精品解析：山西省阳泉市盂县 上社镇中学校2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

九年级数学练习题 （时间：120分 满分：120分） 一．选择题（共10小题） 1. 如果，那么下面各式：其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③ 2. 使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 3. 由线段，，组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，， 4. 在下列说法中是错误的是( ) A. 在中，若，则为直角三角形. B. 在中，若，则为直角三角形. C. 在中，若， ，则为直角三角形. D. 在中，若，则为直角三角形. 5. 为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（　　） A. ∠BCA＝45° B. AC＝BD C. BD的长度变小 D. AC⊥BD 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 7. 学习小组设计了一个 “接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学， 他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行， 最后完成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． 接力中， 自己负责的式子出现错误的是 （ ） A. 小明和小丽 B. 小红和小亮 C. 小明和小亮 D. 小丽和小红 8. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A. B. C. D. 9. 在一次中学生田径运动会上，参加跳远的名运动员的成绩如下表所示： 成绩（） 人数 则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的是（　　） A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 二．填空题（共5小题） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 12. 如图，在中，为边上的一点．，分别平分．若，则的长为___________． 13. 如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为________． 14. 某校组织数学学科竞赛为参加区级比赛做选手选拔工作，经过多次测试后，有三位同学成为晋级的候选人，具体情况如下表，如果从这三位同学中选出一名晋级(总体水平高且状态稳定)你会推荐________． 甲 乙 丙 平均分 方差 15. 如图，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为______． 三．解答题（共8小题，满分72分） 16. 解下列关于的一元二次方程： （1）； （2）． 17. 观察下面的变形规律： ， ， ， … 解答下面的问题： （1）计算： ； （2）若n为正整数，请你猜想 ； （3）计算：． 18. 如图，是网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是，请在图中格点上清晰标出一点C，使以为顶点的三角形是等腰三角形，且三边长均为无理数． 19. 如图，在菱形中，点、分别在、上，且，求证：． 20. 某中学为选拔“校园形象代言人”先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，，在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． 甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 m 9和10 85 乙 8 87 丙 8 n p 根据以上信息，回答下列问题： （1）______，______，______； （2）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致填“甲”、“乙”或“丙”，并说明理由； （3）按笔试成绩占，面试成绩占，选出综合成绩最高的同学． 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“筝形”的研究报告 研究对象：筝形 研究思路：类比四边形，按照“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 概念：两组邻边分别相等的四边形，称为筝形．如图1，在四边形ABCD中，，，则四边形是筝形． 判定：①两组邻边分别相等的四边形是筝形（定义）． ②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形． 任务： （1）根据上述材料，请你写出一个符合筝形定义的特殊平行四边形______． （2）将（1）中你写出的特殊平行四边形与筝形进行对比，分别写出一条相同点和不同点． （3）请你在如图2所示的正方形网格中画出一个筝形，使得，且筝形的顶点都在格点上． 22. 某商场计划购进甲、乙两种空调共50台，这两种空调的进价、售价如下表所示： 类型 进价（元/台） 售价（元/台） 甲 2300 2800 乙 3300 4000 （1）若该商场此次进货共用去13万元，则这两种空调各购进多少台； （2）若商场规定每种空调至少购进10台，并且在当月全部销售完，应怎样进货才能使商场在销售完这批空调时获利最多，并求出最大利润． 23. 如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 九年级数学练习题 （时间：120分 满分：120分） 一．选择题（共10小题） 1. 如果，那么下面各式：其中正确的是（ ） A. ①② B. ①③ C. ①②③ D. ②③ 【答案】D 【解析】 【分析】直接利用二次根式的有意义的条件及乘除法则进行化简再进行一一判断得出答案． 【详解】解：∵a+b＜0，ab＞0， ∴a，b同为负数， ∴无意义，故①错误； ，故②正确； ，故③正确； 故选：D． 【点睛】此题主要考查了二次根式的乘除及有意义的条件，正确掌握二次根式的性质是解题关键． 2. 使成立的条件是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件、解一元一次不等式组，熟练掌握二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件可得，再解一元一次不等式组即可得出答案． 【详解】解：由题意得，， 解得：． 故选：C． 3. 由线段，，组成的三角形不是直角三角形的是（ ） A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，， 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理的逆定理，根据勾股定理的逆定理可以判断各个选项中的条件能否构成直角三角形，从而求解即可，熟练掌握勾股定理的逆定理是解题的关键． 【详解】解：、∵，，， ∴，组成的三角形是直角三角形，不符合题意， 、∵，，， ∴，， ∴组成的三角形不是直角三角形，符合题意， 、∵，，， ∴，组成的三角形是直角三角形，不符合题意， 、∵，，， ∴，组成的三角形是直角三角形，不符合题意， 故选：． 4. 在下列说法中是错误的是( ) A. 在中，若，则为直角三角形. B. 在中，若，则为直角三角形. C. 在中，若， ，则为直角三角形. D. 在中，若，则为直角三角形. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，勾股定理的逆定理，熟练掌握直角三角形的判定定理是解题的关键． 分别根据直角三角形两锐角互余及勾股定理进行逐一解答即可． 【详解】解：A．，则三角形中最大角为， ∴为直角三角形，原说法正确，故该选项不符合题意； B．若，则， ∴，则为直角三角形，原说法正确，故该选项不符合题意； C．若， ，由勾股定理的逆定理可得：，则为直角三角形，原说法正确，故该选项不符合题意； D．， ∴设， ，则不是直角三角形，原说法错误，故该选项符合题意； 故选：D． 5. 为了研究特殊四边形，李老师制作了这样一个教具（如图1）：用钉子将四根木条钉成一个平行四边形框架ABCD，并在A与C、B与D两点之间分别用一根橡皮筋拉直固定，课上，李老师右手拿住木条BC，用左手向右推动框架至AB⊥BC（如图2）观察所得到的四边形，下列判断正确的是（　　） A. ∠BCA＝45° B. AC＝BD C. BD的长度变小 D. AC⊥BD 【答案】B 【解析】 【分析】根据矩形的性质即可判断． 【详解】解：∵四边形ABCD是平行四边形， 又∵AB⊥BC， ∴∠ABC＝90°， ∴四边形ABCD是矩形， ∴AC＝BD． 故选B． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、矩形的判定和性质等知识．解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型． 6. 在同一平面直角坐标系中，函数和的图象可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查了一次函数和正比例函数的图象，熟记一次函数的性质是解题的关键．先根据一次函数与坐标轴的交点排除B、C、D，进而可得出A正确． 【详解】解：∵， ∴一次函数过点，故B、C、D不合题意， A、由一次函数的图象可得即，而正比例函数图象可得，符合题意． 故选：A． 7. 学习小组设计了一个 “接力游戏”，用合作的方式完成二次根式的混合运算，如图，老师把题目交给一位同学， 他完成一步解答后交给第二位同学， 依次进行， 最后完成计算． 规则是每人只能看到前一人传过来的式子． 接力中， 自己负责的式子出现错误的是 （ ） A. 小明和小丽 B. 小红和小亮 C. 小明和小亮 D. 小丽和小红 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的混合运算，解题的关键是熟练掌握二次根式的运算法则． 利用二次根式的运算法则逐步进行判断即可． 【详解】解：由可得，小丽出现错误； 由可得，小红出现错误； 故选：D． 8. 如图，把一块含角的三角板放入的网格中，三角板三个顶点均在格点上，直角顶点与数轴上表示的点重合，则数轴上点A所表示的数为（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了数轴上的点与实数一一对应和勾股定理，正确理解题意是解题的关键； 本题需要通过勾股定理求得，进而得到，然后即可求解； 【详解】解：如图： ， 由题意可知，，，， ∴， ∴， ∴数轴上点A所表示的数为， 故选：C； 9. 在一次中学生田径运动会上，参加跳远的名运动员的成绩如下表所示： 成绩（） 人数 则这些运动员成绩的中位数、众数分别是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了中位数，众数的知识，根据中位数，众数概念求解即可，解题的关键是正确理解将一组数据按照从小到大或从大到小的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数，众数是出现次数最多的数据． 【详解】解：由题意参加跳远的有名运动员， ∴从小到大排列后，中位数是第个数据，为， ∵出现次，次数最多， ∴众数为， 故选：． 10. 如图，在正方形ABCD中，E为对角线AC上一点，连接DE，过点E作EF⊥DE，交BC延长线于点F，以DE，EF为邻边作矩形DEFG，连接CG．在下列结论中：①DE＝EF；②△DAE≌△DCG；③AC⊥CG；④CE＝CF．其中正确的是（　　） A. ②③④ B. ①②③ C. ①②④ D. ①③④ 【答案】B 【解析】 【分析】①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示：根据正方形的性质得到∠BCD＝90°，∠ECN＝45°，推出四边形EMCN为正方形，由矩形的性质得到EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°，根据全等三角形的性质得到ED＝EF，故①正确； ②利用已知条件可以推出矩形DEFG为正方形；根据正方形的性质得到AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°，推出△ADE≌△CDG（SAS），故②正确； ③根据②的结论可得∠ACG＝90°，所以AC⊥CG，故③正确； ④当DE⊥AC时，点C与点F重合，得到CE不一定等于CF，故④错误． 【详解】解：①过E作EM⊥BC于M点，过E作EN⊥CD于N点，如图所示： ∵四边形ABCD是正方形， ∴∠BCD＝90°，∠ECN＝45°， ∴NE＝NC， ∵∠EMC＝∠ENC＝∠BCD＝90°， ∴四边形EMCN为正方形， ∵四边形DEFG是矩形， ∴EM＝EN，∠DEN+∠NEF＝∠MEF+∠NEF＝90°， ∴∠DEN＝∠MEF， 又∠DNE＝∠FME＝90°， 在△DEN和△FEM中， ， ∴△DEN≌△FEM（ASA）， ∴ED＝EF，故①正确； ②∵矩形DEFG为正方形； ∴DE＝DG，∠EDC+∠CDG＝90°， ∵四边形ABCD是正方形， ∵AD＝DC，∠ADE+∠EDC＝90°， ∴∠ADE＝∠CDG， 在△ADE和△CDG中， ， ∴△ADE≌△CDG（SAS），故②正确； ③根据②得∠DAE＝∠DCG＝45°， ∴∠ACG＝90°， ∴AC⊥CG，故③正确； ④当DE⊥AC时，点C与点F重合， ∴CE不一定等于CF，故④错误， 综上所述：①②③正确． 故选：B． 【点睛】本题考查了正方形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，正确的作出辅助线是解（1）的关键． 二．填空题（共5小题） 11. 若式子在实数范围内有意义，则的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了二次根式有意义的条件，分式有意义的条件；根据这两个条件得，即可求解． 【详解】解：由题意得：， 解得：； 故答案为：． 12. 如图，在中，为边上的一点．，分别平分．若，则的长为___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行四边形的判定和性质是关键． 根据平行四边形的性质，运用勾股定理得到，如图所示，过点作交于点，得到四边形，四边形都是平行四边形，可证，得，同理得到，则，由此即可求解． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴， ∵，分别平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 如图所示，过点作交于点， ∴四边形，四边形都是平行四边形， ∴， 在中， ， ∴， ∴， 同理，，得， 在平行四边形中，， ∴， 故答案为：5 ． 13. 如图，已知直线与直线交于点，则关于的不等式的解集为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与一元一次不等式的关系，掌握数形结合思想成为解题的关键．从函数图象的角度看，就是确定直线在上方部分对应x的取值范围即可该不等式的解集． 【详解】解：把代入，得：，解得：， ∴直线与直线交于点， 当时，则． 故答案为：． 14. 某校组织数学学科竞赛为参加区级比赛做选手选拔工作，经过多次测试后，有三位同学成为晋级的候选人，具体情况如下表，如果从这三位同学中选出一名晋级(总体水平高且状态稳定)你会推荐________． 甲 乙 丙 平均分 方差 【答案】丙 【解析】 【分析】本题主要考查方差，根据平均数和方差的意义求解即可． 【详解】解：由表知乙、丙成绩的平均数最高，而丙的方差比乙小， ∴丙总体水平高且状态稳定， ∴如果从这四位同学中选出一名晋级(总体水平高且状态稳定)会推荐丙， 故答案为：丙． 15. 如图，在菱形中，，，过点作，交的延长线于点，则线段的长为______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质，菱形的面积，勾股定理等知识点，解题的关键是熟练掌握菱形的性质． 连接，交于点，利用菱形的性质和勾股定理求出对角线的长度，利用菱形的等面积法，即可求出的长度． 【详解】解：如图，连接，交于点， ∵四边形为菱形， ， 由勾股定理得，， ∴， ， ， ∴， 故答案为：． 三．解答题（共8小题，满分72分） 16. 解下列关于的一元二次方程： （1）； （2）． 【答案】（1），； （2），． 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （）利用公式法求解即可； （）利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解：， ∴方程有两个不相等的实数根， ∴， ∴，； 【小问2详解】 解：， 或， ∴，． 17. 观察下面的变形规律： ， ， ， … 解答下面的问题： （1）计算： ； （2）若n为正整数，请你猜想 ； （3）计算：． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】本题考查平方差公式，二次根式的混合运算，熟练掌握平方差公式是解题的关键； （1）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解； （2）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解； （3）根据平方差公式即二次根式混合运算法则计算即可求解； 【小问1详解】 解：； 故答案为： 【小问2详解】 解：； 故答案为： 【小问3详解】 解： 18. 如图，是网格中的格点，网格中的每个小正方形的边长都是，请在图中格点上清晰标出一点C，使以为顶点的三角形是等腰三角形，且三边长均为无理数． 【答案】 点，即为所求： 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理与无理数，等腰三角形的定义，先根据勾股定理求出的长，再根据等腰三角形的定义分别找出以为腰和以为底边的等腰三角形即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：理由：∵， 当为腰时，，，， 此时，， ∴点，符合题意； 此时为有理数， ∴点不符合题意； 当为底时，无格点三角形使得以为顶点的三角形是等腰三角形， 综上可得：点，即为所求． 19. 如图，在菱形中，点、分别在、上，且，求证：． 【答案】 证明：四边形是菱形 在和中， ， (ASA) 即． 【解析】 【分析】菱形中，四边相等，对角相等，结合已知条件，可利用三角形全等进行证明，得到，再线段之差相等即可得证． 【详解】略 【点睛】本题考查了三角形全等的证明，菱形的性质，根据题意找准三角形证明的条件，利用角边角进行三角形全等的证明是解题的关键． 20. 某中学为选拔“校园形象代言人”先后进行了笔试和面试，在笔试中，甲、乙、丙三位同学脱颖而出，他们的笔试成绩（满分为100分）分别是87，85，，在面试中，十位评委对甲、乙、丙三位同学的表现进行打分，每位评委最高打10分，面试成绩等于各位评委打分之和．对三位同学的面试数据进行整理、描述和分析，并给出了相关信息． 甲、乙、丙三位同学面试情况统计表 同学 评委打分的中位数 评委打分的众数 面试成绩 方差 甲 m 9和10 85 乙 8 87 丙 8 n p 根据以上信息，回答下列问题： （1）______，______，______； （2）通过比较方差，可判断评委对学生面试表现评价的一致性程度．据此推断评委对______同学的评价更一致填“甲”、“乙”或“丙”，并说明理由； （3）按笔试成绩占，面试成绩占，选出综合成绩最高的同学． 【答案】（1）9，8，83 （2）乙 （3）综合成绩最高的是乙 【解析】 【分析】本题考查折线统计图，中位数、众数、方差以及加权平均数，理解中位数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据中位数和众数的定义可得m、n的值；把十位评委的打分相加可得p的值； （2）根据方差的意义解答即可； （3）根据加权平均数公式计算即可． 【小问1详解】 解：把甲的得分从小到大排列，排在中间的两个数分别是9，9，故中位数， 由扇形图可知丙的得分8分的最多，故众数； ， 故答案为：9，8，83； 【小问2详解】 解：由题意可知，甲的方差比丙的小，由折线统计图可知乙的得分的波动比甲小，所以评委对乙同学的评价更一致； 故答案为：乙； 【小问3详解】 解：甲的综合成绩为：（分）， 乙的综合成绩为：（分）， 丙的综合成绩为：（分）， 因为， 所以综合成绩最高的是乙． 21. 阅读与思考 下面是博学小组研究性学习报告的部分内容，请认真阅读，并完成相应任务． 关于“筝形”的研究报告 研究对象：筝形 研究思路：类比四边形，按照“概念—性质—判定”的路径，由一般到特殊进行研究． 概念：两组邻边分别相等的四边形，称为筝形．如图1，在四边形ABCD中，，，则四边形是筝形． 判定：①两组邻边分别相等的四边形是筝形（定义）． ②有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形是筝形． 任务： （1）根据上述材料，请你写出一个符合筝形定义的特殊平行四边形______． （2）将（1）中你写出的特殊平行四边形与筝形进行对比，分别写出一条相同点和不同点． （3）请你在如图2所示的正方形网格中画出一个筝形，使得，且筝形的顶点都在格点上． 【答案】（1）菱形（答案不唯一） （2） 相同点：菱形和筝形的对角线都互相垂直； 不同点：菱形的四条边都相等，筝形的两组邻边分别相等； （3） 如图所示，筝形即为所求， 【解析】 【分析】本题考查了筝形的定义和判定，特殊平行四边形的性质，勾股定理，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据筝形的定义可知菱形符合； （）根据筝形的性质和菱形的性质可得答案； （）根据两组邻边分别相等的四边形是筝形作图即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 由网格可知，，， 由两组邻边分别相等的四边形是筝形可知筝形即为所求． 22. 某商场计划购进甲、乙两种空调共50台，这两种空调的进价、售价如下表所示： 类型 进价（元/台） 售价（元/台） 甲 2300 2800 乙 3300 4000 （1）若该商场此次进货共用去13万元，则这两种空调各购进多少台； （2）若商场规定每种空调至少购进10台，并且在当月全部销售完，应怎样进货才能使商场在销售完这批空调时获利最多，并求出最大利润． 【答案】（1）购进甲空调35台，购进乙空调15台 （2）购进甲空调10台、乙空调40台才能使商场在销售完这批空调时获利最多，最大利润为33000元 【解析】 【分析】本题考查二元一次方程组，一元一次不等式组，一次函数的实际应用： （1）设购进甲空调x台，购进乙空调y台，根据题意，列出二元一次方程组进行求解即可； （2）设购进甲空调m台，则购进乙空调台，根据题意，列出不等式组，求出的取值范围，设获得的总利润为W元，列出一次函数解析式，利用一次函数的性质求最值即可． 【小问1详解】 解：设购进甲空调x台，购进乙空调y台． 根据题意，得， 解得． 答：购进甲空调35台，购进乙空调15台． 【小问2详解】 设购进甲空调m台，则购进乙空调台． 根据题意，得， 解得． 设获得的总利润为W元，则， ∵， ∴W随m的减小而增大， ∵， ∴当时，W的值最大，， （台）． 答：购进甲空调10台、乙空调40台才能使商场在销售完这批空调时获利最多，最大利润为33000元． 23. 如图1，将矩形沿过点的直线折叠，使得点的对应点落在边上，折痕与交于点． （1）判断四边形的形状，并说明理由． （2）如图2，点是的中点，勤学小组的同学将矩形沿直线折叠，点的对应点为，连接并延长，交于点． ①试判断四边形的形状，并说明理由． ②连接交于点，点是的中点，若点是的三等分点，，直接写出的长． 【答案】（1） 四边形为正方形． 理由:矩形， ， 折叠， ，， 四边形是正方形； （2）①四边形为平行四边形． 理由：矩形， ， 点是的中点， ， 折叠， ，， ， ，， ， ， ， 四边形是平行四边形； ②的长为或． 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质、折叠的性质、正方形和平行四边形的判定以及勾股定理的应用． （1）根据矩形和折叠的性质判断四边形的形状； （2）①利用矩形和平行线的性质以及折叠性质来判定四边形的形状； ②根据点是的三等分点分情况讨论，结合勾股定理求出的长度． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 ①略 ②四边形是平行四边形， ， 点是的中点， ， ，，， 是矩形， 当是的下方的三等分点时， ，点是的中点， ， 是矩形， ∴， 由折叠可得， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 当是的上方的三等分点时， ，点是的中点， ， ，，， ， ， ， ， 四边形是平行四边形， ， ， 综上所述，的长为或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $