1.3.2 第2课时习题课基本不等式的应用-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

红≥2度.红=8w,高且仅音号=4红，即工=5时，等号成 立，当>0时，是+红的最小值为85。 （2:x<0->0号>0，-4>0， 2+(-≥2停-)=85， 当且仅当2-一红，即x=一5时，等号成立， 是+女<-8当0时，是+的漾大值为-8原. (3)x>0,a>0,4>0,2>0, +>2r…是=4wa, 当且仅当红=是，即a==36时，等号成立，a=36. 探究点三利用基本不等式证明不等式 【例3】证明(1)，a>0,b>0,c>0, .a+b≥2/ab>0,b+c≥2/6>0，c+a≥2wa>0. ∴.2(a+b+c)≥2（√ab+√c+/ca), 即a+b+c≥√ab+√bc+√ca. a,b,c为不全相等的正实数，.等号不成立. .a十b+e>√ab++√ca (2)a,b,c为正实数，且a十b十c=1, -1=1a_+≥2w a 同理可得号-12匹，1-1≥2画 由上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得（日-（合-1（任-≥2医.2匹.画 C &当且仅当a=b=c=号时，等号成立。 故（日-（合-）（任-1）≥8 【变式调练3】证明(1)周为a,b,c,d都是正数。 所以ab+cd≥2 abed,ae+bd≥2v√abed, 于是(ab+cd)(ac+bd)≥2√abcd·2 abcd=4abcd, 当且仅当ab=cd,且ac=bd时，等号成立 故(ab+cd)(ac+bd)≥4abd. ②)由于a+6=2.所以日+合=之a+b)(日+公）= (0+号+2)≥W会·号+2)-2 当且枚当经-分，即a=6时，等号成立，日+方≥2 3 ©学以致用·随堂检测促达标 1A南a>0,6>0,+6=则子+古=（经十 )×@+%=18+兽+号+20+2层×要-2，当 县收当曾-会中a=6宫时等号成主.故选入 2.A显然a=0不满足等式a-ab十1=0，所以a≠0，则 6-a+合所以1a+61-2a+-21a1+合≥ 22a·高=2E,当含2la-高时，卑多a=±号 1 时，等号成立，故a+b≥22，故A对，B错： a+0-a+(a+）》'=2a++2≥2a…+ 2=2+2,当且收当2如-时，即当4=士号时，等号成立， 即a2+b≥2√2+2，故C,D错. 故选A 3-1>0=+}-22 3=-1,当且仅当1=子，即1=1时，等号成立。 4后南5y+y=1,得=号(（号-y月 所以+-号·-号y+少-动+y之 2层-音当且收当动一音，中y小名-品时，等号 成立.所以x十y2的最小值为5 4 5.证明(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a十b)≥ 2√c·2√ac·2v√ab=8abc, 当且仅当b=6=a=子时，等号成立. 第2课时习题课基本不等式的应用 ©重难探究·能力素养速提升 探究点一利用基本不等式求函数和代数式的最值 【倒1-1解y=x+去-[【(-+2司]≤ -2-“2x云=-厄，当且仅当x=2红<0)， 1 工=一号时，等号减立，取最大值一厄。 2)y=3+x=x3+(x-3)+3≥ 23gG-3)+3-5,当且仅当g-3e>3,中 87 x=4时，等号成立，y取最小值5. (83y-a-a)-号×xa-3r号×[g-]- L 2 最声且仅当3江-1-3，中工一言时等号成立，少取展大位号 【变式训练1】D(方法-)：x≥号x-2>0,则 2"实5-[-2》+a]≥1，当且收当x-2 2x-4 工—2即x=3时，等号成立，此时取得最小值1， (方法二)冷2红-4=t,:x≥号≥1.∴x=2+2 原可化为台+-台+切5知 >2,√气·-1当且仅当片-，即1=2=3时，羊号 成立，此时取得最小值1 【例1-2】4“正数@6满足a+6=12+名=a+ 6(日+君)=2+总+8>2+2√层×吾=4，当里仅当 a=6=之时，等号成立心片十号的装小值为4 a 变式探究1因为a+b-a+b(品+)-号+（品十 a=b=号时，等号成立，所以a十b的最小值为1 【例1-】解由日+方-3，得a十6=3d,周为a+6≥ 2vab,所以3ab2≥2vab,即9(ab)≥4ab.因为a>0,b>0, 所以b>号当且仅当a=b=号时，等号减立， 故a函的取位范西是[台十） 【变式探究】解由2a十b十6=ab,可得2a十b=ab一6. 因为2a十b≥2√/2ab,所以ab-6≥2/2ab， 即ab-6≥22·√ab,因此ab-22·√ab-60, 解得b≥32或√ab≤-√2（舍去），即ab≥18，当且仅 当a=3,b=6时，等号成立.故ab的最小值为18. 探究点二利用基本不等式解决实际应用中的最值问题 【例2】解设矩形广告牌的宽为xcm,长为ycm,则每栏 的长和宽分到为c-20》cm.(）cmx>20,y>25),两栏 面软之0为26-20）.25=180，由光得)-180十 x-20 3 5广合降的面教S=y-(器+)-1终贤+ x-20 25x,整理得S=36000+25(x-20)+1850. x-20 z-20>0,∴S≥2√/3600g0×25(红-20)+18500=☐ 2450.当且仅当360000=25（红-20）时，等号成主，此时有 x-20 一20=1440，解得x=140,代入y-8028+25,得y= 175.即当x=140,y=175时，S取得最小值24500.故当广告牌 的宽为140cm,长为175m时，可使矩形广告掉的面积最小. 【变式训练2】解由题可知，水池的底面积为3200÷2= 1600(m).设池底长为xmx>0,则宽为160 m, 此地星选价为+1四）×212x2-4+760(元 池底造价为1600×15=24000（元）， 故总造价为48r+76800+24000(元). 周为48x+76800+2400≥2√48z.7680+240= x x 27840,当且仅当48z-7680,即工=40时取等号， 所以水池长宽都为40m时总造价最低，为27840元 学以致用·随堂检测促达标 1D0<x<2,2-x>0,y=2x(2-x)≤ 2(中号)'=2，当且仅当x=2-x,即x=1时等号成主 函数的最大值是2. 2D南已知2m十n=2,m>0,所以m>0,n>0十 吕@m+m(品+)=号(+织+)≥4：当且仅声 m=之m=1时，等号成立.故选D. 4=7时，等号成立. 4.21420设该蓄水池池底的一边长为x(0<x<49)m, 剥与演边相邻的一边长为望，设建造流着水地的总造价为y 元，则y-2(x+g）×3×150+49×180=90(x+2）+ 820因为十9>2，一夏=14.当且收当x-9,即红=1 时，等号成立，所以y≥21420，即建造该蓄水池的最低总造价 是21420元. 5解设君+号-1a,6ENia十b=(a+b1=a+ (+)=1+9++≥10+2·要-16，收 当会-号年a=46=12时，等号减2， 即这两个数分别是4,12 §4一元二次函数与一元二次不等式 4.1。一元二次函数 ③基础落实·必备知识一遍过 知识点1 【自主诊断】 1.(1)√(2)× 2.y=一2(x十3)2十2可设新函数的解析式为y= a(x一h)2十k,由平移规律知h=一3，k=2,因为开口大小与方 向不变，故a=一2.所以新函数的解析式为y=一2(x十3)2+2 知识点2 【自主诊断】 1.Cy=一2(x+1)2十8的图象开口向下，所以当x=一1 时取最大值8，无最小值， 2,解(1)使y=3x2-6x十2的植等于0的x的取植集合 是已，3计}使y=3-6缸+2的位大于0的x的歌 值花周是{<3与我>3：使y=8-6r+2的 位小于0的的取维花周无<<3 3 (2)使y=25-x2的值等于0的x的取值集合是(-5,5}： 使y=25-x2的值大于0的x的取值范周是{x一5<x<5: 使y=25-x的值小于0的x的取值范围是{x|x<-5 或x>5}. (3)使y=x+6x十10的值等于0的x的取值集合是0： 使y=x2+6z十10的值大于0的x的取植范周是R: 使y=x2十6x+10的值小于0的x的取值范围是0. (4)使y=一3x2+12x一12的值等于0的x的取值集合是 {2}: 使y=一3z2+12x一12的值大于0的x的取值范围是0： 使y=一3x2十12x一12的值小于0的x的取值范围是 {xx≠2. ⊙重难探究·能力素养速提升 探究点一一元二次函数图象的平移变换 【例1】B批物线y=2(x一1)2+3顶点坐标为(1,3)， 抛物线y=2x2顶点坐标为(0,0)， 3 ,抛物线y=2(x一1)2十3可以看作由抛物线y=2x2向 右平移1个单位长度，再向上平移3个单位长度得到的. 【使式调练】B指物线y一合-6+21=名红- 1 6)十3，它的顶点坐标是(6,3)，将其向左平移2个单位长度，弄 向上平移2个单位长度，得到新抛物线的顶点坐标(4,5)，所以 线的解析式是y=2(x 探究点二待定系数法求一元二次函数解析式 【例2】解(1)设所求一元二次函数的解析式为y=x2十 br+c(a≠0).将（一2,20），(1,2)，(3,0》分别代入解析式， 4a-2b+c=20, a=1, 得a+b+c=2,解得b=-5, 9a+3b+c=0, c=6, ,.所求一元二次函数的解析式为y=x2一5x十6. (2)一元二次函数图象的顶点坐标为（一1，一2），.设 元二次函数的解析式为y=a(x十1)2-2(a≠0).图象过点 (2,25),.a(2十1)2-2=25，解得a=3,.所桌一元二次西数 的解析式为y=3(x十1)2-2，即y=3x2+6x+1. 【变式训练2】解(1)（方法一）设一元二次函数的解析式为 y=ax十br十c(a≠0).将(1,4)，(-1,0)，(3,0)分别代入上 a十b十c=4, a=-1, 式，得a一b十c=0,解得b=2,y=-z2+2x十3. 9a+3b+c=0, c=3. (方法二)设一元二次函数的解析式为y=a(x十1)(x一3) (a≠0).将(1,4)代入上式，得a=-1, y=-(x十1)(x-3)=-x+2x+3. (2)(方法一)国为一元二次函数图象的对称轴方程是 x=一1，顶，点M到x轴的距离为2，所以项点的坐标为（一1,2） 或（一1，一2），故可得二次函数的解析式为y=a(x+1)2+2或 y=a(x十1)2-2.因为图象过点A(-3,0),所以0=a(-3+ D+2或0=a(-3+1D2-2,解得a=-或a=之， 就所泉二次画数的解桥式为y=一号（红十1）十2= 2-x+2我=红+10-2=2+红-是 (方法二)因为二次函数图象的对称轴方程为x=一1，图象过 点A(一3,0)，所以点A关于对称轴的对称，点A(1,0)也在图象上， 所以可得二次函数的解斯式为y=a(x十3)(x一1).由题意得顶，点 坐标为(-1,2》减（一1，一2》，分别代入上式，解得a=-2或a= 是：故所求二次函数的解新式为y=一十3)ú-1D= -x+2y-+30-D-+是 89数学「第一章预备知识 第2课时 习题课 重难探究·能力素养速提升 探究点一利用基本不 角度1通过变形后应用基本不等式求最值 【例1一1】求下列函数的最值，并求出相应的 x值 y=x+2<0: (2)y= x-3+x(x>3): (3)y=x1-3x)(0<x<3). [课堂笔记] 规律方法利用基本不等式求最值的关健是获 得定值条件.解题时应对照已知条件和欲求的式子， 运用适当的“拆项、添项、配凑、变形”等方法创设使用 基本不等式的条件，具体可以归纳为：一不正，用其相 反数，改变不等号方向：二不定，应凑出定和或定积； 三不等，一般需用其他方法，如尝试利用函数的单调 性（在第二章学习）」 1支式训练1已知≥号则“有 A最大值 B最小值 C.最大值1 D.最小值1 角度2应用“1”的代换转化为基本不等式求 最值 【例1一2】已知正数a,b满足a十b=1,则 +方的最小值为 ·44 基本不等式的应用 等式求函数和代数式的最值 [课堂笔记] I变式探究将本例反过来，已知正数a,b满 足+号-4则十6的最小值为 缸规律方法在利用基本不等式求最值时，常用的 技巧就是“1”的代换，其目的是借助“1”将所求式子的 结构进行调整，优化到能够利用基本不等式求解为止， 角度3含有多个变量的条件的最值问题 【例1-3】已知正数a,6满足君+方-3，求 ab的取值范围. [课堂笔记] 小 I变式探究本例中，若将条件改为“正数a, b满足2a十b十6=ab”,求ab的最小值. 规律方法含有多个变量的条件最值问题，一 般方法是采取减少变量的个效，将问题转化为只含有 一个变量的函数的最值问题进行解决：如果条件等式 中，含有两个变量的和与积的形式，还可以直接利用 基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过 解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利 用根的分布解决问题 探究点二利用基本不等： 【例2】如图，要设计 张矩形广告牌，该广告牌含 有大小相等的左右两个矩 形栏目（如图中阴影部分），这两栏的面积之和为 18000cm2,四周空白的宽度为10cm,两栏之间 的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告牌的长 与宽的尺寸（单位：cm),能使矩形广告牌面积 最小？ [课堂笔记] 规律方法求实际问题中最值的一般思路：(1)先 读懂题意，设出变量，理清思路，列出函数关系式 (2)把实际问题抽象成函数的最值问题(3)在定义域 内，求函数的最值时，一般先考虑用基本不等式，当用 基本不等式求最值的条件不具备时，再考虑函数的单 调性（单调性在第二章学习）.(4)正确写出答案. 学以致用·随堂检测促达标 1.函数y=2x(2-x)(其中0<x<2)的最大值 是() 1 .2 C.1 D.2 2.已知实数m,n满足2m十n=2,其中mn>0, 则二+2的最小值为( ) m A.12 B.8 C.6 D.4 3.已知x>0,y>0,且x十4y=1,则xy的最大 值为 4.(2025陕西西安高一期末)某工厂要建造一个 长方体形无盖蓄水池，其底面积为49m2,深 3m.若池底每平方米的造价为180元，池壁每 平方米的造价为150元，则建造该蓄水池的最 低总造价是 元. $3不等式， 式解决实际应用中的最值问题 【变式训练2某养殖场要建造一个长方体 无盖养殖水池，其容积为3200m3,深为2m.已 知池底每平方米的造价为15元，池壁每平方米的 造价为12元，那么怎样设计水池能使总造价最 低？最低总造价是多少？ 本节要点归纳 1.知识清单： (1)“和定积最大，积定和最小”； (2)求解应用题的方法与步骤： ①审题，②建模（列式），③解模，④作答. 2.方法归纳：配凑法、常值代换法。 3.常见误区：缺少等号成立的条件。 5.在下面等号右侧两个分数的分母方块处，各填 上一个正整数，并且使这两个正整数的和最小， 1+吕，试求这两个数 45.