1.1.3 第1课时交集与并集-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

S1集合 学以致用·随堂检测促达标 1.集合{x,y}的子集个数是() 4.(多选题)已知集合A二B,A二C,B={2,0,1, A.1 B.2 8},C={1,9,3,8),则A可以是() C.3 D.4 A.{1,8}B.{2,3}C.{1} D.{2} 2.下列正确表示集合M={一1,0,1}和N= 5.已知集合A={x,2},集合B={3,y}.若A= {xlx2+x=0}关系的Venn图是() B,则x= 2y= 6.已知集合P={x-2<x<3},Q={x|x a≥0}.若P二Q,求实数a的取值范围. B D 3.(2025重庆南岸阶段测试)满足(2}二A{2, 3,4}的集合A的个数为() A.2 B.3 C.4 D.5 1.3集合的基本运算 第1课时 交集与并集 1.理解两个集合的并集与交集的含义. 学习目标2.能求两个集合的并集与交集 3.能使用Venn图表达集合的基本关系与基本运算，体会图形对理解抽象概念的作用. 基础落实·必备知识一遍过 知识点1交集 名师点睛 铁一不可、 求两个集合的交集，结果还是一个集合，当两个 般地，由既属于集合A又属于集合B的所有 集合没有公共元素时，两个集合的交集是空集，而不 概念元素组成的集合，叫作集合A与B的交集， 能说两个集合没有交集 记作A∩B,读作“A交B” 思考辨析 符号 A∩B={x|x∈A, x∈B} 1.A∩B是把集合A与集合B的部分元素组合 表示 在一起吗？ 图形 表示 2.两个集合交集中的元素一定在两个集合中吗？ 对于任何集合A,B,有 性质A∩B=B∩A,A∩B≤A,A∩B二B,A∩ A=A,A∩0=0 15 数学「第一章预备知识 3若两个集合A,B的交集是空集，则两个集合 自主诊断 有什么特征？ 1.判断正误.（正确的画√，错误的画×） (1)集合A和集合B的公共元素组成的集合就是 集合A与B的交集. () (2)若A∩B=⑦，则A,B均为空集 () 2.已知集合A={x|x=3m+2,n∈N),B={6,8, 10,12,14},则集合A∩B中元素的个数为() A.5 B.4 C.3 D.2 知识点2并集 2.若两个集合的并集是空集，则这两个集合有什 么特征？ 般地，由 属于集合A 属 概念 于集合B的元素组成的集合，叫作集合A 与B的并集，记作AUB,读作“A并B” 符号表示AUB={x|x∈A, xEB) 自主诊断 1.判断正误.（正确的画√，错误的画×） 图形表示 B (1)1,2,3,4}U{0,2,3}=(1,2,3,4,0,2,31. AUB () 对任何集合A,B,有 (2)若x∈A∩B,则x∈AUB. () 性质 AUB=BUA,A≤AUB,B≤AUB, (3)若A,B中分别有3个元素，则AUB中最多 AUA=A,AUO-A 有6个元素. () 2.已知集合A={xlx<1),B={x|-1≤x≤1}，则 名师点睛) AUB=( ) 并集符号语言中，“x∈A,或x∈B”包括下列三种 A{x|-1<x<1} 情况：①x∈A,且xtB:②x任A,且x∈B:③x∈A,且 B.{x|-1≤x≤1} x∈B.可用下图形象地表示 C.{x|-1≤x<1} x∈A,或xEB D.{xlx≤1} 3.(人教A版教材习题)设A={x|x是等腰三角 形)，B={xx是直角三角形，求A∩B,AUB. xEA,且x庄Bx∈A,且x∈BX庄A,且x∈B 444444444444h444444444444444444444444444444444 、思考辨析 L.AUB是把A和B的所有元素组合在一 起吗？ 16 S1集合： 式重难探究·能力素养速提升 探究点一集合的交集与并集运算 角度1并集运算 (2)设集合M={x-3<x<2},N={x 【例1】(1)设集合A={xx2一2x-3=0}, 1≤x≤3}，则M∩N=( ) B={x|x2-4x+3=0},则AUB=( A.[1,2) B.[1,2] A.1} B.{1,3} C.(2,3] D.[2,3] C.{-1,1,3 D.{-1,1}》 [课堂笔记] (2)已知集合A={x|x<2},B={x≥1}，则 AUB=() A.{x|x<2} B.{xl1≤x<2} C.{x|x≥1} D.R [课堂笔记] 规律方法求两个集合交集、并集的方法技巧 当求两个集合的并集、交集时，对于用描迷法给 I变式训练1I(1)已知集合A={x∈Nx≤ 出的集合，首先明确集合中的元素，其次将两个集合 2},B={2,3},则AUB=() 化为最简形式：对于连续的数集常借助于数轴写出结 A.{xlx≤3} B.{1,2,3} 果，此时要注意数轴上方所有“线”下面的实数组成了 C.{2,3 D.{0,1,2,3 并集，数轴上方“双线”（即公共部分）下面的实数组成 ★(2)已知集合P={x|-1<x<3},Q= 了交集，此时要注意当端点不在集合中时，应用空心 {x|0<x<1},则PUQ=() 圈表示；对于用列举法给出的集合，则依据并集、交集 A.{x|0<x<1} 的含义，可直接观察或借助于Vcnn图写出结果. B.{x|-1<x<3 1变式训练21(1)已知集合A={一2,0,1， C.{x|-1<x<0,或1<x<3} 3},B={-1,1,3},则A∩B=() D. A.{-2,-1,0,1,3}B.{-1,1,3 角度2交集运算 C.1,3} D.{-2,1} 【例2】(1)已知集合A={1,3,5,7},B={2, ★(2)已知集合A={x|x>1},B={xlx< 3,4,5},则A∩B=( 5},则A∩B=( A.{3} B.{5} A.R B.{x|1<x<5} C.{3,5 D.(1,2,3,4,5,7} C.{xx>5} D.(z<1) 探究点二己知集合的交集、并集求参数 【例3】已知a∈R,集合A={-4,2a-1, [课堂笔记] a2},B={a-5,1-a,9).若9∈A∩B,则实数a 的值为 17 数学「第一章预备知识 |变式探究I例3中，将“9∈A∩B”改为 [课堂笔记] “A∩B={9》”,其余条件不变，求实数a的值及 AUB. 1变式探究例4(1)中，把“A∩B=心”改为 “A∩B≠”，求a的取值范围。 规律方法已知两个有限集运算结果求参数值 的方法 对于这类已知两个有限集的运算结果求参数值 的问题，一般先用观察法得到不同集合中元素之间的 关系，再列方程求解.另外，在处理有关含参数的集合 问题时，要注意对求解结果进行检验，检验求解结果 是否满足集合中元素的有关特性，尤其是互异性 规律方法已知集合运算求参数的思路 【例4】集合A={x|-1<x<1},B={x 此类问题常借助数轴解决，首先根据集合间的关 系画出数轴，然后根据致轴列出关于参数的不等式 x<a}. (组)求解，特别要注意端，点值的取舍，当集合的元素 (1)若A∩B=☑，求实数a的取值范围； 能一一列举时，常借助集合的关系列关于参数的方程 (2)若AUB={x|x<1},求实数a的取值 (组)求解，但求解后要代入检验是否符合题意， 范围。 标究点三集合的交集、并集性质的应用 【例5】设集合M={x|-2<x<5},N= 【例6】设集合A={xx2-2x=0},B={x {x|2-t<x<2t+1,t∈R}.若MUN=M,则实 x2-2ax十a2-a=0,a∈R}. 数t的取值范围为 (1)若A∩B=B,求a的取值范围； [课堂笔记] (2)若AUB=B,求a的值， [课堂笔记] 1变式训练31已知集合A={x|2a一1< x<a+1},B={x|-1≤x≤2. 444444444444 (1)若a=-1,求AUB; (2)若A∩B=A,求实数a的取值范围， 4444444 18 S1集合 规律方法利用交集、并集运算求参数的思路 (2)当M∩N=M时，求实数m的值. 思路一：涉及A∩B=B或AUB=A的问题，可 利用集合的运算性质，转化为集合之间的关系求 解，要注意空集的特殊性 本节要点归纳 思路二：将集合中的运算关系转化为两个集合之间 1.知识清单： 的关系，若集合中的元素能一一列举，则可用观察 法得到不同集合中元素之间的关系，要注意集合中 (1)交集、并集的概念及运算； 元素的互异性：与不等式有关的集合，则可利用数 (2)交集、并集的性质； 轴得到不同集合之间的关系 (3)由交集、并集的关系式求参数值或范围。 2.方法归纳：数形结合、分类讨论. I变式训练4已知集合M=(x|2x一4= 3.常见误区：由交集、并集的关系求解参数时 0},集合N={xx2-3x十m=0}, 漏掉对集合为空集的讨论；求解参数后，易忽视代 (1)当m=2时，求M∩N,MUN; 入原集合进行检验这一步骤 学以致用·随堂检测促达标 1.设集合A={x∈N+-1≤x≤2}，B={2,3}, 5.已知集合A={x|-2<x≤5}，B={x|m≤ 则AUB=() x<m十3，m∈R. A.{-1,0,1,2,3} (1)当m=3时，求A∩B; B.1,2,3} (2)若A∩B=B,求实数m的取值范围. C.[-1,2] D.[-1,3] 2.已知集合A={yly=2x,x∈R},B={(x,y) y=x+1,x,y∈R},则() A.A∩B={1,2} B.A∩B={(1,2)》 C.A=B=R D.A∩B=0 3.(2025广东清远开学考试)集合A={0,2,x2+ 1},B={0,x十3}，若A∩B=B,则x=() A.-1 B.0 C.2 D.-1或2 4.(2025云南曲靖高二期末)已知集合P={1, x},Q={1,-x2,2x-1},若PUQ=Q,则x 的取值集合是 19探究点二集合之间关系的判断 【例2】(1DA(2)AB(1)由 题意知，B={xx≥1}，将A,B 0十23456 表示在数轴上，如图所示，由数轴 可以看出，集合A中元素全部在集合B中，且B中至少存在一 个元素不属于集合A,所以AB （2)(方法-)对于集合A,取k=0,12,3…,得A=分 是号名…小对于集合B,取k=01235,67,得 (方法二)将集合A中元素的表达式通分，得A={工工 24,∈，B={=夸k∈2.2必+1∈刀可以表示 任何奇数，k可以表示任何整数.，，A云B. 【变式训练2】(1)C(2)A云B=C(1)由题意得集合 A={0,1.2任A,故A不正璃，0∈A,故B不正确：{0,1二A, 故C正确，（一1,1}≠A,故D不正确，故选C 2合A-=a+日ae2--a转aed, 合c-{-+日ee-{-结e :当a∈Z时，6a+1表示祓6除余1的数：当6∈Z时， 3b一2表示被3除余1的数：当c∈Z时，3c十1表示被3除徐1 的数，A毛B=C. 探究点三集合相等关系的应用 【例3】解“，A=B,.集合A与集合B中的元素相同， 1 =2xy解得日 {x=0,x=0, x=4 或 或 或。 ly=y* ly=2I. y=0y=1 1 y=2 验证得，当x=0,y=0时，与集合中元素的互异性相矛盾， 1 x=0, 舍去.故xy的取值为 y=1 1 =2 【变式探究】解'0∈B,A=B,,0EA.又由集合中元素 的互异性，可知x≠0，y≠0，.x≠0，xy≠0，故x一y=0,即 x=y.又|x≠y,x<0,1x|=-x,.A={x,x2,0},B= {0,-xx},∴x2=-x,解得x=-1或x=0(舍去)，∴x= y=-1. 探究点四由集合间的关系求参数的范围 【例4】解(1)若a=一1，则B={x一5<x<一3}. 3 如图在数轴上标出集合A,B。 具4。 由图可知，B壬A. (2)当B=☑时，2a-3≥a-2,解得a≥1. 当B≠☑时，2a一3<a一2，解得a<1. 2a-3≥-5， 由已知B二A,则 解得一1≤a≤4. a-2≤2， 又图为a<1,所以实数a的取值范因为[-1,1). 综上，实数a的取值范围为[一1，十co). 【变式探究1】解(1)不存在.因为A={x|一5<x<2}, 所以若A二B,则B一定不是空集， 2a-3<a-2,a<1, 此时有2a一3≤一5，即以a≤一1，显然实数a不存在. a-2≥2， a≥4， 【变式探究2】解①当B=⑦时，2a一3≥a-2,解得a≥1. 显然成立 ②当B+0时，2a-3<a-2,解得a<1. 由已知B二A,则2a一3≥2，或a一2≤-5， 解得e>号，或a<-3又因为a1,所以a<-3 综上，实数a的取值范围为{aa≥1，或a≤-3以. ⊙学以致用·随堂检测促达标 LD(方法一集合{z,y}的子集有0，{x},(y},{x,y, 共有4个 (方法二)集合内有2个元素，子集个数为2=4. 2.B易知N={一1,0)，故NM,故选B 3.B满足{2)二A(2,3,4}的集合可以为{2}，{2,3， (2,4},故集合A的个数为3.故选B 4.AC由题意知A二{1,8}，故选AC 5.32A=B,A,B中元素相同.x=3,y=2. 6.解Q={x{x-a≥0}=(xlx≥a}, 由P二Q,将集合P,Q在数轴上表示出来，如图 P. 寸012 由图可得a≤-2.故实数a的取值范围是(-o,-2]. 1.3集合的基本运算 第1课时交集与并集 ⊙基础落实·必备知识一遍过 知识点1 且 【思考辨析】 1.提示A∩B是把集合A,B中的公共元素组合在一起. 2.提示当两个集合有公共元素时，两个集合交集中的元素 一定在两个集合中：若两个集合没有公共元素，则两个集合的 交集是空集 3.提示若两个集合A,B的交集是空集，则两个集合中至 少有一个集合是空集或者两个集合不是空集，但是两个集合没 有公共元素 【自主诊断】 1.(1)×(2)×2.D 知识点2 所有或或 【思考辨析】 1.提示不一定，当两集合没有公共元素时，AUB中的元素 就是由集合A和集合B的所有元素组成，当两集合有公共元素 时，由集合中元素的互异性可知，两集合的公共元素只出现一次」 2.提示两个集合的并集是空集，则这两个集合都是空集 【自主诊断】 1.(1)×(2)/(3)/ 2.DA={xx<1},B={x|-1≤x≤1)， ∴.AUB={xx1} 3.解A∩B={xx是等腰直角三角形：AUB={xlx是 等腰三角形或直角三角形} ○重难探究·能力素养速提升 探究点一集合的交集与并集运算 【例1】(1)C(2)D(1)A={-1,3},B={1,3},AUB= （-1,1,3}. B (2)在数轴上表示出集合A,B,则 AUB-R 【变式训练1】(1)D(2)B(1)集合A={x∈Nx≤2= 《0,1,2},B=(2,3,所以AUB=〈0,1,2,3}. (2),P={x|-1<x<3},Q={x|0<x<1},.PUQ= 〈x一1<x3}.故选B 【例2】(1DC(2)A(1)直接由交集定义可得A∩B=(3,5. (2)在数转上表示出集合M M,N,如图， 。中州 ,.M∩N={xl1≤x2}. 【变式训练2】(1)C(2)B(1)周为A={一2,0,1,3}， B={-1,1,3},所以A∩B=1,3. (2)"A={xx>1),B={xx<5},.A∩B={x1<x5}. 探究点二已知集合的交集、并集求参数 【例3】5或-39∈A∩B,.9∈A,且9∈B, .2a-1=9或a2=9,解得a=5或a=士3. 当a=5时，A={一4,9,25}，B=(0,一4,9}，特合题意： 当a=3时，A={一4,5,9}，B=(-2,一2,9}，集合B不满 31 足集合中元素的互异性，故a≠3： 当a=一3时，A={一4，-7,9}，B={-8,4,9},符合题意. 综上可得实数a的值为5或一3. 【变式探究】解，A∩B={9},.9∈A .2a-1=9或a”=9,解得a=5或a=士3. 当a=5时，A={一4,9,25}，B={0,一4,9}， 由于A∩B={一4,9}，不符合题意，故a≠5： 当a=3时，A=(一4,5,9}，B={一2，一2,9}，集合B不满 足集合中元素的互异性，故a≠3： 当a=-3时，A={-4,-7,9},B={-8,4,9},且An B={9},符合题意 综上可得a■一3.此时AUB=(一8，一4，一7,4,9} 【例4】解(1)A={x一1<x<B 1,B={xlx<a},且A∩B=g,在 2012 数轴上表示出集合A,B,如图所示， .数轴上点x=a在，点x=一1左侧，且包含点x=一1， a的取值范围为（一∞，-1]. (2)A■{x-1<x<1},B={x| x<a},且AUB={zx<1},在数轴20a2文 上表示出集合A,B,如图所示， .数轴上点x=a在点x=一1和，点x=1之间，不包含点 x=一1，但包含点x=1. ∴a的取值范围为（一1,1]. 【变式探究】解利用数轴表示出两个集合（图略），可知要 使A∩B≠心，需数轴上点r=a在，点x=一1右侧且不包含，点 x=一1，所以a的取值范围为（一1，十∞）. 探究点三集合的交集、并集性质的应用 【例5】(-∞，2]由MUN=M得N二M,当N=☑时， +I2-,即1写地时MUN=M成主 2-<24+1, 当N中②时，由数轴可得2：+1≤5， 解得行<长2 2-t≥-2， MN☐ 2221方 综上可知，实数t的取值范围是（一∞，2]. 【变式训练3】解(1)因为当a=一1时，A={x一3<x< 0},B={x|一1≤x2},所以AUB={x一3<x2}. (2)因为A∩B=A,所以AB. 当A=②，即2a一1≥a十1，即a≥2时，满足题意， {a<2, 当A≠0，即a<2时，因为A二B,所以一12a一1， 2≥a+1, 所以0a≤1. 综上，宾数a的取值范围为{x0x≤1或x≥2}， 【例6】解由x2-2x=0,得x=0或x=2.∴A={0,2. (1)A∩B=B,∴B二A,∴.B=⑦或{0)或(2)或{0,2. 当B=3时，△=4a2-4(a8-a)=4a<0,∴.a<01 a2-a=0, 当B={0)时， a=0; △=4a=0, 14-4a十a2-a=0, 当B={2)时， 无解： 4=4a=0, f4-4a+a2-a=0, 当B={0,2}时，△=4a>0, 得a=1. a-a=0, 综上所迷，a的取值范围是{aa=l,或a≤0l. (2).AUB=B,..ACB. ”A={0,2},而B中方程至多有两个根， .A=B,由(1)知a=1. 【变式训练4】解(1)由题意得M={2}.当m=2时，N= {xx2-3x+2=0)={1,2},∴.MnN=2},MUN=1,2. (2),M∩N=M,.M∈N. M■{2}，.2∈N,,2是关于x的方程x一3x十m=0 的解，即4一6十m=0,解得m=2. ⊙学以致用·随堂检测促达标 1.B集合A={1,2},B=(2,3},则AUB=1,2,3}. 2.D集合A为数集，集合B为点集，元素类型不同，所以 A∩B=g. 3.C因为A∩B=B,所以B二A,若x+3=2,则 x=一1，此时x2十1=2，集合A不满足元素的互异性：若x十 3=x2+1,即x-x-2=0,可得x=2或x=一1（舍去），当 x=2时，A={0,2,5},B={0,5),满足题设，所以x=2.故选C 4.{-1,0}图为PUQ=Q,则P二Q, 若x=一x2,可得x=0或x=一1， 当x=0时，集合P={1,0},Q={1,0,一1，符合题意： 当x=一1时，集合P=1,一1)，Q=1,一1，一3}，符合题意。 若x=2x一1，可得x=1,不满足互异性，不符合题意 综上，x的取值集合是{一1,0 5.解(1)当m=3时，B={x|3x<6}, 又A=(x|-2<x≤5}，.A∩B=(x|3≤x≤5}. m>一2， (2)由A∩B=B得B二A,m<m十3，. m+35, 一2<m≤2，即实数m的取值范围是（一2,2]. 第2课时全集与补集 ⊙基础落实·必备知识一遍过 知识点 2.U0A 31 【思考辨析】 1提示不一定全集不是图定的，它是相对而言的.只要包 含所研究问题中涉及的所有元素即可。 2.提示由于补集是相对于某一个全集的补集，因此对于一 个确定的集合来说，全集不可时，该集合的补集也不相同 3.提示一个集合A的补集它包含两个方面：一是该集合是 全集的子集，二是该集合中的元素属于全集，但是不属于集合A. 【自主诊断】 1.(1)/(2)/(3)× 2.(xx<1)由补集的定义可得CA={xx<1. 3.1或一3由题可得a3十2a十2=5，解得a=1或a=一3， 所以实数a的值为1或一3. 4.解根据三角形的分类可知A∩B=心，AUB={zz是 锐角三角形或钝角三角形}，(AUB)={zx是克角三角形. 5解如困所示 U B B (1) (2) ○重难探究·能力素养速提升 探究点一补集的基本运算 【例1】(1)(2,3,5,7}(2){xx<-3,或x=5} (1)(方法一)A={1,3,5,7},CA={2,4,6},.U=(1, 2,3,4,5,6,7}.又B={1,4,6},.B=(2,3,5,7}. (方法二)满足题意的Vnn图如图所示 由图可知B={2,3,5,7}. (2)将全集U和集合A分别表示 U 在数轴上，如图所示，由补集的定义可 3 知CuA={xx<-3,或x=5} 【变式训练1】(1)ACD集合A={x∈Z2x+1≥0}= {ez≥-}，B=-1,01,2,所以AnB=01,2, 故选项A正确：AUB={x∈Zx≥一1，故选项B错误； A={eZz<-号}，所以(tA)nB=(-1,故选项C 正确：因为A∩B={0,1,2},所以A∩B的真子集个数为 23一1=7，故选项D正确.故选ACD. (2)解由已知U={x|-3x<5}U{x|x≥5} (xz≥-3}，又B={x1<x<3},所以CuB={x|-3≤x≤1 或x≥3}.