1.1.1 第2课时集合的表示-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

【变式探究】解有限制。由元素的互异性可得 a-2≠12， a≠14， 2a2+5a≠12，解得a≠ ,且a≠-4，所以实数a不能取 a-2≠2a2+5a. a≠-1 3 四个佳：14,2，-4，-1 ○学以致用·随堂检测促达标 1.C“好学校”不具有确定性，π的近似值不县有确定性， 因此0)③不能组成集合：平而直角坐标系中横坐标与纵坐标互 为相反数的点具有确定性，不大于5的自然数具有确定性，因此 ②④能组成集合. 2.BD 1≠x 3D根据集合中元素的互异性，得x≠x2,解得x≠0且 x2≠1， x≠士1. 4.10由集合中元素的互异性知，集合中的元素必须是互 不相同的（即没有重复现象），相阿的元素在集合中只能算作一 个，固此书架上的书组成的集合中有10个元素 第2课时集合的表示 ⊙基础落实·必备知识一遍过 知识点1 1.一一列举 【思考辨析】 1.提示a是一个元素，(a}是一个集合 2.提示由于集合中的元素具有无序性，因此使用列举法表 示集合时，对于元素之间的排列顺序没有要求】 3提示是，虽然表示代表元素的字母不同，但都表示由大 于5的所有实数组成的集合，因而表示同一个集合， 【自主诊断】 解(1){x∈N|x=2k,k=1,2,3,4,5} (2){1,2,3,12,21,13,31,23,32,123.132,213,231,312,321. (3){4,5,6}. (4){造纸术，指南针，火药，印刷术} 知识点2 1.有限个元素无限个元素2.空集② 【思考辨析】 提示空桑可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集 【自主诊断】 1.(1)×(2)/ 2.解(2)(3)中的集合是有限集，(1)中的集合是无限集」 知识点3 1.属于不属于2.无穷大 31 【思考辨析】 提示不是任何数集都能用区问表示，如集合{0,1,2)就不 能用区间表示 【自主诊断】 1.(1)×(2)×(3)/ 2.解(1)[-1,3].(2)(0,1.(3)[2,5).(4)(0,2).(5)(-∞， 3).(6)[2,十o∞). ○重难探究·能力素养速提升 探究点一集合的表示 【例1】解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那 么A=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. (2)设方程x2一工的所有实数根组成的集合为B,那么 B={0,1}. (3)设由20以内的所有质数组成的集合为C,那么C■{2， 3,5,7,11,13,17,19} x十y=3,x=2, 【变式训练1】解(1)由 得 x-y=1,y=1, 故所求集合为{(2,1). (2)不大于10的非负奇数集为{1,3,5,7,9}. (3)由题可知4一x的值为1,2,3,6，从而可以得到x的值 为3,2,1，-2，所以A={-2,1,2,3}. 【例2】解(1){(x,y)y=-x). (2)((x)|x>3). (3)不等式x一23的解是x<5,则不等式x一2<3的解 组成的集合用猫述法表示为{xx<5). 【变式训练2】解(1){(x,y)|x∈R,y=0}.(2)((x,y) y=x2-4.(3)(xx≠1. 【例3】解学生甲正确，学生乙错误.由于集合A的代表元 素为x,这是一个数，而不是点.因此满足条件的元素只能为 x=0,1:而不是实数对(0,0)，(1,1)，故学生甲正确. 【变式探究】解代表元素是点，所以这是点集，学生乙正确 探究点二集合表示方法的选择与转换 【例4】解(1)方程x3一9=0的实数根为一3,3， ∴列举法表示该集合为{一3,3引. (2)小于8的素数为2,3,5,7， .列举法表示孩集合为{2,3,5,7}. y=x+3, x=1, (3)联立 解得 y=-2x+6, y=4 ,列举法表示该集合为{(1,4)). (4)解不等式4x一5<3，得x<2, .描述法表示该集合为{xx<2} 【变式训练3】解(1)(-2，一1,0,1,2}. (2)(3,6,9}. (3){xx=2k-1,-1≤k≤3，k∈Z} 探究点三已知集合中元素个数求参数范围 【例5】解当k=0时，原方程为-8x+16=0,解得x=2. 此时集合A={2},满足题意.当≠0时，要使关于x的一元二 次方程kx2一8x十16=0有两个相等实根，只需△=64一64k= 0,即=1.此时方程的解为x1=x2=4,集合A=(4},满足题 意.棕上所述，实数k的值为0成1.当k=0时，A={2}:当k 1时，A={4}. k≠0， 【变式探究1】解由题意得 4=(-8)2-4×k×16>0, 解得，且k≠0.故k的取值范国为{k<1,且k≠0以. 【变式探究2】解①当集合A中含有1个元素时，由例5 知，k=0戏k=1: ②当集合A中没有元素时，方程kx2一8x十16=0无解， k≠0， 解得k>1。 △=(-8)2-4×k×16<0, 综上，实数k的取值范围为（德|=0，或k≥1}. ©学以致用·随堂检测促达标 1C由5+证=0，解得无=0成工=-青 故A=0,-号}.故选C 2.C选项A,B,D都含有元素，而选项C中无元素，故选C 3.D由x一9>0，解得x<一3或x>3,所以不等式 x2-9>0的解集是{xx<一3或x>3,故选D 4.A={(0,6),(1,5),(2,4),(3,3),(4,2),(5,1),(6,0)} 5.[2,11] 6.解(1)因为0和1是方程x(x一1D=0的解，所以A=(0,1. (2)因为集合B中元素的特征是横坐标与纵坐标都大于 零，所以B={(x,y)x>0,y>0} 1.2集合的基本关系 ⊙基础落实·必备知识一遍过 知识点1 2.A二B(或B2A)空集 【思考辨析】 1.提示不能.若集合A中存在某个元素，其不为集合B中 的元素，则集合A不是集合B的子集， 2.提示特号“二”表示集合与集合之间的包含关系，而符号 “∈”表示元素与集合之间的从属关系」 【自主诊断】 1.(1)×(2)/(3)/(4)/ 2.28{6}二A,.6m-6=6, ,∴m=2,集合A的子集有2=8个. 3 3.解☑，{a},{b},{c},{a,b},{a,c),{b,c},{a,b,c). 知识点2 A=B 【思考辨析】 提示只要组成两个集合的元素是一样的，我们就称这两个 集合是相等的。 【自主诊断】 1.(1)×(2)×(3)/ 2.一10由两个集合相等可知b=0,a=一1. 知识点3 A二BA≠B 【思考辨析】 1.提示空集只有子集没有真子集， 2提示{0}是含有一个元素0的集合，②是不含任何元素 的集合，而{⑦)是含有一个元素⑦的集合。 【自主诊断】 1.(1)×(2)×(3)× 2.A依题意B一{2,3,4}，所以集合B的真子集的个数为 22-1=7.故选A ○重难探究·能力素养速提升 探究点一写出给定集合的子集 【例1】解(1)集合{a,b,c,d}所有的子集为： 不含任何元素的子集为心：含有一个元素的子集为(a}, {b},{c},{d},含有两个元素的子集为{a,b},{a,c},{a,d}, {b,c},{b,d),{c,d}:含有三个元素的子集为{a,b,c},{a,b, d),{b,c,d},(a,c,d}:含有四个元素的子集为{a,b,c,d}. 其中除去集合a,b,c,d),剩下的都是{a,b,c,d}的真子集. (2) 集合 集合的子集 子集的个数 0 功 1 {a} ②，{a] 2 (a,b) ②，{a},(b},{a,b) g,{a},b),c},{a,b},{a a.b.c) 8 c),(b.c),la.b.c} 由此猜想：含n个元素的集合{a1a1,…,a.}的所有子集 的个数是2". 【变式训练1】解(1)集合A的所有子集是，{6)，(7}， {8),{6,7},{6,8},{7,8},{6,7,8}.在上迷子集中，除去集合A 本身，即{6,7,8，剩下的都是A的真子集 (2)根据子集的定义，可得集合M必定含有1,2两个元素， 而且含有5,6,7中的至多两个元素，因此，满足条件1,2}三 M{1,2,5,6,71的集合M有{1,2}，{1,2,5}，(1,2,6)，(1,2,7}， {1,2,5,6},{1,2,5,7,{1,2,6,7. 6本节要点归纳 1.知识清单： (1)元素与集合的概念、元素与集合的关系； (2)集合中元素的三个特性及其应用： 学以致用·随堂检测促达标 1.下列各组对象可以组成集合的是() ①某省所有的好学校； ②平面直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反 数的点； ③π的近似值； ④不大于5的自然数. A.①②B.②③ C.②④ D.③④ 2.(多选题)下列关系正确的是( ) A.0∈N+ B.(W2-√7)Q C.oQ D.8∈Z 第2课时 1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描 学习目标 2.了解空集的含义. 3.会用区间表示集合 基础落实·必备知识一遍过 知识点1集合的表示方法 1.列举法 列举法是把集合中的元素 出来写 在花括号“{}”内表示集合的方法，一般可将集 合表示为{a,b,c,…以.元素与无素之间 2.描述法 =必须用“”稀开 通过描述元素满足的条件表示集合的方法 叫作描述法.一般可将集合表示为{x及x的范 围引x满足的条件》，即在花括号内先写出集合中 元素的一般符号及范围，再画一条竖线“”，在竖 线后写出集合中元素所具有的共同特征. S1集合 (3)常用数集的表示. 2.方法归纳：分类讨论 3.常见误区：忽视集合中元素的互异性. 3.已知1，x,x2三个实数能组成一个集合，则x 满足的条件是( ) A.x≠0 B.x≠1 C.x≠士1 D.x≠0且x≠士1 4.一个书架上有十种不同的书，每种各3本，那么 由这个书架上的书组成的集合中含有 个元素， 集合的表示 述法 名师点睛 1.用列举法表示集合时，必须注意以下几，点： (1)集合的元素必须是明确的：(2)不必考虑元素出 现的先后顺序：(3)集合的元素不能重复；(4)集合的元素 可以表示任何事物，（⑤）对含有较多元素的集合，如果该 集合的元素具有明显的规律，可用列举法表示，但是必 须把元素间的规律显示清楚后，才能用省略号表示，如 N+也可表示为1,2,3，…，n,…. 2.描述法的一般形式是{x∈Ip(x)》.其中“x” 是集合中元素的一般符号的代表形式，简称代表元 素；“I”是x取值范围的一般代表形式；“p(x)”(可 以是符号表达式，也可以是文字表述形式)是集合中 5 数学「第一章预备知识 元素x的共同特征的一般代表形式.通常用于表示 无限集，或容易归纳其特征的集合。 3.用描述法表示集合时，若雾要多层次描述属性 时，可选用“且”与“或”等联结，如集合{x|x<0或 x≥3}. 4.元素的取值范围，从上下文关系来看，如果 x∈R是明确的，则∈R可以省略不写，如集合D= {x∈Rx<9}可以表示为D={xx<9}. 5,若描述部分出现代表元素以外的字母时，耍对 该字母说明其含义或指出其取值范围.如{x∈Zx= 2m}中m未被说明，故该集合中元素是不确定的. 6.所有描述的内容都要写在花括号内，如{x∈Z x=2m,m∈N4},此时m∈N+不能写到花括号外. 思考辨析 1.a与{a}有什么区别？ 2.使用列举法表示集合时，对于元素之间的排列 顺序有什么要求？ 知识点2集合的分类 1.含有 的集合叫作有限集， 含有 的集合叫作无限集。 2.不含任何元素的集合叫作 ,记作 、 名师点睛 1.集合的分类是按照集合中元素是有限个还是无 限个划分的，不是按元素多少，一个集合中元素有很多， 但是个数有限，也属于有限集 2.空集中不含有任何元素，{0}不是空集，因为它 3.集合A={xx>5}与B=(tlt>5}是否表示 同一个集合？ 自主诊断 (人救A版教材习题)把下列集合用另一种方法表 示出来： (1)2,4,6,8,10: (2)由1,2,3这三个数字抽出一部分或全部数字 (没有重复)所组成的一切自然数： (3)(x∈N|3<x<7}: (4)中国古代四大发明. 444444444444444444 含有元素0. 思考辨析 空集是有限集还是无限集？ 自主诊断 1.判断正误.（正确的画√，错误的画×） (1)大于1的整数所构成的集合可以用列举法表 示，属于有限集 () (2)一元二次方程实数解的集合可以是空集. () 2.(人教A版教材习题)下列集合中，哪些是有限集？ 哪些是无限集？ (1)使得式子√x一2有意义的所有实数组成的集合： 知识点3区间及其表示 1.设a,b是两个实数，且a<b,我们作出 规定 批条件不能省略 集合表示 符号表示 数轴表示 {xa≤x≤b】 [a,b] a b (rla<r<b (a,b) a b i {xla≤x<b} [a,b) 06 {xa<x≤b】 (a,b] a 6 这里的实数a,b称为区间的端点.在数轴上 表示区间时，用实心点表示 区间的端 点，用空心点表示 区间的端点. 2.实数集R也可用区间表示为（一∞， 十0∞)，符号“∞”读作“ ”,“一0∞”读作 “负无穷大”，“+∞”读作“正无穷大”.还可把满 足x≥a,x>a,r≤b,x<b的实数x的集合分别 表示为如下情况 “四”处一定要用开区闻朝号 集合表示符号表示 数轴表示 {x|x≥>a} [a,+o∞) (zlx>a) (a,+o) a {x|x≤b) (-∞，b] (Ilz<b) (-c∞，b) 方 3.[a,b]称为闭区间，(a,b),(a,+∞)， (-c∞，b)称为开区间，[a,b),(a,b],[a,+c∞)， (一∞，b]称为半开半闭区间. $1集合 (2)使得式子√3一工有意义的所有自然数组成的 集合； (3)方程x2=一1的所有实数解组成的集合. 名师点睛 1.区间只能表示数集 2.区间符号中的两个端点（字母或效字）之间只 能用“，”隔开 思考辨析 区间是数集的另一种表示方法，那么任何数集都 能用区间表示吗？ 自主诊断 1.判断正误.（正确的画/，错误的画×） (1)集合1}可用区间[1,1]表示. ( (2)区间可以表示空集。 ( (3)有的集合和区间可以互化 2.用区间表示下列集合： (1){x|-1≤x≤3}；(2){x0<x≤1}： (3){x|2≤x<5}:(4){x|0<x<2}: (5){xx<3}:(6){x|x≥2. 数学「第一章预备知识 重难探究·能力素养速提升 探究点一 角度1用列举法表示集合 【例1】用列举法表示下列集合： (1)小于10的所有自然数组成的集合； (2)方程x2=x的所有实数根组成的集合： (3)由20以内的所有质数组成的集合. [课堂笔记] 缸规律方法1.使用列举法表示集合时，应注意 以下几点： (1)在元素个数较少或元素间有明显规律时可用 列举法表示集合： (2)“{》”表示“所有”的含义，不能省略，且元素无 先后顺序，满足无序性， 2.用列举法表示集合时，要分清该集合是数集 点集，还是其他集合 1变式训练1用列举法表示下列集合： (1)直线x十y=3与x一y=1的交点组成的 集合； (2)不大于10的非负奇数集； (3A={x∈Z∈N. 8 集合的表示 角度2用描述法表示集合 【例2】用描述法表示下列集合： (1)函数y=一x的图象上的点组成的集合； (2)数轴上离原点的距离大于3的点组成的 集合； (3)不等式x一2<3的解组成的集合 [课堂笔记] 444444444444444444444044444444444444444444444444444444444 规律方法1.用描述法表示集合时应弄清楚集 合的属性，即它是数集、点集还是其他的类型.一般 地，数集用一个字母代表其元素，点集用一个有序实 数对代表其元素. 2.若描述部分出现代表元素以外的字母，则要说 明新字母含义或指出其取值范围。 1变式训练2用描述法表示下列集合： (1)平面直角坐标系中x轴上的点组成的 集合； (2)曲线y=x2一4上的点组成的集合； (3)使函数y= 一名有意义的实数工组成的 2 集合 【例】集合A=到可化简为什么： 以下是两位同学的答案，你认为哪一个正确？ 请说明理由， 学生甲：由 =x,得x=0或x=1,故A {0,1}； 学生乙：问题转化为求直线y=x与抛物线 y=x2的交点，得到A={(0,0),(1,1). [课堂笔记] 探究点二集合表 【例4】试选择适当的方法表示下列集合： (1)由方程x2一9=0的所有实数根组成的 集合； (2)由小于8的所有素数组成的集合； (3)一次函数y=x+3与y=-2x+6的图 象的交点组成的集合； (4)不等式4x-5<3的解集」 [课堂笔记] §1集合 444444 I变式探究|若把例3中的集合改为A= 哪位同学解答正确？ y=x2 示方法的选择与转换 规律方法表示集合时，应先根据题意确定符 合条件的元素，再根据元素情况选择适当的表示方 法.值得注意的是，并不是每一个集合都可以用两种 方法表示出来 1变式训练3用另一种方法表示下列集合： (1){绝对值不大于2的整数)： (2){能被3整除，且小于10的正数}： (3){-3,-1,1,3,5}. 9 数学|第一章预备知识 探究点三己知集合 【例5】若集合A={x|kx2-8x+16=0}中 只有1个元素，试求实数k的值，并用列举法表示 集合A. [课堂笔记] 1变式探究11例5中，若集合A中含有2个 元素，试求实数k的取值范围。 1变式探究21例5中，若集合A中至多有1 个元素，试求实数k的取值范围. 学以致用·随堂检测促达标 1.(2025云南玉溪高一期末)已知集合A={x| 5x2+4x=0},则集合A=() A.{0} a剖 co,-引 no,制 2.下列四个集合中，是空集的是() A.{0} B.{x|x>8或x<5} C.{x∈Rx2+1=0} D.{x∈N3.5<x<4.5} 3.(2025青海西宁高一阶段测试)不等式x2-9> 0的解集是() A.{x|-3<x<3} B.{xx<-3} C.(xla>3) D{xx<-3或x>3} 4.集合A={(x,y)|x十y=6,x,y∈N}用列举 法表示为 10 中元素个数求参数范围 德规律方法1.解答与描述法有关的问题时，明 确集合中代表元素及其共同特征是解题的切入点及 关键点 2.本题因不能确定kx2一8x十16=0是否为一 元二次方程，因而，需要分为k=0和k≠0两种情况 进行讨论，从而做到不重不漏。 3.解答集合与含有参数的方程的综合问题时，一 般要求对方程中最高次项的系数的取值进行分类讨 论，确定方程的根的情况，进而求得结果.需特别关注 判别式在讨论一元二次方程的实数根个数中的作用. 本节要点归纳 1.知识清单： (1)用列举法和描述法表示集合； (2)两种表示法的综合应用； (3)区间. 2.方法归纳：等价转化. 3常见误区：点集与数集的区别 5.集合{x|2≤x≤11}用区间表示为 6.(人教B版教材例题)用适当的方法表示下列 集合： (1)方程x(x一1)=0的所有解组成的集合A; (2)平面直角坐标系中，第一象限内所有点组成 的集合B.