精品解析：广东省深圳外国语学校（集团）宝安学校2025-2026学年上学期九年级开学考数学试卷

2025九上暑期作业反馈 数学试卷 满分：100分　时间：90分钟 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如果，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（） A. B. C. D. 4. 如图，，，下列结论一定正确的是（ ） A. 平分 B. 垂直平分 C. 垂直平分 D. 与互相垂直平分 5. 下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 下列说法正确的有（   ） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②平行四边形的对角互补； ③平行线间的线段相等； ④两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形； ⑤平行四边形的四内角之比可以是． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 7. 某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点和的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，在中，，边在x轴上，顶点A，B的坐标分别为和，F为的中点，将平行四边形沿x轴向右平移．当点D落在上时，点E的坐标为（    ） A. B. C. D. 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式___________． 10. n为自然数，且是整数，那么n的值可能是_______．（写出一个即可） 11. 在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式的解集是___________． 12. 如图，小明在制作树叶标本，不小心将制作好的标本遮盖到了数学作业本上的一个正边形一部分．若正边形的两条边所在直线、所夹锐角为．则的值是___________． 13. 如图，在中， 点E在边上且，连接，将沿进行折叠，点B的对应点为点F， 点D是的中点，连接，当时， _______． 三．解答题（本题共7小题，共61分） 14. 解不等式组 15. 先化简， 再求值：其中． 16. 如图，点A、B、C、D均为格点，请用无刻度直尺在以下网格图中按要求作图，并保留作图痕迹． （1）如图1，请找一个格点，使得； （2）如图2，请在边上找一点，使得； （3）如图3，请在线段上找一点，使得． 17. 某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了3000元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花20元． （1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3500元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 18. 如图，为的对角线，点E为线段的中点，连接与的延长线交于点F． （1）求证：． （2）若，，．求的长． 19. 阅读理解： 在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线． 给出如下知识： ①把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ②平面直角坐标系中，已知点，点，点是线段的中点，则点的坐标为； ③将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“美对称点”．例如：点关于轴和直线的“美对称点”为点． 应用： （1）点关于轴和直线的“美对称点”的坐标是 ； （2）点关于轴和直线的“美对称点”的坐标是，求和的值； （3）若点关于轴和直线的“美对称点”在第二象限，且满足条件的的整数解有且只有一个，求的取值范围． 20. 阅读材料： 小华遇到这样一个问题：如图1，将绕点B逆时针旋转得到，的延长线与相交于点F， 连接、，，求证：． 小华通过探究，为同学们提供了解题的想法： 如图2，在上截取，连接．由旋转性质可证全等，再证为等边三角形，从而使问题得到解决． （1）请按照小华的思路，完成解题过程． 参考小华思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，等边中，点P是延长线上一点，把绕点P逆时针旋转，得线段，点O是线段的中点， 连接，． （2）填空：线段，的数量关系是_______； （3）证明你的结论． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025九上暑期作业反馈 数学试卷 满分：100分　时间：90分钟 一．选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分，每小题有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列图形中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查轴对称及中心对称的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐选项判断即可． 【详解】解：．是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．既是中心对称图形又是轴对称图形，故该选项符合题意； ．不是中心对称图形也不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 如果，则下列不等式一定成立的是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的基本性质，熟练掌握不等式的基本性质是解决本题的关键． 根据不等式的基本性质，逐一分析各选项是否成立． 【详解】解：选项A：由，两边减得，故不成立，错误； 选项B：由，两边同乘，不等号方向不变，得，故不成立，错误； 选项C：由，两边同乘3得，再两边同减1得，故不成立，错误； 选项D：由，两边同乘，不等号方向改变，得，成立． 故选：D ． 3. 下列各式从左到右的变形中，属于因式分解的是（） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了因式分解的定义，根据因式分解的定义，判断各选项是否将一个多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】A．左边为单项式，右边是与的积，但分解对象应为多项式，不符合因式分解定义； B．左边是乘积形式，右边展开为，属于整式乘法而非因式分解； C．因为展开后为，所以左边无法分解为，故不属于因式分解； D．左边是完全平方式，可分解为，符合因式分解的定义， 故选D． 4. 如图，，，下列结论一定正确的是（ ） A. 平分 B. 垂直平分 C. 垂直平分 D. 与互相垂直平分 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查垂直平分线的判定定理，根据垂直平分线的判定定理直接可得结论 【详解】解：∵，， ∴点A、 B 在的垂直平分线上， ∴垂直平分， 故选：C 5. 下列变形正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查分式的基本性质，解题的关键是记住：分式的分子与分母同乘（或除以）一个不等于0的整式，分式的值不变． 利用分式的性质一一判断即可． 【详解】A、，故本选项不符合题意； B、，故本选项不符合题意； C、，故本选项不符合题意； D、，故本选项正确,符合题意． 故选：D． 6. 下列说法正确的有（   ） ①对角线互相平分的四边形是平行四边形； ②平行四边形的对角互补； ③平行线间的线段相等； ④两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形； ⑤平行四边形的四内角之比可以是． A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查的是平行四边形的性质，属于基础题型．理解平行四边形的性质是解决这个问题的关键．根据平行四边形的性质进行逐一判断即可得出答案． 【详解】解：①对角线互相平分的四边形是平行四边形，故正确； ②平行四边形的对角相等，邻角互补，故错误； ③平行线间的平行线段相等，故错误； ④两个全等的三角形可以拼成一个平行四边形，故正确； ⑤平行四边形的四内角之比可以是，故正确． 则正确的有3个， 故选：C． 7. 某市开展“悦读书，与心共鸣”读书活动，甲、乙两位同学分别从距离活动地点和的两地同时出发，参加活动．甲同学的速度是乙同学的1.1倍，乙同学比甲同学提前到达活动地点．若设乙同学的速度是，则下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查分式方程的应用，分析题意，找到合适的等量关系是解决问题的关键； 设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，然后分别表示行驶的时间，最后由“乙同学比甲同学提前到达活动地点”建立方程即可． 【详解】解：设乙同学的速度是，则甲同学的速度为，根据题意得： 故答案为：A． 8. 如图，在中，，边在x轴上，顶点A，B的坐标分别为和，F为的中点，将平行四边形沿x轴向右平移．当点D落在上时，点E的坐标为（    ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质、坐标与图形变化-平移，熟练掌握以上知识点是关键．利用平行四边形性质，根据中位线定理求出点E坐标，再求出平移距离，继而得到平移后点E的坐标． 【详解】解：如图， 顶点A，B的坐标分别为和， ，， ，， ， ， 为的中点，四边形是平行四边形， 是的中位线， ，， 由平移的性质可知：， 向右平移距离的距离为， 平移后点E的坐标为： 故选：D 二．填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 9. 两位同学分别说出了某个分式的一些特点，甲同学：这个分式只含有字母；乙同学：当时，分式的值为0．请你写出满足上述全部特点的一个分式___________． 【答案】 【解析】 【分析】根据当时，分式的值为0，写出一个分式即可． 【详解】解：∵当时，分式的值为0， ∴分子可以为， ∴分式为：． 故答案为：（答案不唯一）． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，分式的值，掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键． 10. n为自然数，且是整数，那么n的值可能是_______．（写出一个即可） 【答案】2（或 9、14、17、18，任写一个即可）． 【解析】 【分析】此题考查了利用二次根式的性质化简，根据题意得到或或或或，进而求解即可． 【详解】解：∵n为自然数，且是整数 ∴或或或或 解得或或或或． 故答案为：2（或 9、14、17、18，任写一个即可）． 11. 在平面直角坐标系中，一次函数和的图象如图所示，则关于x的一元一次不等式的解集是___________． 【答案】## 【解析】 【分析】写出直线在直线上方所对应的自变量的范围即可． 【详解】解：根据图象可知：两函数的交点为， 关于x的一元一次不等式的解集是， 故答案为：． 【点睛】本题考查了一次函数图像的特征、一元一次不等式；关键在于能数形结合，理解对应相同的自变量，图像上方函数值大于下方的函数值． 12. 如图，小明在制作树叶标本，不小心将制作好的标本遮盖到了数学作业本上的一个正边形一部分．若正边形的两条边所在直线、所夹锐角为．则的值是___________． 【答案】5 【解析】 【分析】本题主要考查正多边形外角和及三角形内角和，熟练掌握正多边形外角和及三角形内角和是解题的关键；由题意易得，，然后根据三角形内角和可得，进而根据正多边形的性质可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：，， ∴， ∴正多边形的边数； 故答案为5． 13. 如图，在中， 点E在边上且，连接，将沿进行折叠，点B的对应点为点F， 点D是的中点，连接，当时， _______． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了折叠的性质，勾股定理，等腰三角形的性质，直角三角形的性质， 延长至Q，使得，延长交于点H，则有，由折叠的性质得，，设，则，故有，根据直角三角形的性质得，所以，则，从而可得，设，则，最后根据勾股定理可得答案. 【详解】解：如图，延长至Q，使得，延长交于点H， ∵， ∴. ∵， ∴， ∴. 由折叠的性质得， ∴，， 设，则， ∴. ∵， ∴， ∴. ∵点D是的中点， ∴， ∴， ∴. ∵， ∴， ∴. 设，则， ∴. 根据勾股定理，得， ∴， 解得或（舍去）, 所以. 故答案为：. 三．解答题（本题共7小题，共61分） 14. 解不等式组 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次不等式组，分别求出不等式组中每个不等式的解集，把它们的解集表示在数轴上，从数轴上找出不等式解集的公共部分，即为不等式组的解集． 【详解】解：， 解不等式得：， 解不等式得：， 把不等式的解集表示在数轴上： 不等式组的解集为：． 15. 先化简， 再求值：其中． 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值， 先根据分式的加减法法则计算括号内的，再根据分式的乘除法法则计算，然后代入求值即可. 【详解】解：原式 . 当时，原式. 16. 如图，点A、B、C、D均为格点，请用无刻度直尺在以下网格图中按要求作图，并保留作图痕迹． （1）如图1，请找一个格点，使得； （2）如图2，请在边上找一点，使得； （3）如图3，请在线段上找一点，使得． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，格点作图，解题的关键是熟练掌握等边对等角． （1）根据等腰三角形两底角线段，找出格点P的位置即可； （2）根据垂直平分线的性质和等腰三角形的性质，找出垂直平分线与的交点即可； （3）连接并延长交于点N，则点即为所求． 【小问1详解】 解：如图，点P即为所求；（图中四个格点的位置，任取一个即可） ∵， ∴； 【小问2详解】 解：如图，取与的交点，即为点M； ∵垂直平分， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：如图，连接并延长交于点N，则点即为所求． 连接， ∵垂直平分， ∴， ∴． 17. 某校在商场购进A、B两种品牌的篮球，购买A品牌篮球花费了3000元，购买B品牌篮球花费了2000元，且购买A品牌篮球数量是购买B品牌篮球数量的2倍，已知购买一个B品牌篮球比购买一个A品牌篮球多花20元． （1）问购买一个A品牌、一个B品牌的篮球各需多少元？ （2）该校决定再次购进A、B两种品牌篮球共50个，恰逢商场对两种品牌篮球的售价进行调整，A品牌篮球售价比第一次购买时提高了，B品牌篮球按第一次购买时售价的9折出售，如果该校此次购买A、B两种品牌篮球的总费用不超过3500元，那么该校此次最多可购买多少个B品牌篮球？ 【答案】（1）购买一个A品牌的篮球需60元，购买一个B品牌的篮球需80元 （2）该校此次最多可购买33个B品牌篮球 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用及一元一次不等式的应用： （1）设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元，根据等量关系列出方程，解方程并检验即可求解； （2）设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个，根据不等关系列出不等式并解不等式即可求解； 理清题意，根据等量关系列出方程及根据不等关系列出不等式是解题的关键． 【小问1详解】 解：设购买一个A品牌的篮球需元，则购买一个B品牌的篮球需元， 依题意得：， 解得：， 经检验，是原方程的解，且符合题意， ∴（元）， 答：购买一个A品牌的篮球需60元，购买一个B品牌的篮球需80元 【小问2详解】 解：∵A品牌篮球售价比第一次购买时提高了， ∴（元） 设该校可购买个B品牌篮球，则购买品牌的篮球个， 依题意得：， 解得：， 答：该校此次最多可购买33个B品牌篮球． 18. 如图，为的对角线，点E为线段的中点，连接与的延长线交于点F． （1）求证：． （2）若，，．求的长． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，即， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的判定和性质，勾股定理及其逆定理： （1）根据平行四边形的性质可得，可证明，从而得到，即可求证； （2）根据勾股定理逆定理可得以及平行四边形的性质可得，，再由勾股定理解答即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵，，， ∴， ∴是直角三角形，且， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵点E为线段的中点， ∴， ∴． 19. 阅读理解： 在平面直角坐标系中，经过点且平行于轴的直线记作直线． 给出如下知识： ①把一个图形沿着某一条直线折叠，如果它能够与另一个图形重合，那么就说这两个图形关于这条直线成轴对称，这条直线叫做对称轴，折叠后重合的点叫做对称点，对称轴是任何一对对应点所连线段的垂直平分线； ②平面直角坐标系中，已知点，点，点是线段的中点，则点的坐标为； ③将点关于轴的对称点记作点，再将点关于直线的对称点记作点，则称点为点关于轴和直线的“美对称点”．例如：点关于轴和直线的“美对称点”为点． 应用： （1）点关于轴和直线的“美对称点”的坐标是 ； （2）点关于轴和直线的“美对称点”的坐标是，求和的值； （3）若点关于轴和直线的“美对称点”在第二象限，且满足条件的的整数解有且只有一个，求的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（）画出图形，根据图形即可求解； （）由定义可得的坐标是，即得，解方程即可求解； （）由定义可得的坐标是，即得，得到，进而可得，据此即可求解； 本题考查了坐标与图形的变化，方程组与不等式组的应用，掌握轴对称的性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：画图如下： 由图可得，的坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵点关于轴和直线的“美对称点”的坐标是， ∴， 解得， 即； 【小问3详解】 点关于轴和直线的“美对称点”为， ∵在第二象限， ∴， ∴， ∵满足条件的的整数解有且只有一个， ∴， 解得． 20. 阅读材料： 小华遇到这样一个问题：如图1，将绕点B逆时针旋转得到，的延长线与相交于点F， 连接、，，求证：． 小华通过探究，为同学们提供了解题的想法： 如图2，在上截取，连接．由旋转性质可证全等，再证为等边三角形，从而使问题得到解决． （1）请按照小华的思路，完成解题过程． 参考小华思考问题的方法，解决下列问题： 如图3，等边中，点P是延长线上一点，把绕点P逆时针旋转，得线段，点O是线段的中点， 连接，． （2）填空：线段，的数量关系是_______； （3）证明你的结论． 【答案】 （1）证明：在上截取，连接， ∵绕点B逆时针旋转得， ∴，，， ∴，又，， ∴ ∴，， ∵， ∴， ∴是等边三角形， ∴， 又∵， ∴ ， ∴ ． （2）； （3）证明：如图3中，延长到F，使得．连接，，在上取一点E，使得，连接． ∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 由旋转的性质可知：，， ∴． ∴是等边三角形， ∴，， ∴， 即， ∵是等边三角形， ∴， ∴， 又， ∴， ∴． 【解析】 【分析】（1）在上截取，连接，由旋转的性质得出，，，证明，由全等三角形的性质得出，，再证明是等边三角形，由等边三角形的性质得出，结合已知条件得出． （2）结合（1）得出线段，的数量关系． （3）延长到F，使得．连接，，在上取一点E，使得，连接．先证明四边形是平行四边形，由平行四边形的性质得出，，再证明是等边三角形，结合已知条件得出，由全等三角形性质即可得出． 【详解】解：（1）略 （2）略 （3）略 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，全等三角形的判定和性质，平行四边形的判定和性质，等边三角形的判定和性质等知识，构造全等三角形是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $