精品解析：河北省石家庄市第四十中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

九年级数学暑假返校练习 时间：40分钟 满分：100分 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（ ） A. 人的身高与年龄 B. 汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C. 正方形的面积与它的边长 D. 圆的周长与它的半径 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义，逐项判断即可求解． 【详解】解：、人的身高与年龄不成比例，故此选项不符合题意； 、汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度成反比例关系，故此选项不符合题意； 、正方形的面积与它的边长的平方成正比例，故此选项不符合题意； 、圆的周长与它的半径成正比例关系，故此选项符合题意； 故选：D 【点睛】本题主要考查了正比例函数的定义，熟练掌握形如（ 为常数） 的函数叫正比例函数是解题的关键． 2. 在平面直角坐标系中，和分别是正比例函数和图象上的点，则，一定满足（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据正比例函数的性质进行解答即可． 本题考查的是正比例函数的性质，熟知正比例函数的性质是解答此题的关键． 【详解】解：∵和分别是正比例函数和图象上的点， ∴，， ∴， 即， ∴． 故选：D 3. 一次函数（b为常数）的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，根据一次函数和判断即可． 【详解】解：，， ∵， ， ，即， 图象经过一、三、四象限， 图象不经过第二象限， 故选：B． 4. 下列命题中，假命题是( ) A. 两组对边平行的四边形是平行四边形 B. 三个角是直角的四边形是矩形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法逐项判断即可. 【详解】解：A、两组对边平行的四边形是平行四边形，本选项正确； B、三个角是直角的四边形是矩形，本选项正确； C、四条边相等的四边形是菱形，本选项正确； D、有一个角是直角的平行四边形是矩形，本选项为假命题； 故选D. 【点睛】本题考查了平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定方法，掌握判定定理是解题的关键. 5. 直线上有三个点，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，牢记“，随的增大而增大；，随的增大而减小”是解题的关键．由，利用一次函数的性质，可得出随的增大而增大，结合，即可得出． 【详解】解：， 随的增大而增大， 又直线上有三个点，，，且， ． 故选：C 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【详解】解：∵方程有两个不相等的实数根， ∴， 解得：，即异号， 当时，一次函数的图象过一三四象限， 当时，一次函数的图象过一二四象限， 故选：B． 7. 如图，若矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8，则△ABO的周长为(　 　) A. 16 B. 12 C. 24 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形性质求出AO=BO=4，得出等边三角形AOB，求出AB，即可求出答案． 【详解】∵四边形ABCD是矩形，AC=8， ∴AC=BD，AC=2AO，BD=2BO， ∴AO=BO=4， ∵∠AOD=120°， ∴∠AOB=60°， ∴△AOB是等边三角形， ∴AB=AO=4， ∴△ABO的周长是4+4+4=12， 故选：B． 【点睛】本题考查了矩形性质，等边三角形的性质和判定的应用，注意：矩形的对角线相等且互相平分． 8. 如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D等于（　　） A. 2 B. 3 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由S△ABC=9、S△A′EF=4且AD为BC边的中线知S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=，根据△DA′E∽△DAB知，据此求解可得． 【详解】解：如图， ∵S△ABC=9、S△A′EF=4，且AD为BC边的中线， ∴S△A′DE=S△A′EF=2，S△ABD=S△ABC=， ∵将△ABC沿BC边上的中线AD平移得到△A'B'C'， ∴A′EAB， ∴△DA′E∽△DAB， 则， 即， 解得A′D=2或A′D=-（舍）， 故选A． 【点睛】本题主要平移的性质，解题的关键是熟练掌握平移变换的性质与三角形中线的性质、相似三角形的判定与性质等知识点． 9. 如图，已知点轴于点C．点P为线段上一点，且．则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】先证△AOP∽△PCB，设OP=x，CP=4-x，得出，解方程即可． 【详解】解：∵BC⊥OC， ∴∠BCP=90°，∠PBC+∠BPC=90°， ∵ ∴∠APB=90°，∠APO+∠BPC=90°， ∴∠APO=∠PBC ∵∠AOP=90°， ∴∠AOP=PCB=90°， ∴△AOP∽△PCB， ∴， 设OP=x，CP=4-x， ， 整理得， 解得， 经检验4-x=4-2=2≠0， ∴是原方程的解 ∴点P（2，0）． 故选择D． 【点睛】本题考查图形与坐标，三角形相似判定与性质，可化为一元二次方程的分式方程，掌握图形与坐标，三角形相似判定与性质，可化为一元二次方程的分式方程是关键． 10. 如图是一个掐丝珐琅方胜式盒盖的纹样，由两个全等的菱形叠压组成．寓意优胜，优美和同心，若两个菱形的对角线分别为和，重叠部分是一个面积为的菱形，则这个图案的总面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查菱形的性质，熟练掌握是解答本题的关键．先求出两个菱形的面积再减去重叠部分． 【详解】解：菱形的面积：， 这个图案的总面积为：， 故选：A． 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 已知函数是正比例函数，则k的值为______． 【答案】1 【解析】 【分析】根据正比例函数的定义，列出关于的方程，求解即可得到的值． 【详解】解：∵函数是正比例函数， ∴， ∴． 12. 在一次函数中，随的增大而减小，且为正整数，则的值可以是________． 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的性质，熟练掌握一次函数的增减性与系数的关系是解题关键． 根据随的增大而减小，得出，即可求解． 【详解】解：∵在一次函数中，随的增大而减小， ∴，解得：， ∵k为正整数，则的值可以是（答案不唯一）． 故答案为：（答案不唯一）． 13. 电信公司手机的收费标准有两类，已知每月应缴费用（元）与通话时间（分）之间的关系如图所示．当通话时间为分钟时，按这两类收费标准缴费的差为_________元． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的应用，用待定系数法求函数解析式，用待定系数法求出函数解析式是解题的关键． 设类收费的解析式为，类收费的解析式为，分别用待定系数法求出函数解析式，当时，求出的值，计算即可得到答案． 【详解】解：设类收费的解析式为， 把代入得， 解得：， 类收费的解析式为； 设类收费的解析式为， 把代入得， 解得， 设类收费的解析式为； 当时， ， ， （元）， 当通话时间为分钟时，按这两类收费标准缴费的差为元， 故答案为：． 14. 如图，、两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取的中点，测得两点间的距离为，则两点间的距离为__________m． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了三角形的中位线性质，根据三角形的中位线性质解答即可求解，掌握三角形的中位线性质是解题的关键． 【详解】解：∵点分别为的中点， ∴为的中位线， ∴， 故答案为：40． 15. 如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点折叠至点处，则的面积为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查矩形中的折叠问题，解题的关键是掌握矩形的性质和翻折的性质； 设，根据翻折性质和勾股定理可得，即可解得答案． 【详解】解：∵在矩形纸片中，，， 设，则， 将矩形纸片折叠，使点B与点D重合，点A折叠至点E处， ∴，，， 在中 ， 即 解得． ∴的面积为： 故答案为． 16. 如图，在中，，点为垂足，__________． 【答案】4 【解析】 【分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，证明即求解，掌握相似三角形的判定与性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴，即， ∵， ∴， 故答案为：． 三、解答题（17、18题10分，19、20题11分，共42分） 17. 如图，在中，对角线，交于点，，． （1）当时，求证：是菱形； （2）当平分时，求证：四边形是矩形． 【答案】（1） 证明：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ∵， ∴，即， ∴是菱形； （2） 证明：∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴是菱形， ∴， ∴， 由（1）得四边形是平行四边形， ∴四边形是矩形． 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定和性质、平行四边形的性质及矩形的判定． （1）根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形，证明四边形是平行四边形，根据得到，根据菱形的判定即可求证结论； （2）利用平行线的性质及角平分线的定义可得，得到是菱形，根据菱形的性质求得，再根据矩形的判定即可求证结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 18. 某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润为10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元． (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属于第几档次产品？ (2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 【答案】(1) 第3档次；(2) 第5档次 【解析】 【分析】（1）根据生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元，即可求出每件利润为14元的蛋糕属第几档次产品； （2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，根据单件利润×销售数量=总利润，即可得出关于x的一元二次方程，解之即可得出结论． 【详解】（1）（14﹣10）÷2+1=3（档次）． 答：此批次蛋糕属第3档次产品． （2）设烘焙店生产的是第x档次的产品，则第x档次每件利润为：10+2（x-1）=（2x+8）元，生产的件数为：76-4（x-1）=（80-4x） 总利润为：（2x+8）×（80﹣4x）=1080， 整理得：x2﹣16x+55=0， 解得：x1=5，x2=11（舍去）． 答：该烘焙店生产的是第5档次的产品． 【点睛】考点：一元二次方程的应用． 19. 如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线经过点B交x轴于点C． （1）点A的坐标为________； （2）当时， ①求的面积； ②直接写出及内部横纵坐标都为整数的点的个数． 【答案】（1） （2）①3；②7 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数图象上点的坐标特征、一次函数的性质，解题时要熟练掌握并能灵活运用一次函数的性质是关键． （1）依据题意，令，则，又，则，进而可以判断得解； （2）①依据题意，当时，函数为，则令，则，故，又直线经过点B，进而可得直线，再令，则，解得，从而，又，则，故可得的面积为； ②依据题意，结合图象，又，，，从而可以判断得解． 【小问1详解】 解：由题意，令， ∴． ∵， ∴． ∴． 故答案为：． 【小问2详解】 解：①由题意，当时，函数为， ∴令，则． ∴． ∵直线经过点B， ∴， ∴直线， 令，则，解得， ∴， ∵， ∴， ∴的面积为． ②由题意，如图， ∵，，， ∴结合图象可得，及内部横纵坐标都为整数的点的个数为7． 20. 【发现】如图1，在中，D为上一点，连结，在上取一点E，连结，若，，求证：． 【应用】如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，，，若，求的长． 【答案】[发现]证明：∵， ∴， ∵， ∴， 又∵， ∴； [应用] 【解析】 【分析】本题考查了等边对等角，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质．熟练掌握等边对等角，相似三角形的判定与性质，平行四边形的性质是解题的关键． [发现]由，可得，则，进而可证； [应用]由平行四边形中，可得，，同理[发现]，可证，则，即，整理得，，计算求出满足要求的值，，然后求即可． 【详解】[发现]略 [应用]解：∵平行四边形中， ∴，， 同理[发现]，， ∵， ∴， ∴，即，整理得，， ∴， 解得，或（舍去）， ∴，， ∴的长为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学暑假返校练习 时间：40分钟 满分：100分 一、选择题（每题4分，共40分） 1. 下面各组变量的关系中，成正比例关系的有（ ） A. 人的身高与年龄 B. 汽车从甲地到乙地，所用时间与行驶速度 C. 正方形的面积与它的边长 D. 圆的周长与它的半径 2. 在平面直角坐标系中，和分别是正比例函数和图象上的点，则，一定满足（ ） A. B. C. D. 3. 一次函数（b为常数）的图象不经过（ ） A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限 4. 下列命题中，假命题是( ) A. 两组对边平行的四边形是平行四边形 B. 三个角是直角的四边形是矩形 C. 四条边相等的四边形是菱形 D. 有一个角是直角的平行四边形是正方形 5. 直线上有三个点，，，则，，的大小关系是（ ） A. B. C. D. 6. 若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则一次函数的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，若矩形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，∠AOD＝120°，AC＝8，则△ABO的周长为(　 　) A. 16 B. 12 C. 24 D. 20 8. 如图，将△ABC沿BC边上的中线AD平移到△A'B'C'的位置，已知△ABC的面积为9，阴影部分三角形的面积为4．若AA'=1，则A'D等于（　　） A. 2 B. 3 C. D. 9. 如图，已知点轴于点C．点P为线段上一点，且．则点P的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 如图是一个掐丝珐琅方胜式盒盖的纹样，由两个全等的菱形叠压组成．寓意优胜，优美和同心，若两个菱形的对角线分别为和，重叠部分是一个面积为的菱形，则这个图案的总面积为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每题3分，共18分） 11. 已知函数是正比例函数，则k的值为______． 12. 在一次函数中，随的增大而减小，且为正整数，则的值可以是________． 13. 电信公司手机的收费标准有两类，已知每月应缴费用（元）与通话时间（分）之间的关系如图所示．当通话时间为分钟时，按这两类收费标准缴费的差为_________元． 14. 如图，、两点被池塘隔开，在外选一点，连接和．分别取的中点，测得两点间的距离为，则两点间的距离为__________m． 15. 如图，在矩形纸片中，，将矩形纸片折叠，使点与点重合，点折叠至点处，则的面积为__________． 16. 如图，在中，，点为垂足，__________． 三、解答题（17、18题10分，19、20题11分，共42分） 17. 如图，在中，对角线，交于点，，． （1）当时，求证：是菱形； （2）当平分时，求证：四边形是矩形． 18. 某烘焙店生产的蛋糕礼盒分为六个档次，第一档次(即最低档次)的产品每天生产76件，每件利润为10元．调查表明：生产提高一个档次的蛋糕产品，该产品每件利润增加2元． (1)若生产的某批次蛋糕每件利润为14元，此批次蛋糕属于第几档次产品？ (2)由于生产工序不同，蛋糕产品每提高一个档次，一天产量会减少4件．若生产的某档次产品一天的总利润为1080元，该烘焙店生产的是第几档次的产品？ 19. 如图，直线分别交x轴、y轴于点A，B，直线经过点B交x轴于点C． （1）点A的坐标为________； （2）当时， ①求的面积； ②直接写出及内部横纵坐标都为整数的点的个数． 20. 【发现】如图1，在中，D为上一点，连结，在上取一点E，连结，若，，求证：． 【应用】如图2，在平行四边形中，对角线交于点O，E为上一点，连结，，，若，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $