1.3.1不等式的性质（教学课件）数学北师大版2019必修第一册

3 不等式 3.1 不等式的性质 第一章 预备知识 北师大版2019·必修第一册 学 习 目 标 2 3 结合具体实例,感受、理解不等关系在现实生活中是普遍存在的. 掌握不等式的基本性质，能够运用作差法比较两个实数的大小. 掌握证明不等式的基本方法“作差法”. 1 读教材 阅读课本P24-P26，5分钟后完成下列问题： 我们一起来探究“不等式的性质”吧！ 1.你能举出生活中的与不等式有关的例子吗？ 2.如何判断两个数的大小关系？ 3.不等式的性质有哪些？ 新课引入 在生活中,存在着形形色色的数量关系,既有相等关系,又有不等关系. 情境一：公路限速20标志牌 情境二：儿童铁路购票规则 生活中的不等关系 4 新课引入 在生活中,存在着形形色色的数量关系,既有相等关系,又有不等关系. 用和分别表示民用住宅的窗户面积和地板面积,一般来讲,窗户面积比地板面积小比值越大,住宅的采光条件越好. 实际上,当同时增加相等的窗户面积和地板面积时,住宅的采光条件会得到改善. 情境三： 生活中的不等关系 5 学习过程 01 03 02 目录 1 不等关系与不等式 2 不等式的性质 3 题型训练 如果a-b是正数,那么a>b; 如果a-b等于0,那么a=b; 如果a-b是负数,那么a<b. 反过来也成立. 知识点一、不等关系与不等式 新知探究 在初中数学中,可以利用数轴比较任意两个实数a,b 的大小.关于实数 a,b 大小的比较,有以下基本事实: a＞b⇔a－b＞0； a＝b ⇔a－b＝0； a＜b ⇔a－b＜0. 判断两个数的大小关系的方法： 判断a-b的符号即可. 典例分析 例1：试比较(x+1)(x+5)与(x+3)2的大小. 解：因为 所以 作差法的步骤： ①作差 ②化简、变形 ③判断符号 ④得出结论 典例分析 例2： 糖水中含有糖,若再添加糖(其中),生活常识告诉我们：添加的糖完全溶解后,糖水会更甜.根据这个生活常识,你能提炼出一个不等式吗？试给出证明. 解：因为加糖后糖水更甜,即糖水的浓度变大,所以提炼出的不等式为： ,其中,. 证明：因为 因为,都是正数,且,所以,. 所以 .即. 9 学习过程 01 03 02 目录 1 不等关系与不等式 2 不等式的性质 3 题型训练 新知探究 知识点二、不等式的性质 性质1：如果a＝b,那么b＝a；(对称性) 性质3：如果a＝b,那么a±c＝b±c；(同加减性) 性质4：如果a＝b,那么ac＝bc；(同乘性) 性质5：如果a＝b,c≠0那么 (同除性) 性质2：如果a＝b,b＝c那么a＝c；(传递性) 　　 我们已经学习过等式的基本性质,请你先梳理等式的基本性质,类比等式,不等式有哪些基本性质呢？ 思考： 等式的性质 11 新知探究 知识点二、不等式的性质 （传递性） 性质1 如果a＞b,且b＞c, 那么a＞c. 分析：要证a＞c，只需证a－c>0. 证明：因为a＞b，且b＞c， 所以a－b>0，b－c>0， 从而a－c＝(a－b)+(b－c)>0，即a＞c. 新知探究 知识点二、不等式的性质 （可加性） 性质2 那么a+c＞b+c. 如果a＞b, 分析：要证a+c＞b+c, 只需证(a+c)－(b+c)>0. 证明：因为a＞b,所以a－b＞0, 所以(a+c)－(b+c)＝a－b>0, 即a+c＞b+c. 分析：⑴要证ac＞bc,只需证ac－bc>0. 证明：⑴因为a＞b,所以a－b＞0, 又因为c＞0,所以(a－b)c＞0,ac－bc>0, 即ac＞bc. 新知探究 知识点二、不等式的性质 （可乘性） 性质3 ⑴如果a＞b,c＞0, 那么ac＞bc. ⑵如果a＞b,c＜0, 那么ac＜bc. 试用⑴的方法完成⑵的证明. 新知探究 知识点二、不等式的性质 证明：因为a＞b,所以a+c＞b+c, 又因为c＞d,所以b+c＞b+d, 由不等式的性质1,得a+c＞b+d. 性质4 如果a＞b,c＞d, 那么a+c＞b+d. （同向可加性） 新知探究 知识点二、不等式的性质 性质5 那么ac＞bd. ⑴如果a＞b＞0,c＞d＞0, ⑵如果a＞b＞0,c＜d＜0, 那么ac＜bd. 证明： ⑴因为a＞b,c＞0,所以ac＞bc, 又因为c＞d,b＞0,所以bc＞bd, 由不等式的性质1,得ac＞bd. 试用⑴的方法完成⑵的证明. 特殊地,当时,,其中. 新知探究 知识点二、不等式的性质 （乘方开方运算） 性质6 其中. 当a＞b＞0时, , 证明：假设, 当时,可得,即. 与已知条件矛盾. 当时.可得,即.与已知条件矛盾. 所以不成立,即. 反证法:先提出一个与命题相反的假设,从这个假设出发推理导致矛盾,从而否定相反的假设,实现证明原命题的目标. 例1：⑴ 已知a＞b,ab＞0,求证： ； ⑵ 已知a＞b,c＜d,求证：a－c＞b－d． ⑵因c＜d． 由不等式的性质3,－c＞－d 再由a＞b,利用不等式的性质4,得a－c＞b－d． 证明：⑴因为ab＞0,则 ＞0， 由不等式的性质3,a · ＞b · , 即 典例分析 学习过程 01 03 02 目录 1 不等关系与不等式 2 不等式的性质 3 题型训练 题型探究 C 判定不等式是否成立 题型1 例1： 下列命题中正确的是（   ） A．若则 B．若则 C．若,则 D．若则 解： 对于A,当时,A错误； 对于B,若则，B错误； 对于C,若则即C正确； 对于D,若则D错误. 故选：C 题型探究 C 判定不等式是否成立 题型1 例2： 已知,则（    ） A． B． C． D． 解： 对于A,,不妨取,则,此时,故A错误； 对于B,,由不等式的可乘性得故B错误； 对于C,由B知即故C正确； 对于D,不妨取则故D错误. 故选：C. (1)直接法：对于说法正确的,要利用不等式的相关性质证明;对于说法错误的,只需举出一个反例即可. 判断不等式正误的方法： 提分笔记 (2)特殊值法：注意取值一定要遵循三个原则：一是满足题设条件;二是取值要简单,便于验证;三是所取的值要有代表性. 21 题型探究 例1： 比较大小 题型2 试比较下面各组中两式的大小： (1)与； (2)与． ⑴， 所以. ⑵， 所以. 解： 题型探究 例1： 解： 证明不等式 题型3 (1)已知,求证：； (2)已知都是正实数,,用作差法求证：． （1）, 由则,,, 即，故. 题型探究 例1： 解： 证明不等式 题型3 (1)已知,求证：； (2)已知都是正实数,,用作差法求证：． （2）， 由都是正实数,,则,即. 故. (1) 熟练掌握不等式的性质,并注意在解题中灵活准确地加以应用. 证明不等式的方法： 提分笔记 (2)利用不等式的性质进行证明时,应注意不等式的性质成立的条件,且不可省略条件或跳步证明,更不能随意构造性质与法则. 课堂小结 一、不等关系与不等式 二、不等式的性质及证明 性质1（传递性）：如果a＞b,且b＞c,那么a＞c. 性质2（可加性）：如果a＞b,那么a+c＞b+c. 性质3（可乘性）：⑴如果a＞b,c＞0,那么ac＞bc. ⑵如果a＞b,c＜0,那么ac＜bc. 二、不等式的性质及证明 三、运用不等式的性质解决问题 性质4（同向可加性）：如果a＞b,c＞d,那么a+c＞b+d. 性质5：(1)如果a＞b＞0,c＞d＞0,那么ac＞bd. (2)如果a＞b＞0,c＜d＜0,那么ac＜bd. 性质6 （乘方开方运算）：当a＞b＞0时,其中. 课堂小结 感谢聆听! $$