专题04三角形全等的判定重难点题型专训（5个知识点+15大题型+4大拓展训练+自我检测）-2025-2026学年浙教版八年级数学上册重难点专题提升精讲精练

专题04三角形全等的判定重难点题型专训 （5个知识点+15大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 尺规作图——作三角形 题型二 用SSS证明三角形全等 题型三 用SSS间接证明三角形全等 题型四 全等的性质和SSS综合 题型五 用SAS证明三角形全等 题型六 用SAS间接证明三角形全等 题型七 全等的性质和SAS综合 题型八 用ASA（AAS）证明三角形全等 题型九 全等的性质和ASA（AAS）综合 题型十 添加条件使三角形全等 题型十一 灵活选用判定方法证全等 题型十二 结合尺规作图的全等问题 题型十三 倍长中线模型 题型十四 其他模型 题型十五 全等三角形综合问题 拓展训练一 三角形全等SSS相关问题 拓展训练二 三角形全等SAS相关问题 拓展训练三 三角形全等ASA相关问题 拓展训练四 三角形全等综合证明及应用 知识点一：三角形全等的判定方法——边边边（SSS） （1）基本事实：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. （2）书写格式：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 【即时训练】 1．（2025·浙江金华·三模）木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的的两边分别取，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则平分．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出．这里三角形全等的判定方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意，得，，结合即可证明，即可得证． 本题考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得，， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，在四边形中，，，，则 °． 【答案】/130度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，理解相关知识是解答关键． 连接，利用“”易得，根据全等三角形的性质易得，根据三角形的内角和定理得到的度数来求解． 【详解】解：连接，如下图 在和中 ， ， ，， ， ． ， ． ． 故答案为：． 知识点二：三角形全等的判定方法——边角边（SAS） （1）基本事实：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边角边”或“SAS”）. （2）书写格式：如图，在△ABC和△中， 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，若，，添加后就能直接利用“”证得的条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，准确分析判断是解题的关键．根据定理的条件进行判断即可； 【详解】解：用边角边证明两三角形全等，已知其中一个对应角相等和一条对应边相等，则还需要的条件是相等角的另外一条临边相等，即， 故选：C． 2．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图，在中，，点D为边上一点，点E在边上，，，，则的度数为 ． 【答案】/50度 【分析】根据，，，得到即可得到，结合三角形内角和定理即可得到答案． 本题考查三角形全等的判定与性质，三角形内外角关系及三角形内角和定理，解题的关键是根据内外角关系得到全等的条件． 【详解】解：∵， ∴，， 在与中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 故答案为：． 知识点三：三角形全等的判定方法——角边角（ASA） （1）基本事实：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. （2）书写格式：如图，在△ABC和△中， 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定方法，三角形三边关系应用；判定两个三角形全等的方法有、、、、，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．根据全等三角形的判定，三角形的三边关系一一判断即可． 【详解】解：A、∵， 不能画出，故本选项不符合题意； B、已知三个角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； C、已知两边及其中一边的对角，不能画出唯一三角形，故本选项不符合题意； D、已知两角及其夹边，能画出唯一三角形，故本选项符合题意． 故选：D． 2．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，并且，，当 时，． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，掌握全等三角形的几判定方法是解题的关键；本题已知两个角相等，根据全等三角形判定条件，当时，即可通过角边角求证； 【详解】解：当时， 在和中， ， ∴， ∴当时，可证， 故答案为：； 知识点四：角形全等的判定方法——角角边（AAS） （1）基本事实：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） （2）要点：1.由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【即时训练】 1.（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，根据图中的角度和边长，能判断这两个三角形全等的方法是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了三角形内角和以及全等三角形的判定，先观察图形，运用三角形内角和算出，则，即运用证明图中的两个三角形是全等三角形，即可作答． 解：依题意， 则，， 即得出两组角分别相等，夹边相等， 故两个三角形是全等三角形， 故选：B 2.（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是 ． 【答案】③ 【分析】本题考查了全等三角形的应用（有两个角对应相等，且夹边也对应相等的两三角形全等）；学会把实际问题转化为数学问题解答是关键． 显然第③中有完整的三个条件，用可得到现要的三角形与原三角形全等． 解：因为第③块中有完整的两个角以及他们的夹边，利用可得三角形全等，故应带第③块． 故答案为：③． 知识点五：三角形全等的判定方法的选择 （1）选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS HL （2）如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列数据能唯一确定三角形的形状和大小的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，构成三角形的条件，根据全等三角形的判定定理即可判断A、B、C，根据构成三角形的条件即可判断D． 【详解】解：A、由不能证明三角形全等，不能确定三角形的形状和大小，不符合题意 B、由可以证明三角形全等，能确定三角形的形状和大小，符合题意； C、由不能证明三角形全等，不能确定三角形的形状和大小，不符合题意 D、由不能构成三角形，不符合题意． 故选：B． 2．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，点、、、在同一直线上，于点，于点，连结，交于点，且为的中点，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． 【答案】①②③ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，线段的和差关系，平行线的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． 利用全等三角形的判定方法证得、即可逐项分析判断． 【详解】解：①为的中点， ， ，， ， 在和中， ， ，故①正确； ②由①得：，且， ， ，故②正确； ③由②得：， 由①得：， ， ， 由①得：，且， ， 在和中， ， ， ，故③正确； ④由③得：， ， ， ， 若，则， ， 现有条件无法得出，故④错误； 故答案为：①②③． 【经典例题一 尺规作图——作三角形】 【例1】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定，三角形的三边关系，根据全等三角形的判定定理及三角形的三边关系逐项判断即可求解，掌握以上知识点是解题的关键． 【详解】解：A、已知一角和一边，不能判定三角形全等，故该选项不能画出唯一，不合题意； B、已知两边及一边的对角相等，不能判定三角形全等，故该选项不能画出唯一，不合题意； C、因为，所以三条线段不能构成三角形，故该选项不能画出唯一，不合题意； D、已知两角及夹边相等，由能判定三角形全等，故该选项能画出唯一，符合题意； 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 已知：如图，线段a和． 求作：，使． 【答案】见解析 【分析】此题考查了三角形的作图，熟练掌握作图方法是解题的关键． 作射线，在射线上截去，尺规作出，两线相交于点A，连接，则即为所求． 【详解】解：如答图，即为所求． 1．(2023广东深圳·一模）如图，在中， ，按如下步骤操作；①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于D、E两点；②以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点F；③以点F为圆心，长为半径作弧，两弧交于点G；④作射线，若，则为（     ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了尺规作图以及直角三角形两锐角互余的知识，由作图知是解题的关键．由作图知，再根据直角三角形两锐角互余即可求出结果． 【详解】解：由作图知：， ∵， ∴， ∵， ∴． 故选：B． 2．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理，按公共边的不同情况分类寻找全等格点三角形． 分别以、、为公共边，依据全等三角形判定条件，找出与全等的格点三角形，统计数量． 【详解】如图： 共7个点符合， 故选：C． 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作 ； （2）如图③，在射线上截取 ，在射线上截取 ； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 【答案】 a c 【分析】本题考查的是尺规作图--按要求作一个三角形，根据作一个角等于已知角和作一条线段等于已知线段的要求完成填空即可． 【详解】解：（1）如图②，作； （2）如图③，在射线上截取，在射线上截取； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 故答案为：；a；c． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图所示，已知和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于，且夹这个角的两边分别为2a和a（保留作图痕迹，不写作法）． 【答案】图见解析 【分析】本题主要考查了尺规作图；作，在射线上截取，在射线上顺次截取，连接，即为所求． 【详解】解：如图： 作法： 作， 在射线上截取，在射线上顺次截取， 连接，即为所求． 【经典例题二 用SSS证明三角形全等】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，观察图形可知：与是对应边，B点的对应点在上方两个，在下方两个共有个满足要求的点，也就有四个全等三角形． 【详解】解：根据题意，运用可得与全等的三角形有个，线段的上方有两个点，下方也有两个点． 故选：C． 【例2】（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，已知，，点A，D，B，F在一条直线上，，证明：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，解题时注意：三条边分别对应相等的两个三角形全等． 先根据等式性质，得到，再根据即可判定． 【详解】证明：∵， ∴， 即． 在与中， ， ∴． 1．（24-25七年级下·广东茂名·期中）如图，点C 在的边上，用尺规作图： ①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交于点D， 交 于点E； ②以点C 为圆心，以 的长为半径画弧，交于点F； ③以点F 为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点P； ④作射线；   下列结论不一定正确的是（   ） A． B． B． C． C． D． D． 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的性质，由作图过程推出即可求解. 【详解】解：由作图过程可知：， ∴ ，； 由①可知：， ∵， ∴； 不能推出； 故选：C. 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定定理． 根据三角形全等的判定定理，对各选项进行分析判断即可． 【详解】解：A．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； B．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； C．满足三角形全等的判定定理，符合题意； D．不满足三角形全等的判定定理，不符合题意； 故选：． 3．（24-25八年级上·全国·期中）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法． 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了尺规作图、全等三角形的判定等知识点，明确尺规作图所隐含的条件成为解题的关键． 由尺规作图可知：，然后根据全等三角形的判定定理即可解答． 【详解】解：由尺规作图可知，， ， 故答案为：． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，你能找到一对全等的三角形吗？说明你的理由． 【答案】 【分析】本题考查全等三角形的判定，证明即可． 【详解】解：，理由如下： ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 【经典例题三 用SSS间接证明三角形全等】 【例1】（2025·云南西双版纳·二模）如图，四点共线，，，．求证：． 【答案】见分析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据全等三角形判定即可证明． 解：证明：， ， ， 在和中， ， ． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 【答案】已知；；；等式的性质；；；；； 【分析】首先根据可得，再加上条件，可利用定理证明． 本题主要考查了三角形全等的判定方法，得出是解题的关键． 【详解】证明：∵（已知）， ∴（等式的性质）， 即． 在和中，， ∴（）． 故答案为：已知；；；等式的性质；；；；； 1．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图：和中，；试说明． 【答案】证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，由，可得，根据SSS即可证明．本题的关键是得到． 【详解】解：， ，即， 在和中， ． 2.（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明，可以添加的条件是 ．（只需写出一种情况） 【答案】（或等） 【分析】本题考查了三角形全等的判定定理，解题的关键是掌握三角形全等的判定定理；要运用“”来证明三角全等，根据条件，添加的条件需要使得三条边对应相等即可． 解：，， 要运用“”来证明， 可以添加的条件需要使得即可， 故添加的条件是：， 故答案为：． 3（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在四边形中，，，，则 °． 【答案】/130度 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，理解相关知识是解答关键． 连接，利用“”易得，根据全等三角形的性质易得，根据三角形的内角和定理得到的度数来求解． 解：连接，如下图 在和中 ， ， ，， ， ． ， ． ． 故答案为：． 4.（23-24八年级上·广西桂林·期中）如图，点A、E、B、D在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）指出图中所有平行的线段，并说明理由． 【答案】（1）见分析；（2），理由见分析 【分析】本题考查了平行线的判定，全等三角形的判定与性质，熟练掌握平行线的判定，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先得到，再根据边边边证明全等即可； （2）根据全等三角形对应角相等，以及平行线的判定即可证明． 解：（1）证明：∵， ∴，即， 在与中 ∴； （2）解：， 理由如下： ∵， ∴，              ∴． 【经典例题四 全等的性质和SSS综合】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，三角形内角和定理的应用，先证明，得出，，根据三角形内角和定理求出即可． 【详解】解：在和中， ， ， ， ， 故选：B． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知．利用直尺和圆规作，使，（点D与点C在的不同侧）． 【答案】见解析 【分析】此题考查了尺规作图，全等三角形的性质和判定，解题的关键是掌握以上知识点． 以点B为圆心，为半径画弧，以点A为圆心，为半径画弧，两弧交于点D，连接，，则即为所求． 【详解】解：如图所示，即为所求． 由作图得，， 又∵ ∴ ∴，． 1．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角 ．作法如下：如图所示， 是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点 C的射线即是的平分线 ．这种作法的道理是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据作图，可知：，结合，利用证明，即可． 【详解】解：由题意，可知：， 又∵， ∴， ∴，即：射线即是的平分线； 故依据为； 故选B． 2．（24-25八年级下·内蒙古通辽·开学考试）如图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容． 如图，已知，求的度数． 解：在和中， ∴（▲）， ∴（全等三角形的★相等）， ∴， ∴． 下列说法正确的是（    ） A．▲代表 B．■代表 C．★代表对应边 D．※代表 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据全等三角形的判定与性质补充求解过程，推出▲，■，★，※分别表示对象，并判断，即可解题． 【详解】解：在和中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）， ∵， ∴， ∴； 由求解过程可知，▲代表，■代表，★代表对应角，※代表， 即选项A、B、C错误，不符合题意，选项D正确，符合题意． 故选：D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，若，则 ． 【答案】72 【分析】本题主要考查了三角形全等的判定和性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是解题的关键．先证明，得出，根据三角形内角和求出结果即可． 【详解】解：∵， ∴， 即， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：72． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，，M，N分别是的中点．若的面积为，求图中阴影部分的面积． 【答案】3 【分析】此题考查了三角形的全等判定和性质．连接．根据三边对应相等的三角形全等证明，再中线平分三角形面积可得，进而证明结论． 【详解】解：如图，连接． 在和中， ， ． 分别是的中点， ，， ∴ ∴阴影部分的面积 ． 【经典例题五 用SAS证明三角形全等】 【例1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，由此可得下列哪组三角形全等（　　 ） A． B． C． D．没有三角形全等 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据推出即可． 【详解】解：∵，，， ∴， 故选：A． 【例2】(23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，，，，求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．利用全等三角形的判定即可证明． 【详解】证明：∵， ∴， 在和中 ∴． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下图中全等的三角形有（   ） A．图1和图2 B．图2和图3 C．图2和图4 D．图1和图3 【答案】D 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定．根据全等三角形的判定定理解答即可． 【详解】解：A、图1和图2，只有一边一角对应相等，无法证明两三角形全等，故本选项不符合题意； B、图2和图3，只有一边一角对应相等，无法证明两三角形全等，故本选项不符合题意； C、图2和图4，只有一边一角对应相等，无法证明两三角形全等，故本选项不符合题意； D、图1和图3，两边及其夹角对应相等，能证明两三角形全等，故本选项符合题意； 故选：D 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）根据图中所给定的条件，可知全等三角形是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和②和③ 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，解题的关键是掌握判定两个三角形全等的一般方法：．注意：不能判定两个三角形全等，判定两个三角形全等时，必须有边的参与，若有两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角．据此解答即可． 【详解】解：根据题意得， 在和中， ， ， 故选：C． 3．(23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点D、C都在上，，，现要证明．若根据“”判定，则需增加条件 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键．根据“”判定：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等，据此增加条件即可． 【详解】解：∵，，现要证明， ∴根据“”判定，则需增加条件． 故答案为：． 4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知，，，求证： 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法是解答的关键．根据题意易求出，再结合，，利用即可证明结论． 【详解】证明：∵， ∴，即， ∵，， ∴． 【经典例题六 用SAS间接证明三角形全等】 【例1】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定定理是解题的关键．根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：如图， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵ ∴， 故选：B． 【例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，证明，，根据证明即可． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴． 1．（2024·贵州遵义·三模）如图，是等腰直角三角形，，O是的中点，连接并延长至D，使得，连接和．①以点D为圆心，的长为半径画弧交于点E；②分别以点C、E为圆心，大的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线交于点F，接．若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定和性质，正方形的判定和性质，角平分线的定义，等腰直角三角形的判定和性质，熟练掌握正方形的性质，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 根据平行四边形的性质得到四边形是平行四边形，根据矩形的判定定理得到四边形是矩形，根据正方形的判定定理得到四边形是正方形，求得，得到，求得， 根据全等三角形的性质得到，根据等腰直角三角形的性质即可得到结论． 【详解】解：∵O是的中点， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴四边形是矩形， ∵， ∴四边形是正方形， ∴， ∴， ∵， ∴， 由作图知，平分， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为 时，有与全等． 【答案】2或 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质， 设点Q的运动速度为，分两种情况讨论：若，则，即；②若，则，即；分别求出x即可． 【详解】解：设点Q的运动速度为， ∵，． ∴与全等分两种情况： （1）若， 则， 即， 解得：； （2）若， 则， 即， 解得：. 综上所述，x的值为2或时，与全等. 故答案为：2或． 3．（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线的两侧，且，，．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，求出，根据得到两三角形全等即可． 【详解】证明：∵， ∴，即， 在和中 ， ∴． 4．（2024·安徽合肥·三模）如图1，在矩形中，为边的中点，为的中点，的延长线交于． (1)分别记矩形的面积为的面积为，求的值； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，连接，经过点的直线分别交于，交于，交于，若，求的值． 【答案】(1) (2)见解析 (3) 【分析】（1）连接，根据题意得和，则，结合即可； （2），则，即可证明，即可证明结论成立； （3）延长交的延长线于，可证，有，结合中点可得．利用矩形的性质得，则有和，那么，即可求得． 【详解】（1）解：如图，连接， ∵为边的中点， ， 为的中点， ， ． ， ； （2）证明：为边的中点，为的中点，， ， ， 又， ， ； （3）解：如图，延长交的延长线于． ∵四边形为矩形， ∴， ∴， ∵为的中点， ∴， ∵， ∴， ， 又为的中点， ， ， ， ， ①， ②， ①+②得 ． ． 又， ． 【点睛】本题主要考查矩形的性质、中点的性质、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半、全等三角形的判定和性质和相似三角形的判定和性质，解题的关键是熟悉矩形的性质和相似三角形的性质． 【经典例题七 全等的性质和SAS综合】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了初中数学中全等三角形的判定与性质、角度的和差关系等知识点．解题的关键在于利用给定条件证明与全等，进而通过全等三角形对应角相等的性质确定的度数，结合已知角度值计算出的具体度数．先利用已知条件证明和全等，再根据全等三角形对应角相等得到的度数，最后结合的度数计算的度数． 【详解】解：在和中， ， , ， ， ， ，， ， ， 故选：A． 【例2】(23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）已知：如图，，，．试说明：． 【答案】证明过程见解析 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质． 利用“”可证得，由三角形全等的性质，即可证得结论． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形外角的性质； 证明，可得，然后利用三角形外角的性质求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故选：D． 2．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图所示，，B，D，E三点在一条直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【详解】本题考查了全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理及外角性质等知识点，解题的关键在证明．先证明．然后利用全等三角形的性质得出，再结合三角形内角和定理计算出的具体度数． 【点睛】解：， ，即， 在和中， ， ， ， ， 在中，， ， ． 故选：B． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则的长为 ． 【答案】3 【分析】本题考查三角形全等的判定和性质，掌握相关知识是解决问题的关键．根据已知条件可证明，则得，则可求． 【详解】解：在中， ， ， ， ， ． 故答案为：3． 4．(23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知，连接．试问：图中线段与有何关系？并加以证明． 【答案】线段与相等，证明见解析 【分析】此题考查了全等三角形的判定和性质．根据证明，即可证明结论成立． 【详解】解：∵ ∴， ∴ ∴， ∵， ∴ ∴ 【经典例题八 用ASA（AAS）证明三角形全等】 【例1】（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？ 如果可以，带哪块去合适？（　　） A．1 B．2 C．3 D．任意一块 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，根据全等三角形的判定方法结合图形即可得出答案，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 【详解】解：由图形可知，号有完整的两角与夹边，根据“角边角”可以作出与原三角形全等的三角形；号没有完整的边或角，号只有一个完整的角，根据全等三角形的判定方法，号和号都不可以作出与原三角形全等的三角形， 故选：． 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，经过点于点于点E．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定，利用证明即可．熟练掌握一线三直角的全等模型，是解题的关键． 【详解】解：∵，，， ∴， ∴， 又∵， ∴． 1．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点C是的角平分线上的一点，于点D，，，动点P在射线OB上运动，它到点C的最小距离为（   ） A．2 B．5 C．3 D．无法确定 【答案】C 【分析】本题考查了三角形全等、垂线段最短的性质．熟记全等三角形的判定是解题的关键．当时，根据三角形全等可得，再根据全等的性质解答即可． 【详解】解：根据垂线段最短可知：当时距离最小， ∵平分，，， ∴，， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：C． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的四个三角形中全等的是（    ） A．①与② B．②与③ C．②与④ D．③与④ 【答案】C 【分析】先分别求出四个三角形的第三个角，再依据全等三角形判定定理（ASA ），判断哪两个三角形全等，即看是否有两角及其夹边分别相等 ．本题主要考查全等三角形的判定（ASA ），熟练掌握“两角及其夹边分别相等的两个三角形全等”是解题的关键． 【详解】解：①中，已知两角为、，则第三个角为，且与夹边为 ． ②中，已知两角为、，则第三个角为，与夹边为 ． ③中，已知两角为、，则第三个角为，与夹边为． ④中，已知两角为、，则第三个角为，与夹边为 ． 因此①与②不全等， ②与③不全等，②与④全等，③与④不全等． 故选：C ． 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知，，要利用“”判定，应添加的条件是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 直接利用全等三角形的判定方法分析得出答案． 【详解】解：在和中 ∴． 故答案为：． 4．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，，垂足为，为上的一点，，分别交和的延长线于点，，．试说明． 【答案】见解析 【分析】本题主要考查三角形全等的证明，解题的关键在于熟练掌握三角形全等的判定定理．根据题意利用角边角判定定理，证明即可． 【详解】证明：∵， ∴，， 又∵， ∴， 又∵， ∴， 又∵， ∴． 【经典例题九 全等的性质和ASA（AAS）综合】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，于点C，于点B，交于点F，且．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质； 证明即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴，，， 无法得出， 故选：B． 【例2】(23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知（如图）：点D，E分别在，上，，交于O，且，． (1)试说明：； (2)与全等吗？为什么？ 【答案】(1)见解析 (2)全等，见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，熟练掌握全等三角形的判定是解题的关键． （1）利用全等三角形的判定证明，再利用全等三角形的性质即可证明； （2）利用全等三角形的判定即可得出结论． 【详解】（1）证明：在和中 ∴， ∴． （2）解：与全等，理由如下： ∵，， ∴，即， 在和中 ∴． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，平分，则（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质．证明，即可求解． 【详解】解：∵平分， ∴， 在和中， ∵，，， ∴， ∴． 故选：B 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图是一段双向等宽道路，点，，是马路两边正对面的两个公交站牌，点是隔离带中的一个花坛，．小田所在点，学校门口和花坛在同一条直线上．小田测量出点A，C之间的距离是，就可知道学校门口与公交站牌之间的距离为．此方案的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】根据可判定，进而可得．本题主要考查了全等三角形的判定和性质．熟练掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴， 又∵，， ∴， ∴． 3．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，，E为的中点．若，，则 ． 【答案】6 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由平行线的性质可得，由题意可得，再证明，得出，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵， ∴， ∵E为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．(23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，，，．求证：． 【答案】见详解 【分析】本题主要考查全等三角形的判定与性质．证明，根据全等三角形对应边相等可得． 【详解】证明：∵， ， 在和中， ， ∴， ∴． 【经典例题十 添加条件使三角形全等】 【例1】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，AC、BD交于点，，添加：①；②；③；④，四个条件中的一个，能使的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【答案】C 【分析】本题考查的是添加条件判定三角形确定，根据添加的条件结合全等三角形的判定方法逐一分析即可. 【详解】解：∵，，， ∴，故①符合题意； ∵，，， ∴不能判定，故②不符合题意； ∵， ∴， ∵，， ∴，故③符合题意； ∵，，， ∴，故④符合题意； 故选：C 【例2】（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 【答案】①或③ 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定和性质，平行线的性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，平行线的性质是解决问题的关键．当选择①时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等；当选择②时，不能判定和全等；当选择③时，则，根据得，由此可依据“”判定和全等，据此即可得出答案． 【详解】解：当选择①时， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴； 当选择②时， ∵， ∴， 在和中， ， 此条件不符合全等三角形的判定定理，不能判定和全等； 当选择③时， ∴， ∵， ∴， 在和中， ∴． ∴选择条件①或③能够判定和全等． 故答案为：①或③． 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，，，要使，你所添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定定理逐项判断即可得出答案． 【详解】解：由已知可得，两个三角形中满足一边一角对应相等， A．添加，根据不能判定，不合题意； B．添加，根据不能判定，不合题意； C．添加，可得，根据不能判定，不合题意； D．添加，根据能判定，符合题意； 故选D． 2．（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D．平分 【答案】B 【分析】本题考查三角形全等的判定方法，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键．要判定，已知，是公共边，具备了两组边对应相等，故添加、、平分后可分别根据、、能判定，而添加后则不能． 【详解】解：A、添加，根据，能判定，故A选项不符合题意； B、添加时，不能判定，故B选项符合题意； C、添加，根据，能判定，故C选项不符合题意； D、添加平分，得出，根据，能判定，故D选项不符合题意． 故选：B． 3．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，已知，请你添加一个条件，使，你添加的条件是 （填一个即可） 【答案】（答案不唯一） 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定定理，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 利用全等三角形的判定定理求解即可． 【详解】解：，理由如下： ∵，， ∴， 故答案为：． 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点四点在同一条直线上，，若______，则．请从①；②；③；从三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【答案】选①，理由见解析 【分析】本题考查的是添加条件证明三角形全等；分别添加三个条件中的1个，结合全等三角形的判定方法逐一分析即可. 【详解】解：选①，理由如下： ， ， 即． 在和中， ， ； 选②不能得到结论， 选③：理由如下： 在和中， ， . 【经典例题十一 灵活选用判定方法证全等】 【例1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列所给条件中，能画出唯一的的是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查全等三角形的判定，根据全等三角形的判定方法，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、只有两条边，不能画出唯一的，不符合题意； B、只有一边一角，不能画出唯一的，不符合题意； C、能画出唯一的，符合题意； D、不能画出唯一的，不符合题意； 故选C． 【例2】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知E，F是线段AB上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 证明： 【答案】①③、②；见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定方法（SAS，ASA，AAS，SSS，还有直角三角形的HL）是解题的关键． 本题主要考查了全等三角形的判定与性质．选的补充条件是①③，结论是②，证明即可. 【详解】证明：， ，即 在与中 . 1．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 【答案】A 【分析】根据全等三角形的判定条件和三角形三边关系，逐一分析各选项是否满足唯一性． 【详解】解：A.已知，，，当三角形为直角三角形时，斜边和一条直角边确定，则满足，可知该三角形是唯一确定的；可唯一确定三角形，符合条件． B.已知，，，此条件为两边及其中一边的对角，可能存在两种不同三角形，无法唯一确定． C. ，，，不满足三角形三边关系（两边之和大于第三边），无法构成三角形． D. ，，，已知三个角均为定值，但仅确定三角形形状（相似），未给出边长，无法唯一确定三角形． 综上，只有选项A能画出唯一． 故选：A． 2．(23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是不等边三角形，，以 D、E 为两个顶点画位置不同的三角形，使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可画出（     ）个 A．2 B．3 C．4 D．以上结果均不对 【答案】C 【分析】此题考查了三角形全等．根据全等三角形的定义和判定即可得到答案． 【详解】解：如图，根据题意得到满足题意的三角形最多可画出4个， 故选：C 3．（2025八年级上·全国·专题练习）下列条件中能确定的形状与大小的有 ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，，． 【答案】②③ 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．根据三角形的判定和性质进行判定即可求解． 【详解】解：①，，，，不能画出三角形； ②，，，根据“”能画出唯一的； ③，，，满足“”且已知角的对边大于另一边的情况，即，可以确定唯一的； ④，，，满足“”，但不满足已知角的对边大于另一边的情况，即不能画出唯一的； 综上所述，能画出唯一的的有②③， 故答案为：②③． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）用举反例的方法说明命题“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”是假命题． 【答案】见解析 【分析】本题考查的是全等三角形的判定．根据画出符合题意的图形，然后结合全等三角形的判定方法进行求解即可判断． 【详解】解：如图， 在和中， ， 但和不全等， ∴命题“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”是假命题． 【经典例题十二 结合尺规作图的全等问题】 【例1】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）（1）过的顶点A作高线和角平分线，若与的夹角为，且，求的度数； （2）如图1，已知，，请用尺规作图，在图2画出，使，，并证明． 【答案】（1）或；（2）见详解 【分析】（1）题考查了三角形内角和定理、直角三角形性质以及角平分线性质，要注意分类讨论． （2）题考查尺规作图以及全等三角形的判定与性质，通过尺规作图构造全等三角形，再利用全等三角形性质得出对应角相等． 【详解】解：（1）当在内时， 是高线，，在中， ， 又， ， 是角平分线， ， ； 当在内时， 是高线，，在中， ， 又， ， 是角平分线， ， ； （2） 如图，以为圆心，长为半径画弧，交的一边为；再以为圆心，长为半径画弧，交的另一边为，连接；即为所求作的三角形． 在和中， ， ， ． 【点睛】本题考查了三角形的内角和定理，直角三角形的性质，角平分线的性质，尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是正确应用三角形内角和定理和直角三角形的性质． 【例2】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，D为外部一点，连接，已知． (1)尺规作图：在内求作一点M，使；（提示：以点A为圆心，为半径画弧；再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接） (2)①通过作图可以得到： ， ； ②判定的依据是 （从或中选填）； (3)求． 【答案】(1)见解析 (2)①；② (3) 【分析】本题考查作图—复杂作图、全等三角形的判定与性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）根据题意，以点A为圆心，为半径画弧，再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接即可． （2）①根据题意可得答案．②结合全等三角形的判定可得答案． （3）结合全等三角形的判定可得，在中，，在中，，则可得． 【详解】解：（1）如图，点M即为所求． （2）①通过作图可以得到：． 故答案为：；． ②判定的依据是． 故答案为：． （3）在中，， 在中，． ∵， ∴． ∴． 1，（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了基本的尺规作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握基本的尺规作图和全等三角形的判定定理． 通过尺规作图操作得出相等的边，然后利用边边边证出两个三角形全等，利用全等三角形的性质即可求解． 解：通过尺规作图操作可得， 又， ∴ 所以= 故选：B． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 【答案】任务1：①见解析 ；②； 任务2：①90； ②． 【分析】本题考查应用与设计作图，全等三角形的判定和性质，解题的关键是掌握相关知识解决问题． 任务一：根据作出三角形即可； 任务二：①猜想：； ②利用平行线的性质以及角平分线的定义证明即可． 【详解】解：任务一： ①如图1中，即为所求； ②依据是：， 故答案为：； 任务2： ①猜想：． 故答案为：90； ②， ， ， ， 平分，平分， ，， ， ． 3.（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，． （1）在图1中，尺规作图：作直线（保留作图痕迹．不写作法）； （2）如图2，在（1）的条件下，延长至点，使得，过点作交直线于点，求证：． 【答案】（1）见分析；（2）见分析 【分析】本题考查尺规作图—作平行线，全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键： （1）根据内错角相等，两直线平行，过点作一个角等于，即可； （2）证明，即可得证． 解：（1）由题意，作图如下： （2）证明：， （两直线平行，同位角相等）， ， 在和中， ， （全等三角形的对应边相等）． 4.（24-25七年级下·上海·期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是 ． 【答案】 【分析】本题考查了作图-基本作图，全等三角形的判定与性质，熟练掌握三角形全等的判定定理是正确解答本题的关键． 由作法易得，依据定理得到，由全等三角形的对应角相等得到． 解：由作图方法可知， 在与中， ， ∴， ∴（全等三角形的对应角相等）． 故答案为：． 【经典例题十三 倍长中线模型】 【例1】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【答案】C 【分析】延长至，使得，连接．则，先根据定理证出，根据全等三角形的性质可得，再利用三角形的三边关系求解即可得． 【详解】解：如图，延长至，使得，连接．则， 为边上的中线， ， 在和中， ， ， ∴ 在中，，即， 解得， 故选：C． 【点睛】本题考查了三角形全等的判定与性质、三角形的三边关系，通过作辅助线，构造全等三角形是解题关键． 【例2】（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 (1)如图1，请写出的取值范围是 ； (2)如图2，已知中，平分，且，求证：． 【答案】(1)； (2)见解析． 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的定义，三角形三边关系，等腰三角形的判定等知识，熟练掌握以上知识是解题的关键． （1）由三角形三边关系可得出答案； （2）延长到点E，使，连接，证明，得出，，证出，则可得出结论． 【详解】（1）解：由题意知，， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， 故答案为：； （2）证明：如图，延长到点E，使，连接， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）在中，是边上的中线，，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查全等三角形的判定及性质和三角形三边关系．作出图形，延长到E，使，连接，证明，从而可得，在中，再利用三角形三边的关系，即可求解． 【详解】解：延长到E，使，连接， ∵， ∴， ∴， 在中，， 即， ∴． 故选：C． 2．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，，，是边上的中线，则的取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了三角形的三边关系，全等三角形的判定与性质，延长到E，使，由“”可证和全等，可得，然后根据三角形任意两边之和大于第三边，两边之差小于第三边求出的取值范围，然后即可得解． 【详解】解：如图，延长到E，使，连接， ∵是边上的中线， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， ∴， 即， ∴． 故答案为：． 3．（23-24八年级上·重庆永川·期中）在中，，则的中线取值范围是 ． 【答案】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形三边不等关系，证明三角形全等是解题的关键．延长到F，使，连接，则易证明，有；利用三角形三边不等关系得，由此即可求得中线取值范围． 【详解】解：如图，延长到F，使，连接， 则； ∵为的中线， ∴； ∵， ∴， ∴； 在中，由三角形三边不等关系得， 即， ∴， ∴． 故答案为：． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：． 证明：如图①，延长到点E，使． 在和中， （________）； （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是________； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图②，在中，是的中线，，且，求的长． 【答案】（1）已知，对顶角相等，，；（2）；（3）6 【分析】本题是三角形的综合题和倍长中线问题，主要考查的是全等三角形的判定和性质、三角形的三边关系等知识，掌握全等三角形的判定定理和性质定理是解题的关键． （1）延长到点，使，由“”可证； （2）由全等三角形的性质可得，由三角形的三边关系可求解； （3））延长交的延长线于F，由“”可证，则，，证明，得，根据，即可得的长． 【详解】解：（1）证明：延长到点，使， 在和中， ， ； 故答案为：已作，对顶角相等，，； （2）由（1），得，且，， ． 在中，． 又 ． 故答案为：． （3）如图，延长交的延长线于点． ， ． 在和中， ， ． 又且， ， ， ． 故的长是6． 【经典例题十四 其他模型】 【例1】通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． (2)如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 【答案】(1)见解析； (2)50 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，同(等)角的余(补)角相等的应用、全等的性质和（）综合． （1）证明，即可得证； （2）同（1）法得到，，分割法求出图形面积即可； 【详解】（1）解：证明：， ， ，， ， ， ， 在和中， ∴， ∴． （2）类比（1）可知，，， ，，，， 则 ． 【例2】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型． （1）已知，，请在上图2中选择其中一个模型进行证明，． 【模型应用】 （2）如图3，正方形中，，，求的面积（提示：延长，过C作延长线的垂线，垂足为F），请在答题卡对应的图中画出辅助线并完成解答． （3）如图4，四边形中，，，，，，，求的面积． 【答案】（1）证明见解析（2）；（3） 【分析】本题考查了全等三角形的性质和判定，解答关键是在题目应用全等模型进行证明． （1）应用证明三角形全等即可； （2）过C作延长线的垂线，垂足为F，证明，得到，求的面积即可； （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为G、H，证明，得到边上的高为1，求的面积即可； 本题考查了全等三角形的性质和判定，解答关键是在题目应用全等模型进行证明． （1）应用证明三角形全等即可； （2）过C作延长线的垂线，垂足为F，证明，得到，求的面积即可； （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为G、H，证明，得到边上的高为1，求的面积即可； 【详解】证：（1）选第一个图形可证 ∵ ∴， ∴， 在和中 ∴； 选第二个图形可证 ∵ ∴， ∴， 在和中 ∴； （2）过C作延长线的垂线，垂足为F， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， 即边上的高为4， ∴． （3）分别过C和E作延长线的垂线、，垂足分别为为G、H， ∴， ∴， ∵， ∴ ∵ ∴， ∴， ∵，， ∴， ∴四边形是长方形， ∴， ∴， ∴，即边上的高为1， ∴． 1．已知：如图，与有一个公共顶点，将绕点旋转如图位置，如果，，，那么与相等吗？证明你的结论． 【答案】，证明见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，证明即可得到． 【详解】解：，证明如下： ， 即， 又，， ， ． 2．如图，画，并画的平分线．    (1)将三角尺的直角顶点落在的任意一点处，使三角尺的两条直角边与的两边分别垂直，垂足分别为、（如图①），则 ；（填“”“ ”或“”） (2)把三角尺绕着点P旋转（如图②），两直角边分别与、交于点E、F，那么与相等吗？试猜想与的大小关系，并说明理由． 【答案】(1)= (2)，理由见解析 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质、角平分线的性质： （1）利用角平分线的性质即可求解； （2）过作于，于，利用角平分线的性质及可得，进而可求解； 熟练掌握相关判定及性质是解题的关键． 【详解】（1）解：∵平分，，， ， 故答案为：． （2），理由如下： 过作于，于，如图②所示：    则， ，平分， ， ， ， ， ， 由（1）得，， 在和中， ， ， ． 3．（23-24九年级上·重庆渝中·期中）如图所示，等腰直角中，，点是延长线上一点，连接，点是上一点，连接，交于点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，过点作于点，若，试猜想、、之间的关系并推理说明； (3)如图3，在（2）的条件下，若为射线上一动点，为等腰直角三角形，且，点为中点，若，，请直接写出的最小值． 【答案】(1) (2) (3)的最小值为 【分析】（1）作交于，根据等腰直角三角形的性质，可推出，即知，通过三角函数求出、，从而求出，继而求出，则的值即可解出． （2）作交于，根据已知条件先证明，得出，，，根据角度关系推出，从而证明四边形是矩形，根据，可知，可证明，即有，则矩形是正方形，所以，则． （3）连接并延长，作关于直线的对称点，连接，交延长线于，作交于，连接、、、、、、，交于，根据是等腰直角三角形，是的中点，可知，同时，可知当点运动时，始终成立，即点在射线上运动，再根据关于直线对称，可知，且当点位于的连线上时，等号成立．根据求出，结合三角函数可逐步推出，再根据三角函数求出与的关系，从而求出和，，和，根据值，依次求出和，根据勾股定理求出，即可得到的最小值． 【详解】（1）解：作交于，如图1： ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴． （2）解：，理由如下： 作交于，如图2， 在和中， ， ∴ ∴，，， ∴， ∴， 在四边形中，， ∴， ∴四边形是矩形， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴四边形是正方形， ∴， ∴． （3）解：连接并延长，作关于直线的对称点，连接，交延长线于，作交于，连接、、、、，交于，如图所示： ∵是等腰直角三角形，，是的中点， ∴， ∴， ∵是等腰直角三角形，， ∴， ∴， ∴当点运动时，始终成立，即点在射线上运动， ∵关于直线对称， ∴， ∴，且当点位于的连线上即与点重合时，等号成立． ∵，， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴， 由（2）知，,， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， 即， ∴， ∴，， ∴， ∴，， ∴，， ， ∵ ∴， ， ∴， ∴， ∴的最小值为． 【点睛】本题考查等腰直角三角形的性质，三角函数，矩形的判定和性质，正方形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，“将军饮马”的模型，熟练掌握等腰三角形的性质，矩形的判定与性质，“将军饮马”模型的应用是解题的关键． 4．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 【答案】（Ⅰ）见解析；（Ⅱ）见解析；（Ⅲ）AF＝AD+BD 【分析】（Ⅰ）先判断出∠ACF＝∠AEG，再用同角的余角相等判断出∠CAF＝∠EAG，即可得出结论； （Ⅱ）先用ASA判断出△ACM≌△ABD，得出AM＝AD，CM＝BD，由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC，得出∠AGE＝∠AFC，再判断出CM∥AB，得出∠MCF＝∠AGC，进而判断出MF＝CM，即可得出结论； （Ⅲ）同（Ⅱ）的方法，即可得出结论． 【详解】解：（Ⅰ）∵AC＝AE， ∴∠ACF＝∠AEG， ∵AF⊥AD， ∴∠DAF＝90°＝∠CAB， ∴∠DAF﹣∠FAG＝∠CAB﹣∠FAG， ∴∠CAF＝∠EAG， 在△AGE和△AFC中， ， ∴△AGE≌△AFC（ASA）； （Ⅱ）如图1，过点C作CM⊥AC，交AF延长线于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠AGE＝∠AFC， ∴180°﹣∠AGE＝180°﹣∠AFC， ∴∠AGC＝∠AFG， ∵∠CFM＝∠AFG， ∴∠AGC＝∠CFM， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴∠BAC+∠ACM＝180°， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠AGC， ∴∠CFM＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AM＝AF+CM， ∴AD＝AF+BD； （Ⅲ）AD＝AF﹣BD； 过点C作CM⊥AC，交AF于点M， ∴∠ACM＝90°＝∠ABD， 由（Ⅰ）知，∠CAF＝∠EAB， 在△ACM和△ABD中， ， ∴△ACM≌△ABD（ASA）， ∴AM＝AD，CM＝BD， 由（Ⅰ）知，△AGE≌△AFC， ∴∠G＝∠F， ∵∠BAC＝90°＝∠ACM， ∴CM∥AB， ∴∠MCF＝∠G， ∴∠F＝∠MCF， ∴MF＝CM， ∴AF＝AM+CM＝AD+BD， 故答案为：AF＝AD+BD． 【点睛】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，结合平行线的判定与性质证明是解题的关键． 【经典例题十五 全等三角形综合问题】 【例1】（24-25七年级下·上海普陀·阶段练习）下列命题中，假命题是（   ） A．面积相等的两个三角形全等 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形的周长相等 D．两角对应相等且其中一组等角对边上的高相等的两个三角形全等 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质．逐一分析即可． 【详解】解：选项A：面积相等的两个三角形不一定全等．例如，底和高分别为4和3的三角形与底和高分别为6和2的三角形面积均为6，但形状不同，不全等．因此A是假命题； 选项B：全等三角形能够完全重合，所有对应边和对应角均相等，面积必然相等．B是真命题； 选项C：全等三角形的对应边长度相等，周长由各边之和决定，因此周长相等．C是真命题； 选项D：两角对应相等且其中一组等角对边上的高相等的两个三角形全等．D是真命题； 故选：A． 【例2】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度． 【答案】教学楼的高度为 【分析】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法是解本题的关键．先证明，再结合证明，即可得到结论． 【详解】解：∵和的夹角为， ∴． ∵， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴． ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 答：教学楼的高度为． 1．（23-24八年级下·山西·期末）如图（1），已知，为的平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为的平分线上两点，连接，，，；如图（3），已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，； ，以此规律，第个图形中全等三角形的对数是（  ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题主要考查了三角形全等的判定以及规律的归纳，根据条件可得图中有对三角形全等；图中可证出，，有对三角形全等；图中有对三角形全等，根据数据可分析出第个图形中全等三角形的对数． 【详解】解：因为是的平分线，所以． 在与中， ， 所以， 所以题图（1）中有1对全等三角形． 同理，题图（2）中，，所以． 因为，所以． 又因为，所以， 所以题图（2）中有3对全等三角形． 同理，题图（3）中有6对全等三角形 …… 由此发现：第个图形中全等三角形的对数是． 故选：C． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，，，，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②③④ 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，找出图形中的全等三角形是解题关键．证明出，可判断①②结论；证明，可判断③结论；证明，可判断④结论． 【详解】解：，，， ， ，，，②结论正确； ， ，即，①结论正确； ，，， ，③结论正确； ， ， ， 又，， ， ，， 但无法证明，④结论错误； 故选：A． 3．（24-25八年级上·四川广元·阶段练习）如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以1厘米每秒的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动 秒时，三角形与点P、N、B为顶点的三角形全等（时间不等于0）． 【答案】4或8或 【分析】本题考查了三角形全等的判定，运用分类讨论思想解答是解题的关键． 首先要分两种情况：①当P在线段上时，②当P在上，再分别分两种情况或进行计算即可． 【详解】解：①当P在线段上，时，与全等， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）； ②当P在线段上，时，与全等， 这时，因此时间为0秒；（不符合题意，舍去） ③当P在上，时，与全等， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）； ④当P在BQ上，时，与全等， ， ， ， 点P的运动时间为（秒）， 故答案为：4或8或． 4．（2025·广东茂名·二模）综合与实践 【项目主题】池塘不可达距离的测量方案设计 【项目背景】 在数学项目式学习活动中，需测量池塘两侧A、B两点间的距离（无法直接测量）．如1图．现提供皮尺（量程）、测角仪等工具，要求设计几何测量方案． 【实践操作】 方案一（帽檐观测法） 1、如题2图，在点附近选取观测点，使、、三点共线； 2、调整帽子帽檐D，使视线通过帽檐上沿恰好对准点；（忽略眼睛与帽檐距离） 3、保持头部姿势不变，原地旋转，此时视线通过帽檐上沿落在点处； 4、用皮尺测得． 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)设计一个与方案一不同的测量方案，在3图中绘制几何图形，标明需测量的数据（如角度，线段长度等），并推导的表达式． 【答案】(1) (2)方案与图见解析， 【分析】本题考查的是全等三角形的应用的应用； （1）如图，连接．证明，即可求解． （2）（方法不唯一）方案二：1、如图，取一个可以直接到达A点和B点的点C；2、连接并延长到，使；连接并延长到，使；3、连接并测量出它的长度的长度就是间的距离．证明，即可解答． 【详解】（1）解：如图，连接． 由原地旋转可得， 又， ， ； （已知）； ； 故：A、B两点间的距离为． （2）解：（方法不唯一）方案： 1、如图，取一个可以直接到达A点和B点的点C； 2、连接并延长到，使；连接并延长到，使； 3、连接并测量出它的长度的长度就是间的距离． 证明：，，（对顶角相等）， ， ． 【拓展训练一 三角形全等SSS相关问题】 【例1】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）【新考向】下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 如图，于点E，于点F．求证：． 证明：连接，如图， 在和中，， （_____），_______， ， ． 若以上解答过程正确，，应分别为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，角平分线的性质，熟练掌握相关基本性质是解题的关键． 根据全等三角形的判定与性质，角平分线上的点到角两边的距离相等，即可求解． 【详解】解：证明：连接，如图所示， ， 在和中，， ， ， ， ． 故选：B． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）课本告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点为圆心，线段长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴___________． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是___________．（填序号） ①；②；③；④ 【答案】(1)； (2)④． 【分析】本题考查了利用定理判定三角形全等，熟练掌握三角形全等的判定方法是解题关键． （1 ）先根据作图可知，再根据三角形全等的判定定理即可得； （2 ）根据三边对应相等的两个三角形是全等三角形即可得． 【详解】（1）证明：由作图可知，在和中， ， ∴． 故答案为：． （2）这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是， 故答案为：④． 1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）年月日—月日，河南宜阳举办“洛水昌谷风筝节”，三十余种大型风筝，形态各异，色彩斑斓．如图，这是小颖目测的一个风筝骨架，她根据，，不用测量就知道，小颖是通过全等三角形的知识得到的结论，则小颖判定三角形全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形判定和性质，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定和性质． 根据即可证明，可得； 【详解】解：在和中， ， ， ； 故选：A 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）雨伞在开合过程中某一时刻截面图如图所示，伞骨，点分别是的中点，是支架，且，在将伞打开的过程中，总有，这里得到两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】此题考查了全等三角形的判定．证明，又由，，即可证明． 【详解】解：∵，点分别是的中点， ∴， ∵，， ∴， 故选：C 3．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，，，，，如果存在E，使与全等，那么符合条件的点E有 个． 【答案】4 【分析】本题主要考查全等三角形的判定，画出图形，根据可判断三角形全等，从而可解答本题． 【详解】解：如图， 由图可知，使与全等符合条件的点E有4个， 故答案为：4． 4．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫作格点，点，点，点在格点上． (1)画出的边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为________； (4)以为一边作（点与点不重合），使之与全等，这样的格点有________个． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 (3)5 (4)3 【分析】本题主要考查了网格作图，全等三角形的判定，三角形高，中线的概念，以及三角形面积求法，掌握概念是解本题的关键． （1）延长，过B作于D，即可得到答案； （2）结合网格信息，根据中线的定义可得E点，连接即可得到答案； （3）根据三角形面积公式即可得到答案． （4）根据全等三角形的判定和网格的特点作图即可． 【详解】（1）解：如图，即为所求； （2）解：如图，即为所求， （3）解：； （4）如图，以为一边作（点与点不重合），使之与全等，这样的格点有3个． 【拓展训练二 三角形全等SAS相关问题】 【例1】（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）如图，已知，，，若点，，在一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题重点考查全等三角形的判定与性质、三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和等知识，证明是解题的关键． 设交于点，由，得，而，，即可根据“”证明，得，由，且，推导出，于是得到问题的答案． 【详解】解：设交于点， ， ， 在和中， ， ， ， 点，，在一条直线上， ，且， ， ， 故选：． 【例2】（22-23八年级上·全国·期中）如图，已知，相交于点M．求证：． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定方法，是解题的关键，证明，得到，根据三角形的内角和定理，推出，即可得证． 【详解】证明：∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 设交于点， ∵，， ∴， ∴． 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图所示，，则（   ） A． B． C． D．无法计算 【答案】B 【分析】先通过角的等量代换找到全等三角形的条件，证明两个三角形全等，再利用全等三角形的性质和三角形外角的性质来求解的度数．本题主要考查了全等三角形的判定（）与性质，以及三角形外角的性质，熟练掌握全等三角形的判定条件和外角性质是解题的关键． 【详解】解： ，即 又，， ∴ ，，， 故选：B． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查三角形内角和定理，全等三角形的判定和性质，根据三角形内角和为180度求出，再证，即可求解． 【详解】解：中，，， ， ，，， ， ， 故选D． 3．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，，，若，则 度． 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定与性质，先利用判定，从而得出对应角相等，再利用角与角之间的关系从而求得所求的角为，解题的关键是熟练掌握全等三角形的判定方法． 【详解】解：在中，， ， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 故答案为：． 4．（22-23八年级上·全国·期中）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为． (1)与有什么关系？请说明理由． (2)连接，当线段经过点时，的值为 　 　． 【答案】(1)，，理由见解析 (2)或 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质、一元一次方程的应用，采用分类讨论的思想是解此题的关键． （1）证明，得出，，即可得解； （2）由题意可得，当时，，当时，，则， 由（1）得，，从而可得，证明，得出，再分两种情况分别列出一元一次方程，解方程即可得解． 【详解】（1）解：，，理由如下： 在和中， ， ∴， ∴，， ∴； （2）解：∵，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动， ∴，当时，，当时，，则， 由（1）得：，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 当时，， 解得：； 当时，， 解得：； 综上所述，当线段经过点C时，t的值为或． 故答案为：或． 【拓展训练三 三角形全等ASA相关问题】 【例1】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【答案】C 【分析】本题考查了角平分线的性质、全等三角形的判定与性质以及三角形面积的转化，解题的关键是通过延长线段构造全等三角形，将的面积与的面积建立等量关系． 延长交于点利用平分和证明得出且与面积相等；由可知与面积相等；通过面积转化可得的面积是面积的2倍，进而求出的面积． 【详解】延长交于点G． ∵ 平分 ∴． ∵ ∴． 在和中， ∴． ∴ ． ∵ ∴和等底同高（以、为底，高均为点C到的距离）， ∴． ∵ 且 ∴ ∵ ∴即． 故选：C． 【例2】（24-25六年级上·山东威海·阶段练习）小聪同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，，相交于O，．垂足为D，已知米，请根据上述信息求标语的长度． 【答案】 【分析】本题考查了平行线的性质和全等三角形的判定和性质，灵活选用判定三角形全等的方法是解题的关键．利用平行线的性质和题意证明，根据全等三角形的对应边相等即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∵相邻两平行线间的距离相等， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 答：标语的长度为． 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 【答案】A 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，根据同角的余角相等，得到，证明，进而得到，线段的和差关系求出的长即可． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴； 故选A． 2．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，点E、F在边上，点P在四边形的内部，且，，，若，，，则四边形的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 【答案】C 【分析】此题重点考查同角的余角相等、全等三角形的判定与性质等知识，作于点G，可证明，得，，而，所以，再证明，得，所以，求得，于是得到问题的答案，正确地作出辅助线构造全等三角形是解题的关键． 【详解】解：作于点G，则， ∵， ，，， ∴， 四边形是梯形， ， ∴， ∴， ， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∵， ∴， ∵， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：C． 3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知，为的中点，若，，则 ． 【答案】3 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，根据平行线的性质得出，再根据对顶角相等得到，证明，进而利用全等三角形的判定与性质得出答案． 【详解】解：∵， ∴， ∵为的中点， ∴， 在和中 ， ∴， ∴， ∴． 故答案为：3． 4．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，中，，，点为直线上一动点，连接，作且．（位于的上方） (1)在线段上时， 如图，过点作交于点，求证：，并写出和的数量关系； 如图，连接交于点，若，求证：点为中点； (2)连接与直线交于点，若，请直接写出的值．（用含的代数式表示） 【答案】(1)证明见解析，；证明见解析； (2)． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等角的余角相等，掌握知识点的应用是解题的关键． （）通过全等三角形的对应边相等，可得结论； 过点作交于点，根据（）中结论可得，即可证明，可得，根据，推出，，即可解题； （）过作于点，根据全等三角形的性质得到，进行求解. 【详解】（1）证明：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，，且， ∴； 证明: 如图，过点作交于点， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴为的中点； （2）解：如图中，过作于点，，， 由（）（）知：，， ∴，， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴． 【拓展训练四 三角形全等综合证明及应用】 【例1】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论： ；；；；． 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】先证明，进而依据“”判定和全等得，，由此可对结论进行判断； 设与交于点，与交于点，根据三角形内角和定理得，由此可对结论进行判断； 根据，得，由此可对结论进行判断； 过点作交的延长线于点，证明和全等得，进而再证明和全等得；由此可对结论进行判断； 由和全等得，进而得，再由和全等得，由此可对结论进行判断，综上所述即可得出答案． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，熟练掌握全等三角形的判定和性质，三角形的内角和定理，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：， ， ， 在和中， ， ， ，， 故结论正确； 设与交于点，与交于点，如图所示： 在中，， 在中，， ，，， ， ， 故结论正确； ， ， 在中，是边上的高， ， ， 故结论正确； 过点作交的延长线于点，如图所示： ，，， ， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， 在和中， ， ， ； 故结论正确； ， ， ， ， ， ， ， 故结论正确， 综上所述：正确的结论是，共个， 故选：D． 【例2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，中，分别是边上的点，． (1)若，求证：； (2)把（1）中的条件和结论反过来，即若，则，这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 【答案】(1)见解析 (2)成立，见解析 【分析】本题是三角形综合题，考查了角的和差，全等三角形的判定与性质，三角形的外角与不相邻两个内角的关系，重点掌握全等三角形的判定与性质，难点作辅助线构建全等三角形． （1）证明即可； （2）过点、分别作于点M，于点N，证明，得到，再结合条件可以证明，进而得到即可求解． 【详解】（1）解：如图1所示： 由三角形的外角定理可知：， 且，， ， 在和中，， ； （2）解：成立，理由如下： 过点、分别作于点M，于点N，如图2所示： ，， ， 又， 在和中， ． ， 又， ， ， 又，． ． 即若，则此命题成立． 1．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分，，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 【答案】B 【分析】连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，证明，得，再证明得，进而得，由此即可得出的长． 此题主要考查了全等三角形的判定和性质，理解角平分线的定义，线段中点的定义，熟练掌握全等三角形的判定和性质是解决问题的关键，正确地添加辅助线构造全等三角形是解决问题的关键． 【详解】解：连接并延长交于点F，在的延长线上取一点H，使，连接，如图， ∵点为的中点，，， ∴， ∵ ， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∴， ∴， ∴， 故选：B． 2．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在和中，，点分别在上，与交于点，连接．若，则图中的全等三角形一共有（   ） A．对 B．对 C．对 D．对 【答案】C 【分析】本题考查了全等三角形的判定和性质，由三角形内角和定理可得，进而可得，得到，，即得，进而可推出、和，即可求解，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， 即， 在和中， ， ∴， 综上，图中的全等三角形一共有对， 故选：． 3．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，于点分别是线段，射线上的动点，点P从点A出发，以的速度向点C匀速运动，点Q在射线上随之运动，且．设点P的运动时间为，则当 时，以点为顶点的三角形和全等． 【答案】2或4 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，解题的关键是分情况讨论，根据全等三角形对应边相等求出的长度，进而得出的值． 因为，所以分两种情况讨论：和，根据全等三角形对应边相等求出的长，再结合点的运动速度求出． 【详解】解： 情况一：， 此时， 已知，点的速度是，的长度就是点运动的路程，则， 把代入，可得（秒）； 情况二： 此时． 已知，， 把代入，可得（秒）． 综上，当或4时，以点为顶点的三角形和全等． 故答案为：2或4． 4．（24-25八年级下·山东日照·开学考试）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______________________________________________________； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，，点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 【答案】（1）（2）仍成立，理由见解析；（3），证明见解析 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及性质的综合应用，解决问题的关键是作辅助线构造全等三角形，根据全等三角形的对应角相等进行推导变形．解题时注意：同角的补角相等． （1）延长到点G，使，连接，可判定，进而得出，，再判定，可得出，据此得出结论； （2）延长到点G，使，连接，先判定，进而得出，，再判定，可得出； （3）在延长线上取一点G，使得，连接，先判定，再判定，得出，最后根据，推导得到，即可得出结论． 【详解】解：（1）如图1，延长到点G，使，连接， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴． 故答案为：； （2）仍成立，理由如下： 如图2，延长到点G，使，连接， ∵ ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴； （3），证明如下： 如图3，在延长线上取一点G，使得，连接， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 即， ∴． 1．（24-25七年级下·山东·期末）数学兴趣小组计划用一根米的标杆测量旗杆的高度．他们的方案如下：如图，在旗杆前空地上选取一点P，使点P到旗杆底端B的水平距离为米，此时测得，然后前后移动标杆（在移动过程中始终保持点B，P，C在同一条直线上），使得，此时测得标杆底端C到旗杆底端B的水平距离为米．根据以上信息，可求得该旗杆的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．21米 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的应用，熟练掌握全等三角形的判定和性质定理是解题的关键． 根据垂直的定义得到，根据余角的性质得到，根据全等三角形的判定和性质定理即可得到结论． 【详解】解：∵， ， ， ， 在和中 ， ， 米， 答：该旗杆的高度是米， 故选：A． 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图是设计师为公园设计的一座斜拉桥的剖面图，是桥面，是桥柱，设计大桥时要保证桥柱和桥面是垂直的，且两根钢绳，与桥面的夹角相等，则下列说法中不正确的是（   ） A． B． C．为的中点 D． 【答案】B 【分析】本题考查了全等三角形的判定及性质，熟练掌握性质定理是解题的关键． 先利用证明，再根据全等三角形的性质逐一判断即可得出答案． 【详解】解：由题意，得，， 在和中， ， ，故选项A不符合题意； ，即为的中点，故选项C不符合题意； ，故选项D不符合题意； 不能得出与的数量关系，故B选项符合题意； 故选：B． 3．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）沙燕风筝以深厚的文化底蕴、高超的制作技艺著称，已被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图案中，若，则添加如下的一个条件仍不能证明的是（　　）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查三角形全等的判定方法．判定两个三角形全等的一般方法有：、、、、，根据全等三角形的判定定理分别进行分析即可． 【详解】解：A、添加，可利用证明，故此选项不符合题意； B、添加可得，可利用证明，故此选项不符合题意； C、添加，它们不是对应边的夹角相等，不能证明，故此选项符合题意； D、添加，由可得，故此选项不符合题意； 故选：C． 4．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】此题主要考查了全等三角形的应用，正确掌握全等三角形的判定方法是解题关键． 直接利用全等三角形的判定方法（），进而判断得出即可． 【详解】解：在和中， ，，（对顶角相等 ）， ∴． 故选：B ． 5．（2025·浙江金华·二模）如图，是边长为1的正三角形，点D，E分别是边，上的动点，连结，交于点F，且．作于点G，于点H．下列两条线段的和，不随D，E的运动而改变的是（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设，在中，，则，，证明得出，则，在中，根据得，进而由勾股定理得，则，据此即可得出答案． 【详解】解：设， ∵是等边三角形，且边长为， ∴，， ∵，， ∴和都是直角三角形， 在中，， ∴，， ∵是的外角，且， ∴， ∵， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在中，， ∴， ∴， ∴， ∴的值不随、的运动而改变，始终是， 故选：D． 【点睛】此题主要考查的是等边三角形的判定和性质，全等三角形的判定与性质，理解等边三角形的性顾，熟练掌握全等三角形的判定和性质，灵活利用含有角的直角三角形的性质及勾股定理进行计算是解决问题的关键． 6．（22-23七年级下·上海虹口·期末）已知两个三角形有一个角及这个角的一条邻边对应相等，若再增加以下某个条件，则不能判断这两个三角形全等的是（    ） A．这条边上的高对应相等 B．这条边上的中线对应相等 C．这个角的角平分线对应相等 D．这个角的另一条邻边对应相等 【答案】B 【分析】根据各选项提供的条件，分别画出图形，结合全等三角形的判定与性质逐一分析即可． 【详解】解：如图，由题意得：，， 增加：高高，    ∴， ∴， ∴， ∴，故A不符合题意； 增加：角平分线，    由角平分线的性质可得：，而， ∴， ∴，而，， ∴，故C不符合题意； 增加：，      显然：，故D不符合题意； 增加：中线，    无法证明全等，无法证明全等， ∴得不到全等，故B符合题意； 故选B 【点睛】本题考查的是全等三角形的判定与性质，熟记全等三角形的判定方法与性质是解本题的关键． 7．（2022·河北石家庄·一模）在中，，，点为线段上一点，以为一边构造，，，下列说法正确的个数是（    ） ①图中和相等的角有2个（不含）；②若不添加线段，图中共有5对相似三角形；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 【答案】D 【分析】根据等腰直角三角形的性质及相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理进行证明即可得出答案． 【详解】在中，，，在，，， ， ， ，即， ， 在和中， ， ， ，故图中和相等的角有2个（不含），①正确； ， ， ， ，故若不添加线段，图中共有5对相似三角形，②正确； ，即，故③正确； 连接CD， ， ， ， ， ， ， ，故④正确； 综上，说法正确的由①②③④； 故选：D． 【点睛】本题考查了等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定和性质，全等三角形的判定和性质及勾股定理，熟练掌握知识点是解题的关键． 8．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 【答案】B 【分析】本题主要考查全等三角形的性质，解答本题的关键是熟练掌握全等三角形的判定定理． 先证明，即可证明得到，即可判断①②；设于的交点为E，在中由三角形外角的性质可得，在中由三角形外角的性质可得，则，即可判断③，无法得出，进而判断④． 【详解】解：在和中，，， ∴， 即， 在和中， ， ∴， ∴，，故①正确，符合题意； ∴，故②正确，符合题意； 设与的交点为E， 在中由三角形外角的性质可得， 在中由三角形外角的性质可得， ∴， ∴，故③正确，符合题意； 同理可得，而未知，则未知，故④不一定正确， 故选：B． 9．(23-24八年级上·江苏南通·期中）下列选项所给条件能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定以及三角形三边关系，正确把握全等三角形的判定方法是解题关键． 利用全等三角形的判定方法以及三角形三边关系分别判断得出即可． 【详解】解：A、，不符合三角形三边关系定理，即不能画出三角形，故本选项不符合题意； B、，根据能画出唯一，故本选项符合题意； C、，不能根据条件画出唯一三角形，故本选项不符合题意； D、，不能根据条件画出唯一三角形，故本选项不符合题意． 故选：B． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，、相交于点O，．若再补充一个条件，使得能直接利用“”判定，则需要补充的条件是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了全等三角形的判定定理的应用，注意：全等三角形的判定定理有，，，，． 根据可以推出两三角形全等，可判断A；根据可以推出两三角形全等，可判断B；根据可以推出两三角形全等，可判断C；根据与 不是对应边，不能推出两三角形全等，可判断D． 【详解】 解：A、在和中 ，正确，故本选项符合题意； B、在和中 ，故错误，，故本选项不符合题意； C、∵在和中， ， 故错误，本选项不符合题意； D、在和中， ，，，但与 不是对应边， ∴和不全等， 故错误，本选项不符合题意； 故选：A． 11．（22-23八年级上·全国·期中）如图所示，小明设计了一种测零件内径的卡钳．在制作卡钳时，他先找来两根钢条，，并在两根钢条上找到各自的中点M，N，然后将两根钢条的中点M，N重合固定在一起，使，可以绕固定点自由转动．若测得．则该零件的内径 ，在上述过程中，所用到的判定三角形全等的依据是 ． 【答案】 3 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，由题意可得，，再证明，即可得解，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点M，分别是，的中点， ∴，， 在与中， ， ∴， ∴， 故该零件的内径，在上述过程中，所用到的判定三角形全等的依据是， 故答案为：3，． 12．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、在外部，，，图中与线段一定相等的线段是 ． 【答案】/ 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解题的关键是熟练掌握三角形全等的判定方法，，，，，．证明，得出即可． 【详解】解：∵在和中 ， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 【答案】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定，尺规作图—作三角形，根据作图方法可得，据此根据全等三角形的判定定理即可得到答案． 【详解】解：由作图方法可得， ∴， 故答案为：． 14．（24-25七年级下·河南郑州·期末）在学习完“探索三角形全等的条件”这节课后，某班学生总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给班里学生解决：如图，做一个“U”字形框架，其中，足够长，于点A，于点B，点D从点B出发向点A运动，同时点E从点B出发向点N运动，且D，E运动的速度之比为，当个两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为 ． 【答案】或 【分析】本题考查了全等三角形的判定（）及性质，解题的关键是分两种情况讨论三角形全等时对应边的相等关系． 设运动速度和时间，表达出相关线段长度；​由垂直得直角，确定全等所需的角的条件；​分两种对应边相等的情况，利用判定全等；​列方程求出相关量，进而得到的长度． 【详解】解：设点D，E运动的速度分别为，，它们运动的时间为，则，，， 于点A，于点B， ， 当，时，， 即， ， ； 当，时，， 即， ， ； 综上所述，的长为或 故答案为：或 15．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，，为平面上一点，，若，则的面积为 ． 【答案】 【分析】此题主要考查了全等三角形的判定与性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，三角形的面积公式是解决问题的关键． 过点作于点，证明和全等得，再根据三角形的面积公式即可得出的面积． 【详解】解：过点作于点，如图所示： ， ， ，， ， ， ， 在和中， ， ， ， 的面积为：． 故答案为：． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是一把没有完全打开的伞的示意图，伞骨架，支撑杆，此时．在伞打开的过程中，始终平分，请用所学知识说明其中的道理． 【答案】见解析． 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，根据证明，根据全等三角形的性质即可得结论． 【详解】解：， ． 在和中， ， ， ∴平分， ∴在伞打开的过程中，始终平分． 17．（25-26八年级上·全国·单元测试）教材60页给出了如下问题：“如图，，分别是的对应边上的中线．与有什么关系？证明你的结论．” 通过对这道题的证明，我们可以得到一个真命题“全等三角形对应边上的中线相等”． 由此，我们猜想以下两个命题也是真命题． 命题1：全等三角形对应边上的高相等； 命题2：全等三角形对应角的平分线相等． 请你从中任选一个命题，画出图形，写出已知和求证，并进行证明． 【答案】见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定是解题的关键． 先根据全等三角形的性质，结合高或角平分线准备条件，再证明相关的三角形全等即可． 【详解】解：选择命题1．已知：如图，分别是，的对应边上的高．求证：． 证明：． ． 分别是的对应边上的高， ， ， ． 选择命题2．已知：如图，分别是和的角平分线．求证：． 证明：． ，． ∵分别是和的角平分线， ∴， ∴， ， ． 18．（24-25七年级下·福建三明·期中）如图，某公园广场边上有一座假山，小明想知道在假山两端的两点间的距离，于是他找来了可测百米之长的皮尺，但他发现因两点间有假山阻隔而无法直接测量．请你用所学的数学知识设计一个可行的测量方法，在本题图中用不带刻度的直尺与圆规画出你的测量方案示意图，并标注相应字母，用所学的数学知识说明你的方案的可行性． 【答案】见解析 【分析】本题考查了全等三角形的性质与判定，根据题意构造全等三角形，根据全等三角形的性质即可求解． 【详解】解：如图．在假山边上选一点O，连接并延长到点C使，连接并延长到点D使，连接，则．测量的长即为A，B两点间的距离． 因为，， 所以， 所以． 19．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，，，，点，分别在，上，，延长至点H，使得，连接．求证： (1)； (2)． 【答案】(1)见解析 (2)见解析 【分析】此题重点考查全等三角形的判定与性质，推导出，进而证明是解题的关键． （1）由，得，而，即可根据证明； （2）由全等三角形的性质得，推导出，因为，且，所以，而，即可根据证明，得，则． 【详解】（1）证明：，， ． 在与中 ． （2）由（1）得，， ，． ，， ． 在和中 ， ． ， ， ． 20．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）在中，是的角平分线，过点作，垂足为，连接． (1)【特例初探】如图①，当点与点重合时，若，则_________； (2)【类比归纳】如图②，当点在线段上时，的延长线交于点，请直接写出与的关系； (3)【拓展延伸】如图③，当点在线段BD延长线上时，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 【答案】(1)4 (2) (3)成立，见解析 【分析】本题考查全等三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，熟练掌握全等三角形的判定方法是解题的关键． （1）证明，得到，即可解答； （2）证出，得到，，从而得到，再利用面积的等量关系列式即可． （3）证出，得到，，从而得到，再利用面积的等量关系列式即可． 【详解】（1）∵是的角平分线， ∴， ∵, ∴ 在和中： ， ∴， ∴， ∴； 故答案为：； （2），理由如下： ∵是的角平分线， ∴， ∵, ∴， 在和中： ， ∴， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴； （3）成立，理由如下： 延长、交于点，如图所示： 由（2）同理可证：， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴． 学科网（北京）股份有限公司 $$ 专题04三角形全等的判定重难点题型专训 （5个知识点+15大题型+4大拓展训练+自我检测） 题型一 尺规作图——作三角形 题型二 用SSS证明三角形全等 题型三 用SSS间接证明三角形全等 题型四 全等的性质和SSS综合 题型五 用SAS证明三角形全等 题型六 用SAS间接证明三角形全等 题型七 全等的性质和SAS综合 题型八 用ASA（AAS）证明三角形全等 题型九 全等的性质和ASA（AAS）综合 题型十 添加条件使三角形全等 题型十一 灵活选用判定方法证全等 题型十二 结合尺规作图的全等问题 题型十三 倍长中线模型 题型十四 其他模型 题型十五 全等三角形综合问题 拓展训练一 三角形全等SSS相关问题 拓展训练二 三角形全等SAS相关问题 拓展训练三 三角形全等ASA相关问题 拓展训练四 三角形全等综合证明及应用 知识点一：三角形全等的判定方法——边边边（SSS） （1）基本事实：三边对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边边边”或“SSS”）. （2）书写格式：如图，如果＝AB，＝AC，＝BC，则△ABC≌△. 【即时训练】 1．（2025·浙江金华·三模）木工是古代社会中一种很重要的手工业，木工师傅积累的许多经验可以用数学知识解释．如画角平分线：如图，在已知的的两边分别取，将无弹性的绳子对折标记折痕（即绳子中点P），将绳子两端分别固定在点M、N处，从折痕点P处拉直绳子，点P在平面内，则平分．原理是构造全等三角形，根据全等三角形对应角相等得出．这里三角形全等的判定方法是（   ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江衢州·期中）如图，在四边形中，，，，则 °． 知识点二：三角形全等的判定方法——边角边（SAS） （1）基本事实：两边及其夹角分别对应相等的两个三角形全等.（可以简写成“边角边”或“SAS”）. （2）书写格式：如图，在△ABC和△中， 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江杭州·阶段练习）如图所示，若，，添加后就能直接利用“”证得的条件是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·浙江舟山·期末）如图，在中，，点D为边上一点，点E在边上，，，，则的度数为 ． 知识点三：三角形全等的判定方法——角边角（ASA） （1）基本事实：两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角边角”或“ASA”）. （2）书写格式：如图，在△ABC和△中， 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江温州·阶段练习）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（　　） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·全国·随堂练习）如图，点B，F，C，E在同一条直线上，并且，，当 时，． 知识点四：角形全等的判定方法——角角边（AAS） （1）基本事实：两个角和其中一个角的对边对应相等的两个三角形全等（可以简写成“角角边”或“AAS”） （2）要点：1.由三角形的内角和等于180°可得两个三角形的第三对角对应相等.这样就可由“角边角”判定两个三角形全等，也就是说，用角边角条件可以证明角角边条件，后者是前者的推论. 2.三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 如图，在△ABC和△ADE中，如果DE∥BC，那么∠ADE＝∠B，∠AED＝∠C，又∠A＝∠A，但△ABC和△ADE不全等.这说明，三个角对应相等的两个三角形不一定全等. 【即时训练】 1.（24-25八年级上·四川绵阳·期末）如图，根据图中的角度和边长，能判断这两个三角形全等的方法是（   ） A． B． C． D． 2.（23-24七年级下·福建漳州·阶段练习）一块三角形玻璃，被摔成如图所示的四块，小敏想去店里买一块形状、大小与原来一样的玻璃，借助“全等三角形”的相关知识，小敏只带了一块去，则这块玻璃的编号是 ． 知识点五：三角形全等的判定方法的选择 （1）选择哪种判定方法，要根据具体的已知条件而定，见下表： 已知条件 可选择的判定方法 一边一角对应相等 SAS AAS ASA 两角对应相等 ASA AAS 两边对应相等 SAS SSS HL （2）如何选择三角形证全等 （1）可以从求证出发，看求证的线段或角（用等量代换后的线段、角）在哪两个可能全等的三角形中，可以证这两个三角形全等； （2）可以从已知出发，看已知条件确定证哪两个三角形全等； （3）由条件和结论一起出发，看它们一同确定哪两个三角形全等，然后证它们全等； （4）如果以上方法都行不通，就添加辅助线，构造全等三角形. 【即时训练】 1．（24-25八年级上·浙江温州·期中）下列数据能唯一确定三角形的形状和大小的是（　　） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．（24-25八年级上·浙江宁波·阶段练习）如图，点、、、在同一直线上，于点，于点，连结，交于点，且为的中点，若，则下列结论：①；②；③；④，其中正确的是 （填序号）． 【经典例题一 尺规作图——作三角形】 【例1】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）根据下列已知条件，能画出唯一的的是（    ） A．， B．，， C．，， D．，， 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）作图题（要求：用尺规作图，保留作图痕迹，不写作法）． 已知：如图，线段a和． 求作：，使． 1．(2023广东深圳·一模）如图，在中， ，按如下步骤操作；①以点A为圆心，任意长为半径作弧，分别交、于D、E两点；②以点C为圆心，长为半径作弧，交的延长线于点F；③以点F为圆心，长为半径作弧，两弧交于点G；④作射线，若，则为（     ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·上海青浦·期末）如图，的三个顶点分别在小正方形的顶点（格点）上，称这样的三角形为格点三角形．那么图中与有一条公共边且全等（不含）的所有格点三角形的个数是（　　） A．5个 B．6个 C．7个 D．8个 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知线段a，c和，求作：，使，，，填空： （1）如图②，作 ； （2）如图③，在射线上截取 ，在射线上截取 ； （3）如图④，连接，即所求作的三角形． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图所示，已知和线段a，用尺规作一个三角形，使其一个内角等于，且夹这个角的两边分别为2a和a（保留作图痕迹，不写作法）． 【经典例题二 用SSS证明三角形全等】 【例1】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图是的正方形网格，以点为两个顶点作位置不同的格点三角形，使所作的格点三角形与全等，这样的格点三角形最多可以画出（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．6个 【例2】（23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，已知，，点A，D，B，F在一条直线上，，证明：． 1．（24-25七年级下·广东茂名·期中）如图，点C 在的边上，用尺规作图： ①以点O为圆心，以任意长为半径画弧，交于点D， 交 于点E； ②以点C 为圆心，以 的长为半径画弧，交于点F； ③以点F 为圆心，以的长为半径画弧，交前弧于点P； ④作射线；   下列结论不一定正确的是（   ） A． B． B． C． C． D． D． 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，下列三角形中，与全等的是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·全国·期中）尺规作图中蕴含着丰富的数学知识和思想方法． 如图，为了得到，在用直尺和圆规作图的过程中，得到的依据是 ． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，，你能找到一对全等的三角形吗？说明你的理由． 【经典例题三 用SSS间接证明三角形全等】 【例1】（2025·云南西双版纳·二模）如图，四点共线，，，．求证：． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知点A，B，C，D在同一条直线上，，，．求证：． 证明：∵（________）， ∴________________（________）， 即________________． 在和中，， ∴（________）． 1．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图：和中，；试说明． 2.（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、、在同一直线上，，，如果要运用“”来证明，可以添加的条件是 ．（只需写出一种情况） 3（24-25八年级下·湖南·期中）如图，在四边形中，，，，则 °． 4.（23-24八年级上·广西桂林·期中）如图，点A、E、B、D在同一条直线上，且． （1）求证：； （2）指出图中所有平行的线段，并说明理由． 【经典例题四 全等的性质和SSS综合】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，已知．利用直尺和圆规作，使，（点D与点C在的不同侧）． 1．（24-25九年级下·吉林长春·阶段练习）工人师傅常用角尺平分一个任意角 ．作法如下：如图所示， 是一个任意角，在边上分别取，移动角尺，使角尺两边相同的刻度分别与M，N重合，过角尺顶点 C的射线即是的平分线 ．这种作法的道理是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级下·内蒙古通辽·开学考试）如图是投影屏上出示的抢答题，需要回答括号里符号代表的内容． 如图，已知，求的度数． 解：在和中， ∴（▲）， ∴（全等三角形的★相等）， ∴， ∴． 下列说法正确的是（    ） A．▲代表 B．■代表 C．★代表对应边 D．※代表 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，若，则 ． 4．（25-26八年级上·全国·课后作业）如下图，，M，N分别是的中点．若的面积为，求图中阴影部分的面积． 【经典例题五 用SAS证明三角形全等】 【例1】（24-25八年级上·全国·期末）如图，，，由此可得下列哪组三角形全等（　　 ） A． B． C． D．没有三角形全等 【例2】(23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，，，，求证：． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）下图中全等的三角形有（   ） A．图1和图2 B．图2和图3 C．图2和图4 D．图1和图3 2．（25-26八年级上·全国·随堂练习）根据图中所给定的条件，可知全等三角形是（　　） A．①和② B．②和③ C．①和③ D．①和②和③ 3．(23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）如图，点D、C都在上，，，现要证明．若根据“”判定，则需增加条件 ． 4．（24-25八年级上·江苏南京·阶段练习）如图，已知，，，求证： 【经典例题六 用SAS间接证明三角形全等】 【例1】（24-25八年级上·山东聊城·阶段练习）如图，在的方格中，每个小方格的边长均为1，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 【例2】（24-25七年级下·陕西咸阳·期末）如图，点，，，在同一直线上，，，．试说明． 1．（2024·贵州遵义·三模）如图，是等腰直角三角形，，O是的中点，连接并延长至D，使得，连接和．①以点D为圆心，的长为半径画弧交于点E；②分别以点C、E为圆心，大的长为半径画弧，两弧交于点P；③作射线交于点F，接．若，则的长为（    ） A．2 B． C． D． 2．（24-25八年级上·河北石家庄·期中）如图，．点P在线段上以2的速度由点A向点B运动，同时点Q从点B出发在射线上运动，它们运动的时间为t（）（当点P运动结束时，点Q运动随之结束）．点Q的运动速度为 时，有与全等． 3．（24-25八年级上·全国·期末）已知：如图，点A、F、C、D在同一直线上，点B和点E分别在直线的两侧，且，，．求证：． 4．（2024·安徽合肥·三模）如图1，在矩形中，为边的中点，为的中点，的延长线交于． (1)分别记矩形的面积为的面积为，求的值； (2)如图2，连接，若，求证：； (3)如图3，连接，经过点的直线分别交于，交于，交于，若，求的值． 【经典例题七 全等的性质和SAS综合】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，，．若，，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】(23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）已知：如图，，，．试说明：． 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，，则的度数为（    ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·福建莆田·阶段练习）如图所示，，B，D，E三点在一条直线上，若，则的度数为（    ） A． B． C． D． 3．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，在中，，则的长为 ． 4．(23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，已知，连接．试问：图中线段与有何关系？并加以证明． 【经典例题八 用ASA（AAS）证明三角形全等】 【例1】（24-25八年级上·广东韶关·阶段练习）如图，小明不慎将一块三角形玻璃打碎为三块，他是否可以只带其中的一块碎片到商店去，就能配一块与原来一样的三角形模具吗？ 如果可以，带哪块去合适？（　　） A．1 B．2 C．3 D．任意一块 【例2】（25-26七年级上·全国·课后作业）如图，经过点于点于点E．求证：． 1．（24-25七年级下·陕西宝鸡·期末）如图，点C是的角平分线上的一点，于点D，，，动点P在射线OB上运动，它到点C的最小距离为（   ） A．2 B．5 C．3 D．无法确定 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示的四个三角形中全等的是（    ） A．①与② B．②与③ C．②与④ D．③与④ 3．（25-26八年级上·全国·课前预习）如图，已知，，要利用“”判定，应添加的条件是 ． 4．（24-25七年级下·全国·期末）如图，在中，，垂足为，为上的一点，，分别交和的延长线于点，，．试说明． 【经典例题九 全等的性质和ASA（AAS）综合】 【例1】（25-26八年级上·全国·课后作业）如图所示，于点C，于点B，交于点F，且．下列结论不一定正确的是（    ） A． B． C． D． 【例2】(23-24八年级上·江苏镇江·阶段练习）已知（如图）：点D，E分别在，上，，交于O，且，． (1)试说明：； (2)与全等吗？为什么？ 1．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，平分，则（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图是一段双向等宽道路，点，，是马路两边正对面的两个公交站牌，点是隔离带中的一个花坛，．小田所在点，学校门口和花坛在同一条直线上．小田测量出点A，C之间的距离是，就可知道学校门口与公交站牌之间的距离为．此方案的依据是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·浙江·期末）如图，，E为的中点．若，，则 ． 4．(23-24八年级上·辽宁盘锦·阶段练习）如图，已知点B，E，C，F在同一条直线上，，，．求证：． 【经典例题十 添加条件使三角形全等】 【例1】（24-25八年级上·河北石家庄·阶段练习）如图，AC、BD交于点，，添加：①；②；③；④，四个条件中的一个，能使的有（   ） A．1个 B．2个 C．3个 D．4个 【例2】（24-25七年级下·山东青岛·期末）已知：在和中，，点在同一直线上，请从下面的三个条件中选择一个，能够说明和全等，并说明理由． 三个条件：①；②；③． 你选择的条件是_____（填写序号） 1．（23-24八年级上·福建福州·期中）如图，，，要使，你所添加的一个条件是（    ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·全国·期末）如图，已知，那么添加下列一个条件后，仍无法判定的是（    ） A． B． C． D．平分 3．（23-24八年级上·河南安阳·期中）如图，已知，请你添加一个条件，使，你添加的条件是 （填一个即可） 4．（2025·湖北武汉·模拟预测）如图，点四点在同一条直线上，，若______，则．请从①；②；③；从三个选项中选择一个作为条件，使结论成立，并说明理由． 【经典例题十一 灵活选用判定方法证全等】 【例1】（25-26八年级上·全国·单元测试）下列所给条件中，能画出唯一的的是（   ） A． B． C． D． 【例2】（23-24八年级上·江苏泰州·阶段练习）如图，已知E，F是线段AB上的两点，，从①，②，③中选择两个作为补充条件，余下的一个作为结论，请写出结论成立的证明过程．你选的补充条件是______，结论是______．（填序号） 证明： 1．（24-25八年级上·安徽亳州·阶段练习）根据下列条件，能画出唯一的是（   ） A．，， B．，， C．，， D．，， 2．(23-24八年级上·江苏宿迁·阶段练习）如图，是不等边三角形，，以 D、E 为两个顶点画位置不同的三角形，使所画的三角形与全等，这样的三角形最多可画出（     ）个 A．2 B．3 C．4 D．以上结果均不对 3．（2025八年级上·全国·专题练习）下列条件中能确定的形状与大小的有 ． ①，，， ②，，； ③，，； ④，，． 4．（25-26七年级上·全国·课后作业）用举反例的方法说明命题“有两边和其中一边的对角对应相等的两个三角形全等”是假命题． 【经典例题十二 结合尺规作图的全等问题】 【例1】（24-25八年级上·广东汕头·阶段练习）（1）过的顶点A作高线和角平分线，若与的夹角为，且，求的度数； （2）如图1，已知，，请用尺规作图，在图2画出，使，，并证明． 【例2】（24-25七年级下·河北石家庄·期末）如图，D为外部一点，连接，已知． (1)尺规作图：在内求作一点M，使；（提示：以点A为圆心，为半径画弧；再以点C为圆心，为半径画弧，两弧交于点M，连接） (2)①通过作图可以得到： ， ； ②判定的依据是 （从或中选填）； (3)求． 1，（24-25八年级下·广东阳江·期中）如图， 在中， ， 分别以点为圆心，长为半径作弧，两弧相交于点，连接，则的度数为（   ） A． B． C． D． 2．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，延长，在射线的延长线上截取． 任务1：实践与操作： ①如图1，请用无刻度直尺与圆规作与全等（不写作法，保留作图痕迹）． ②你作的与全等的依据是 　　 、、、． 任务2：猜想与证明：如图2，，平分，平分． ①试猜想 　　 ． ②请你求出的度数． 3.（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，在中，． （1）在图1中，尺规作图：作直线（保留作图痕迹．不写作法）； （2）如图2，在（1）的条件下，延长至点，使得，过点作交直线于点，求证：． 4.（24-25七年级下·上海·期末）如图，用直尺和圆规作一个角等于已知角，请根据所学的三角形全等的有关知识，说明得出的依据是 ． 【经典例题十三 倍长中线模型】 【例1】（23-24八年级上·四川泸州·阶段练习）如图，在中，，，是边上的中线，延长使得，连接，则长的取值范围是（   ） A． B． C． D．无法确定 【例2】（24-25八年级下·甘肃武威·开学考试）【方法学习】 数学兴趣小组活动时，王老师提出了如下问题：如图1，在中，，，求边上的中线的取值范围． 小李在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法（如图1）， ①延长到，使得； ②连接，通过三角形全等把、、转化在中； ③利用三角形的三边关系可得的取值范围为，从而得到的取值范围； 方法总结：解题时，条件中若出现“中点”、“中线”字样，可以考虑倍长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集中到同一个三角形中． 【问题解决】 (1)如图1，请写出的取值范围是 ； (2)如图2，已知中，平分，且，求证：． 1．（24-25八年级上·浙江杭州·开学考试）在中，是边上的中线，，的取值范围是（   ） A． B． C． D． 2．（23-24八年级上·山东德州·阶段练习）如图，，，是边上的中线，则的取值范围是 ． 3．（23-24八年级上·重庆永川·期中）在中，，则的中线取值范围是 ． 4．（25-26八年级上·全国·单元测试）某数学兴趣小组在活动时，老师提出了这样一个问题：如图①，在中，，，D是的中点，求边上的中线的取值范围． 小明在组内经过合作交流，得到了如下的解决方法：延长到点E，使，请补充完整证明“”的推理过程． （1）求证：． 证明：如图①，延长到点E，使． 在和中， （________）； （2）由（1）的结论，根据与之间的关系，探究得出的取值范围是________； 【感悟】解题时，条件中若出现“中点”“中线”等字样，可以考虑延长中线构造全等三角形，把分散的已知条件和所求证的结论集合到同一个三角形中． 【问题解决】 （3）如图②，在中，是的中线，，且，求的长． 【经典例题十四 其他模型】 【例1】通过对数学模型“K字”模型或“一线三等角”模型的研究学习，解决下列问题： (1)如图1，，，过点B作于点C，过点D作于点E．求证：，． (2)如图2，，，，于点于点H，于点P，请按图中所标注的数据，计算图中实线所围成的图形的面积为________． 【例2】通过对下面数学模型的研究学习，解决下列问题： 【模型呈现】 某兴趣小组在从汉代数学家赵爽的弦图（如图1，由外到内含三个正方形）中提炼出两个三角形全等模型图（如图2），即“一线三等角”模型和“K字”模型． （1）已知，，请在上图2中选择其中一个模型进行证明，． 【模型应用】 （2）如图3，正方形中，，，求的面积（提示：延长，过C作延长线的垂线，垂足为F），请在答题卡对应的图中画出辅助线并完成解答． （3）如图4，四边形中，，，，，，，求的面积． 1．已知：如图，与有一个公共顶点，将绕点旋转如图位置，如果，，，那么与相等吗？证明你的结论． 2．如图，画，并画的平分线．    (1)将三角尺的直角顶点落在的任意一点处，使三角尺的两条直角边与的两边分别垂直，垂足分别为、（如图①），则 ；（填“”“ ”或“”） (2)把三角尺绕着点P旋转（如图②），两直角边分别与、交于点E、F，那么与相等吗？试猜想与的大小关系，并说明理由． 3．（23-24九年级上·重庆渝中·期中）如图所示，等腰直角中，，点是延长线上一点，连接，点是上一点，连接，交于点． (1)如图1，若，，求的长； (2)如图2，过点作于点，若，试猜想、、之间的关系并推理说明； (3)如图3，在（2）的条件下，若为射线上一动点，为等腰直角三角形，且，点为中点，若，，请直接写出的最小值． 4．（23-24八年级上·福建三明·期中）如图1，△ABC和△ABD中，∠BAC＝∠ABD＝90°，点C和点D在AB的异侧，点E为AD边上的一点，且AC＝AE，连接CE交直线AB于点G，过点A作AF⊥AD交直线CE于点F． （Ⅰ）求证：△AGE≌△AFC； （Ⅱ）若AB＝AC，求证：AD＝AF+BD； （Ⅲ）如图2，若AB＝AC，点C和点D在AB的同侧，题目其他条件不变，直接写出线段AD，AF，BD的数量关系　 　． 【经典例题十五 全等三角形综合问题】 【例1】（24-25七年级下·上海普陀·阶段练习）下列命题中，假命题是（   ） A．面积相等的两个三角形全等 B．全等三角形的面积相等 C．全等三角形的周长相等 D．两角对应相等且其中一组等角对边上的高相等的两个三角形全等 【例2】（23-24七年级下·甘肃兰州·期末）如图，教学楼与操场上的旗杆相距，小林同学从教学楼B点沿走到D点，一定时间后他到达P点，此时他测得和的夹角为，且，已知，旗杆的高为，请你求出教学楼的高度． 1．（23-24八年级下·山西·期末）如图（1），已知，为的平分线上一点，连接，；如图（2），已知，，为的平分线上两点，连接，，，；如图（3），已知，，，为的平分线上三点，连接，，，，，； ，以此规律，第个图形中全等三角形的对数是（  ） A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·河南驻马店·期末）如图，，，，给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的结论是（   ） A．①②③ B．②③ C．①③ D．①②③④ 3．（24-25八年级上·四川广元·阶段练习）如图，，垂足为C，，射线，垂足为B，动点P从C点出发以1厘米每秒的速度沿射线运动，点N为射线上一动点，满足，随着P点运动而运动，当点P运动 秒时，三角形与点P、N、B为顶点的三角形全等（时间不等于0）． 4．（2025·广东茂名·二模）综合与实践 【项目主题】池塘不可达距离的测量方案设计 【项目背景】 在数学项目式学习活动中，需测量池塘两侧A、B两点间的距离（无法直接测量）．如1图．现提供皮尺（量程）、测角仪等工具，要求设计几何测量方案． 【实践操作】 方案一（帽檐观测法） 1、如题2图，在点附近选取观测点，使、、三点共线； 2、调整帽子帽檐D，使视线通过帽檐上沿恰好对准点；（忽略眼睛与帽檐距离） 3、保持头部姿势不变，原地旋转，此时视线通过帽檐上沿落在点处； 4、用皮尺测得． 【问题解决】 (1)根据方案一，求、两点间的距离； (2)设计一个与方案一不同的测量方案，在3图中绘制几何图形，标明需测量的数据（如角度，线段长度等），并推导的表达式． 【拓展训练一 三角形全等SSS相关问题】 【例1】（24-25八年级下·河南郑州·阶段练习）【新考向】下面是嘉嘉作业本上的一道习题及解答过程： 如图，于点E，于点F．求证：． 证明：连接，如图， 在和中，， （_____），_______， ， ． 若以上解答过程正确，，应分别为（   ） A． B． C． D． 【例2】（2025八年级上·全国·专题练习）课本告诉我们作一个三角形与已知三角形全等的方法： 已知：． 求作：，使得． 作法：如图． （1）画； （2）分别以点为圆心，线段长为半径画弧，两弧相交于点； （3）连接线段，则即为所求作的三角形． 请你根据以上材料完成下列问题： (1)完成下面证明过程（将正确答案填在相应的横线上）： 证明：由作图可知，在和中， ∴___________． (2)这种作一个三角形与已知三角形全等的方法的依据是___________．（填序号） ①；②；③；④ 1．（24-25八年级上·河南周口·阶段练习）年月日—月日，河南宜阳举办“洛水昌谷风筝节”，三十余种大型风筝，形态各异，色彩斑斓．如图，这是小颖目测的一个风筝骨架，她根据，，不用测量就知道，小颖是通过全等三角形的知识得到的结论，则小颖判定三角形全等的依据是（    ）    A． B． C． D． 2．（24-25八年级上·江苏南通·期末）雨伞在开合过程中某一时刻截面图如图所示，伞骨，点分别是的中点，是支架，且，在将伞打开的过程中，总有，这里得到两个三角形全等的依据是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25八年级上·江苏南通·阶段练习）在平面直角坐标系中，，，，，如果存在E，使与全等，那么符合条件的点E有 个． 4．（24-25七年级下·江苏盐城·阶段练习）如图所示方格纸中，每个小正方形的边长均为1，小正方形的顶点叫作格点，点，点，点在格点上． (1)画出的边上的高； (2)画出中边上的中线； (3)直接写出的面积为________； (4)以为一边作（点与点不重合），使之与全等，这样的格点有________个． 【拓展训练二 三角形全等SAS相关问题】 【例1】（24-25七年级下·福建漳州·阶段练习）如图，已知，，，若点，，在一条直线上，则的度数为（   ） A． B． C． D． 【例2】（22-23八年级上·全国·期中）如图，已知，相交于点M．求证：． 1．（23-24八年级上·全国·单元测试）如图所示，，则（   ） A． B． C． D．无法计算 2．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，若，，，则的度数是（   ） A． B． C． D． 3．（24-25七年级下·上海·阶段练习）如图，在中，，，，若，则 度． 4．（22-23八年级上·全国·期中）如图，与相交于点C，，，，点P从点A出发，沿方向以的速度运动，点Q从点D出发，沿方向以的速度运动，P、Q两点同时出发，当点P到达点A时，P、Q两点同时停止运动．设点P的运动时间为． (1)与有什么关系？请说明理由． (2)连接，当线段经过点时，的值为 　 　． 【拓展训练三 三角形全等ASA相关问题】 【例1】（23-24八年级上·江苏苏州·期中）如图，已知的面积为平分，且于，则的面积是（　　） A．10 B．8 C．6 D．4 【例2】（24-25六年级上·山东威海·阶段练习）小聪同学沿一段笔直的人行道行走，在由A步行到达B处的过程中，通过隔离带的空隙O，刚好浏览完对面人行道宣传墙上的社会主义核心价值观标语，其具体信息汇集如下：如图，，相邻两平行线间的距离相等，，相交于O，．垂足为D，已知米，请根据上述信息求标语的长度． 1．（24-25八年级上·安徽安庆·期末）如图，在中，于点E，于点D，，则的长是（   ） A．4 B．3 C．2 D．6 2．（24-25七年级下·江苏苏州·阶段练习）如图，在四边形中，，点E、F在边上，点P在四边形的内部，且，，，若，，，则四边形的面积为（    ） A．8 B．6 C．4 D．2 3．（24-25八年级上·湖北武汉·阶段练习）如图，已知，为的中点，若，，则 ． 4．（24-25七年级下·广东佛山·阶段练习）如图，中，，，点为直线上一动点，连接，作且．（位于的上方） (1)在线段上时， 如图，过点作交于点，求证：，并写出和的数量关系； 如图，连接交于点，若，求证：点为中点； (2)连接与直线交于点，若，请直接写出的值．（用含的代数式表示） 【拓展训练四 三角形全等综合证明及应用】 【例1】（24-25七年级下·山东济南·期末）如图，在中，是边上的高，，，，连接，交的延长线于点，连接，，则下列结论： ；；；；． 其中正确的个数是（ ） A． B． C． D． 【例2】（25-26八年级上·全国·单元测试）如图，中，分别是边上的点，． (1)若，求证：； (2)把（1）中的条件和结论反过来，即若，则，这个命题是否成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由． 1．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，点为的中点．点是下方一点，连接，．平分，，若，，则的长为（   ） A．11 B．10 C．9 D．8 2．（24-25八年级上·安徽淮南·阶段练习）如图，在和中，，点分别在上，与交于点，连接．若，则图中的全等三角形一共有（   ） A．对 B．对 C．对 D．对 3．（24-25八年级上·广东江门·阶段练习）如图，在中，于点分别是线段，射线上的动点，点P从点A出发，以的速度向点C匀速运动，点Q在射线上随之运动，且．设点P的运动时间为，则当 时，以点为顶点的三角形和全等． 4．（24-25八年级下·山东日照·开学考试）【初步探索】 （1）如图1：在四边形中，，分别是上的点，且，探究图中、、之间的数量关系．小王同学探究此问题的方法是：延长到点，使，连接，先证明，再证明，可得出结论，他的结论应是______________________________________________________； 【灵活运用】 （2）如图2，若在四边形中，，、分别是、上的点，且，上述结论是否仍然成立，并说明理由； 【拓展延伸】 （3）如图3，已知在四边形中，，点在的延长线上，点在的延长线上，如图3所示，仍然满足，请写出与的数量关系，并给出证明过程． 1．（24-25七年级下·山东·期末）数学兴趣小组计划用一根米的标杆测量旗杆的高度．他们的方案如下：如图，在旗杆前空地上选取一点P，使点P到旗杆底端B的水平距离为米，此时测得，然后前后移动标杆（在移动过程中始终保持点B，P，C在同一条直线上），使得，此时测得标杆底端C到旗杆底端B的水平距离为米．根据以上信息，可求得该旗杆的高度是（   ） A．米 B．米 C．米 D．21米 2．（25-26八年级上·全国·单元测试）如图是设计师为公园设计的一座斜拉桥的剖面图，是桥面，是桥柱，设计大桥时要保证桥柱和桥面是垂直的，且两根钢绳，与桥面的夹角相等，则下列说法中不正确的是（   ） A． B． C．为的中点 D． 3．（24-25七年级下·山西运城·阶段练习）沙燕风筝以深厚的文化底蕴、高超的制作技艺著称，已被列入国家级非遗名录．在如图所示的“风筝”骨架图案中，若，则添加如下的一个条件仍不能证明的是（　　）    A． B． C． D． 4．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，为测量坪山河宽度，某同学在河岸边选定观测点A和B，在岸边标记目标点C、D，使，并利用测角仪测得．此时，利用三角形全等的性质，测量长度即可得到河宽．要说明两个三角形全等最恰当的理由是（    ） A． B． C． D． 5．（2025·浙江金华·二模）如图，是边长为1的正三角形，点D，E分别是边，上的动点，连结，交于点F，且．作于点G，于点H．下列两条线段的和，不随D，E的运动而改变的是（    ） A． B． C． D． 6．（22-23七年级下·上海虹口·期末）已知两个三角形有一个角及这个角的一条邻边对应相等，若再增加以下某个条件，则不能判断这两个三角形全等的是（    ） A．这条边上的高对应相等 B．这条边上的中线对应相等 C．这个角的角平分线对应相等 D．这个角的另一条邻边对应相等 7．（2022·河北石家庄·一模）在中，，，点为线段上一点，以为一边构造，，，下列说法正确的个数是（    ） ①图中和相等的角有2个（不含）；②若不添加线段，图中共有5对相似三角形；③；④． A．1 B．2 C．3 D．4 8．（24-25八年级上·四川德阳·阶段练习）如图，在和中，，，直线交于点M，连接，下列结论：①，②，③，④，其中正确结论的个数是（　　） A．4 B．3 C．2 D．1 9．(23-24八年级上·江苏南通·期中）下列选项所给条件能画出唯一的是（　　） A． B． C． D． 10．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图，、相交于点O，．若再补充一个条件，使得能直接利用“”判定，则需要补充的条件是（   ） A． B． C． D． 11．（22-23八年级上·全国·期中）如图所示，小明设计了一种测零件内径的卡钳．在制作卡钳时，他先找来两根钢条，，并在两根钢条上找到各自的中点M，N，然后将两根钢条的中点M，N重合固定在一起，使，可以绕固定点自由转动．若测得．则该零件的内径 ，在上述过程中，所用到的判定三角形全等的依据是 ． 12．（24-25七年级下·上海长宁·期末）如图，已知点、、在外部，，，图中与线段一定相等的线段是 ． 13．（24-25七年级下·上海闵行·期末）如图，给定一个，用直尺和圆规作，有人的作法是： ①作；②以点为圆心，以长为半径作弧，交于点； ③以点为圆心，以长为半径作弧，交于点；④连接． 就是求作三角形．在此作法中，判定的依据是 ．（填简记） 14．（24-25七年级下·河南郑州·期末）在学习完“探索三角形全等的条件”这节课后，某班学生总结出很多全等三角形的模型，他设计了以下问题给班里学生解决：如图，做一个“U”字形框架，其中，足够长，于点A，于点B，点D从点B出发向点A运动，同时点E从点B出发向点N运动，且D，E运动的速度之比为，当个两点运动到某一瞬间同时停止，此时在射线上取点C，使与全等，则线段的长为 ． 15．（24-25七年级下·广东深圳·期末）如图，中，，，为平面上一点，，若，则的面积为 ． 16．（25-26八年级上·全国·课后作业）如图是一把没有完全打开的伞的示意图，伞骨架，支撑杆，此时．在伞打开的过程中，始终平分，请用所学知识说明其中的道理． 17．（25-26八年级上·全国·单元测试）教材60页给出了如下问题：“如图，，分别是的对应边上的中线．与有什么关系？证明你的结论．” 通过对这道题的证明，我们可以得到一个真命题“全等三角形对应边上的中线相等”． 由此，我们猜想以下两个命题也是真命题． 命题1：全等三角形对应边上的高相等； 命题2：全等三角形对应角的平分线相等． 请你从中任选一个命题，画出图形，写出已知和求证，并进行证明． 18．（24-25七年级下·福建三明·期中）如图，某公园广场边上有一座假山，小明想知道在假山两端的两点间的距离，于是他找来了可测百米之长的皮尺，但他发现因两点间有假山阻隔而无法直接测量．请你用所学的数学知识设计一个可行的测量方法，在本题图中用不带刻度的直尺与圆规画出你的测量方案示意图，并标注相应字母，用所学的数学知识说明你的方案的可行性． 19．（24-25七年级下·江西鹰潭·阶段练习）如图，，，，点，分别在，上，，延长至点H，使得，连接．求证： (1)； (2)． 20．（23-24七年级上·贵州六盘水·期末）在中，是的角平分线，过点作，垂足为，连接． (1)【特例初探】如图①，当点与点重合时，若，则_________； (2)【类比归纳】如图②，当点在线段上时，的延长线交于点，请直接写出与的关系； (3)【拓展延伸】如图③，当点在线段BD延长线上时，（2）中的结论还成立吗？请说明理由． 学科网（北京）股份有限公司 $$