3.2基本不等式（题型专练）数学北师大版必修第一册

3.2基本不等式 题型一：基本不等式的公式 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 2．设，则下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 3．下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 4．已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（ ） A． B． C． D． 题型二：公式的直接应用 1．已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C．1 D． 2．若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知，则的最大值为（ ） A． B． C． D．1 4．若正实数，满足，则的最小值为（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 题型三：凑项 1．已知，则的最小值是（ ） A． B．1 C．4 D．7 2．若函数在处取最小值，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．2或4 3．已知，则的最大值为（ ） A． B．0 C．4 D． 4．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 题型四：凑系数 1．已知，求的最大值为（ ） A． B． C． D． 2．已知，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 3．已知，则的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 题型五：分离或裂项 1．函数的最小值是（ ） A． B．3 C．6 D．12 2．函数在上的最小值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 3．设，则（ ） A． B． C． D． 4．当时，函数的最大值为____________________． 题型六：常数代换 1．已知且，则的最小值为（ ） A． B．8 C．9 D．10 2．已知，，且，则的最小值为（ ） A．12 B．9 C．8 D．6 3．已知，且，则的最小值是（ ） A．49 B．50 C．51 D．52 4．已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A． B． C．1 D．2 5．已知实数x满足，则的最小值为（ ） A．9 B．18 C．27 D．36 题型七：消元 1．已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 2．若实数满足，则（ ） A． B． C． D． 3．已知（），则的最小值为（ ） A． B． C． D． 4．若正数a，b满足，则的最小值是（ ） A．15 B．18 C．24 D．36 题型八：构建目标不等式 1．已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C． D．6 2．已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 3．（多选）下列说法正确的有（ ） A．的最小值为2 B．已知，则的最小值为 C．若正数为实数，若，则的最小值为3 D．设为实数，若，则的最大值为 4．（多选）下列说法正确的有（ ） A．的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数、为实数，若，则的最大值为 D．设、为实数，若，则的最大值 题型一：常数代换（恒成立） 1．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B．，或 C． D．，或 2．若，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 3．已知，，且.若不等式恒成立，则的最大值为_______________. 4．已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是______________． 题型二：基本不等式综合应用 1．设非负实数满足，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值是 B．的最大值是1 C．的最小值是4 D．的最小值是4 2．（多选）若正数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A．ab有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最小值 3．（多选）已知为正实数，，则（ ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最小值为 D．的最小值为 4．（多选）已知a，b为正实数，，则下列叙述正确的是（ ） A．的最小值为8 B．的最小值为12 C．的最小值为 D．的最小值为20 1．“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 2．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案是每次均加30升的燃油，第二种方案是每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ） A．采用第一种方案更划算 B．采用第二种方案更划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案更划算 3．一家商店用一架两边臂不等长的天平称黄金，一位顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；再将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后交给顾客，则商店在销售后（ ） A．黄金少给了 B．黄金刚好 C．黄金多给了 D．与砝码放置顺序有关 4．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 5．如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 8 / 8 学科网（北京）股份有限公司 $$ 3.2基本不等式 题型一：基本不等式的公式 1．已知，则（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】由基本不等式结合特例即可判断. 【详解】对于A,当时，，故A错误； 对于BD，取，此时， ，故BD错误； 对于C，由基本不等式可得，故C正确. 故选：C. 2．设，则下列不等式中正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用不等式的性质，结合基本不等式比较大小. 【详解】由，得，则， 又，则，所以. 故选：B 3．下列不等式恒成立的是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】利用基本不等式判断AB；举例说明判断CD. 【详解】对于A，，A正确； 对于B，，B错误； 对于C，取，，C错误； 对于D，取，，D错误. 故选：A 4．已知、为互不相等的正实数，下列四个数中最大的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用重要不等式可得出四个选项中各数的大小. 【详解】因为、为互不相等的正实数， 所以由重要不等式可得，则， 所以，，则， 由基本不等式可得，所以， 因此，最大的数为. 故选：C. 题型二：公式的直接应用 1．已知，，且，则的最大值为（ ） A． B． C．1 D． 【答案】A 【分析】根据基本不等式即可求得的最大值. 【详解】因为，， 根据基本不等式可得，所以. 当时，取最大值. 故选：A. 2．若，则的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【详解】当时，，当且仅当，即时取等号；当时，，当且仅当，即时取等号．故当时，的取值范围是． 3．已知，则的最大值为（ ） A． B． C． D．1 【答案】A 【分析】利用基本不等式直接求解即可. 【详解】因为，所以， 由基本不等式得， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最大值为. 故选：A 4．若正实数，满足，则的最小值为（ ） A．16 B．8 C．4 D．2 【答案】A 【分析】根据题意，基本不等式：，即可求解. 【详解】因为正实数，满足，所以，所以，当且仅当，即，时等号成立． 故选：A. 题型三：凑项 1．已知，则的最小值是（ ） A． B．1 C．4 D．7 【答案】A 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】由，得，则， 当且仅当，即时取等号，所以的最小值是. 故选：A 2．若函数在处取最小值，则（ ） A．1 B．2 C．4 D．2或4 【答案】B 【分析】利用基本不等式计算可得. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时取等号， 所以，解得. 故选：B 3．已知，则的最大值为（ ） A． B．0 C．4 D． 【答案】D 【分析】将原式变形，再结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【详解】因为，则，所以， ， 当且仅当时，即时，等号成立， 所以的最大值为. 故选：D 4．已知不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】变换得到，计算得到答案. 【详解】不等式恒成，即， ， 当且仅当，即时等号成立，故. 故选：. 题型四：凑系数 1．已知，求的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】利用配凑法，结合基本不等式即可得解. 【详解】因为，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 因此取到最大值． 故选：B. 2．已知，则的最大值为（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式的配凑法求解即可. 【详解】因为，所以， ， 当且仅当时取等号， 所以最大值为. 故选：A 3．已知，则的最小值是（ ） A．2 B．3 C．4 D．5 【答案】C 【分析】将拼凑成，再结合基本不等式即可求解. 【详解】原式变形可得，由得， 所以 ， 当且仅当即时取等号； 所以. 故选：C 题型五：分离或裂项 1．函数的最小值是（ ） A． B．3 C．6 D．12 【答案】A 【分析】由基本不等式求解， 【详解】 因为所以，(当且仅当即时，等号成立 故最小值为， 故选：A 2．函数在上的最小值是（ ） A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】C 【分析】由换元法设，再根据基本不等式即可求解． 【详解】设， 则，当且仅当时等号成立， 所以在上的最小值是， 故选：C． 3．设，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】对变形后，利用基本不等式求解. 【详解】，则， ， 当且仅当时，等号成立，则. 故选：D. 4．当时，函数的最大值为____________________． 【答案】3 【分析】根据题意，化简得到，结合基本不等式，即可求解. 【详解】由， 当且仅当，即时等号成立，所以． 故答案为：. 题型六：常数代换 1．已知且，则的最小值为（ ） A． B．8 C．9 D．10 【答案】C 【分析】根据基本不等式即可求解. 【详解】因为，所以， 当且仅当，即，时等号成立. 故选：C. 2．已知，，且，则的最小值为（ ） A．12 B．9 C．8 D．6 【答案】C 【分析】将变形为，再借助乘“1”法，利用基本不等式，即可求出的最小值. 【详解】因为，，，所以， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为8. 故选：C 3．已知，且，则的最小值是（ ） A．49 B．50 C．51 D．52 【答案】A 【分析】利用基本不等式“1”的妙用方法计算可得. 【详解】因为，且， 所以， 当且仅当，即，时取等号. 故选：A 4．已知实数，，满足，则的最小值是（ ） A． B． C．1 D．2 【答案】C 【分析】变形得到，由基本不等式“1”的妙用求出最小值. 【详解】实数，，满足，故， 即， 故 ， 当且仅当，即时，等号成立， 故的最小值为1. 故选：C 5．已知实数x满足，则的最小值为（ ） A．9 B．18 C．27 D．36 【答案】C 【分析】利用，结合基本不等式求和的最小值. 【详解】因为，所以， 所以 ， 当且仅当，即时取等号. 故选：C 题型七：消元 1．已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据题意分析可知，代入化简后利用基本不等式即可求解. 【详解】因为正实数，满足，则， 则， 当且仅当，即时，等号成立，所以的最小值为. 故选：C. 2．若实数满足，则（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】首先表示，再根据选项代入，结合基本不等式，即可判断. 【详解】由条件可知，，， 所以，当时，即时等号成立，故AB错误； ， 当，即时，等号成立， 所以，故C错误，D正确. 故选：D 3．已知（），则的最小值为（ ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】将变形为，再利用基本不等式求解即可. 【详解】，， ， 当且仅当即时，等号成立， 此时取到最小值． 故选：B． 4．若正数a，b满足，则的最小值是（ ） A．15 B．18 C．24 D．36 【答案】B 【分析】由条件得，还原利用基本不等式求的最小值. 【详解】由，得， 则， ∴， 当且仅当，即时等号成立． ∴的最小值是18. 故选：B 题型八：构建目标不等式 1．已知正实数，满足，则的最小值为（ ） A．2 B．4 C． D．6 【答案】B 【分析】将条件等式通过基本不等式转化为关于的一元二次不等式的形式，由此可求结果. 【详解】因为，所以， 所以，所以，且， 所以或（舍去），当且仅当时取等号， 所以的最小值为， 故选：B. 2．已知，，且，则下列说法正确的是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】利用基本不等式求最值. 【详解】对于A：由，得，当且仅当时，等号成立， ，解得，即，故A不正确； 对于B：由，得，当且仅当时，等号成立， 即，解得，或（舍去），故B错误； 对于C：， 令，，即，故C正确； 对于D，，令，，即，故D不正确， 故选：C． 3．（多选）下列说法正确的有（ ） A．的最小值为2 B．已知，则的最小值为 C．若正数为实数，若，则的最小值为3 D．设为实数，若，则的最大值为 【答案】BCD 【分析】分别通过拆分、配凑、“1”的代换、配方等方法，利用基本（重要常用）不等式求解判断各选项. 【详解】A选项：， 当时，，当且仅当，即时取等号； 当时，，即， 当且仅当，即时取等号； 综上所述，即无最小值，A选项错误； B选项：时，， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，B选项正确； C选项：由，，，即， 所以， 当且仅当，即时等号成立， 所以的最小值为，C选项正确； D选项：由，则， 又，即， 当且仅当时等号成立， 所以，故， 则有，当且仅当时等号成立， 即的最大值为，D选项正确； 故选：BCD. 4．（多选）下列说法正确的有（ ） A．的最小值为 B．已知，则的最小值为 C．若正数、为实数，若，则的最大值为 D．设、为实数，若，则的最大值 【答案】BD 【分析】取，利用基本不等式可判断A选项；利用基本不等式可判断B选项；由已知等式变形得出，将代数式与代数式相乘，展开后利用基本不等式可判断C选项；由基本不等式可得出关于的不等式，可求出的最大值，可判断D选项. 【详解】对于A选项，当时，，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 所以，函数无最小值，A错； 对于B选项，当时，则， 则， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故当时，函数的最小值为，B对； 对于C选项，因为正数、满足，则， 所以，， 当且仅当时，即当时，等号成立， 故的最小值为，C错； 对于D选项，因为、为实数，且， 则， 可得，解得， 当且仅当时，即当时，取最大值，D对. 故选：BD. 题型一：常数代换（恒成立） 1．已知，且，若不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B．，或 C． D．，或 【答案】A 【分析】根据，由基本不等式得出的最小值8，然后根据这个最小值确定m的取值范围. 【详解】， ，当且仅当时等号成立， 恒成立，， 解得. 故选：A. 2．若，且恒成立，则实数的取值范围是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】由基本不等式求得最小值，再由一元二次不等式求解即可. 【详解】不等式恒成立，即， ， 等号成立的条件是，即，与条件联立，解得， 所以的最小值是8，即，解得． 故选：A 3．已知，，且.若不等式恒成立，则的最大值为_______________. 【答案】6 【详解】要使不等式恒成立，只需要.因为，，所以，当且仅当，即时，等号成立.所以的最小值为6，即，故的最大值为6. 4．已知，且，若恒成立，则实数t的取值范围是______________． 【答案】 【分析】由题意得到，再结合基本不等式求得最小值，进而可求解； 【详解】恒成立，即， ，当且仅当时取等号， 所以， 即， 解得：， 所以实数t的取值范围是， 故答案为： 题型二：基本不等式综合应用 1．设非负实数满足，则下列说法正确的是（ ） A．的最大值是 B．的最大值是1 C．的最小值是4 D．的最小值是4 【答案】D 【分析】对于ABD：利用基本不等式以及乘“1”法逐项分析判断；对于B：根据题设条件反推即可. 【详解】因为非负实数满足， 对于选项A：因为， 当且仅当时，等号成立，所以的最大值是，故A错误； 对于选项B：因为为非负实数， 当时，，的最大值不是1，故B错误； 对于选项C：因为， 当且仅当，即时，等号成立， 所以的最小值是，故C错误； 对于选项D：因为， 当且仅当时，等号成立， 所以的最小值是，故D正确； 故选：D. 2．（多选）若正数a，b满足，则下列说法正确的是（ ） A．ab有最大值 B．有最小值4 C．有最小值 D．有最小值 【答案】ABD 【分析】由已知结合基本不等式及相关结论分别分析各选项即可判断. 【详解】因为正数a，b满足， 对于A，，当且仅当时取等号，取得最大值，故A正确； 对于B，， 当且仅当且，即时取等号，取得最小值4，故B正确； 对于C，由A知有最大值，则有最大值， 则， 当且仅当时取等号，取得最大值，故C错误； 对于D，， 当且仅当时取等号，取得最小值，故D正确. 故选：ABD. 3．（多选）已知为正实数，，则（ ） A．的最大值为 B．的最小值 C．的最小值为 D．的最小值为 【答案】ABC 【分析】应用基本不等式及应用常值代换分别计算判断各个选项即可. 【详解】对于A：，当且仅当时取“=”，A正确； 对于B：，当且仅当时取“=”，B正确； 对于C：， 令，，则， ， 当且仅当，即，时取“=”， 的最小值为，C正确； 对于D： 当且仅当时取“=”，D错误； 故选：ABC. 4．（多选）已知a，b为正实数，，则下列叙述正确的是（ ） A．的最小值为8 B．的最小值为12 C．的最小值为 D．的最小值为20 【答案】AC 【分析】对于A，直接应用基本不等式即可判断；对于B，由得，由，借助基本不等式判断；对于C，由于，直接应用基本不等式即可，对于D，特殊值验证即可. 【详解】对于A，因为a，b为正实数，所以， 解得，当且仅当，即时，取到最小值8，故A正确； 对于B，由得， 所以， 当且仅当即时，取到最小值，故B错误； 对于C，因为a，b为正实数，，所以， 所以，,所以， 当且仅当即时，取到最小值，故C正确； 对于D，当时，成立，此时，故D错误. 故选：AC 1．“物竞天择，适者生存”是大自然环境下选择的结果，森林中某些昆虫会通过向后跳跃的方式来躲避偷袭的天敌.经某生物小组研究表明某类昆虫在水平速度为v（单位：分米/秒）时的跳跃高度H（单位：米）近似满足的等量关系，则该类昆虫的最大跳跃高度约为（ ） A．米 B．米 C．米 D．米 【答案】B 【分析】利用基本不等式可求昆虫的最大跳跃高度. 【详解】由可知，故， 当且仅当时，等号成立.于是该类昆虫的最大跳跃高度为0.25米. 故选：B. 2．港珠澳大桥通车后，经常往来于珠港澳三地的刘先生采用自驾出行．由于燃油的价格有升也有降，现刘先生有两种加油方案，第一种方案是每次均加30升的燃油，第二种方案是每次加200元的燃油，则下列说法正确的是（ ） A．采用第一种方案更划算 B．采用第二种方案更划算 C．两种方案一样划算 D．无法确定采用哪种方案更划算 【答案】B 【详解】任取其中两次加油，假设第一次的油价为m元/升，第二次的油价为n元/升．第一种方案的均价为；第二种方案的均价为．因为，当且仅当时，等号成立，所以无论油价如何变化，第二种方案更划算． 3．一家商店用一架两边臂不等长的天平称黄金，一位顾客要购买黄金，售货员先将的砝码放在左盘，将黄金放于右盘使之平衡后给顾客；再将的砝码放入右盘，将另一黄金放于左盘使之平衡后交给顾客，则商店在销售后（ ） A．黄金少给了 B．黄金刚好 C．黄金多给了 D．与砝码放置顺序有关 【答案】C 【详解】设天平左、右两臂长分别为，两次放入的黄金的克数分别为x，y．由杠杆的平衡原理有，则．由于，且，故．因此，即顾客实际所得黄金大于10克． 4．某火车站正在不断建设，目前车站准备在某仓库外，利用其一侧原有墙体，建造一间墙高为，底面积为，且背面靠墙的长方体形状的保管员室．由于此保管员室的后背靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：屋子前面新建墙体的报价为每平方米400元，左右两面新建墙体报价为每平方米150元，屋顶和地面以及其他报价共计7200元．设屋子的左右两侧墙的长度均为． (1)当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低？ (2)现有乙工程队也参与此保管员室建造亮标，其给出的整体报价为元．若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围． 【答案】(1)当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低 (2) 【详解】解：（1）因为屋子的左右两侧墙的长度均为，底面积为，所以屋子的前面墙的长度为． 设甲工程队报价为y元，所以． 因为，当且仅当，即时，等号成立， 所以当左右两面墙的长度为时，甲工程队报价最低，为14400元． （2）根据题意可知对任意的恒成立，即对任意的恒成立，所以对任意的恒成立． 因为，当且仅当，即时，等号成立，所以． 故当时，无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功． 5．如图，设矩形的周长为，把沿向折叠，折过去后交于点，设，. (1)当时，求的值； (2)设的面积为，求的最大值. 【答案】(1) (2) 【分析】（1）依题意可证，即可得到，再由勾股定理计算可得； （2）首先证明，得到，在利用勾股定理得到，从而得到，再由面积公式及基本不等式计算可得. 【详解】（1）如图，由矩形的周长为，，可知，. ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即，解得. （2）如图，由矩形的周长为，可知，， ，，， ， . 在中，由勾股定理得，即， 解得， 所以. 所以的面积为 . 由基本不等式与不等式的性质，得， 当且仅当时，即当时，的面积最大， 面积的最大值为. 1 / 24 学科网（北京）股份有限公司 $$