1.1.1 第1课时集合的概念-【志鸿优化训练】2025-2026学年高中数学必修第一册(北师大版)

第一章 预备知识 §1集合 1.1集合的概念与表示 第1课时 集合的概念 L.通过实例，了解集合的含义. 2.掌握集合中元素的三个特性 学习目标 3.理解元素与集合的“属于”关系。 4.记住常用数集及其记法 基础落实·必备知识一遍过 知识点1集合的概念 自主诊断 不能铁少任何一员一 1.判断正误.（正确的画√，错误的画×） 般地，我们把指定的某些对象的全体称为 (1)组成集合的元素一定是数 ( 集合，通常用大写英文字母A,B,C,…表示 (2)接近于0的数可以组成集合. 集合中的 叫作这个集合的元 2.判断下列每组对象能否组成一个集合. 素，通常用小写英文字母a,b,c,…表示. (1)不超过36的非负数； 名师点睛 (2)方程x2一10=0在实数范围内的解； 组成集合的对象可以是数、图形、符号等，也可以 (3)某校2024年在校的所有成绩好的同学； 是人或物等 (4)π的近似值的全体 思考辨析 1.你能举例说出：初中阶段，我们在代数方面学 习过的集合吗？ 2.(人教B版教材习题)你所在的班级中，高个 子同学能组成一个集合吗？为什么？ 知识点2元素与集合的关系 名师点睛 关系 语言表述 符号表示 读法 1.a∈A与a任A取决于元素a是否在集合A 元素a在集合 元素a属于集 中，这两种情况有且只有一种成立. 属于 A中 合A 2.元素与集合之间只能用符号“∈”“任”，表示元 元素a不在集合 元素a不属于 素与集合之间的从属关系，具有方向性。 不属于 A中 集合A 1 数学「第一章预备知识 自主诊断 (1)4是集合A中的元素，即4属于集合A,记作 4∈A. 判断正误.（正确的画√，错误的画×） (2)9不是集合A中的元素，即9不属于集合A,记 设集合A表示小于10的所有质数组成的集合， 作9任A. () 知识点3集合中元素的三个特性 3.改变一个集合中元素的顺序，这个集合还是原 来的集合吗？ 特性 含义 示例 集合中的元素必须 是确定的，即有明“个子高的人”不能组成集 确定 确的判断标准来判合，“身高大于180cm的 性 断给定的元素是不人”可以组成集合 自主诊断 是属于某一集合 1.判断正误（正确的画√，错误的画×） 一个集合中的任何 方程(x一1)2=0的所有 (1)元素1,3,5和元素5,3,1组成的集合是不相 互异两个元素都不相 根组成的集合中只有“1” 同的. () 性 同，也就是说，集合 个元素 (2)一个集合中可以找到两个相同的元素.() 中的元素没有重复 2.已知a为实数，a一1和1是一个集合中的两个元 无序集合中的所有元素如1,2,3与3,2,1组成的集 素，则a应满足的条件是 性 不存在排列次序 合表示同一个集合 3.(人教A版教材习题)判断下列元素的全体是否组 成集合，并说明理由： 名师点睛 (1)A,B是平面a内的定点，在平面a内与A,B 1,确定性的作用是判断一组对象能否组成集合. 等距离的点； 2.互异性的作用是警示我们做题后要检验.特别 (2)高中学生中的游泳能手 是题中含有参数（字母）时，一定要检验求出的参数是 否使集合的元素满足互异性 思考辨析 1.方程x2十2x十1=0的解集中含有几个元素？ 2.某个等腰三角形的边长组成的集合中有几个 元素？正三角形呢？ 2 S1集合 知识点4几种常用的数集及其记法 思考辨析 集合 意义 记法 正整数集和自然数集的区别是什么？ 自然数集 全体自然数组成的集合 N 正整数集 全体正整数组成的集合 N+或N 整数集 全体整数组成的集合 Z 自主诊断 有理数集 全体有理数组成的集合 Q 实数集 全体实数组成的集合 R 1.判断正误.（正确的画、/，错误的画×） 正实数集 全体正实数组成的集合 R (1)0∈N+. (2)33∈N. 名师点睛 (3)N∈R 常用数集之间的关系 (4)3∈Q. ( 自然数正整数集N或N 2.(人教A版教材习题)用符号“∈”或“任”填空： 实 有理数整数集乃集N0组成的集合 0 N:-3 N 数 集 集Q 负整数集 0.5 Z√2 Z: 分数集 3 Q:π 无理数集 了重难探究·能力素养速提升 探究点一 集合的概念 【例1】(1)下列各组对象不能组成集合的是 规律方法一殷地，确认一组对象a1,a2,ag,… ( am(a1,a2,…,a.均不相同)能否构成集合的过程为： A.大于6的所有整数 B.高中数学的所有难题 一组对象 是否具有 具有 C.被3除余2的所有整数 a1a2.…an 确定性 能组成集合 D.函数y=二图象上所有的点 不具有 不能组成集合 (2)给出下列各组对象： ①我们班比较高的同学，②无限接近于0的 1变式训练1(1)下列给出的对象中能组成 数的全体；③比较小的正整数的全体：④平面上到 集合的是() 点O的距离等于1的点的全体：⑤正三角形的全 A.著名物理学家 体；⑥2的近似值的全体 B.很大的数 其中能够组成集合的有() C,聪明的人 A.1个 B.2个 D.小于3的实数 C.3个 D.4个 [课堂笔记] (2)下列各组对象可以组成集合的是( A数学必修第一册课本中所有的难题 B.小于8的所有素数 C.一些点 D.所有小的正数 3 数学|第一章预备知识 探究点二元素与集合的关系 【例2】(1)下列所给关系正确的个数是 规律方法判断元素与集合的关系的两种方法 ( 如果元素是直接给出的，那么只要判断该 ①1-π∈R;②2tQ:③0∈Z;④|-1| 直接法 元素在已知集合中是否出现即可.此时应明 确集合是由娜些元素组成的 N 对于一些元素没有直接给出的集合，只要 A.1 B.2 C.3 D.4 推理法 判断该元素是否满足集合中元素所具有的 特征即可，此时应明确已知集合中的元素具 ★(2)我们在初中学习过一元二次方程及其 有什么特征 解法.设A是方程x2一ax一5=0的解组成的 集合 1变式训练21(1)下列关系正确的是( ①0是不是集合A中的元素？ A.√2∈N B.-1∈N ②若-5∈A,求实数a的值. CEN D.9∈N ③若1任A,求实数a满足的条件. (3)若集合A是由所有形如3a十√2b(a∈Z, ★(2)已知集合A是由形如m十3n(其中 b∈Z)的数组成的，判断一6+2√2是不是集合A m,n∈ZD的数组成的，判断，。是不是集合A 2-5 中的元素 中的元素。 [课堂笔记] 操究点三集合中元素的特性及其应用 【例3】已知集合A含有三个元素a-2, 1变式探究本例中集合A中含有三个元 2a2+5a,12.若-3∈A,求实数a的值 素，实数a的取值是否有限制？ [课堂笔记] 规律方法由集合中元素的特性求解字母取值 的步骤 求解 根据集合中元素的确定性，解出 字母的所有取值 检脸 根据集合中元素的互性，对解 出的值进行检验 44444444 作答 写出所有符合题意的宇母的取值 S1集合 本节要点归纳 (3)常用数集的表示。 1.知识清单： 2.方法归纳：分类讨论。 (1)元素与集合的概念、元素与集合的关系； 3.常见误区：忽视集合中元素的互异性。 (2)集合中元素的三个特性及其应用： 学以致用·随堂检测促达标 1.下列各组对象可以组成集合的是() 3.已知1，x,x2三个实数能组成一个集合，则x ①某省所有的好学校： 满足的条件是( ②平面直角坐标系中横坐标与纵坐标互为相反 A.x≠0 数的点； B.x≠1 ③π的近似值； C.x≠士1 ④不大于5的自然数. D.x≠0且x≠士1 A.①② B.②③ C.②④ D.③④ 4.一个书架上有十种不同的书，每种各3本，那么 2.(多选题)下列关系正确的是( ) 由这个书架上的书组成的集合中含有 A.0∈N B.(W2-√7)tQ 个元素 C.0Q D.8∈Z 第2课时 集合的表示 1.掌握集合的两种表示方法：列举法和描述法。 学习目标 2.了解空集的含义. 3.会用区间表示集合 基础落实·必备知识一遍过 知识点1集合的表示方法 名师点睛) 1.列举法 1,用列举法表示集合时，必须注意以下几点： 列举法是把集合中的元素 出来写 (1)集合的元素必须是明确的：(2)不必考虑元素出 在花括号“{}”内表示集合的方法，一般可将集 现的先后顺序：(3)集合的元素不能重复；(4)集合的元素 合表示为{a,b,c,…以.元素与无素之闻 可以表示任何事物，（⑤）对含有较多元素的集合，如果该 集合的元素具有明显的规律，可用列举法表示，但是必 2.描述法 必须用“”稀开 须把元素间的规律显示清楚后，才能用省略号表示，如 通过描述元素满足的条件表示集合的方法 N+也可表示为{1,2,3，…，n,…. 叫作描述法.一般可将集合表示为{x及x的范 2.描述法的一般形式是{x∈I|p(x)》.其中“x” 围引x满足的条件》，即在花括号内先写出集合中 是集合中元素的一般符号的代表形式，简称代表元 元素的一般符号及范围，再画一条竖线“”，在竖 素；“I”是x取值范国的一般代表形式，“p(x)”(可 线后写出集合中元素所具有的共同特征 以是符号表达式，也可以是文字表述形式)是集合中 5附：答案与解析 正文部分答案与解析 第一章 预备知识 知识点4 【思考辨析】 提示自然数集中有0这个元素，正整数集中没有0这个元素. §1集合 【自主诊断】 1.(1)×(2)/(3)×(4)× 1.1集合的概念与表示 2.∈t任E∈∈ 第1课时集合的概念 ©重难探究·能力素养速提升 探究点一集合的概念 ⊙基础落实·必备知识一遍过 【例1】(1)B(2)B(1)速项A,C,D中的元素具有确定 知识点1 性：而选项B中，“难题”没有明确标准，不符合集合中元素的确 每个对象 定性，不能组成集合。 【思考辨析】 (2)①②③⑥不能组成集合，因为没有明确的判断标准：④ 1.提示自然数集合，有理数集合，实数集合，方程解的集 ⑤可以组成集合，“平面上到点O的距离等于1的点”和“正三 合，不等式解的集合等 角形”都有明确的判断标准。 2.提示不能，固为高个子没有明确的标准。 【变式训练1】(1)D(2)B(1)只有选项D有明确的标 【自主诊断】 准，能组成一个集合， 1.(1)×(2)× (2)A中“难题”的标准不确定，不能组成集合：B能组成集 2.解(1)对任意一个实数能判断出是不是“不超过36的非 合；C中“一些点”无明嘛的标准，对于某个点是否在“一些点”中 负数”，所以能组成集合： 无法确定，不能组成集合：D中“小”没有明确的标准，所以不能 (2)方程的解能组成集合： 组成集合 (3)“成绩好”无明确的标准，因此不能组成一个集合： 探究点二元素与集合的关系 (4)“π的近似值”不明确精确到什么程度，所以不能组成 【例2】(1)C根据各个数集的含义可知，①②③正确， 集合 ④不正确.故速C 知识点2 (2)解①将x=0代入方程左边，得0一a×0一5=一5≠ aEA aA 0,所以0不是集合A中的元素 【自主诊断】 ②若-5∈A,则有(-5)2-(-5)a-5=0,解得a=-4. (1)×(2)/ ③若1任A,则12一a×1一5≠0，解得a≠一4. 知识点3 (3)解是，因为一6十2√2=3×（一2）十√2×2，此时 【思考辨析】 a=一2∈Z,b=2∈Z,所以一6+2√2是集合A中的元意 1.提示1个元素. 【变式训练2】(1DD 2.提示1个或2个元素，1个元素. 3提示是. (2)解是.周为、1 =2十3，此时m=2,n=1,满足集合 2-√3 【自主诊断】 A中数的组成形式，所以。】 是集合A中的元素 1.(1)×(2)× 2-3 2.a≠2根据集合中元素的互异性可知a一1≠1，即 探究点三集合中元素的特性及其应用 a≠2. 【例3】解国为-3∈A,所以a-2=-3或2a2+5a=-3, 3.解(1)在平而a内与定点A,B等距离的，点可以组成集 3 解得a=-1或a=-含.当a=-1时，a-2=-3,2a2+ 合，理由：这些，点是确定的，即线段AB垂直平分线上的点， 5a■一3，不满足集合中元素的互异性，所以舍去a■一1，当 (2)高中学生中的游泳能手不能组成集合，理由：游泳能手 这一特征不明确 a=一昌时，经检验，特合题意，故a=一是 374 【变式探究】解有限制。由元素的互异性可得 【思考辨析】 a-2≠12， fa≠14， 提示不是任何数集都能用区问表示，如集合{0,1,2)就不 2a2+5a≠12， ，3 解得a≠2，且a≠-4，所以实数a不能取 能用区间表示 a-2≠2a2+5a. 【自主诊断】 a≠-1， 1.(1)×(2)×(3)/ 3 四个使14,2，-4，-1 2.解(1)[-1,3].(2)(0,1].(3)[2,5).(4)(0,2).(5)(-∞， ○学以致用·随堂检测促达标 3).(6)[2,十o). 1.C“好学校”不具有确定性，π的近似值不具有确定性， ○重难探究·能力素养速提升 因此①③不能组成集合：平而直角坐标系中横坐标与纵坐标互 探究点一集合的表示 为相反数的点具有确定性，不大于5的自然数具有确定性，因此 【例1】解(1)设小于10的所有自然数组成的集合为A,那 ②④能组成集合 么A=(0,1,2,3,4,5,6,7,8,9}. 2.BD (2)设方程x2一工的所有实数根组成的集合为B,那么 1≠x B={0,1}. 3.D根据集合中元素的互异性，得x≠x2,解得x≠0且 (3)设由20以内的所有质数组成的集合为C,那么C■{2， x2≠1， 3,5,7,11,13,17,19} x≠士1. 【变式训练1】解(1)由 x+y=3,x=2, 得 4.10由集合中元素的互异性知，集合中的元素必须是互 x-y=1,y=1, 不相同的（即没有重复现象），相可的元素在集合中只能算作一 故所求集合为{(2,1). 个，固此书架上的书组成的集合中有10个元素， (2)不大于10的非负奇数集为{1,3,5,7,9}. 第2课时集合的表示 (3)由题可知4一x的值为1,2,3,6，从而可以得到x的值 ⊙基础落实·必备知识一遍过 为3,2,1，-2，所以A=-2,1,2,3}. 知识点1 【例2】解(1){(x,y)1y=-x. 1.一一列举 (2)(x)1lx>3). 【思考辨析】 (3)不等式x一2<3的解是x<5,则不等式x一2<3的解 1.提示a是一个元素，(a}是一个集合 组成的集合用猫述法表示为{xx<5)。 2,提示由于集合中的元素具有无序性，因此使用列举法表 【变式训练2】解(1){(x,y)|x∈R,y=0.(2)(x,y)川 示集合时，对于元素之间的排列顺序没有要求 y=x2-41.(3)(xx≠1. 3.提示是，虽然表示代表元素的字母不同，但都表示由大 【例3】解学生甲正确，学生乙错误.由于集合A的代表元 于5的所有实数组成的集合，因而表示同一个集合 素为x,这是一个数，而不是点，因此满足条件的元素只能为 【自主诊断】 x=0,1:而不是实数对(0,0)，(1,1)，故学生甲正确. 解(1){x∈N|x=2k,k=1,2,3,4,5} 【变式探究】解代表元素是点，所以这是点集，学生乙正确」 (2){1,2,3,12,21,13,31,23,32,123,132,213,231,312,321}. 探究点二集合表示方法的选择与转换 (3){4,5,6}. 【例4】解(1)方程x一9=0的实数根为一3,3， (4){造纸术，指南针，火药，印刷术} ,列举法表示城集合为{一3,3}. 知识点2 (2)小于8的素数为2,3,5,7， 1.有限个元素无限个元素2.空集⑦ .列举法表示该集合为{2,3,5,7. 【思考辨析】 |y=x+3, 解得 x=1, (3)联立 提示空集可以看成包含0个元素的集合，所以空集是有限集. y=-2x+6, y=4, 【自主诊断】 “,列举法表示该集合为{(1,4). 1.(1)X(2)√ (4)解不等式4x一5<3，得x<2, 2.解(2)(3)中的集合是有限集，(1)中的集合是无限集， .描述法表示该集合为{xx<2} 知识点3 【变式训练3】解(1)(-2，一1,0,1,2， 1.属于不属于2.无穷大 (2)(3,6,9. 375