专题08三角形60道压轴题型专训（15大题型）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升讲练（浙教版2024）

专题08三角形60道压轴题型专训（15大题型） 题型一 三角形折叠中的角度问题 题型二 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型三 三角形内角和定理的应用 题型四 构成三角形的条件 题型五 确定第三边的取值范围 题型六 三角形三边关系的应用 题型七 根据三角形中线求面积 题型八 倍长中线模型 题型九 灵活选用判定方法证全等 题型十 全等三角形综合问题 题型十一 与平行线有关的三角形内角和问题 题型十二 添加条件使三角形全等 题型十三 用SSS间接证明三角形全等 题型十四 用SAS间接证明三角形全等 题型十五 全等的性质和ASA（AAS）综合 【经典例题一 三角形折叠中的角度问题】 1．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）题目：“如图，在中，，将沿折叠得到，若与的边平行，求．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（　　）    A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 2．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（E在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为（　　） A． B． C． D． 3．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 ． 4．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 【经典例题二 与角平分线有关的三角形内角和问题】 5．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，和的平分线交于，则（   ） A． B． C． D． 6．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点．下列结论中错误的是：（   ） A． B． C． D． 7．（24-25八年级上·天津河北·期中）如图，为的角平分线，，过点作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号 ． 8．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若，则 ． (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，求与之间的数量关系； (3)【拓展提升】如图3，在四边形中， ，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，求和，之间的数量关系． 【经典例题三 三角形内角和定理的应用】 9．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，P为下方一点，G，H分别为，上的点，，（，且，均为锐角），与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，下列结论：①；②；③若，则．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．②③ C．③ D．② 10．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，和的平分线，相交于，交于，交于，过点作于，下列结论中：①；②当时，；③；④若，，则，正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 11．（23-24七年级下·山东泰安·期中）如图，五角星形的五个顶角分别是，，，，，若，则 ． 12．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称为“灵动三角形”．如，三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以A为端点作射线，交线段于点（规定）． (1)的度数为_____°，_____．（填“是”或“不是”灵动三角形）． (2)若，是“灵动三角形”吗？如果是请证明：如果不是请说明理由． (3)当为“灵动三角形”时，直接写出的度数． 【经典例题四 构成三角形的条件】 13．（24-25七年级下·江苏·期末）三角形的两边长分别是2和3，则第三边的边长可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 14．（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 15．（24-25九年级上·全国·期末）从，，，，中任选个数，使得所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的的最小值是 ． 16．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，有一根长度为的木条，从两端各截取长度为的木条． (1)若得到的三根木条能组成等边三角形，求的值； (2)若得到的三根木条能组成三角形，写出的取值范围． 【经典例题五 确定第三边的取值范围】 17．（23-24九年级下·浙江绍兴·自主招生）定义：三边长度都是整数的三角形叫做整数边三角形．则最长边长为的整数边三角形的个数是（　　） A． B． C． D． 18．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）若的两边长是方程组的的解，第三边长为整数，则符合条件的三角形有 个． 20．（2024·山东聊城·一模）【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在中，，，为中点，求的取值范围． (1)小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作边上的中点，连接，构造出的中位线，请你完成余下的求解过程． (2)如图②，在四边形中，，，、分别为、中点，求的取值范围． (3)变式：把图②中的、、变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则的取值范围为_________． (4)如图④，在中，，，为边的中点，是边上一点且正好平分的周长，则______． 【经典例题六 三角形三边关系的应用】 21．（2024·河北唐山·三模）四边形的边长如图所示，，E为边上一动点（不与A，D两点重合），连接，将沿直线折叠，点A的对应点为点F，则点C与点F之间的距离不可能是（ ） A．3 B．4 C．5 D．8 22．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）若表示的三边长，则（   ） A． B． C． D． 23．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，四边形面积为，连接对角线，其中，则的最小值为 ． 24．（24-25八年级上·福建厦门·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 (1)如图，在任意中，为边上一点，若与是积等三角形，求证：为中线． 【理解运用】 (2)如图，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 (3)如图，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【经典例题七 根据三角形中线求面积】 25．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，与交于点M，与交于点N，下面说法正确的有（    ） ①；②；③；④若，则． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 26．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 27．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，若的面积为45，则四边形的面积为 ． 28．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）如图所示，直角三角形中，求阴影部分的面积． 【经典例题八 倍长中线模型】 29．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）在中，是边上的中线，，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 30．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 31．（23-24黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，点是的斜边的中点，点、分别在边、上，且，连接、，若 ，，则线段的长为 ．    32．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）【发现问题】 （1）数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_________． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接是的中点，试说明： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，请求出的面积． 【经典例题九 灵活选用判定方法证全等】 33．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，正方形 和正方形 的顶点在同一条直线上，顶点在同一条直线上．是的中点，且的平分线过点交于点连接交于点，连接交于点．给出以下结论∶①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②③ 34．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）如图，已知点B是边上的动点（不与A，C重合），在的同侧作等边△ABD和等边，连接，下列结论正确的个数有（　　） ①； ②； ③； ④是等边三角形； ⑤平分； ⑥．      A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 35．（23-24八年级上·上海长宁·期末）我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形．已知与是一对面积都等于的偏等积三角形，且，，那么的长等于 （结果用含和的代数式表示）． 36．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，直线，于点A，于点B，直线分别与，相交于点C和点D，，，．点E，F，G分别在线段，，上，且，，连接，，过点F，G分别作，的平行线相交于点H． (1)求证：； (2)若点H落在四边形内或其边上，求面积的最大值与最小值； (3)当为等腰三角形时，请画图确定H的位置，并简要说明理由． 【经典例题十 全等三角形综合问题】 37．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论：①；②；③其中正确的有（　　）个． A．3 B．2 C．1 D．0 38．（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）如图，已知和都是等边三角形，且A，C，E三点共线．与交于点O，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤，其中正确结论的是（     ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①②④⑤ 39．（25-26九年级上·重庆·开学考试）在四边形中，，，连接，交于点，过点作交于，交于，且，则 ，若，，则 ． 40．（25-26九年级上·北京海淀·开学考试）在中，，过点B作，且，点D与点A在异侧，连接． (1)当时，如图1，若，，求线段的长； (2)当时，点E，F分别为，的中点，连接，请在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【经典例题十一 与平行线有关的三角形内角和问题】 41．（24-25七年级下·全国·期末）如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 42．（23-24七年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 43．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为 度．    44．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，，平分交于点，在射线上，平分交于点．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，在线段上，使得平分． ①当时，比较与的大小关系，并说明理由； ②过作于点，若，且，，，求的长． 【经典例题十二 添加条件使三角形全等】 45．（23-24八年级上·天津东丽·期末）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，添加一个适当的条件后，仍不能使得△ABC≌△DEF（　　）    A．AC＝DF B．AC∥DF C．∠A＝∠D D．AB＝DE 46．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在四边形中，.不能判定的条件是（   ）   A． B． C． D． 47．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，分别为，上的点，与交于点，连接．要，还须添加一个条件，如添加，可运用，证得．请写出添加的其它一个条件，仍能证得： ．（说明：原图不再添加点和线，要求写出所有可能） 48．（23-24七年级下·陕西西安·期中）在四边形中，，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)试说明：； (2)在图中，若，，在上且，试猜想、、之间的数量关系并证明所归纳结论； (3)若，，G在上，满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要求证明）． 【经典例题十三 用SSS间接证明三角形全等】 49．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（    ） A． B．连结，根据可判定 C． D．的最小值是的长 50．（23-24九年级下·浙江台州·期末）在四边形中，，对角线相交于点，则的长为（   ） A． B．20 C． D．24 51．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有 对． 52．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做鹞形．如图1，四边形中，若垂直平分，那么四边形称为鹞形． (1)写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______；②_______； (2)如图2，在平行四边形中，E、F分别在边和上，且四边形是鹞形（垂直平分），求证平行四边形是菱形． (3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若，，，则的长度为________． 【经典例题十四 用SAS间接证明三角形全等】 53．（2025·安徽芜湖·一模）如图，在等腰直角中，，点M，N将底边AB三等分，点P在的腰上，且满足的点P恰好是2个，则的腰长为（   ） A． B． C． D． 54．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，将绕点顺时针旋转，再将得到的点顺时针旋转，…依次旋转下去，最终将绕点顺时针旋转，得到．若点在线段上，点在线段上，且，则下列结论中正确的是（   ） ①；②点到直线的距离为；③若、、三点共线，则；④五边形是正五边形 A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 55．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论      ①；②； ③；④． 其中结论正确的是 ．（把正确结论的序号填在横线上）． 56．（24-25八年级上·河北邢台·期末）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长． 小明同学的思路是：将沿折叠，点刚好落在边上的点处．请你根据小明的思路直接写出_________． 【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【拓展】如图3，在四边形中，平分，，． ①求证：； ②若，则的长为_____________． 【经典例题十五 全等的性质和ASA（AAS）综合】 57．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 58．（2024八年级下·全国·竞赛）如图，在中，，，是的角平分线． 过点的直线交线段于点，交线段的延长线于点，作，交的延长线于点，交线段于．在满足以上条件的情况下将绕点旋转，旋转过程中以下保持定值的有（    ）个． ①；②；③四边形的面积；④ A． B． C． D． 59．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）如图，等腰直角中，，平分的延长线于点D，若，则的面积为 ． 60．（2024·湖南·模拟预测）如图，以的三边为边分别向外作正方形．在正方形中，点O是其对角线的交点，过点O作的平行线交正方形于M，N两点，过点O作的垂线交正方形于P，Q两点，这样将正方形划分成四个形状与大小都一样的四边形． (1)求证：； (2)求证：； (3)设正方形的面积为，正方形的面积为，当，时，求的值． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题08三角形60道压轴题型专训（15大题型） 题型一 三角形折叠中的角度问题 题型二 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型三 三角形内角和定理的应用 题型四 构成三角形的条件 题型五 确定第三边的取值范围 题型六 三角形三边关系的应用 题型七 根据三角形中线求面积 题型八 倍长中线模型 题型九 灵活选用判定方法证全等 题型十 全等三角形综合问题 题型十一 与平行线有关的三角形内角和问题 题型十二 添加条件使三角形全等 题型十三 用SSS间接证明三角形全等 题型十四 用SAS间接证明三角形全等 题型十五 全等的性质和ASA（AAS）综合 【经典例题一 三角形折叠中的角度问题】 1．（23-24七年级下·河北邯郸·阶段练习）题目：“如图，在中，，将沿折叠得到，若与的边平行，求．”甲答：，乙答：，丙答：，则正确的是（　　）    A．只有甲答的对 B．甲、乙答案合在一起才完整 C．乙、丙答案合在一起才完整 D．三人答案合在一起才完整 【答案】B 【分析】与的边平行，画图有两种情况，和， 当时，， 当时，，结果有两个答案． 【详解】解：①如图，与的边平行   沿折叠得到， 又 ②如图，与的边平行，   沿折叠得到， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的折叠与平行的结合，几何图形折叠后对应角相等和两直线平行同位角内错角相等是解题的关键． 2．（24-25八年级上·山东日照·期末）如图，在中，，，的平分线与的垂直平分线交于点，将沿（E在上，在上）折叠，点与点恰好重合，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据角平分线的性质得到，根据等腰三角形的性质得到，求得，根据全等三角形的性质得到，求得，根据折叠的性质得到，求得，根据四边形的内角和定理即可得到结论． 【详解】解：如图，连接、， ∵，为的平分线， ∴， 又∵， ∴， ∵是的垂直平分线， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 将沿（E在上，在上）折叠，点与点恰好重合， ∴， ∴， 在中， ， ∴， ∴． 故选∶D． 【点睛】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质、等腰三角形三线合一的性质、等边对等角的性质、翻折变换的性质、全等三角形的判定与性质等知识，作辅助线，构造出等腰三角形是解题的关键． 3．（23-24七年级下·山东青岛·期末）如图，在中，点D、点E分别是边、的点，将和分别沿和折叠至．已知且，则为 ． 【答案】54 【分析】本题考查了基本图形变换折叠，三角形的内角和定理，换元的思想方法，关键是利用换元的思想方法，使分析思路更清晰． 设，则，设，由翻折可知，，再根据三角形的内角和定理，即可得出结果． 【详解】解：设，则，设， 由翻折可知，，， ，， 由，得， 在中，， ， 解得：， 在中，， 解得： 由得， 在中，， ． 故答案为：54． 4．（23-24八年级上·山西大同·阶段练习）综合与探究    (1)如图1，将沿着第一次折叠，顶点落在的内部点处，试探究与之间的数量关系，并说明理由． (2)如图2，将沿着第二次折叠，顶点恰好与点重合，若，，求的度数． (3)如图3，将沿着第三次折叠，顶点恰好与点重合，若，，用含，的代数式表示． 【答案】(1)，理由见解析； (2) (3) 【分析】（1）由折叠的性质得出，，由平角的定义及三角形内角和定理可得出答案； （2）由（1）可知，，求出，则可得出答案； （3）由（2）可知，，求出，由周角的定义求出，则可得出答案． 【详解】（1）． 理由：由折叠得：，， ， ， ； （2）由（1）可知，， ， ， ， ， ， ； （3）由（2）可知，， ， ，， ， 又 ， ． 【点睛】本题是几何变换综合题，考查了折叠的性质，三角形内角和定理，熟练掌握折叠的性质是解题的关键． 【经典例题二 与角平分线有关的三角形内角和问题】 5．（23-24七年级下·江苏徐州·期中）如图，在中，，和的平分线交于，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理及角平分线的定义，牢记三角形内角和是，掌握相关知识是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，结合角平分线的定义，可求出的度数，再在中，利用三角形内角和定理，即可求出的度数． 【详解】解：在中，， ， 平分，平分， ，， ． 在中，， ． 故选：C． 6．（24-25八年级上·湖北孝感·期末）在中，，的平分线交于点，的外角平分线所在直线与的平分线交于点，与的外角平分线交于点．下列结论中错误的是：（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，三角形外角的性质，熟练学握角平分线的定义和三角形的外角性质，并能进行推理计算是解决问题的关键。 由角平分线的定义可得，再由三角形的内角和定理可求解；由角平分线的定义可得，结合三角形外角的额性质可判定；由三角形外角的性质可得，再利用角平分线的定义及三角形的内角和定理可判定；由的结果无法推出． 【详解】∵的平分线交于点， ， ， ， ， ， ， ， ，故A正确，不符合题意； ∵平分， ∵， ∴， 故B正确，不符合题意； 取的延长线与点M，的延长线与点N，如图： 平分，平分， ， 故C正确，不符合题意； 由选项C知， ，无法得到， 故D项错误，符合题意． 故选：D． 7．（24-25八年级上·天津河北·期中）如图，为的角平分线，，过点作于，交的延长线于，则下列结论：①；②；③；④．其中正确结论的序号 ． 【答案】①②③④ 【分析】本题考查角平分线的定义，三角形全等的判定和性质，三角形内角和定理的应用，等腰三角形的性质．熟练掌握三角形全等的判定定理和性质定理是解题关键．由“”即可证，可判断①正确；由全等三角形的性质可得出，结合题意易证，得出，即可推出，故②正确；设与交于点O，由全等三角形的性质结合三角形内角和定理即可求出，故③正确；根据角平分线的定义得出，根据等腰三角形的定义得出．再结合平角和等腰三角形的性质即可得出，故④正确． 【详解】解：∵为的角平分线，，， ∴． 又∵， ∴，故①正确； ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵， ∴，故②正确； 设与交于点O，如图， ∵， ∴． ∵， ∴，故③正确； ∵为的角平分线， ∴． ∵， ∴． ∵，， ∴， ∴，故④正确． 综上可知①②③④正确． 故答案为：①②③④． 8．（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）在苏科版义务教育教科书数学七下曾经研究过双内角平分线的夹角和内外角平分线夹角问题．聪聪在研究完上面的问题后，对这类问题进行了深入的研究，他的研究过程如下： (1)【问题再现】如图1，在中，的角平分线交于点P，若，则 ． (2)【问题推广】如图2，在中，的角平分线与的外角的角平分线交于点P，求与之间的数量关系； (3)【拓展提升】如图3，在四边形中， ，点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合），连接的角平分线交于点Q，若，求和，之间的数量关系． 【答案】(1) (2) (3)当点F在点E左侧时， ；当点F在点D，E之间时，；当点F在点D的右侧， 【分析】此题主要考查了角平分线定义，平行线性质，三角形内角和定理，准确识图，熟练掌握角平分线定义，平行线性质，三角形内角和定理是解决问题的关键，分类讨论是解决问题的难点． （1）由角平分线定义得，再由三角形内角和定义得，则，然后由三角形内角和定理得，由此可得的度数； （2）设，由角平分线性质得，则，再由得，由此得，然后由得，由此可得结论； （3）分三种情况讨论如下：①当点F在点E左侧时；②当点F在点D，E之间时；③当点F在点D的右侧，根据角平分线定义结合三角形内角和定理可得出和α，β之间的数量关系，综上所述即可得出答案． 【详解】（1）解：∵的角平分线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． （2）设， ∵的角平分线与的角平分线交于点P， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）∵点F在直线上运动（点F不与E，D两点重合）， ∴有以下三种情况： ①当点F在点E左侧时，如图所示： ∵， ∴， ∵的角平分线交于点Q，， ∴， ∵， ∴， 即， ∴； ②当点F在点D，E之间时，如图所示： 同理得：， ∴， ∴， ∴； ③当点F在点D的右侧，如图所示： 同理得：， ∴， 综上所述：当点F在点E左侧时， ；当点F在点D，E之间时，；当点F在点D的右侧，． 【经典例题三 三角形内角和定理的应用】 9．（24-25七年级下·浙江宁波·期中）如图，已知，P为下方一点，G，H分别为，上的点，，（，且，均为锐角），与的角平分线交于点F，平分，交直线于点E，下列结论：①；②；③若，则．其中正确结论的序号是（    ） A．①②③ B．②③ C．③ D．② 【答案】B 【分析】①设与相交于点，与交于点，由得，再由三角形的外角定理得，由此出，而与无法证明相等，据此可对结论①进行判断； ②由得，再由三角形的外角定理得，进而得，再证，则，据此可对结论②进行判断； ③先求出，，然后根据已知条件得，据此可求出，进而可求出的度数，于是可对结论③进行判断． 【详解】解：①设与相交于点，与交于点，如图所示： 与的角平分线交于点，平分，，， ，，， ， ， ， ， ， 而根据已知条件，无法与无法证明相等 结论①错误； ②， ， 又， ， 即：， ， ， 即：， ， ， 整理得：， 结论②正确； ③，， ， 由②可知：， ， 又， ， ， ， 结论③正确． 综上所述：正确的结论是②③． 故选：B． 【点睛】此题主要考查了平行线的性质，角平分线的定义，平角的定义，三角形的内角和定理和三角形的外角定理等，解答此题的关键是准确识图，熟练掌握两直线平行同位角相等；两直线平行内错角相等；三角形的内角和等于；三角形的任意一个外角等于和它不相邻的两个内角的和． 10．（24-25八年级上·江苏连云港·期中）如图，在中，和的平分线，相交于，交于，交于，过点作于，下列结论中：①；②当时，；③；④若，，则，正确的是（   ） A．①②③ B．②③④ C．①③④ D．①②④ 【答案】D 【分析】本题考查了角平分线的性质定理、三角形全等的判定与性质、三角形的内角和定理等知识，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键．先根据角平分线的定义可得，，再根据三角形的内角和定理即可判断①正确；在上取一点，使得，连接，先证出，根据全等三角形的性质可得，再证出，根据全等三角形的性质可得，由此即可判断②正确；假设，过点作于点，作于点，先证出，根据全等三角形的性质可得，则，由此即可判断③错误；过点作于点，作于点，连接，根据和可得，由此即可判断④正确． 【详解】解：∵和的平分线，相交于， ∴，， ∴ ，则结论①正确； ∵， ∴， ∴， 如图，在上取一点，使得，连接， ∵和的平分线，相交于， ∴，， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴，则结论②正确； 如图，过点作于点，作于点， ∵和的平分线，相交于，， ∴，，， 假设， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，，， ∴， ∴，由已知条件不能得出这个结论， ∴假设不成立，即结论③错误； 如图，过点作于点，作于点，连接， ∵，，，， ∴， 由上已得：， ∴，即， ∵， ∴， ∴，则结论④正确； 综上，结论正确的是①②④， 故选：D． 11．（23-24七年级下·山东泰安·期中）如图，五角星形的五个顶角分别是，，，，，若，则 ． 【答案】/144度 【分析】本题考查了三角形外角定理，三角形内角和等知识．根据三角形外角定理得到，，即可得到，再根据三角形内角和定理即可求解． 【详解】解：如图： ∵是外角， ∴， ∵是外角， ∴， ∴， ∴． 故答案为： 12．（24-25七年级下·江苏无锡·期末）在一个三角形中，如果一个角是另一个角的3倍，这样的三角形我们称为“灵动三角形”．如，三个内角分别为，，的三角形是“灵动三角形”．如图，，在射线上找一点，过点作交于点，以A为端点作射线，交线段于点（规定）． (1)的度数为_____°，_____．（填“是”或“不是”灵动三角形）． (2)若，是“灵动三角形”吗？如果是请证明：如果不是请说明理由． (3)当为“灵动三角形”时，直接写出的度数． 【答案】(1)30°，是 (2)是“灵动三角形” (3)或或 【分析】本题考查的是三角形内角和定理、“灵动三角形”的概念，用分类讨论的思想解决问题是解本题的关键． （1）根据垂直的定义、三角形内角和定理求出的度数，根据“灵动三角形”的概念判断； （2）根据“灵动三角形”的概念证明即可； （3）根据，点在线段上，根据“灵动三角形”的定义分六种情况进行计算即可． 【详解】（1）解: ∵， ∴， ∴， ∵， ∴为“灵动三角形”， 故答案为；是； （2）解: 是“灵动三角形” 理由: ∵，， ∴， 又， ∴， ∴， ∴是“灵动三角形”； （3）解: ∵为“灵动三角形”， ∵点在线段上，， ∵， ∴， Ⅰ、当时，， ∴， Ⅱ、当时， ∴ ∴此种情况不存在， Ⅲ、当时， ∴， ∴， ∴， Ⅳ、当时， ∴， ∴， ∴， Ⅴ、当时， ∴， ∴， ∵点与点不重合， ∴此种情况不成立， Ⅵ、当时， ∴°， ∴， ∴此种情况不存在， 综上所述，当为“灵动三角形”时，的度数为或或． 【经典例题四 构成三角形的条件】 13．（24-25七年级下·江苏·期末）三角形的两边长分别是2和3，则第三边的边长可以是（    ） A．1 B．3 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的三边关系定理，即构成三角形的条件—“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，熟练掌握以上知识点是解题的关键．根据三角形的三边关系定理，求得第三边的取值范围，再进一步找到符合条件的数值． 【详解】解：设这个三角形的第三边长为， 根据三角形的三边关系定理，得：， 解得， 在四个选项的数值中，只有数值3符合， 故选：B． 14．（2025·湖北武汉·模拟预测）现有长为的铁丝，要截成小段（），每段的长度不小于，如果其中任意三小段都不能拼成三角形，则的最大值为（    ） A．9 B．10 C．11 D．12 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，即三角形的两边之和大于第三边，理解题意、列出每段铁丝的长度是解题关键． 根据三角形的三边关系，设最小的长度为，又因任意三小段都不能拼成三角形，得每段长度是，，，，，，，，，，，依此类推，总和不大于即可求解． 【详解】解：段之和为， 若要尽可能的大，则每段的长度尽可能的小， 每段的长度不小于，且其中任意三小段都不能拼成三角形， 这些小段的长度只可能分别是，，，，，，，，，，， ， ， 小段的长度分别为，，，，，，，，，， 的最大值为． 故选：B． 15．（24-25九年级上·全国·期末）从，，，，中任选个数，使得所选的个数中一定可以找到能构成三角形边长的三个数（要求互不相等），则满足条件的的最小值是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了三角形三边关系，三角形的两边之和大于第三边，首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数，我们就要考虑从这2017个数中选一组数，使这一组数中任意两个小数之和都不大于大数，则选出的数要满足每一个数都等于它前面两个数之和，在，，，，中最多可以选出个数，如果再增加一个数则一定有可以构成三角形边长的三个数，所以满足条件的的最小值是． 【详解】解：首先从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 即这个数中任意两个小的数之和都不大于大的数， 则这个数分别为：、、、、、、、、、、、、、、、， 即每一个数都等于它前面两个数之和， 则这一组数中任意选出三个数一定有两个小的数之和不大于大的数， 这一组数中任意选出三个数都不能构成三角形三边长， ， 如果从，，，，中任选个数，使这个数中任选个数都不能构成三角形边长的三个数(要求这三个数互不相等)， 则， 如果从，，，，中任意再选一个数加入这个数列中，则这个数列中一定可以找到能构成三角形三边长的三个数， 满足条件的的最小值是． 16．（24-25八年级上·河南周口·期中）如图，有一根长度为的木条，从两端各截取长度为的木条． (1)若得到的三根木条能组成等边三角形，求的值； (2)若得到的三根木条能组成三角形，写出的取值范围． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了等边三角形的性质及三角形的三边关系的综合应用，能够熟练运用三角形三边关系列出不等式，并能够考虑多种情况下不等式的求解是解决本题的关键． （1）抓住等边三角形三条边相等的性质，通过简单的方程即可求解． （2）根据三角形三边关系，列出不等式，然后根据不同情况分别求解化简，最终得出 x 的取值范围即可． 【详解】（1）解：根据题意可知：组成等边三角形的三条边分别为、、． 等边三角形的三条边相等． ． 解得：． 即的值为． （2）根据题意可知：组成三角形的三根木条长度分别为、、． 三角形任意两边之和大于第三边；三角形任意两边之差小于第三边． ． ①当，即时． 则， 解得：． ． ②当，即时． 则， 解得：． ． 综上所述：． 【经典例题五 确定第三边的取值范围】 17．（23-24九年级下·浙江绍兴·自主招生）定义：三边长度都是整数的三角形叫做整数边三角形．则最长边长为的整数边三角形的个数是（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了构成三角形的条件，三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边；设三角形的另外两边分别为，(且，为整数)，然后根据三边关系来确定，的取值组合，从而得出整数边三角形的个数． 【详解】解：设三角形的另外两边分别为，(且，为整数)， 当时，根据三边关系需满足， 又因为， 所以， 则a可以为或或或或或或，此时有种情况满足题意； 同理可得：当时，，则a可以为或或 或或，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或 或或或，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或 或或，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或或 ，此时有种情况满足题意； 当时，，则a可以为或，此时有种情况满足题意； ，共有种情况满足题意， 故选：C． 18．（24-25七年级下·黑龙江哈尔滨·期末）如图，已知点是直线上的一点，点在直线的上方，以点为圆心，长为半径画弧，交直线于另一点若，则的长不可能是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理； 三角形两边之和大于第三边，三角形两边的差小于第三边，由此得到，即可得到答案． 【详解】解：连接， 由题意得到， 由三角形三边关系定理得到， ， 的长不可能是， 故选：D． 19．（25-26八年级上·全国·课后作业）若的两边长是方程组的的解，第三边长为整数，则符合条件的三角形有 个． 【答案】3 【分析】本题考查了代入消元法解二元一次方程，三角形三边关系，掌握以上知识是解题的关键． 解题时首先求出的值，再根据三角形三边关系：任意两边之和大于第三边；任意两边之差小于第三边，即可得出第三边的取值范围，最后取整，看有几种情况，即可得出答案． 【详解】解：， 由得：， 将代入得:， 解得:， 将代入得:， 解得：， ∴方程组的解. ∵的两边是方程组的解， ∴第三边长， ∵第三边长为整数， ∴第三边长可以为：． ∴这样的三角形有个． 故答案为：． 20．（2024·山东聊城·一模）【发现问题】爱好数学的小强在做作业时碰到这样的一道题目：如图①，在中，，，为中点，求的取值范围． (1)小强经过多次的尝试与探索，终于得到解题思路：在图①中，作边上的中点，连接，构造出的中位线，请你完成余下的求解过程． (2)如图②，在四边形中，，，、分别为、中点，求的取值范围． (3)变式：把图②中的、、变成在一直线上时，如图③，其它条件不变，则的取值范围为_________． (4)如图④，在中，，，为边的中点，是边上一点且正好平分的周长，则______． 【答案】(1)见解析 (2) (3) (4) 【分析】（1）通过取边上中点，连接，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解； （2）连接，取中点，连接、，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解； （3）连接，取中点，连接、，根据三角形中位线定理、三角形三边关系即可求解； （4）在上截取，连接，取的中点，连接，，过点作于，先根据三角形中位线定理推出，由平分的周长推得，再根据等腰三角形的“三线合一”、含的直角三角形特征即可得到． 【详解】（1）解：如图，取边上的中点，连接， 为中点，为中点， ， ，， ，， 在中，， 即． （2）解：如图，连接，取中点，连接、， 又、分别为、中点， ，， ，， ，， 在中，， 即． （3）解：如图，连接，取中点，连接、， 又、分别为、中点， ，， ，， ，， 在中，， 即． 故答案为：． （4）解：如图，在上截取，连接，取的中点，连接，，过点作于， ，点是中点，点是的中点， ，，，， ，， ， ， ， 正好平分的周长， ， 又，点是中点， ， ， 又，， ，， ，， ． 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是三角形中位线定理、三角形三边关系、等腰三角形的“三线合一”、含的直角三角形特征，解题关键是熟练掌握三角形中位线定理解三角形的三边关系． 【经典例题六 三角形三边关系的应用】 21．（2024·河北唐山·三模）四边形的边长如图所示，，E为边上一动点（不与A，D两点重合），连接，将沿直线折叠，点A的对应点为点F，则点C与点F之间的距离不可能是（ ） A．3 B．4 C．5 D．8 【答案】D 【分析】本题考查了折叠以及三角形三边的关系，运用折叠的性质是解这道题的关键．E点沿运动时，当折叠F落在时，此时有最小值，再利用三角形三边关系得到，即可得到取值范围，从而对选项进行判断． 【详解】解：如图所示，连接， 根据折叠的性质，我们可以得到， ∴， ∵， 根据三角形三边关系， 可以得到， ∴， 当折叠F落在时， 此时为最小值， ， 故取值范围为：， 故选：D． 22．（23-24八年级上·四川德阳·阶段练习）若表示的三边长，则（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系，化简绝对值．由三角形的三边关系，得到，，，化简绝对值，再合并同类项即可． 【详解】解：表示的三边长， ，，， ，，， ， 故选C． 23．（24-25八年级下·陕西西安·期中）如图，在四边形中，，，四边形面积为，连接对角线，其中，则的最小值为 ． 【答案】 【分析】在中，根据勾股定理得，过点作交延长线于点，则，再计算，，进而求得，则，延长至使得，可得，则，当点在上时取等号，结合勾股定理即可求得的最小值为． 【详解】解：∵，，， ∴， 过点作交延长线于点，则， ， ∵四边形面积为， ∴， 又∵， ∴，则， 延长至使得， ∴是的垂直平分线， ∴， 则，当点在上时取等号， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查勾股定理，垂直平分线的判定及性质，平行线间的距离，三角形三边关系的应用等知识点，添加辅助线得是解决问题得关键． 24．（24-25八年级上·福建厦门·期中）新定义：如果两个三角形不全等但面积相等，那么这两个三角形叫做积等三角形． 【初步尝试】 (1)如图，在任意中，为边上一点，若与是积等三角形，求证：为中线． 【理解运用】 (2)如图，与为积等三角形，若，，且线段的长度为正整数，求的长． 【综合应用】 (3)如图，在中，，过点作，点是射线上一点，以为边作，，，连接．请判断与是否为积等三角形，并说明理由． 【答案】(1)证明见解析 (2) (3)与为积等三角形，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的中线的性质，三角形的三边关系等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题． （1）过点作于，通过与是积等三角形，得出，得到，得到为的中线； （2）延长至，使，连接，证明，得出，再根据为正整数，得到； （3）过点作于点，证明，根据，，得到，得出与为积等三角形． 【详解】（1）证明：过点作于，如图1， 与是积等三角形， ， ， ， 为的中线； （2）解：如图2，延长至，使，连接， 与为积等三角形， ， 在和中， ， ， ， 在中，， ， ， ， ， 为正整数， ； （3）证明：与为积等三角形，理由如下： 如图3，过点作于点， ， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ∵为钝角三角形，为直角三角形， ∴两个三角形不全等 与为积等三角形． 【经典例题七 根据三角形中线求面积】 25．（23-24八年级上·湖北武汉·期中）如图，在中，是高，是角平分线，是中线，与交于点M，与交于点N，下面说法正确的有（    ） ①；②；③；④若，则． A．①②③ B．①②④ C．①③④ D．②③④ 【答案】B 【分析】根据以及角平分线的定义可得结论①；根据以及可得结论②；根据三角形面积可得结论③；过点作，垂足分别为，则可得，进而得出，设，则，，根据三角形中线等分面积可得，进而得出，然后可得的值． 【详解】解：∵平分， ∴， ∵，是高， ∴， ∴， ∴，故①正确； ∵，， ∴，故②正确； ∵， ∴，故③错误； 过点作，垂足分别为， ∵平分， ∴， ∵， ∴， ∴， 设，则， ∴， ∵是中线， ∴，， ∴，即， ∴，即， ∴， ∴ ，故④正确； 综上所述，正确的结论有①②④， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形的中线，高，角平分线的性质，勾股定理，熟练掌握相关性质是解本题的关键． 26．（23-24七年级下·江苏泰州·期末）大约在公元222年，赵爽为《周髀算经》一书作序时，介绍了“勾股圆方图”，亦称“赵爽弦图”（如图1）．某数学兴趣小组类比“赵爽弦图”构造出图2：为等边三角形，、、围成的也是等边三角形．已知点、、分别是、、的中点，若的面积为14，则的面积是（    ）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】B 【分析】连接，由题意知，再由点、、分别是、、的中点，可得，，即可得出即可求解． 【详解】解：连接，如图所示：   点、、分别是、、的中点， ，， 为等边三角形，也是等边三角形， ， ， 是的一个外角， ， 是的一个外角， ， ， 在和中， ， ， 同理，可得， ， ， ， ， ，解得， 故选：B． 【点睛】本题考查求三角形面积，涉及等边三角形的性质，中点性质，全等三角形的判定与性质，三角形外角性质，正确作出辅助线，得出是解题的关键． 27．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在中，，若的面积为45，则四边形的面积为 ． 【答案】21 【分析】本题考查了三角形的面积问题，知道同高三角形的面积的比等于底的比是解题的关键．连接，由于，得到，由，于是得到，；，然后根据面积的和差即可得到结论． 【详解】解：连接， ， ． ， ． ； 同理：； ． ． 故答案为：21． 28．（23-24七年级上·四川成都·开学考试）如图所示，直角三角形中，求阴影部分的面积． 【答案】 【分析】本题主要考查了求三角形面积，弄清楚三角形间的面积关系成为解题的关键． 如图：连接，易得，根据可得，，再证明、，进而得到，最后根据三角形面积的和差即可解答． 【详解】解：如图：连接，， ∵为直角三角形，， ∴，， ∴，即， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴． 【经典例题八 倍长中线模型】 29．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）在中，是边上的中线，，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系．作出图形，延长到E，使，连接，证明，从而可得，在中，再利用三角形三边的关系，即可求解． 【详解】解：延长到E，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 故选：C． 30．（2025·黑龙江·中考真题）如图，在中，，点、分别在边和上，且，，连接，点、分别是、的中点，连接，则的长度为（   ） A． B． C．2 D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，勾股定理，三角形中位线的性质，利用平行线+中点模型构造全等三角形，正确作出辅助线是解题的关键． 过点作，连接并延长交于点，连接，可证，可得，，再根据平行线的性质得，即得，最后根据三角形中位线的性质解答即可求解， 【详解】解：如图，过点作，连接并延长交于点，连接， ∴， ∵点是的中点， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∵，点是的中点， ∴是中位线， ∴， 故选：A． 31．（23-24黑龙江哈尔滨·模拟预测）如图，点是的斜边的中点，点、分别在边、上，且，连接、，若 ，，则线段的长为 ．    【答案】 【分析】延长至点，使得，连接，，过点作于点，可证( )，从而可得，，可证为等腰直角三角形，可得，可证，可求，由即可求解． 【详解】解：如图，延长至点，使得，连接，，过点作于点，    在和中， ， ( )， ，， ， ， ， 即， ， ， 为等腰直角三角形， ， ，是的中点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为∶． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，勾股定理，掌握相关的判定方法及性质，并能根据题意t添加恰当的辅助线是解题的关键． 32．（25-26八年级上·广东广州·开学考试）【发现问题】 （1）数学活动课上，老师提出了如下问题：如图1，在中，是的中线，求的取值范围． 【探究方法】第一小组经过合作交流，得到了如下的解决方法：①延长到，使得；②连接，通过三角形全等把转化在中；③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围是_________． 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形 【问题拓展】 （2）如图2，与互补，连接是的中点，试说明： （3）如图3，在（2）的条件下，若，延长交于点，请求出的面积． 【答案】（1）；（2）见解析；（3）15 【分析】本题考查了倍长中线型全等问题，正确作出辅助线是解题关键． （1）根据提示证即可求解； （2）延长至点H，使得，先证，再证，可得； （3）由（2）得，，可得，，进而可得，再证，即可求解． 【详解】（1）解：是的中线， ， 又，， ， ， ， ， ， ， 故答案为：； （2）证明：延长至点H，使得，连接，如图所示： 是的中点， ， 又，， ， ，， ， ， 与互补， ， ， ， 又，， ， ， ； （3）如图， 由（2）得，， ，， ， ， ，， ， ， ， ， ， ． 【经典例题九 灵活选用判定方法证全等】 33．（23-24九年级上·河北沧州·期末）如图，正方形 和正方形 的顶点在同一条直线上，顶点在同一条直线上．是的中点，且的平分线过点交于点连接交于点，连接交于点．给出以下结论∶①；②；③；④．其中正确的结论是（    ） A．①②③④ B．①③ C．②③ D．①②③ 【答案】A 【分析】①先利用正方形的性质证明，然后有，通过等量代换可得，则，即可判断①的正误； ②首先证明 ，则有，进而可得，由此可判断②的正误； ③通过直角三角形斜边中线的性质得出点H在正方形的外接圆上，然后根据圆周角定理的推论得出，即可判断③的正误； ④先得出是的中位线，则，然后根据平行线分线段成比例得出 ，则有，进而可求出 ，又因为 ，则可判断④的正误． 【详解】∵四边形和四边形是正方形， ∴ ． 在和中， ， ， ， ， ， ， ，故①正确； ∵平分， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ，故②正确； 是直角三角形，是的中点， ， 点H在正方形的外接圆上， ， ， ，故③正确； ∵四边形是正方形，．是的中点， ∴， ， ， ， 是的中位线， ， ， ∴， ， ， ， 与高相同， ， ， ， ，故④正确； 故选：A． 【点睛】本题主要考查正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例，掌握正方形的性质，三角形中位线的性质，全等三角形的判定及性质，平行线分线段成比例是解题的关键． 34．（23-24八年级上·广东江门·阶段练习）如图，已知点B是边上的动点（不与A，C重合），在的同侧作等边△ABD和等边，连接，下列结论正确的个数有（　　） ①； ②； ③； ④是等边三角形； ⑤平分； ⑥．      A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据等边三角形的性质可以得到,然后推导,判断①正确；根据全等得到,然后根据三角形的外角的性质判断②；进而得到,得到,,判断④与③；根据角平分线的判定判断⑤；然后证明,得以判断⑥. 【详解】解: ∵为等边三角形, ∴, ∴, ∴, 在和中, ， ∴, 故①正确； ∴, ∴, ∴, 故②正确, 在和中, ， ∴, ∴, ∵, ∴是等边三角形, 故④正确, ∴, ∴, 故③正确, ∵, ∴和边上的高相等， 即点到和的距离相等， ∴平分, 所以⑤正确; 如图, 在上截取, 连接，      在和中, ， ∴, ∴, ∴ ∴是等边三角形, ∴, ∴, 故⑥正确, 故选:. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定与性质，等边三角形的性质与判定，熟练掌握等边三角形的性质，证明三角形全等是解决问题的关键. 35．（23-24八年级上·上海长宁·期末）我们把两个不全等但面积相等的三角形叫做一对偏等积三角形．已知与是一对面积都等于的偏等积三角形，且，，那么的长等于 （结果用含和的代数式表示）． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等腰三角形的性质、三角形的面积等知识，由面积相等可得相应等式，作出三角形的高，作出辅助线构造三角形全等，证明三角形全等是是解题的关键． 【详解】解：如图：，过作于，过作 交延长线于，延长到使 ， ， ， ， ． 故答案为：． 36．（24-25七年级下·四川成都·期末）如图，直线，于点A，于点B，直线分别与，相交于点C和点D，，，．点E，F，G分别在线段，，上，且，，连接，，过点F，G分别作，的平行线相交于点H． (1)求证：； (2)若点H落在四边形内或其边上，求面积的最大值与最小值； (3)当为等腰三角形时，请画图确定H的位置，并简要说明理由． 【答案】(1)见详解 (2)面积的最大值为与最小值为 (3)见详解 【分析】（1）连接，由判定，由全等三角形的性质即可得证； （2）过作，过作于点，由可判定，由全等三角形的性质，由三角形的面积得，①当与重合时，取得最大值， ②当在线段上时，取得最小值； （3）过作，是定值，在直线上运动，以为圆心长为半径画弧交于、；作的垂直平分线交于． 【详解】（1）证明：连接， 过点F，G分别作，的平行线相交于点H， ，， ， ， ， （）， ； （2）解：过作，过作于点， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， （）， ， ， ①当与重合时，取得最大值， 此时， 面积的最大值为： ； ②当在线段上时，取得最小值， 过作， 直线，，， 平行线之间的距离处处相等， ，， ， ， ， 为等腰直角三角形， ， ， ， ， ， ， 面积的最小值为： ； 故面积的最大值为与最小值为； （3）解：过作， 是定值， 在直线上运动， 以为圆心长为半径画弧交于、， ， 、是等腰三角形； 如图，作的垂直平分线交于， ， 是等腰三角形． 【点睛】本题考查了平行线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质，掌握平行线的判定及性质，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定，线段垂直平分线的性质是解题的关键． 【经典例题十 全等三角形综合问题】 37．（24-25八年级上·江苏扬州·期末）如图，在中，，过点C作于点D，过点B作于点M，连接，过点D作，交于点N．与相交于点E，若点E是的中点，则下列结论：①；②；③其中正确的有（　　）个． A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】A 【分析】此题重点考查等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定与性质等知识，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 本题由，于点D，于点M，得，则，所以，推导出，进而证明，得，可判断①正确；由，得，推导出，进而证明，得，可判断②正确；作于点F，则，所以，再证明，得，，则，所以，则，可判断③正确，然后即可求解． 【详解】解：∵，于点D，于点M， ∴， ∴，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①正确； ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故②正确； 作于点F，如图： ， 则，， ∴， ∵点E是的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故③正确， 故选：A； 38．（24-25八年级上·四川南充·阶段练习）如图，已知和都是等边三角形，且A，C，E三点共线．与交于点O，与交于点，与交于点，连接．以下五个结论：①；②；③；④是等边三角形；⑤，其中正确结论的是（     ） A．①②③④ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①②④⑤ 【答案】C 【分析】由等边三角形的性质，证，即可判断①结论；根据全等三角形的性质，得到，结合对顶角相等可推出，然后根据三角形外角的性质，即可判断②结论；证明，即可判断③结论；根据全等三角形的性质，结合等边三角形的判定，即可判断④结论：根据等边三角形的性质，得出，即可判断⑤结论． 【详解】解：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故①结论正确； ∵， ∴， 又∵， ∴， ∵是的外角， ∴， ∴， 故②结论错误； ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 故③结论正确； ∵， ∴， 又∵， ∴是等边三角形， 故④结论正确； ∴， ∴， ∴， 故⑤结论正确； 即正确结论的是①③④⑤， 故选：C． 【点睛】本题考查了等边三角形判定和的性质，全等三角形的判定和性质，三角形内角和定理，三角形外角的性质，平行线的判定，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题关键． 39．（25-26九年级上·重庆·开学考试）在四边形中，，，连接，交于点，过点作交于，交于，且，则 ，若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，等腰三角形的性质等知识，先证明，则有，，可证，由，设，，则，所以，证明，则，然后代入得出，再得，，，过作于点，过作于点，证明，则，设，，则，通过勾股定理求出解得，即，则，求出，再由即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴，， ∴， ∴， 由，设，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴，， ∴， 如图，过作于点，过作于点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设，，则， ∴， ∴， 解得：， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， 故答案为：，． 40．（25-26九年级上·北京海淀·开学考试）在中，，过点B作，且，点D与点A在异侧，连接． (1)当时，如图1，若，，求线段的长； (2)当时，点E，F分别为，的中点，连接，请在图2中补全图形，用等式表示线段，，之间的数量关系，并证明． 【答案】(1) (2)，证明见解析 【分析】（1）由勾股定理在中求得，过点D作，交的延长线于点E，证明，得到，，从而在中根据勾股定理即可求解； （2）根据题意即可补全图形．过点C作，交的延长线于点M，过点D作于点N，易证，得到．由是等腰直角三角形，得到，因此，根据线段的和差得到．连接，，，根据直角三角形斜边上中线的性质得到，进而证明，得到，因此点F在的垂直平分线上．连接，可证，因此点E在的垂直平分线上，从而有．取的中点G，连接，根据中位线定理有，，因此．根据勾股定理在中有，转化为相关线段即可解答． 【详解】（1）解：∵，，， ∴． 过点D作，交的延长线于点E， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴，， ∴， ∴在中，． （2）解：根据题意作图如下： 线段，，之间的数量关系为，证明如下： 过点C作，交的延长线于点M，过点D作于点N， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， ∴，即． 连接，，， ∵点F是的中点，， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴点F在的垂直平分线上． 连接， ∵点E是的中点，， ∴， ∴点E在的垂直平分线上， ∴是的垂直平分线， ∴． 取的中点G，连接， ∵点G是的中点，点E是的中点， ∴，， ∴， ∴． 连接，， ∵，， ∴， ∵点G是的中点，点F是的中点， ∴， ∵， ∴在中，， ∴， 即． 【点睛】本题考查勾股定理，全等三角形的判定及性质，等腰三角形的判定及性质，垂直平分线的判定，勾股定理，三角形中位线定理，直角三角形斜边上中线的性质，综合运用相关知识，正确作出辅助线是解题的关键． 【经典例题十一 与平行线有关的三角形内角和问题】 41．（24-25七年级下·全国·期末）如图，点在的延长线上，与交于点，且，，是的余角的倍，点是线段上的一动点，点是线段上一点且满足，平分．下列结论：；；平分；；．其中结论正确的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质、角平分线的性质，根据内错角相等，两直线平行，可得，故正确；根据同旁内角互补，两直线平行，可得，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为，等量代换可得：，故正确；根据两直线平行，内错角相等，可得：，根据两直线平行，内错角相等，可得：，又因为是的余角的倍，可以求出，从而可得：，故正确；根据角平分线的定义可得：，，从而可得：，故错误． 【详解】解：和是、被直线所截形成的内错角，且， ， 故正确； ， ， 又， ， ， 故正确； ， ， ， ， 平分， 故正确； ， ， ， ， 设， 是的余角的倍， ， 解得：， ， 在中，， ， ， 故正确； 平分， ， 由可知平分， ， ， 故错误； 综上所述，结论正确的个数是. 故选：C． 42．（23-24七年级下·湖北黄冈·阶段练习）如图，平分交于点E，，，M，N分别是延长线上的点，和的平分线交于点F．下列结论：①；②；③平分；④为定值．其中正确的有（    ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】先根据AB⊥BC，AE平分∠BAD交BC于点E，AE⊥DE，∠1+∠2=90°，∠EAM和∠EDN的平分线交于点F，由三角形内角和定理以及平行线的性质即可得出结论． 【详解】解：∵AB⊥BC，AE⊥DE， ∴∠1+∠AEB=90°，∠DEC+∠AEB=90°， ∴∠1=∠DEC， 又∵∠1+∠2=90°， ∴∠DEC+∠2=90°， ∴∠C=90°， ∴∠B+∠C=180°， ∴AB∥CD，故①正确； ∴∠ADN=∠BAD， ∵∠ADC+∠ADN=180°， ∴∠BAD+∠ADC=180°， 又∵∠AEB≠∠BAD， ∴AEB+∠ADC≠180°，故②错误； ∵∠4+∠3=90°，∠2+∠1=90°，而∠3=∠1， ∴∠2=∠4， ∴ED平分∠ADC，故③正确； ∵∠1+∠2=90°， ∴∠EAM+∠EDN=360°-90°=270°． ∵∠EAM和∠EDN的平分线交于点F， ∴∠EAF+∠EDF=×270°=135°． ∵AE⊥DE， ∴∠3+∠4=90°， ∴∠FAD+∠FDA=135°-90°=45°， ∴∠F=180°-（∠FAD+∠FDA）=180-45°=135°，故④正确． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了平行线的性质与判定、三角形内角和定理、直角三角形的性质及角平分线的计算，熟知三角形的内角和等于180°是解答此题的关键． 43．（23-24七年级下·浙江湖州·期末）将长方形纸带先沿折叠成图1，再沿折叠成图2，此时恰好经过点，若，则的度数为 度．    【答案】 【分析】本题考查了折叠问题，三角形的内角和定理，平行线的性质，根据平行线的性质可得，根据三角形内角和定理可得出，进而根据平行线的性质可得，得出，根据折叠得出，进而根据平角的定义得出，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵折叠 ∴， 在中，， ∵， ∴ ∴ ∵ ∴ ∵折叠， ∴ 又 ∴ 解得： 故答案为： 44．（23-24七年级下·福建厦门·期末）如图，，平分交于点，在射线上，平分交于点．    (1)如图1，若，且，求的度数； (2)如图2，在线段上，使得平分． ①当时，比较与的大小关系，并说明理由； ②过作于点，若，且，，，求的长． 【答案】(1) (2)①，理由见解析；② 【分析】本题考查平行线性质，三角形内角和定理，外角和定理，等积法等． （1）根据题意利用平行线性质列出等式，继而得到本题答案； （2）①利用角平分线定义得到和，再利用外角和定理表示出与，再等量代换即可得到本题答案；②按题意画图，利用条件关系可求得，继而得，再利用等积法即可得到本题答案． 【详解】（1）解：∵，，，平分，平分， ∴， ∴，， ∴， 解得：， ∵， ∴； （2）解：①∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴，， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴； ②由题意画图如下：    ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵，，， ∴， 解得：． 【经典例题十二 添加条件使三角形全等】 45．（23-24八年级上·天津东丽·期末）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，点A，D在直线BE的两侧，AB∥DE，BF＝CE，添加一个适当的条件后，仍不能使得△ABC≌△DEF（　　）    A．AC＝DF B．AC∥DF C．∠A＝∠D D．AB＝DE 【答案】A 【分析】根据AB∥DE证得∠B＝∠E，又已知BF＝CE证得BC＝EF，即已具备两个条件：一边一角，再依次添加选项中的条件即可判断. 【详解】∵AB∥DE， ∴∠B＝∠E， ∵BF＝CE， ∴BF+FC＝CE+FC， ∴BC＝EF， 若添加AC＝DF，则不能判定△ABC≌△DEF，故选项A符合题意； 若添加AC∥DF，则∠ACB＝∠DFE，可以判断△ABC≌△DEF（ASA），故选项B不符合题意； 若添加∠A＝∠D，可以判断△ABC≌△DEF（AAS），故选项C不符合题意； 若添加AB＝DE，可以判断△ABC≌△DEF（SAS），故选项D不符合题意； 故选：A．    【点睛】此题考查三角形全等的判定定理，熟练掌握定理，并能通过定理去判断条件是否符合全等是解决此题的关键. 46．（23-24七年级下·广东佛山·期末）如图，在四边形中，.不能判定的条件是（   ）   A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据已知条件，分别添加选项进行排查，即可完成解答；注意BD是公用边这个条件. 【详解】解：A.若添加AB=CD,根据AB∥CD，则∠ABD=∠CDB，依据SAS可得△ABD≌△CDB，故A选项正确； B.若添加AD=BC,根据AB∥CD，则∠ADB=∠CBD，不能判定△ABD≌△CDB，故B选项错误； C.若添加，则四边形ABCD是平行四边形，能判定△ABD≌△CDB，故C选项正确； D.若添加∠A=∠C，根据AB∥CD，则∠ABD=∠CDB，且BD公用，能判定△ABD≌△CDB，故D选项正确； 故选B. 【点睛】本题考查了全等三角形的判定：全等三角形的5种判定方法中，选用哪一种方法，取决于题目中的已知条件，若已知两边对应相等，则找它们的夹角或第三边；若已知两角对应相等，则必须再找一组对边对应相等，且要是两角的夹边，若已知一边一角，则找另一组角，或找这个角的另一组对应邻边. 47．（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，分别为，上的点，与交于点，连接．要，还须添加一个条件，如添加，可运用，证得．请写出添加的其它一个条件，仍能证得： ．（说明：原图不再添加点和线，要求写出所有可能） 【答案】，，，，，， 【分析】本题考查全等三角形的性质和判断，掌握判断定理是解题关键；要，已知一组对应边相等和一个公共角，再添加一个条件可以是角相等，或、，依据是或，也可以是间接条件，得出，如，能间接证出和再有一组角相等或一组边相等即可 【详解】解：添加，依据是， 添加，依据是， 添加，可先得出，从而得出，然后依据可证； 添加可得，则依据证明； 添加可得，则依据可证； 添加，先证，从而得出，进而得出，依据是， 添加，可得出，进而，依据， 故答案为：，，，，，，． 48．（23-24七年级下·陕西西安·期中）在四边形中，，，是上一点，是延长线上一点，且． (1)试说明：； (2)在图中，若，，在上且，试猜想、、之间的数量关系并证明所归纳结论； (3)若，，G在上，满足什么条件时，（2）中结论仍然成立？（只写结果不要求证明）． 【答案】(1)见讲解； (2)； (3)． 【分析】本题考查了三角形全等的判定与性质，同角的补角相等，平角的定义，熟练掌握以上知识点，找到条件证明三角形全等是解题的关键． （1）由同角的补角相等，结合题目给出的边相等，证明，由全等三角形的对应边相等，得证； （2）结合（1），证明； （3）结合（1），证明． 【详解】（1）， ， （2）猜想： 由（1）可知， ，， ， 得证； （3）当成立 由（1）可知， ，， ， 得证． 【经典例题十三 用SSS间接证明三角形全等】 49．（2025·吉林长春·一模）如图，在中，，以点A为圆心，适当长为半径画圆弧，分别交于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于的长为半径画圆弧，两弧交于点P，作射线交边于点D，点E在边上，连结，则下列结论错误的是（    ） A． B．连结，根据可判定 C． D．的最小值是的长 【答案】B 【分析】本题考查作图—基本作图、全等三角形的判定、角平分线的性质，由作图过程可得，，可得，即可判断A，B选项；由作图过程可知，射线为的平分线，可得，即可判断C选项；由题意知，当时，取得最小值，此时结合角平分线的性质可得，即的最小值是的长，即可判断D选项． 【详解】解：连接，， 由作图过程可得，， ∵， ∴， ∴根据可判定， 故A选项正确，不符合题意，B选项不正确，符合题意； 由作图过程可知，射线为的平分线， ∴， 故C选项正确，不符合题意； 由题意知，当时，取得最小值， ∵为的平分线，， ∴此时， 即的最小值是的长， 故D选项正确，不符合题意． 故选：B． 50．（23-24九年级下·浙江台州·期末）在四边形中，，对角线相交于点，则的长为（   ） A． B．20 C． D．24 【答案】C 【分析】此题考查相似三角形的判定和性质，四点共圆，全等三角形的性质，等腰三角形的性质. 取的中点O，连接并延长交于点E，并连接，根据垂直定义得到点A，B，C，D四点共圆，且，证明，得到，推出，由此得到，推出，再证明，得到，即，由此求解. 【详解】解：取的中点O，连接并延长交于点E，并连接， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴点A，B，C，D四点共圆，且， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 设， ∵， ∴， ∴，即， 得， ∴， 解得， ∴， 故选：C 51．（23-24八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，、、是的四等分点，，则图中的全等三角形共有 对． 【答案】4 【分析】本题考查全等三角形的判定，关键是掌握全等三角形的判定方法． 由“边边边”可证明图中4对三角形全等． 【详解】解：、、是的四等分点， ， ，，，， ，， ，，， ，，，． 图中的全等三角形共有4对． 故答案为：4． 52．（24-25八年级下·江苏镇江·期中）阅读下列材料：“鹞形”在数学中是一种四边形．我们把有一条对角线垂直平分另一条对角线的四边形叫做鹞形．如图1，四边形中，若垂直平分，那么四边形称为鹞形． (1)写出图1所示鹞形的两个性质（定义除外）：①_______；②_______； (2)如图2，在平行四边形中，E、F分别在边和上，且四边形是鹞形（垂直平分），求证平行四边形是菱形． (3)如图3，在（2）的条件下，连接、，若，，，则的长度为________． 【答案】(1)鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等； (2)见解析 (3) 【分析】（1）在和中，即可得出结论； （2）连接相交于点，由（1）可得，由四边形是平行四边形，可得．再证出，然后得出平行四边形是菱形即可； （3）连接与相交于点，设相交于点，由勾股定理得出，再求出，再求出，再由面积法求出，即可求解． 【详解】（1）解：垂直平分， ， 在和中， ， ， ，， 即：鹞形的一条对角线平分一组对角，鹞形的一组对角相等； 故答案为：鹞形的一条对角线平分一组对角；鹞形的一组对角相等； （2）证明：如图，连接相交于点， 由（1）可得， 四边形是平行四边形， ． ． ， 四边形是菱形； （3）解：如图，连接与相交于点，设相交于点， 四边形是菱形， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ． 故答案为：． 【点睛】此题是四边形综合题，主要考查了菱形的性质和判定，三角形的全等的判定和性质，勾股定理，菱形的判定与性质，解本题的关键是理解“鹞形”的定义． 【经典例题十四 用SAS间接证明三角形全等】 53．（2025·安徽芜湖·一模）如图，在等腰直角中，，点M，N将底边AB三等分，点P在的腰上，且满足的点P恰好是2个，则的腰长为（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】如图，过作，，连接，证明，可得，结合点P在的腰上，且满足的点P恰好是2个，可得当取最小值时，刚好是2个，共线时，最小，再进一步求解即可． 【详解】解：如图，过作，，连接， ∵等腰直角中，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵点P在的腰上，且满足的点P恰好是2个， ∴当取最小值时，刚好是2个， ∴共线时， 最小， ∵为的三等分点， ∴设，则， ∴， 解得：，（舍去）， ∴， ∴； 故选：C 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，勾股定理的应用，二次根式的乘法运算，作出合适的辅助线是解本题的关键． 54．（24-25九年级上·北京·阶段练习）如图，将绕点顺时针旋转，再将得到的点顺时针旋转，…依次旋转下去，最终将绕点顺时针旋转，得到．若点在线段上，点在线段上，且，则下列结论中正确的是（   ） ①；②点到直线的距离为；③若、、三点共线，则；④五边形是正五边形 A．①②③ B．①③④ C．②③④ D．①②③④ 【答案】B 【分析】根据旋转的性质求出可判断①；作于点H，解直角三角形可判断②；由旋转的性质得由、、三点共线先求出，进而可求出，从而判断③；证明五边形各边相等，各角相等，根据正多边形的定义可判断④． 【详解】解：①，故①正确； ②由旋转的性质得， ∴． 作于点H ∴，故②不正确； ③由旋转的性质得，， ∵、、三点共线 ∴， ∴，故③正确； ④∵，， ∴， ∴， 同理可证，． ∵， ∴， 同理可证，， ∴五边形是正五边形，故⑤正确． 故选B． 【点睛】本题考查了旋转的性质，解直角三角形，等腰三角形的性质，全等三角形的判定与性质，正多边形的判定，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 55．（23-24八年级上·辽宁葫芦岛·期中）如图，在，中，，，，C，D，E三点在同一直线上，连接，以下四个结论      ①；②； ③；④． 其中结论正确的是 ．（把正确结论的序号填在横线上）． 【答案】①③④ 【分析】由 ，利用等式的性质得到夹角相等，从而得出三角形 与三角形全等，由全等三角形的对应边相等得到，本选项正确；由三角形与三角形全等，得到一对角相等，由等腰直角三角形的性质得到，进而得到 ，本选项不正确；再利用等腰直角三角形的性质及等量代换得到，本选项正确；利用周角减去两个直角可得答案； 【详解】解： ， 即： 在 和 中 ，本选项正确； 为等腰直角三角形， ，本选项不正确； 即, ∴，本选项正确； ，本此选项正确； 故答案为：①③④． 【点睛】此题考查了全等三角形的判定与性质，以及等腰直角三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解本题的关键． 56．（24-25八年级上·河北邢台·期末）【感悟】如图1，是的高线，，若，，求的长． 小明同学的思路是：将沿折叠，点刚好落在边上的点处．请你根据小明的思路直接写出_________． 【探究】如图2，，为的外角的平分线，交的延长线于点，则线段、、又有怎样的数量关系？请写出你的猜想并证明． 【拓展】如图3，在四边形中，平分，，． ①求证：； ②若，则的长为_____________． 【答案】感悟：9；探究：，见解析；拓展：①见解析；②18 【分析】感悟：根据题意画出图形，由折叠的性质可得：，，，由可得，再由三角形外角的定义及性质可得，推出，进而得到，最后进行计算即可得到答案； 探究：在上截取，连接，证明得到，，证明，再由得到，再根据三角形外角的定义及性质得出，进而得到，即可得证； 拓展：在上截取，连接，证明，得到，，从而得到，进而，再由即可得证； 由得，结合可得，从而推出是等边三角形，得出，最后由即可得到答案． 【详解】感悟：解：如图，将沿折叠，则点C刚好落在边上的点E处，由折叠的性质可得：，，， ， ， ， ， ， ； 探究：解：， 证明：如图，在上截取，连接， ，平分， ， 在和中， ， ， ，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ； 拓展：解：如图，在上截取，连接， 平分， ， 在和中， ， ， ，， ， ， ， ， ， 由得，， ， ， ， ， 为等边三角形， ， ， 【点睛】本题主要考查了角平分线的定义、三角形全等的判定与性质、三角形外角的定义及性质、等边三角形的判定与性质、等腰三角形的判定与性质、折叠的性质等知识点，熟练掌握以上知识点，添加适当的辅助线是解此题的关键． 【经典例题十五 全等的性质和ASA（AAS）综合】 57．（23-24八年级上·湖南长沙·阶段练习）如图，在中，，过点作于点，过点作于点，连接，过点作，交于点．与相交于点，若点是的中点，则下列结论中，①；②；③；④．正确的个数是（　　）    A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰三角形的判定和性质． 根据题意，利用角边角证明，可得是等腰直角三角形，可判定结论①；过点作于点，证明，得，，可判定结论②；根据上述证明，设，则，，，可判定结论③；根据题意可证，得到，结合上述证明可得，则有，进而得到，可判定结论④；由此即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴，故①正确； 如图所示，过点作于点    由①的证明可得，，则， ∵， ∴， ∵点是中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴，故②正确； 由上述证明，设，则，，， ∴， ∴，故③正确； ∵， ∴， 由①可知，，， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴，故④错误； 综上所述，正确的有①②③，共3个， 故选：C ． 58．（2024八年级下·全国·竞赛）如图，在中，，，是的角平分线． 过点的直线交线段于点，交线段的延长线于点，作，交的延长线于点，交线段于．在满足以上条件的情况下将绕点旋转，旋转过程中以下保持定值的有（    ）个． ①；②；③四边形的面积；④ A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定与性质，解题的关键是掌握全等三角形的判定与性质． 根据等腰直角三角形的性质和证明，得到，，从而得到，可推出，再根据线段的和差即可判断①；由可推出，由，，可得，可判断②；可证明，得到，由，可判断③；由，得，根据，可判断④． 【详解】解：，，是的角平分线， ，，， ，，且， ， ， ，，， ， ，，， ， ， 又， ，是确定的， 是定值，故①正确； ， ， 又， ， ，， ， 随的旋转而改变， 不是定值，故②错误； ，，， ， ，且， 是定值， 四边形的面积是定值，故③正确； ， ， ， 随的旋转而改变， 不是定值，故④错误； 保持定值的有①③， 故选：B． 59．（2024九年级下·湖南长沙·竞赛）如图，等腰直角中，，平分的延长线于点D，若，则的面积为 ． 【答案】49 【分析】本题考查了等腰直角三角形三边关系、运用全等构造等腰三角形和勾股定理的综合问题，设立未知数表示各未知线段、根据图形特征作辅助线构造熟悉图形、并根据勾股定理建立起各未知量之间的等式是解题的关键． 过点作，交于点，延长相交于点，根据等腰直角三角形的性质得出为等腰直角三角形，假设，由勾股定理得，表示出相关线段的长度，证明，得出，，然后利用勾股定理求出的值，最后可求三角形的面积． 【详解】解：如图，过点作，交于点，延长相交于点， 是等腰直角三角形， ∴， ∴为等腰直角三角形， ， 假设，由勾股定理得， ∵平分， ∴，， ， 由勾股定理得， ∵，，， ∴， ∴，， ∴，， 由勾股定理得 即 解得，， ∴的面积为， 故答案为：49． 60．（2024·湖南·模拟预测）如图，以的三边为边分别向外作正方形．在正方形中，点O是其对角线的交点，过点O作的平行线交正方形于M，N两点，过点O作的垂线交正方形于P，Q两点，这样将正方形划分成四个形状与大小都一样的四边形． (1)求证：； (2)求证：； (3)设正方形的面积为，正方形的面积为，当，时，求的值． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)64 【分析】本题考查了正方形的性质（对边平行、对角线垂直平分且平分内角）、平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定、与性质及勾股定理，解题的关键是结合直角三角形与正方形的位置关系，通过构造辅助线（如连接、、证明全等三角形，将未知线段转化为已知线段，再利用平行四边形性质和勾股定理建立线段与面积的联系． （1）连接，利用正方形对边平行得、，证，得；由、知A、C、H共线，结合与，证四边形是平行四边形，故； （2）连接，由正方形对角线垂直平分得、，结合、，证，得；利用平行四边形的，结合，得； （3）由得、，在中用勾股定理求；在中，由勾股定理求，得；根据勾股定理，故． 【详解】（1）证明：连接， ∵点O为正方形对角线的交点， ∴， 由正方形的对边得，， ∴， ∴，即， 由知，点A、C、H在同一条直线上， ∴由知，结合已知， ∴四边形是平行四边形，则， ∴． （2）连接， 由已知知，； 由正方形对角线互相垂直平分且相等得，， ∴，又（正方形每条对角线平分其内角）， ∴， ∴， ∴由平行四边形的性质知：， 即 （3）如图，连接． 由得， 又∵ ∴． 在中，则， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$