ax-2x+c>0的解集为(-1,3，对-1+3=是-1X3= 台，所以a=1c=一3，经检验符合题意，a十c=-2,故C正 确，因为a>0,b>0,所以ab=a十b十3≥2b十3，当且仅当 a=b时取等号，即得（√ab)2-2√ab-3≥0，则（√ab- 3)(√ab+1)≥0，解得√ab≥3，即ab≥9，故D错误。 故选APC 3.D不等式4x2十ax十4>0的解集为R,.△= a一4×4×4<0，解得一8<a<8,.实数4的取值范围是 (一8,8)，故选D 4.一2，不等式ax十hx十2>0的解集是（一1,2），.方 程ax2+bx十2=0的两根为x1=一1，xg=2,则x1十x2= 合-1-名-2，解释a=-16=10-6=-2 5.解方程x2十(1一a)x一a=0的解为x1=一1，xg=a, 函数y-x十(1一a)x一a的图象开口向上，所以 当a<一1时，原不等式的解集为(xa<x<一1} 当a=一1时，原不等式的解集为☑： 3 当a>一1时，原不等式的解集为{x|一1<x<a. 本章总结提升 【专题突破·素养提升】 【例1】(1)-12：A={x|-1≤x≤2}，B={x|-1< x≤4}，C={x-3<x<2},,BUC={x-3<x≤4)，.A∩ (BUC)={x-1≤x≤2，a=-1,b=2. (2)解①当a=3时，集合A={x|x>10},集合B= (xx2-5.x十6>0}={xx<2,或x>3}, 所以A∩B=(x|x>10}. ②因为AUB=B,所以A二B,所以3a+1≥3，解得a≥ 号，所以实数a的取位范周为[号十)： 【变式训练1】解(1)当a=3时，集合A={x3<x<10), 所以AUB={x|1x<10}. (2)因为A∩B=A,所以A二B. 因为+1-a=(a-号)广+是>0，所以A≠0， a≥l, 所以 解得1≤a≤2，即实数a的取值范围为，2]. a2+15, 【例2】(1)AB由2x2>5+3x可得2x2-3x-5>0,解得 工>号或x<-1,故22>5十3x的一个充分不必要条件对应的 范国中为集合>营或x<-的一个真子集故选B (2)解：q是p的充分不必要条件，∴B年A, a<0 la<0, a的取位范周为a号<a<0,或a<-。 【变式训练2】(1)AA二B台a>4,而a>5→a>4,且 a>4不能推出a>5,所以“a>5”是“A二B”的充分不必要 条件 (2)解方程①有实数根的充要条件是△=16一4×4m≥0， 即m≤1，且m≠0. 方程②有实数根的充要条件是△=16m2一4(4m2 纵-5》≥0，m>月且m0-马6m<1,且m0 又m∈Z,m=一1或m=1 当m=一1时，方程①为x2十4x一4=0，无整数报，不满足 随意 当m=1时，方程①为x一4红十4=0，有整数根x=2,方 程②为x2-4z-5=0,有整数根x=一1或x=5,满足题意. 综上，方程①和②均有整数根的充要条件是m=1, 【例3】(1)C(2)B(1):命题“Vx∈R,x2-2x+1≥0”为 3 全称量词命题，.命题的否定为：3xER,x2一2x十1<0.故选C (2)命题p:Vx∈R,x2一2x十m≠0是真命题，则m≠ -(x2-2x),:-(x2-2x)=-(x-1)2+1≤1，∴m>1.故选B 【变式训练3】(1)C(2)R(1)存在量词命题的否定是全 称量词命题， (2)p的否定：3x∈R,x2十ax十2≥0为真命题，显然 aER. 【倒4】c(2)6(①是+=(2a+b)(日+ 会甲a=-号6一反-1时，等号成主小日+古的最小唯 是3+22. (2)周为x>1,所以+3-红-1》2+2红-1)+4- x-1 x-1 -D+马+2一1…高+2-4+2-6且收数 一1=一甲=3时取等号，所以告的最小值是6 【使式训练】36因为x>0,a>0,所以红>0，兰> 0,所以y=红+>2…是=4后，当且仅当红=是，即 x 上一号时，等号成主由题可知号-3，所以a=36 (2解①由日+方=1，得6十a=b,即cb一-b-a中1=1， .(a-1)(b-1)=ab-b-a+1=1. ②由0将(a-106-10=1,又a,b>0,则2>0，>0， +6-10<1.0<ga>16>1 a-1>0,6-1>0∴号+6名=4+。高+1+ 65+2×高=9，当且仅当a=36=号时，等号 成立，故妈十户的最小值为 【例5】解原不等式可化为(x一a)(x-a)>0. 当a<0时，a<a2,原不等式的解集为{xx<a,或x>a2): 当a=0时，a2=a,原不等式的解集为{xx≠0}： 当0<a<1时，a2<a,原不等式的解集为{x|x<a,或 x>a}: 当a=1时，a2=a,原不等式的解集为{xx≠1}： 当a>1时，a<a2,原不等式的解集为{zlx<a,或x>a. 综上所述，当a<0或a>1时，原不等式的解集为{x|x< a,或x>a2): 39 当0<a<1时，原不等式的解集为(xx<a2,或x>a: 当a=1时，原不等式的解集为{x|x≠1)： 当a=0时，原不等式的解集为{xx≠0. 【变式训练5】解(1)由题意知1一a<0,且一3和1是一元 1-a<0, 4 二次方程(1一a)x2-4红十6=0的两根，一a■一2，解得 6=-3 1- a=3.∴.(a-2)x2-x一t2+t<0即为x2-x-t2+t<0, 即(x一t)[x-(1-t)]<0, 令(x-)[x-(1-t)]=0,解得x1=t,x=1一t, “当1->1，即1<2时，不等式的解集为xx<1-小 当1-=4，即1=2时.(x）”0,不等式无解，解集为， 当1-t,即>2时，不等式的解集为x1-tx<。 (2)ax8十bx十3≥0即为3x2十bx十3≥0，若此不等式的解 集为R,则△=b2一4X3X3≤0，∴.一6≤b≤6，∴.b的取值范围 为[-6,61. 【例6】解(1)由题意得y=[12(1+0.75x)-10(1+x)]× 10000(1十0.6x)(0<x<1),整理得y=-6000x2+2000x十 20000(0<x<1). (2)要保证本年度的年利润比上年度有所增加， y-(12-10)×10000>0, 必须有 0<x<1, -6000.x2+2000x>0, l0<x<1, 解得0<宁 所以授入成本增加的比例工应在(0，了)的范围内 【变式训练6】解设矩形停车场南北方向边长为xm,则其 东西方向边长为1200 m,则人行通道占地面积为S=(x十 x 6(8+129）-120=8x+720+48≥28.72+ x 48=528,当且仅当8x=7200,即工=30时取等号，此时 无 120=40,所以矩形停车场的南北方向边长为30m,东西方向 边长为40m时，才能使人行通道占地面积最小，最小面积是 528m. 【易错易混·衔接高考】 1.A"A={x-5<x3<5}=〈x|-5<x<5},B= {-3,-1,0,2,3},又1<5<8=2，.-2<-5<-1， .A∩B=-1,0}. 2.B当x=0时，p不成立，当x=1时，q成立，故p很q 真，故选B 3.BA二B,.a一2=0或2a-2=0.若a-2=0,则 a=2,A={0,-2},B={1,0,2},显然A在B:若2a-2=0,则 a=1,A={0,-1),B={1,-1,0},A二B成立.故选B 4.C由“Vx∈[-1,2]，m≤x2+1”是真命题可知，不等 式m≤x2十1在x∈[-1,2]上恒成立，因此只需m≤(x2+ 1)x∈[-1,2]，易知函数y=x2+1在x∈[-1,2]上的最 小值为1，所以m≤1，即实数m的取值范国是（一∞，1]。 5.D解不等式x°一6x十5<0，得1<x<5,所以不等式 x”一6x十5<0成立的一个充分不必要条件，对应的范围应孩 是集合{x|1<x<5}的真子集.故选D, 6D周为x>0,y>0,由xy十2z一y=10,辩x=2,所 以x+y搜+2y+2-122g+0-1 8 8 42一1，当且仗 y十2)y十2即y=22-2时，等号成立.故 8 x十y的最小值为42-1. 第二章 函数 §1生活中的变量关系 §2函数 2.1函数概念 ○基础落实·必备知识一遍过 知识点1 2.难一确定 【思考辩析】 1.提示不一定.f:A→B为从集合A到集合B的一个函 数，则画数的值域C是集合B的子集，即C二B。 2.提示确定 【自主诊断】 1.(1)×(2)× 2.解定义域为A=(t10≤1≤26}，值域为B={h|0≤h≤ 845》.对应关系h=130一52把集合A中的任意一个数t,对 应到集合B中唯一确定的数1301一5t2. 3.解f:A→B是从集合A到暴合B的函数，定义城为 A={1,2,3,4,5},值城为{2,3,4,5}. 知识点2 【思考辨析】 提示定义域和值域都分别相同的两个函数，也不一定是同 一函数，因为函数的定义城和值城不能唯一地确定函数的对应 -3 关系，例如y=x十2和y=x就不是同一函数 【自主诊断】 1.(1)/(2)×(3)/ 2.解(1)不是同一个函数.因为前者的定义域为[0,26]，而 后者的定义域为R (②)不是同一个函数.因为前者的定义城为R,而后者的定 义域为(-∞，0)U(0,十∞). ⊙重难探究·能力素养速提升 探究点一函数关系的判断 【例1】(1)B(2)D(1)①错误，当x=2时，在N中无元 素与之对应：②正确，③错误，当x一2时，对应元素y一3任N； ④错误，当x一1时，在N中有两个元素与之对应 (2)根据函数的定义，对于D,对于集合A中的部分元素， 集合B中没有元素与它对应，故不正确。 【变式训练1】(1)B(2)D(1)A中的定义域不是[一2,2]，C 中图形不满足唯一性，D中的值城不是[0,2】故选B (2)只有y=x是符合题意的对应关系.故选D 探究点二求函数的定义域 【例2】解(1)要使函数有意义，自变量工的取值必须满足 z+2≠0，即 x≠-2， 解将x<0,且x≠一2. x一x≠0，|x≠x, 故函数的定义城为（一9，一2）U(一2,0). (2)要使函数有意义，自变量x的取值必须满足 4-x20,x4 即 故函数的定义城为(-∞，1)U(1,4]. x-1≠0，x≠1. x+10, 【变式训练2】解(1)因为函数有意义当且仅当 √x+1≠0， 解得x>一1，所以函数的定义城为（一1，十○）. x≠0， (2)因为函数有意义当且仅当 x+2≠0， 解得x≠0且x≠一2，因此函数的定义城为（一∞，一2）U (-2,0)U(0,+∞). 探究点三求抽象函数、复合函数的定义域 【例3】(-1,2) (2)(-1,5)(3)(0,6)(1)由 -1<2x+1<2,得-1<x<2, “f(2x十1)的定义城为(-1，号) (2)由一1<x<2,得一1<2x十1<5，∴f(x)的定义城为 (-1,5). (3)由(2)知f(x)的定义城为（一1,5），由一1<x一1<5， 得0<x<6,f(x一1)的定义城为(0,6). 【变式训练3】B因为函数f(x)的定义城为[一5,6]， 05