4.3等可能条件下的概率（二）同步练习2025-2026学年苏科版数学九年级上册

4.3等可能条件下的概率（二） 学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________ 一、单选题 1．某校课外活动期间开展跳绳、踢毽子、韵律操三项活动，甲、乙两位同学各自任选其中一项参加，则甲选择跳绳、乙选择韵律操的概率是（   ） A． B． C． D． 2．如图，在正方形网格中，黑色部分的图形构成一个轴对称图形，现在任意选取一个白色的小正方形并涂黑，使黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是（    ） A． B． C． D． 3．小张抛一枚质地均匀的硬币，出现正面朝上的可能性是（ ） A．25% B．50% C．75% D．85% 4．有三张正面分别标有数字－2 ，3, 4 的不透明卡片，它们除数字不同外，其余全部相同，现将它们背面朝上洗匀后，  从中任取一张（不放回），再从剩余的卡片中任取一张，  则两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是（   ） A． B． C． D． 5．一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球和4个黄球，每个球除颜色外都相同．从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是(   ) A． B． C． D． 6．从2，3,4，5中任意选两个数，记作和，那么点（，）在函数图象上的概率是( ) A． B． C． D． 7．下列说法正确的是（     ） A．“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是随机事件 B．某种彩票的中奖率为，说明每买1000张彩票，一定有一张中奖 C．抛掷一枚质地均匀的硬币一次，出现正面朝上的概率为 D．“概率为1的事件”是必然事件 8．某学习小组做“用频率估计概率”的实验时，统计了某一结果出现的频率，绘制了如表的表格，则符合这一结果的实验最有可能的是（    ） 实验次数 100 200 300 500 800 1000 2000 频率 0.365 0.328 0.330 0.334 0.336 0.332 0.333 A．抛一枚硬币，出现正面 B．一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃 C．抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标1，2，3，4，5，6），向上的面点数是5 D．从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球 9．四条直线y＝﹣x﹣6，y＝﹣x+6，y＝x﹣6，y＝x+6围成正方形ABCD．现掷一个均匀且各面上标有1，2，3，4，5，6的立方体，每个面朝上的机会是均等的．连掷两次，以面朝上的数为点P的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标），则点P落在正方形面上（含边界）的概率是（　　） A． B． C． D． 10．甲、乙两人一起玩如图4的转盘游戏，将两个转盘各转一次，指针指向的数的和为正数，甲胜，否则乙胜，这个游戏（  ）    A．公平 B．对甲有利 C．对乙有利 D．公平性不可预测 11．班级联欢会上举行抽奖活动：把写有每位同学名字的小纸条投入抽奖箱，其中男生25名，女生23名，老师从中随机抽出1张，若抽到男生的概率为，抽到女生的概率为，则与的大小关系为（　　） A． B． C． D． 12．同时抛掷两枚质地均匀的硬币，每枚硬币落地后都只可能是正面朝上或者反面朝上．记“两枚硬币都正面朝上”为事件A，“两枚硬币都反面朝上”为事件B，“一枚正面朝上和一枚反面朝上”为事件C，则下列说法正确的是（    ） A． B． C．，并且 D．事件A、B、C均为随机事件，所以、、的大小不确定 二、填空题 13．密码锁的密码是一个四位数字的号码，每位上的数字都可以是0到9中的任一个，某人忘了密码的最后一位号码，此人开锁时，随意拨动最后一位号码正好能把锁打开的概率是 ．若此人忘了中间两位号码，随意拨动中间两位号码正好能把锁打开的概率是 ． 14．学校联欢会设计了一个“配紫色”游戏：如图是两个可以自由转动的转盘，A盘被分成面积相等的几个扇形，B盘中蓝色扇形区域所占的圆心角是．同学们同时转动两个转盘，如果其中一个转盘转出了红色，另一个转盘转出了蓝色，那么可以配成紫色，赢得游戏．若小赵同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是 ．    15．抽屉里放着黑、白两种颜色的袜子各1双(除颜色外其余都相同)，在看不到的情况下随机摸出两只袜子，它们恰好同色的概率是 ． 16．在如图所示的正方形和圆形组成的盘面上投掷飞镖，飞镖未落在阴影区域的概率是 ． 17．小明参加普法知识竞答，共有10个不同的题目，其中选择题6个，判断题4个，今从中任选一个，选中 的可能性较小． 三、解答题 18．在一个不透明的盒子中只装有2个白色围棋子和1个黑色围棋子，围棋子除颜色外其余均相同．从这个盒子中随机地摸出1个围棋子，记下颜色后放回，搅匀后再随机地摸出1个围棋子记下颜色．请用画树状图（或列表）的方法，求两次摸出的围棋子颜色都是白色的概率． 19．如图1转盘被等分为等份，如图正方形顶点处各有一个圆圈．跳圈游戏的规则为：游戏者每转动转盘一次，当转盘停止运动时，指针所落扇形中的数字是几（当指针落指向分界线时，重新转动转盘），就沿正方形的边顺时针方向连续跳几个边长． 请回答下列问题： (1)若嘉嘉从圆圈起跳，则她仅转动一次转盘，就能跳回到圈的概率_______； (2)若淇淇从圆圈起跳，则她转动一次转盘跳回到圈的概率与（）中嘉嘉的概率一样大吗？通过计算说明理由． 20．掷一枚质地均匀的骰子，观察向上一面的点数，求下列事件的概率： （1）点数为2； （2）点数为奇数； （3）点数大于2且小于5． 21．某校在践行以“安全在我心中，你我一起行动”为主题的手抄报评比活动中，共设置了“交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全”四个主题内容，推荐甲和乙两名学生参加评比，若他们每人从以上四个主题内容中随机选择一个，每个主题被选择的可能性相同． (1)甲选择“校园安全”主题的概率为______； (2)请用画树状图法或列表法求甲和乙选择不同主题的概率． 22．某班开展“讲数学家故事”的活动．下面是印有四位中国数学家纪念邮票图案的卡片A，B，C，D，卡片除图案外其它均相同．将四张卡片背面朝上，洗匀后放在桌面上，小明同学从中随机抽取两张，讲述卡片上数学家的故事． (1)请写出小明抽到的两张卡片所有可能出现的结果； (2)求小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率． 23．现有A，B两个不透明的袋子，A袋的4个小球分别标有数字1，2，3，4；B袋的3个小球分别标有数字1，2，3．（每个袋中的小球除数字外，其它完全相同．） （1）从A，B两个袋中各随机摸出一个小球，则两个小球上数字相同的概率是 　 　； （2）甲、乙两人玩摸球游戏，规则是：甲从A袋中随机摸出一个小球，乙从B袋中随机摸出一个小球，若甲、乙两人摸到小球的数字之和为奇数时，则甲胜；否则乙胜，用列表或树状图的方法说明这个规则对甲、乙两人是否公平． 24．甲、乙两人做掷六面体骰子的游戏，双方规定，若掷出的骰子的点数大于3，则甲胜，若掷出的点数小于3，则乙胜，游戏公平吗？若不公平，请你设计出一种对于双方都公平的游戏． 《4.3等可能条件下的概率（二）》参考答案 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 答案 A B B C A D D D D A 题号 11 12 答案 A C 1．A 【分析】本题主要考查了古典概型的概率公式，画出树状图，利用概率公式求解即可，正确的运算是解题的关键． 【详解】解：将跳绳、踢毽子、韵律操分别记为A，B，C，画树状图如图． 由树状图可知，共有种等可能的结果，其中甲选择跳绳、乙选择韵律操的结果有种， 甲选择跳绳、乙选择韵律操的概率是． 故选：A． 2．B 【分析】由在正方形网格中，任选取一个白色的小正方形并涂黑，共有13种等可能的结果，使图中黑色部分的图形构成一个轴对称图形的有5种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案． 【详解】解：如图： 根据轴对称图形的概念，轴对称图形两部分沿对称轴折叠后可重合，白色的小正方形有13个，而能构成一个轴对称图形的有5个情况， 使图中黑色部分的图形仍然构成一个轴对称图形的概率是：． 故选：B． 【点睛】此题考查了概率公式的应用．解题的关键是注意用到的知识点为：概率所求情况数与总情况数之比．也考查了轴对称图形的定义． 3．B 【分析】抛一枚质地均匀的硬币，有正面朝上、反面朝上两种结果，每种结果等可能出现，从而得出答案． 【详解】抛一枚质地均匀的硬币，有正面朝上、反面朝上两种结果， 故正面朝上的概率=50%， 故选B． 【点睛】本题主要考查了古典概率中的等可能事件的概率求解，如果一个事件有n种可能，且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率表示为． 4．C 【详解】画树状图得： ∵共有6种等可能的结果，两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的有2种情况， ∴两次抽取的卡片上的数字之积为正偶数的概率是：. 故选C. 【点睛】本题考查运用列表法或树状图法求概率．注意画树状图法与列表法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件；树状图法适合两步或两步以上完成的事件． 5．A 【分析】根据题意可知，从中任意摸出1个球，一共有9种可能性，其中摸到红球的可能性有2种，从而可以计算出相应的概率． 【详解】解：一个不透明的袋子中装有2个红球、3个白球和4个黄球， 从中任意摸出1个球，一共有9种可能性，其中摸到红球的可能性有2种， 从中任意摸出1个球，摸到红球的概率是， 故选：A． 【点睛】本题考查概率公式，解答本题的关键是明确题意，求出相应的概率． 6．D 【详解】试题分析：画树状图得： ∵共有12种等可能的结果，点（a，b）在函数图象上的有（3，4），（4，3）； ∴点（a，b）在函数图象上的概率是：=． 故选D． 考点：1．列表法与树状图法；2．反比例函数图象上点的坐标特征． 7．D 【详解】A、“任意画出一个等边三角形，它是轴对称图形”是必然事件，选项错误； B. 某种彩票的中奖概率为，说明每买1000张，有可能中奖，也有可能不中奖，故B错误； C. 抛掷一枚质地均匀的硬币一次,出现正面朝上的概率为，故C错误； D. “概率为1的事件”是必然事件，正确. 故选：D. 8．D 【分析】根据利用频率估计概率得到实验的概率在0.33左右，再分别计算出四个选项中的概率，再进行判断． 【详解】A、抛一枚硬币，出现正面的概率是，不符合题意； B、一副去掉大小王的普通扑克牌洗匀后，从中任抽一张牌的花色是红桃的概率是，不符合题意； C、抛一个质地均匀的正六面体骰子（六个面上分别标1，2，3，4，5，6），向上的面点数是5的概率是，不符合题意； D、从一个装有2个白球和1个红球的袋子中任取一球，取到红球的概率是，符合题意， 故选：D． 【点睛】此题考查频率估计概率，计算简单事件的概率，正确理解题意计算出各事件的概率是解题的关键． 9．D 【分析】首先确定点P的坐标，根据这个坐标可求出点P落在正方形面上（含边界）的概率． 【详解】解：连掷两次，以面朝上的数为点P的坐标（第一次得到的数为横坐标，第二次得到的数为纵坐标），共6×6＝36种；符合题意的有： (1，1)，(1，2)，(1，3)，(1，4)，(1，5)，(2，1)，(2，2)，(2，3)，(2，4)，(3，1)，(3，2)，(3，3)，(4，1)，(4，2)，(5，1)共15个，概率是＝． 故选：D． 【点睛】本题将概率的求解设置于点P的坐标中，考查学生对简单几何概型的掌握情况，既避免了单纯依靠公式机械计算的做法，又体现了数学知识在现实生活、甚至娱乐中的运用，体现了数学学科的基础性．用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 10．A 【分析】采用列表法列举分别求出指针指向的数的和为正数的概率和为非正数的概率，比较二者概率即可作答． 【详解】列表如下：    总的情况数为8种，为正数的情况有4种，为非正数的情况有4种， 指针指向的数的和为正数的概率为：； 指针指向的数的和为非正数的概率为：； ∵，概率相同， ∴甲、乙获胜的概率相同， 即游戏对二人公平， 故选：A． 【点睛】本题考查的是用列表法或画树状图法求概率，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件．注意概率=所求情况数与总情况数之比． 11．A 【分析】本题主要考查了随机事件概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率，难度适中．本题用男生和女生人数除以学生总数即为所求的概率，然后比较大小即可． 【详解】解：根据班上25名男生，23名女生，全班共有48位学生， 抽到写有男生名字的纸条的概率是：． 抽到写有女生名字的纸条的概率是：． ， ∴． 故选：A． 12．C 【分析】本题考查概率，事件的分类，根据题意可得出，，，然后一一判断即可． 【详解】解：根据题意，同时抛掷两枚质地均匀的硬币，每枚硬币落地后都只可能是正面朝上或者反面朝上， ∴一共有四种情况，即正正、正反、反正、反反， ∴，，， ∴， ，并且， 事件A、B、C均为随机事件， 故选：C． 13． 【分析】分别求出随意拨动最后一位和中间两位的所有结果，再得到能打开锁的结果数，再根据概率公式即可求得答案． 【详解】解：∵随意拨动最后一位号码有10种结果，能打开锁的结果只有一种， ∴能打开锁的概率为； ∵随意拨动中间两位号码有种结果，能打开锁的结果只有一种， ∴能打开锁的概率为． 故答案为，． 【点睛】本题主要考查了概念公式，牢牢记住：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种可能，那么事件A的概率是解题的关键． 14． 【分析】画树状图，共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况，然后由概率公式求解即可． 【详解】解：转盘B红色部分圆心角为，相当于2个蓝色部分， 画树状图如下：    共有9种等可能的结果，其中一个转盘转出了红色、另一个转盘转出了蓝色的有3种情况， ∴小李同学同时转动A盘和B盘，她赢得游戏的概率是． 故答案为：． 【点睛】本题考查了树状图法求概率，正确画出树状图是解题的关键；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比． 15． 【分析】首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与它们恰好同色的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解∶画树状图得：∵共有12种等可能的结果，它们恰好同色的有4种情况， ∴它们恰好同色的概率是： =． 故答案为． 16． 【分析】本题考查了几何概率，以及正方形与圆的对称性，求出其他部分面积与总面积的比值是解决本题的关键． 用阴影部分的面积除以总面积即可求得飞镖落在阴影部分的概率． 【详解】解：根据正方形与圆的对称性可知，阴影部分占所有面积的， ∴其他部分的面积占所有面积的， ∴飞镖未落在阴影区域的概率是 ． 故答案为： ． 17．判断题 【详解】小明参加普法知识竞答,共有10个不同的题目,其中选择题6个,判断题4个， ∴今从中任选一个，选中选择题的概率是，选中判断题的概率是， ∴选中判断题的可能性较小， 故答案为：判断题 18． 【分析】首先根据题意列出表格，然后由表格即可求得所有等可能的结果与两次摸出的围棋子颜色都是白色的情况，再利用概率公式即可求得答案． 【详解】解：列表得： 白1 白2 黑 白1 （白1，白1） （白2，白1） （黑，白1） 白2 （白1，白2） （白2，白2） （黑，白2） 黑 （白1，黑） （白2，黑） （黑，黑） ∵共有9种等可能的结果，两次摸出的围棋子颜色都是白色的有4种情况， ∴P（两次摸出的围棋子颜色都是白色）=． 19．(1) (2)概率一样大，理由见解析 【分析】此题考查了用概率公式求概率，熟练掌握利用概率公式求概率是解题的关键． （）由共有种等可能的结果，落回到圈的只有种情况，直接利用概率公式求解即可求得答案； （）利用概率公式求解，再进行判断即可得答案． 【详解】（1）解：∵共有种等可能的结果，落回到圈的只有种情况， ∴落回到圈的概率为， 故答案为：； （2）解：概率一样大，理由： 当转盘转一次时，淇淇从圈起跳，可能落在，，，， ∴共有种等可能情况，其中淇淇落在圈的情况种， ∴淇淇落在圈的概率为， 故嘉嘉和淇淇落在圈的概率一样大． 20．（1）；（2）；（3） 【分析】（1）根据概率公式直接求解即可； （2）用奇数的个数除以总数的个数即可得出答案； （3）先找出点数大于2且小于5的个数，再除以总个数即可得出答案． 【详解】解：掷一枚质地均匀的骰子时，向上一面的点数可能为1，2，3，4，5，6，共6种．这些点数出现的可能性相等． （1）点数为2有1种可能，因此 P（点数为2）． （2）点数为奇数有3种可能，即点数为1，3，5，因此 P（点数为奇数）． （3）点数大于2且小于5有2种可能，即点数为3，4，因此 P（点数大于2且小于5）． 【点睛】此题考查概率的求法：如果一个事件有n种可能，而且这些事件的可能性相同，其中事件A出现m种结果，那么事件A的概率． 21．(1) (2) 【分析】本题考查了画树状图求事件的概率，熟练掌握画树状图求事件的概率是解题的关键． （1）直接利用概率公式求解即可； （2）画树状图，求得所有等可能的结果数，再找出甲和乙选择不同主题的结果数，利用概率公式求解即可． 【详解】（1）解：共有四种等可能结果，甲选择“校园安全”主题的结果只有一种，所以甲选择“校园安全”主题的概率为． 故答案为：． （2）解：设交通安全、消防安全、饮食安全、校园安全分别为A、B、C、D， 画树状图为： ， 共有16种等可能结果，其中甲和乙选择不同主题的结果有12种， 则甲和乙选择不同主题的概率为． 22．(1)所有可能出现的结果共6种：，，，，， (2)小明抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案的概率是 【分析】本题主要考查了列举法求概率，解题的关键是写出所有可能出现的结果． （1）按照先抽到A、再抽到其他的，先抽到B、再抽到C或D，然后抽到C，再抽到D，写出所有可能的结果即可； （2）根据概率公式进行计算即可． 【详解】（1）解：所有可能出现的结果共6种：，，，，，． （2）解：记抽到的两张卡片中恰好有数学家华罗庚邮票图案为事件M，M包含的结果有3种，即，，，且6种可能的结果出现的可能性相等， ∴． 23．（1）；（2）这个规则对甲、乙两人是公平的，理由见解析 【分析】（1）画树状图得出所有等可能结果，从中找到两个数字相同的结果数，再根据概率公式求解即可； （2）画树状图得出所有等可能结果，从中找到两人摸到小球的数字之和为奇数和偶数的结果数，根据概率公式计算出甲、乙获胜的概率即可得出答案． 【详解】解：（1）画树状图如图： 共有12个等可能的结果，其中两个数字相同的结果有3个， ∴两个小球上数字相同的概率是＝， 故答案为：； （2）这个规则对甲、乙两人是公平的． 画树状图如下： 由树状图知，共有12种等可能结果，其中两人摸到小球的数字之和为奇数有6种，两人摸到小球的数字之和为偶数的也有6种， ∴P甲获胜＝P乙获胜＝， ∴此游戏对双方是公平的． 【点睛】本题考查的是游戏公平性以及列表法与树状图法．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 24．不公平，可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜 【分析】根据题意先求出小明获胜的概率，然后再求出小兵获胜的概率，二者比较一下大小就可以了． 【详解】不公平， P（甲获胜）=，P（乙获胜）=， ∵ 所以不公平． 可设计掷出的点数为偶数时甲胜，掷出的点数为奇数时乙胜． 【点睛】本题考查的是游戏公平性的判断．判断游戏公平性就要计算每个事件的概率，概率相等就公平，否则就不公平． 学科网（北京）股份有限公司 $