1.3.2 第1课时基本不等式-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

数学「第一章预备知识 学以致用·随堂检测促达标 1.(2025江苏南通高一月考)若a>b>0,则下列 不等式一定成立的是( ) 4已知。>b>0<d<0求证月<语 A66+1 "aa+1 Ba+>6+号 a ca-&>b-8 D.2atba a a+2bb 2.(x+5)(x+7) (x十6)2.（填“>”“<” “≥”或“≤”) 3.已知1≤a≤2,3≤b≤6，则3a-2b的取值范围 为 3.2基本不等式 第1课时基本不等式 1理解基本不等式“士中≥瓜a>≥0,6>0。 学习目标 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题. 3.能运用基本不等式证明不等式及解决简单的实际问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1基本不等式 名师点晴 L基本不等式：设≥0,6≥0，那么士> 1.基本不等式的条件是a,b都是非负实数，当 且仅当a=b时，等号成立，即“a=b”是ab 2 ab,当且仅当a=b时，等号成立.这个不等式 √ab”的充要条件. 称为基本不等式，其中，兰称为。，6的算术平 2.基本不等式的变形公式：①a十b≥2√b,ab≤ 均值√ab称为a,b的几何平均值.因此基本不 (色生)（当且仅当a=6时，等号成主）：@如+>2 等式又称为均值不等式. 不司急感此秦你 (a∈R4)(当且仅当a=1时，等号成立)，⑤号十 2.基本不等式可以表述为：两个非负实数的 ≥2(a,b同号)（当且仅当a=b时，等号成立）. a 算术平均值大于或等于它们的几何平均值 3.基本不等式的几何解释：在同一个圆中， 3.由公式a+≥2b及中≥b,可得 半径大于或等于半弦. 学 2 40 §3不等式 思考辨析 自主诊断 1.已知a+b2≥2ab(当且仅当a=b时，等号成 1.判断正误.（正确的画√，错误的画×） 立).如果a>0,b>0,我们用√a,Wb分别代替不等式 1若a*0,则a+片2a=-4 ( 中的a,b,可得到什么形式？ a a (2)对于任意a,b∈R,a2+b2≥2ab. ( （③当eN时a+号>2E 2.(人救A版教材习题)已知a,b∈R,求证：ab≤ ( 2.基本不等式中4，b只能是具体的某个数吗？ 444444 知识点2利用基本不等式求最值 3(人教B版教材习题)已知x>0,求y=z+2的 当x,y均为正数时，下面的命题均成立： 最小值，并说明x为何值时y取得最小值 (1)若x+y=s(s为定值)，则当且仅当 )时，y取得最大值 (2)若xy=p(p为定值)，则当且仅当x= y时，x十y取得最小值2√p. 名师点睛) 1.上述的结论也叫作最值定理，语言描述为： (1)两个正数的和为常数时，它们的积有最大值： (2)两个正数的积为常数时，它们的和有最小值， 可简记为“和定积最大，积定和最小” 4.(人教A版教材习题)已知-1≤x≤1，求1一x”的 2.应用上迷结论时要注意以下三点：(1)各项或 最大值 各因式均为正：(2)和或积为定值：(3)各项或各因式 能取得相等的值.即“一正二定三相等” 、自主诊断 1.判断正误.（正确的画√，错误的画×） ①函数y十异与的最小值为2-1（ (2)若xy=4,则x十y的最小值为4.( (3)若x>0,y>0,且x十y=2,则2xy的最大值 为1. () 2.已知x>0,y>0,且x十y=10,则xy的最大值为 41 数学「第一章预备知识 重难探究·能力素养速提升 探究点一对基本不等式的理解 【例1】（多选题）若a,b∈R,且ab>0,则下 巡规律方法应用基本不等式时的注意点 列不等式中，不成立的是() (1)各项或各因式均为正： A.a2+62>2ab B.a+b≥2ab (2)和或积为定值： +后 n+2 (3)各项或各因式能取得相等的值.即“一正二定 三相等” [课堂笔记] 1变式训练1下列结论不成立的是( A.若a,b∈R,则a10+b1o≥2a5b 且若x0,则+>2 C若号+名>2，则必有a>0.6>0 D.若a∈R,则有a2+9≥6a 探究点二 利用基本不等式求最值 【例2】1)已知>0，则+x的最小值为 1变式训练210当x>0时，求品+红的 ( 最小值； A.6 B.5 C.4 D.3 (2)当x<0时，求2+4红的最大值； (2)已知a>0,b>0,且ab=1,则a+4b的 最小值为 (3)已知4z+4(x>0,a>0)在x=3时取 [课堂笔记] 得最小值，求a的值. 规律方法利用基本不等式求最值时的注意点 一是各项均为正数：二是寻求定值，求和式最小 值时应使积为定值，求积式最大值时应使和为定值 (恰当变形，合理拆分项或配凑因式是常用的解题技 巧)；三是检脸是否具备等号成立的条件。 探究点三八 利用基本不等式证明不等式 【例3】(1)已知a,b,c为不全相等的正实数， 证.（日-（哈-1是-≥8 求证：a+b+c>√ab+√bc+√ca. (2)已知a,b,c为正实数，且a十b十c=1,求 [课堂笔记] 42 §3不等式 I变式训练3(1)已知a,b,c,d都是正数，求 证：(ab+cd)(ac+bd)≥4abcd. (2)已知a>0,6>0,且a+b=2,求证，+ 2 。规律方法利用基本不等式证明不等式的注意 事项 (1)利用基本不等式证明不等式，关键是所证不 等式中必须有和式或积式，通过将和式转化为积式或 本节要点归纳 将积式转化为和式，从而达到放缩的目的。 1.知识清单： (2)注意多次运用基本不等式时等号能否取到. (1)三个不等式：a2+b2≥2ab(a,b∈R), (3)解题时要注意技巧，当不能直接利用基本不 等式时，可将原不等式进行组合、构造，以满足能使用 a士一da,b都是非负数)h≤（士曾）'a, 2 基本不等式的形式 b∈R): (4)在证明不等式的过程中，注意充分利用“1”的 (2)“和定积最大，积定和最小” 代换，即把常数1替换为已知的式子，然后经过整理 2.方法归纳：配凑法，常值代换法 后再利用基本不等式进行证明. 3.常见误区：注意等号成立的条件 学以致用·随堂检测促达标 1.(2025贵州黔南高一联考)已知a>0,b>0, 5.已知a,b,c为正数，且a+b十c=1,证明： 3a+b=2则2+方的最小值为( (1-a)(1-b)(1-c)≥8abc. A.32 B.24 C.16 D.8 2.(2025北京高一开学考试)若Va,b∈R都有 a2-ab+1=0恒成立，则( A.la+b|≥2 B.la+b|≤3 C.a2+b2≤4 D.a2+b2≥5 已知>0，则+中的最小值为 t 4.已知5x2y2+y=1(x,y∈R),则x2+y2的 最小值是 43”-4长a-6长-1号≤-号a-6)< ① ”-14a-65-号号a-6<号 ② 由004，-1K-号a-b)+号a-b)20, 即-1≤9a-b≤20. 故9a一6的取值范围为[-1,20]. ⊙学以致用·随堂检测促达标 10对子A若a=1,6=名则有-=合出 计-是北时经<长A错瑞对于香。-1b 有a+-1+1=2,6+-号+2=此时a十日< 6+片，故B错误：对于C(a-合)-(6-号)-a-6)+ 号-名-a-6)+a-20a+0.由a>6>0,故。-6>0. ab a+b>0ab>0,故(a-）-(b-号)>0，即a-2>b-号 故C正确对于D,若4=1,6=号，则2a+=T2=5,及 。+261+=46 上-2此时款号，D错民故选C 2.<(x十5)(x十7)-(x十6)2=x2十12x十35-(x2十 12x十36)=-1<0，所以(x+5)(x+7)<(x十6). 3.[-9,0]1≤a≤2,3≤b≤6，.3≤3a≤6，-12≤ -2b≤-6，由不等式的性质得-9≤3a-2b≤0，即3a-2b的 取值范图为[-9,0]. 4证明e<d<0->-d>0.∴0-<- 又>6>0-号>-名>0 层>授->- 两边网来-1，吊沿<招 3.2基本不等式 第1课时基本不等式 ⊙基础落实·必备知识一遍过 知识点1 【思考辨析】 1.提示得到a+b≥2√ad. 2.提示a,b既可以是具体的某个数，也可以是代数式. 3 【自主诊断】 1.(1)×(2)/(3)/ 2证明因为（生）'-山=+2+-6 4 。-2+_a》≥0.所以(e告）'≥b, 4 4 甲c(e生 知识点2 【自主诊断】 1.(1)√(2)×(3)× 2.25x>0,y>0,x+y=10,.当且仅当x=y=5时， xy取得最大值红+y) 4 =25. 3解：x>0,3>0.又x·3=3, x y的装小值为22，三-25，高且仅当= x 即x=√时y取得最小值。 4.解当x=土1时，1一x=0. 当一1<x<1时，1一x>0,1+x>0, 所以1-x2=1+x)1-x)≤「1+z)+0-2门 =1, 2 当且仅当1十x=1一x,即x=0时，等号成立， 所以1一x的最大值为1，此时x=0. ⊙重难探究·能力素养速提升 探究点一对基本不等式的理解 【例1】ABC对Ha,b∈R,a2十b2≥2ab,故A错误：当 a<0,6<0时，选项B.C错误：国为ab>0,所以日>0，号>0， 所以会+号≥2层·号-2显收海会-号中a=6时， 等号成立，故D正确.故选ABC 【变式训练1C由基本不等式可知，若号+名>≥2成立， 则有分>0，经>0，周先a>0,b>0或a<0,6<0,故C不正 确其他选项均正确。 探究点二利用基本不等式求最值 【例2】1)A(24(1):x>0,9>0,9+x≥ 无 号=6，当且仅当x=是即工=3时，等号成立，故选A (2)因为a>0,b>0,且ab=1,所以a十4b≥2√4ab=4,当 且仅当a=46,即a=26=之时，等号减主 【变式训练2】解1)：x>0,2>0,4x>0,2+ 红≥2度.红=8w,高且仅音号=4红，即工=5时，等号成 立，当>0时，是+红的最小值为85。 （2:x<0->0号>0，-4>0， 2+(-≥2停-)=85， 当且仅当2-一红，即x=一5时，等号成立， 是+女<-8当0时，是+的漾大值为-8原. (3)x>0,a>0,4>0,2>0, +>2r…是=4wa, 当且仅当红=是，即a==36时，等号成立，a=36. 探究点三利用基本不等式证明不等式 【例3】证明(1)，a>0,b>0,c>0, .a+b≥2/ab>0,b+c≥2/6>0，c+a≥2wa>0. ∴.2(a+b+c)≥2（√ab+√c+/ca), 即a+b+c≥√ab+√bc+√ca. a,b,c为不全相等的正实数，.等号不成立. .a十b+e>√ab++√ca (2)a,b,c为正实数，且a十b十c=1, -1=1a_+≥2w a 同理可得号-12匹，1-1≥2画 由上述三个不等式两边均为正，分别相乘， 得（日-（合-1（任-≥2医.2匹.画 C &当且仅当a=b=c=号时，等号成立。 故（日-（合-）（任-1）≥8 【变式调练3】证明(1)周为a,b,c,d都是正数。 所以ab+cd≥2 abed,ae+bd≥2v√abed, 于是(ab+cd)(ac+bd)≥2√abcd·2 abcd=4abcd, 当且仅当ab=cd,且ac=bd时，等号成立 故(ab+cd)(ac+bd)≥4abd. ②)由于a+6=2.所以日+合=之a+b)(日+公）= (0+号+2)≥W会·号+2)-2 当且枚当经-分，即a=6时，等号成立，日+方≥2 3 ©学以致用·随堂检测促达标 1A南a>0,6>0,+6=则子+古=（经十 )×@+%=18+兽+号+20+2层×要-2，当 县收当曾-会中a=6宫时等号成主.故选入 2.A显然a=0不满足等式a-ab十1=0，所以a≠0，则 6-a+合所以1a+61-2a+-21a1+合≥ 22a·高=2E,当含2la-高时，卑多a=±号 1 时，等号成立，故a+b≥22，故A对，B错： a+0-a+(a+）》'=2a++2≥2a…+ 2=2+2,当且收当2如-时，即当4=士号时，等号成立， 即a2+b≥2√2+2，故C,D错. 故选A 3-1>0=+}-22 3=-1,当且仅当1=子，即1=1时，等号成立。 4后南5y+y=1,得=号(（号-y月 所以+-号·-号y+少-动+y之 2层-音当且收当动一音，中y小名-品时，等号 成立.所以x十y2的最小值为5 4 5.证明(1-a)(1-b)(1-c)=(b+c)(a+c)(a十b)≥ 2√c·2√ac·2v√ab=8abc, 当且仅当b=6=a=子时，等号成立. 第2课时习题课基本不等式的应用 ©重难探究·能力素养速提升 探究点一利用基本不等式求函数和代数式的最值 【倒1-1解y=x+去-[【(-+2司]≤ -2-“2x云=-厄，当且仅当x=2红<0)， 1 工=一号时，等号减立，取最大值一厄。 2)y=3+x=x3+(x-3)+3≥ 23gG-3)+3-5,当且仅当g-3e>3,中 87