1.3.1 不等式的性质-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

数学「第一章预备知识 学以致用·随堂检测促达标 1.已知命题p:Hx∈R,x>a2+b2,则命题p的 4.若“3x∈[-2,2]，使k≤x2+1成立”是真命 否定是() 题，则实数k的取值范围是 A.3x∈R,x<a2+b2 5.判断下列命题的真假. B.Hx∈R,x≤a2+b2 (1)有一些三角形的两个内角相等； C.3x∈R,x≤a2+b2 (2)3x∈R,x2+2x+4<0; D.Hx∈R,x<a3+b2 (3)Vx∈Z,2x-1是奇数. 2.(多选题)下列说法正确的是() A.存在x<0,x2-2x-3=0 B.对于一切实数x<0,都有|x|>x C,对于任意x∈R,-x D.“3n∈N4,2n2+5m+2能被2整除”是假命题 3.(2025安徽高一开学考试)已知命题p:3x≥0， |x=-x命题g:x>0,x2-1>0,则() A.p和g均为真命题 B.p和一g均为真命题 C.一p和g均为真命题 D.7p和一g均为真命题 §3不等式 3.1不等式的性质 1.能够用作差法比较两个数或式的大小 学习目标 2.理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 3.会用不等式的性质证明不等式或解决相关问题。 基础落实·必备知识一遍过 知识点1 实数的大小比较 思考辨析 比较实数a,b大小的依据 如果给定实数a与b,那么如何比较它们的大 a>ha-b>0 依据：Q=b一a-b=0 小呢？ a<b台a-b<0 比较实数a, b的大小 结论：确定任意两个实数a,b 的大小关系，只需确定a-b与 0的大小关系 36 §3不等式 自主诊断 1.判断正误.（正确的画、√，错误的画×） (1D比较两个代数式的大小只能用作差法. ( (2)不等式x≥3的含义是指x不小于3.( (3)若a<b或a=b之中有一个正确，则a≤b正确. () 2.(人教A版教材习题)比较(x+2)(x十3)和(x+ 1)(x+4)的大小 知识点2 不等式的性质 2.要注意各个不等式成立的前提，如性质4中两个 不等式方向要相同，性质3中要按c的正负分情况 名称 表达式 3.由性质2，可得a+b>c→a十b+(-b)>c+ 性质1（传递性） 如果a>b,且b>c,那么a>c (一b)→a>c一b,即不等式中任何一项可以改变符 如果a>b,那么a十c>b+c 号后移到不等号的另一边，称为移项法则，在解不等 性质2（可加性） (c∈R) 式时经常用到 如果a>b,c>0,那么ac>tx: 4倒教读则：如果a>6,b>0,那么}<行，站 性质3（乘法法则） 如果a>b,c<0,那么ac<b 论成立的条件是a,b要同号. 自主诊断 性质4（同向不等式如果a>b,c>d,那么a+c> 可加性) b+d 1.判断正误.（正确的画/，错误的画×） (1)若a>b,则a-c>b-c. ) 如果a>b>0,c>d>0,那么 (2)号>1pa>b. () ac-bd; (3)若a>b且c>d,则a-c>b-d. ( 性质5（不等式的 如果a>b>0,c<d<0,那么 (4)若ac2>bc2,则a>b. ( 可乘性) ac<bd. 2.(2025江苏扬州期末)已知a,b,c∈R,则下列不等 乘方法则：当a>b>0时，a"> 式中一定成立的是() b",其中n∈N+,n≥2 A.若a>b,则1a>|b 当a>b>0时，a>5,其中 性质6（开方法则） &若ab>c>0,则2千 n∈N,n≥2 c者a<<0则日名 名师点睛 D.若a>b,则c2(a-b)>0 1.注意“等式”与“不等式”的异同，如： 3.(人教A版教材习题)用不等号“>”或“<”填空： (1)如果a>b,c<d,那么a-cb-d; 等式 不等式 说明 (2)如果a>b>0,c<d<0,那么acd; a=b+b=a a>b台b<a 改变不等式方向 （3)如果a>b>0,那么 1 a 62: a=bac=bc a>b→ac>bc或 (4)如果a>b>c>0,那么 讨论c的符号 (c≠0) ac<bc(c≠0) 37 数学「第一章预备知识 重难探究·能力素养速提升 探究点一 实数大小的比较 【例1】比较下列各组中的两个代数式的 1变式训练1求解下列问题： 大小： (1)已知a∈R,比较(a十3)(a+7)和(a+ (1)2x2+3与x+2,x∈R; 4)(a+6)的大小： 2a+2与2aaER且a1 (2)已知x<y<0,比较上与的大小 [课堂笔记] 小t44 .........t小 区规律方法作差法是比较两个代数式大小的基 本方法，一般步骤是：(1)作差；(2)变形，变形的常用 方法有配方、因式分解、分母有理化等：(3)定号，即确 定差的符号；(4)下结论，写出两个代数式的大小关系。 探究点二」不等式基本性质的应用 角度1应用不等式性质判断命题真假 【例2一1】对于实数a,b,c,判断下列结论是 否正确： (1)若a>b,则ac2>bc2; (2)若a<b<0,则a2>ab>b2； ③者>>6>0，则。>名6 ④若a>b,日>方则a>0b<0, 规律方法1.解决这类问题时，通常有两种方 法：一是直接利用不等式的性质进行推理，看根据条 (6若a<b<0,则驴号 件能否推出相应的不等式；二是采用取特殊值的方 法，判断所给的不等式是否成立，尤其是在选择题中 [课堂笔记] 经常采用这种办法 2.注意正确的倒数法则，应该是a>b,ab>0→ 。分：不能误认为无。>6日合在应用时不能 出错. 38 §3不等式 I变式训练2已知a,b,c满足c<b<a,且 角度3利用不等式性质求取值范围 ac<0,则下列选项不一定成立的是( ) 【例2-3】如果3<a<7,1<b<10,试求 A.cb B.b-a>0 b aa a+b,3a一2b,。忌的取值范围。 c D.4-c<0 [课堂笔记] ac 角度2应用不等式性质证明不等式 【例2-2】若a>b>0,c<d<0,e<0,求证： e (a-c)2(b-d) [课堂笔记] 位规律方法利用不等式的性质可以解决取值范 围问题，当题目中出现两个变量求取值范国时，要注 意两个变量是相互制约的，不能分割开来，应建立待 求整体与已知变量之间的关系，然后根据不等式的性 质求出取值范围。 1变式训练41已知-4≤a-b≤-1， 一1≤4a-b≤5，求9a-b的取值范围. 规律方法1.简单不等式的证明可直接由已知 条件，利用不等式的性质，通过对不等式变形得证 2.对于不等式两边都比较复杂的式子，直接利用 不等式的性质不易证得，可考虑将不等式两边作差， 然后进行变形，根据条件确定每一个因式的符号，利 用符号法则判断最终的符号，完成证明. I变式训练3(1)（人教B版教材习题）求 证：如果a>b,c<0,那么ac<bc. 大2)已知a,62y都是正数，且}> 本节要点归纳 >y,求证z千公六6 1.知识清单： (1)不等式的性质； (2)不等式的性质的应用. 2.方法归纳：作差法、配方法。 3.常见误区：注意不等式性质的单向性或双 向性，即每条性质是否具有可逆性 39 数学「第一章预备知识 学以致用·随堂检测促达标 1.(2025江苏南通高一月考)若a>b>0,则下列 不等式一定成立的是( ) 4已知。>b>0<d<0求证月<语 A66+1 "aa+1 Ba+>6+号 a ca-&>b-8 D.2atba a a+2bb 2.(x+5)(x+7) (x十6)2.（填“>”“<” “≥”或“≤”) 3.已知1≤a≤2,3≤b≤6，则3a-2b的取值范围 为 3.2基本不等式 第1课时基本不等式 1理解基本不等式“士中≥瓜a>≥0,6>0。 学习目标 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的求最大值或最小值的问题. 3.能运用基本不等式证明不等式及解决简单的实际问题. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1基本不等式 名师点晴 L基本不等式：设≥0,6≥0，那么士> 1.基本不等式的条件是a,b都是非负实数，当 且仅当a=b时，等号成立，即“a=b”是ab 2 ab,当且仅当a=b时，等号成立.这个不等式 √ab”的充要条件. 称为基本不等式，其中，兰称为。，6的算术平 2.基本不等式的变形公式：①a十b≥2√b,ab≤ 均值√ab称为a,b的几何平均值.因此基本不 (色生)（当且仅当a=6时，等号成主）：@如+>2 等式又称为均值不等式. 不司急感此秦你 (a∈R4)(当且仅当a=1时，等号成立)，⑤号十 2.基本不等式可以表述为：两个非负实数的 ≥2(a,b同号)（当且仅当a=b时，等号成立）. a 算术平均值大于或等于它们的几何平均值 3.基本不等式的几何解释：在同一个圆中， 3.由公式a+≥2b及中≥b,可得 半径大于或等于半弦. 学 2 40探究点二全称量词命题与存在量词命题的真假判断 【例2】解(1)这是存在量词命题，因为-1∈Z,且（一1）3 一1<1，它是真命题 (2)这是存在量词命题，是真命题.如梯形是四边形，不是平 行四边形， (③)这是全称量词命题.由有序实数对与平面直角坐标系中 的点的对应关系知，它是真命题 (4)这是全称量词命题.图为0∈N,0=0,所以命题“Vx∈ N,x2>0”是假命题. 【变式训练2】解(2)是全称量词命题，(1)(3)是存在量词命题. (1)真命题.存在一个实敏0，它的绝对值不是正数 (2)假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为√2， √2就不能用正有理数表示」 (3)假命题，方程x2十x十8■0的判别式△=一31<0，故 方程无实数解 探究点三全称量词命题与存在量词命题的否定 【例3】解(1)命题p的否定“存在正数x,使√x≤x一1” (2)命题《的否定“存在一个三角形有两个或两个以上的 外接圆或没有外接圆” (3)命题r的否定“所有三角形的内角和都小于或等于180” (4)命题5的否定“所有的素数都不是奇数” 【变式训练3】解(1)命题p的否定“3x∈，x2一x十 }<0,是假◆题：Vx∈Rr2-x+}=(-2)≥0恒 成主，∴命题p的否定是假命题 (2)命题q的否定“至少存在一个正方形不是矩形”，是假 命题」 (3)命题r的否定“Vx∈R,x2+3x十7>0，是真命题 :VxER2+3x+7=(+)'+9>0恤减立， 命题r的否定是真命题 (4)命题s的否定“对任意实数x,使x3十1≠0”，是假 命题.：当x=一1时，x3十1=0，.命题s的否定是假命题 探究点四根据命题的真假求参数的取值范围 【例4】{aa>-1}若“3x∈R,x2+2x-a<0"”是真命 题，则△>0，即4十4a>0,解得a>一1，故实数a的取值范图为 {aa>-1. 【变式训练4】解不等式m一(x-2xa十5)>0可化为 m>x8-2x。十5=(x。一1)2+4，若存在一个实数x0,使不等式 m>x。一2x0十5成立，只需m>4, 故所求实教m的取值范图是{mm>4} ○学以致用·随堂检测促达标 1.C 3 2.AB选项A中，存在x=一1<0，使x2一2x一3=0，故 正确：选项B中，对于一切实数x<0,都有x>x饭成立，故 正确：选项C中，3x=一2∈R,√=2，则√公≠x,故错误： 选项D中，3n■2∈N,,2m2+5m十2=20能被2整除，为真命 题，故错误.故选AB 3.B因为当x■0时，x|■一x成立，故命题p为真命 题，门p为假命题： 当x=1时，x3一1=0，故命题g为假命题，一g为真命题. 故选B 4{kk≤5}设y=x2+1,-2≤x≤2，则1≤y≤5因为 “]x∈[-2,2]，使≤x2+1成立”是真命题，所以≤5，故k 的取值范国为{快k≤5》. 5.解(1)该命题中含有“有一些”，是存在量词命题.如等腰 三角形中就存在两个内角相等，故该命题是真命题， (2)该命题是存在量词命题， 因为x2+2x十4=(x十1)2+323， 所以不存在x∈R,使x2十2x十40，故该命题是假命题 (3)孩命题是全称量词命题.当x∈Z时，因为2x一1是整 数，且不能被2整除，所以2x一1是奇数，故该命题是真命题. §3不等式 3.1不等式的性质 ©基础落实·必备知识一遍过 知识点1 【思考辨析】 提示通常是通过判断它们的差(a一b)的符号来比较它们 的大小，当4与b同号且都不为0时，也可通过它们的商与1的 大小关系来比较它们的大小 【自主诊断】 1.(1)×(2)√(3)√/ 2.解因为(x+2)(x+3)一(x+1)(x十4)=(x2+5x+ 6)-(x2+5x+4)=20,所以(x+20(x+3)>(x+1)(x+4. 知识点2 【自主诊断】 1.(1)/(2)×(3)×(4)/ 2.B对于A,当a■一1>b■一3时，la<lb,故A错误：对 c(a-b) 于B,国为a>b>c≥0，可得.十6十at060入0 所以Q 故B正确；对于C,由a<<0,可得品>0，则 a十cb+c 时，c2(a一b)=0,故D错误，故选B 3.(1)>(2)<(3)<(4)<(1)因为c<d,所 以-c>-d.周为a>b,所以a-c>b-d. (2)因为c<d<0,所以一c>-d>0. 因为a>b>0,所以-ac>-bd,所以ac<bd. 3周为a>6>0,所以ab>0,品>0，所以a·古>6， 古>0所以>>所以（合）八>（日》'<是 因为a>6>0,所以ab>0,品>0.所以a·b>6: 1 <国为c>0,所以后< ©重难探究·能力素养速提升 探究点一实数大小的比较 【例1】解(1)因为(2x2+3)-(x十2)=2x2-x+1= 20-名)广+8>8>0，所以2x+31+2 @a+2)-已。-a+n0。）3.-481 1-a 1-a a中由于a+a+1=(a+)》'+>>0, a-1 所以当>1时，>0，即a+2>己 a-1 当a时，<0，即a+2己。 a-1 【变式训练1】解(1)因为(a十3)(a十7)一(a十4)(a十 6)=a2+10a+21-a2-10a-24=-3<0, 所以(a+3)(a+7)<(a十4)(a+6). (2)周为x<y<0,所以xy>0,y一x>0, 11 r y >0,所以上>1 x y 探究点二不等式基本性质的应用 【例2一1】解(1)当c=0时，有ac2=bc.故该结论错误. (a<b a<b, (2)由 可得a2>ab.因为 所以ab>b,从而 a<0 b<0, 有a2>ab>b2,故该结论正确. (3)由a>b>0,可得-a<-b<0.因为c>a>b,所以 0-a-6,国光公之。>0，子是品。>产。故谁结 论正确。 （0由>行，可知日-古->0因为>6，所以 a b ab b一a<0,且ab<0.又周为a>b,所以a>0,b<0.故该结论 正确， (份恢美意取a=-26=-1,则合一号合=2，温热兰< "a 分故该结论错误。 3 【变式训练2】C因为c<b<a,且ac<0,所以c<0, a>0.于是二<么，64>0,4二6<0，但6与a2的大小关系 aac ac 不确定，故2不一定成立. cc 【例2-2】证明（方法一）a-c》一b-d =[6-d)2-(a-c)] (a-c)(b-d) -(6-d+a-c)(b-d-a+c) (a-c)(b-d)2 =[(a+b)-(c+d)][6-a)+(c-d)] (a-c)2(b-d)2 "a>b>0,c<d<0, ∴.a+b>0,c+d<0,b-a<0,c-d<0. .(a+b)-(c+d)>0,(b-a)+(c-d)<0. e<0,∴.e[(a+b)-(c+d)][(b-a)+(c-d)]>0. 又a-cw->0.a6>0, 即a-c>b-d (方法二)c<d<0-c>-d>0,又a>b>0, ∴a-c>b-d>0,.(a-c)>(b-d)2>0,.0< b又e0a>6 1 1 【变式训练3】证明(1)ac一bx=(a一b)c. 因为a>b,所以a一b>0. 又c<0,所以(a-b)c<0,所以ac-bx<0,即ac<bc, (206y海是运数，且日>行>y小话>若> 00是<号故0受+1号+1即0< x y x y 【例2一3】解因为3<a<7,1<b<10,所以3十1<a+b< 7+10,即4<a十6<17.故a+b的取值范国为(4,17).又因为 9<3a<21,-20<-2<-2,所以-11<3a-2b<19.故 3a-2弘的取值花周为(-1,19).国为9<a2<49,所以行< 吉<兮十是站总<号故导的取值国为（后9》， 【变式训练4】解设9a一b=x(a一b)十y(4a一b), x+4y=9, 尉9a-b=(x+4y)a-(x+y)b,∴. x+y=1: =-5 3 解得 8 p如-6-音a-b0+受u-6 y=3' ”-4长a-6长-1号≤-号a-6)< ① ”-14a-65-号号a-6<号 ② 由004，-1K-号a-b)+号a-b)20, 即-1≤9a-b≤20. 故9a一6的取值范围为[-1,20]. ⊙学以致用·随堂检测促达标 10对子A若a=1,6=名则有-=合出 计-是北时经<长A错瑞对于香。-1b 有a+-1+1=2,6+-号+2=此时a十日< 6+片，故B错误：对于C(a-合)-(6-号)-a-6)+ 号-名-a-6)+a-20a+0.由a>6>0,故。-6>0. ab a+b>0ab>0,故(a-）-(b-号)>0，即a-2>b-号 故C正确对于D,若4=1,6=号，则2a+=T2=5,及 。+261+=46 上-2此时款号，D错民故选C 2.<(x十5)(x十7)-(x十6)2=x2十12x十35-(x2十 12x十36)=-1<0，所以(x+5)(x+7)<(x十6). 3.[-9,0]1≤a≤2,3≤b≤6，.3≤3a≤6，-12≤ -2b≤-6，由不等式的性质得-9≤3a-2b≤0，即3a-2b的 取值范图为[-9,0]. 4证明e<d<0->-d>0.∴0-<- 又>6>0-号>-名>0 层>授->- 两边网来-1，吊沿<招 3.2基本不等式 第1课时基本不等式 ⊙基础落实·必备知识一遍过 知识点1 【思考辨析】 1.提示得到a+b≥2√ad. 2.提示a,b既可以是具体的某个数，也可以是代数式. 3 【自主诊断】 1.(1)×(2)/(3)/ 2证明因为（生）'-山=+2+-6 4 。-2+_a》≥0.所以(e告）'≥b, 4 4 甲c(e生 知识点2 【自主诊断】 1.(1)√(2)×(3)× 2.25x>0,y>0,x+y=10,.当且仅当x=y=5时， xy取得最大值红+y) 4 =25. 3解：x>0,3>0.又x·3=3, x y的装小值为22，三-25，高且仅当= x 即x=√时y取得最小值。 4.解当x=土1时，1一x=0. 当一1<x<1时，1一x>0,1+x>0, 所以1-x2=1+x)1-x)≤「1+z)+0-2门 =1, 2 当且仅当1十x=1一x,即x=0时，等号成立， 所以1一x的最大值为1，此时x=0. ⊙重难探究·能力素养速提升 探究点一对基本不等式的理解 【例1】ABC对Ha,b∈R,a2十b2≥2ab,故A错误：当 a<0,6<0时，选项B.C错误：国为ab>0,所以日>0，号>0， 所以会+号≥2层·号-2显收海会-号中a=6时， 等号成立，故D正确.故选ABC 【变式训练1C由基本不等式可知，若号+名>≥2成立， 则有分>0，经>0，周先a>0,b>0或a<0,6<0,故C不正 确其他选项均正确。 探究点二利用基本不等式求最值 【例2】1)A(24(1):x>0,9>0,9+x≥ 无 号=6，当且仅当x=是即工=3时，等号成立，故选A (2)因为a>0,b>0,且ab=1,所以a十4b≥2√4ab=4,当 且仅当a=46,即a=26=之时，等号减主 【变式训练2】解1)：x>0,2>0,4x>0,2+