1.1.3 第2课时全集与补集-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

数学「第一章预备知识 第2课时 1.在具体情境中，了解全集的含义。 学习目标 2.理解在给定集合中一个子集的补集的含) 3.能够解决交集、并集、补集的综合运算问是 了基础落实·必备知识一遍过 知识点全集与补集 L全集 在研究某些集合的时候，它们往往是某个给 定集合的子集，这个给定的集合叫作全集，常用 符号U表示.全集包含所要研究的这些集合， 2.补集 设U是全集，A是U的一个子集（即ACU), 概念则由U中所有不属于A的元素组成的集合， 叫作U中子集A的补集，记作A 符号 CA={xx∈U,且xtA) 表示 图形 表示 对任何集合A,有AU(A)= ,A∩ 性质 (A)=,(A)= 名师点睛 1.全集不是固定不变的，它是一个相对概念，是 依据具体问题来选择的。 2.补集是相对于全集而言的，它与全集不可分 割.一方面，若没有定义全集，则不存在补集的说法： 另一方面，补集的元素一定都能在全集中找到. 3.补集既是集合之间的一种关系，也是集合之间 的一种运算.求集合A的补集的前提是A为全集U 的子集，随着所选全集的不同，得到的补集也是不 同的。 4.符号CA有三层意思：①A是U的一个子集， 即ACU;②CA表示一个集合，且CACU:③CA 是由U中不属于A的所有元素组成的集合，即CA= (xx∈U,且x任A. 5.若x∈U,则x∈A或x∈CA,二者必居其一 20 全集与补集 ,能求给定子集的补集 思考辨析 1.全集一定包含任何元素吗？ 2.一个确定集合的补集唯一吗？ 3.一个集合A的补集中的元素具有什么特征？ 自主诊断 1.判断正误.（正确的画√，错误的画×） (1)设集合U={1,2,3,4,5},A={1,2},B={2,3, 4},则Cu(AUB)={5. () (2)同一个集合在不同的全集中的补集不同. (3)不同的集合在同一个全集中的补集可能相同. 2.若全集U=R,集合A=(x|x≥1}，则CA 3.已知全集U={2,3,a2+2a+2},集合A={2,3}, CA-{5),则实数a的值为 4.(人教A版教材例题)设全集U={x|x是三角 形}，A={x|x是锐角三角形)，B={xx是钝角 三角形}，求A∩B,w(AUB). 5.(人教A版教材习题)图中U是全集，A,B是U的 两个子集，用阴影表示： (1)(CA)∩(CB):(2)(CA)U(CB). U B OB (I) (2) S1集合 重难探究·能力素养速提升 探究点一补集的基本运算 【例1】(1)已知全集为U,集合A={1,3,5, 1变式训练1I(1)(多选题)已知全集U=Z, 7},CA={2,46},CB={1,4,6},则集合B= 集合A={x∈Z2x+1≥0}，B={-1,0,1,2}, 则() (2)已知全集U={x|x≤5}，集合A= A.A∩B={0,1,2} {x|-3≤x<5},则CA= B.AUB={xx≥0} [课堂笔记] C.(CA)∩B={-1} D.A∩B的真子集个数是7 ★(2)已知全集为U,集合A={x|一3≤x< 5},CA={xx≥5}，B={x1<x<3},求CB. 似规律方法求集合的补集的方法 定义法 当集合中的元素校少时，可利用定义直 接求解 Venn图法 借助Venn图可直观地求出全集及补集 数轴法 当集合中的元素连续且无限时，可借助 数轴求解，此时需注意端，点问题 探究点二」交集、并集与补集的混合运算 【例2】(1)已知全集U={x∈Z0<x<8},集 规律方法求集合的交、并、补集运算的方法 合M={2,3,5},N={xx2-8x+12=0},则集 有 合1,4,7}为() 先确定全集，并将其余集合中的元素一 一列举出来，然后结合变、并、补集的 A.M∩(CN) B.c(M∩N) 集合交 定义来求解，也可借助Venn图来求解 相对来说直观、形象，不易出错 并、补 C.(MUN) D.(CM)∩N 集的运算 常借助数轴，把已知集合及全集分别表 (2)已知全集U={x|一5≤x≤3}，A= 集 示在数轴上，然后再根据交、并、补集 的定义求解，这样处理比较形象直观： {x|-5≤x<-1},B={x|-1≤x<1},求 需注意的是端点的取含问题 (CA)(CB). 1变式训练21(1)(2025安徽高一开学考试) [课堂笔记] 已知全集U={-1,0,2,3,4},集合M={-1,0, 1),N={-2,0,2},则C(M∩N)=( A.(0} B.{3,4) C.{-1,2,3,4} D.(0,2,3,4 (2)已知全集为R,A={x|3≤x<7},B= {x2<x<10},求CR(AUB)及(CRA)∩B. 21 数学|第一章预备知识 探究点三 【例3】已知全集为R,集合A={x|x<a}, B={x|1<x<2),且AU(CRB)=R,则实数a 的取值范围是 [课堂笔记] 规律方法由含补集的运算求参数的取值范固 时，常根据补集的定义及集合之间的关系，并借助于 数轴列出参数应满足的关系式求解，具体操作时要注 意端，点值的取舍」 探究点四 【例4】已知集合A={x10≤x≤2}，B=(x a≤x≤a十3}. (1)若(C.A)UB≠R,求实数a的取值范围： (2)若A∩B≠A,求实数a的取值范围. [课堂笔记] 规律方法有些数学问题，若直接从正面解决， 若解题思路不明朗，或需要考虑的因素太多，可用补 集思想考虑其对立面，即从结论的反面去思考，探索 已知和未知之间的关系，从而化繁为简，化难为易，开 拓解题思路，这就是补集思想的应用 (1)运用补集思想求参数范围的方法： ①否定已知条件考虑反面问题； ②求解反面问题对应的参数范国： 22 卜集性质的应用 I变式训练3已知集合A={xx2十ax+ 12b=0}和B={x|x2一ax+b=0},满足B∩ (CA)={2},A∩(CB)={4},U=R,求实数a, b的值. 卜集思想的应用 ③将反面问题对应的参数范国取补集，得到原 问题的解。 (2)补集思想适用的情况：从正面考虑情况较多、 问题较复杂的时候，往往考虑运用补集思想 I变式训练4已知集合A={xx<一6，或 x>3},B={xk-1≤x-1≤k},若A∩B≠☑， 求k的取值范围。 本节要点归纳 1.知识清单： (1)全集和补集的概念及运算； (2)并、交、补集的混合运算； (3)与补集有关的参数的求解 2.方法归纳：正难则反的补集思想、数形结合. 3.常见误区：求补集时忽视全集，运算时易忽 视端点的取舍. §2常用逻辑用语。 学以致用·随堂检测促达标 1.(2025安徽蚌埠高一期末)已知集合A={一2， 0,4,7,8 0,2,5},B={x|-2<x<5},则A∩CRB= () A.{0 B.{-2,5} 4.已知全集U=R,A={x|1≤x<b},A={x C.{-2,0,2} D.{-2,0,2,5} x<1,或x≥2}，则实数b= 2.(多选题)已知全集U=R,集合A={x|1≤x≤ 5.已知全集U=R,A={x|一4≤x<2},B= 3,或4<x<6},集合B={x|2≤x<5},下列 集合运算正确的是() z-1≤3，P=<0,或≥引，求 A.CA={xlx<1,或3x<4,或x>6 AnB,(CB)UP,(A∩B)∩(CP). B.CB={xx<2,或x≥5} C.A∩(CB)={x|1≤x<2,或5≤x<6} D.(CA)UB={xx<1,或2≤x<5,或 x>6} 3.已知全集U和集合A,B如图所示，则 (CA)∩B= §2常用逻辑用语 2.1必要条件与充分条件 第1课时必要条件与充分条件 1.理解必要条件的意义，理解性质定理与必要条件的关系. 2,理解充分条件的意义，理解判定定理与充分条件的关系。 学习目标 3.理解充要条件的意义，理解数学定义与充要条件的关系 4.掌握充分条件、必要条件的判断方法 基础落实·必备知识一遍过 知识点1必要条件与性质定理 时，称q是p的必要条件.也就是说，一旦q不成 1.当命题表示为“若p,则q”时，p是命题 立，p一定也不成立，即q对于p的成立是必要的. 的条件，g是命题的结论.当命题“若p,则g”是 名师点睛】 真命题时，就说由p推出q,记作p→q 说条件是必要的，就是说该条件必须要有，是必 “器p,则g”为根命题时，得不出g是p的必要秦件 不可少的.简单地说，就是“有它不一定能成立，但没 2.一般地，当命题“若力，则g”是真命题 它一定不成立” 23·综上，宾数a的取值范围为{x0x≤1或x≥2}， 【例6】解由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2. (1)A∩B=B,∴B二A,∴.B=⑦或{0)或(2)或{0,2. 当B=3时，△=4a2-4(a8-a)=4a<0,∴.a<01 a2-a=0, 当B={0)时， a=0; △=4a=0, 14-4a十a2-a=0, 当B={2)时， 无解： 4=4a=0, f4-4a+a2-a=0, 当B={0,2}时，△=4a>0, 得a=1. a-a=0, 综上所迷，a的取值范围是{aa=l,或a≤0l. (2).AUB=B,..ACB. ”A={0,2},而B中方程至多有两个根， .A=B,由(1)知a=1. 【变式训练4】解(1)由题意得M={2}.当m=2时，N= {xx2-3x+2=0)={1,2},∴.MnN=2},MUN=1,2. (2),M∩N=M,.M∈N. M■{2}，.2∈N,,2是关于x的方程x一3x十m=0 的解，即4一6十m=0,解得m=2. ⊙学以致用·随堂检测促达标 1.B集合A={1,2},B=(2,3},则AUB=1,2,3}. 2.D集合A为数集，集合B为点集，元素类型不同，所以 A∩B=g. 3.C因为A∩B=B,所以B二A,若x+3=2,则 x=一1，此时x2十1=2，集合A不满足元素的互异性：若x十 3=x2+1,即x-x-2=0,可得x=2或x=一1（舍去），当 x=2时，A={0,2,5},B={0,5),满足题设，所以x=2.故选C 4.{-1,0}图为PUQ=Q,则P二Q, 若x=一x2,可得x=0或x=一1， 当x=0时，集合P={1,0},Q={1,0,一1，符合题意： 当x=一1时，集合P=1,一1)，Q=1,一1，一3}，符合题意。 若x=2x一1，可得x=1,不满足互异性，不符合题意 综上，x的取值集合是{一1,0 5.解(1)当m=3时，B={x|3x<6}, 又A=(x|-2<x≤5}，.A∩B=(x|3≤x≤5}. m>一2， (2)由A∩B=B得B二A,m<m十3，. m+35, 一2<m≤2，即实数m的取值范围是（一2,2]. 第2课时全集与补集 ⊙基础落实·必备知识一遍过 知识点 2.U0A 31 【思考辨析】 1提示不一定全集不是图定的，它是相对而言的.只要包 含所研究问题中涉及的所有元素即可。 2.提示由于补集是相对于某一个全集的补集，因此对于一 个确定的集合来说，全集不可时，该集合的补集也不相同 3.提示一个集合A的补集它包含两个方面：一是该集合是 全集的子集，二是该集合中的元素属于全集，但是不属于集合A. 【自主诊断】 1.(1)/(2)/(3)× 2.(xx<1)由补集的定义可得CA={xx<1. 3.1或一3由题可得a3十2a十2=5，解得a=1或a=一3， 所以实数a的值为1或一3. 4.解根据三角形的分类可知A∩B=心，AUB={zz是 锐角三角形或钝角三角形}，(AUB)={zx是克角三角形. 5解如困所示 U B B (1) (2) ○重难探究·能力素养速提升 探究点一补集的基本运算 【例1】(1)(2,3,5,7}(2){xx<-3,或x=5} (1)(方法一)A={1,3,5,7},CA={2,4,6},.U=(1, 2,3,4,5,6,7}.又B={1,4,6},.B=(2,3,5,7}. (方法二)满足题意的Vnn图如图所示 由图可知B={2,3,5,7}. (2)将全集U和集合A分别表示 U 在数轴上，如图所示，由补集的定义可 3 知CuA={xx<-3,或x=5} 【变式训练1】(1)ACD集合A={x∈Z2x+1≥0}= {ez≥-}，B=-1,01,2,所以AnB=01,2, 故选项A正确：AUB={x∈Zx≥一1，故选项B错误； A={eZz<-号}，所以(tA)nB=(-1,故选项C 正确：因为A∩B={0,1,2},所以A∩B的真子集个数为 23一1=7，故选项D正确.故选ACD. (2)解由已知U={x|-3x<5}U{x|x≥5} (xz≥-3}，又B={x1<x<3},所以CuB={x|-3≤x≤1 或x≥3}. 探究点二交集、并集与补集的混合运算 【例2】(1)C全集U={x∈Z0<x<8}=(1,2,3,4,5, 6,7),M={2,3,5,N={xx2-8x+12=0}={2,6h..M∩ (wN)=3,5},Cu(MnN)=1,3,4,5,6,7),Cu(MUN)= (1,4,7},(M)∩N={6.故选C (2)解将集合U,A,B分别表 示在数轴上，如图所示， 则uA={x|-1≤x≤3}， B={x|-5≤x<-1,或1≤x≤3}， 所以(CA)n(B)={xl1≤x≤3. 【变式训练2】(1)C因为全集U={一1,0,2,3,4}，集合 M={-1,0,1},N={-2,0,2}, 所以M∩N={0},所以Cu(M∩N)=(-1,2,3,4}. 故达C, (2)解把集合A,B在数轴上表示 B 如图」 23 10 由图知，AUB=(x2<x<10}, .CR(AUB)=(xx≤2，或x≥10}. CwA=(xz<3,或x≥7}， .(CRA)∩B=(x2<x<3,或7≤x<10. 探究点三补集性质的应用 【例3】[2，+∞)：B={x 1<x<2}, A0 .CwB={xx≤1，或x≥2. 012a 又A={x|x<a},且AU(C.B)=R,利用如图所示的数 物可得a≥2. 【变式训练3】解B∩(CA)={2),.2∈B,但2任A. ,'A∩(uB)={4},4∈A,但4B. 142+4a+12b=0, 解得 2-2a+b=0, =号 ab的维分别为号，-号 探究点四补集思想的应用 【例4】解(1)A=(x0≤x≤2}，.C.A=xx<0,或 x>2.假设(CA)UB=R,如图所示. CA B 2a+3 a≤0，且a十32，即a≤0，且a≥-1，∴满足(CmA)U B中R的实数a的取值范围是{aa<一1，或a>0}. (2)假设A∩B=A,则A二B,又A≠☑， a0, 得一1≤a0,∴，满足A∩B≠A的实数a的 a+32, 3 取值范围为{aa<-1,或a>0. 【变式训练4】解由已知可得B=(xk≤x≤k十1， k≥-6， 假设A∩B=0,别 解得一6≤k≤2 k+1≤3， 令P={k一6≤k≤2}，则P={k<一6，或k>2}, 所以满足A门B中心的是的取值范固是{便k<一6，或k>2. ○学以致用·随堂检测促达标 1.BCwB={xx≤-2戏x≥5)，则A∩CmB=(-2,5, 故选B 2.BC在数轴上表示出集合A, B,如图，CA={xlx<1,或3<x≤ 4,或x≥6}，故A错误，B={x 01234563 x2,或x≥5}，故B正确：A∩(CB)={x|1≤x<2,或5≤x< 6},故C正确：(C,A)UB={xr<1,或2≤x<5,或x≥6}，故 D错误，故选BC 3.{5,6}由题中的Vemn图知(CA)∩B={5,6}. 42:CA={xz<1,或x≥2}， .A={x|1≤x<2}..b=2. 5解符集合A,B,P分别 表示在数轴上，如图所示。 :A=(x|-4≤x<2}, B={x-1x≤3}， .A∩B={x|-1<x<2, B=(xlx≤-1，成x>3. 又P={女x≤0，成x≥}∴(BUp-{x≤0， 线x≥}，tP-o<r<}(AnB)n(6P) x-1<x<2n{xo<x<8}=xlo<x<2. §2常用逻辑用语 2.1必要条件与充分条件 第1课时必要条件与充分条件 ⊙基础落实·必备知识一遍过 知识点1 【思考辨析】 提示不一样，只有“若p,则q”为真命题时，才有“p→g”。 【自主诊断】 1(1)×(2)×(3)√ 2.解(1)这是平行四边形的一条性质定理，p→q,所以，q 是p的必要条件， (2)这是三角形相似的一条性质定理，p→q,所以，q是p