1.4.1 一元二次函数-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

5解设君+号-1a,6ENia十b=(a+b1=a+ (+)=1+9++≥10+2·要-16，收 当会-号年a=46=12时，等号减2， 即这两个数分别是4,12 §4一元二次函数与一元二次不等式 4.1。一元二次函数 ③基础落实·必备知识一遍过 知识点1 【自主诊断】 1.(1)√(2)× 2.y=一2(x十3)2十2可设新函数的解析式为y= a(x一h)2十k,由平移规律知h=一3，k=2,因为开口大小与方 向不变，故a=一2.所以新函数的解析式为y=一2(x十3)2+2 知识点2 【自主诊断】 1.Cy=一2(x+1)2十8的图象开口向下，所以当x=一1 时取最大值8，无最小值， 2,解(1)使y=3x2-6x十2的植等于0的x的取植集合 是已，3计}使y=3-6缸+2的位大于0的x的歌 值花周是{<3与我>3：使y=8-6r+2的 位小于0的的取维花周无<<3 3 (2)使y=25-x2的值等于0的x的取值集合是(-5,5}： 使y=25-x2的值大于0的x的取值范周是{x一5<x<5: 使y=25-x的值小于0的x的取值范围是{x|x<-5 或x>5}. (3)使y=x+6x十10的值等于0的x的取值集合是0： 使y=x2+6z十10的值大于0的x的取植范周是R: 使y=x2十6x+10的值小于0的x的取值范围是0. (4)使y=一3x2+12x一12的值等于0的x的取值集合是 {2}: 使y=一3z2+12x一12的值大于0的x的取值范围是0： 使y=一3x2十12x一12的值小于0的x的取值范围是 {xx≠2. ⊙重难探究·能力素养速提升 探究点一一元二次函数图象的平移变换 【例1】B批物线y=2(x一1)2+3顶点坐标为(1,3)， 抛物线y=2x2顶点坐标为(0,0)， 3 ,抛物线y=2(x一1)2十3可以看作由抛物线y=2x2向 右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的. 【使式调练】B指物线y一合-6+21=名红- 1 6)十3，它的顶点坐标是(6,3)，将其向左平移2个单位长度，弄 向上平移2个单位长度，得到新抛物线的顶点坐标(4,5)，所以 线的解析式是y=2(x 探究点二待定系数法求一元二次函数解析式 【例2】解(1)设所求一元二次函数的解析式为y=x2十 br+c(a≠0).将（一2,20），(1,2)，(3,0》分别代入解析式， 4a-2b+c=20, a=1, 得a+b+c=2,解得b=-5, 9a+3b+c=0, c=6, ,.所求一元二次函数的解析式为y=x2一5x十6. (2)一元二次函数图象的顶点坐标为（一1，一2），.设 元二次函数的解析式为y=a(x十1)2-2(a≠0).图象过点 (2,25),.a(2十1)2-2=25，解得a=3,.所桌一元二次西数 的解析式为y=3(x十1)2-2，即y=3x2+6x+1. 【变式训练2】解(1)（方法一）设一元二次函数的解析式为 y=ax十br十c(a≠0).将(1,4)，(-1,0)，(3,0)分别代入上 a十b十c=4, a=-1, 式，得a一b十c=0,解得b=2,y=-z2+2x十3. 9a+3b+c=0, c=3. (方法二)设一元二次函数的解析式为y=a(x十1)(x一3) (a≠0).将(1,4)代入上式，得a=-1, y=-(x十1)(x-3)=-x+2x+3. (2)(方法一)国为一元二次函数图象的对称轴方程是 x=一1，顶，点M到x轴的距离为2，所以项点的坐标为（一1,2） 或（一1，一2），故可得二次函数的解析式为y=a(x+1)2+2或 y=a(x十1)2-2.因为图象过点A(-3,0),所以0=a(-3+ D+2或0=a(-3+1D2-2,解得a=-或a=之， 就所泉二次画数的解桥式为y=一号（红十1）十2= 2-x+2我=红+10-2=2+红-是 (方法二)因为二次函数图象的对称轴方程为x=一1，图象过 点A(一3,0)，所以点A关于对称轴的对称，点A(1,0)也在图象上， 所以可得二次函数的解斯式为y=a(x十3)(x一1).由题意得顶，点 坐标为(-1,2》减（一1，一2》，分别代入上式，解得a=-2或a= 是：故所求二次函数的解新式为y=一十3)ú-1D= -x+2y-+30-D-+是 89 探究点三一元二次函数的性质及应用 【例3】解(1)因为y=2-3x-7=(x-名)广-，又因 为x∈N,所以当x=1或x=2时，函数值都等于-9且最小. (2)接画数因象的对称轴为直线x-号，所给区间[23]在 对称轴的右侧，又二次项系数为1>0，所以在[2,3]上该函数的 函数值随工的增大而增大，所以当x=2时，函数值最小，最小 值为一9，当x=3时函数值最大，最大值为一7. 【变式训练3】解y=一x+4x-2=-(x-2)2+2. (1)该岛数的图象开口向下，对称轴为直线x=2,故在区间 (一∞，2]上函数值y随自变量x的增大而增大，在区间 [2,十∞)上，函数值y随自变量x的增大而减小，函数值y在 x=2时取得最大值，最大值为2 (2)因为x∈[0,3]，画出函数图象， 如图所示 0123 由图可知，当x=2时，y取最大值， 最大值为2：当x=0时y取最小位，最 -2 小值为一2. 探究点四一元二次方程根的分布 【例4】解（方法一）设方程的两个根分别为x1,x2, 则x1十x2=-(m十2)，x1x2=3十m, 要使方程的两个根都小于3，则需 (4=(m+2)2-4(3十m)>0, m2-8>0, x13, 即(x1一3)(x2一3)>0， <3, x1-3十x1-3<0, (m8-8>0, 得x1x2一3(x1十x:)+9>0,将x1+x=-(m+2), x1十xg-6<0, 1:-3+m代入不等式组，得m>2厄或-号<m<-2厄。 即实数m的取值范国为（一号，-22）U22,十∞) (方法二)设一元二次方程x2十(m十2)x十3十m=0所对 应的一元二次函数为y=x2十(m十2)z十3十m,二次项系数为 1,函数图象开口向上.要使得方程x+(m十2)x十3十m=0的 2个根都小于3，也就是一元二次燕数y=x十(m十2)x十3十 m的图象与x轴的两个交点都在3的左侧，则雾 (m+2)2-4(3+m)>0, m+2∠3， 2 解得m>2流-号<m<-2E。 9+3(m十2)十3十m>0, 即实数m的取值范国为(-号，-22)U(2,厄，+o∞)， 【变式训练4】解设y=x2十(m十2)x十3十m=0,要使一 3 元二次方程x2十(m十2)x十3十m=0有两个根，且一根比3 yl-3<0, 小，另一根比4大，则 ylx-4<0, 9+(m+2)×3+3+m<0, 即 16+(m+2)×4+3+m<0 解得m<-号 中m的取值范调为(-©，一写)】 ©学以致用·随堂检测促达标 1.C配方，得y=-(x-1)2-4 所以当x=1时，y=一4. 2.B二次函数y=(x一m)(x一n)的图象与x轴交点的 横坐标为m,,将图象往上平移1个单位 长度可得出二次函数y=(x一m)(x一 n)》十1的图象，如图所示，由图可知m< a<b<n. 故选B 3D二次函数f(x)=4x一kx一8的图象开口向上，对 称柏为直线工一会， 当合≤6，甲k40时，fx)在[5,20]上单调递增： 当将≥20，即k≥160时，fx)在[5,20]上单调递减. 综上可知，k的取值范围为（一∞，40]U[160,+∞）. 故选D. 4,3令y=3,得x2-2x=3,解得 x=一1或x=3.作出函数的图象，由图可 知，的最大值为3. 5.解(1)设孩一元二次画数的解析式 y=a(x-2)(x-4), 将点(1,3)代入得3=(1一2)×(1一4)a,解得a=1, .y=(x-2)(x-4)=x-6x十8. (2),y=(x一3)2一1图象的对称轴为直线x=3, 与点(1,3)关于对称轴对称的点为(5,3)， 若1<b≤3时，y随着x的增大而减小， 则当x=1时，y取得最大值，为y=1一6十8=3， 当x=b时，y取得最小值，为y=b-6b十8： 若3<b≤5时，当x=1时，y取得最大值，为y=1-6十8=3， 当x=3时，y取得最小值，为y=9一18十8=一1： 若b>5时，当x=b时，y取得最大值，为y=b-6b十8， 当x=3时，y取得最小值，为y=9-18十8=一1. 综上，当1<6≤3时，y的最大值为3，最小值为b2一 6b十8： 当3<b5时，y的最大值为3，最小值为一1： 当b>5时，y的最大值为b2-66十8，最小值为-1.数学「第一章预备知识 §4一元二次函数与一元二次不等式 4.1一元二次函数 1熟练掌握一元二次函数一般形式和顶点形式 2.能利用配方法化一元二次函数一般式为顶点式， 学习目标 3.掌握一元二次函数y=a.x2到y=a(x一h)2+k的图象变换方法，并由一元二次函数图象得到 其相关性质。 基础落实·必备知识一遍过 知识点1一元二次函数的图象及其变换 图象的上下平移 L.通常把一元二次函数的图象叫作抛物线。 自主诊断 2.一元二次函数y=a(x一h)2十k的图象可 1.判断正误.（正确的画√，错误的画×） 以由y=a.x2的图象经过向左（或向右）平移h| (1)函数y=一(x一1)2+3的图象可由函数 “左杂右第” y=一x2的图象向右平移1个单位长度，再向 个单位长度，再向上（或向下）平移|个单位长 上平移3个单位长度而得到. () 度而得到 -“上和下减” (2)一元二次函数的图象是抛物线，开口可以向左 名师点睛 或向右. () 2.将一元二次函数y=一2x2的顶点移到（一3,2）， 一元二次函数y=a(x-h)”+k(a≠0)，a决定 开口大小与方向不变，得到的新函数的解析式为 了一元二次函数图象的开口大小及方向：h决定了一 元二次函数图象的左右平移；k决定了一元二次函数 知识点2一元二次函数的性质 续表 一元二次函数y=a(x一h)2十k(a≠0)的 类别 a>0 a<0 性质如下： 图象对 类别 a>0 a<0 称轴方 x=h x=h 程 y iA(h,k) 在区间（一∞，h]上，在区间（一∞，h]上， 图 函数 函数值y随自变量函数值y随自变量x 象 值的x的增大而减小；在的增大而增大；在区 A(h,) 变化区间[h,十oo)上，函间[h,十∞)上，函数 开口 趋势数值y随自变量x 值y随自变量x的增 向上 向下 方向 的增大而增大 大而减小 顶点 函数在x=h处有最函数在x=h处有最 (h,k) (h,k) 最值 坐标 小值，记作ym=k 大值，记作ymx=k 46 §4一元二次函数与一元二次不等式 名师点睛 (1)y=3x2-6.x+2; 二次函数的一般式与顶点式的互化依据： (2)y=25-x2: (3)y=x2+6.x+10; y=ar+c+c=a(c+2)广+a。 (a≠ Aa (4)y=-3x2+12x-12. 0).所以h=一 =facb b 、自主诊断 1.函数y=一2(x十1)2+8的最值情况是( A.最小值是8，无最大值 B.最大值是一2，无最小值 C,最大值是8，无最小值 D.最小值是一2，无最大值 2.(人教A版教材习题)当自变量x在什么范围取值 时，下列函数的值等于0？大于0？小于0？ 重难探究·能力素养速提升 探究点一一元二次函数图象的平移变换 【例1】抛物线y=2(x-一1)2十3可以看作是 粒规律方法一元二次函数图象平移问题的解题 由抛物线y=2x2经过以下哪种变换得到的 策略 ( A.向左平移1个单位长度，再向上平移3个 策略 要注意平移的方向，即由哪个函数变 换到另一个函数 单位长度 B.向右平移1个单位长度，再向上平移3个 策略口 将函数化为y=ax-h)+k(a≠0)的形式 单位长度 判定h与k的正负，利用“左加右 C.向左平移1个单位长度，再向下平移3个 策略三 减，上加下减”的规则判定平移的 方向和大小 单位长度 D.向右平移1个单位长度，再向下平移3个 1 单位长度 1变式训练1将抛物线y=2x2-6x+21 [课堂笔记] 向左平移2个单位长度后，再向上平移2个单位 长度，得到新抛物线的解析式为() Ay-u-82+5 By=-+5 1 C.y=2(x-8)》2+3 Dy=2u-40+3 47 数学第一章预备知识 探究点二待定系数法求一元二次函数解析式 【例2】用待定系数法求下列一元二次函数的 1变式训练2(1)已知一元二次函数的图象 解析式 过点(1,4)，且与x轴的交点为（一1,0）和(3,0)， (1)已知一元二次函数的图象过点（一2,20）， 求一元二次函数的解析式. (1,2),(3,0)； (2)已知一元二次函数y=a.x2+bx十c(a≠ (2)已知一元二次函数图象的顶点坐标为 0)的图象与x轴相交于点A(一3,0)，对称轴方程 (-1,-2),且图象过点(2,25)： 为x=一1，顶点M到x轴的距离为2，求此函数 [课堂笔记] 的解析式。 缸规律方法一元二次函数常见解析式的形式有 三种：一般式、顶点式、两根式.解题时合理地选择解 析式能起到事半功倍的效果.一般地，若已知函数图 象经过三点，常设一般式：若题目中给出顶点坐标、最 值、对称轴等信息，常考虑项点式：若题目中给出函数 图象与x轴的交点坐标，可设两根式 探究点三 一元二次函数的性质及应用 【例3】(1)求函数y-x2-3x-7(x∈N)的 1变式训练3已知函数y=一x2十4x一2. 最小值 (1)试述函数y的变化趋势及最大值或最 (2)在区间[2,3]上，求函数y=x2-3.x一7 小值： 的最大值与最小值， (2)若x∈[0,3]，求y的最大值和最小值 [课堂笔记] 规律方法求一元二次函数在闭区间上的最值 的方法 一看开口方向；二看对称轴和区间的相对位置， 简称“两看法”，只需作出一元二次函数相关部分的简 图，利用数形结合法就可以得到问题的解. 48 §4一元二次函数与一元二次不等式 探究点四 一元二次方程根的分布 【例4】已知一元二次方程x2+(m十2)x+ 续表 3十m=0的两个不相等的实数根都小于3，求实 根值 图象 条件 数m的取值范围， [课堂笔记] I1<m ayl-m<0, n<t ayl:-<0 注：y-k表示当x=k时，对应的函数值 1变式训练4若一元二次方程x2十(m十 2)x十3十m=0有两个根，且一根比3小，另一根 比4大，求参数m的取值范围. 包规律方法一元二次方程ax2+bx十c=0(a≠ 0)两根x1,x2(x1≠x2)的分布和二次函数y=Qx2十 bx十c(a≠0)图象的关系 根值 图象 条件 △>0， tI<k z1<k 4: b∠k 2a ayl>0 △>0， x1>k, x1>k a7 ayl>0 aylm>0, 02/ ay< n,p ayl-◆<0， I:q ayl>0 △>0， ayl-m>0, ayl->0. 本节要点归纳 m<一 b 1.知识清单： 2a (1)一元二次函数解析式的三种形式： (2)一元二次函数的图象及变换； ayl-<0 (3)一元二次函数的性质 2.方法归纳：配方法、数形结合、图象变换。 3.常见误区：易忽视一元二次函数的开口方向， 49 数学「第一章预备知识 学以致用·随堂检测促达标 1.一元二次函数y=一x2+2x一5有( 4.函数y=x2一2x,当-1≤x≤t时，该函数的最 A.最大值-5 B.最小值-5 大值为3，则实数t的最大值为 C.最大值一4 D.最小值一4 5.已知某一元二次函数的图象与x轴交于点 2.(2025陕西渭南高一阶段练习)已知m<n,函 A(2,0),B(4,0),且过点(1,3). 数y=(x一m)(x一n)+1的图象与x轴的交 (1)求此一元二次函数的解析式： 点横坐标为a,b,且a<b,则() (2)求当1≤x≤b(b>1)时该一元二次函数的 A.a<m<n<b B.m<a<b<n 最大值和最小值 C.a<b<m<n D.m<n<a<b 3.(2025安徽毫州高一期中)已知函数f(x)= 4x2一kx一8在[5,20]上具有单调性，则实数k 的取值范围为() A.(-,40)U(160,+∞) B.(-∞，20]U[80,+o∞) C.(-o∞，20)U(80,+∞) D.(-o∞，40]U[160,+∞) 4.2 一元二次不等式及其解法4.3一元二次不等式的应用 1.了解一元二次不等式的现实意义 学习目标 2.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式：并能用集合表示一元二次不等式的解集. 3.借助一元二次函数的图象，了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系 基础落实·必备知识一遍过 知识点1一元二次不等式的概念 2.一元二次不等式中的“二次”是指所要求解的未 知数的最高次数必须是2，且最高次项的系数不为0. 1.定义：一般地，形如ax2+bx+c>0,或 ax2+bx十c<0,或ax2+bx+c≥>0，或ax2+ 思考辨析 bx十c≤0（其中，x为未知数，a,b,c均为常数， 一元二次不等式的一般形式中“a≠0”可以省 且a≠0)的不等式叫作一元二次不等式 略吗？ 2.使一元二次不等式成立的所有未知数的值 组成的集合叫作这个一元二次不等式的解集 名师点睛 1.一元二次不等式中的“一元”是指不等式中所 要求解的未知数，并且这个未知数是唯一的，但这并 不是说不等式中不能含有其他字母，若含有其他字 母，则把其他字母看成常数 50