专题01认识三角形重难点题型专训（6个知识点+17大题型+3大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年八年级数学上册重难点专题提升精讲精练（浙教版2024）

专题01认识三角形重难点题型专训 （6个知识点+17大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 三角形的识别与有关概念 题型二 三角形的个数问题 题型三 与平行线有关的三角形内角和问题 题型四 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型五 三角形折叠中的角度问题 题型六 三角形内角和定理的应用 题型七 三角形的分类 题型八 构成三角形的条件 题型九 确定第三边的取值范围 题型十 三角形三边关系的应用 题型十一 与三角形的高有关的计算问题 题型十二 根据三角形中线求长度 题型十三 根据三角形中线求面积 题型十四 重心的概念 题型十五 画三角形的高 题型十六 三角形角平分线的定义 题型十七 垂心 拓展训练一 三角形内角和相关问题及应用 拓展训练二 三角形相关特性及应用 拓展训练三 三角形相关计算问题 知识点一：三角形定义 1.定义：在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三角形的基本元素包括边、角和顶点，如图1，三角形三边是、、，也可以用一个小写字母表示，记作：、、，三个内角为、、，其中的对边为，的对边为，的对边为. 图1 2.表示方法：三角形用符号“”表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作“△ABC”,读作“三角形” 【即时训练】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）在中，，则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 【答案】B 【分析】设，因为，所以，，根据三角形内角和为进行列式即可解答． 【详解】解：设， 因为， 所以，， 在中，， 即， 解得， 那么，，， 所以此三角形是直角三角形， 故选：B． 【点睛】本题考查了三角形内角和为，难度较小． 2．（23-24八年级·浙江·阶段练习）如图，在△BCE中，边BE所对的角是 ，∠CBE所对的边是 ；在△AEC中，边AE所对的角是 ，∠A为内角的三角形是 ． 【答案】 ∠BCE/∠ECB CE/EC ∠ACE/∠ECA △ABD，△ABC，△ACE 【分析】根据的边、角的定义，即可求解． 【详解】解：在△BCE中，边BE所对的角是∠BCE，∠CBE所对的边是CE； 在△AEC中，边AE所对的角是∠ACE，∠AEC所对的边是AC； ∠A为内角的三角形是△ABD，△ABC，△ACE． 故答案为：∠BCE；CE；∠ACE；△ABD，△ABC，△ACE 【点睛】本题考查了三角形的知识，掌握由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形；组成三角形的线段叫做三角形的边；相邻两边的公共端点叫做三角形的顶点；相邻两边组成的角叫做三角形的内角，简称三角形的角是解题的关键． 知识点二：三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 【即时训练】 1.（24-25八年级上·浙江温州·期中）四根木棒的长度分别为，，，．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形．则下列取法中不能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三边关系的应用，熟练掌握三角形的三边关系是解题关键．根据三角形的三边关系定理逐项判断即可得． 解：A、因为，所以长度为，，的三根木棒能组成一个三角形，则此项不符合题意； B、因为，所以长度为，，的三根木棒能组成一个三角形，则此项不符合题意； C、因为，所以长度为，，的三根木棒不能组成一个三角形，则此项符合题意； D、因为，所以长度为，，的三根木棒能组成一个三角形，则此项不符合题意； 故选：C． 2.（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）若a、b、c是三角形的三边，则 ． 【答案】 【分析】本题考查三角形的三边关系、绝对值化简，根据三角形的三边关系可得，，再根据绝对值的性质进行求解即可． 解：∵a、b、c是三角形的三边， ∴，， ∴ ， 故答案为：． 知识点三：三角形的内角和定理 1.三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的三个内角之和恒等于180°. 2.数学语言表述：如图1，在ABC中，. 图1 3.三角形内角和定理的证明 已知：△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C； 求证：∠A+∠B+∠C过点A作直线MN，使之与BC边平行（或相交于BC的延长线）。线MN，使MNBC． 图2 ∵MNBC, ∴∠B=∠MAB,∠C=∠NAC, ∵∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°, ∴∠B+∠C+∠BAC=180°, 即∠BAC+∠B+∠C=180°． 【特别说明】 （1）证明三角形内角和的方法很多，在后面的例题、练习题中还会出现其他方法 （2）三角形三个内角中最多三个锐角，至少有两个锐角，最多有一个钝角，且三角形中最大的内角不三角形外角的定义是：由三角形的一边与另一边的反向延长线所夹的角，称为三角形的外角。 【即时训练】 1．（23-24八年级上·浙江丽州·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和的定理的证明，平行线的性质，熟练掌握转化的思想以及平角的定义是解决本题的关键．运用转化的思想作出相应的平行线，把三角形的内角进行转化，再根据平角的定义逐一判断即可得答案． 【详解】∵， ∴， ∵， ∴，故A选项不符合题意， ∵， ∴， ∵， ∴，故B选项不符合题意， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴，故C选项不符合题意， ∵， ∴，不能证明“三角形的内角和等于”故D选项符合题意， 故选：D 2．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，，，为三角形的内角，求： ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理的证明，过点作，可得，，结合，即可求解． 【详解】解：如图，过点作， ， ，， ， ， 故答案为：． 知识点四：三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，，，则不可能是（    ） A．2 B．5 C．7 D．8 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．三角形三边关系定理：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边差小于第三边，由此求出第三边长的取值范围，即可得到答案． 【详解】∵三角形三边的长度分别为，，， ∴， ∴， ∴第三边长不可能是2． 故选：A． 2．（2025八年级上·浙江杭州·专题练习）一个三角形的两边长分别是2和5，另一边长为偶数，则这个三角形的周长为 ． 【答案】11或13 【分析】本题主要考查了三角形的三边关系，一元一次不等式等知识点，解题的关键是熟练掌握三角形三边关系． 利用三角形的三边关系列出不等式求解，分情况进行求三角形的周长即可． 【详解】解：根据三角形三边关系可得， 即， ∵边长为偶数， ∴或， ∴当时，三角形的周长为， 当时，三角形的周长为， 知识点五:三角形的分类 【即时训练】 1.（23-24八年级上·重庆永川·期中）如果一个三角形的三个内角度数之比为，则该三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 【答案】A 【分析】本题考查了三角形内角和定理． 根据三角形内角和定理，将角度比转化为具体度数，判断最大角的类型即可确定三角形的类别． 解：设三个内角的度数分别为、、， 根据三角形内角和为，可得： 解得： 因此，三个内角分别为：，， 最大角为，小于， 故三个角均为锐角， 因此，该三角形是锐角三角形， 故选A． 2．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）三角形按边可以分为： 三角形和不等边三角形；按角分为： 三角形、 三角形和钝角三角形． 【答案】 等腰 锐角 直角 【分析】本题考查三角形分类，熟练掌握三角形按边或按角分类是解题的关键． 根据三角形按边可以分为：等腰三角形和不等边三角形；按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形解答即可． 【详解】解：三角形按边可以分为：等腰三角形和不等边三角形； 按角分为：锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 故答案为：等腰；锐角；直角．（空2与空3答案可互换）． 知识点6：三角形的重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 【即时训练】 1．（2025·浙江·二模）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的高线、中线、角平分线，熟练掌握三角形的高线、中线、角平分线的定义是解题的关键．根据三角形的高线、中线、角平分线的定义，逐项分析即可即可判断． 【详解】解：∵，，分别是的高、角平分线、中线， ∴，，． 结合选项可知，A、B、D选项不符合题意，C选项符合题意； 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】本题考查了三角形的面积，三角形的中线、高线，解决此类题目最常用的是等底等高的三角形的面积相等，要熟练掌握． （1）根据中线的定义可得，然后表示出的周长，再把用表示，用表示，整理即可得解； （2）根据三角形高线的定义作出即可； （3）根据等底等高的三角形的面积相等用的面积表示出的面积，再利用三角形的面积公式列式计算即可得解． 【详解】（1）解：为的中线， ， ， ， 的周长， ， 的周长； （2）解：如图，即为中边上的高， （3）解：设点到边的距离为 为的中线， 为的中线， ， ， ， ， 点到边的距离为． 【经典例题一 三角形的识别与有关概念】 【例1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，掌握“在同一平面内，由三条线段首尾顺次连接形成的封闭图形叫做三角形”是解题关键． 【详解】解：由三角形的定义可知，只有C选项的图形是三角形， 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，写出以为角的三角形，写出以为边的三角形． 【答案】，；，， 【分析】本题主要考查了三角形的定义，根据三条线段，两两相交在一起所构成的一个密闭的平面图形叫做三角形得出所有三角形是解题关键．根据图形直接得出所有的三角形进而得出答案． 【详解】解：以为角的三角形有，， 以为边的三角形有，，． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的定义，解题的关键是熟练记住定义. 根据三角形的定义进行判断即可. 【详解】解：因为三角形是由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所成的图形， 所以选项C符合题意. 故选： C． 2．（24-25七年级下·上海·期末）在中，已知，那么 （大小比较）． 【答案】 【分析】本题考查比较三角形的内角度数的大小关系，根据大边对大角，比较角度之间的关系即可． 【详解】解：∵分别为的对边，且， ∴； 故答案为：． 3．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是 ．    【答案】/ 【分析】此题主要考查了三角形，关键是掌握三角形边角间的关系．利用三角形边、角间的关系可得答案． 【详解】解：在中，的对边是． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，如下图，以为公共角的“共角三角形”有几对？请写出来． 【答案】6对．“共角三角形”有与，与，与，与，与，与． 【分析】本题考查了共角三角形的定义，正确理解定义是解题的关键. 根据有一个公共角的两个三角形为一对共角三角形，首先确定三角形的角，然后确定三角形即可. 【详解】解：以为公共角的“共角三角形”有与、与、 与、与、与、和共6对. 故答案为：6 ． 【经典例题二 三角形的个数问题】 【例1】（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，图中三角形的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查三角形的个数． 找出图中所有的三角形，即可得三角形的个数． 【详解】解：图中的三角形有：，，，，， ∴图中共有个三角形， 故选：． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）图中共有多少个三角形？把它们表示出来． 【答案】8个；见解析 【分析】本题考查了三角形的概念及计数能力，解题的关键是按照一定的顺序（如从最小的三角形开始，逐步到较大的三角形）不重复、不遗漏地列举出所有三角形． 【详解】解：图中共有8个三角形，它们分别是： 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，以D为顶点的三角形的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 【答案】B 【分析】本题考查了三角形，根据三角形的定义即可得到结论． 【详解】解：以D为顶点的三角形有共4个三角形， 故选：B． 2．（2025七年级上·江苏·专题练习）聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 【答案】C 【分析】直角三角形计数问题，恰当分类且不重复是解题的关键． 分三种情况计数：点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角，据此求解． 【详解】根据题意，直角三角形中有1个直角，要使三角形成为一个直角三角形，则点C与点A在同一列或点C与点B在同一列，或使是直角即可； 点C与点A在同一列时，有3种选法； 点C与点B在同一列时，有3种选法； 是直角时，有1种选法； （种） 连接A、B、C三点使三角形成为一个直角三角形，则点C的位置有7种选法。 故答案为：C 3．（24-25七年级上·重庆大渡口·开学考试）如图，图中共有 个三角形． 【答案】116 【分析】本题考查组合图形的计数问题，分别找出最小三角形的个数，4个小三角形组成的三角形的个数，9个小三角形组成的三角形的个数，以及16个小三角形组成的三角形的个数，相加即可． 【详解】解：图中1个小三角形个数为：． 4个小三角形组成的三角形的个数为：， 9个小三角形组成的三角形的个数为：， 16个小三角形组成的三角形的个数为：， 所以图中三角形的个数为：， 故答案为：116． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形？分别写出这些三角形． 【答案】9个三角形，分别为，， 【分析】本题主要考查了三角形个数问题，不在同一直线上的三点可以组成一个三角形，那么线段a上取一个点，线段b上取两个点，这三个点可组成一个三角形或线段a上取两个点，线段b上取一个点，这三个点可组成一个三角形，据此可得答案． 【详解】解：∵不在同一直线上的三点可以组成一个三角形， ∴可以组成的三角形有，，，共9个三角形． 【经典例题三 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，直线经过点A且．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了平行线的性质，平角的概念，先由，得，再运用，代数进行计算，即可作答． 【详解】解：∵， ∴， ∵，， ∴ 故选：D． 【例2】（23-24七年级下·内蒙古包头·期中）如图所示，在中，，，是的角平分线，点E在上，，求的度数．    【答案】 【分析】首先利用三角形内角和定理得出的度数，再利用平行线的性质以及角平分线的定义分析得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∵， ∴． 【点睛】此题主要考查了三角形内角和定理以及平行线的性质以及角平分线的定义，正确掌握相关性质是解题关键． 1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，利用三角形的内角和定理求解相关角的度数是解题的关键．根据三角形的内角和定理可求解的度数，的度数，再利用平行线的性质可求解． 【详解】解：，，， ， ， ， ， ， ， 故选：B． 2．（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查三角形内角和及平行线的性质，熟练掌握三角形内角和及平行线的性质是解题的关键；如图，由题意易得，然后根据三角形内角和可进行求解． 【详解】解：如图， 由题意得：， ∴， ∴， ∴； 故选D． 3．（23-24七年级上·四川眉山·期末）如图，已知，直线EF分别交，于点F，点E，平分，若，则的度数为 ． 【答案】/70度 【分析】此题考查平行线的性质和三角形内角和定理，根据平行线的性质“两直线平行，内错角想到”，再利用角平分线的性质推出，这样就可根据三角形内角和定理求出的度数． 【详解】解：∵，， ∴， ∵平分， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在格点上，按下述要求作图并填空． (1)将平移得到，使得、、的对应点分别为、、，作出； (2)连接，若，，，求的度数． 解：，， _①__． ， ② ． 又， 在中， ③ ， ④ ． 【答案】(1)见解析 (2)；;； 【分析】本题考查了平移作图，平行线的性质，三角形内角和定理的应用，熟练掌握平移的性质是解题的关键； （1）根据点的位置，可得平移方式为向右平移3个单位，向上平移4个单位，据此画出平移后的三角形，即可求解； （2）根据平行线的性质以及角度的和差，三角形内角和定理，进行计算即可求解． 【详解】（1）解：如图，即为所求 （2）解：如图，连接， ，， ． ， ． 又， 在中，， ． 故答案为：；;；． 【经典例题四 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例1】（2025·四川成都·二模）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理以及角平分线的定义，牢记“三角形内角和是”是解题的关键．在中，利用三角形内角和定理，可求出的度数，再结合角平分线的定义，即可求出的度数． 【详解】解：在中，，， ， 又平分， ． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，为三角形的角平分线，交于点D，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查与角平分线有关的三角形的内角和定理，角平分线求出的度数，根据三角形的内角和定理，求出的度数，再根据平角的定义求出的度数即可． 【详解】解：因为，平分， 所以． 又因为，， 所以， 所以． 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线、及其交点F．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握三角形内角和等于是解题关键．利用三角形内角和以及角平分线的定义求解即可． 【详解】解：在中，， ， 两锐角的角平分线、交于点F， ，， ， ， 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，的三条角平分线的交点为点D，则（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的内角和定理的应用，三角形的角平分线的含义，先证明，，，进一步利用三角形的内角和定理即可求解. 【详解】解：∵的三条角平分线的交点为点D， ∴，，， ∵， ∴； 故选：B 3．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在中，，和的平分线相交于点，则 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，三角形的角平分线，由三角形内角和定理可得，进而由三角形角平分线的定义可得，再根据三角形内角和定理即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：∵在中，， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，已知平分，F是反向延长线上的一点，于点E，，．求和的度数． 【答案】， 【分析】本题主要考查三角形的内角和定理，角平分线的定义，灵活运用三角形的内角和定理是解题的关键． 由三角形的内角和定理，结合垂线的定义可求解的度数，根据角平分线的定义可求解，的度数，利用三角形的内角和定理可求解，的度数． 【详解】解：， ， ，， ， 平分，， ，， ， ， ， ． 【经典例题五 三角形折叠中的角度问题】 【例1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由折叠的性质可知，，求出，然后通过三角形内角和定理即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：由折叠的性质可知，， ∴． 在中，，， ∴． 故选：． 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）在中，将，按如图所示的方式折叠，点，均落在边上的点处，线段，为折痕．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查了图形的对折，掌握相关知识并熟练使用，同时注意解题中需注意的事项是本题的解题关键． 根据折叠的性质，找到相等的角，然后利用平角的定义计算即可； 【详解】解：由题意知：， ， ， ． 1．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了折叠的性质，三角形内角和定理，根据折叠得出，，进而得出，根据三角形内角和定理求出，进而即可求解． 【详解】解：∵将沿翻折后，点落在边上的点处， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴, 故选：C． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了折叠的性质，三角形内角和定理，由平角的定义得到，则由折叠的性质可得，再由三角形内角和定理得到的度数，进而得到的度数即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴， 由折叠的性质可得， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 3．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，直角三角形卡纸，将纸片沿折叠，若，则的度数为 【答案】/38度 【分析】本题考查了三角形折叠问题和三角形内角和，解题关键是根据折叠得出角相等，利用三角形内角和求解．由题意得，由折叠得，那么，故，进而推断出，从而求得． 【详解】解：由题意得：， 由折叠得， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【答案】(1)，见解析 (2) 【分析】本题考查了三角形的内角和定理、折叠的性质． （1）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题； （2）由折叠得到，，根据平角得到，，再结合三角形内角和得到，即可解决问题． 【详解】（1）解：． 证明：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴； （2）解：∵三角形纸片沿折叠得到， ∴，， ∴，， 又∵， ∴， ∴． 【经典例题六 三角形内角和定理的应用】 【例1】（25-26七年级上·山东·课后作业）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（    ） 备注：（根据物理学中的反射定律，光线射到平面镜上时，入射角（入射光线与镜面法线的夹角）等于反射角（反射光线与镜面法线的夹角）．在本题中，你可以利用这一性质来求解角度关系．） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和性质，反射角等于入射角，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先得出，根据反射角等于入射角，即得． 【详解】解：∵， ∴， ∵从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为， ∴， 故选：C． 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）在中，，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，根据三角形的内角和定理结合角的和差和数量关系，进行求解即可． 【详解】解：∵三角形内角和为， ∴， ∵， ∴． 又∵， ∴． ∴． 1．（25-26七年级上·山东·课后作业）一个三角形的两个内角分别是和，则第三个内角的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形内角和定理．利用三角形内角和定理，即可求出第三个内角的度数． 【详解】解：∵一个三角形的两个内角分别是和， ∴第三个内角的度数是． 故选：C． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，点是内一点，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的内角和定理，熟练掌握三角形的内角和等于是解题的关键．根据三角形的内角和定理，即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵，，， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 3．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在中，，，则 ， ， ． 【答案】 /度 /度 /度 【分析】本题考查三角形的内角和定理． 用表示，根据三角形的内角和定理，可得，从而可得和． 【详解】解：∵在中，， ∴， 又∵在中，，， ∴， ∴， ∴，， 故答案为：，，． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）在中，是的一半，比大，求三个内角的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形的内角和定理，设，根据角度之间的数量关系，结合三角形的内角和定理，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设，因为是的一半， 所以， 又因为比大， 则． 因为三角形内角和为， 所以， 解得：， 所以． 【经典例题七 三角形的分类】 【例1】（25-26八年级上·全国·课前预习）三角形按角分类可以分为（    ） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确 【答案】A 【分析】根据三角形的分类情况可得答案． 此题主要考查了三角形的分类，关键是掌握三角形的分类一种是按边分类，另一种按角分类． 【详解】解：三角形按角分类可以分为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形， 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，是直角，，垂足为D，点E在线段上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 【答案】是锐角三角形；，，，是直角三角形；是钝角三角形 【分析】本题考查了锐角三角形、直角三角形和钝角三角形的定义； 根据是直角，，可得，，是锐角，是锐角，是钝角，然后进行分类即可． 【详解】解：∵是直角， ∴，，是锐角， ∵，点E在线段上， ∴是锐角，是钝角， ∴是锐角三角形；，，，是直角三角形；是钝角三角形． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·开学考试）一个三角形，三个角的度数都不相等，最小的角是，那么这个三角形一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 【答案】A 【分析】本题考查了三角形的分类，牢记“三角形的三个角之和是和三角形按角分类的方法”是解题的关键．由最小的角及三角形的三个角之和是，可求出最大的角小于，进而可得出这个三角形是一个锐角三角形． 【详解】解：最小的角是，， 最大的角小于， 这个三角形是一个锐角三角形． 故选：A． 2．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）亮亮说：“三角形的个内角最多有两个角是锐角．”下面图形可以说明亮亮的说法是错误的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的三个内角，亮亮说：“三角形的个内角最多有两个角是锐角．”要想说明亮亮的说法错误，需要用锐角三角形说明． 【详解】解：A选项：直角三角形有一个直角，两个锐角，不能说明亮亮的说法错误，故A选项不符合题意； B选项：钝角三角形有一个钝角，两个锐角，不能说明亮亮的说法错误，故B选项不符合题意； C选项：锐角三角形的三个角都是锐角，能说明亮亮的说法错误，故C选项符合题意； D选项：钝角三角形有一个钝角，两个锐角，不能说明亮亮的说法错误，故D选项不符合题意； 故选：C． 3．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）下图中共有 个直角三角形． 【答案】 【分析】本题考查直角三角形的认识，分两种情况：由个三角形组成的；由多个三角形组成的，分别确定它们的个数，再相加即可．解题的关键的是掌握直角三角形的定义：有一个角是直角的三角形． 【详解】解：由个三角形组成的直角三角形的个数：， 由多个三角形组成的直角三角形的个数：， ∴（个） ∴图中共有个直角三角形． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【答案】等边三角形有，等腰三角形． 【分析】本题考查了三角形的分类，根据等边三角形和等腰三角形的定义，对各个三角形逐一分析，即可得到答案． 【详解】解：∵， ∴等边三角形有，等腰三角形． 【经典例题八 构成三角形的条件】 【例1】（23-24八年级上·广西桂林·期中）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（   ） A．1，2，6 B．2，2，4 C．2，2，3 D．2，3，5 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形的三边关系，关键是掌握三角形的三边关系． 根据三角形的两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，逐项分析解答即可. 【详解】解：A、，不能组成三角形，故此选项不符合题意. B、，不能组成三角形，故此选项不符合题意. C、，能组成三角形，故此选项符合题意. D、，不能组成三角形，故此选项不符合题意. 故选：C． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 【答案】有两种选法，理由见解析 【分析】本题考查三角形的三边关系，掌握三角形任意两边之和大于第三边是解题的关键．首先得到每三根组合的情况，再根据三角形的三边关系进行判断． 【详解】解：有两种选法，理由如下： 根据题意分为四种情况：；；；． 在第一种情况中：，能构成三角形； 在第二种情况中：，不能构成三角形； 在第三种情况中：，不能构成三角形； 在第四种情况中：，能构成三角形； 综上，从长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有两种选法． 1．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】A 【分析】本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理．共有4种取法，由三角形三边关系定理分别进行判断，即可得到答案． 【详解】解：共有以下4种取法： 、、；、、；、、；、、． ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，不能构成三角形， ，能构成三角形， ∴能构成的三角形的个数是1个． 故选：A． 2．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．，，． B．，，． C．，，． D．，，． 【答案】D 【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形的三边关系：任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边进行判断即可，解题的关键是正确理解三角形的三边关系． 【详解】、，不能组成三角形，不符合题意； 、，不能组成三角形，不符合题意； 、，不能组成三角形，不符合题意； 、，能组成三角形，符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）等腰三角形一边长等于5cm，一边长等于10cm，则它的周长是 ． 【答案】25cm 【分析】题目给出等腰三角形有两条边长为5cm和10cm，分5cm长的边为底和腰，两种情形讨论求解即可． 【详解】解析：①当腰为10时，10+10＞5，10-10＜5，所以能构成三角形，周长是：10+10+5=25． ②当腰为5时，5+5=10，所以不能构成三角形，不满足三边关系，舍掉． 故答案为：25cm． 【点睛】此题考查等腰三角形的性质和三角形的三边关系，解题关键在于掌握已知没有明确腰和底边的题目一定要想到两种情况，分类进行讨论，还应验证各种情况是否能构成三角形进行解答． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图 … 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗？ (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示意图（提示：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形）． 【答案】(1)不能 (2)3种，图见解析 【分析】本题主要考查了三角形三边关系定理：任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边． （1）把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，故4根火柴棒不能搭成三角形； （2）利用三角形三边关系定理求解即可． 【详解】（1）解：∵把4分成3个数只能分成1，1，2三个数，而， ∴4根火柴棒不能搭成三角形； （2）解：12根火柴棒能搭成三种不同的三角形，其边长分别为：，示意图如下： 其中形状分别为：等边三角形，等腰三角形，直角三角形（）． 【经典例题九 确定第三边的取值范围】 【例1】（2025·福建福州·一模）在下列长度的四条线段中，能与长和的两条线段围成一个三角形的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边的关系，能熟练求出第三边的取值范围是本题的关键． 根据三角形三边的关系求出第三边的取值范围，再判断即可． 【详解】解：设第三边长度为， 则第三边的取值范围是，即． ∴能与长和的两条线段围成一个三角形的是． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知三角形的三边长分别为2，x，8．若x为正整数，则这样的三角形有多少个？ 【答案】有3个 【分析】本题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，牢记三角形的三边关系定理是解题的关键． 根据三角形的三边关系得出解答即可． 【详解】解：，即， 且x为正整数，则x可取的值为7，8，9， ∴这样的三角形有3个． 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）若长度分别为x，2，4的三条线段能组成一个三角形，则x的值可以是（ ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了三角形的三边关系：三角形两边之和大于第三边，三角形的两边之差小于第三边．根据三角形的三边关系得到x的取值范围，进而判断选项数值可得答案． 【详解】解：根据三角形的三边关系，得：， 的值可以是3， 故选：C． 2．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）三角形两边的长分别是3和4，则该三角形第三边的长可能是（   ） A． B．4 C．7 D．8 【答案】B 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系进行求解即可． 【详解】解：设第三边的长为，则：，即：， ∴第三边的长可以为4； 故选B 3．（24-25七年级下·重庆·期末）已知一个三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边且为偶数，则此三角形的周长为 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系：两边之差小于第三边，两边之和大于第三边，正确理解三角形的三边关系是解题的关键．设第三边为，根据三角形三边关系求出的取值范围，由此得到偶数的值，再计算周长即可． 【详解】解：设第三边为， ∵三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边， ∴，即， ∵第三边是偶数， ∴， ∴此三角形的周长为． 故答案为： 4．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）已知三角形的两边长为6和8，第三边长为（取整数），当的值是多少时，三角形的周长最小，最小值是多少？ 【答案】，三角形的周长最小值为 【分析】本题考查了求三角形第三边的知识，掌握以上知识是解答本题的关键； 本题第三边的长度应是大于两边的差而小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围，再根据周长取最小即为能取到的最小整数，由此解出本题． 【详解】解：根据题意得： ， 解得：， ∵为整数， ∴值可为3，且此时三角形周长最小, ∴三角形的最小周长为． 【经典例题十 三角形三边关系的应用】 【例1】（25-26七年级上·河北衡水·开学考试）有长2分米、4分米两根小棒，再选一根长（   ）分米就一定能拼成一个三角形． A．1.9 B．2.3 C．6 D．6.5 【答案】B 【分析】本题考查了三角形三边关系．根据三角形的特性：两边之和大于第三边，三角形的两边的差一定小于第三边；进行解答即可． 【详解】解：第三边． 第三边，即大于2分米，小于6分米就可以． 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图①，兔子在第一次龟兔赛跑失利后，不服输的它又组织了一次比赛，这次的比赛规则是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线A→C→B前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①A→C→B；路线②A→E→F→B；路线③A→D→B． (1)若乌龟选择了路线③，那么乌龟和兔子的路线哪个更短呢？请说明理由． 以下是小明不完整分析过程，请你帮他补充完整； 解：乌龟的路线更短，理由如下： 如图②，延长交于点P． 在中，， … (2)请你帮乌龟从路线②和③中选择一条较短的路线，并说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)选路线②，理由见解析 【分析】本题考查了三角形三边关系的应用，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． （1）根据三角形的三边关系得出，，可推出，从而得出答案； （2）如图，延长交于点M，延长交于点N．分别在，，中，根据三角形的三边关系得出，，，可推出，从而得出答案． 【详解】（1）解：补全过程如下： 在中，， ， ， ∴乌龟的路线更短． （2）选路线②．理由如下： 如图，延长交于点M，延长交于点N． 在中，， 在中，， 在中，， ， ， ， ， ∴路线②的路程比路线③短， ∴乌龟可选路线②． 1．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知a，b，c是的三边长，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查三角形的三边关系，根据三角形的三边关系得到，结合，得到，进行判断即可． 【详解】解：∵a，b，c是的三边长， ∴， ∵， ∴； 故选：A． 2．（24-25七年级下·广东佛山·期末）三角形一边长为，另一边长为，它的第三边的长可能是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题考查了三角形的三边关系，根据三角形三边关系，两边之和大于第三边，两边之差小于第三边即可求解，掌握三角形三边关系定理是解题的关键． 【详解】解：设它的第三边的长为， ∴， ∴， ∴选项中符合题意， 故选：． 3．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）如果三角形的三边长分别是，4，，那么的取值范围 ． 【答案】 【分析】此题考查三角形的三边关系：三角形任意两边的和大于第三边；根据三角形的三边关系列式计算即可求解． 【详解】解：由三角形任意两边的和大于第三边以及三角形任意两边之差小于第三边可知： ，即：， 故答案为：． 4．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在中，，，若是偶数，求的长． 【答案】． 【分析】本题考查了三角形三条边的关系．根据三角形的三边关系求得第三边的取值范围；再根据第三边是偶数，确定第三边的值即可． 【详解】解：根据三角形的三边关系得： ， 即， ∵为偶数， ∴． 【经典例题十一 与三角形的高有关的计算问题】 【例1】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2.4 B．5 C．3 D．4 【答案】A 【分析】本题主要考查了垂线段最短及三角形的面积公式，解题的关键是学会利用面积法求高．根据当时，的值最小，利用面积法求解即可． 【详解】解：，，，， 当时，的值最小， 此时：的面积， ， ． 故选：A． 【例2】（24-25八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，，分别是的高，，，，求的长． 【答案】 【分析】本题考查的是等面积法的应用，由等面积法可得，再进一步计算即可. 【详解】解：，分别是的高， ∴， ∴， ，，， ∴， ∴． 1．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）如图是梯形转化为三角形的过程，如果梯形的面积是，高是，转化后三角形的底是（    ）cm． A．3 B．6 C．12 D．16 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的面积公式，由题意可知，梯形与三角形的面积相等，高相等，根据三角形的底面积高即可解答，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解： ， ∴转化后三角形的底是， 故选：C． 2．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，要判断的面积是的面积的几倍，只有一把仅有刻度的直尺，需要测量（    ） A．1次 B．2次 C．3次 D．3次以上 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形的面积问题．根据题意，测量出点A到的距离，点D到的距离，即可求出的面积是的面积倍数，即可求解． 【详解】∵边是和的公共边， ∴测量出点A到的距离，点D到的距离， 即可求出的面积是的面积倍数， ∴需要测量2次． 故选：B． 3．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是 【答案】 【分析】本题考查了三角形的高，利用三角形的面积公式列出等式是解题关键． 根据三角形的面积公式即可得． 【详解】由题意得： ， 解得． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，与都是的高，，，求与的长度之比． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的面积公式，比例的性质，熟练掌握比例的性质是解题关键． 根据三角形的面积公式，得到，再利用比例的性质，即可得到答案． 【详解】解：∵， ， ， ∵高与的长分别为、， ， 即与的长度之比是． 【经典例题十二 根据三角形中线求长度】 【例1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【答案】C 【分析】本题考查了中点的定义及线段的和差，根据图中信息找到线段的关系是解题的关键． 根据中点的定义得出，再根据线段的和差即可得出，从而得出答案． 【详解】解：是边上的中点， ， 与的周长之差为2， ， 即， ， ， ， 故选C． 【例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少厘米？ 【答案】比长 【分析】本题考查的是三角形的中线，三角形一边的中点与此边所对顶点的连线叫做三角形的中线．根据三角形的中线的概念得到，再根据三角形周长公式计算，得到答案． 【详解】解：是的中线， ， ， 比长． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 【答案】D 【分析】本题考查了中线，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先整理得，再进行分类讨论以及运用数形结合思想，结合三角形的周长之间的关系进行列式计算，即可作答． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 依题意，当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 当时，如图所示： ∵边上的中线把分成周长差为5的两个三角形， ∴， ∴， ∴； 综上：的长为2或12， 故选：D 2．（23-24七年级下·福建南平·期中）的面积为，D、E、F分别是的中点，则的面积为(    ) A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了三角形面积求法以及中线的性质． 根据三角形面积公式以及底边和对应高的关系得出三角形面积关系即可． 【详解】解：∵的面积为，D、E、F分别是的中点， ∴和底边为，高度是2倍关系，和等底同高， ∴，， 故选：B． 3．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，是的中线，，，和的周长差为 ．    【答案】 【分析】本题主要考查了三角形中线的定义，三角形周长计算，根据三角形中线的定义得到，再分别求出两个三角形的周长，然后作差即可得到答案． 【详解】解：∵是的中线， ∴， 的周长， 的周长， ∵， ∴， ∴和的周长差为， 故答案为：． 4．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 【答案】， 【分析】本题考查了三角形中线的定义； 根据中线的定义结合已知可得，求出，再根据边上的中线把的周长分成60和40两部分列式计算即可． 【详解】解：∵中线把的周长分成60和40两部分，， ∴，， ∵是边上的中线， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴，． 【经典例题十三 根据三角形中线求面积】 【例1】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，D，E分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【答案】C 【分析】本题考查了根据三角形中线求面积，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两份成为解题的关键． 根据D是的中点，得到，由点是的中点，得到，再由即可求解． 【详解】解：∵，D是的中点， ∴， ∵点是的中点， ∴， ∴， 故选：C． 【例2】（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，是的中线，是的中线，于点，若，，求的长． 【答案】3 【分析】本题考查了三角形的中线与面积，熟练掌握三角形中线的性质是解题关键．先根据三角形的中线可得，，再利用三角形的面积公式求解即可得． 【详解】解：∵是的中线，， ∴， ∵是的中线， ∴， ∵于点，， ∴， 解得． 1．（2025·陕西西安·二模）如图，在中，为的中点，，且，若的面积为24，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形中线的性质，由题意得出，进而求出结论． 【详解】解：是的中线，，且， ， ， ． 故选：B． 2．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，是上的中线，是的中点，的面积是，则的面积是（　　） A．10 B．6 C．5 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积的求法，三角形中，连接一个顶点和它所对边的中点的线段叫做三角形的中线，掌握三角形的中线将三角形分成面积相等的两部分，是解答本题的关键．根据三角形的中线把三角形分成面积相等的两部分，求出面积比，即可解答． 【详解】解：∵是边上的中线 ∴， ∵是的中点，则是中边上的中线， ∴， ∴ ∵， ∴， 故选：C． 3．（2023-2024学年河南省洛阳第一高级中学第一附中七年级（下）竞赛班选拔数学试卷）如图，把三角形的边延长到D，使为的3倍，把边延长到E，使为的2倍，把边延长到F，使等于．已知的面积是1，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了与中线有关的面积问题，三角形面积的等积变换：若两个三角形的高（或底）相等，其中一个三角形的底（或高）是另一三角形的几倍，那么这个三角形的面积也是另一个三角形面积的几倍．结合图形，以及，得，因为，所以，再结合面积之间关系列式代入数值化简，得，即可作答． 【详解】解：连接 ∵， ∴， ∴， ∵ ∴ 则 ∵，的面积是1， ∴ ∴ 解得． 故答案为： 4．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，、为的高，且，点F为的中点，连接． (1)求的面积； (2)求和的周长差． 【答案】(1)3 (2)2 【分析】本题考查了三角形的中线性质与面积公式（）的应用，解题关键是灵活运用中线对面积的分割作用及周长差的化简逻辑． （1）先利用三角形面积公式结合为高求出的面积，再根据F是中点，由中线分三角形面积的性质得到的面积； （2）先通过为高结合面积求出的长度，再根据F是中点得到，进而分析和的周长差． 【详解】（1）解：是的高， F为的中点，是的中线， ； （2）解： 是的高， ，即， 解得． F是的中点， ， 又是公共边，的周长为，的周长为， 和的周长差为． 【经典例题十四 重心的概念】 【例1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，交边于点．设的重心为，若点在线段上，则下列结论正确的是（    ） A．平分 B． C． D．的周长等于的周长 【答案】C 【分析】本题考查三角形重心的定义．掌握三角形重心为三边中线的交点是解题关键．根据三角形重心的定义可知为中线，即可选择． 【详解】解：因为的重心为，点在线段上， 所以，故C符合题意； 不一定平分，不一定垂直，只有当时的周长等于的周长， 所以A、B、D都不符合题意． 故选C． 【例2】（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】本题考查了作图—应用与设计，三角形的面积，三角形的重心等知识，熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． （1）重心是三角形中线的交点，作的中线，交于点，点即为所求； （2）根据等高模型解决问题即可． 【详解】（1）解：如图，点即为所求， （2）解：如图，点或（）即为所求， ． 1．（23-24八年级下·内蒙古·阶段练习）如图，已知F是的重心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，记面积为，四边形面积为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形重心的定义；根据三角形重心的定义，三角形的中线等分面积，得出，再根据等式的性质判断． 【详解】解：∵F是的重心， ∴ ∴， ∴； 故选：A． 2．（23-24七年级下·河北邢台·期末）已知点F是的重心，连接并延长交于G点，过点F作直线分别交于D点、E点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查的是重心的概念，掌握重心的定义是解题关键，根据定义直接判断即可． 【详解】解：点F是的重心， 是的中线， ， 故选：A． 3．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查三角形重心的定义，三角形中线的性质，熟练掌握三角形中线是解题关键．根据三角形中线的性质求解即可． 【详解】解：∵的面积为1，D，E，F分别为的中点， ∴，，， ∴， ∴， 同理 ∴的面积为， 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上 问题探究 问题1 如图①，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片，其中一张记为，C为其直角顶点，且，将这两个三角形拼成一个四边形（无缝隙、不重叠），使它们的斜边重合． 请画出所有符合要求的四边形，并作出所画四边形的重心G（用有刻度的直尺作中线，保留作图痕迹并写出结论） 问题2 如图②，一个长方形缺损一个角（缺损部分也是长方形），请画一条直线将该图形分成面积相等的两部分，并简要说明理由 【答案】问题1：见解析；问题2：见解析 【分析】本题考查三角形的重心，四边形的重心，熟练掌握三角形的重心是三角形的三条中线的交点，是解题的关键： 问题1：分两种情况画出图形，根据重心的定义，画图即可； 问题2：延长交于点M，作长方形和长方形的对角线，过两个长方形的对角线交点P，Q的直线即为所求． 【详解】解：问题1：①如答图①所示，的重心是其三条中线的交点的重心是其三条中线的交点F．由题意可得，这两个完全相同的直角三角形拼成一个长方形，而这个长方形也可由和拼成，易知这两个三角形的重心都在上，则线段与的交点G就是长方形的重心． ②如答图②所示，的重心是其三条中线的交点的重心是其三条中线的交点N，连接．易知和的重心都在上，所以四边形的重心是线段与的交点G． 问题2：（所作直线不唯一）如答图③，延长交于点M，作长方形和长方形的对角线，过两个长方形的对角线交点P，Q的直线即为所求． 理由：因为经过多边形重心的任一直线都将这个多边形分成面积相等的两部分，所以既平分长方形又平分长方形，故将该图形分成面积相等的两部分． 【经典例题十五 画三角形的高】 【例1】（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题考查了三角形的高，解题的关键是掌握从三角形的一个顶点向底边作垂线，垂足与顶点之间的线段叫作三角形的高． 利用三角形高的定义即可求解． 【详解】解：线段是的高的是选项 A中的图形； 故选：A． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，． (1)在中，边上的高是________； (2)在中，边上的高是________； (3)在中，边上的高是________． 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查三角形的高的定义．根据从三角形的一个顶点向它的对边所在直线作垂线，顶点和垂足之间的线段叫做三角形的高进行判断即可． 【详解】（1）解：在中，边上的高是； 故答案为：； （2）解：在中，边上的高是； 故答案为：； （3）解：在中，边上的高是． 故答案为：． 1．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）下列图形中，在中，边上的高是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】根据高的定义，过三角形一个顶点向对边作垂线，垂线段即为三角形的高． 本题考查了三角形的高，正确理解定义是解题的关键． 【详解】解：根据题意，在中，边上的高是： 故选：D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）下面四个图形中，线段是的高的是（　　） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了三角形的高的定义，即从三角形的一个顶点到它的对边作一条垂线，顶点到垂足之间的线段叫做三角形的高． 根据三角形的高的定义逐项分析即可求解． 【详解】解：B、C、D选项中线段不能表示任何边上的高， A选项中线段表示中边上的高． 故选：A． 3．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）如图所示，于，于，图中可以作为三角形“高”的线段有 条． 【答案】 【分析】本题考查三角形的高，解题的关键是熟练掌握三角形的高的定义． 根据三角形的高的定义，求解即可． 【详解】解：可以作为的高的有，共条； 可以作为的高的有，共条； 可以作为的高的有，，共条； 综上，可以作为三角形“高”的线段有：，，，，共条． 故答案为：． 4．（25-26七年级上·江苏苏州·开学考试）已知下面两条平行线之间的距离是，两点间的距离是，在上取一点． (1)画出一个高是的三角形．（在所画三角形上标出高） (2)画出一个高是的三角形．（在所画三角形上标出高） 【答案】(1)见解析； (2)见解析． 【分析】本题考查了三角形的画法及三角形的高的知识，掌握知识点的应用是解题的关键. （）两条平行线之间的距离是，画出一个高是的三角形，标出高即可； （）两点间的距离是，画出一个高是的三角形，标出高即可． 【详解】（1）解：画图如图； （2）解：画图如图， ． 【经典例题十六 三角形角平分线的定义】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 【答案】C 【分析】本题考查了三角形的角平分线，根据三角形角平分线的定义逐一排除即可，正确理解三角形角平分线定义是解题的关键． 【详解】解：、三角形每个内角都可作一条角平分线，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线交于三角形内的一点，原选项正确，不符合题意； 、三角形的角平分线是线段，不是射线，原选项错误，符合题意； 、三角形的角平分线平分一个内角，原选项正确，不符合题意； 故选：． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了角平分线的定义，与高有关的计算题，对顶角相等，正确掌握相关性质内容是解题的关键．根据角平分线的定义，得，结合，，故，最后根据对顶角相等，则． 【详解】证明：∵平分， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． ∵， ∴． 1．（24-25七年级下·辽宁阜新·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．三角形的角平分线是射线 B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 D．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的重心：三角形的重心是三角形三边中线的交点．也考查了三角形的角平分线、中线和高．根据三角形的角平分线的定义和三角形重心的定义进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的角平分线是线段，所以本选项不符合题意； B、三角形的高所在的直线交于一点，这一点在三角形内或在三角形外或在三角形顶点，所以本选项不符合题意； C、三角形的一条中线把三角形分成两个面积相等的三角形，所以本选项不符合题意． D、三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心，所以本选项符合题意； 故选：D． 2．（24-25七年级下·山东·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．三角形的三个内角的和等于 B．三角形任何两边之和大于第三边 C．任意三角形的三条角平分线交于一点 D．三角形的三条高的交点一定在三角形的内部 【答案】D 【分析】本题考查三角形的三条重要线段，三角形三边关系，三角形内角和定理．根据角平分线，高线的定义和性质，三角形三边关系，三角形内角和定理进行判断即可． 【详解】解：A、三角形的三个内角的和等于，本选项不符合题意； B、三角形任何两边之和大于第三边，本选项不符合题意； C、任意三角形的三条角平分线交于一点，本选项不符合题意； D、直角三角形的三条高的交点在直角顶点处，本选项符合题意； 故选：D． 3．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在中，，，是的角平分线，则的度数为 【答案】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，角平分线定义，解题的关键是掌握三角形内角和定理．先求出的度数，再根据角平分线定义求解即可． 【详解】解：在中，， ， 是的角平分线， ， 故答案为： 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，过的顶点C分别画出它的中线、角平分线和高． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查了三角形的三条特殊线段，理解三角形中线、高线和角平分线的定义，是解题的关键．过点C作于点D，则为的高线；作的平分线，交于点E，则为的角平分线，找出的中点F，连接，则为的中线． 【详解】解：如图，为所求作的高线，为所求作的角平分线，为所求作的中线． 【经典例题十七 垂心】 【例1】（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条中线交于一点 D．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形 【答案】C 【分析】根据锐角三角形的高的交点在三角形的内部，直角三角形的高的交点即直角顶点，钝角三角形的高所在的直线的交点在三角形的外部．以及三角形的中线，角平分线的性质即可作出判断． 【详解】解：A．直角三角形的三条高线的交点是三角形的直角顶点，在三角形上，故选项错误； B．三角形的角平分线是线段，故选项错误； C．正确； D．三角形的一条中线能把三角形分成两个面积相等的三角形，故选项错误． 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形的角平分线、中线、高线，都是需要熟记的内容． 【例2】（23-24七年级下·全国·单元测试）三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（     ） A．角平分线、高 B．中线、高 C．角平分线、中线 D．以上都不对 【答案】C 【分析】根据三角形的三条高、三条角平分线、三条中线交点的位置，即可进行解答． 【详解】解：锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部； 三角形三条角平分线的交点在三角形内部； 三角形三条中线的交点在三角形内部； 故选：C． 【点睛】本题主要考查了三角形的三心位置，解题的关键是掌握锐角三角形的三条高的交点在三角形内部，直角三角形的三条高的交点在斜边上，钝角三角形的三条高的交点在三角形外部；三角形三条角平分线的交点在三角形内部；三角形三条中线的交点在三角形内部． 1．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）下列说法不正确的是（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 B．锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部 C．直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点 D．钝角三角形三条边的垂直平分线的交点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部 【答案】D 【分析】根据三角形三条边的垂直平分线的性质判断即可． 【详解】A、三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等，故正确； B、锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部，故正确； C、直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点，故正确； D、钝角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的外部，故错误． 故选：D． 【点睛】本题考查了三角形三条边的垂直平分线的性质，熟练掌握三角形三条边的垂直平分线的性质是解题的关键． 2．（23-24重庆·模拟预测）下列命题是真命题的是（    ） A．三角形的外心到这个三角形三边的距离相等 B．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 C．三角形的三条高线所在的直线一定相交于三角形的内部 D．三角形的任意两边之和大于第三边 【答案】D 【分析】根据三角形的外心、重心等有关性质，对选项逐个判断即可． 【详解】解：A、三角形的内心到这个三角形三边的距离相等，为假命题，不符合题意； B、三角形的重心是这个三角形的三条中线的交点，为假命题，不符合题意； C、只有锐角三角形的三条高线所在的直线相交于三角形的内部，为假命题，不符合题意； D、三角形的任意两边之和大于第三边，为真命题，符合题意； 故选：D 【点睛】此题考查了三角形的有关性质，解题的关键是熟练掌握三角形的有关性质． 3．（23-24陕西西安·模拟预测）如图，在中，为边上的中点，连接．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 【答案】见解析 【分析】作中线，与的交点，即为所求作． 【详解】解：如图，作中线，与的交点，点即为所求作． 【点睛】本题考查作图-复杂作图，三角形的重心的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． 4．（24-25八年级上·浙江·期末）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形重要的3个线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于一点． （1）①如图1，在中，，则三条高线所在的直线交于点___________ ②如图2，在中，，已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺做出的第三条高（不写做法，保留作图痕迹） 【综合应用】 （2）如图3，在中，，平分，过点B作于点E ①若，，则___________ ②请写出于之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，如果两个三角形的高形同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，M是上的一点，则有．如图5，中，M是上一点， ，N是中点．若的面积是m，请直接写出四边形的面积___________．（用含m的代数式表示） 【答案】（1）①A；见解析；（2）①25；，见解析；（3） 【分析】本题是四边形综合题目，考查了四边形面积的计算、三角形的高、三角形的中线、三角形内角和定理、三角形的面积等知识；本题综合性强，熟练掌握三角形的三条高交于一点和三角形面积关系是解题的关键． （1）根据三角形的3条高所在直线交于一点，即可求解； （2）根据三角形内角和定理，角平分线的定义，即可求解； （3）根据高相等两个三角形，面积比等于对应底边的比，结合，N是中点，即可求解． 【详解】解：（1）①A； ②如图，即为所求． （2）①中，，， ， 平分， ， ， ， ， 故答案为：25； ②与之间的数量关系为， 理由如下： ， ， , ． （3）如图，连接， N是中点， 设， ， ， ， ， 解得． 故答案为：． 【拓展训练一 三角形内角和相关问题及应用】 【例1】（23-24安徽·中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据，可得再根据三角形内角和即可得出答案． 【详解】由图可得 ∵， ∴ ∴ 故选：C． 【点睛】本题考查了平行线的性质和三角形的内角和，掌握平行线的性质和三角形的内角和是解题的关键． 【例2】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 【答案】(1)平行，理由见解析 (2) 【分析】本题考查了平行线的判定与性质、三角形的内角和定理，熟练掌握平行线的判定与性质是解题关键． （1）先根据平行线的判定可得，根据平行线的性质可得，从而可得，再根据平行线的判定即可得； （2）先求出，再根据平行线的性质可得，然后根据三角形的内角和定理求解即可得． 【详解】（1）解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴． （2）解：∵，，， ∴， 由（1）已证：， ∴， ∵， ∴． 1．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，的两条角平分线，交于点P，若，则为（ ） A．115° B．120° C．125° D．130° 【答案】A 【分析】由，可得，再根据、是的角平分线，即可得到的度数，最后根据三角形内角和定理，即可得到的度数． 【详解】解：， ， 又、是的角平分线， ， ． 故选：A． 【点睛】本题主要考查角平分线的定义，三角形内角和定理的运用，解题时注意：三角形内角和是． 2．（25-26七年级上·山东·课后作业）由下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A．， B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和定理．根据三角形的内角和为，通过计算得出三角形中是否有角作出判断即可． 【详解】解：由三角形内角和定理得：， A．∵ ，， ∴ ， 故A不符合题意； B．设， 则， 解得， ∴ ， ∴不是直角三角形， 故B符合题意； C．∵ ， ∴ ， ∵ ∴ ， 故C不符合题意； D．设， 则， 解得， ∴， 故D不符合题意． 故选：B． 3．（24-25七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理． 根据题意得，得到，得出，继而得到，得到，即可得到答案． 【详解】解：平分， ， ∵， ，， 平分， ， ， ， 即， ，， ， ， ， ， 故答案为：，． 4．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在中，平分，平分，，求的度数． 【答案】的度数为 【分析】本题考查三角形的内角和定理，角平分线的定义． 由三角形的内角和定理，可得的度数，由角平分线的定义，可得的度数，再根据三角形的内角和定理，计算即可． 【详解】解：∵中，， ∴， ∵平分， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∵， ∴， 答：的度数为． 【拓展训练二 三角形相关特性及应用】 【例1】（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，，点分别在两条平行线之间，，若， ．则的度数为（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，解题时注意：三角形内角和为． 依据三角形的内角和定理，即可得到，依据，，可得，再根据三角形内角和定理，即可得出的度数． 【详解】解：连接， ，， ，， ， 又，， ， ， ， 的度数为， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）如图，在中，AE是的高． (1)如图1，若，，AD是的平分线，求的度数； (2)如图1，若，AD是的平分线，则=___________．（用含的代数式表示） (3)如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 【答案】(1)的度数为； (2) (3) 【分析】（1）根据三角形内角和定理求出，利用角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （2）根据三角形内角和定理求出，利用角平分线求出，再根据三角形内角和定理求出，代入求出即可； （3）由三角形外角的性质结合角平分线的定义可求解，根据三角形的高线可求解的度数． 【详解】（1）解： ∵， ∴， ∵是的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∵， ∴， ∴． 故的度数为； （2）解：由题意得， ∵是的平分线， ∴， ∵是的高， ∴， ∴， ∴ ． 故答案为：； （3）解：∵和的平分线交于点G， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵是的高， ∴， ∴． ∴的度数为． 【点睛】本题是三角形的高线，角平分线等知识的综合运用，考查了三角形角平分线的定义，三角形高线的定义，三角形外角的性质，三角形的内角和定理等知识．理解和掌握三角形有关的线段，三角形有关的角的知识是解题的关键． 1．（24-25七年级下·广东佛山·期末）在学习完三角形三边关系后，小明用三根木棍首尾相连拼三角形有三根长度分别为、、的木棍，若想三角形的边长均为整数，则可将的木棍进行裁切，这样小明最多可以拼出不同的三角形个数为（       ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设第三根木棒的长度是，由三角形三边关系定理得到，即可得到第三根木棒的长度，于是得到答案． 本题考查三角形三边关系，关键是掌握三角形三边关系定理． 【详解】解：设第三根木棒的长度是， 由三角形三边关系定理得到：， 故， 第三根木棒的长度是整数且不大于， 故，且x是正整数， 第三根木棒的长度是、、、、、， 小明最多可以拼出不同的三角形个数为个． 故选：C． 2．（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．三角形的角平分线都在三角形的内部 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的中线可能在三角形的外部 D．三角形的高线必交于一点 【答案】A 【分析】本题考查三角形的中线、高线和角平分线，熟练掌握定义是解题关键．根据三角形中线、高线和角平分线的定义逐一判断即可得答案． 【详解】A、三角形的角平分线都在三角形的内部故该选项正确； B、直角三角形有三条高，故该选项错误； C、三角形的中线不可能在三角形的外部，故该选项错误； D、三角形的高线所在的直线必交于一点，故该选项错误； 故选：A． 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为5，则的面积为 ． 【答案】15 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质，熟知三角形中线平分三角形面积是解题的关键． 连接，利用、是中点的性质，得出多组等面积三角形，通过面积的等量代换，结合四边形的面积，推导出的面积． 【详解】解：如图所示，连接， ∵，分别是，的中点， ∴，， ∴，，，， ∴，， ∴， ∵四边形的面积为， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：15． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·单元测试）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的面积，中线；掌握三角形的中线分出的两个三角形的面积相等是解题的关键． （1）利用“面积法”来求线段的长度； （2）先求出的面积，然后根据三角形的中线分出的两个三角形的面积相等解答即可． 【详解】（1）解：∵，是边上的高， ∴， ∴， ∴的长度为． （2）解：∵是直角三角形，， ∴， 又∵是边的中线， ∴． 【拓展训练三 三角形相关计算问题】 【例1】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（    ） ①的周长的周长；②的面积的面积；③；④；⑤． A．①③⑤ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【答案】D 【分析】本题考查了三角形的角平分线、中线、高以及角的相关性质与运算，同时还考查了等积法． 解题的关键在于对三角形相关知识的熟练掌握与灵活应用． 【详解】①是的中线， ， 的周长， 的周长， 的周长的周长， 故①说法正确； ②在中，， ， ， ， 又，，，是角平分线， ， ， 故②说法不正确； ③，是的高， ， ， 是的角平分线， ， ， ， ， 故③说法正确； ④，是的高， ， ， ， 是的角平分线， ， ， 故④说法正确； ⑤，，，，是的高， ， ， ， 故⑤说法错误． ①③④说法正确． 故选：D． 【例2】（24-25八年级上·全国·期末）已知，，为的三边长，若，满足，且是整数，求的取值． 【答案】，，． 【分析】本题考查了三角形的三边关系，绝对值和偶次幂非负性，由，得，，然后通过三角形三边关系即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴，， 解得，， ∴， ∴， ∵是整数， ∴，，． 1．（25-26八年级上·全国·周测）如图，在中，是边上的高．在中，是边上的中线．若，且，则的值为（   ） A．16 B．24 C．28 D．32 【答案】D 【分析】本题考查了三角形中线和高的性质以及三角形的面积公式，根据三角形的中线平分三角形的面积求解是解题的关键. 先根据中线性质求出的面积，再根据求出的面积，再根据面积公式求出的值. 【详解】解：是边上的中线， ， 是边上的高线， 故选：D ． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，分别是的高和角平分线，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】此题主要考查了高线以及角平分线的定义，根据高线的定义得出，，根据角平分线的定义得出的度数，进而得出答案． 【详解】解：∵是的高，且，， ∴，， ∴， ∵是的角平分线， ∴， ∴． 故选：A． 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）一个三角形的两边分别是3和7，如果第三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是 ． 【答案】9 【分析】根据三角形的三边关系“第三边大于两边之差，而小于两边之和”，求得第三边的取值范围；再根据第三边是整数，从而求得第三边长的最大值． 【详解】解：设第三边为a， 根据三角形的三边关系，得：7﹣3＜a＜3+7， 即4＜a＜10， ∵a为整数， ∴a的最大值为9． 故答案为：9． 【点睛】此题考查了三角形的三边关系．注意第三边是整数的已知条件． 4．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，．平分．为边上的高．若，求的度数． 【答案】 【分析】本题考查三角形的角平分线、高，三角形内角和定理，先根据角平分线的定义求出，再根据三角形内角和定理计算出，结合为边上的高，即可求解． 【详解】解：∵平分，， ∴， ∵， ∴， ∵为边上的高， ∴， ∴． 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图所示，的中线和相交于点，两块空白部分的面积分别用和表示，两块阴影部分的面积分别用和表示，则下列四个判断中：①；②；③；④，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】B 【分析】本题考查了三角形的中线和三角形的面积．根据等底同高的三角形的面积相等即可得到结论． 【详解】解：∵的中线和相交于点， ∴， ∴， ∴，， 但得不到；故①③正确，②④错误； 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）某校组织研学活动需要每个班准备一面三角形的班旗，下面是八年级4个班设计班旗的数据（三边长），其中不能实现三角形班旗制作的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题考查的是三角形的三边关系，根据三角形三边关系定理，任意两边之和必须大于第三边。若存在两边之和等于或小于第三边，则无法构成三角形；逐一验证各选项是否满足三角形三边关系即可. 【详解】解：选项A：，，，最长边，，满足条件，可构成三角形；不符合题意； 选项B：，，，最长边，，等于第三边，不满足“两边之和大于第三边”，无法构成三角形；符合题意； 选项C：，，，最长边，，满足条件，可构成三角形；不符合题意； 选项D：，，，最长边，，满足条件，可构成三角形；不符合题意； 故选：B 3．（24-25七年级下·安徽六安·期末）张师傅用锤子起钉子，如图（1）所示，将其抽象成图（2）所示的示意图，其中，锤柄，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查了利用平行线的性质求角的度数，延长交于点G，由三角形内角和定理可得出，由平行线的性质得出，由垂线的定义以及角的和差关系即可得出． 【详解】解：如图，延长交于点G， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选 ：D． 4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）下列选项中能解释的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查基本尺规作图的应用、构成三角形的条件，熟练掌握尺规作线段是解答的关键．先在线段上截取长，再在上截取，从而逐项比较即可作出判断． 【详解】解：在线段上截取，再在上截取， ∵， ∴，故选项B符合题意； 选项A可以解释，不符合题意； 选项C可以解释，不符合题意； 选项D不能解释，不符合题意， 故选：B． 5．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）一个三角形的高是6分米，面积是30平方分米，底是（　）分米． A．5 B．6 C．10 D．12 【答案】C 【分析】本题考查了三角形面积公式． 根据三角形面积公式，已知面积和高，求底边长即可． 【详解】解：∵一个三角形的高是6分米，面积是30平方分米， ∴底是分米， 故选：C 6．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 【答案】D 【分析】本题考查三角形的分类，根据点C运动路线，分段进行讨论即可． 【详解】解：点C从点B出发后至前，，是钝角三角形； 当点C运动至时，，是直角三角形； 点C继续向右运动，由小变大， 当时，是锐角三角形； 当时，是直角三角形； 当时，是钝角三角形； 因此变化情况为：钝角三角形→直角角三形→锐角三角形→直角三角形→钝角三角形， 故选D． 7．（2025·安徽合肥·二模）如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从M点平行于进入棱镜，在边上点G处反射，到达边点F处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点N处离开棱镜，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形内角和定理的应用，根据光的反射的特点可得，，再根据即可求解． 【详解】解：如图， 由题意知，，， ，， ， ， ． 故选C． 8．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知点是的边上一点，且，线段与的中线交点，连接，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了三角形中线的性质，三角形的面积，由是的中线可得，进而得，再由可得，即得到，掌握三角形中线的性质是解题的关键． 【详解】∵是的中线， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：． 9．（2023·河北石家庄·一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（是钝角），他打算用折叠的方法折出的角平分线、边上的中线和高线，能折出的是（　　）    A．边上的中线和高线 B．的角平分线和边上的高线 C．的角平分线和边上的中线 D．的角平分线、边上的中线和高线 【答案】C 【分析】由折叠的性质可求解． 【详解】解：当与重合时，折痕是的角平分线； 当点A与点B重合时，折叠是的中垂线， 故选：C． 【点睛】本题考查了翻折变换，掌握折叠的性质是本题的关键． 10．（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了轴对称的性质、三角形内角和定理；先求得的值，再根据三角形内角和的性质计算，即可得到答案． 【详解】∵三角形纸片沿折叠，使点与点重合，且落在四边形的内部， ∴，，， ∵，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 11．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）在中，，若的长是偶数，则的周长为 【答案】14或16或18 【分析】本题考查三角形的三边关系．三角形三边关系定理：三角形任两边之和大于第三边，三角形的任两边之差小于第三边． 根据“三角形的任两边的和一定大于第三边，两边的差一定小于第三边”进行分析，解答即可． 【详解】解：因为， 所以， 因为长是偶数， 所以为4或6或8， 周长为：14或16或18， 故答案为：14或16或18． 12．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）在中，，若的平分线交于点O，则的度数是 【答案】/度 【分析】本题主要考查了三角形内角和定理，角平分线的定义，先由三角形内角和定理求出的度数，再根据角平分线的定义求出的度数，再根据三角形内角和定理即可得到答案． 【详解】解：如图， ∵在中，， ∴， ∵的平分线交于点O， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 13．（25-26七年级上·山东济宁·开学考试）现有和的小棒各一根，再取一根整厘米长的小棒与它们拼成三角形可以有 种不同取法． 【答案】7/七 【分析】本题考查了构成三角形的条件，熟练掌握三角形的三边关系是解题的关键．设三角形的第三边长为，根据三角形三边关系得到，即可得到答案． 【详解】解：设三角形的第三边长为， 则， 即， ∴可取，，，，，，，有7种取法； 故答案为：7． 14．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，，点在这两条平行线之间，且，连接并延长，交的延长线于点．若，，则 度．（用含的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质，三角形内角和定理，由，，得，则，然后通过三角形内角和即可求解，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 15．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，四条线段，，，首尾顺次相接，在的延长线上，的平分线和的平分线相交于点．若，，则 ．（用含，的代数式表示） 【答案】 【分析】本题考查了角平分线的定义，三角形内角和定理，掌握角平分线的定义，三角形内角和定理是解本题的关键． 利用角平分线的定义得到相关角相等，再结合三角形内角和定理列出等式，即可求得． 【详解】解：作如图所示： 是的平分线，是的平分线， ，， ，即， ， ，即， ， 故答案为：． 16．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，是的高线，是中点，连接交于点． (1)若的周长为．求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点到的距离． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了三角形的中线和高线． （1）根据中线的定义可知，结合已知求出，由此即可求解； （2）根据三角形面积公式求解即可． 【详解】（1）解：是的中点 ． （2）解：过作于，如图： 点到的距离为． 17．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查三角形的高，三角形的内角和定理，角平分线，掌握知识点是解题的关键． （1）先求出，再根据三角形的内角和为，即可解答； （2）先求出，再根据三角形的内角和为，即可解答． 【详解】（1）解：是的高， ， ． （2）是的角平分线． ． ． 18．（23-24七年级下·北京·自主招生）如图，三角形的面积是24，D、E和F分别是和的中点．求三角形的面积． 【答案】3 【分析】本题主要考查了三角形中线的性质．根据三角形中线的性质解答即可． 【详解】解：∵三角形的面积是24，点D是的中点， ∴三角形的面积等于三角形的面积的，即， ∵点E是的中点， ∴三角形的面积等于三角形的面积的，即， ∵点F是的中点， ∴三角形的面积等于三角形的面积的，即． 19．（25-26八年级上·江苏盐城·开学考试）如图，在中，，． (1)若的长是整数，则最长是多少 (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)8 (2) 【分析】本题考查三角形的三边关系，三角形的内角和定理： （1）根据三角形的三边关系进行求解即可； （2）由平行的性质得到，根据平角和三角形的内角和定理，得到，进行求解即可． 【详解】（1）解：在中，， ∴，即：． ∵的长是整数， ∴最长为． （2）解：∵， ∴． ∵，， ∴， ∴． 20．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，D、E分别是边上的点，连接，F是上一点，． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 【答案】(1)见解析 (2) 【分析】本题主要考查平行线的判定和性质，三角形内角和定理的综合，掌握平行线的判定和性质是解题的关键． （1）根据，等量代换可得，再根据平行线的判定方法“内错角相等，两直线平行”即可求解； （2）先证明，得出，结合，求出，根据，得出，即可求出，再根据三角形内角和定理进行计算即可求解． 【详解】（1）证明：∵，， ∴， ∴； （2）解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题01认识三角形重难点题型专训 （6个知识点+17大题型+3大拓展训练+自我检测） 题型一 三角形的识别与有关概念 题型二 三角形的个数问题 题型三 与平行线有关的三角形内角和问题 题型四 与角平分线有关的三角形内角和问题 题型五 三角形折叠中的角度问题 题型六 三角形内角和定理的应用 题型七 三角形的分类 题型八 构成三角形的条件 题型九 确定第三边的取值范围 题型十 三角形三边关系的应用 题型十一 与三角形的高有关的计算问题 题型十二 根据三角形中线求长度 题型十三 根据三角形中线求面积 题型十四 重心的概念 题型十五 画三角形的高 题型十六 三角形角平分线的定义 题型十七 垂心 拓展训练一 三角形内角和相关问题及应用 拓展训练二 三角形相关特性及应用 拓展训练三 三角形相关计算问题 知识点一：三角形定义 1.定义：在平面内，由不在同一条直线上的三条线段首尾顺次相接所组成的图形叫做三角形。 三角形的基本元素包括边、角和顶点，如图1，三角形三边是、、，也可以用一个小写字母表示，记作：、、，三个内角为、、，其中的对边为，的对边为，的对边为. 图1 2.表示方法：三角形用符号“”表示，顶点为 A、B、C 的三角形记作“△ABC”,读作“三角形” 【即时训练】 1．（23-24八年级上·浙江杭州·阶段练习）在中，，则此三角形是（    ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等腰三角形 2．（23-24八年级·浙江·阶段练习）如图，在△BCE中，边BE所对的角是 ，∠CBE所对的边是 ；在△AEC中，边AE所对的角是 ，∠A为内角的三角形是 ． 知识点二：三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 【即时训练】 1.（24-25八年级上·浙江温州·期中）四根木棒的长度分别为，，，．从中取三根，使它们首尾顺次相接组成一个三角形．则下列取法中不能组成一个三角形的是（     ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2.（23-24七年级下·江苏宿迁·期末）若a、b、c是三角形的三边，则 ． 知识点三：三角形的内角和定理 1.三角形的内角和三角形内角和定理：三角形的三个内角之和恒等于180°. 2.数学语言表述：如图1，在ABC中，. 图1 3.三角形内角和定理的证明 已知：△ABC的三个内角分别为∠A，∠B，∠C； 求证：∠A+∠B+∠C过点A作直线MN，使之与BC边平行（或相交于BC的延长线）。线MN，使MNBC． 图2 ∵MNBC, ∴∠B=∠MAB,∠C=∠NAC, ∵∠MAB+∠NAC+∠BAC=180°, ∴∠B+∠C+∠BAC=180°, 即∠BAC+∠B+∠C=180°． 【特别说明】 （1）证明三角形内角和的方法很多，在后面的例题、练习题中还会出现其他方法 （2）三角形三个内角中最多三个锐角，至少有两个锐角，最多有一个钝角，且三角形中最大的内角不三角形外角的定义是：由三角形的一边与另一边的反向延长线所夹的角，称为三角形的外角。 【即时训练】 1．（23-24八年级上·浙江丽州·期末）在探究证明“三角形的内角和等于”时，综合实践小组的同学作了如图四种辅助线，其中不能证明“三角形的内角和等于”的是（    ） A．如图①，过点作 B．如图②，延长到，过点作 C．如图③，过上一点作， D．如图④，过点作 2．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）如图，，，为三角形的内角，求： ． 知识点四：三角形的三边关系 三角形任意两边之和大于第三边. 要点： （1）理论依据：两点之间线段最短. （2）三边关系的应用：判断三条线段能否组成三角形，若两条较短的线段长之和大于最长线段的长，则这三条线段可以组成三角形；反之，则不能组成三角形． （3）证明线段之间的不等关系． 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江湖州·阶段练习）已知三角形的三边长分别为，，，则不可能是（    ） A．2 B．5 C．7 D．8 2．（2025八年级上·浙江杭州·专题练习）一个三角形的两边长分别是2和5，另一边长为偶数，则这个三角形的周长为 ． 知识点五:三角形的分类 【即时训练】 1.（23-24八年级上·重庆永川·期中）如果一个三角形的三个内角度数之比为，则该三角形是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．等边三角形 2．（24-25八年级上·浙江·阶段练习）三角形按边可以分为： 三角形和不等边三角形；按角分为： 三角形、 三角形和钝角三角形． 知识点6：三角形的重要线段 三角形的高、中线和角平分线是三角形中三条重要的线段，它们提供了重要的线段或角的关系，为我们以后深入研究三角形的一些特征起着很大的帮助作用，因此，我们需要从不同的角度弄清这三条线段，列表如下： 线段名称 三角形的高 三角形的中线 三角形的角平分线 文字语言 从三角形的一个顶点向它的对边所在的直线作垂线，顶点和垂足之间的线段． 三角形中，连接一个顶点和它对边中点的线段． 三角形一个内角的平分线与它的对边相交，这个角的顶点与交点之间的线段． 图形语言 作图语言 过点A作AD⊥BC于点D． 取BC边的中点D，连接AD． 作∠BAC的平分线AD，交BC于点D． 标示图形 符号语言 1．AD是△ABC的高． 2．AD是△ABC中BC边上的高． 3．AD⊥BC于点D． 4．∠ADC＝90°，∠ADB＝90°． (或∠ADC＝∠ADB＝90°) 1．AD是△ABC的中线． 2．AD是△ABC中BC边上的中线． 3．BD＝DC＝BC 4．点D是BC边的中点． 1．AD是△ABC的角平分线． 2．AD平分∠BAC，交BC于点D． 3．∠1＝∠2＝∠BAC． 【即时训练】 1．（2025·浙江·二模）如图，，，分别是的高、角平分线、中线，则下列各式中错误的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江台州·阶段练习）如图，为的中线，为的中线． (1)已知，的周长为，求的周长； (2)在中作边上的高； (3)若的面积为40，，则点到边的距离为多少？ 【经典例题一 三角形的识别与有关概念】 【例1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下面各项都是由三条线段组成的图形，其中属于三角形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，写出以为角的三角形，写出以为边的三角形． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下面是小航用三根火柴组成的图形，其中符合三角形的概念的是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海·期末）在中，已知，那么 （大小比较）． 3．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在中，是边上一点，是边上一点．在中，的对边是 ．    4．（25-26八年级上·全国·课后作业）若有一个公共角的两个三角形称为一对“共角三角形”，如下图，以为公共角的“共角三角形”有几对？请写出来． 【经典例题二 三角形的个数问题】 【例1】（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，图中三角形的个数为（　　） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）图中共有多少个三角形？把它们表示出来． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，以D为顶点的三角形的个数为（   ） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2025七年级上·江苏·专题练习）聪聪想要从下边方格图的格点中再选一个点C，连接A、B、C三点后，能组成直角三角形ABC．则点C的位置有（ ）种选法． A．3 B．6 C．7 D．9 3．（24-25七年级上·重庆大渡口·开学考试）如图，图中共有 个三角形． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知点A，B在直线a上，点C，D，E在直线b上．以点A，B，C，D，E中的任意三点作为三角形的顶点，一共可以组成多少个三角形？分别写出这些三角形． 【经典例题三 与平行线有关的三角形内角和问题】 【例1】（2025·湖南长沙·模拟预测）如图，在中，，直线经过点A且．若，则的度数为（ ） A． B． C． D． 【例2】（23-24七年级下·内蒙古包头·期中）如图所示，在中，，，是的角平分线，点E在上，，求的度数．    1．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，直线，直角的顶点在直线上，已知，，边，与直线分别相交于点，，若，则的度数为(   ) A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·新疆吐鲁番·期中）如图，将一副直角三角板如图放置，使含角的三角板的短直角边和含角的三角板的一条直角边重合，则的度数为（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·四川眉山·期末）如图，已知，直线EF分别交，于点F，点E，平分，若，则的度数为 ． 4．（24-25七年级下·重庆北碚·期末）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点都在格点上，按下述要求作图并填空． (1)将平移得到，使得、、的对应点分别为、、，作出； (2)连接，若，，，求的度数． 解：，， _①__． ， ② ． 又， 在中， ③ ， ④ ． 【经典例题四 与角平分线有关的三角形内角和问题】 【例1】（2025·四川成都·二模）如图，在中，，，是的角平分线，则的度数为（　　） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，，为三角形的角平分线，交于点D，求的度数． 1．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，小明在计算机上用“几何画板”画了一个，，并画出了两锐角的角平分线、及其交点F．小明发现，无论怎样变动的形状和大小，的度数是定值，则这个定值为（   ） A． B． C． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，的三条角平分线的交点为点D，则（    ） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在中，，和的平分线相交于点，则 4．（24-25七年级下·河南周口·期末）如图，已知平分，F是反向延长线上的一点，于点E，，．求和的度数． 【经典例题五 三角形折叠中的角度问题】 【例1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，中，，沿将此三角形对折，又沿再一次对折，点落在上的处，此时，则原三角形的的度数为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·陕西西安·阶段练习）在中，将，按如图所示的方式折叠，点，均落在边上的点处，线段，为折痕．若，求的度数． 1．（24-25八年级上·河南安阳·期末）如图，在中，，将沿翻折后，点A落在边上的点F处，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·江苏淮安·期中）如图，将纸片沿折叠，当点C落在四边形的外部时，此时测得，则的度数是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·福建福州·期末）如图，直角三角形卡纸，将纸片沿折叠，若，则的度数为 4．（24-25八年级上·北京·期中）把三角形纸片沿折叠． (1)如图1，点落在四边形内部点A处时，与之间有一种数量关系始终保持不变，写出这种关系并证明； (2)如图2，点落在四边形外部点A处时，直接写出与之间的数量关系． 【经典例题六 三角形内角和定理的应用】 【例1】（25-26七年级上·山东·课后作业）如图，水平地面上放置一平面镜，从激光笔的点发出的光线照射到平面镜的处，反射光线为，且点恰好落在与地面垂直的墙面上．若，则的度数为（    ） 备注：（根据物理学中的反射定律，光线射到平面镜上时，入射角（入射光线与镜面法线的夹角）等于反射角（反射光线与镜面法线的夹角）．在本题中，你可以利用这一性质来求解角度关系．） A． B． C． D． 【例2】（2025七年级上·全国·专题练习）在中，，求的度数． 1．（25-26七年级上·山东·课后作业）一个三角形的两个内角分别是和，则第三个内角的度数是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）如图，点是内一点，，，，则等于（　　） A． B． C． D． 3．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在中，，，则 ， ， ． 4．（2025七年级上·全国·专题练习）在中，是的一半，比大，求三个内角的度数． 【经典例题七 三角形的分类】 【例1】（25-26八年级上·全国·课前预习）三角形按角分类可以分为（    ） A．锐角三角形、直角三角形、钝角三角形 B．等腰三角形、等边三角形、不等边三角形 C．直角三角形、等腰直角三角形 D．以上答案都不正确 【例2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，在中，是直角，，垂足为D，点E在线段上，找出图中的锐角三角形、直角三角形和钝角三角形． 1．（24-25七年级上·安徽安庆·开学考试）一个三角形，三个角的度数都不相等，最小的角是，那么这个三角形一定是（   ） A．锐角三角形 B．直角三角形 C．钝角三角形 D．都有可能 2．（25-26七年级上·浙江杭州·开学考试）亮亮说：“三角形的个内角最多有两个角是锐角．”下面图形可以说明亮亮的说法是错误的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级上·湖北十堰·期末）下图中共有 个直角三角形． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，找出图中的等腰三角形和等边三角形． 【经典例题八 构成三角形的条件】 【例1】（23-24八年级上·广西桂林·期中）下列每组数分别表示三根木棒的长度，将它们首尾连接后，能摆成三角形的一组是（   ） A．1，2，6 B．2，2，4 C．2，2，3 D．2，3，5 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）长为的四根木条，选其中三根组成三角形，有几种选法？为什么？ 1．（24-25七年级下·上海普陀·期中）已知四条线段的长度分别为厘米、厘米、厘米、厘米，任取其中三条线段，能构成的三角形的个数是(    ) A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（24-25八年级上·广东惠州·阶段练习）下列长度的三条线段，能组成三角形的是（   ） A．，，． B．，，． C．，，． D．，，． 3．（23-24八年级上·安徽合肥·期中）等腰三角形一边长等于5cm，一边长等于10cm，则它的周长是 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）在平面内，分别用相同的3根，5根，6根，……火柴首尾顺次相接，能搭成什么形状的三角形呢？通过尝试，列表如下： 火柴根数 3 5 6 … 示意图 … 形状 等边三角形 等腰三角形 等边三角形 … 根据以上信息，解答下列问题： (1)4根火柴能搭成三角形吗？ (2)12根火柴能搭成几种不同形状的三角形？请画出它们的示意图（提示：如果三角形的三边长a，b，c满足，那么这个三角形是直角三角形）． 【经典例题九 确定第三边的取值范围】 【例1】（2025·福建福州·一模）在下列长度的四条线段中，能与长和的两条线段围成一个三角形的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）已知三角形的三边长分别为2，x，8．若x为正整数，则这样的三角形有多少个？ 1．（24-25七年级下·陕西咸阳·阶段练习）若长度分别为x，2，4的三条线段能组成一个三角形，则x的值可以是（ ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·河北邯郸·期末）三角形两边的长分别是3和4，则该三角形第三边的长可能是（   ） A． B．4 C．7 D．8 3．（24-25七年级下·重庆·期末）已知一个三角形一边长为，另一边长为，第三边是最长边且为偶数，则此三角形的周长为 ． 4．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）已知三角形的两边长为6和8，第三边长为（取整数），当的值是多少时，三角形的周长最小，最小值是多少？ 【经典例题十 三角形三边关系的应用】 【例1】（25-26七年级上·河北衡水·开学考试）有长2分米、4分米两根小棒，再选一根长（   ）分米就一定能拼成一个三角形． A．1.9 B．2.3 C．6 D．6.5 【例2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图①，兔子在第一次龟兔赛跑失利后，不服输的它又组织了一次比赛，这次的比赛规则是从点A跑到点B，但A，B之间设置了很多陷阱，兔子选择沿路线A→C→B前进，乌龟可以选择的路线分别是：路线①A→C→B；路线②A→E→F→B；路线③A→D→B． (1)若乌龟选择了路线③，那么乌龟和兔子的路线哪个更短呢？请说明理由． 以下是小明不完整分析过程，请你帮他补充完整； 解：乌龟的路线更短，理由如下： 如图②，延长交于点P． 在中，， … (2)请你帮乌龟从路线②和③中选择一条较短的路线，并说明理由． 1．（2025·河北邯郸·模拟预测）已知a，b，c是的三边长，则与的大小关系是（    ） A． B． C． D．无法确定 2．（24-25七年级下·广东佛山·期末）三角形一边长为，另一边长为，它的第三边的长可能是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·江苏徐州·阶段练习）如果三角形的三边长分别是，4，，那么的取值范围 ． 4．（24-25七年级下·吉林长春·期中）在中，，，若是偶数，求的长． 【经典例题十一 与三角形的高有关的计算问题】 【例1】（24-25七年级下·山东枣庄·阶段练习）如图，中，，，，，P为直线上一动点，连接，则线段的最小值是（   ） A．2.4 B．5 C．3 D．4 【例2】（24-25八年级上·广东肇庆·阶段练习）如图，，分别是的高，，，，求的长． 1．（25-26七年级上·江苏南京·开学考试）如图是梯形转化为三角形的过程，如果梯形的面积是，高是，转化后三角形的底是（    ）cm． A．3 B．6 C．12 D．16 2．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）如图所示，要判断的面积是的面积的几倍，只有一把仅有刻度的直尺，需要测量（    ） A．1次 B．2次 C．3次 D．3次以上 3．（24-25八年级上·内蒙古呼伦贝尔·阶段练习）如图，在中，，，、边上的高、交于点H，则与的比值是 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，与都是的高，，，求与的长度之比． 【经典例题十二 根据三角形中线求长度】 【例1】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，是边上的中点，，与的周长之差为2，则的长为（   ） A．6 B．7 C．8 D．9 【例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，在中，是边上的中线，的周长是，的周长是，比长多少厘米？ 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）在中，，边上的中线把分成周长差为5的两个三角形，则的长为（   ） A．2 B．19 C．2或19 D．2或12 2．（23-24七年级下·福建南平·期中）的面积为，D、E、F分别是的中点，则的面积为(    ) A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，是的中线，，，和的周长差为 ．    4．（24-25八年级上·湖南湘西·期末）如图，在中，，边上的中线把的周长分成60和40两部分，求和的长． 【经典例题十三 根据三角形中线求面积】 【例1】（24-25七年级下·贵州毕节·期末）如图，在中，D，E分别是的中点，且，则图中阴影部分的面积为（　　） A．3 B．4 C．6 D．8 【例2】（24-25八年级上·广东东莞·期末）如图，是的中线，是的中线，于点，若，，求的长． 1．（2025·陕西西安·二模）如图，在中，为的中点，，且，若的面积为24，则的长为（    ） A．6 B．8 C．10 D．12 2．（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，是上的中线，是的中点，的面积是，则的面积是（　　） A．10 B．6 C．5 D．4 3．（2023-2024学年河南省洛阳第一高级中学第一附中七年级（下）竞赛班选拔数学试卷）如图，把三角形的边延长到D，使为的3倍，把边延长到E，使为的2倍，把边延长到F，使等于．已知的面积是1，则的面积为 ． 4．（23-24七年级下·陕西榆林·阶段练习）如图，在中，、为的高，且，点F为的中点，连接． (1)求的面积； (2)求和的周长差． 【经典例题十四 重心的概念】 【例1】（24-25八年级上·福建厦门·期中）如图，在中，交边于点．设的重心为，若点在线段上，则下列结论正确的是（    ） A．平分 B． C． D．的周长等于的周长 【例2】（24-25七年级下·江西吉安·期末）如图，在的网格中，每个小正方形的边长均为，点A，B，C都是格点（小正方形的顶点），完成下列画图． (1)画出的重心P． (2)在已知网格中找出一个格点D，使与的面积相等． 1．（23-24八年级下·内蒙古·阶段练习）如图，已知F是的重心，连接并延长交于点，连接并延长交于点，记面积为，四边形面积为，则与的大小关系是（   ） A． B． C． D．无法确定 2．（23-24七年级下·河北邢台·期末）已知点F是的重心，连接并延长交于G点，过点F作直线分别交于D点、E点，则下列说法正确的是（    ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·四川成都·期中）如图，，，分别为，，的中点，点为的重心．已知的面积为1，则的面积为 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）阅读材料，并解决问题． 项目主题 确定匀质薄板的重心位置 项目背景 在学习三角形的重心时，小王向同桌小刘提出这样一个问题：四边形有没有重心？如果有，它的重心如何确定呢？小刘在周末查阅了相关资料，得到如下的信息：①四边形有重心；②在平面内，图形A与图形B拼成一个图形C（无缝隙、不重叠），那么图形C的重心一定在图形A的重心与图形B的重心连接的线段上 问题探究 问题1 如图①，有两张形状、大小完全相同的直角三角形纸片，其中一张记为，C为其直角顶点，且，将这两个三角形拼成一个四边形（无缝隙、不重叠），使它们的斜边重合． 请画出所有符合要求的四边形，并作出所画四边形的重心G（用有刻度的直尺作中线，保留作图痕迹并写出结论） 问题2 如图②，一个长方形缺损一个角（缺损部分也是长方形），请画一条直线将该图形分成面积相等的两部分，并简要说明理由 【经典例题十五 画三角形的高】 【例1】（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）下列四个图形中，线段是的高的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知，，． (1)在中，边上的高是________； (2)在中，边上的高是________； (3)在中，边上的高是________． 1．（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）下列图形中，在中，边上的高是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·期末）下面四个图形中，线段是的高的是（　　） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·河北唐山·阶段练习）如图所示，于，于，图中可以作为三角形“高”的线段有 条． 4．（25-26七年级上·江苏苏州·开学考试）已知下面两条平行线之间的距离是，两点间的距离是，在上取一点． (1)画出一个高是的三角形．（在所画三角形上标出高） (2)画出一个高是的三角形．（在所画三角形上标出高） 【经典例题十六 三角形角平分线的定义】 【例1】（2025八年级上·全国·专题练习）下列说法中错误的是（    ） A．三角形的角平分线有三条 B．三角形三条角平分线交于一点 C．三角形的角平分线是射线 D．三角形的角平分线平分一个内角 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，于点D，平分，交于点F，，求证：． 1．（24-25七年级下·辽宁阜新·阶段练习）下列说法正确的是（   ） A．三角形的角平分线是射线 B．三角形的三条高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 C．三角形的一条角平分线把三角形分成两个面积相等的三角形 D．三角形的三条中线交于一点，这点称为三角形的重心 2．（24-25七年级下·山东·阶段练习）下列说法不正确的是（   ） A．三角形的三个内角的和等于 B．三角形任何两边之和大于第三边 C．任意三角形的三条角平分线交于一点 D．三角形的三条高的交点一定在三角形的内部 3．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）在中，，，是的角平分线，则的度数为 4．（25-26八年级上·全国·随堂练习）如图，过的顶点C分别画出它的中线、角平分线和高． 【经典例题十七 垂心】 【例1】（23-24七年级下·山东枣庄·阶段练习）下列说法正确的是（ ） A．三角形的高所在的直线交于一点，这一点不在三角形内就在三角形外 B．三角形的角平分线是射线 C．三角形的三条中线交于一点 D．三角形的一条角平分线能把三角形分成两个面积相等的三角形 【例2】（23-24七年级下·全国·单元测试）三角形的三条高、三条角平分线、三条中线都分别相交于一点，且交点一定在三角形内部的是（     ） A．角平分线、高 B．中线、高 C．角平分线、中线 D．以上都不对 1．（22-23八年级下·河北保定·阶段练习）下列说法不正确的是（    ） A．三角形三条边的垂直平分线的交点到三个顶点的距离相等 B．锐角三角形三条边的垂直平分线的交点在三角形的内部 C．直角三角形三条边的垂直平分线的交点是斜边的中点 D．钝角三角形三条边的垂直平分线的交点可能在三角形的内部，也可能在三角形的外部 2．（23-24重庆·模拟预测）下列命题是真命题的是（    ） A．三角形的外心到这个三角形三边的距离相等 B．三角形的重心是这个三角形的三条角平分线的交点 C．三角形的三条高线所在的直线一定相交于三角形的内部 D．三角形的任意两边之和大于第三边 3．（23-24陕西西安·模拟预测）如图，在中，为边上的中点，连接．请用尺规作图法，在上找一点，使得．（保留作图痕迹，不写作法） 4．（24-25八年级上·浙江·期末）【数学经验】三角形的中线，角平分线，高是三角形重要的3个线段，我们知道，三角形的3条高所在直线交于一点． （1）①如图1，在中，，则三条高线所在的直线交于点___________ ②如图2，在中，，已知两条高，请你仅用一把无刻度的直尺做出的第三条高（不写做法，保留作图痕迹） 【综合应用】 （2）如图3，在中，，平分，过点B作于点E ①若，，则___________ ②请写出于之间的数量关系，并说明理由． 【拓展延伸】 （3）三角形的中线将三角形分成面积相等的两个部分，如果两个三角形的高形同，则它们的面积比等于对应底边的比．如图4，M是上的一点，则有．如图5，中，M是上一点， ，N是中点．若的面积是m，请直接写出四边形的面积___________．（用含m的代数式表示） 【拓展训练一 三角形内角和相关问题及应用】 【例1】（23-24安徽·中考真题）两个直角三角板如图摆放，其中，，，AB与DF交于点M．若，则的大小为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25八年级上·四川绵阳·阶段练习）如图，D是三角形外一点，E，F是上的点，G，H分别是，上的点，连接，已知，，． (1)判断与的位置关系，并说明理由； (2)若，，求的度数． 1．（24-25七年级下·山东枣庄·期末）如图，的两条角平分线，交于点P，若，则为（ ） A．115° B．120° C．125° D．130° 2．（25-26七年级上·山东·课后作业）由下列条件不能判断是直角三角形的是（   ） A．， B． C． D． 3．（24-25七年级下·重庆秀山·期末）如图，在三角形中，平分交于点，过点D作交于点E，平分交于点，点F为线段上一点．若，则 ；若，，则 ． 4．（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，在中，平分，平分，，求的度数． 【拓展训练二 三角形相关特性及应用】 【例1】（24-25七年级下·湖北黄石·期末）如图，，点分别在两条平行线之间，，若， ．则的度数为（　　） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）如图，在中，AE是的高． (1)如图1，若，，AD是的平分线，求的度数； (2)如图1，若，AD是的平分线，则=___________．（用含的代数式表示） (3)如图2，延长AC到点F，和的平分线交于点G，求的度数． 1．（24-25七年级下·广东佛山·期末）在学习完三角形三边关系后，小明用三根木棍首尾相连拼三角形有三根长度分别为、、的木棍，若想三角形的边长均为整数，则可将的木棍进行裁切，这样小明最多可以拼出不同的三角形个数为（       ） A． B． C． D． 2．（23-24七年级下·福建福州·阶段练习）下列说法中正确的是（    ） A．三角形的角平分线都在三角形的内部 B．直角三角形只有一条高 C．三角形的中线可能在三角形的外部 D．三角形的高线必交于一点 3．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，在中，分别是的中点，连接交于点．若四边形的面积为5，则的面积为 ． 4．（23-24八年级上·湖北武汉·单元测试）如图所示，已知，分别是的高和中线，，，，． (1)求的长． (2)求的面积． 【拓展训练三 三角形相关计算问题】 【例1】（24-25八年级上·山东日照·阶段练习）如图，在中，，，，，是高，是中线，是角平分线，交于点，交于点，下面说法正确的是（    ） ①的周长的周长；②的面积的面积；③；④；⑤． A．①③⑤ B．②③④⑤ C．①③④⑤ D．①③④ 【例2】（24-25八年级上·全国·期末）已知，，为的三边长，若，满足，且是整数，求的取值． 1．（25-26八年级上·全国·周测）如图，在中，是边上的高．在中，是边上的中线．若，且，则的值为（   ） A．16 B．24 C．28 D．32 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，分别是的高和角平分线，且，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·上海浦东新·期末）一个三角形的两边分别是3和7，如果第三边长为整数，那么第三边可取的最大整数是 ． 4．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图，在中，．平分．为边上的高．若，求的度数． 1．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）如图所示，的中线和相交于点，两块空白部分的面积分别用和表示，两块阴影部分的面积分别用和表示，则下列四个判断中：①；②；③；④，正确的有（　　） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）某校组织研学活动需要每个班准备一面三角形的班旗，下面是八年级4个班设计班旗的数据（三边长），其中不能实现三角形班旗制作的是（    ） A．，， B．，， C．，， D．，， 3．（24-25七年级下·安徽六安·期末）张师傅用锤子起钉子，如图（1）所示，将其抽象成图（2）所示的示意图，其中，锤柄，若，则的度数为（   ） A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·河南郑州·期末）下列选项中能解释的是（    ） A． B． C． D． 5．（25-26六年级上·黑龙江哈尔滨·开学考试）一个三角形的高是6分米，面积是30平方分米，底是（　）分米． A．5 B．6 C．10 D．12 6．（23-24七年级下·河北秦皇岛·期末）如图，是锐角，点C从点B出发沿方向运动，连结．关于的形状变化情况，下列说法正确的是（    ） A．钝角三角形→锐角三角形→钝角三角形 B．钝角三角形→直角三角形→钝角三角形 C．钝角三角形→直角三角形→锐角三角形→钝角三角形 D．以上说法都不对 7．（2025·安徽合肥·二模）如图所示，是光在进入单反相机中的五棱镜时两次全反射的光路图，已知，光从M点平行于进入棱镜，在边上点G处反射，到达边点F处，经过再一次反射，然后沿垂直边方向，从点N处离开棱镜，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 8．（23-24七年级下·陕西榆林·期末）如图，已知点是的边上一点，且，线段与的中线交点，连接，若的面积为，则的面积是（    ） A． B． C． D． 9．（2023·河北石家庄·一模）如图，嘉琪任意剪了一张钝角三角形纸片（是钝角），他打算用折叠的方法折出的角平分线、边上的中线和高线，能折出的是（　　）    A．边上的中线和高线 B．的角平分线和边上的高线 C．的角平分线和边上的中线 D．的角平分线、边上的中线和高线 10．（24-25八年级上·江西新余·阶段练习）如图，把三角形纸片沿折叠，使点A与点重合，且落在四边形的内部，已知，则的度数为（   ） A． B． C． D． 11．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）在中，，若的长是偶数，则的周长为 12．（23-24八年级上·江西赣州·阶段练习）在中，，若的平分线交于点O，则的度数是 13．（25-26七年级上·山东济宁·开学考试）现有和的小棒各一根，再取一根整厘米长的小棒与它们拼成三角形可以有 种不同取法． 14．（24-25七年级下·浙江台州·期末）如图，，点在这两条平行线之间，且，连接并延长，交的延长线于点．若，，则 度．（用含的代数式表示） 15．（24-25七年级下·福建泉州·期末）如图，四条线段，，，首尾顺次相接，在的延长线上，的平分线和的平分线相交于点．若，，则 ．（用含，的代数式表示） 16．（24-25八年级上·贵州遵义·阶段练习）如图，是的高线，是中点，连接交于点． (1)若的周长为．求的周长； (2)在（1）的情况下，若，求点到的距离． \ 17．（23-24七年级下·河北石家庄·期末）已知，如图所示，是的角平分线，是的高，且，． (1)求的度数； (2)求的度数． 18．（23-24七年级下·北京·自主招生）如图，三角形的面积是24，D、E和F分别是和的中点．求三角形的面积． 19．（25-26八年级上·江苏盐城·开学考试）如图，在中，，． (1)若的长是整数，则最长是多少 (2)若，，，求的度数． 20．（24-25七年级下·四川达州·阶段练习）如图，在中，D、E分别是边上的点，连接，F是上一点，． (1)求证：； (2)若，，，求的度数． 学科网（北京）股份有限公司 $$