第三章 一次方程与方程组（复习讲义）数学沪科版2024七年级上册

第3章 一次方程与方程组（复习讲义） 一、学习目标 1.理解掌握方程与一元一次方程、方程组的概念； 2.理解方程的解的概念和运用； 3.理解掌握等式性质； 4.熟练掌握一元一次方程与二元一次方程组的解法. 5.了解和掌握方程的实际应用 二、学习重点：方程与方程组的解法与应用题解法 三、学习难点：方程与方程组的含参数问题与应用题解法 1 方程的有关概念 定义：含有未知数的等式叫做方程. 【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数． 2 一元一次方程的概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数． 3 方程的解、解方程 1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 2.解方程：求方程的解的过程. 4 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边同时乘以（或除以）一个不为零的数或者式子，等式保持不变。 5 一元一次方程的解法 1.合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用. 2.移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. 3.去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号. 4.去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数. 【注意】：（1）移项的时候注意变号； （2）去括号的适合注意，若括号前是“-”号，那么去括号的时候要变号. 6 一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值. 乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 1.参数定义：参数是方程中用字母表示的未知常数，如方程ax + b = 0中a、b为参数。 2.分类讨论：当参数在系数位置时，需讨论系数是否为0，确定方程是否为一元一次方程。 当参数在常数项位置时，通过移项、合并同类项，用参数表示未知数。 3.解的情况： 当系数不为0时，方程有唯一解。 当系数为0且常数项也为0时，方程有无数解； 当系数为0但常数项不为0时，方程无解。 7 列一元一次方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 8 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 7.数字问题：多位数的表示方法：例如： 题型一 方程式的判断 【例1】（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【变式1-1】（25-26七年级上·山西太原·开学考试）下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【变式1-2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【变式1-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 题型二 根据题意列方程 【例2】（25-26七年级上·全国·随堂练习）根据下列问题，设未知数并列出方程： 甲种铅笔每支1.4元，乙种铅笔每支1.8元．用23元钱买这两种铅笔，一共买了15支，两种铅笔各买了多少支？ 【变式2-1】（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）只列方程，不必求解： (1)已知某数的倍与的差等于．设某数为； (2)某班级有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少．若设女生人数为人． 【变式2-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）列方程表示下列语句中的相等关系： (1)某地2023年9月10日的温差是，这天最高气温是，最低气温是； (2)某校七年级学生人数为n，其中男生占，女生有110人； (3)一种商品每件进价为a元，售价为进价的1.1倍，现每件的售价又降低10元，现售价为每件210元； (4)在5天中，第一小组共植树60棵，第二小组共植树棵，平均每天第一小组比第二小组多植2棵树． 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·假期作业）根据题意设未知数，并列出方程． (1)一个数的倍比它的倍多，求这个数； (2)从的木条上截去段同样长的木条，还剩下长的短木条，截去的木条每段长为多少？ (3)如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为，栽种后每周长高约，大约几周后树苗长高到？ 题型三 判断是否是方程的解 【例3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）是不是方程和的解？ 【变式3-1】（25-26七年级上·全国·随堂练习）判断和是不是方程的解． 【变式3-2】（24-25七年级上·云南临沧·期末）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 题型四 方程解的运用（求参数） 【例4】（2024七年级下·广西·竞赛）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 【变式4-1】（23-24七年级下·四川乐山·期中）若关于的方程的解是，则的值为 ． 【变式4-2】（22-23七年级上·全国·期中）若是关于的方程的解，则的值为（    ） A．2017 B．2027 C．2045 D．2031 【变式4-3】（20-21七年级上·江苏苏州·阶段练习）若是关于x的方程的解，则m的值为 题型五 等式性质的运用 【例5】（19-20七年级上·湖南长沙·期末）下列等式变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式5-1】（21-22七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果、互为相反数，那么 C．精确到的近似值为 D．是三次二项式 【变式5-2】（20-21七年级上·陕西延安·期末）下列说法不一定成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【变式5-3】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 题型六 解一元一次方程 【例6】（24-25七年级上·甘肃酒泉·期末）解下列方程． (1)； (2)． 【变式6-1】（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）解方程． (1)； (2)． 【变式6-2】（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）解方程： (1)； (2)． 【变式6-3】（24-25七年级上·福建泉州·开学考试）求未知数 (1) (2) (3) 题型七 绝对值方程的求解 【例7】（24-25七年级下·江西上饶·期中）设、为有理数，且，方程有三个不相等的解，求的值及三个解． 【变式7-1】（24-25七年级上·全国·期末）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)计算的值． 【变式7-2】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）对于任意有理数，规定：当时，；当时，． (1)填空：______，______，______； (2)若，求的值； (3)若两个有理数，，且异号，满足，请直接写出之间可能存在的数量关系：______． 【变式7-3】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）数学家欧拉最先用来表示关于x的多项式．如对于：当时，则，当时，则．若规定，下列结论中：①；②若时，则；③当时，的值为7；以上结论不正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 题型八 一元一次方程解的运用（求参数） 【例8】（2024七年级下·福建泉州·竞赛）若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，则 ． 【变式8-1】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）小明在解方程：去分母时，方程右边的1没有乘6，因而得到方程的解为，方程正确解为 ． 【变式8-2】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程与关于x的方程的解相同，求的值． 【变式8-3】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 题型九 一元一次方程解的关系 【例9】（23-24七年级下·四川广元·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【变式9-1】（24-25七年级上·全国·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解是 ． 【变式9-2】（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【变式9-3】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 题型十 一元一次方程的应用：配套问题 【例10】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）某口罩厂有60名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【变式10-1】（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）某车间有40名工人，某月接到订单，要求加工甲、乙两种零件，每人每天可以生产10个甲种零件或5个乙种零件，已知1个甲种零件和2个乙种零件可以组装成一个成品．为使每天生产的甲、乙两种零件刚好配套，应各安排多少人生产甲、乙两种零件？ 【变式10-2】（24-25七年级上·安徽黄山·期末）某景区定制一批文创用品，要求每套文创用品中包括2个书签和1个冰箱贴．已知生产厂家共有70位工人，每位工人每天可生产15个书签，或生产10个冰箱贴．问厂家如何安排工人才能使得每天生产的书签和冰箱贴刚好配套？若设安排x位工人生产书签，则根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【变式10-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）巢湖某工厂主要生产各种样式的包装盒，现收到一批糖果盒的订单，主管要安排工人即刻生产．已知该工厂共有84名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少36人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底110个． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 题型十一 一元一次方程的应用：工程问题 【例11】（2025·安徽阜阳·三模）码头到货100t，现有甲、乙两装卸作业组同时开始卸货．甲组卸货at，需要时间为小时；乙组卸货，需要时间为小时．问当他们一起卸完所有的货物时，甲组卸货多少吨？ 【变式11-1】（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）甲、乙两公司承包了一项民生工程，甲公司单独完成需要40天，乙公司单独完成需要20天，甲、乙公司先共同合作5天后，剩下的工程由甲公司完成，则比甲公司单独完成提前了几天？ 【变式11-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）有一些相同的房间需要用地板装修地面，每一天4名熟练的装修工人可装修5间房，结果还剩未能装修；每一天6名初级装修工人除了能装修7间房以外，还可以多装修．若一名熟练工人每天比一名初级工人多装修，设每个房间地面面积，一名初级工人每天装修，下列方程中正确的有（   ） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【变式11-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 题型十二 一元一次方程的应用：销售问题 【例12】（24-25七年级上·安徽六安·期末）某商店将一种书包按进价提高作为标价，然后再按标价9折出售，这样卖出一个书包可盈利8.5元．这种书包每个进价为（   ）元． A．50 B．58.5 C．42.5 D．60 【变式12-1】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）2025年是中国农历乙巳蛇年，胖东来超市有蛇年吉祥物毛绒公仔“已升升”A，B两种款式出售．B种款式每个售价比A种款式贵10元；购买20个A种蛇年吉祥物和30个B种蛇年吉祥物共需花费2300元． (1)A，B两种款式吉祥物每件售价各是多少？ (2)复兴中学计划购买B种款式吉祥物在寒假期间家访时送给留守儿童作为新年礼物，且购买数量超过50个，超市了解情况后特别给出两种优惠方案： 方案一：每个均按原售价的7折优惠； 方案二：前50个按原售价8折优惠，超过50个的部分每个按半价出售． 复兴中学选择哪种方案购买更合算？ (3)年货节期间，A款吉祥物按原售价9折出售，B款吉祥物按原售价的8.8折出售，打折后一周内两款吉祥物共售出100个，若A款吉祥物进价25元/个，B款吉祥物进价30元/个，结果两款吉祥物总利润一样，则A、B两款吉祥物这周内各售出多少个？ 【变式12-2】（2025·安徽蚌埠·三模）某文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件．A、B两种文具的进价和售价如下表：（注：获利=售价-进价） 文具 A B 进价（元/件） 30 40 售价（元/件） 38 50 (1)该文具店购进A、B两种文具各多少件？ (2)该文具店将购进的A、B两种文具全部卖完后一共可获得多少利润？ 【变式12-3】（2025·陕西·模拟预测）已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了150元，其中一件盈利，另一件亏损，在这次买卖中这家商店是亏了还是赚了？亏了（或赚了）多少钱？ 题型十三 一元一次方程的应用：比赛问题 【例13】（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了76分，她做对了几题？ 【变式13-1】（2025·安徽六安·模拟预测）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某校开展了一场知识竞赛，规定答对一道题得10分，答错一道题扣5分，不答扣2分，八（1）班和八（2）班答对、答错、不答的题数如下表： 班级 答对 答错 不答 八（1）班 15 4 1 八（2）班 13 八（1）班最终得分比八（2）班多21分，求八（2）班答错了几道题． 【变式13-2】（23-24七年级上·安徽亳州·期末）利辛县某次数学竞赛共有20道题，已知做对一道得4分，做错一道或不做扣一分，某同学最后的得分是55分，则他做对（    ）道题 A．16 B．15 C．14 D．13 【变式13-3】（21-22七年级上·安徽合肥·期末）聪聪同学到某校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）： 校篮球赛成绩公告 比赛场次 胜场 负场 积分 22 12 10 34 22 14 8 36 22 0 22 22 聪聪同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙解决： (1)从表中可以看出，负一场积 　 　分，胜一场积 　 　分； (2)某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于负场总积分吗？请说明理由． 题型十四 一元一次方程的应用：方案问题 【例14】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）某农产品基地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为100元；经粗加工后销售，每吨利润可达450元；经精加工后销售，每吨利润涨至750元．现收获这种蔬菜140吨，该基地加工能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案． 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成． 你认为选择哪种方案获利 【变式14-1】（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）为丰富学生课外活动，学校计划购买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价200元，乒乓球每盒定价50元．经洽谈后，甲商店全部按定价的9折优惠；乙商店每买一副球拍赠一盒乒乓球．该校需球拍10副，乒乓球x盒（不少于10盒）．问： (1)若在甲商店购买，一共需付款________元；若在乙商店购买，一共需付款________元；（用含x的式子表示） (2)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样多？ 【变式14-2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）秋高气爽之时，水果丰收之际．某水果加工厂收购了30吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在8天内全部销售或加工完毕，为此水果加工厂研制了两种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好8天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨·千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多450元，求水果加工厂到市场的距离． 【变式14-3】（11-12七年级·吉林长春·阶段练习）为庆祝“五一”，学校统一组织合唱比赛，七、八年级共92人（其中七年级的人数超过46人但不足90人）准备统一购买服装参加比赛．若两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，下表是某服装厂给出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上（含91套） 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)求七、八年级各有多少学生参加合唱比赛； (2)七年级参加合唱比赛的学生中，有10名同学抽调去参加绘画比赛，不能参加合唱比赛，请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案． 题型十五 一元一次方程的应用：数字问题 【例15】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知三个连续奇数的和为111，其中最小的奇数为（  ） A．31 B．33 C．35 D．37 【变式15-1】（24-25七年级上·安徽芜湖·开学考试）三个连续偶数的和是，最大的一个偶数是（    ） A．a B． C． D． 【变式15-2】（22-23七年级上·安徽黄山·期末）有一个一位数和一个两位数，其中两位数是一位数的倍，如果将一位数写到两位数左边所得到的三位数比将两位数写到一位数的左边所得到的三位数的倍还大，则这个一位数是 . 【变式15-3】（21-22七年级上·安徽宿州·期末）阅读下列材料： 若一个三位数的十位数字是个位数字的倍，我们称这个三位数为“倍尾数”，如． （1）已知一个“倍尾数”的百位数字比十位数字大，其各位数字之和是，则这个“倍尾数”为 ； （2）若一个“倍尾数”的百位数字是十位数字的倍，且各位数字之和是，则这个“倍尾数”为 ． 题型十六 一元一次方程的应用：几何问题 【例16】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，长方形被分成六个大小不一的正方形，已知中间一个小正方形的面积为4，求长方形中最大的正方形与最小的正方形的面积之差． 【变式16-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）【知识拓展】学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数的点到原点的距离．由于原点表示的数是0，因此可以看作，那么的意义可以看作为数轴上表示数与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数与b的两点间的距离，若表示数的点是点，表示数的点是点，则线段． 例如，的意义为数轴上表示数与的两点间的距离； 的意义为数轴上表示数与的两点间的距离； 若，则的值为或． 【拓展应用】 (1)若，则的值为______；若，则的值为_____； (2)如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，若线段以个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以个单位长度/秒的速度也向右匀速运动，设运动时间为秒． ①点在数轴上表示的数是_______，点在数轴上表示的数是______； ②当为何值时，（单位长度）； ③当为何值时，恰好满足． 【变式16-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，部分数据如图所示，则每个小长方形的面积为 ． 【变式16-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，矩形为“优美矩形”且图中①②③④均为正方形． (1)若最小正方形①的边长为x，则正方形②的边长为______；正方形③的边长______；为正方形④的边长为______；（用含x的代数式表示） (2)若此“优美矩形”的周长为52，求正方形④的边长． 题型十七 一元一次方程的应用：动点问题 【例17】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且两点间的距离为10．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）点表示的数是 ； （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．当点P运动 秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【变式17-1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，数轴上点表示的数是点表示的数是点表示的数是10．若此时恰有一只老鼠在点，一只小猫在点，老鼠发现小猫后立即以每秒1个单位长度的速度向点方向逃跑，小猫随即以每秒2个单位长度的速度追击，经过秒时，老鼠在移动过程中与点之间的距离为 ，小猫逮住老鼠时的“位置”恰好在 ． 【变式17-2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如果数轴上有两点，其表示的数分别为，那么线段的长度表示为，线段的中点表示的数为．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且．动点从点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点运动时间为秒 (1)填空：___________；___________；的距离为___________； (2)点运动多少秒后，成立？ (3)当点在之间运动时，且．如果点为的中点，请你探究式子是否是定值，如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由． 【变式17-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）数轴上点A表示的数是8，点B表示的数是，如果点M、N在数轴上，且满足点M到点A或B的距离与点N到点B或A中另一个点的距离之和等于，我们就称是的和谐点对．例如，如图，点M、N表示的数分别为和4时，，我们称是的和谐点对． 请根据上述材料解决下面问题： (1)点E、F、G表示的数分别为，写出的和谐点对，并说明理由； (2)若点P从点A以每秒4个单位长度向左运动，同时点Q从点B以每秒1个单位长度向右运动，当点Q到达点A时，点P、Q同时停止运动．设点Q的运动时间为t秒，当为的和谐点对时，直接写出t的值． 题型十八 一元一次方程的应用：和差倍分问题 【例18】（17-18七年级上·辽宁鞍山·期末）书架上，第一层书的数量是第二层书的数量的2倍，这时从第一层抽8本到第二层，第一层剩下的数量恰比第二层的一半多3本，设第二层原有x本，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【变式18-1】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）在清冰雪工作中，某武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加街路和街路的清冰雪劳动，且参加街路清冰雪的人数是参加街路的清冰雪人数的． (1)求参加街路的清冰雪劳动有多少人？ (2)在街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？ 【变式18-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1）设A队有人，B队有人，从A队调人到B队，则此时B队比队多 人；（结果要化简） （2）已知A队有32人，B队有28人．从A队调人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则的值为 ． 【变式18-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）安徽某中学开展校运动会，参加跳高的学生是参加立定跳远的学生的2倍少3人，已知参与这两项运动的人数共86人．设参加立定跳远的学生有人，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 题型十九 一元一次方程的应用：水电费问题 【例19】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过170度的部分 第2档 超过170度但不超过260度的部分 0.55 第3档 超过260度的部分 已知8月份该市某居民家用电150度，交电费75元；9月份该居民家交电费107元． (1)表中的值为______； (2)求该居民家9月份的用电量； (3)若10月份该居民家用电的平均电价为0.65元/度，求10月份的电量． 【变式19-1】（23-24七年级上·安徽宿州·单元测试）为了鼓励市民节约用水，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如表： 收费标准（注：水费按月结算） 每月用水量 单价：元/立方米 不超出8立方米（含8立方米）部分 2.8 超出8立方米，不超出12立方米（含12立方米）部分 3.6 超出12立方米部分 4.8 请根据上表的内容解答下列问题： (1)若某户居民11月份用水a立方米（其中），请用含a的代数式表示应收水费． (2)若某户居民12月份交水费56元，则用水量为多少立方米？ 【变式19-2】（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，下表是调控后的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． (1)若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费________元；若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为________吨； (2)若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量； (3)若该户居民11月份、12月份共用水18吨，共交水费52元，且11月份用水不超过8吨，求11月份、12月份各应交水费多少元？ 【变式19-3】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如表： 用水量 单价 不超过6m3的部分 2元/m3 超过6m3不超过10m3的部分 4元/m3 超出10m3的部分 8元/m3 如：某用户2月份用水9m3，则应缴水费：（元）． (1)某用户3月用水8m3应缴水费 　 　元； (2)已知某用户4月份缴水费22元，求该用户4月份的用水量； (3)如果该用户5、6月份共用水18m3（6月份用水量超过5月份用水量，且5月份用水量不超过8m3），共交水费52元，则该户居民5、6月份各用水多少m3？ 题型二十 一元一次方程的应用：行程问题 【例20】（23-24九年级下·安徽芜湖·自主招生）在边防沙漠地带，巡逻车每天行驶200千米，每辆巡逻车可载供行驶14天的汽油，现有5辆巡逻车，同时从驻地A出发，完成任务后再沿原路返回驻地．为了让其中三辆尽可能向更远的距离巡逻（然后再一起返回），甲、乙两车行至途中B处后，仅留足自己返回驻地所需的汽油，将其余的汽油留给另外三辆使用，问其他三辆可行进的最远距离是多少千米？ 【变式20-1】（24-25七年级上·安徽安庆·开学考试）在比例尺1:2000000的地图上量得两地距离是5厘米．甲乙两车相向而行，3小时后还相距10千米，已知乙车速度是甲车的，甲乙两车每小时各行多少千米？ 【变式20-2】（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）在沿铁路的公路上，甲乙两汽车同时从站向站行驶．甲车每小时行30千米，乙车每小时行45千米，两车同时出发半小时后，一辆列车也从站向站行驶，列车行驶一定时间后分别赶上了两车．列车从追上甲车到完全超过甲车用了9秒钟，从追上乙车到完全超过乙车用了12秒钟．当列车完全超过乙车时，列车离开站多远？（列方程解应用题） 【变式20-3】（2025·安徽安庆·三模）根据下列材料解答相应问题： 材料1 A，C两地的铁路途经B地，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中动车列车从A站始发，经停B站后到达C站，高铁列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变． 材料2 列车运行时刻表 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 动车列车 8：00 9：00 9：10 10：50 高铁动车 8：30 途经B站，不停车 10：30 材料3 A，C两地的铁路是双轨，两辆列车可在某些时段同向而行． 问题1 动车列车从A站到B站行驶了______，从B站到C站行驶了______； 问题2 设动车列车的行驶速度为，高铁列车的行驶速度为，若，则______． 问题3 高铁列车在什么时刻追上动车列车？ 题型二十一 一元一次方程的应用：比例分配问题 【例21】（2021·安徽·一模）为提高销售业绩，安徽省某茶叶专卖店店长对店内销售额居于前三的六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额进行了分析，发现上月三种茶叶销售额的比值为4∶2∶3，本月六安瓜片销售额是上月销售额的a倍，黄山毛峰销售额是上月销售额的（a﹣3）倍，太平猴魁的销售额与上月的相同，同时这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，求本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值． 【变式21-1】（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）A、B两种商品的价格比是，如果每种商品的价格上涨元，A、B两种商品的价格比变为，这两种商品的原价分别是多少？ 【变式21-2】（25-26七年级上·河北邯郸·开学考试）一种石灰与水混合后的石灰浆，石灰与水的质量比是．现在向石灰浆中加入120千克水，要使石灰与水的质量比不变，还应加入（    ）千克石灰． A．150 B．90 C．80 【变式21-3】（24-25七年级下·河南郑州·自主招生）刘师傅要加工一批零件，已加工的零件个数与这批零件总个数的比是，如果再加工个零件就可以完成这批零件的．这批零件一共有多少个？ 题型二十二 一元一次方程的应用：日历问题 【例22】（17-18七年级上·全国·单元测试）如图是某月份的日历表，任意框出同一列上的三个数，则这三个数的和不可能是（   ） A．66 B．57 C．43 D．39 【变式22-1】（24-25七年级下·安徽池州·开学考试）如图是2025年1月的月历表，任意选取“十”字型中的五个数如图中阴影部分，若移动“十”字型后所得五个数之和为115，那么该“十”字型中正中间的数为（ ） A．20 B．21 C．22 D．23 【变式22-2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图是2025年元月的日历，用图1中的“工”型图案盖住图2中的7个数，这7个数的和不可能是（    ） A．70 B．91 C．126 D．154 【变式22-3】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图是2024年12月的月历，观察月历，解答下列问题： (1)小宝在该月外出旅行三天，三天日期之和是，小宝是星期几出发的？ (2)“十”字型阴影图形覆盖其中五个方格，设十字型阴影覆盖的最小数字为，五个数字之和为，的值能否等于？若能，求出值；若不能，请说明理由． 题型二十三 一元一次方程的应用：古算术问题 【例23】（17-18七年级上·北京东城·期末）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【变式23-1】（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观，请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？ 【变式23-2】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）《九章算术》中阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买牛，人出九，盈六；人出七，不足八．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买牛肉，每人出9元，还盈余6元；每人出7元，则还差8元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设这个物品的价格是元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【变式23-3】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）《九章算术》中有这样的一道题：今有四人共车，一车空．三人共车，五人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余5个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 题型二十四 二元一次方程的定义与判断 【例24】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）若是关于的二元一次方程，则的值是 ． 【变式24-1】（23-24七年级下·湖南益阳·期中）是关于，的二元一次方程，则 ． 【变式24-2】（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【变式24-3】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 题型二十五 解二元一次方程组 【例25】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）按要求解下列二元一次方程组． (1)（代入法）； (2)（加减法）． 【变式25-1】（20-21七年级下·浙江绍兴·期中）解下列方程组． (1)； (2)． 【变式25-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）解方程或方程组 (1)； (2)． 【变式25-3】（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）解方程（组） (1) (2) (3) (4) 题型二十六 二元一次方程组解的判断 【例26】（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）以为解的方程组是（　　） A． B． C． D． 【变式26-1】（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程组的解是 【变式26-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式26-3】（24-25七年级下·山东临沂·期末）若二元一次方程，的部分解分别为表1、表2： 表1： 5 2 4 18 表2： 2 6 4 则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 题型二十七 已知二元一次方程组的解求参 【例27】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）方程组的解为，则“”“”表示的数分别是（   ） A．10，2 B．10，3 C．12，2 D．12，3 【变式27-1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若是关于、的二元一次方程组的解，求的值． 【变式27-2】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【变式27-3】（23-24七年级下·宁夏吴忠·期中）已知是方程组的解，则 ， ． 题型二十八 二元一次方程组的特殊解法 【例28】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） (1)已知二元一次方程组求和的值； (2)解方程组： (3)已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 【变式28-1】（24-25七年级下·吉林白城·阶段练习）（1）观察发现：材料：解方程组． 将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为______； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值______． 【变式28-2】（24-25七年级下·安徽黄山·期末）两位同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说∶“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说∶ “它们的系数有一定的规律，可以试试把第二个方程组的两个方程的两边都除以，然后通过整体换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 【变式28-3】（18-19七年级下·江苏南通·期中）先阅读材料，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后将③代入②得，求得，从而进一步求得，所以原方程组的解为这种解法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解方程组 题型二十九 二元一次方程组错解问题 【例29】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 【变式29-1】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得． （1） ， （2） ． 【变式29-2】（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解． 【变式29-3】（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求的值． 题型三十 二元一次方程组同解问题 【例30】（24-25七年级下·广东汕尾·阶段练习）已知方程组与方程组的解相同．求的值． 【变式30-1】（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 【变式30-2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知方程组和方程组有相同的解，则 ． 【变式30-3】（2025·贵州铜仁·三模）若关于的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 题型三十一 二元一次方程的应用：方案问题 【例31】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）某公司需要将120吨物资从A市运往B市，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下表： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨／辆） 5 8 10 运费（元／辆） 450 600 700 (1)若选用甲、丙两种车型一次性运完，如果甲车有11辆，则丙车至少需要多少辆？ (2)若选用甲、乙两种车型一次性运完，且每辆车均满载，需运费9600元，则甲、乙两种车型各需多少辆？ (3)若选用甲车辆、乙车辆、丙车若干辆一次性运完，且每辆车均满载，已知三种车辆共14辆，直接写出a、b的值和总运费． 【变式31-1】（24-25七年级上·安徽六安·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【变式31-2】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）学校开展“生活中的数学问题”学习活动，某小组选择“汽车轮胎换位问题”为研究方向． 【问题背景】大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮的轮胎换位的建议． 【数据信息】 1．汽车前轮一对轮胎一般应在汽车行驶达到6万公里时报废，而后轮一对轮胎应在汽车行驶达到8万公里时报废； 2．轮胎的磨损量汽车行驶的单位路程的磨损量汽车行驶的路程． 【问题解决】 (1)若每对新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的一对轮胎每行驶1万公里的磨损量为_____，安装在后轮的一对轮胎每行驶1万公里的磨损量为_____； (2)如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少万公里时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的前后两对轮胎同时报废?（结果保留小数点后两位） 注：“同时报废”指的是前后两对轮胎的总磨损量均为1． 【变式31-3】（2025·安徽淮北·三模）某手工陶器作坊制作了A，B两种型号的陶器摆件共80件，其成本和售价如下表， 型号 成本/（元/件） 售价/（元/件） A 40 70 B 30 50 该手工陶器作坊销售完这批陶器摆件，获得利润2100元．分别求这批陶器摆件中A，B两种型号的数量． 题型三十二 二元一次方程的应用：行程问题 【例32】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）【问题背景】 随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮胎换位的建议． 【资料显示】 汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到时报废．如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎． 【问题解决】 (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量设为单位“1”，则前轮行驶每千米的磨损量为______，后轮行驶每千米的磨损量为______； (2)汽车行驶里程达到多少时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶总里程． 【变式32-1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）小明和小华两人同时骑自行车从甲地到乙地，小明每小时比小华多行2千米，小明先到达乙地后立即返回，在返回途中遇见小华，此时，他们已走了0.8小时，已知甲、乙两地相距8千米，求小华从甲地到乙地需要多长时间？ 【变式32-2】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）两列火车同时从相距千米的两地相向出发，小时后相遇，如果第一列火车比第二列火车早出发小时，那么在第二列火车出发小时后相遇，求两列火车的速度． 【变式32-3】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（   ）． A． B． C．或 D．或 题型三十三 二元一次方程的应用：工程问题 【例33】（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 【变式33-1】（2024七年级下·全国·专题练习）有一批待加工的零件共420个，如果甲先做2天后乙加入工作，那么再做2天可以完成；如果乙先做2天后甲加入工作，那么再做3天可以完成，求甲、乙两人每天各做零件多少个． 【变式33-2】（22-23七年级上·安徽阜阳·阶段练习）阅读理解： 为打造陶子河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天. (1)根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲：            乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数，表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：表示___________________，表示_______________； 乙：表示___________________，表示_______________； (2)求出其中一个方程组的解，并回答A、B两工程队分别整治河道多少米？ 【变式33-3】（11-12七年级下·浙江温州·期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元； (2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？ (3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论） 题型三十四 二元一次方程的应用：数字问题 【例34】（2025·安徽芜湖·二模）算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请求出这个三位数． 【变式34-1】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和3倍大7；如果交换十位上的数与个位上的数，所得新两位数比原两位数2倍小1，求这个两位数． 【变式34-2】（22-23七年级下·江西南昌·期末）《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字．    【变式34-3】（22-23八年级上·重庆南岸·阶段练习）已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大，则这首歌的歌词的字数是（ ） A． B． C． D． 题型三十五 二元一次方程的应用：年龄问题 【例35】（24-25九年级下·湖北武汉·自主招生）妈妈今年岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为岁，那么儿子今年 岁． 【变式35-1】（24-25七年级下·全国·期中）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁． 【变式35-2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为 ． 【变式35-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是 ． 题型三十六 二元一次方程的应用：分配问题 【例36】（2025·安徽合肥·三模）2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为用于摆放书籍，某校计划购买甲、乙两种型号的书架共30个．已知每个甲型书架比每个乙型书架低100元，购买2个甲型书架和3个乙型书架共需1300元．求甲、乙两种型号书架的单价． 【变式36-1】（2025·安徽合肥·一模）某校八年级学生到郊外参加研学活动，已知用 3 辆小客车和 1 辆大客车每次可运送学生 160 人，用 2 辆小客车和 3 辆大客车每次可运送学生 235 人，则每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ 【变式36-2】（23-24八年级上·重庆·期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人 每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多． (1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车； (2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人． 【变式36-3】（22-23七年级下·海南海口·期中）学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量人，乙种客车每辆载客量人，已知辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元，辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元． (1)求辆甲种客车和辆乙种客车的租金分别是多少元？ (2)学校计划租用甲、乙两种客车共辆，送名师生集体外出活动，刚好全部坐满，问租车费用是多少？ 题型三十七 二元一次方程的应用：销售问题 【例37】（2025·安徽宿州·模拟预测）随着人们环保观念的不断加深，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，选择自行车出行已是如今社会的一种潮流形式．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1700元，销售2台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利1000元，该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ 【变式37-1】（2025·安徽池州·模拟预测）一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板的5倍．广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表： 产品 展板 宣传册 横幅 时间／小时 1 利润／元 60 20 已知制作三种产品共需25小时，所获利润为975元，则这三种产品的件数之和为？ 【变式37-2】（2025·安徽·二模）学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40千克，了解到这两种蔬菜的种植成本共42元，还了解到如图所示的信息． (1)请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？ (2)采摘的这些黄瓜和茄子可赚多少元？ 【变式37-3】（2025七年级下·湖北·专题练习）一天，某商贩花180元从蔬菜批发市场批发了西红柿和土豆共到菜市场去卖，西红柿和土豆当天的批发价和零售价如下表： 品名 西红柿 土豆 批发价（元） 3 2 零售价（元） 5 3.5 (1)求该商贩批发的西红柿和土豆的数量各是多少？ (2)若该商贩当天将购买的西红柿和土豆全部卖完，请问该商贩可赚多少元？ 题型三十八 二元一次方程的应用：和差倍分问题 【例38】（2025·安徽·模拟预测）刘畅同学去参加数学竞赛，共有20道题，做对一道得5分，做错一道题倒扣2分，刘畅同学做完了全部20道题，结果刘畅同学考了72分，问他做对了几道题？ 【变式38-1】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）桐城二中为了提升学生的综合素质，拓展视野见识，增强社交能力，培养独立意识，激发学生学习兴趣，学校组织七八年级学生研学旅行．其中七年级班师生共483人．学校向租车公司租赁两种车型送师生往研学基地，若租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位．求两种车型各有多少个座位？ 【变式38-2】（2025·安徽滁州·二模）某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A型号的新能源汽车比购进1辆B型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A型号和2辆B型号的新能源汽车共92万元．求A，B两种型号的新能源汽车的单价． 【变式38-3】（2025·安徽·模拟预测）“霜降”是收获、播种的最后时节．某农科所利用试验田共种植5亩谷子进行新技术与传统技术的对比试验，共收获谷子3300斤，经过对比发现，采用新技术种植的谷子，平均每亩产量是采用传统技术种植的谷子的1.25倍．已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为600斤，请问该试验田采用传统技术和新技术各种植谷子多少亩？ 题型三十九 二元一次方程的应用：九宫格问题 【例39】（21-22七年级下·安徽芜湖·期末）如图，在的方格内，填写了一些代数式和数．在图中各行、各列及斜对角上的三个数之和都相等，请你求出x，y的值及左下角的方格内应填的数． 【变式39-1】（2022·山东威海·中考真题）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝ ． 【变式39-2】（21-22七年级上·安徽安庆·期末）把1~9这九个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为（    ） A．1 B．8 C．9 D．－8 【变式39-3】（21-22七年级上·安徽宿州·期末）把1—9这九个数填入方格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这便构成了一个“三阶幻方”．它源于我国古代的“洛书”．如图是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则的值为 ． 题型四十 二元一次方程的应用：古算术问题 【例40】（2024·湖北·模拟预测）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子、现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【变式40-1】（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设杆子的长度为x尺，则下列说法错误的是（   ） A．列方程： B．设绳索长为y尺，列方程为 C．设绳索长为y尺，列方程组为 D．竿子的长度为10尺 【变式40-2】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）我国民间流传这样一道数学名题： 其大意是： 听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？ 数学原题： 只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两还缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多 少银？(1斤等于10两) 设有个人，共分两银子，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【变式40-3】（2025·安徽淮北·三模）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．问客房几间？房客几人？请解答上述问题． 题型四十一 三元一次方程的解 【例41】（23-24七年级下·四川乐山·期中）三元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【变式41-1】（23-24六年级下·上海虹口·期末）解方程组： 【变式41-2】（24-25六年级下·上海闵行·期末）解方程组 【变式41-3】（24-25六年级下·上海宝山·期末）解方程组：． 题型四十二 三元一次方程的应用 【例42】（24-25七年级下·河南郑州·期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方--九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，这就是最早的幻方．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，现将、、、、2、4、6、8分别放入图中的圆圈中，使得内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相等，则 ． 【变式42-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）一组有序排列的数具有如下规律：任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积，若这组数第1个数为2，第5个数为，则第2025个数是 ． 【变式42-2】（21-22九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）元旦将至，初中各年级准备给同学们购买新年礼物，准备购买笔记本、尺规作图工具、钢笔三种礼物，笔记本、尺规作图工具、钢笔的单价分别为5元、15元、25元，初二购买的笔记本数量是初一的10倍，尺规作图工具数量是初一的6倍，钢笔数量是初一的8倍，初三购买的笔记本数量是初一的3倍，尺规作图工具数量是初一的7倍，钢笔数量和初一相同，三个年级共花费金额2510元，初三比初一多用420元，则三个年级购买尺规作图工具共花费 元． 【变式42-3】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需 元 基础巩固通关测 一、单选题 1．（18-19七年级下·吉林长春·期中）若是关于的方程的解，则的值等于（    ） A．20 B．15 C．4 D．3 2．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）下列等式中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 3．（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）若，那么下列等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 4．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 5．（21-22七年级上·湖北孝感·期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数，物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱：如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，可列方程为（    ） A． B． C． D． 6．（21-22七年级下·河南信阳·期末）已知关于的一元一次方程的解是，则的值是（  ） A．3 B．2 C．-1 D．1 7．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）定义一种新运算：，，则方程的解是（      ） A． B． C． D． 8．（20-21八年级上·重庆·期中）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 9．（22-23七年级上·湖北荆州·期末）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是（    ） A．256 B． C．16 D． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在周长为的长方形中放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 二、填空题 11．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）二元一次方程若用含的代数式表示，则 ． 12．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）若,则 ． 13．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图为某计算机程序示意图，现规定“输入－判断是否正数”为一次操作，若输出结果为4且运行了两次操作，则输入的数值为 ． 14．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，点B 表示的数为15． （1） ； （2）点P以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点Q 以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动，其中点 P、点Q同时出发，当点 P、点Q分别到原点O的距离相等，则经过 秒． 三、解答题 15．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）解下列方程组： (1) (2) 16．（22-23六年级上·山东泰安·期末）解方程： (1) (2) 17．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）某工厂需要在一天内检验6000件产品的质量，共有40名产品检验员被分为“初检组”和“复检组”两组，并对所有产品做初检，复检两次检验． (1)要求“复检组”的检验员人数比“初检组”的多16人，问“复检组”有多少人？ (2)在（1）的条件下，“初检组”平均每人在这一天检验___________件产品． 18．（24-25七年级下·河北·期末）解二元一次方程组． (1)小组合作时，发现有同学这么做：得，解得，代入①得．所以这个方程组的解为．该同学解这个二元一次方程组的过程中使用了 消元法，目的是把二元一次方程组转化为 ； (2)请你用另一种方法解该二元一次方程组． 19．（2024七年级下·福建泉州·竞赛）已知关于x、y的方程组的解满足，求k的值． 20．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）甲、乙两人共同解方程组时，甲看错了方程②中的a，解得；乙看错了方程①中的b，解得，求的值． 21．（2025九年级下·甘肃张掖·学业考试）为了增强学生的体质，合肥市各学校积极落实每天一节体育课和一小时大课间活动．某学校倡导学生在大课间开展羽毛球活动，需购买甲，乙两种品牌羽毛球拍．已知购买甲种品牌羽毛球拍2副和乙种品牌羽毛球拍1副共需225元；购买甲种品牌羽毛球拍5副和乙种品牌羽毛球拍3副共需605元．问购买一副甲种品牌羽毛球拍和一副乙种品牌羽毛球拍各需要多少元？ 22．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）【观察思考】如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”， 【规律发现】 （1）第⑥个图案中“●”的个数为 ； （2）第①个图案中“○”的个数可表示为，第②个图案中“○”的个数可表示为，第③个图案中“○”的个数可表示为，第④个图案中“○”的个数可表示为，…，第个图案中“○”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍，求的值． 23．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，下表是调控后的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． (1)若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费________元；若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为________吨； (2)若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量； (3)若该户居民11月份、12月份共用水18吨，共交水费52元，且11月份用水不超过8吨，求11月份、12月份各应交水费多少元？ 能力提升进阶练 一、单选题 1．（17-18七年级上·黑龙江绥化·期末）下列利用等式的性质，错误的是（   ） A．由，得到 B．由，得到 C．由，得到 D．由，得到 2．（22-23八年级上·四川雅安·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（    ） A． B． C．1 D． 3．（17-18七年级下·山东东营·期末）用加减法解方程组时，若要求消去，则应（    ） A． B． C． D． 4．（17-18七年级上·辽宁鞍山·期末）书架上，第一层书的数量是第二层书的数量的2倍，这时从第一层抽8本到第二层，第一层剩下的数量恰比第二层的一半多3本，设第二层原有x本，则可列方程（　　） A． B． C． D． 5．（23-24七年级上·安徽六安·期末）被誉为“天下第一塘”的水门塘是我县的一张文化名片，为打造水门塘风光带，现有一段长为280米的堤岸维修任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天维修12米，B工程队每天维修10米，两个工程队共用时25天．则A工程队维修堤岸多少米？（   ） A．160 B．170 C．180 D．190 6．（17-18七年级上·吉林延边·期末）一项工程，甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，甲先单独做天，然后甲、乙两人合作天完成这项工程，根据题意下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 7．（22-23七年级上·江苏·期中）如图，在11月的日历表中用框数器“”框出3，5，11，17，19五个数，它们的和为55，若将 “”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（    ） A．40 B．88 C．107 D．110 8．（22-23七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第2023次相遇在哪条边上？（    ）    A． B． C． D． 9．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示．请大家猜猜甲同学心中所想的数是多少（   ） A．2 B．1 C． D． 10．（24-25七年级上·安徽六安·期末）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（    ）个 ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为或． A．0 B．1 C．2 D．3 二、填空题 11．（22-23七年级下·安徽芜湖·期末）把方程改写成用含的式子表示的形式 ． 12．（21-22七年级上·安徽淮南·阶段练习）若方程与方程有相同的解，则m＝ ． 13．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知a、b为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则ab的值为 ． 14．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解满足． （1）若，则的值为 ； （2）若m，n为有理数，则的值为 ． 三、解答题 15．（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）解方程组： (1) (2) (3) 16．（21-22七年级下·贵州黔南·期末）《算法统宗》中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓢醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”其意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，那么他们总共饮下了19瓶酒，问饮下醇酒，薄酒分别多少瓶？ 17．（20-21七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得． (1)求m，n的值； (2)求原方程组的解． 18．（24-25七年级下·浙江丽水·阶段练习）若关于的方程组和方程组有相同的解． (1)求关于的方程组正确的解． (2)求的值． 19．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否为“成双方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 20．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）观察发现： 材料：解方程组． 将①整体代入②，得．解得． 把代入①得，所以． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， (1)请直接写出方程组的解为_______． (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 21．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同． (1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为25%，B种商品按标价出售每件可获利10元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？ 22．（23-24七年级上·湖南娄底·阶段练习）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元. (1)表中的值为________； (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电的平均电价为元/度，求老李家8月份的用电量. 23．（22-23七年级下·福建漳州·期中）如图，在长方形中，，，点M以的速度从点A出发，沿的路线运动，点N以的速度从点D出发，沿的路线运动．若点M，N同时出发，当点N回到点D时，M，N两点同时停止运动．运动时间为t（s）． (1)当t为何值时，点M，N在运动路线上相遇； (2)当t为何值时，点M，N在运动路线上相距的路程为； (3)在整个运动过程中，是否存在直线把长方形分成两个梯形，且这两个梯形的面积比为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$ 第3章 一次方程与方程组（复习讲义） 一、学习目标 1.理解掌握方程与一元一次方程、方程组的概念； 2.理解方程的解的概念和运用； 3.理解掌握等式性质； 4.熟练掌握一元一次方程与二元一次方程组的解法. 5.了解和掌握方程的实际应用 二、学习重点：方程与方程组的解法与应用题解法 三、学习难点：方程与方程组的含参数问题与应用题解法 1 方程的有关概念 定义：含有未知数的等式叫做方程. 【说明】判断一个式子是不是方程，只需看两点：一是等式；二是含有未知数． 2 一元一次方程的概念 定义：只含有一个未知数（元），并且未知数的次数都是1，这样的方程叫做一元一次方程. 【说明】“元”是指未知数，“次”是指未知数的次数，一元一次方程满足条件： ①首先是一个方程；②其次是必须只含有一个未知数；③未知数的指数是1；④分母中不含有未知数． 3 方程的解、解方程 1.方程的解：使方程左右两边的值相等的未知数的值，叫做方程的解. 2.解方程：求方程的解的过程. 4 等式的性质 性质1：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式； 性质2：等式两边同时乘以（或除以）一个不为零的数或者式子，等式保持不变。 5 一元一次方程的解法 1.合并同类项 把若干能合并的式子的系数相加，字母和字母的指数不变，起到化简的作用. 2.移项 把等式一边的某项变号后移到另一边，叫做移项. 3.去括号 括号前负号时，去掉括号时里面各项应变号. 4.去分母 在方程的两边都乘以各自分母的最小公倍数。去分母时不要漏乘不含分母的项。当分母中含有小数时，先将小数化成整数. 【注意】：（1）移项的时候注意变号； （2）去括号的适合注意，若括号前是“-”号，那么去括号的时候要变号. 6 一元一次方程的同解方程 如果两个方程的解相同，那么这两个方程叫做同解方程，解决此类问题，通常是解其中一个方程，得到该方程解代入另一个方程求解字母的值. 乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 1.参数定义：参数是方程中用字母表示的未知常数，如方程ax + b = 0中a、b为参数。 2.分类讨论：当参数在系数位置时，需讨论系数是否为0，确定方程是否为一元一次方程。 当参数在常数项位置时，通过移项、合并同类项，用参数表示未知数。 3.解的情况： 当系数不为0时，方程有唯一解。 当系数为0且常数项也为0时，方程有无数解； 当系数为0但常数项不为0时，方程无解。 7 列一元一次方程解应用题的步骤 ①审：审题，分析题中已知什么，求什么，明确各数量之间关系 ②设：设未知数（一般求什么，就设什么为x） ③找：找出能够表示应用题全部意义的一个相等关系 ④列：根据这个相等关系列出需要的代数式，进而列出方程 ⑤解：解所列出的方程，求出未知数的值 ⑥答：检验所求解是否符合题意，写出答案（包括单位名称） 8 用一元一次方程解决实际问题的常见类型 1.行程问题：路程＝速度×时间 2.顺水逆水问题：顺水速度=船速+水速；逆水速度=船速-水速 3.和差倍分问题：增长量＝原有量×增长率 4.利润问题：商品利润＝商品售价－商品进价 5.工程问题：工作量＝工作效率×工作时间，各部分劳动量之和＝总量 6.银行存贷款问题：本息和＝本金+利息，利息＝本金×利率×期数 7.数字问题：多位数的表示方法：例如： 题型一 方程式的判断 【例1】（24-25七年级上·陕西安康·阶段练习）下列各式中，是方程的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，含有未知数的等式叫做方程，根据定义即可选出答案． 【详解】解：A．选项式子不是等式，不符合题意； B．选项式子是方程，故符合题意； C．选项式子没有未知数，不符合题意； D．选项式子不是等式，故不符合题意． 故选：B． 【变式1-1】（25-26七年级上·山西太原·开学考试）下面不是方程的是（　　） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了方程的定义，根据含有未知数的等式叫做方程，由此逐项分析即可得解，熟练掌握方程的定义是解此题的关键． 【详解】解：A、是方程，故不符合题意； B、，不是方程，故符合题意； C、是方程，故不符合题意； D、是方程，故不符合题意； 故选：B． 【变式1-2】（24-25七年级下·吉林长春·期末）下列各式中，属于方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查方程的定义，熟练掌握其定义是解题的关键． 含有未知数的等式叫方程，据此进行判断即可． 【详解】解：中不含未知数，则A不符合题意， 不是等式，则B不符合题意， 不是等式，则C不符合题意， 符合方程的定义，则D符合题意， 故选：D． 【变式1-3】（24-25七年级上·全国·随堂练习）下列各式：①；②；③；④；⑤；⑥；⑦；⑧．其中是方程的有（   ） A．3个 B．4个 C．5个 D．6个 【答案】D 【分析】根据方程的定义，判断所给式子是否为含有未知数的等式，从而确定方程的个数．本题主要考查了方程的定义，熟练掌握方程是含有未知数的等式是解题的关键． 【详解】解：方程是含有未知数的等式 ①，是含有未知数的等式，是方程 ②，不是等式，不是方程 ③，是含有未知数的等式，是方程 ④，是含有未知数的等式，是方程 ⑤，不是等式，不是方程 ⑥，是含有未知数的等式，是方程 ⑦，是含有未知数的等式，是方程 ⑧，是含有未知数的等式，是方程 ①③④⑥⑦⑧是方程，共个 故选：． 题型二 根据题意列方程 【例2】（25-26七年级上·全国·随堂练习）根据下列问题，设未知数并列出方程： 甲种铅笔每支1.4元，乙种铅笔每支1.8元．用23元钱买这两种铅笔，一共买了15支，两种铅笔各买了多少支？ 【答案】 【分析】本题考查了列方程，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程． 可以设甲种铅笔买了x支，根据“23元钱买了两种铅笔一共买了15支”列出方程即可． 【详解】解：设甲种铅笔买了x支，则乙种铅笔买支， 由题意得． 【变式2-1】（24-25七年级下·四川遂宁·阶段练习）只列方程，不必求解： (1)已知某数的倍与的差等于．设某数为； (2)某班级有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少．若设女生人数为人． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查列方程解应用题．根据题意，将文字描述转化为代数方程；需要找到表示某数的变量，并根据条件建立等式． 【详解】（1）解：已知某数的倍与的差等于，设某数为， 可列出方程：， 故答案为：； （2）设女生人数为， ∵班级有学生人，其中男生人数比女生人数的倍少， ∴方程为：， 故答案为：． 【变式2-2】（25-26七年级上·全国·课后作业）列方程表示下列语句中的相等关系： (1)某地2023年9月10日的温差是，这天最高气温是，最低气温是； (2)某校七年级学生人数为n，其中男生占，女生有110人； (3)一种商品每件进价为a元，售价为进价的1.1倍，现每件的售价又降低10元，现售价为每件210元； (4)在5天中，第一小组共植树60棵，第二小组共植树棵，平均每天第一小组比第二小组多植2棵树． 【答案】(1)； (2)； (3)； (4)． 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解题关键是理解题意，找出相等关系列出方程． （1）根据温差最高气温最低气温，列出方程即可； （2）根据女生人数总人数女生所占的比例，列出方程即可； （3）根据现售价原来的售价降价的钱数，列出方程即可； （4）根据第一小组平均每天种树的棵数第二小组平均每天种树的棵数，列出方程即可． 【详解】（1）解：根据题意，得； （2）解：根据题意，得； （3）解：根据题意，得； （4）解：根据题意，得． 【变式2-3】（24-25七年级下·全国·假期作业）根据题意设未知数，并列出方程． (1)一个数的倍比它的倍多，求这个数； (2)从的木条上截去段同样长的木条，还剩下长的短木条，截去的木条每段长为多少？ (3)如图，小颖种了一株树苗，开始时树苗高为，栽种后每周长高约，大约几周后树苗长高到？ 【答案】(1)设这个数为，； (2)设截去的木条每段长为，； (3)设大约周后树苗长高到，． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找到等量关系列出方程是解题的关键． （）设这个数为，根据题意列出方程即可； （）设截去的木条每段长为，根据题意列出方程即可； （）设大约周后树苗长高到，根据题意列出方程即可． 【详解】（1）解：设这个数为， 根据题意得，； （2）解：设截去的木条每段长为， 根据题意得，； （3）解：设大约周后树苗长高到， 根据题意得，． 题型三 判断是否是方程的解 【例3】（24-25六年级上·上海·阶段练习）是不是方程和的解？ 【变式3-1】（25-26七年级上·全国·随堂练习）判断和是不是方程的解． 【变式3-2】（24-25七年级上·云南临沧·期末）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 【变式3-3】（24-25七年级上·河北邯郸·阶段练习）下列方程中，解为的是（   ） A． B． C． D． 题型四 方程解的运用（求参数） 【例4】（2024七年级下·广西·竞赛）已知关于x的方程的解与方程的解互为相反数，求m的值． 【答案】是方程和的解 【分析】本题考查了一元一次方程的解，掌握能使方程左右两边相等的未知数的值是方程的解是解题的关键； 根据题意，把分别代入和，看是否使方程左右两边相等，然后即可求解； 【详解】解：把分别代入方程，左边，右边， ∴左边右边， ∴是方程的解； 把分别代入方程，左边，右边， ∴左边右边， ∴是方程的解； 综上所述：是方程和的解； 【变式4-1】（23-24七年级下·四川乐山·期中）若关于的方程的解是，则的值为 ． 【答案】见解析 【分析】此题考查了一元一次方程的解的概念，解题的关键是熟练掌握一元一次方程的解的概念． 将、分别代入方程，判断等号两边值是否相等即可解答． 【详解】解：将代入方程的左边，得左边， 则左边右边， ∴不是方程的解； 将代入方程的左边，得左边， 则左边右边， ∴是方程的解； 【变式4-2】（22-23七年级上·全国·期中）若是关于的方程的解，则的值为（    ） A．2017 B．2027 C．2045 D．2031 【答案】D 【分析】本题主要考查了解一元一次方程的知识，解题的关键在于熟练掌握解方程的方法． 把代入方程判断左右是否相等，即可得答案． 【详解】解：A、把代入，左边为，右边为，，所以不是该方程的解，故该选项不符合题意； B、把代入，左边为，右边为，，所以不是该方程的解，故该选项不符合题意； C、把代入，左边为，右边为，，所以不是该方程的解，故该选项不符合题意； D、把代入，左边为，右边为，左边等于右边，所以是该方程的解，故该选项符合题意； 故选D． 【变式4-3】（20-21七年级上·江苏苏州·阶段练习）若是关于x的方程的解，则m的值为 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将代入各选项方程，验证等式是否成立。 【详解】A：代入，左边，右边，等式不成立。 B：代入，左边，右边，等式不成立。 C：代入，左边=，右边，等式成立。 D：代入，左边=，右边，，等式不成立。 综上，只有选项C的解为。 故选：C 题型五 等式性质的运用 【例5】（19-20七年级上·湖南长沙·期末）下列等式变形错误的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可，解题的关键是熟记等式性质：等式两边加同一个数（或式子）结果仍得等式；性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式． 【详解】解：A、若，则，原选项变形正确，不符合题意； B、若，则，原选项变形正确，不符合题意； C、若，则，原选项变形正确，不符合题意； D、若，在时，两边都除以可得，原选项变形错误，符合题意； 故选：D． 【变式5-1】（21-22七年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）下列说法正确的是（　　） A．如果，那么 B．如果、互为相反数，那么 C．精确到的近似值为 D．是三次二项式 【答案】B 【分析】本题考查等式性质，相反数定义，绝对值定义，整式定义，实数精确等．根据题意逐一对选项进行分析即可得到本题答案． 【详解】解：∵，只有当时，，除此之外，不成立，即A不正确， ∵、互为相反数， ∴，即B正确； ∵精确到的近似值为，即C不正确， ∵是三次三项式，即D不正确， 故选：B． 【变式5-2】（20-21七年级上·陕西延安·期末）下列说法不一定成立的是（   ） A．若，则 B．若，则 C．若，则 D．若，则 【答案】D 【分析】本题考查了等式的性质，等式的性质是：①等式的两边都加（或减）同一个数或式子，等式仍成立；②等式的两边都乘以同一个数，等式仍成立；等式的两边都除以同一个不等于0的数，等式仍成立．根据等式的性质逐个判断即可． 【详解】解：A．若，两边同时减，则，成立； B．若，两边同时乘，则，成立； C．若，两边同时除以，则，成立； D．当时，不成立． 故选：D． 【变式5-3】（24-25七年级上·辽宁抚顺·期末）运用等式性质进行的变形，正确的是（    ） A．如果，那么 B．如果，那么 C．如果，那么 D．如果，那么 【答案】D 【分析】本题主要考查了等式的性质，熟知等式的性质是解题的关键：等式两边同时加上或减去一个数或式子等式仍然成立；等式两边同时乘以一个数或式子等式仍然成立，等式两边同时除以一个不为0的数或式子等式仍然成立． 利用等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、如果，那么或，原写法错误，不符合题意； B、如果，那么，原写法错误，不符合题意； C、如果，当时，那么，原写法错误，不符合题意； D、如果，那么，原写法正确，符合题意， 故选：D． 题型六 解一元一次方程 【例6】（24-25七年级上·甘肃酒泉·期末）解下列方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解题的关键是熟练掌握解一元一次方程的步骤． （1）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可； （2）利用解一元一次方程的步骤进行求解即可． 【详解】（1）解：， 移项、合并同类项，得， 将系数化为，得； （2）解： 去分母，得， 去括号，得， 移项、合并同类项，得， 将系数化为，得． 【变式6-1】（25-26七年级上·重庆渝北·开学考试）解方程． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程，解题的关键是掌握解一元一次方程的基本步骤． （1）方程移项合并，把x系数化为1，即可求出解； （2）方程去分母，去括号，移项合并，把x系数化为1，即可求出解． 【详解】（1）解： 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，； （2）解： 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得，． 【变式6-2】（25-26七年级上·河南信阳·开学考试）解方程： (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解方程和解比例方程，解题的关键是熟练掌握等式的性质． （1）利用等式的性质解方程即可； （2）先利用比例的性质得出，再解方程即可． 【详解】（1）解：， 得， 得； （2）解：， 得， 得， 得， 即． 【变式6-3】（24-25七年级上·福建泉州·开学考试）求未知数 (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题考查了一元一次方程的求解（含百分数、分数、比例形式） ，解题的关键是根据等式的基本性质，将方程逐步变形为 “未知数 = 常数” 的形式，求解时注意统一数的形式（如百分数化小数、比例化除法） ． （1）先将百分数 75% 化为小数0.75，再根据等式性质，方程两边同时除以0.75消去左边的系数，最后两边同时加1.4求出x； （2）先合并左边含m的同类项，得到最简含m的式子，再根据等式性质两边同时除以同类项的系数，求出m；（3）先将比例18：化为除法18÷并计算结果，再根据等式性质两边同时乘2，最后两边同时减 6 求出 x． 【详解】（1）解： ∵75%=0.75 ∴方程两边同除以0.75： 即 方程两边同加1.4： ∴ （2） 合并同类项： 方程两边同乘： ∴ （3） ∵ ∴方程两边同乘 2： 即 方程两边同减 6： ∴ 题型七 绝对值方程的求解 【例7】（24-25七年级下·江西上饶·期中）设、为有理数，且，方程有三个不相等的解，求的值及三个解． 【答案】，方程的解为或或 【分析】本题主要考查绝对值方程，解决问题的关键是熟练掌握绝对值的定义，绝对值的化简．根据，得到或，分有两个不相等的解，有一个解或有一个解，有两个不相等的解，讨论即可． 【详解】解：∵， ∴或， ∵方程有三个不相等的解， ∴有两个不相等的解，有一个解或有一个解，有两个不相等的解； ①当有两个不相等的解，有一个解时， ∴或，， ∴，或或； ②当有一个解，有两个不相等的解时， ∴，或， ∴，或或； 此时，与有两个不相等的解矛盾，所以无解，此种情况舍去； 综上所述：，方程的解为或或． 【变式7-1】（24-25七年级上·全国·期末）已知关于的方程是一元一次方程． (1)求的值； (2)计算的值． 【答案】(1)； (2)． 【分析】本题考查了一元一次方程定义，整式加减——化简求值，掌握知识点的应用是解题的关键． （）根据一元一次方程的定义：未知数的最高项的次数为且系数不为零，求出的值即可； （）先化简，再把代入计算即可求解． 【详解】（1）解：由题意得，， ∴； （2）解： ， 当时， 原式 ． 【变式7-2】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）对于任意有理数，规定：当时，；当时，． (1)填空：______，______，______； (2)若，求的值； (3)若两个有理数，，且异号，满足，请直接写出之间可能存在的数量关系：______． 【答案】(1)4；1； (2)或－2 (3)或或或 【分析】本题考查代数式求值，绝对值方程的求解，化简绝对值，解题的关键是理解题意正确列式． （1）根据的定义求解即可； （2）分两种情形构建方程求解； （3）分两种情形，根据绝对值方程求解． 【详解】（1）解：，，． 故答案为：4，1，； （2）， 当时，即， ， 解得：， 当，则， ， 解得：（不符合题意） 综上，或－2； （3）异号， ，或，， 当，时， ，， 两个有理数，，满足， ， 若，时，则， ， 或； 若，时，则， ， ，（不符合题意舍去） 当，时， ，， 两个有理数，，满足， ， 若，时，， 或； 若，时， ， ， （不符合题意舍去） 综上：或或或． 【变式7-3】（24-25七年级上·河北邯郸·期末）数学家欧拉最先用来表示关于x的多项式．如对于：当时，则，当时，则．若规定，下列结论中：①；②若时，则；③当时，的值为7；以上结论不正确的个数有（   ） A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值，①将代入，可求解；②根据题意得到方程，解方程即可求解；③将代入即可求解． 【详解】解：∵， ∴①，故①正确； ②若时，即， 整理得， ∴，故②正确； ③当时，，故③正确； 综上，①②③都正确，不正确的有0个． 故选：A． 题型八 一元一次方程解的运用（求参数） 【例8】（2024七年级下·福建泉州·竞赛）若关于x的方程，无论k为任何数时，它的解总是，则 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解． 整理原式得出，根据方程的解为1，得出，然后代数求解即可． 【详解】解： 把代入得：， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【变式8-1】（24-25七年级下·黑龙江绥化·期末）小明在解方程：去分母时，方程右边的1没有乘6，因而得到方程的解为，方程正确解为 ． 【答案】 【分析】本题考查根据方程的解的情况求参数，解一元一次方程，将错就错，求出的值，再根据正确的步骤解方程即可． 【详解】解：小明的做法是：， ， ， ， ， ， 小明得到方程的解为， ， ， ∴方程为， ， ， ， ， ， ∴方程的正确解为， 故答案为：． 【变式8-2】（21-22七年级上·黑龙江哈尔滨·阶段练习）若方程与关于x的方程的解相同，求的值． 【答案】27 【分析】本题考查一元一次方程的解法（同解问题）及代数式求值，解题关键是通过第一个方程求出公共解，再代入第二个方程求a的值． 解第一个方程：通过去分母、去括号、移项合并，求出x的值（公共解）；代入第二个方程：将公共解代入含a的方程，解关于a的一元一次方程；计算代数式：用求得的a值代入，算出结果． 【详解】解：解第一个方程 两边同乘（分母最小公倍数），得： 去括号： 合并同类项： 移项得：， 解得． 将代入，得： 两边同乘6消分母： 去括号： 合并同类项： 移项得：， 解得． ∴． 【变式8-3】（24-25七年级下·湖南衡阳·期末）定义：如果两个一元一次方程的解之和为1，我们就称这两个方程为“美好方程”．例如：方程和为“美好方程”． (1)若关于x的方程与方程是“美好方程”，求m的值； (2)若“美好方程”的两个解的差为8，其中一个解为n，求n的值； (3)若关于x的一元一次方程和是“美好方程”，求关于y的一元一次方程的解． 【答案】(1)9 (2)或 (3)2024 【分析】本题考查了一元一次方程的解，利用“美好方程”的定义找到方程解的关系是解题的关键． （1）先表示两个方程的解，再根据“美好方程”的定义求解即可； （2）根据条件可得“美好方程”的另一个解为，再由 “美好方程”的两个解的差为8，建立关于n的方程，再求解； （3）求出方程的解为，再根据“美好方程”的定义，可得是方程的解，再把方程变形为，可得到，即可求解． 【详解】（1）解：解方程得：， 解方程得：， ∵方程与方程是“美好方程”， ∴， 解得：； （2）解： ∵“美好方程”的一个解为n， ∴“美好方程”的另一个解为， ∵“美好方程”的两个解的差为8， ∴， ∴n的值为或； （3）解：解方程得：， ∵方程和是“美好方程”， ∴是方程的解， ∵方程可变形为， ∴， ∴． 题型九 一元一次方程解的关系 【例9】（23-24七年级下·四川广元·期末）已知关于的一元一次方程的解为，那么关于的一元一次方程的解为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了一元一次方程的解．正确理解方程的解的概念和运用整体代换是解决问题的关键． 设，再根据题目中关于x的一元一次方程的解确定出y的值即可． 【详解】解：设 ，则关于y的方程化为：， ∵方程的解为， ∴， ∴ 故答案为：． 【变式9-1】（24-25七年级上·全国·期末）已知关于的一元一次方程的解为，则关于的一元一次方程的解是 ． 【答案】2029 【分析】本题考查换元法求方程的解，将方程转化为，根据的解为，得到，进行求解即可． 【详解】解：方程可化为． ∵方程的解为， ∴ 的解为， ． 故答案为：2029． 【变式9-2】（23-24七年级下·河南南阳·期末）已知关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查根据已知一元一次方程，求另一个一元一次方程的解，掌握一元一次方程的解的定义是解此题的关键． 已知关于的方程的解为，观察关于的方程的结构，可发现其与原方程形式相同，只需将原方程中的替换为．因此，原方程的解对应新方程中，直接求解即可． 【详解】解：因为原方程的解为． 所以方程满足， 解得， 故选：A． 【变式9-3】（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）关于x的一元一次方程的解为，则关于y的一元一次方程的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的解，将方程适当变形是解答本题的关键．方程可变形为：，再根据两个方程的特点得出，据此求解即可． 【详解】解：方程可变形为：， ∵关于x的一元一次方程的解为， ∴关于y的一元一次方程的解为， 解得：． 故选：D． 题型十 一元一次方程的应用：配套问题 【例10】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）某口罩厂有60名工人，每人每天可以生产400个口罩面或800个口罩耳绳，一个口罩面需要配两个耳绳，为使每天生产的口罩刚好配套，设安排x名工人生产口罩面，则下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，题目已经设出安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳，由一个口罩面需要配两个耳绳可知耳绳的个数是口罩面个数的2倍从而得出等量关系，就可以列出方程，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】解：设安排x名工人生产口罩面，则人生产耳绳， ， 故选：B． 【变式10-1】（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）某车间有40名工人，某月接到订单，要求加工甲、乙两种零件，每人每天可以生产10个甲种零件或5个乙种零件，已知1个甲种零件和2个乙种零件可以组装成一个成品．为使每天生产的甲、乙两种零件刚好配套，应各安排多少人生产甲、乙两种零件？ 【答案】安排8人生产甲种零件，32人生产乙种零件 【分析】本题考查一元一次方程的应用，弄清题意 ，正确确定等量关系是解题的关键；设安排人生产甲种零件，则安排人生产乙种零件，根据“每人每天可以生产10个甲种零件或5个乙种零件，已知1个甲种零件和2个乙种零件可以组装成一个成品”，可列方程求解． 【详解】解：设安排人生产甲种零件，则安排人生产乙种零件， 根据题意列方程得：， 解得， ， 答：安排8人生产甲种零件，32人生产乙种零件． 【变式10-2】（24-25七年级上·安徽黄山·期末）某景区定制一批文创用品，要求每套文创用品中包括2个书签和1个冰箱贴．已知生产厂家共有70位工人，每位工人每天可生产15个书签，或生产10个冰箱贴．问厂家如何安排工人才能使得每天生产的书签和冰箱贴刚好配套？若设安排x位工人生产书签，则根据题意可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，找准相等关系是解题的关键．设安排x位工人生产书签，则安排位工人生产冰箱贴，根据“每套文创用品中包括2个书签和1个冰箱贴”列方程即可． 【详解】设安排x位工人生产书签，则安排位工人生产冰箱贴， 根据题意得，． 故选：B． 【变式10-3】（23-24七年级上·安徽合肥·期末）巢湖某工厂主要生产各种样式的包装盒，现收到一批糖果盒的订单，主管要安排工人即刻生产．已知该工厂共有84名工人，其中女工人数比男工人数的3倍少36人，并且每个工人平均每小时可以制作盒身50个或盒底110个． (1)该工厂有男工、女工各多少人？ (2)该工厂原计划男工负责制作盒身，女工负责制作盒底，要求一个盒身配两个盒底，那么调多少名女工帮男工制作盒身时，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套？ 【答案】(1)该工厂有男工30人，有女工54人 (2)调14名女工帮男工制作盒身，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 【分析】此题主要考查了一元一次方程的应用，关键是正确理解题意，找出题目中的等量关系，列出方程． （1）设该工厂有男工人，则女工有人，根据“男工人数女工人数”列出方程并解答； （2）首先设设调名女工帮男工制作盒身，根据题意可得等量关系：盒身数量盒底数量，根据等量关系列出方程，再解即可． 【详解】（1）解：设该工厂有男工人，则女工有人， 由题意得：， 解得：， 女工：（人）， 答：该工厂有男工30人，有女工54人； （2）解：设调名女工帮男工制作盒身， 由题意得：， 解得：， 答：调14名女工帮男工制作盒身，才能使每小时制作的盒身与盒底恰好配套． 题型十一 一元一次方程的应用：工程问题 【例11】（2025·安徽阜阳·三模）码头到货100t，现有甲、乙两装卸作业组同时开始卸货．甲组卸货at，需要时间为小时；乙组卸货，需要时间为小时．问当他们一起卸完所有的货物时，甲组卸货多少吨？ 【答案】甲组卸货40.4t 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键； 设甲组卸货xt，需要时间小时，乙组卸货t，需要时间小时，根据他们一起卸完所有的货物，甲和乙用的时间相等即可列出方程，解方程即可． 【详解】解：设甲组卸货xt，由题意得． ， ． 答：甲组卸货40.4t． 【变式11-1】（24-25七年级上·安徽六安·阶段练习）甲、乙两公司承包了一项民生工程，甲公司单独完成需要40天，乙公司单独完成需要20天，甲、乙公司先共同合作5天后，剩下的工程由甲公司完成，则比甲公司单独完成提前了几天？ 【答案】提前了10天 【分析】本题考查一元一次方程的应用，理解题意，正确列出方程是解答的关键．设剩下的工程由甲公司完成还需天，根据甲乙完成的工程量和为1列方程求解即可． 【详解】解：设剩下的工程由甲公司完成还需天， 由题意得，， 解得， （天）， 答：比甲公司单独完成提前了10天． 【变式11-2】（24-25七年级上·黑龙江哈尔滨·期中）有一些相同的房间需要用地板装修地面，每一天4名熟练的装修工人可装修5间房，结果还剩未能装修；每一天6名初级装修工人除了能装修7间房以外，还可以多装修．若一名熟练工人每天比一名初级工人多装修，设每个房间地面面积，一名初级工人每天装修，下列方程中正确的有（   ） ①；②；③；④ A．①③ B．②④ C．①④ D．②③ 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意，找到等量关系，列出方程，设每个房间地面面积，根据一个熟练工人每天比一个初级装修工人多装修，可得方程；设一名初级工人每天装修，则一个熟练工人每天装修，根据每个房间的装修面积为：，，可得方程，从而可得答案． 【详解】解：设每个房间地面面积， ∵每一天名熟练的装修工人可装修间房，结果还剩未能装修， ∴一个熟练工人每天装修， ∵每一天名初级装修工人除了能装修间房以外，还可以多装修， ∴一个初级装修工人每天装修， ∵一个熟练工人每天比一个初级装修工人多装修， ∴； 设一名初级工人每天装修，则一个熟练工人每天装修， ∴每个房间的装修面积为：或 ∴； ∴②③正确， 故选：D． 【变式11-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）一项工程，由甲、乙两个工程队合作完成．已知甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天． (1)甲、乙合作需要______天完成； (2)若先由乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成．问还需几天可以完成这项工程？ 【答案】(1) (2)天 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，涉及工作总量、工作时间、工作效率等知识内容，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设甲乙合作需要x天完成，因为甲工程队单独完成需要4天，乙工程队单独完成需要6天，则，解出即可作答． （2）依题意，设还需要y天，因为乙工程队单独做1天，再由甲、乙两队合作完成，所以，解出即可作答． 【详解】（1）解：设甲乙合作需要x天完成， 依题意：， 解得 ， 所以需要天； （2）解：设还需要y天： 依题意，， 解得， 故还需要2天． 题型十二 一元一次方程的应用：销售问题 【例12】（24-25七年级上·安徽六安·期末）某商店将一种书包按进价提高作为标价，然后再按标价9折出售，这样卖出一个书包可盈利8.5元．这种书包每个进价为（   ）元． A．50 B．58.5 C．42.5 D．60 【答案】A 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，正确找出等量关系，列出一元一次方程是解题的关键．设这种书包每个进价为x元，根据书包按进价提高作为标价，然后再按标价9折出售，这样卖出一个书包可盈利8.5元列出方程求解即可． 【详解】解：设这种书包每个进价为x元，根据题意， 得， 解得， 所以这种书包每个进价为50元． 故选：A． 【变式12-1】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）2025年是中国农历乙巳蛇年，胖东来超市有蛇年吉祥物毛绒公仔“已升升”A，B两种款式出售．B种款式每个售价比A种款式贵10元；购买20个A种蛇年吉祥物和30个B种蛇年吉祥物共需花费2300元． (1)A，B两种款式吉祥物每件售价各是多少？ (2)复兴中学计划购买B种款式吉祥物在寒假期间家访时送给留守儿童作为新年礼物，且购买数量超过50个，超市了解情况后特别给出两种优惠方案： 方案一：每个均按原售价的7折优惠； 方案二：前50个按原售价8折优惠，超过50个的部分每个按半价出售． 复兴中学选择哪种方案购买更合算？ (3)年货节期间，A款吉祥物按原售价9折出售，B款吉祥物按原售价的8.8折出售，打折后一周内两款吉祥物共售出100个，若A款吉祥物进价25元/个，B款吉祥物进价30元/个，结果两款吉祥物总利润一样，则A、B两款吉祥物这周内各售出多少个？ 【答案】(1)种款式吉祥物每件售价40元，种款式吉祥物每件售价50元； (2)见详解 (3)A、B两款吉祥物这周内分别售出个，个 【分析】本题考查列代数式、一元一次方程的应用，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）设种款式吉祥物每件售价元，则种款式吉祥物每件售价元，根据题意列方程并求解即可； （2）设购买B种款式吉祥物为个，按方案一购买需要元，按方案二购买需要元，分别写出、关于的表达式，再比较二者大小即可； （3）设购买种款式吉祥物个，则购买种款式吉祥物个，根据题意列关于的一元一次方程，再进行解方程，即可作答． 【详解】（1）解：设种款式吉祥物每件售价元，则种款式吉祥物每件售价元． 根据题意，得， 解得， ∴（元）， 种款式吉祥物每件售价40元，种款式吉祥物每件售价50元； （2）解：设购买B种款式吉祥物为个，按方案一购买需要元，按方案二购买需要元． 根据题意，， ． 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； 当时，则， 解得； ∴ ∴当购买B种款式吉祥物大于个时，选择方案二合算； 当购买B种款式吉祥物等于个时，选择方案一和方案二一样合算； 当购买B种款式吉祥物大于个且小于个时，选择方案一合算； （3）解：∵打折后一周内两款吉祥物共售出100个， ∴设购买种款式吉祥物个，则购买种款式吉祥物个， ∵A款吉祥物按原售价9折出售，B款吉祥物按原售价的8.8折出售，且A款吉祥物进价25元/个，B款吉祥物进价30元/个， ∴， 解得． ∴ 则A、B两款吉祥物这周内分别售出个，个． 【变式12-2】（2025·安徽蚌埠·三模）某文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件．A、B两种文具的进价和售价如下表：（注：获利=售价-进价） 文具 A B 进价（元/件） 30 40 售价（元/件） 38 50 (1)该文具店购进A、B两种文具各多少件？ (2)该文具店将购进的A、B两种文具全部卖完后一共可获得多少利润？ 【变式12-3】（2025·陕西·模拟预测）已知某商店有两件进价不同的运动衫都卖了150元，其中一件盈利，另一件亏损，在这次买卖中这家商店是亏了还是赚了？亏了（或赚了）多少钱？ 【答案】(1)该文具店购进A种文具96件，购进B种文具78件 (2)该文具店全部卖完一共可获得1548元的利润 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，找到等量关系是解题的关键． （1）设文具店购进A种文具x件，则购进B种文具为件，根据文具店用6000元购进A、B两种文具，其中B种文具的数量比A种文具数量的一半多30件，列出一元一次方程，即可解答． （2）分别求出A、B两种文具的利润，再相加，即可解答． 【详解】（1）解：设文具店购进A种文具x件，则购进B种文具为件，根据题意得：， 解得：， （件）； 答：该文具店购进A种文具96件，购进B种文具78件． （2）（元）； 答：该文具店全部卖完一共可获得1548元的利润． 题型十三 一元一次方程的应用：比赛问题 【例13】（24-25七年级上·安徽淮北·阶段练习）学校举行了环保知识竞赛，竞赛中每答对一题加5分，答错一题扣3分，一共20道题，小芳完成了全部答题，并在本次竞赛中获得了76分，她做对了几题？ 【答案】在这次买卖中这家商店是亏了，亏了元钱． 【分析】本题考查了一元一次方程的应用．设第一件运动衫的进价为x元，第二件运动衫的进价为y元，根据题意求出x，y，然后再用售价减去进价即可得出答案． 【详解】解：设第一件运动衫的进价为x元，第二件运动衫的进价为y元， 则，， 解得（元），（元）． ∴（元）． 答：在这次买卖中这家商店是亏了，亏了元钱． 【变式13-1】（2025·安徽六安·模拟预测）为庆祝中华人民共和国成立75周年，某校开展了一场知识竞赛，规定答对一道题得10分，答错一道题扣5分，不答扣2分，八（1）班和八（2）班答对、答错、不答的题数如下表： 班级 答对 答错 不答 八（1）班 15 4 1 八（2）班 13 八（1）班最终得分比八（2）班多21分，求八（2）班答错了几道题． 【答案】她答对了17道题 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设她答对了道题，则答错道题．根据“本次竞赛中获得了76分”列出一元一次方程，解方程，即可求解．关键是根据题意找到等量关系式． 【详解】解：设她答对了道题，则答错道题． 根据题意，得 解得 答：她答对了17道题． 【变式13-2】（23-24七年级上·安徽亳州·期末）利辛县某次数学竞赛共有20道题，已知做对一道得4分，做错一道或不做扣一分，某同学最后的得分是55分，则他做对（    ）道题 A．16 B．15 C．14 D．13 【答案】答错了3道题 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．设八（2）班答错了道题，则不答的题数为，根据题意列出一元一次方程即可求出结论． 【详解】解：由题意可知，共有道题，八（2）班答错或不答的题数， 设八（2）班答错了道题，则不答的题数为． 由题意可得， 解得． 答：八（2）班答错了3道题． 【变式13-3】（21-22七年级上·安徽合肥·期末）聪聪同学到某校游玩时，看到运动场的宣传栏中的部分信息（如表）： 校篮球赛成绩公告 比赛场次 胜场 负场 积分 22 12 10 34 22 14 8 36 22 0 22 22 聪聪同学结合学习的知识设计了如下问题，请你帮忙解决： (1)从表中可以看出，负一场积 　 　分，胜一场积 　 　分； (2)某队在比完22场的前提下，胜场总积分能等于负场总积分吗？请说明理由． 【答案】答错了3道题 【分析】本题考查一元一次方程的应用，掌握实际问题中的等量关系是解决此题的关键．设八（2）班答错了道题，则不答的题数为，根据题意列出一元一次方程即可求出结论． 【详解】解：由题意可知，共有道题，八（2）班答错或不答的题数， 设八（2）班答错了道题，则不答的题数为． 由题意可得， 解得． 答：八（2）班答错了3道题． 题型十四 一元一次方程的应用：方案问题 【例14】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）某农产品基地生产一种绿色蔬菜，若在市场上直接销售，每吨利润为100元；经粗加工后销售，每吨利润可达450元；经精加工后销售，每吨利润涨至750元．现收获这种蔬菜140吨，该基地加工能力是：如果对蔬菜进行粗加工，每天可加工16吨；如果对蔬菜进行精加工，每天可加工6吨，但两种加式方式不能同时进行，受季节条件的限制，公司必须在15天之内将这批蔬菜全部销售或加工完毕，为此公司研制了三种加工方案． 方案一：将蔬菜全部进行粗加工； 方案二：尽可能多的对蔬菜进行精加工，没有来得及加工的蔬菜在市场上直接销售； 方案三：将部分蔬菜进行精加工，其余蔬菜进行粗加工，并恰好在15天完成． 你认为选择哪种方案获利 【答案】方案三获利最多 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用．此题中的数量关系较多，正确理解题意是解决此题的重点．根据题中方案列式进行计算即可． 【详解】解：方案一：（元），即将食品全部进行粗加工后销售， 则可获利润万元；     方案二：（元）， 即将食品尽可能多的进行精加工，没来得及加工的在市场上直接销售， 则可获利润元； 方案三：设粗加工吨食品，则精加工吨食品， 由题意可得：， 解得， ，        这时利润为：（元）， ∵， ∴方案三获利最多 ． 答：方案三获利最多 ． 【变式14-1】（24-25七年级上·安徽芜湖·期末）为丰富学生课外活动，学校计划购买一些乒乓球和乒乓球拍，现了解情况如下：甲、乙两家商店出售两种同样品牌的乒乓球和乒乓球拍，乒乓球拍每副定价200元，乒乓球每盒定价50元．经洽谈后，甲商店全部按定价的9折优惠；乙商店每买一副球拍赠一盒乒乓球．该校需球拍10副，乒乓球x盒（不少于10盒）．问： (1)若在甲商店购买，一共需付款________元；若在乙商店购买，一共需付款________元；（用含x的式子表示） (2)当购买乒乓球多少盒时，两种优惠办法付款一样多？ 【答案】(1)， (2)当购买乒乓球60盒时，两种优惠办法付款一样多 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，列代数式， （1）根据甲乙两个上的的优惠方案分别列式即可； （2）根据题意列出一元一次方程求解即可． 【详解】（1）（元） ∴若在甲商店购买，一共需付款元； （元） ∴若在乙商店购买，一共需付款元； （2）根据题意得， 解得 ∴当购买乒乓球60盒时，两种优惠办法付款一样多． 【变式14-2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·期中）秋高气爽之时，水果丰收之际．某水果加工厂收购了30吨雪梨．经市场预测，若直接销售，每吨可获利万元；若经过加工包装后销售，每吨可获利万元；若制成雪梨罐头出售，每吨可获利万元．该工厂的加工能力是：每天可包装5吨或制成罐头3吨，受人员限制，同一天内两种加工方式不能同时进行，受气温限制，这些雪梨必须在8天内全部销售或加工完毕，为此水果加工厂研制了两种方案： 方案一：尽可能多的做成罐头，余下的直接销售； 方案二：部分制成罐头，其余进行加工包装，并恰好8天完成． (1)请比较说明哪种方案可使工厂所获利润最多？ (2)水果加工厂欲将（1）问中获利最多方案制成的所有雪梨罐头由加工厂运到市场售卖，已知有甲、乙两家运输公司都可以承担此次运输，要收取的费用如下表： 运输公司 运输单价（元/吨·千米） 每吨装卸费（元） 甲 5 50 乙 6 30 经水果加工厂计算发现乙运输公司总费用比甲运输公司总费用多450元，求水果加工厂到市场的距离． 【答案】(1)方案二可使工厂所获利润最多 (2)加工厂到市场的距离为50千米 【分析】本题考查一元一次方程的运用，解题的关键在于根据题意得到等量关系． （1）分别算出方案一和方案二所获利润，再进行比较即可解题； （2）设加工厂到市场的距离为y千米，根据题意建立方程求解，即可解题． 【详解】（1）解：方案一：（万元）， 方案二：设吨制成罐头，则吨进行加工包装， 则，解得：， 获利：（万元）， ， 方案二可使工厂所获利润最多． （2）解：设加工厂到市场的距离为千米， 则， 解得：， 答：加工厂到市场的距离为50千米． 【变式14-3】（11-12七年级·吉林长春·阶段练习）为庆祝“五一”，学校统一组织合唱比赛，七、八年级共92人（其中七年级的人数超过46人但不足90人）准备统一购买服装参加比赛．若两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，下表是某服装厂给出服装的价格表： 购买服装的套数 1套至45套 46套至90套 91套以上（含91套） 每套服装的价格 60元 50元 40元 (1)求七、八年级各有多少学生参加合唱比赛； (2)七年级参加合唱比赛的学生中，有10名同学抽调去参加绘画比赛，不能参加合唱比赛，请你为两个年级设计一种最省钱的购买服装方案． 【答案】(1)七年级52人，八年级40人 (2)两个年级一起买91套时最省钱 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，利用分类讨论的思维是解题关键． （1）设七年级有x人，根据七年级的人数多于八年级的人数，且七年级的人数不足90人，得出七年级，八年级的人数范围，从而确定服装价格；再根据两个年级分别单独购买服装一共应付5000元，列方程求解即可； （2）分别计算：①两个年级单独买、②两个年级一起买82套、③两个年级一起买91套的总花费，即可判断； 【详解】（1）解：设七年级有x人，则八年级有人， ∵七年级人数超过46但不足90人， （2）∴八年级人数不足46人， ∴七年级每套服装50元，八年级每套服装60元， ∵两个年级分别单独购买服装一共应付5000元， ∴， 解得：， ∴， ∴七年级52人，八年级40人； 解：由题意得：七年级参加合唱比赛的人为（人）， 八年级参加合唱比赛的人为40人，设总花费为y，则： ①两个年级单独买时：（元）， ②两个年级一起买82套时：（元）， ③两个年级一起买91套时：（元）， ∵， ∴两个年级一起买91套时最省钱． 题型十五 一元一次方程的应用：数字问题 【例15】（24-25七年级上·安徽滁州·期中）已知三个连续奇数的和为111，其中最小的奇数为（  ） A．31 B．33 C．35 D．37 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程的应用，设最小的奇数为n，根据“三个连续奇数的和为111”列一元一次方程，解方程即可． 【详解】解：设最小的奇数为n，则中间的奇数为，最大的奇数为， 由题意得：， 化简得， 解得， 故选C． 【变式15-1】（24-25七年级上·安徽芜湖·开学考试）三个连续偶数的和是，最大的一个偶数是（    ） A．a B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程．先设最大的偶数，再根据三个连续的偶数的和是，即可列出相应的方程，然后求解即可． 【详解】解：设最大的偶数为x，则另为两个偶数为，， 由题意可得：， 解得， 故选：B． 【变式15-2】（22-23七年级上·安徽黄山·期末）有一个一位数和一个两位数，其中两位数是一位数的倍，如果将一位数写到两位数左边所得到的三位数比将两位数写到一位数的左边所得到的三位数的倍还大，则这个一位数是 . 【答案】9 【分析】设一位数为x则两位数为3x，根据两个新三位数关系列方程即可得到答案； 【详解】解：设一位数为x则两位数为3x，由题意可得， ， 解得， 故答案为9． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是掌握数位关系写出新数字及找到等量关系式． 【变式15-3】（21-22七年级上·安徽宿州·期末）阅读下列材料： 若一个三位数的十位数字是个位数字的倍，我们称这个三位数为“倍尾数”，如． （1）已知一个“倍尾数”的百位数字比十位数字大，其各位数字之和是，则这个“倍尾数”为 ； （2）若一个“倍尾数”的百位数字是十位数字的倍，且各位数字之和是，则这个“倍尾数”为 ． 【答案】 【分析】（1）设这个“倍尾数”的个位数是，则十位数是，百位数是，得，求出的值即可得到答案； （2）设这个“倍尾数”的个位数是，则十位数是，百位数是，得，求出的值即可得到答案． 【详解】解：（1）设这个“倍尾数”的个位数是，则十位数是，百位数是， 由题意得：， ， ，， 这个“倍尾数”是， 故答案为：． （2）设这个“倍尾数”的个位数是，则十位数是，百位数是， 由题意得：， ， ，， 这个“倍尾数”是． 故答案为：． 【点睛】本题考查“倍尾数”的概念，关键是掌握题目中“倍尾数”的定义建立方程求解． 题型十六 一元一次方程的应用：几何问题 【例16】（24-25七年级下·安徽安庆·期末）如图，长方形被分成六个大小不一的正方形，已知中间一个小正方形的面积为4，求长方形中最大的正方形与最小的正方形的面积之差． 【答案】192 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用，求解最小的正方形边长为2，依次表示，，，可得，，再利用长方形的性质列方程求解即可． 【详解】解：由中间最小的正方形面积为4，得最小的正方形边长为2， 如图其他正方形的边长分别为a，b，c，d， 由图知，，， ，， ∵为长方形， ∴， ∴， 解得， 则，最大的正方形面积为，， 故最大正方形的面积与最小正方形的面积之差为192． 【变式16-1】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）【知识拓展】学习绝对值的定义我们知道，的意义是数轴上表示数的点到原点的距离．由于原点表示的数是0，因此可以看作，那么的意义可以看作为数轴上表示数与0的两点间的距离．这个结论还可以推广为：的意义为数轴上表示数与b的两点间的距离，若表示数的点是点，表示数的点是点，则线段． 例如，的意义为数轴上表示数与的两点间的距离； 的意义为数轴上表示数与的两点间的距离； 若，则的值为或． 【拓展应用】 (1)若，则的值为______；若，则的值为_____； (2)如图，数轴上线段（单位长度），（单位长度），点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，若线段以个单位长度/秒的速度向右匀速运动，同时线段以个单位长度/秒的速度也向右匀速运动，设运动时间为秒． ①点在数轴上表示的数是_______，点在数轴上表示的数是______； ②当为何值时，（单位长度）； ③当为何值时，恰好满足． 【答案】(1)或；或 (2)①；；②或；③或 【分析】本题考查的知识点是数轴上表示有理数，数轴上两点之间的距离，数轴上的动点问题，一元一次方程的应用、整式加减的应用，理解题意，得出各点表示的数是解题关键． （1）根据题意理解和的实际意义即可得解； （2）①设点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数是，根据题意得到，后即可得解； ②先表示出运动时间为秒时，点和点在数轴上表示的数，再根据题意表示出，得到一元一次方程，求解后即可得到值； ③先表示出运动时间为秒时，点和点在数轴上表示的数，再根据题意表示出、，由得到一元一次方程后求解即可． 【详解】（1）解：∵的意义为数轴上表示数与的两点间的距离是， ∴或； 的意义为数轴上表示数与的两点间的距离是， ∴或． 故答案为：或；或． （2）解：①设点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数是， ∴，， ∴，， 即点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数是． 故答案为：； ②依题得：运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∵， ∴， 解得：或． ③依题得：运动时间为秒时，点在数轴上表示的数为，点在数轴上表示的数为， ∴， ∵，， ∴， 当即时，， 解得：， 当即时，， 解得：， 当即时，， 解得， ∵， ∴（舍去）． 综上，当或时，恰好满足． 【变式16-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在长方形中放置9个形状、大小都相同的小长方形，部分数据如图所示，则每个小长方形的面积为 ． 【答案】270 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设小长方形的长为，根据大长方形的长和宽，列出方程进行求解即可． 【详解】解：设小长方形的长为，则：小长方形的宽为， 由图可知：， 解得：， ∴； ∴小长方形的面积为：； 故答案为：270 【变式16-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）如果一个矩形内部能用一些正方形铺满，既不重叠，又无缝隙，就称它为“优美矩形”，如图所示，矩形为“优美矩形”且图中①②③④均为正方形． (1)若最小正方形①的边长为x，则正方形②的边长为______；正方形③的边长______；为正方形④的边长为______；（用含x的代数式表示） (2)若此“优美矩形”的周长为52，求正方形④的边长． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查了列代数式、一元一次方程的应用，理解题意，正确列出代数式和方程是解此题的关键． （1）根据题意，用含的代数式分别表示出正方形②③④的边长即可； （2）根据题意，建立关于的方程即可解决问题． 【详解】（1）解：∵最小正方形①的边长为x， ∴正方形②的边长为，正方形③的边长；为正方形④的边长为； （2）解：由题意可得：，， ∴， ∴， ∴正方形④的边长为． 题型十七 一元一次方程的应用：动点问题 【例17】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）如图，已知数轴上点表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，且两点间的距离为10．动点从点出发，以每秒6个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒． （1）点表示的数是 ； （2）动点从点出发，以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、同时出发．当点P运动 秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度． 【答案】 或6/6或 【分析】此题考查两点间的距离及数轴，根据已知得出各线段之间的关系等量关系并分情况讨论是解题关键． （1）根据数轴上点A表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，两点间的距离为10，求出点B表示的数即可； （2）分两种情况：当Q在P点左边时，当P在Q的左边时，分别列出方程，求解即可． 【详解】解：（1）∵数轴上点A表示的数为6，是数轴上在左侧的一点，两点间的距离为10， ∴数轴上点B所表示的数为； 故答案为：； （2）设点P运动x秒时，点P与点Q间的距离为8个单位长度，由题意得： ①当Q在P点左边时，， 解得：； ②当P在Q的左边时，， 解得：， 故答案为：或6． 【变式17-1】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，数轴上点表示的数是点表示的数是点表示的数是10．若此时恰有一只老鼠在点，一只小猫在点，老鼠发现小猫后立即以每秒1个单位长度的速度向点方向逃跑，小猫随即以每秒2个单位长度的速度追击，经过秒时，老鼠在移动过程中与点之间的距离为 ，小猫逮住老鼠时的“位置”恰好在 ． 【答案】 原点 【分析】本题考查了列代数式，数轴上两点间的距离，解一元一次方程等知识，根据两点间的距离直接表示出老鼠在移动过程中与点之间的距离，利用两点间的距离相等时，小猫逮到老鼠，列出关于的方程，求解即可得出小猫逮到老鼠时的位置，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：由题意可得， 经过秒时，老鼠在移动过程中与点之间的距离为： ， 小猫在移动过程中与点之间的距离为：， ∴， 解得：， 此时小猫逮到老鼠的位置是：，即在原点， 故答案为：，原点． 【变式17-2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如果数轴上有两点，其表示的数分别为，那么线段的长度表示为，线段的中点表示的数为．如图，已知数轴上点表示的数为，点表示的数为，且．动点从点出发以每秒5个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，动点从点出发以每秒3个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设点运动时间为秒 (1)填空：___________；___________；的距离为___________； (2)点运动多少秒后，成立？ (3)当点在之间运动时，且．如果点为的中点，请你探究式子是否是定值，如果是，请求出定值；如果不是，请说明理由． 【答案】(1)8，，14 (2)点P运动秒或7秒时， (3)当时，为定值，该定值为2． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，数轴上两点之间的距离，非负数的性质，整式的加减运算，解题的关键是用含t的代数式表示运动后点表示的数． （1）利用非负数的性质求得a，b的值，再利用数轴上两点之间的距离公式即可求得的距离； （2）设运动时间为t秒，可得，，即有，从而解得或，即可得到答案； （3）运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，可以表示出中点M所表示的数为，再结合，计算即可得到答案． 【详解】（1）解：∵． ∴，， ∴点A表示的数为8，点B表示的数为， ∴， 故答案为：8，，14； （2）解：设运动时间为t秒，则运动后Q表示的数是，点P表示的数是， ∴，， ∵， ∴， 解得或； 答：点P运动秒或7秒时，； （3）解：运动时间为t秒时，点P表示的数为，点Q表示的数为，则中点M所表示的数为， ∴， ∴当时， ； ∴当时，为定值，该定值为2． 【变式17-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）数轴上点A表示的数是8，点B表示的数是，如果点M、N在数轴上，且满足点M到点A或B的距离与点N到点B或A中另一个点的距离之和等于，我们就称是的和谐点对．例如，如图，点M、N表示的数分别为和4时，，我们称是的和谐点对． 请根据上述材料解决下面问题： (1)点E、F、G表示的数分别为，写出的和谐点对，并说明理由； (2)若点P从点A以每秒4个单位长度向左运动，同时点Q从点B以每秒1个单位长度向右运动，当点Q到达点A时，点P、Q同时停止运动．设点Q的运动时间为t秒，当为的和谐点对时，直接写出t的值． 【答案】(1)是的和谐点对 (2)或 【分析】本题考查了数轴上两点的距离，一元一次方程的应用，理解新定义是解题的关键． （1）根据和谐点对的意义计算即可； （2）分两种情况考虑：点在P在B点的右侧时；点在P在B点的左侧；根据新定义列出方程即可求解； 【详解】（1）解：是的和谐点对； 因为，且， 则是的和谐点对； （2）解：， 则点Q到达终点A的时间为（秒），点P到达点B的时间为（秒）； 即； 由题意，t秒后点P对应的数为，点Q对应的数为，； 因为为的和谐点对， ∴或； ①当P在B点的右侧时，此时： 若，则， 解得：； 若，则， 解得：（舍去）； ②当P在B点的左侧时，此时： ，则， 解得：； 综上，或． 题型十八 一元一次方程的应用：和差倍分问题 【例18】（17-18七年级上·辽宁鞍山·期末）书架上，第一层书的数量是第二层书的数量的2倍，这时从第一层抽8本到第二层，第一层剩下的数量恰比第二层的一半多3本，设第二层原有x本，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，用含x的代数式表示出第一层、第二层现有数量，再根据“第一层剩下的数量恰比第二层的一半多3本”列方程即可． 【详解】解：设第二层原有x本，则第一层原有本， 由题意知，第二层现有本，第一层现有本， 由“第一层剩下的数量恰比第二层的一半多3本”，可得：， 故选D． 【变式18-1】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）在清冰雪工作中，某武警部队出动兵力600人参加三条街路的清冰雪劳动，其中街路清冰雪的人数占此次出动兵力总人数的，余下的人参加街路和街路的清冰雪劳动，且参加街路清冰雪的人数是参加街路的清冰雪人数的． (1)求参加街路的清冰雪劳动有多少人？ (2)在街路清冰雪过程中，因有其它工作需要，调走了此处的兵力后，附近的居民主动参加劳动，此时在街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人，求参加清冰雪劳动的居民有多少人？ 【答案】(1)216人 (2)72人 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）参加街路的清冰雪劳动有人，参加街路清冰雪的人数为，参加街路清冰雪的人数为人，根据总数为600人列方程，即可求解； （2）调走了街路清冰雪的人数的后，剩余武警官兵人，根据“在街路清冰雪的武警官兵人数比居民人数的3倍少6人”列方程，即可求解． 【详解】（1）解：设参加街路的清冰雪劳动有人， 由题意得，， 解得， 答：参加街路的清冰雪劳动有216人． （2）解：设参加清冰雪劳动的居民有人， 由题意得，， 解得， 答：参加清冰雪劳动的居民有72人． 【变式18-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）体育课上，体育老师要求男、女各站成一队，记男生队为A队，女生队为B队． （1）设A队有人，B队有人，从A队调人到B队，则此时B队比队多 人；（结果要化简） （2）已知A队有32人，B队有28人．从A队调人到B队后，B队人数比A队剩余人数的2倍多3人，则的值为 ． 【答案】 13 【分析】本题考查了整式加减的应用，一元一次方程的应用，正确理解题意是解题的关键． （1）由题意，调动后B队有人，A队有人，即可列出代数式，计算可得答案； （2）根据题意，调动后B队有人，A队有人，再列出方程，解方程即得答案． 【详解】解:（1）由题意得，从A队调人到B队，则此时B队比A队多人； 故答案为：； （2）由题意得，， 解得． 故答案为：13． 【变式18-3】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）安徽某中学开展校运动会，参加跳高的学生是参加立定跳远的学生的2倍少3人，已知参与这两项运动的人数共86人．设参加立定跳远的学生有人，则下列方程中正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程，设参加立定跳远的学生有人，则参加跳高的学生有人，根据“参加跳高的学生是参加立定跳远的学生的2倍少3人，已知参与这两项运动的人数共86人”即可求解．解题的关键是找到正确的等量关系． 【详解】解：设参加立定跳远的学生有人，则参加跳高的学生有人， 由题意可得，， 故选：D． 题型十九 一元一次方程的应用：水电费问题 【例19】（24-25七年级上·安徽合肥·期中）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过170度的部分 第2档 超过170度但不超过260度的部分 0.55 第3档 超过260度的部分 已知8月份该市某居民家用电150度，交电费75元；9月份该居民家交电费107元． (1)表中的值为______； (2)求该居民家9月份的用电量； (3)若10月份该居民家用电的平均电价为0.65元/度，求10月份的电量． 【答案】(1)0.5 (2)该居民家9月份的用电量为度 (3)10月份的电量为度 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用： （1）根据收费方法，用8月份的电费除以用电量求出的值即可； （2）根据收费方法，列出算式进行计算即可； （3）设10月份的电量为度，根据题意，列出方程进行求解即可． 【详解】（1）解：； 故答案为：0.5； （2）， ∴该居民家9月份的用电量为：度； 答：该居民家9月份的用电量为度． （3）设10月份的电量为度，由题意，得： ， 解得：， 答：10月份的电量为度． 【变式19-1】（23-24七年级上·安徽宿州·单元测试）为了鼓励市民节约用水，合理利用水资源，某市采用价格调控的手段达到节水的目的，该市自来水收费的收费标准如表： 收费标准（注：水费按月结算） 每月用水量 单价：元/立方米 不超出8立方米（含8立方米）部分 2.8 超出8立方米，不超出12立方米（含12立方米）部分 3.6 超出12立方米部分 4.8 请根据上表的内容解答下列问题： (1)若某户居民11月份用水a立方米（其中），请用含a的代数式表示应收水费． (2)若某户居民12月份交水费56元，则用水量为多少立方米？ 【答案】(1) (2)16 【分析】本题考查了一元一次方程的应用以及列代数式， （1）由结合11月应交水费超出8立方米部分，代入数据即可得出结论； （2）设该户居民12月份用水量为x立方米，先判断12月份的用水量的范围，再根据12月份交水费56元即可得出关于x的一元一次方程，解方程即可得出结论． 【详解】（1）解：该户居民 11 月份应交水费为：（元）． （2）解：当用水量为 12 立方米时，水费为：（元）， ∵， ∴该用户用水量超过 12 立方米． 设用水量为 x 立方米，则 ， 解得． 所以该用户12月份用水量为 16 立方米． 【变式19-2】（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，下表是调控后的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． (1)若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费________元；若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为________吨； (2)若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量； (3)若该户居民11月份、12月份共用水18吨，共交水费52元，且11月份用水不超过8吨，求11月份、12月份各应交水费多少元？ 【答案】(1)20； (2)吨 (3)11月份应交水费16元，12月份应交水费36元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键． （1）该户居民8月份用水8吨，应交水费应是不超过6吨的部分和超出6吨不超出10吨的部分的费用之和，计算即得答案；若该户居民9月份应交水费26元，判断应交水费应是不超过6吨的部分和超出6吨不超出10吨的部分的费用之和，设未知数列方程并求解，即得答案； （2）先判断该用户10月份用水量超过10吨，再设未知数列方程并求解，即得答案； （3）设该用户11月份用水量为a吨，则12月份用水量为吨，分和两种情况，分别列方程并求解验证，即得答案． 【详解】（1）， 所以该用户8月应交水费20元； 设该用户9月用水量为x吨， ，， ， ， 根据题意得， 解得， 所以该用户9月用水量为吨； 故答案为：20；． （2）设该用户10月用水量为y吨， ， ， 根据题意得， 解得， 所以该用户10月用水量为吨； （3）设该用户11月份用水量为a吨，则12月份用水量为吨， 当时，， 由题意得， 解得，不合题意，舍去； 当时，， 由题意得， 解得， ， （元）， （元）， 答：11月份应交水费16元，12月份应交水费36元． 【变式19-3】（23-24七年级上·安徽安庆·期末）为增强公民节水意识，合理利用水资源，某市采用“阶梯收费”，标准如表： 用水量 单价 不超过6m3的部分 2元/m3 超过6m3不超过10m3的部分 4元/m3 超出10m3的部分 8元/m3 如：某用户2月份用水9m3，则应缴水费：（元）． (1)某用户3月用水8m3应缴水费 　 　元； (2)已知某用户4月份缴水费22元，求该用户4月份的用水量； (3)如果该用户5、6月份共用水18m3（6月份用水量超过5月份用水量，且5月份用水量不超过8m3），共交水费52元，则该户居民5、6月份各用水多少m3？ 【答案】(1)20 (2)该户4月份用水； (3)5月份用水，6月份用水量为． 【分析】此题考查了列代数式及一元一次方程的应用，解题的关键是根据题意找到等量关系列式求解． （1）根据表格中的收费标准，求出水费即可； （2）根据缴水费22元，可得4月份用水量在6m3到10m3之间，故可求解； （3）根据6月份用水量超过5月份用水量，得到6月份用水量多于9m3，分①当时，②当时，③当时，，列方程可解答． 【详解】（1）解：则应缴水费：（元， 故答案为：20； （2）解：该用户4月份交水费22元，， 设该户居民4月份用水， 根据题意得出：， 解得：． 故该户4月份用水； （3）解：设该户居民5月份用水，则6月份用水， 该用户6月份用水量超过5月份用水量， ， ①当时，，根据题意得： ，解得：， ， 当时，无解． ②当时，，根据题意得： ， 解得：， 检验知：符合题意，此时； ③当时，，根据题意得： ， 化简得：． 当时，无解． 综上知：5月份用水，6月份用水量为． 题型二十 一元一次方程的应用：行程问题 【例20】（23-24九年级下·安徽芜湖·自主招生）在边防沙漠地带，巡逻车每天行驶200千米，每辆巡逻车可载供行驶14天的汽油，现有5辆巡逻车，同时从驻地A出发，完成任务后再沿原路返回驻地．为了让其中三辆尽可能向更远的距离巡逻（然后再一起返回），甲、乙两车行至途中B处后，仅留足自己返回驻地所需的汽油，将其余的汽油留给另外三辆使用，问其他三辆可行进的最远距离是多少千米？ 【答案】1800千米 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设甲、乙两车从驻地A行至B处需要消耗x天的汽油，则其他三辆车在路段也消耗了x天汽油，在B处甲、乙两车可向其他三辆车提供天的汽油．要使这三辆车行程最远，它们在B处应加满油（即达到14天的最大油量），因此甲、乙两车提供的汽油总量等于这三辆车在路段消耗的汽油总量．据此列方程求得甲、乙两车从驻地A行至B处需耗汽油的天数，进而求得三两巡逻车中每辆车可用于整个往返任务的总油量为初始自带的14天油量加上从甲、乙两车分得的油量4天，共18天，由此得该油量支持往返全程，最远单程行驶天数为天，进而即可求解． 【详解】解：设甲、乙两车从驻地A行至B处需耗x天的汽油，则其他三辆车在路段也消耗了x天汽油，在B处甲、乙两车可向其他三辆车提供天的汽油．要使这三辆车行程最远，它们在B处应加满油（即达到14天的最大油量），因此甲、乙两车提供的汽油总量等于这三辆车在路段消耗的汽油总量． 即, 解得． ∴这三辆车从驻地出发，行进的最远距离为（千米）， 答：这三辆车从驻地出发，行进的最远距离为1800千米． 【变式20-1】（24-25七年级上·安徽安庆·开学考试）在比例尺1:2000000的地图上量得两地距离是5厘米．甲乙两车相向而行，3小时后还相距10千米，已知乙车速度是甲车的，甲乙两车每小时各行多少千米？ 【答案】甲每小时行18千米，乙每小时行12千米 【分析】本题考查比例尺以及一元一次方程的应用，关键是由比例尺的定义求出两地的距离．先求出路程，再根据题意列方程解答即可． 【详解】解：、两地的实际距离为：（厘米）（千米）， 设甲车的速度为千米／时，则乙车速度是千米／时，根据题意得： ， 解得：， 乙车速度是（千米／时）， 答：甲每小时行18千米，乙每小时行12千米． 【变式20-2】（24-25七年级上·安徽淮北·开学考试）在沿铁路的公路上，甲乙两汽车同时从站向站行驶．甲车每小时行30千米，乙车每小时行45千米，两车同时出发半小时后，一辆列车也从站向站行驶，列车行驶一定时间后分别赶上了两车．列车从追上甲车到完全超过甲车用了9秒钟，从追上乙车到完全超过乙车用了12秒钟．当列车完全超过乙车时，列车离开站多远？（列方程解应用题） 【答案】45.3千米 【分析】本题考查一元一次方程的实际应用，设列车的速度为每小时s千米，根据列车的长一定，列出方程，求出的值，设列车到达乙车的时间为t秒，根据列出行驶的总路程等于乙车行驶的总路程，列出方程求出，再根据路程等于速度乘以时间，进行求解即可． 【详解】解：列车的速度为每小时s千米，由题意可得： ， ， ， ， ； 列车到达乙车的时间为t小时，由题意可得： ， ， ， ， ； （千米）； 答：当列车完全超过乙车时，列车离开A站45.3千米． 【变式20-3】（2025·安徽安庆·三模）根据下列材料解答相应问题： 材料1 A，C两地的铁路途经B地，每日上午均有两班次列车从A站驶往C站，其中动车列车从A站始发，经停B站后到达C站，高铁列车从A站始发，直达C站，两个车次的列车在行驶过程中保持各自的行驶速度不变． 材料2 列车运行时刻表 车次 A站 B站 C站 发车时刻 到站时刻 发车时刻 到站时刻 动车列车 8：00 9：00 9：10 10：50 高铁动车 8：30 途经B站，不停车 10：30 材料3 A，C两地的铁路是双轨，两辆列车可在某些时段同向而行． 问题1 动车列车从A站到B站行驶了______，从B站到C站行驶了______； 问题2 设动车列车的行驶速度为，高铁列车的行驶速度为，若，则______． 问题3 高铁列车在什么时刻追上动车列车？ 【答案】问题1：60，100；问题2：；问题3：高铁列车在9：30追上动车列车 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，速度、时间、路程的关系． 问题1：直接根据表中数据解答即可； 问题2：分别求出动车列车和高铁列车从A站到C站行驶的时间，然后根据路等于速度乘以时间求解即可； 问题3：设动车列车开出被高铁列车追上，由题意得，，再将代入得关于x的方程，解方程即可． 【详解】解：问题1：动车列车从A站到B站行驶了，从B站到C站行驶了， 故答案为：60，100； 问题2：根据题意得动车列车从A站到C站共需分钟，高铁动车从A站到C站共需， ∴， ∴， 故答案为：； 问题3：， 高铁列车在B，C之间追上动车列车， 设动车列车开出被高铁列车追上， 由题意得， ， ， 解得． 答：高铁列车在9：30追上动车列车． 题型二十一 一元一次方程的应用：比例分配问题 【例21】（2021·安徽·一模）为提高销售业绩，安徽省某茶叶专卖店店长对店内销售额居于前三的六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额进行了分析，发现上月三种茶叶销售额的比值为4∶2∶3，本月六安瓜片销售额是上月销售额的a倍，黄山毛峰销售额是上月销售额的（a﹣3）倍，太平猴魁的销售额与上月的相同，同时这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，求本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值． 【答案】 【分析】设上个月六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额分别为4x，2x，3x，根据这三种茶叶本月的总销售额恰好是上月总销售额的2倍，列出方程，求出方程的解即可得到结果． 【详解】解：设上个月六安瓜片、黄山毛峰、太平猴魁三种茶叶的销售额分别为4x，2x，3x， 根据题意得：4x•a＋2x•（a﹣3）＋3x＝2（4x＋2x＋3x）， 解得：a， 则本月六安瓜片销售额与上月销售额的比值为． 【点睛】本题考查一元一次方程的应用按比例分配问题，解题关键巧设参数，找出题中等量关系列出方程． 【变式21-1】（25-26七年级上·湖南永州·开学考试）A、B两种商品的价格比是，如果每种商品的价格上涨元，A、B两种商品的价格比变为，这两种商品的原价分别是多少？ 【答案】A种商品元，B种商品元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，掌握以上知识是解答本题的关键； 设这两种商品的原价分别是元和元，列出比例式子，即可求解． 【详解】解：设这两种商品的原价分别是元和元， 解得：， ∴元，元； ∴A种商品元，B种商品元． 【变式21-2】（25-26七年级上·河北邯郸·开学考试）一种石灰与水混合后的石灰浆，石灰与水的质量比是．现在向石灰浆中加入120千克水，要使石灰与水的质量比不变，还应加入（    ）千克石灰． A．150 B．90 C．80 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程的应用：比的应用，解题的关键是：根据题意，设应加入x千克石灰，根据石灰与水的质量比是，列出比例，解方程即可． 【详解】解：根据比例关系，设原有石灰和水的质量分别为和千克，加入120千克水后，总水量变为千克，设需加入x千克石灰，使石灰与水的质量比不变，根据题意得： ， 解这个方程得：， 要使石灰与水的质量比不变，还应加入90千克石灰， 故选：B． 【变式21-3】（24-25七年级下·河南郑州·自主招生）刘师傅要加工一批零件，已加工的零件个数与这批零件总个数的比是，如果再加工个零件就可以完成这批零件的．这批零件一共有多少个？ 【答案】 【分析】本题考查一元一次方程应用，找到等量关系是解答本题的关键．设这批零件一共有个，按照比例可用表示出已加工的个数和完成的个数，再根据已加工的再加上个零件就可以完成这批零件的这一等量关系列出方程即可． 【详解】解：设这批零件一共有个， 由题意得， ， 解得，， 答：这批零件一共有个. 题型二十二 一元一次方程的应用：日历问题 【例22】（17-18七年级上·全国·单元测试）如图是某月份的日历表，任意框出同一列上的三个数，则这三个数的和不可能是（   ） A．66 B．57 C．43 D．39 【答案】C 【分析】本题考查的是一元一次方程的应用．观察日历表，发现：在同一列上相邻的两个数，下一列比上一列的一个数大7；如果设中间的数为x，那么其余的数为，，则这三个数的和为；根据选项分别列出方程，求出x的值，根据x为整数，得出正确选项． 【详解】解：设中间的数为x，那么其余的数为，， 则这三个数的和为：，且x为整数； A、解方程，得，不符合题意； B、解方程，得，不符合题意； C、解方程，得，符合题意； D、解方程，得，不符合题意． 故选：C． 【变式22-1】（24-25七年级下·安徽池州·开学考试）如图是2025年1月的月历表，任意选取“十”字型中的五个数如图中阴影部分，若移动“十”字型后所得五个数之和为115，那么该“十”字型中正中间的数为（ ） A．20 B．21 C．22 D．23 【答案】D 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据题意列出方程，是解题的关键．设“十”字型中正中间的数为x，则另外四个数分别为，，，，根据“十”字型后所得五个数之和为115，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设“十”字型中正中间的数为x，则另外四个数分别为，，，， 根据题意得：， 解得：， “十”字型中正中间的数为． 故选：． 【变式22-2】（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图是2025年元月的日历，用图1中的“工”型图案盖住图2中的7个数，这7个数的和不可能是（    ） A．70 B．91 C．126 D．154 【答案】C 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，根据题意列出关于的一元一次方程是解题的关键． 设“工”字圈中最中间的数为，则另外几个数为，将几个数相加即可得出和为，令其分别等于A，B，C，D内的数，求出值，由为正整数而且“工”型图案能盖住图2中的7个数即可得出结论． 【详解】解：设“工”字圈中最中间的数为，则另外几个数为， 根据题意得：这7个数的和为． A，当时， 解得：，最中间的数为10的“工”型图案能盖住图2中的7个数，和为70，故不符合题意； A，当时， 解得：，最中间的数为13的“工”型图案能盖住图2中的7个数，和为91，故不符合题意； A，当时， 解得：，最中间的数为18的“工”型图案右边没有数字，故和不能为126，故符合题意； A，当时， 解得：，最中间的数为22的“工”型图案能盖住图2中的7个数，和为154，故不符合题意； 故选：C． 【变式22-3】（24-25七年级上·安徽亳州·期末）如图是2024年12月的月历，观察月历，解答下列问题： (1)小宝在该月外出旅行三天，三天日期之和是，小宝是星期几出发的？ (2)“十”字型阴影图形覆盖其中五个方格，设十字型阴影覆盖的最小数字为，五个数字之和为，的值能否等于？若能，求出值；若不能，请说明理由． 【答案】(1)小宝是星期二出发的 (2)的值能等于；理由见解析 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用： （1）设小明出发的日期是，根据题意得一元一次方程，然后解方程即可； （2）根据月历的特点可得另外四个数为，，，，根据题意列出方程，解方程，即可求解． 【详解】（1）解：设小宝出发的日期是，则另外两天的日期分别是，， 根据题意得：，解得：， 月日是星期二， 小宝是星期二出发的； （2）解：的值能等于，理由如下： 假设的值能等于， “十型”阴影覆盖的最小数字为， “十型”阴影覆盖的另外四个数字分别为，，，， 根据题意得：， 解得：， 月日是星期二，在第三列，此时能形成“十型”阴影， 符合题意， 假设成立，即的值能等于． 题型二十三 一元一次方程的应用：古算术问题 【例23】（17-18七年级上·北京东城·期末）《孙子算经》中记载：今有三人共车，二车空；二人共车，九人步，问人与车各几何？该题意思是：今有若干人乘车，每3人乘一车，最终剩余2辆车，若每2人共乘一车，最终剩余9个人无车可乘，问有多少人，多少辆车？若设有x辆车，则可列方程（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查了一元一次方程解实际问题．根据总人数不变，分别表示出每3人乘一车，每2人共乘一车时的总人数即可求解． 【详解】解：根据题意列方程得， 故选：B． 【变式23-1】（24-25九年级下·安徽六安·阶段练习）《九章算术》是人类科学史上应用数学的“算经之首”，书中记载：清明游园，共坐八船，大船满六，小船满四，三十八学子，满船坐观，请问客家，大小几船？其大意为：清明时节出去游园，所有人共坐了8只船，大船每只坐6人，小船每只坐4人，38人刚好坐满，问：大小船各有几只？ 【答案】大船有3只，小船有5只 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设大船有只，则小船有只，根据38人刚好坐满8只船，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出大船的只数，再将其代入中，即可求出小船的只数． 【详解】解：设大船有只，则小船有只， 根据题意得：， 解得：， （只）， 答：大船有3只，小船有5只． 【变式23-2】（24-25七年级上·安徽淮南·期末）《九章算术》中阐述“盈不足术”的问题，原文如下：今有人共买牛，人出九，盈六；人出七，不足八．问人数，物价各几何？译文为：现有一些人共同买牛肉，每人出9元，还盈余6元；每人出7元，则还差8元，问共有多少人？这个物品的价格是多少？设这个物品的价格是元，则可列方程为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，准确理解题意，找出等量关系是解题的关键．设这个物品的价格是元，根据题意列方程即可． 【详解】解：设这个物品的价格是元，由题意得， 故选：A． 【变式23-3】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）《九章算术》中有这样的一道题：今有四人共车，一车空．三人共车，五人步，问人与车各几何？译文为：今有若干人乘车，每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余5个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？ 【答案】共有32人，9辆车 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用，根据等量关系列出方程是解题的关键．设有辆车，根据每4人共乘一车，最终剩余1辆车；若每3人共乘一车，最终剩余5个人无车可乘，列出方程，解方程即可． 【详解】解：设有辆车，根据题意得： ， 解得， （人）， 答：共有32人，9辆车． 题型二十四 二元一次方程的定义与判断 【例24】（24-25七年级下·内蒙古呼和浩特·期中）若是关于的二元一次方程，则的值是 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程的定义解答即可求解，掌握二元一次方程的定义是解题的关键． 【详解】解：∵是关于的二元一次方程， ∴且， 解得， 故答案为：． 【变式24-1】（23-24七年级下·湖南益阳·期中）是关于，的二元一次方程，则 ． 【答案】1 【分析】本题考查了二元一次方程的定义，根据二元一次方程满足的条件，即只含有2个未知数，含未知数的项的次数是1的整式方程，即可求得m的值． 【详解】解：根据题意，得且， 解得， 故答案为：1． 【变式24-2】（24-25七年级下·安徽阜阳·阶段练习）下列方程组是二元一次方程组的是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的定义，熟练掌握以上知识点是解答本题的关键． 根据二元一次方程组的定义逐项判断即可解答． 【详解】解：A、是二元一次方程组，符合题意； B、不是整式方程，所以不是二元一次方程组，不符合题意； C、是二次方程，所以不是二元一次方程组，不符合题意； D、是二次方程，所以不是二元一次方程组，不符合题意； 故选：A． 【变式24-3】（23-24七年级下·河北石家庄·期中）在方程组、、、、中，是二元一次方程组的有（   ） A．2个 B．3个 C．4个 D．5个 【答案】A 【分析】本题主要考查二元一次方程组的定义，二元一次方程组也满足三个条件：①方程组中的两个方程都是整式方程．②方程组中共含有两个未知数．③每个方程都是一次方程．根据二元一次方程组的定义求解即可． 【详解】、是二元一次方程组，共2个， 故选：A． 题型二十五 解二元一次方程组 【例25】（24-25八年级上·安徽宿州·阶段练习）按要求解下列二元一次方程组． (1)（代入法）； (2)（加减法）． 【答案】(1) (2) 【分析】此题主要是考查了二元一次方程组的解法． （1）由①得③，代入②得，解得y的值后，代入③可得x的值； （2）①②得，解得y的值后，代入①可得x的值． 【详解】（1）解：， 由①得③， 把③代入②得， 解得， 把代入③得， ∴方程组的解是； （2）解：， ①②得， 解得， 把代入①得， 解得， ∴方程组的解是． 【变式25-1】（20-21七年级下·浙江绍兴·期中）解下列方程组． (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，掌握代入消元法和加减消元法是解题关键． （1）利用代入消元法解方程即可； （2）利用加减消元法解方程即可． 【详解】（1）解：， 将①代入②得：， 解得：， 将代入①得 ：， 方程组的解集为； （2）解：， 由得：， 解得：， 将代入①得：， 解得：， 方程组的解集为． 【变式25-2】（24-25七年级上·安徽合肥·期末）解方程或方程组 (1)； (2)． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解一元一次方程，熟练掌握解二元一次方程组的方法，解一元一次方程的方法是解题的关键． （1）根据解一元一次方程的方法：去分母，去括号，移项，合并同类项，将系数化为1求解即可； （2）根据解二元一次方程组的方法，利用代入消元法解方程组即可． 【详解】（1）解：， 去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得； （2）解；， 由①得， 将③代入②，得， 解得：， 将代入③，得， 所以方程组的解为：． 【变式25-3】（24-25七年级下·安徽合肥·开学考试）解方程（组） (1) (2) (3) (4) 【答案】(1) (2) (3) (4) 【分析】本题考查了解一元一次方程以及解二元一次方程组，掌握解一元一次方程的基本步骤以及代入消元法和加减消元法是解答本题的关键． （1）方程去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （2）方程去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1即可； （3），可消去未知数y，求出未知数x，再把x的值代入①求出y即可； （4）方程组整理得，可消去未知数x，求出未知数y，再把y的值代入①求出x即可． 【详解】（1）解：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：， 系数化为1，得：； （2）， 去分母，得：， 去括号，得：， 移项，得：， 合并同类项，得：； （3）， ，， 解得， 把代入①，得， 故原方程组的解为； （4）方程组整理得， ，得， 解得， 把代入①，得， 解得， 故原方程组的解为． 题型二十六 二元一次方程组解的判断 【例26】（24-25七年级下·四川内江·阶段练习）以为解的方程组是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查二元一次方程组的解，理解二元一次方程组的解的意义是正确判断的关键； 根据方程组的解的定义，将方程组的解代入，判断即可． 【详解】解：当时， 则，，， 故是方程组的解． 故选：D． 【变式26-1】（24-25七年级下·浙江温州·阶段练习）若关于x，y的二元一次方程组的解是，则关于x，y的二元一次方程组的解是 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，利用整体思想求解是关键．把和看作整体，可得，解方程组解即可得出答案． 【详解】解：若关于x，y的二元一次方程组的解是， 则关于x，y的二元一次方程组有， 关于x，y的二元一次方程组的解是． 故答案为：． 【变式26-2】（25-26八年级上·全国·随堂练习）若是下列某二元一次方程组的解，则这个方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解的定义，二元一次方程组的解是使方程组中两个方程都成立的未知数的值，据此把代入对应方程组中的两个方程中，看方程左右两边是否相等即可得到答案． 【详解】解：A、把代入方程中，方程左边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； B、把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，把代入方程中，方程左边，方程左右两边相等，则是方程的解，即是方程组的解，符合题意； C、把代入方程中，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； D、把代入方程中，方程左边，方程右边，方程左右两边不相等，则不是方程的解，即不是方程组的解，不符合题意； 故选：B． 【变式26-3】（24-25七年级下·山东临沂·期末）若二元一次方程，的部分解分别为表1、表2： 表1： 5 2 4 18 表2： 2 6 4 则方程组的解为（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，方程组的解需同时满足两个方程，即寻找两个方程解集的公共解，找到两个方程的公共解是是解此题的关键．根据方程组的概念进行求解即可得． 【详解】解：由表格数据可得两个方程的公共解是， 则方程组的解为， 故选：A． 题型二十七 已知二元一次方程组的解求参 【例27】（24-25七年级下·吉林长春·阶段练习）方程组的解为，则“”“”表示的数分别是（   ） A．10，2 B．10，3 C．12，2 D．12，3 【答案】A 【分析】此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值．将代入方程组即可得到以“■”“”为未知数的方程组，解方程组求解即可． 【详解】解：将代入方程组得：， 解得：，． 故选：A． 【变式27-1】（23-24七年级下·黑龙江哈尔滨·期中）若是关于、的二元一次方程组的解，求的值． 【答案】14 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组，把代入，得出关于a和b的二元一次方程组，求解得出a，b的值，再代入代数式计算即可． 【详解】解：把代入得： 解得： ∴ 【变式27-2】（24-25七年级下·浙江杭州·阶段练习）已知关于，的方程组的解满足，则的值为 ． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组的解、解二元一次方程组等知识点，掌握二元一次方程组的解的定义是解题的关键． 根据题意求出方程组的解，再代入求解即可． 【详解】解：解方程组：可得：， 把，代入得， ． 故答案为：． 【变式27-3】（23-24七年级下·宁夏吴忠·期中）已知是方程组的解，则 ， ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，将代入，求解即可，掌握解二元一次方程组的方法是解题的关键． 【详解】解：∵是方程组的解， ∴，解得：， 故答案为：． 题型二十八 二元一次方程组的特殊解法 【例28】（23-24七年级下·山西吕梁·期末）阅读与思考 下面是小宇同学的一篇学习笔记（部分），请你认真阅读，并完成相应任务． “整体思想”应用举例 “整体思想”是数学中的重要思想，贯穿中学数学的全过程，可以应用为整体代入、整体换元、整体约减、整体求和、整体构造等方法．有些问题若从局部求解，采取逐个击破的方式，则很难解决，或者比较复杂；而从全局着眼，整体思考，会使问题化繁为简，化难为易，复杂问题也就迎刃而解了．因而，“整体思想”是中学数学解题中的一种重要思想方法，运用整体思想有时会使我们的解题更加简便快捷．例如 例1解方程组： 解：把②代入①得，，解得． 把代入②得，．所以原方程组的解为 例2已知实数满足①②，求和的值．解：由可，由①可得． 整体思想就是考虑数学问题时不是着眼于它的局部特征，而是把注意力和着眼点放在问题的整体结构上．通过对其全面深刻的观察，从宏观整体上认识问题的实质，把一些彼此独立，但实质上又紧密联系的量作为整体来处理的思想方法． 任务：（要求：运用阅读内容中的方法） (1)已知二元一次方程组求和的值； (2)解方程组： (3)已知方程组的解是请直接写出方程组：的解． 【答案】(1)， (2) (3) 【分析】本题考查了解二元一次方程组，能熟练利用整体思想求解是解题的关键． （1）两个方程分别相加或相减，即可求解； （2）将②可变形为，将①代入求解即可； （3）由整体思想得，即可求解． 【详解】（1）解： ①②得， ①②得， ， 的值为，的值为3； （2）解： 解：②可变形为③， 把①代入③得，， 解得， 把代入①，得， 原方程组的解为； （3）解：方程组的解是， ， 解得． 故原方程组的解为． 【变式28-1】（24-25七年级下·吉林白城·阶段练习）（1）观察发现：材料：解方程组． 将①整体代入②，得，解得，把代入①，得，所以，这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， 请直接写出方程组的解为______； （2）实践运用：请用“整体代入法”解方程组； （3）拓展运用：若关于，的二元一次方程组的解满足，请直接写出满足条件的的所有正整数值______． 【答案】（1）；（2）；（3）1，2，3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解和解二元一次方程组，解题关键是熟练掌握利用整体代入法解二元一次方程组． （1）根据方程①，求出，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入其中一个方程求出x即可； （2）根据方程①，求出，再整体代入方程②，从而求出y，然后再把y的值代入方程①求出x即可； （3）解方程组求出，然后根据列出关于m的不等式，解不等式从而求出答案即可． 【详解】解：（1）， 由得， 把代入得， 解得：， 把代入得：， 方程组的解为； （2）， 由得， 把代入得， 把代入，得， 方程组的解为； （3）， 得， ∴， 关于，的二元一次方程组的解满足， ， ， 满足条件的的所有正整数值为，，． 【变式28-2】（24-25七年级下·安徽黄山·期末）两位同学对问题“若方程组的解是，求方程组的解．”提出各自的想法．甲说∶“这个题目好像条件不够，不能求解”；乙说∶ “它们的系数有一定的规律，可以试试把第二个方程组的两个方程的两边都除以，然后通过整体换元替代的方法来解决”．参考他们的讨论，你认为这个题目的解应该是 ． 【答案】 【分析】本题考查特殊法解二元一次方程组，理解题中乙的想法是解题的关键．根据题中乙的想法将方程组化为：，结合已知条件得到，进行求解即可． 【详解】解：方程组可化为：， ∵方程组的解是， ∴， 解得：； ∴方程组的解为． 故答案为：． 【变式28-3】（18-19七年级下·江苏南通·期中）先阅读材料，然后解方程组． 解方程组时，可由①得③，然后将③代入②得，求得，从而进一步求得，所以原方程组的解为这种解法被称为“整体代入法”，请用这样的方法解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解二元一次方程组，正确理解题意，掌握题目所给整体代入法的方法和步骤是解题的关键．由①可得：，把③代入②求出y的值，再把y的值代入③，求出x的值即可． 【详解】解： 由①，得， 将③代入②，得 ， 解得， 将代入③，得 ， ∴原方程组的解为． 题型二十九 二元一次方程组错解问题 【例29】（24-25七年级上·安徽亳州·阶段练习）甲、乙两人共同解方程组由于甲看错了方程①中的a，得到方程组的解为，乙看错了方程②中的b，得到方程组的解为，求原方程组的解． 【答案】原方程组的解为． 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，熟练掌握二元一次方程组的解法是解题的关键．由题意得，甲看错了方程①中的a，则把代入方程②得出，乙看错了方程②中的，则把代入方程①中得出a，再求解原方程组即可． 【详解】解：把代入方程②中得：， 解得：， 把代入方程①中得：， 解得：， 原方程组为， ，得：， 解得：， 把代入，得：， 所以原方程组的解为． 【变式29-1】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）甲和乙两人同解方程组，甲因抄错了，解得，乙因抄错了，解得． （1） ， （2） ． 【答案】 2 1 【分析】本题考查了方程组的解法，解一元一次方程，正确审题，清楚方程组的解是哪一个方程的正确解，代入计算即可．清楚方程组的解是哪一个方程的正确解是解题的关键． 【详解】解：（1）由题意得：，是的解， 则， 解得：， 故答案为：2； （2）是的解， 则， 解得：， ． 故答案为：1． 【变式29-2】（23-24七年级下·安徽合肥·阶段练习）在解关于，的方程组时，甲把方程组中的看成了，求得的解为；乙看错了方程组中的，求得的解为． (1)求正确的，，的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)，， (2) 【分析】本题考查二元一次方程组的解，解二元一次方程组， （1）把代入方程组可求出、的值，再根据乙看错了方程组中的，得解为，可知是方程的解，继而求出的值； （2）将，，的值代入原方程组后，再解这个二元一次方程组即可． 【详解】（1）解：由题意知，是方程组的解， ∴， 解得， ∵乙看错了方程组中的，求得的解为， ∴是方程的解， ∴， 解得：， ∴正确的，，的值为：，，； （2）解：当，，时，原方程组变为： ， ①＋②，得：， 解得：， 把代入①得：，解得， ∴原方程组的解为． 【变式29-3】（23-24七年级上·安徽安庆·阶段练习）在解方程组时，小明把方程①抄错了，从而得到解为，而小亮却把方程②抄错了，得到解为，求的值． 【答案】 【分析】本题考查二元一次方程组错解复原问题，熟练掌握解二元一次方程的方法和步骤是解题关键．将解代入没有抄错的方程，得到关于的二元一次方程组，再进行求解即可． 【详解】解：将代入方程，将代入方程， 可得，解得． 题型三十 二元一次方程组同解问题 【例30】（24-25七年级下·广东汕尾·阶段练习）已知方程组与方程组的解相同．求的值． 【答案】1 【分析】此题考查同解方程组问题，解题关键是根据两个方程组的解相同，可列出新的方程组求解．再把x和y的值代入求出a和b的值． 因为两个方程组有相同的解，故只需把两个方程组中不含字母系数的方程和含有字母系数的方程分别组成方程组，求出未知数的值，再代入另一组方程组即可．最后求出的值． 【详解】解：由题意得：， 解得：， 将代入， 得：， 解得：， ∴． 【变式30-1】（24-25七年级下·贵州贵阳·阶段练习）已知关于x，y的方程组和的解相同，求的值． 【答案】；7 【分析】本题考查了同解方程组的知识，解答此题的关键是熟知方程组有公共解的含义．方程组有相同的解，所以只需求出的解，再代入，即可求出未知数的值． 【详解】解：根据题意得：方程组， ①②得：， 解得：， 把代入②得：， 解得：， ∴， 把代入方程组， 得， 同理解得：， ∴的值为，的值为7． 【变式30-2】（24-25八年级上·陕西西安·阶段练习）已知方程组和方程组有相同的解，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了二元一次方程组的解，解二元一次方程组；根据同解方程组的定义，可先将两个方程组中不含参数、的方程联立，求出公共解，再联立两个含、的方程，从得出关于a，b的二元一次方程组，求解即可． 【详解】解：∵关于x，y的方程组和方程组有相同的解， ∴， 解得 ， ∴， ∴． 故答案为： 【变式30-3】（2025·贵州铜仁·三模）若关于的方程组与有相同的解，则的值为（    ） A． B． C．3 D． 【答案】D 【分析】本题考查的知识点是已知二元一次方程组的解的情况求参数、加减消元法，解题关键是熟练掌握加减消元法．由于两个方程组有相同的解，可知它们的解为和，将此解代入两个方程组的第二个方程，得到关于和的方程组，通过加减消元法直接求解的值． 【详解】解：两个方程组的公共解为， 将代入第一个方程组的，得：①， 代入第二个方程组的，得：②， 将①和②相加：， 整理得：， 两边同时除以 3 ，得：， 因此，的值为， 故选：D． 题型三十一 二元一次方程的应用：方案问题 【例31】（23-24七年级下·安徽合肥·期末）某公司需要将120吨物资从A市运往B市，现有甲、乙、丙三种车型供运输选择，每辆车的运载能力和运费如下表： 车型 甲 乙 丙 运载量（吨／辆） 5 8 10 运费（元／辆） 450 600 700 (1)若选用甲、丙两种车型一次性运完，如果甲车有11辆，则丙车至少需要多少辆？ (2)若选用甲、乙两种车型一次性运完，且每辆车均满载，需运费9600元，则甲、乙两种车型各需多少辆？ (3)若选用甲车辆、乙车辆、丙车若干辆一次性运完，且每辆车均满载，已知三种车辆共14辆，直接写出a、b的值和总运费． 【答案】(1)丙车至少需要7辆 (2)甲型车有8辆，乙型车有10辆 (3)、，8800元 【分析】本题考查了二元一次方程组和二元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解． （1）根据甲型车运载量是5吨/辆，丙型车运载量是10吨/辆，再根据总吨数，即可求出丙型车的车辆数； （2）设甲种车型需辆，乙种车型需辆，根据运费9600元，总吨数是120，列出方程组，再进行求解即可； （3）设甲车有辆，乙车有辆，则丙车有辆，列出等式，再根据、、均为正整数，求出，的值，从而得出答案． 【详解】（1）解：， 答：丙型车至少需要辆． （2）解：设甲种车型需辆，乙种车型需辆， 根据题意得：， 解得：， 答：甲种车型需8辆，乙种车型需10辆． （3）解：设甲车有辆，乙车有辆，则丙车有辆， 由题意得， 即， ∵、、均为正整数， ∴只能等于5， ∴， ， ∴甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆， 则需运费（元）， 答：甲车2辆，乙车5辆，丙车7辆，此时的总运费为8800元． 【变式31-1】（24-25七年级上·安徽六安·期末）随着“低碳生活，绿色出行”理念的普及，新能源汽车正逐渐成为人们喜爱的交通工具．某汽车销售公司计划购进一批新能源汽车尝试进行销售，据了解2辆型汽车、3辆型汽车的进价共计80万元；3辆型汽车、2辆型汽车的进价共计95万元． (1)求、两种型号的汽车每辆进价分别为多少万元？ (2)若该公司计划正好用180万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），请你帮助该公司设计购买方案； (3)若该汽车销售公司销售1辆型汽车可获利6000元，销售1辆型汽车可获利5000元，在（2）中的购买方案中，假如这些新能源汽车全部售出，哪种方案获利最大？最大利润是多少元？ 【答案】(1)A 、 B两种型号的汽车每辆进价分别为 25 万元、 10 万元 (2)方案一：购买 2 辆型汽车，购买 13 辆型汽车；方案二：购买 4 辆型汽车，购买 8 辆型汽车；方案三：购买 6 辆型汽车，购买 3 辆型汽车； (3)购买 2 辆型汽车，购买 13 辆型汽车获利最大，最大值为77000 元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用、二元一次方程的应用，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程组． （1）根据 2 辆型汽车、 3 辆型汽车的进价共计 80 万元； 3 辆型汽车、 2 辆型汽车的进价共计 95 万元，可以列出相应的二元一次方程组，然后求解即可； （2）根据（1）中的结果和该公司计划正好用 180 万元购进以上两种型号的新能源汽车（两种型号的汽车均购买），可以得到相应的二元一次方程，然后求解即可； （3）根据（2）中的结果和题意，可以分别计算出各种方案获得的利润，从而可以得到最大利润． 【详解】（1）解：设型号的汽车每辆进价为万元，型号的汽车每辆进价为万元， 由题意可得， 解得， 答：A ， B两种型号的汽车每辆进价分别为 25 万元、 10 万元； （2）解：设购买型号的汽车辆，种型号的汽车辆， 由题意可得且为正整数， 解得或或， ∴该公司共有三种购买方案， 方案一：购买 2 辆型汽车，购买 13 辆型汽车； 方案二：购买 4 辆型汽车，购买 8 辆型汽车； 方案三：购买 6 辆型汽车，购买 3 辆型汽车； （3）解：当时，获得的利润为：（元）， 当时，获得的利润为：（元）， 当时，获得的利润为：（元）， 由上可得，最大利润为77000 元， ∴购买 2 辆型汽车，购买 13 辆型汽车获利最大，最大值为77000 元． 【变式31-2】（24-25七年级下·安徽芜湖·期末）学校开展“生活中的数学问题”学习活动，某小组选择“汽车轮胎换位问题”为研究方向． 【问题背景】大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．如果前轮报废，换上新轮胎，而后轮继续使用原来的轮胎，那么汽车行驶的安全性和乘坐的舒适性都将大打折扣；如果同时更换前后轮的轮胎，用车成本又会提高．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮的轮胎换位的建议． 【数据信息】 1．汽车前轮一对轮胎一般应在汽车行驶达到6万公里时报废，而后轮一对轮胎应在汽车行驶达到8万公里时报废； 2．轮胎的磨损量汽车行驶的单位路程的磨损量汽车行驶的路程． 【问题解决】 (1)若每对新轮胎报废时的总磨损量为1，则安装在前轮的一对轮胎每行驶1万公里的磨损量为_____，安装在后轮的一对轮胎每行驶1万公里的磨损量为_____； (2)如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎，那么应在汽车行驶里程达到多少万公里时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的前后两对轮胎同时报废?（结果保留小数点后两位） 注：“同时报废”指的是前后两对轮胎的总磨损量均为1． 【答案】(1)； (2)应在汽车行驶里程达到3.43万公里时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据汽车前后轮轮胎报废的里程，即可得出安装在前、后轮的轮胎每行驶1千米的磨损量； （2）设应在汽车行驶里程达到x千米时，交换前、后轮轮胎，再行驶y千米，两对轮胎同时报废，根据两对轮胎同时报废时两对轮胎的磨损量均为1，可列出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：已知汽车前轮一对轮胎行驶6万公里报废，且每对新轮胎报废时总磨损量为1，那么安装在前轮的一对轮胎每行驶1万公里的磨损量为； 同理，后轮一对轮胎行驶8万公里报废，所以安装在后轮的一对轮胎每行驶1万公里 的磨损量为； 故答案为：；； （2）解：设行驶x万公里时前后轮交换，然后再行驶y万公里两对轮胎同时报废． ∵前轮剩余的磨损量为，后轮剩余的磨损量为， ∴由题意可得， 消元得． 解得：（万公里）． 即应在汽车行驶里程达到3.43万公里时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废． 【变式31-3】（2025·安徽淮北·三模）某手工陶器作坊制作了A，B两种型号的陶器摆件共80件，其成本和售价如下表， 型号 成本/（元/件） 售价/（元/件） A 40 70 B 30 50 该手工陶器作坊销售完这批陶器摆件，获得利润2100元．分别求这批陶器摆件中A，B两种型号的数量． 【答案】50件，30件 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，设这批陶器摆件中A型号的数量为x，B型号的数量为y．某手工陶器作坊制作了A，B两种型号的陶器摆件共80件，手工陶器作坊销售完这批陶器摆件，获得利润2100元．据此列出方程组，接方程组即可得到答案． 【详解】解：设这批陶器摆件中A型号的数量为x，B型号的数量为y． 由题意可得， 解得． 答：这批陶器摆件中A型号的数量为50件，B型号的数量为30件 题型三十二 二元一次方程的应用：行程问题 【例32】（24-25七年级下·安徽合肥·期末）【问题背景】 随着人们生活水平的提高，很多家庭都购置了小汽车．大多数小汽车是前轮驱动和转向的，所以前轮的磨损程度比后轮严重．为了解决这个问题，一般的汽车使用手册上都有定期给前后轮胎换位的建议． 【资料显示】 汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到时报废．如果在轮胎的使用寿命内只交换一次前、后轮轮胎． 【问题解决】 (1)若每个新轮胎报废时的总磨损量设为单位“1”，则前轮行驶每千米的磨损量为______，后轮行驶每千米的磨损量为______； (2)汽车行驶里程达到多少时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废？并求出轮胎报废时汽车的行驶总里程． 【答案】(1)， (2)应在汽车行驶里程达到千米时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废，轮胎报废时汽车的行驶总里程为千米 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． （1）根据汽车前后轮轮胎报废的里程，即可得出安装在前、后轮的轮胎行驶每千米的磨损量； （2）设应在汽车行驶里程达到千米时，交换前、后轮轮胎，再行驶千米，两对轮胎同时报废，根据两对轮胎同时报废时两对轮胎的磨损量均为1，可列出关于的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】（1）解：∵汽车前轮轮胎一般应在汽车行驶达到60000千米时报废，而后轮轮胎应在汽车行驶达到80000千米时报废， ∴设每个新轮胎报废时的总磨损量为1，则前轮行驶每千米的磨损量为，后轮行驶每千米的磨损量为， 故答案为：，； （2）解：设应在汽车行驶里程达到千米时，交换前、后轮轮胎，再行驶千米，两对轮胎同时报废， 根据题意得， 解得， ∴， 答：应在汽车行驶里程达到千米时，交换前、后轮轮胎，能使汽车的两对轮胎同时报废，轮胎报废时汽车的行驶总里程为千米． 【变式32-1】（24-25九年级下·安徽合肥·期中）小明和小华两人同时骑自行车从甲地到乙地，小明每小时比小华多行2千米，小明先到达乙地后立即返回，在返回途中遇见小华，此时，他们已走了0.8小时，已知甲、乙两地相距8千米，求小华从甲地到乙地需要多长时间？ 【答案】小华从甲地到乙地需要小时 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出相等关系是解题的关键． 设小明的速度是千米/时，小华的速度为千米/时，根据题意列出二元一次方程组求出，进而求解即可． 【详解】解：设小明的速度是千米/时，小华的速度为千米/时， 由题意可列方程组， 解得 小华从甲地到乙地需要（小时）． 答：小华从甲地到乙地需要小时． 【变式32-2】（24-25八年级上·安徽宿州·期末）两列火车同时从相距千米的两地相向出发，小时后相遇，如果第一列火车比第二列火车早出发小时，那么在第二列火车出发小时后相遇，求两列火车的速度． 【答案】第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是正确找出等量关系．设第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时，根据题意列方程组即可求解． 【详解】解：设第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时， 根据题意得：， 解得：， 答：第一列火车速度为千米/小时，第二列火车速度为千米/小时． 【变式32-3】（24-25七年级上·安徽马鞍山·期末）甲、乙两人分别在A、B两地，以各自的速度同时出发．如果相向而行，两人后相遇；如果同向而行，两人后相遇；问甲从A地到B地需要（   ）． A． B． C．或 D．或 【答案】C 【分析】此题考查了二元一次方程组的应用，解题的关键是分情况讨论． 设A、B两地之间的距离为s，甲的速度为x，乙的速度为y，根据题意列出二元一次方程组求解即可． 【详解】设A、B两地之间的距离为s，甲的速度为x，乙的速度为y 根据题意得，或 解得或 ∴甲从A地到B地需要或． 故选：C． 题型三十三 二元一次方程的应用：工程问题 【例33】（2025·安徽蚌埠·三模）南淝河，古称施水，长江流域巢湖的支流，是合肥的母亲河．为了确保河道畅通，现需要对一段河道进行清淤处理，清淤任务由两栖反铲式清淤机和小型链斗式清淤船进行．右表是工程队给出的两个工程预备方案，环保部门要求6天内必须完成任务．如果工程部门提供2台清淤机和2台清淤船，共同完成此项任务，那么能否按要求完成任务？ 清淤机 清淤船 时间 方案一 1台 2台 8天 方案二 2台 1台 7天 【答案】能按要求完成任务 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为，根据方案一和方案二建立方程求解即可． 【详解】解：设一台清淤机的工作效率为，一台清淤船的工作效率为． 根据题意，得 解得， 答：2台清淤机和2台清淤船共同工作，能按要求完成任务． 【变式33-1】（2024七年级下·全国·专题练习）有一批待加工的零件共420个，如果甲先做2天后乙加入工作，那么再做2天可以完成；如果乙先做2天后甲加入工作，那么再做3天可以完成，求甲、乙两人每天各做零件多少个． 【答案】甲每天做零件90个，乙每天做零件30个 【分析】分析已知和所求，可设甲、乙两人每天各做x、y个机器零件，根据甲先做2天后乙加入工作，那么再做2天可以完成，可得方程；由乙先做2天后甲加入工作，那么再做3天可以完成可得． 解两个方程组成的方程组，即得甲、乙两人每天各做的机器零件数． 本题主要考查了列二元一次方程组解应用，根据题意正确的列出方程组是解题的关键． 【详解】设甲每天做零件个，乙每天做零件个．根据题意，得 ， 解得． 答：甲每天做零件90个，乙每天做零件30个． 【变式33-2】（22-23七年级上·安徽阜阳·阶段练习）阅读理解： 为打造陶子河沿岸的风景带，有一段长为360米的河道整治任务由A、B两个工程队先后接力完成，A工程队每天整治24米，B工程队每天整治16米，共用20天. (1)根据题意，甲乙两个同学分别列出了尚不完整的方程组如下： 甲：            乙： 根据甲、乙两名同学所列的方程组，请你分别指出未知数，表示的意义，并且补全甲、乙两名同学所列的方程组： 甲：表示___________________，表示_______________； 乙：表示___________________，表示_______________； (2)求出其中一个方程组的解，并回答A、B两工程队分别整治河道多少米？ 【答案】(1)A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作量，B队的工作量；补全所列方程组见解析 (2)A队整治河道120米，B队整治河道240米 【分析】（1）根据甲、乙两名同学所列的方程组可得，甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量，补全方程组即可； （2）根据二元一次方程组的解法求解方程组甲． 【详解】（1）解：甲：， 乙：； 甲：x表示A队的工作时间，y表示B队的工作时间；乙：x表示A队的工作量，y表示B队的工作量； 故答案为：A队的工作时间，B队的工作时间；A队的工作量，B队的工作量． （2）解： 得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为：， 则，， 答：A队整治河道120米，B队整治河道240米． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，解答本题的关键是读懂题意，设出未知数，正确找出题目中的相等关系，列方程组求解． 【变式33-3】（11-12七年级下·浙江温州·期中）一家商店进行装修，若请甲、乙两个装修组同时施工，8天可以完成，需付两组费用共3520元；若先请甲组单独做6天，再请乙组单独做12天可以完成，需付费用3480元． (1)甲、乙两组工作一天，商店应各付多少元； (2)已知甲单独完成需12天，乙单独完成需24天，单独请哪个组，商店所需费用少？ (3)若装修完后，商店每天可盈利200元，现有如下三种方式装修：①甲单独做；②乙单独做；③甲乙合做，你认为如何安排施工更有利于商店？（可用（1）、（2）问的条件及结论） 【答案】(1)甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元 (2)单独请乙组，商店所需费用少 (3)安排甲乙合作施工更有利于商店 【分析】（1）根据题意建立方程组并求解； （2）将单独请甲乙组的费用计算出来，再进行比较，得出答案； （3）将三种方案损失费用计算出来进行比较，得出答案． 【详解】（1）设甲组工作一天，商店应付x元，乙组工作一天，商店应付y元， 依题意得：， 解得：． 答：甲组工作一天，商店应付300元，乙组工作一天，商店应付140元． （2）300×12＝3600（元）， 140×24＝3360（元）． ∵3600＞3360， ∴单独请乙组，商店所需费用少． （3）选择①：（300+200）×12＝6000（元）； 选择②：（140+200）×24＝8160（元）； 选择③：（300+140+200）×8＝5120（元）． ∵5120＜6000＜8160， ∴安排甲乙合作施工更有利于商店． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的实际运用，熟练掌握方程组的实际运用是本题解题关键． 题型三十四 二元一次方程的应用：数字问题 【例34】（2025·安徽芜湖·二模）算盘起源于中国，以排列成串的算珠作为计算工具，成串算珠称为档，中间横梁把算珠分为上，下两部分，上半部分每算珠代表5，下半部分每算珠代表1．任意选定某档为个位，从该档开始从右至左依次代表十进位的个，十，百，千，万，……，不拨出算珠的空档表示0．某同学在百位拨了一颗上珠和三颗下珠，在构成的三位数中，百位数字等于十位数字与个位数字的和的2倍，十位数字减2等于个位数字，请求出这个三位数． 【答案】 【分析】题考查二元一次方程组的实际应用，根据题意得出百位数，设个位数字为，十位数字为，由题意列出方程组，解方程组，即可求解． 【详解】解：依题意，百位数为，设个位数字为，十位数字为，由题意，得： ， 解得：， ∴这个三位数为． 【变式34-1】（24-25七年级上·安徽合肥·阶段练习）一个两位数，比它十位上的数与个位上的数的和3倍大7；如果交换十位上的数与个位上的数，所得新两位数比原两位数2倍小1，求这个两位数． 【答案】 【分析】本题主要考查二元一次方程组解实际应用，熟练掌握二元一次方程组是解题的关键．根据题意列出方程组进行解题即可． 【详解】解：设原两位数十位上的数是，个位上的数是， 则 解得． 答：所求的两位数是． 【变式34-2】（22-23七年级下·江西南昌·期末）《最强大脑》节目中，有很多具有挑战性的比赛项目，其中《幻圆》这个项目充分体现了数学的魅力．如图是一个最简单的二阶幻圆的模型，要求：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等．求图中从左到右两空白圆圈内应填写的数字．    【答案】外圆和内圆空白处数字依次为2和9 【分析】设图中两空白圆圈内左边的数为x，右边的数为y，由题意：①内、外两个圆周上的四个数字之和相等；②外圆两直径上的四个数字之和相等，列出方程组，解方程组即可． 【详解】解：设外圆空白处的数字为x，内圆空白处的数字为y， 则，整理得：             解得 答：外圆和内圆空白处数字依次为2和9． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式34-3】（22-23八年级上·重庆南岸·阶段练习）已知某首歌曲的歌词的字数是一个两位数，十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大，则这首歌的歌词的字数是（ ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】设这首歌的歌词的字数的十位数字为x,个位数字为y,由题意：十位数字是个位数字的两倍，且十位数字比个位数字大4，列出二元一次方程组，解方程组即可． 【详解】解：设个位数字为，十位数字为， 则解得 这首歌的歌词的字数为． 故选：A． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 题型三十五 二元一次方程的应用：年龄问题 【例35】（24-25九年级下·湖北武汉·自主招生）妈妈今年岁，她养育了一个儿子和一个女儿，大的是儿子，小的是女儿，当儿子岁时，妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，当女儿年龄是儿子的时，妈妈恰为岁，那么儿子今年 岁． 【答案】 【分析】本题考查了列代数式，利用二元一次方程组解决实际问题，一元一次方程的实际应用，解题关键是找准题中的等量关系． 设儿子今年x岁，女儿今年y岁，根据题中的等量关系，列出方程组，通过消元得到，进而可求出儿子今年的年龄． 【详解】解：设儿子今年x岁，女儿今年y岁，妈妈今年74岁， 当儿子岁时， 妈妈的年龄为：岁， 女儿的年龄为：岁， 此时妈妈的年龄比女儿年龄的2倍还大4岁，即：， 解得： 当妈妈岁时，（岁），即年前， 儿子的年龄为：岁， 女儿的年龄为：岁， 此时女儿年龄是儿子，即：， 则， 把代入，即， 解得：， 所以儿子今年岁． 故答案为：． 【变式35-1】（24-25七年级下·全国·期中）甲对乙说：“我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半；当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁．”则今年甲的年龄为 岁． 【答案】28 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的实际应用，设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁，根据我像你这样大岁数的那年，你的岁数等于我今年的岁数的一半可得方程，根据当你到我这样大岁数的时候，我的岁数是你今年岁数的二倍少7岁可得方程，据此建立方程组求解即可． 【详解】解：设今年甲的年龄为x岁，乙的年龄为y岁， 由题意得，， 解得， ∴今年甲的年龄为28岁， 故答案为：28． 【变式35-2】（2025七年级下·全国·专题练习）已知甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，则甲、乙现在的年龄差为 ． 【答案】5 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，根据等量关系列出方程组，是解题的关键．设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，根据甲是乙现在的年龄时，乙10岁，乙是甲现在的年龄时，甲25岁，列出方程组，求出即可． 【详解】解：设甲现在的年龄是x岁，乙现在的年龄是y岁，由题意可得： ， 即由此可得： ， ∴，即甲比乙大5岁． 故答案为：5． 【变式35-3】（23-24七年级下·全国·课后作业）一名34岁的男子带着他的两个孩子一同接受采访，下面是两个孩子与记者的对话： 根据对话内容，哥哥和妹妹的年龄分别是 ． 【答案】10岁和6岁 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁，根据对话中的信息，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设妹妹的年龄是x岁，哥哥的年龄是y岁， 依题意，得， 解得； 所以妹妹的年龄是6岁，哥哥的年龄是10岁． 故答案为：10岁和6岁． 题型三十六 二元一次方程的应用：分配问题 【例36】（2025·安徽合肥·三模）2025年4月23日是第30个“世界读书日”．为用于摆放书籍，某校计划购买甲、乙两种型号的书架共30个．已知每个甲型书架比每个乙型书架低100元，购买2个甲型书架和3个乙型书架共需1300元．求甲、乙两种型号书架的单价． 【答案】甲型书架的单价为200元，乙型书架的单价为300元 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，解题的关键是根据题目中的等量关系列出方程组并求解． 设甲型书架单价为x元，乙型书架单价为元；根据“每个甲型书架比每个乙型书架低元”可得根据“购买2个甲型书架和3个乙型书架共需元”可得联立两个方程组成方程组，解方程组即可得到两种型号书架的单价． 【详解】解：设甲型书架的单价为x元，乙型书架的单价为y元． 根据题意，可列方程组： 由第一个方程可得：． 将代入第二个方程：，解得 把代入得． 答：甲型书架的单价为元，乙型书架的单价为元． 【变式36-1】（2025·安徽合肥·一模）某校八年级学生到郊外参加研学活动，已知用 3 辆小客车和 1 辆大客车每次可运送学生 160 人，用 2 辆小客车和 3 辆大客车每次可运送学生 235 人，则每辆小客车和每辆大客车各能坐多少名学生？ 【答案】小客车35人，大客车55人 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生，根据“用3辆小客车和1辆大客车每次可运送学生160人，用2辆小客车和3辆大客车每次可运送学生235人”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设每辆小客车能坐x名学生，每辆大客车能坐y名学生， 依题意，得     解得： 答：每辆小客车能坐35名学生，每辆大客车能坐55名学生． 【变式36-2】（23-24八年级上·重庆·期中）某共享单车运营公司准备采购一批共享单车投入市场，而共享单车安装公司由于抽调不出足够熟练工人，准备招聘一批新工人．已知2名熟练工人和3名新工人每天共安装44辆共享单车；4名熟练工人 每天安装的共享单车数与5名新工人每天安装的共享单车数一样多． (1)求每名熟练工人和新工人每天分别可以安装多少辆共享单车； (2)共享单车安装公司计划抽调出熟练工人若干，并且招聘新工人共同安装共享单车．如果25天后刚好交付运营公司3500辆合格品投入市场，求熟练工人和新工人各多少人． 【答案】(1)每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车 (2)熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人 【分析】（1）设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车，根据题意列方程组即可； （2）设熟练工人和新工人各m，n人，根据题意列出等式取值即可． 【详解】（1）解：设每名熟练工人每天可以安装x辆共享单车，每名新工人每天可以安装y辆共享单车， 根据题意，得：，解得， 答：每名熟练工人和新工人每天分别可以安装辆和辆共享单车． （2）解：设熟练工人和新工人各m，n人， 由题意得：， 整理得：， 当时，； 当时，； 当时，； 答：熟练工人和新工人分别有10人、5人或6人、10人或2人、15人； 【点睛】本题主要考查二元一次方程组的应用，解题的关键是理解题意，找到题目蕴含的相等关系． 【变式36-3】（22-23七年级下·海南海口·期中）学校准备租用一批汽车，现有甲、乙两种大客车，甲种客车每辆载客量人，乙种客车每辆载客量人，已知辆甲种客车和辆 乙种客车共需租金元，辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元． (1)求辆甲种客车和辆乙种客车的租金分别是多少元？ (2)学校计划租用甲、乙两种客车共辆，送名师生集体外出活动，刚好全部坐满，问租车费用是多少？ 【答案】(1)辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元 (2)租车费用是元 【分析】（1）可设辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元，根据等量关系：辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元，辆甲种客车和辆乙种客车共需租金元，列出方程组求解即可； （2）根据题意，刚好全部坐满，确定等量关系：甲客车人数+乙客车人数，建立一元一次方程求解，进而求出费用即可． 【详解】（1）解：设辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元，依题意有 ， 解得， 答：辆甲种客车的租金是元，辆乙种客车的租金是元． （2）解：设租用甲种客车辆，乙种客车辆，则 ，解得， 元． 答：刚好坐满时，租车费用是元． 【点睛】本题考查一元一次方程及二元一次方程组的应用，解决本题的关键是读懂题意，找到符合题意的等量关系． 题型三十七 二元一次方程的应用：销售问题 【例37】（2025·安徽宿州·模拟预测）随着人们环保观念的不断加深，“低碳环保，绿色出行”成为大家的生活理念，选择自行车出行已是如今社会的一种潮流形式．某公司销售甲、乙两种型号的自行车，其中销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1700元，销售2台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利1000元，该公司销售一台甲型、一台乙型自行车的利润各是多少元？ 【答案】销售一台甲型自行车的利润是300元，一台乙型自行车的利润是400元 【分析】本题主要考查二元一次方程组的应用，设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元，根据“销售3台甲型自行车和2台乙型自行车，可获利1700元，销售2台甲型自行车和1台乙型自行车，可获利1000元”列出二元一次方程组求解即可． 【详解】解：设该公司销售一台甲型自行车的利润是x元，一台乙型自行车的利润是y元， 由题意得 解得 答：该公司销售一台甲型自行车的利润是300元，一台乙型自行车的利润是400元． 【变式37-1】（2025·安徽池州·模拟预测）一家广告公司为某学校制作文艺活动的展板、宣传册和横幅，其中宣传册的数量是展板的5倍．广告公司制作每件产品所需时间和所获利润如下表： 产品 展板 宣传册 横幅 时间／小时 1 利润／元 60 20 已知制作三种产品共需25小时，所获利润为975元，则这三种产品的件数之和为？ 【答案】三种产品的总件数为件 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设学校制作展板件，宣传册件，横幅件，根据题意，列出方程组求解即可． 【详解】解：设学校制作展板件，宣传册件，横幅件 则： 解得： 所以这三种产品的总件数为件． 【变式37-2】（2025·安徽·二模）学生在素质教育基地进行社会实践活动，帮助农民伯伯采摘了黄瓜和茄子共40千克，了解到这两种蔬菜的种植成本共42元，还了解到如图所示的信息． (1)请问采摘的黄瓜和茄子各多少千克？ (2)采摘的这些黄瓜和茄子可赚多少元？ 【答案】(1)采摘的黄瓜和茄子分别为30千克、10千克 (2)23元 【分析】本题考查了二元一次方程组，解题的关键是列出方程组进行求解； （1）设采摘黄瓜千克、茄子千克，列出二元一次方程组求解即可； （2）直接根据利润的表达式列出式子计算即可． 【详解】（1）解：设采摘黄瓜千克、茄子千克．根据题意，得 解得， 采摘的黄瓜和茄子分别为30千克、10千克； （2）解：（元）． 采摘的这些黄瓜和茄子可赚23元． 【变式37-3】（2025七年级下·湖北·专题练习）一天，某商贩花180元从蔬菜批发市场批发了西红柿和土豆共到菜市场去卖，西红柿和土豆当天的批发价和零售价如下表： 品名 西红柿 土豆 批发价（元） 3 2 零售价（元） 5 3.5 (1)求该商贩批发的西红柿和土豆的数量各是多少？ (2)若该商贩当天将购买的西红柿和土豆全部卖完，请问该商贩可赚多少元？ 【答案】(1)该商贩批发了西红柿，土豆 (2)该商贩可赚130元 【分析】本题主要考查了二元一次方程的应用、有理数混合运算的应用，理解题意，弄清数量关系是解题关键． （1）设该商贩批发了西红柿，土豆，根据题意列出二元一次方程并求解，即可获得答案； （2）根据“盈利（零售价批发价）数量”求解即可． 【详解】（1）解：设该商贩批发了西红柿，土豆， 根据题意得：， 解得：． 答：该商贩批发了西红柿，土豆； （2）根据题意得： （元）． 题型三十八 二元一次方程的应用：和差倍分问题 【例38】（2025·安徽·模拟预测）刘畅同学去参加数学竞赛，共有20道题，做对一道得5分，做错一道题倒扣2分，刘畅同学做完了全部20道题，结果刘畅同学考了72分，问他做对了几道题？ 【答案】16道 【分析】题目主要考查二元一次方程组的应用，理解题意，列出方程组求解是解题关键． 设刘畅同学做对了x道题，做错了y道题，根据题意列出方程组求解即可． 【详解】解：设刘畅同学做对了x道题，做错了y道题， ， 解得， 答：刘畅同学做对了16道题． 【变式38-1】（24-25七年级上·安徽安庆·期末）桐城二中为了提升学生的综合素质，拓展视野见识，增强社交能力，培养独立意识，激发学生学习兴趣，学校组织七八年级学生研学旅行．其中七年级班师生共483人．学校向租车公司租赁两种车型送师生往研学基地，若租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位．求两种车型各有多少个座位？ 【答案】两种车型各有座位个和个 【分析】本题考查二元一次方程组的实际应用，设两种车型各有座位个和个，根据租用型车3辆，型车6辆，则空余12个座位；若租用型车5辆，型车4辆，则18人没有座位，列出方程组进行求解即可． 【详解】解：设两种车型各有座位个和个，由题意，得： ，解得：； 答：两种车型各有座位个和个． 【变式38-2】（2025·安徽滁州·二模）某品牌新能源汽车店计划购进A，B两种型号的新能源汽车．已知购进2辆A型号的新能源汽车比购进1辆B型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A型号和2辆B型号的新能源汽车共92万元．求A，B两种型号的新能源汽车的单价． 【答案】A型号的新能源汽车的单价是20万元，B型号的新能源汽车的单价是36万元 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设A型号的新能源汽车的单价是m万元，B型号的新能源汽车的单价是n万元，根据“购进2辆A型号的新能源汽车比购进1辆B型号的新能源汽车多4万元；购进1辆A型号和2辆B型号的新能源汽车共92万元”，可列出关于m，n的二元一次方程组，解之即可得出结论． 【详解】解：设A型号的新能源汽车的单价是m万元，B型号的新能源汽车的单价是n万元， 根据题意得：， 解得：． 答：A型号的新能源汽车的单价是20万元，B型号的新能源汽车的单价是36万元． 【变式38-3】（2025·安徽·模拟预测）“霜降”是收获、播种的最后时节．某农科所利用试验田共种植5亩谷子进行新技术与传统技术的对比试验，共收获谷子3300斤，经过对比发现，采用新技术种植的谷子，平均每亩产量是采用传统技术种植的谷子的1.25倍．已知传统技术种植的谷子平均每亩产量为600斤，请问该试验田采用传统技术和新技术各种植谷子多少亩？ 【答案】该试验田采用传统技术种植谷子3亩，采用新技术种植谷子2亩 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，设该试验田采用传统技术种植谷子x亩，采用新技术种植谷子y亩，根据题中关系列出二元一次方程组即可解答，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设该试验田采用传统技术种植谷子x亩，采用新技术种植谷子y亩， 根据题意，得， 解得． 答：该试验田采用传统技术种植谷子3亩，采用新技术种植谷子2亩． 题型三十九 二元一次方程的应用：九宫格问题 【例39】（21-22七年级下·安徽芜湖·期末）如图，在的方格内，填写了一些代数式和数．在图中各行、各列及斜对角上的三个数之和都相等，请你求出x，y的值及左下角的方格内应填的数． 【答案】，，左下角的方格内应填的数为0 【分析】根据图中各行、各列及斜对角上的三个数之和都相等，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用左下角的方格内应填的数=第一行三个数之和-2-y，即可求出结论． 【详解】解：依题意得：， 解得：， ∴左下角的方格内应填的数为2x+3+2-2-y=2×（-1）+3+2-2-1=0． 答：x的值为-1，y的值为1，左下角的方格内应填的数为0． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 【变式39-1】（2022·山东威海·中考真题）幻方的历史很悠久，传说最早出现在夏禹时代的“洛书”．把洛书用今天的数学符号翻译出来，就是一个三阶幻方（如图1），将9个数填在3×3（三行三列）的方格中，如果满足每个横行、每个竖列、每条对角线上的三个数字之和都相等，就得到一个广义的三阶幻方．图2的方格中填写了一些数字和字母，若能构成一个广义的三阶幻方，则mn＝ ． 【答案】1 【分析】由第二行方格的数字，字母，可以得出第二行的数字之和为m，然后以此得出可知第三行左边的数字为4，第一行中间的数字为m-n+4，第三行中间数字为n-6，第三行右边数字为，再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得关于m，n方程组，解出即可． 【详解】如图，根据题意，可得 第二行的数字之和为：m+2+(-2)=m 可知第三行左边的数字为：m-(-4)-m=4 第一行中间的数字为：m-n-(-4)=m-n+4 第三行中间数字为m-2-(m-n+4)=n-6 第三行右边数字为：m-n-(-2)=m-n+2 再根据对角线上的三个数字之和相等且都等于m可得方程组为： 解得 ∴ 故答案为：1 【点睛】本题考查了有理数加法，列代数式，以及二元一次方程组，解题的关键是根据表格，利用每行，每列，每条对角线上的三个数之和相等列方程． 【变式39-2】（21-22七年级上·安徽安庆·期末）把1~9这九个数填入3×3方格中，使其任意一行，任意一列及任意一条对角线上的数之和都相等，这样便构成了一个“九宫格”，它源于我国古代的“洛書”（图1），是世界上最早的“幻方”．图2是仅可以看到部分数值的“九宫格”，则的值为（    ） A．1 B．8 C．9 D．－8 【答案】A 【分析】：根据题意得：得到关于x，y的方程组，即可求解． 【详解】解：根据题意得： ∴， 解得：， ∴． 故选：A 【点睛】本题主要考查了二元一次方程组的应用，明确题意，准确得到等量关系是解题的关键． 【变式39-3】（21-22七年级上·安徽宿州·期末）把1—9这九个数填入方格中，使每行、每列、每条对角线上的三个数之和都相等，这便构成了一个“三阶幻方”．它源于我国古代的“洛书”．如图是仅可以看到部分数值的“三阶幻方”，则的值为 ． 【答案】 【分析】由题意列出方程求解即可得. 【详解】解：由题意，得， 解得， ∴x-y=1-9=-8， 故答案为：-8. 【点睛】本题考查了二元一次方程组的应用，根据题意找出等量关系式是解决问题的关键. 题型四十 二元一次方程的应用：古算术问题 【例40】（2024·湖北·模拟预测）我国古代数学名著《张邱建算经》中记载：“今有清酒一斗直粟十斗，醑酒一斗直粟三斗．今持粟三斛，得酒五斗，问清、醑酒各几何？”意思是：现在一斗清酒价值10斗谷子，一斗醑酒价值3斗谷子、现在拿30斗谷子，共换了5斗酒，问清酒、醑酒各几斗？如果设清酒斗，醑酒斗，那么可列方程组为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了由实际问题抽象出二元一次方程组和数学常识，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键． 根据“现在拿30斗谷子，共换了5斗酒”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，此题得解． 【详解】如果设清酒斗，醑酒斗，由题可知，． 故选：A．【变式40-1】（24-25七年级下·安徽阜阳·期末）我国古代数学著作《增删算法统宗》记载“绳索量竿”问题：“一条竿子一条索，索比竿子长一托．折回索子来量竿，却比竿子短一托．”其大意为：现有一根竿和一条绳索，用绳索去量竿，绳索比竿长5尺；如果将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺．设杆子的长度为x尺，则下列说法错误的是（   ） A．列方程： B．设绳索长为y尺，列方程为 C．设绳索长为y尺，列方程组为 D．竿子的长度为10尺 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，二元一次方程组的应用． 根据题意建立方程组并求解，验证各选项的正确性即可 【详解】解：A：由题意可知绳索长，对折后长度为， ∵对折后比竿短5尺， ∴，正确； B：设绳索长为y尺， 则，即， 代入A得， 可得，正确； C：设绳索长为y尺， ∵绳索比竿长5尺， ∴， ∵将绳索对半折后再去量竿，就比竿短5尺， ∴， ∴，正确； D：解方程得，故竿长应为15尺，错误； 故选：D． 【变式40-2】（24-25七年级下·安徽淮南·期末）我国民间流传这样一道数学名题： 其大意是： 听见隔壁一些人在分银两，每人7两还缺7两，每人半斤则多半斤，问共有多少人？共有多少两银子？ 数学原题： 只闻隔壁人分银，不知多少银和人，每人7两还缺7两，每人半斤多半斤，试问各位善算者，多少人分多 少银？(1斤等于10两) 设有个人，共分两银子，根据题意，可列方程组为（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题主要考查二元一次方程组的运用，理解数量关系是关键，根据题意，每人分7两缺7两，每人分5两多5两，建立方程组即可． 【详解】解：设共有人，两银子， ∵总需银两为，实际银两比所需少7两， ∴， ∵总需银两为，实际银两比所需多5两， ∴， 联立方程得：， 故选：D． 【变式40-3】（2025·安徽淮北·三模）在明朝程大位《算法统宗》中有首住店诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．大意是：一些客人到李三公的店中住宿，如果每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．问客房几间？房客几人？请解答上述问题． 【答案】该店有客房8间，房客63人 【分析】本题考查了二元一次方程组的实际应用，读懂题意是解题关键，设该店有客房x间，房客y人，根据每一间客房住7人，那么有7人无房可住；如果每一间客房住9人，那么就空出一间房．列出方程组求解即可． 【详解】解：设该店有客房x间，房客y人， 根据题意得 ， 解得 ， 答：该店有客房8间，房客63人． 题型四十一 三元一次方程的解 【例41】（23-24七年级下·四川乐山·期中）三元一次方程组的解是（   ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题考查了解三元一次方程组，熟练掌握消元法是解题关键． 先将第一个方程与第二个方程相加可得，将第一个方程与第三个方程相加可得，解二元一次方程组可得的值，再代入第一个方程求出的值，由此即可得． 【详解】解：， 由①②得：④， 由①③得：⑤， 由⑤④得：， 解得， 将代入④得：， 解得， 将，代入①得：， 解得， 所以方程组的解为， 故选：A． 【变式41-1】（23-24六年级下·上海虹口·期末）解方程组： 【答案】 【分析】本题考查解三元一次方程组，利用加减消元法求解． 【详解】解：由得：， 解得：， 由得： ④， 将代入④得：， 解得：， 把，代入①得：， 解得：， ∴原方程组的解为：． 【变式41-2】（24-25六年级下·上海闵行·期末）解方程组 【答案】 【分析】本题考查了解三元一次方程组，将三元一次方程组通过加减消元法转化为二元一次方程组是解题的关键； 通过加减消元法，消去，联立，解方程得，再将解代入含的方程求解即可． 【详解】解：由题知，， 得，， 得，， 联立，解得， 把，代入中，可得，解得， 原方程组的解为． 【变式41-3】（24-25六年级下·上海宝山·期末）解方程组：． 【答案】 【分析】利用加减消元法解答即可． 本题考查了方程组的解法，熟练掌握解法是解题的关键． 【详解】解： 得，， 得，， 得， 解得， 故，， 故方程组的解为． 题型四十二 三元一次方程的应用 【例42】（24-25七年级下·河南郑州·期末）幻方是一种中国传统游戏，我国古代的《洛书》中记载了最早的幻方--九宫格．将9个数填入幻方的空格中，要求每一行、每一列以及两条对角线上的3个数之和相等，这就是最早的幻方．如图，有一个类似于幻方的“幻圆”，现将、、、、2、4、6、8分别放入图中的圆圈中，使得内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相等，则 ． 【答案】 【分析】本题考查有理数加减运算，方程的应用，合理设出未知数，找到列方程的等量关系是解决问题的关键．将四个“和”都设为同一个值，空白处数字为，根据内圆和外圆以及同一行和同一列的四个数字和相等，列出方程进行求解即可． 【详解】解：如图所示，将四个“和”都设为同一个值，空白处数字为，根据题意得： 外圆四数之和： ， 内圆四数之和：， 横向四数之和： ， 纵向四数之和：， 整理得： ①， ②， ③， ④， 由①④可得， 由②④可得，比小， 而没有填入的数只有， ∴ ， ∴． 故答案为：16． 【变式42-1】（24-25七年级上·浙江台州·期末）一组有序排列的数具有如下规律：任意相邻的三个数，中间的数等于前后两数的积，若这组数第1个数为2，第5个数为，则第2025个数是 ． 【答案】2 【分析】本题考查了数字的变化，根据数字的变化找出其规律，再根据周期性计算求值是解本题的关键，难度不大，仔细审题即可．设第2个数为a，第3个数为b，第4个数为c，则有，再求出a，b，c的值，进而可得第2个数，第3个数，第4个数，第6个数，第7个数，第8个数的值；根据规律，可求得第2025个数的值． 【详解】解：设第2个数为a，第3个数为b，第4个数为c， 则有：，解得：， ∴第6个数为，第7个数为2，第8个数为4， ∴这一组有序排列的数为：2，4，2，，，，2，4，．．．， ∴这一组有序排列的数是以2，4，2，，，为一组，周期性出现， ， ∴第2025个数是2． 故答案为：2． 【变式42-2】（21-22九年级上·重庆沙坪坝·阶段练习）元旦将至，初中各年级准备给同学们购买新年礼物，准备购买笔记本、尺规作图工具、钢笔三种礼物，笔记本、尺规作图工具、钢笔的单价分别为5元、15元、25元，初二购买的笔记本数量是初一的10倍，尺规作图工具数量是初一的6倍，钢笔数量是初一的8倍，初三购买的笔记本数量是初一的3倍，尺规作图工具数量是初一的7倍，钢笔数量和初一相同，三个年级共花费金额2510元，初三比初一多用420元，则三个年级购买尺规作图工具共花费 元． 【答案】 【分析】本题考查了三元一次方程组的应用，找到相等关系是解题的关键． 根据三个年级共花费金额2510元和初三比初一多用420元，列方程后再根据验证法求解即可． 【详解】解：设初一年级购买笔记本本、尺规作图工具个、钢笔个，则：初二年级购买笔记本本，尺规作图工具个，钢笔个，初三年级购买笔记本本，尺规作图工具个，钢笔个， 由题意可得：， 解得：， ∵，，都是整数， ∴， ∴（元）， 故答案为：．【变式42-3】（24-25七年级下·江苏常州·阶段练习）某班开展安全教育知识竞赛需购买奖品，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，则购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需 元 【答案】 【分析】设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元，根据“买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元，买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元”，可列出关于，的三元一次方程组，利用，即可求出结论． 本题考查了三元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出三元一次方程组是解题的关键． 【详解】解：设铅笔的单价为元，橡皮的单价为元，日记本的单价为元， 根据题意得：， 得：， 购买支铅笔、块橡皮、本日记本共需元． 故答案为：． 基础巩固通关测 一、单选题 1．（18-19七年级下·吉林长春·期中）若是关于的方程的解，则的值等于（    ） A．20 B．15 C．4 D．3 【答案】B 【分析】把代入解关于a的方程解题即可． 【详解】解:把代入方程得：， 解得：， 故选B． 【点睛】本题考查解一元一次方程，掌握一元一次方程的解法是解题的关键． 2．（23-24七年级上·江苏淮安·期中）下列等式中是一元一次方程的是（   ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查一元一次方程的定义，解题的关键是掌握一元一次方程的定义：只含一个未知数，并且未知数的最高次数为次的整式方程，进行解答，即可． 【详解】A、不是整式方程，不符合题意； B、是一元一次方程，符合题意； C、有两个未知数，不是一元一次方程，不符合题意； D、不是等式， 故选：B． 3．（23-24七年级上·安徽淮南·阶段练习）若，那么下列等式不一定成立的是（    ） A． B． C． D． 【答案】B 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质逐项判断即可． 【详解】解：A、若，则，等式成立，不符合题意； B、若，，则，故原等式不一定成立，符合题意； C、若，则，等式成立，不符合题意； D、若，则，等式成立，不符合题意； 故选：B． 4．（22-23七年级上·安徽滁州·阶段练习）二元一次方程组的解是（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】利用加减消元法，两个方程相加可消去，解出后代入原方程解出即可． 【详解】解： ①+②得，， 解得， 把代入①得，， 解得， 所以，原方程组的解是 故选：D． 【点睛】本题考查了二元一次方程组的解法，熟练掌握是解题的关键． 5．（21-22七年级上·湖北孝感·期末）《九章算术》是中国古代的数学专著，下面这道题是《九章算术》中第七章的一道题：“今有共买物，人出八，盈三：人出七，不足四，问人数，物价各几何？”译文：“几个人一起去购买某物品，如果每人出8钱，则多了3钱：如果每人出7钱，则少了4钱．问有多少人，物品的价格是多少？”设有x人，可列方程为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据题意可以找出题目中的等量关系，列出相应的方程，就可以解答本题． 【详解】解：设有x人，可列方程为：． 故选：A． 【点睛】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，列出相应的方程． 6．（21-22七年级下·河南信阳·期末）已知关于的一元一次方程的解是，则的值是（  ） A．3 B．2 C．-1 D．1 【答案】D 【分析】把代入，解出k的值即可． 【详解】把代入， 得， 解得， 故选：D． 【点睛】本题考查了一元一次方程，解题关键是懂得将解代入原方程，以及正确解方程． 7．（22-23七年级上·江苏无锡·期末）定义一种新运算：，，则方程的解是（      ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】本题考查解一元一次方程、有理数的混合运算．根据，，可以求得题目中方程的解． 【详解】解：∵，，， ∴， 整理得， 解得：； 故选：C． 8．（20-21八年级上·重庆·期中）已知关于，的二元一次方程组的解互为相反数，则的值是（ ） A．3 B．2 C．1 D．0 【答案】B 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解、解二元一次方程组、解一元一成方程等知识点，灵活运用相关运算法则成为解题的关键． 由题意得，然后解方程组求解的值，再根据解互为相反数得到方程求解即可． 【详解】解：由题意得： ， ②①得： 解得：， 将代入①可得，可得：， 把代入：， 故选：B 9．（22-23七年级上·湖北荆州·期末）我国春秋时期的《大戴礼》，记载了世界上最早的“幻方”（如图1），该“幻方”中，每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等．现有如图2所示的“幻方”，则的值是（    ） A．256 B． C．16 D． 【答案】A 【分析】本题考查代数式求值问题，一元一次方程的整体解法问题，理解题意，准确求出各代数式的值以及掌握有理数乘方运算法则是解题关键．根据题意，分别列出方程，然后表示出代数式的值，整体代入计算即可． 【详解】解：∵每个三角形的三个顶点上的数字之和都与中间正方形四个顶点上的数字之和相等， ∴每个三角形各顶点上数字之和相等，如图1中，，则， 即：相邻两个三角形中非公共点的两个顶点数字之和相等， ∴在图2中，，解得：， ∴， 故选：A． 10．（24-25七年级上·安徽合肥·期末）如图，在周长为的长方形中放入六个相同的小长方形，若，则图中阴影部分的面积为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用。设小长方形的长为x，宽为y，观察图形，根据图中各边之间的关系，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出x，y的值，再利用图中阴影部分的面积大长方形的面积小长方形的面积，即可求出结论． 【详解】解：设小长方形的长为x，宽为y， ，依题意得： ， 解得：， ∴， ∴图中阴影部分面积． 故选：A． 二、填空题 11．（23-24七年级下·广东肇庆·期中）二元一次方程若用含的代数式表示，则 ． 【答案】 【分析】本题考查了代入消元法，用含x的代数式表示出y是解题的关键．由，通过移项及将y的系数化为1，即可得出结论． 【详解】解：∵， ∴， ∴ 故答案为：． 12．（24-25九年级上·安徽亳州·期末）若,则 ． 【答案】 【分析】本题考查了等式的基本性质．熟练掌握等式的基本性质1，通分，是解题的关键．等式性质1：等式两边加（或减）同一个数或式子，结果仍相等；等式性质2：等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，结果仍相等． 条件式两边都加1，通分即得． 【详解】解：∵， ∴， ∴． 故答案为：． 13．（24-25七年级上·浙江杭州·期中）如图为某计算机程序示意图，现规定“输入－判断是否正数”为一次操作，若输出结果为4且运行了两次操作，则输入的数值为 ． 【答案】 【分析】本题一元一次方程的应用和学生分析题目的能力． 先分析题目中的程序计算图，然后根据程序求出第一次输出的结果，再根据程序求出原数即可． 【详解】解：∵输出结果为4且运行了两次操作， ∴第一次输出结果为x， 则， 解得（舍去）或， 设原数为y， 则， 解得， 故答案为：． 14．（24-25七年级上·安徽蚌埠·阶段练习）如图，已知A，B两点在数轴上，点A表示的数为，点B 表示的数为15． （1） ； （2）点P以每秒3个单位长度的速度从点A向右运动．点Q 以每秒2个单位长度的速度从点O向右运动，其中点 P、点Q同时出发，当点 P、点Q分别到原点O的距离相等，则经过 秒． 【答案】 20 1或5 【分析】本题主要考查了数轴上两点距离计算，一元一次方程的应用， （1）根据数轴上两点之间的距离求解即可； （2）设经过t秒，点P、点Q分别到原点O的距离相等，则点P所表示的数为，点Q所表示的数为，根据题意分两种情况分别列方程求解即可． 【详解】（1）； （2）设经过t秒，点P、点Q分别到原点O的距离相等，则点P所表示的数为，点Q所表示的数为， 当点O到点P和点Q的距离相等时，则， 解得； 当点P与点Q重合时，则， 解得， 故答案为：1或5． 三、解答题 15．（23-24七年级下·广东肇庆·期末）解下列方程组： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】此题考查了解二元一次方程组， （1）方程组利用加减消元法求出解即可 （2）方程组利用加减消元法求出解即可 熟知二元一次方程组的解法是关键． 【详解】（1）解：， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 解得：， 则方程组的解为． （2）， ①②得：， 解得：， 把代入①得：， 则方程组的解为． 16．（22-23六年级上·山东泰安·期末）解方程： (1) (2) 【答案】(1) (2) 【分析】（1）方程去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1即可； （2）方程整理后，去分母，去括号，移项，合并同类项，把未知数系数化为1即可． 【详解】（1）解：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并得， 系数化为1得； （2）解：方程组化简为：， 去分母得， 去括号得， 移项得， 合并同类项得， 系数化为1得． 【点睛】本题考查了解一元一次方程：掌握解一元一次方程的步骤（去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1）；针对方程的特点，灵活应用，各种步骤都是为使方程逐渐向x=a形式转化． 17．（23-24七年级上·安徽阜阳·阶段练习）某工厂需要在一天内检验6000件产品的质量，共有40名产品检验员被分为“初检组”和“复检组”两组，并对所有产品做初检，复检两次检验． (1)要求“复检组”的检验员人数比“初检组”的多16人，问“复检组”有多少人？ (2)在（1）的条件下，“初检组”平均每人在这一天检验___________件产品． 【答案】(1)人 (2) 【分析】本题考查一元一次方程的应用，找准等量关系列方程是解题的关键． （1）设“复检组”有人，根据“有40名产品检验员被分为“初检组”和“复检组”两组，“复检组”的检验员人数比“初检组”的多16人”列方程解题即可； （2）让工作总量除以人数计算解题即可． 【详解】（1）解：设“复检组”有人，则“初检组”有人， 列方程得：， 解得：， 答：“复检组”有人． （2）“初检组”平均每人在这一天检验件， 故答案为：． 18．（24-25七年级下·河北·期末）解二元一次方程组． (1)小组合作时，发现有同学这么做：得，解得，代入①得．所以这个方程组的解为．该同学解这个二元一次方程组的过程中使用了 消元法，目的是把二元一次方程组转化为 ； (2)请你用另一种方法解该二元一次方程组． 【答案】(1)加减，一元一次方程； (2)见解析． 【分析】本题考查了解二元一次方程组，解题的关键是掌握加减消元法和代入消元法． （1）由解方程组的过程即可判断为加减消元法，当消去未知数时，则转化为解一元一次方程； （2）由代入消元法即可求解． 【详解】（1）解：该同学解这个二元一次方程组的过程中使用了加减消元法，目的是把二元一次方程组转化为一元一次方程， 故答案为：加减，一元一次方程； （2）解：由①，得③ 将③代入②，得，即． 解得． 将代入③， 得． 所以方程组的解为 19．（2024七年级下·福建泉州·竞赛）已知关于x、y的方程组的解满足，求k的值． 【答案】 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的求解，根据二元一次方程组的解的情况求参数，解题的关键是掌握解二元一次方程组的步骤． 利用代入法消去原方程组中的一个元，然后表示出来另外一个元，进而列出方程求解即可． 【详解】解： 由得，，代入原方程组得， 整理①得，； 整理②得，； ∴， 解得． 20．（24-25七年级下·湖北宜昌·期末）甲、乙两人共同解方程组时，甲看错了方程②中的a，解得；乙看错了方程①中的b，解得，求的值． 【答案】0 【分析】本题考查了二元一次方程组的解的概念以及代数式的求值， 二元一次方程组的解是能使方程组中每个方程都成立的未知数的值，这是解题的关键． 根据甲、乙两人看错方程的情况，分别将他们得到的解代入对应的方程，从而求出和的值，最后代入所求式子计算． 【详解】解：甲看错了方程②中的，但方程①中的是正确的， 所以将甲得到的解， 代入方程①中，可得：， 移项，得． 乙看错了方程①中的，但方程②中的是正确的， 所以将乙得到的解，代入方程②中， 可得：，解得． 所以 ． 21．（2025九年级下·甘肃张掖·学业考试）为了增强学生的体质，合肥市各学校积极落实每天一节体育课和一小时大课间活动．某学校倡导学生在大课间开展羽毛球活动，需购买甲，乙两种品牌羽毛球拍．已知购买甲种品牌羽毛球拍2副和乙种品牌羽毛球拍1副共需225元；购买甲种品牌羽毛球拍5副和乙种品牌羽毛球拍3副共需605元．问购买一副甲种品牌羽毛球拍和一副乙种品牌羽毛球拍各需要多少元？ 【答案】购买一副甲种品牌羽毛球拍70元，一副乙种品牌羽毛球拍85元 【分析】本题考查二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出相关方程是解题关键． 设购买一副甲种品牌羽毛球拍需要x元，一副乙种品牌羽毛球拍需要y元．根据题意列出方程组求解即可； 【详解】解：设购买一副甲种品牌羽毛球拍元，一副乙种品牌羽毛球拍元． 由题意得，解得． 答：购买一副甲种品牌羽毛球拍70元，一副乙种品牌羽毛球拍85元． 22．（24-25八年级下·安徽合肥·期末）【观察思考】如图所示，是用图形“○”和“●”按一定规律摆成的“小屋子”， 【规律发现】 （1）第⑥个图案中“●”的个数为 ； （2）第①个图案中“○”的个数可表示为，第②个图案中“○”的个数可表示为，第③个图案中“○”的个数可表示为，第④个图案中“○”的个数可表示为，…，第个图案中“○”的个数可表示为______； 【规律应用】 （3）按照此规律继续摆下去，第个“小屋子”中图形“○”个数是图形“●”个数的3倍，求的值． 【答案】（1）14；（2）；（3）12． 【分析】本题考查了因式分解法解一元二次方程，图形规律，运用代数式表达式，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）根据图形找出规律为第n个图案中“●”的个数为个，再把代入求解即可； （2）根据题干的列举信息，直接得出结论； （3）根据题意列出一元二次方程求解即可． 【详解】解：（1）由题知，第①个图案中“●”的个数为：； 第②个图案中“●”的个数为：； 第③个图案中“●”的个数为：； .... 所以第n个图案中“●”的个数为个， 当时，， 即第⑥个图案中“●”的个数为14个， 故答案为：14； （2）第①个图案中“○”的个数可表示为， 第②个图案中“○”的个数可表示为， 第③个图案中“○”的个数可表示为， 第④个图案中“○”的个数可表示为， …， ∴第个图案中“○”的个数可表示为， 故答案为：； （3）由题意得，， 解得：或（舍）． 23．（23-24七年级上·安徽阜阳·期末）为了加强公民的节水意识，合理利用水资源，某市采用价格调控手段达到节水的目的，下表是调控后的价目表． 价目表 每月用水量 单价 不超过6吨的部分 2元/吨 超出6吨不超出10吨的部分 4元/吨 超出10吨的部分 8元/吨 注：水费按月结算． (1)若该户居民8月份用水8吨，则该用户8月应交水费________元；若该户居民9月份应交水费26元，则该用户9月份用水量为________吨； (2)若该户居民10月份应交水费30元，求该用户10月份用水量； (3)若该户居民11月份、12月份共用水18吨，共交水费52元，且11月份用水不超过8吨，求11月份、12月份各应交水费多少元？ 【答案】(1)20； (2)吨 (3)11月份应交水费16元，12月份应交水费36元 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，正确理解题中的数量关系是解答本题的关键． （1）该户居民8月份用水8吨，应交水费应是不超过6吨的部分和超出6吨不超出10吨的部分的费用之和，计算即得答案；若该户居民9月份应交水费26元，判断应交水费应是不超过6吨的部分和超出6吨不超出10吨的部分的费用之和，设未知数列方程并求解，即得答案； （2）先判断该用户10月份用水量超过10吨，再设未知数列方程并求解，即得答案； （3）设该用户11月份用水量为a吨，则12月份用水量为吨，分和两种情况，分别列方程并求解验证，即得答案． 【详解】（1）， 所以该用户8月应交水费20元； 设该用户9月用水量为x吨， ，， ， ， 根据题意得， 解得， 所以该用户9月用水量为吨； 故答案为：20；． （2）设该用户10月用水量为y吨， ， ， 根据题意得， 解得， 所以该用户10月用水量为吨； （3）设该用户11月份用水量为a吨，则12月份用水量为吨， 当时，， 由题意得， 解得，不合题意，舍去； 当时，， 由题意得， 解得， ， （元）， （元）， 答：11月份应交水费16元，12月份应交水费36元． 能力提升进阶练 一、单选题 1．（17-18七年级上·黑龙江绥化·期末）下列利用等式的性质，错误的是（   ） A．由，得到 B．由，得到 C．由，得到 D．由，得到 【答案】D 【分析】本题考查等式的性质，根据等式的性质，逐一进行判断即可． 【详解】解：A、由，得到，正确，不符合题意； B、由，得到，正确，不符合题意； C、由，得到，正确，不符合题意； D、由，，得到，原选项错误，符合题意； 故选D． 2．（22-23八年级上·四川雅安·期末）若方程是关于x，y的二元一次方程，则m的值是（    ） A． B． C．1 D． 【答案】B 【分析】根据二元一次方程的定义，得，计算判断即可． 【详解】解：∵等式，是关于，的二元一次方程， ∴， 解得， 故选：B． 【点睛】本题考查了二元一次方程即含有两个未知数且含未知数的项的次数为1的整式方程，熟练掌握定义是解题的关键． 3．（17-18七年级下·山东东营·期末）用加减法解方程组时，若要求消去，则应（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】由得：，从而可得答案． 【详解】解：， 得：， 故选D 【点睛】本题考查的是二元一次方程的解法步骤，掌握利用加减消元法解方程组是解本题的关键． 4．（17-18七年级上·辽宁鞍山·期末）书架上，第一层书的数量是第二层书的数量的2倍，这时从第一层抽8本到第二层，第一层剩下的数量恰比第二层的一半多3本，设第二层原有x本，则可列方程（　　） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查一元一次方程的应用，用含x的代数式表示出第一层、第二层现有数量，再根据“第一层剩下的数量恰比第二层的一半多3本”列方程即可． 【详解】解：设第二层原有x本，则第一层原有本， 由题意知，第二层现有本，第一层现有本， 由“第一层剩下的数量恰比第二层的一半多3本”，可得：， 故选D． 5．（23-24七年级上·安徽六安·期末）被誉为“天下第一塘”的水门塘是我县的一张文化名片，为打造水门塘风光带，现有一段长为280米的堤岸维修任务由A、B两个工程队先后接力完成．A工程队每天维修12米，B工程队每天维修10米，两个工程队共用时25天．则A工程队维修堤岸多少米？（   ） A．160 B．170 C．180 D．190 【答案】C 【分析】本题考查一元一次方程与工程问题．正确理解题意是关键． 设A工程队维修堤岸x米，根据两个工程队共用时25天即可建立一元一次方程求解． 【详解】解：设A工程队维修堤岸x米， 根据题意得：， 解得． 答：设A工程队维修堤岸180米． 故选：C． 6．（17-18七年级上·吉林延边·期末）一项工程，甲单独做需要天完成，乙单独做需要天完成，甲先单独做天，然后甲、乙两人合作天完成这项工程，根据题意下面所列方程正确的是（   ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设甲、乙两人合作天完成这项工程，根据题意列出方程即可，根据题意找到等量关系是解题的关键． 【详解】解：设甲、乙两人合作天完成这项工程， 由题意得，， 故选：． 7．（22-23七年级上·江苏·期中）如图，在11月的日历表中用框数器“”框出3，5，11，17，19五个数，它们的和为55，若将 “”在图中换个位置框出五个数，则它们的和可能是（    ） A．40 B．88 C．107 D．110 【答案】D 【分析】设正中间的数为，则为整数，再求得这5个数的和为，令的值分别为40、88、107、110，分别列方程求出的值并进行检验，即可得到符合题意的答案． 【详解】解：设正中间的数为，则为整数，这5个数的和为：， 当时，得， ∵， ∴不符合题意； 当时，得，不符合题意； 当时，得，不符合题意； 当时，得，符合题意； ∴它们的和可能是110， 故选：D． 【点睛】本题考查一元一次方程的解法、列一元一次方程解应用题等知识，设正中间的数为，求得五个数的和是并分类讨论是解题的关键． 8．（22-23七年级上·安徽蚌埠·期末）如图，甲、乙两动点分别从正方形的顶点同时沿正方形的边开始匀速运动，甲按顺时针方向运动，乙按逆时针方向运动，若乙的速度是甲的3倍，那么它们第一次相遇在边上，请问它们第2023次相遇在哪条边上？（    ）    A． B． C． D． 【答案】C 【分析】设出正方形的边长，甲的速度是乙的速度的3倍，求得每一次相遇的地点，找出规律即可解答． 【详解】解：设正方形的边长为a，因为乙的速度是甲的速度的3倍，时间相同，甲乙所行的路程比为，把正方形的每一条边平均分成2份，由题意知： ①第一次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ②第一次相遇到第二次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ③第二次相遇到第三次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ④第三次相遇到第四次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； ⑤第四次相遇到第五次相遇甲乙行的路程和为，乙行的路程为，甲行的路程为，在边的中点相遇； 四次一个循环，因为，所以它们第2023次相遇在边上， 故选：C． 【点睛】本题主要考查一元一次方程的应用，行程问题中的相遇问题及按比例分配的运用，难度较大，注意先通过计算发现规律然后再解决问题． 9．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）甲、乙、丙、丁、戊五名同学围成一圈在讲台上表演游戏．游戏的规则是：每个同学心中想一个数，并将所想的数报给左右两边和自己相邻的同学，每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，最终得到的结果如图所示．请大家猜猜甲同学心中所想的数是多少（   ） A．2 B．1 C． D． 【答案】C 【分析】本题主要考查了一元一次方程的应用——猜数游戏．熟练掌握游戏规则，建立一元一次方程，是解题的关键． 设甲想的数为x，根据每位同学将其他两个同学报来的数求和后说出结果，列式、列一元一次方程解答即可． 【详解】解：设甲想的数为x，则丙想的数为，丁想的数为， ∴乙想的数为，戊想的数为， ∵甲说出了乙、戊报来的数的和为6， ∴ ， 解得． ∴甲同学心中所想的数是． 故选：C． 10．（24-25七年级上·安徽六安·期末）我们把不超过有理数x的最大整数称为x的整数部分，记作，又把称为x的小数部分，记作，则有．如：，，，下列说法中正确的有（    ）个 ①； ②； ③若，且，则或； ④方程的解为或． A．0 B．1 C．2 D．3 【答案】B 【分析】本题考查新定义，有理数的运算，方程的解．根据新定义判断①和②，求出或时的判断③，根据新定义得到，赋值法求方程的解判断④；本题的难度较大，属于选择题中的压轴题． 【详解】解：由题意，得：，故①正确； ，故②错误； 当时，，， 当时：，；故③错误； ∵，， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， ∴当时，，，此时； 当时，，，此时； 当时，，，此时， 当时，，，此时； 综上：的解为或或或；故④错误． 故选B． 二、填空题 11．（22-23七年级下·安徽芜湖·期末）把方程改写成用含的式子表示的形式 ． 【答案】 【分析】把x看作已知数求出y即可． 【详解】解：∵， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】此题考查了解二元一次方程，解题的关键是将x看作已知数求出y． 12．（21-22七年级上·安徽淮南·阶段练习）若方程与方程有相同的解，则m＝ ． 【答案】2 【分析】先解第一方程，再代入第二个方程求解． 【详解】解：解得：， 由题意得是的解， 所以：， 解得：， 故答案为：2． 【点睛】本题考查解一元一次方程与方程的解，解题的关键是得到关于m的一元一次方程． 13．（24-25七年级上·湖北武汉·阶段练习）已知a、b为常数，关于x的方程，无论k为何值，它的解总是，则ab的值为 ． 【答案】 【分析】本题主要考查了方程的解的定义、方程无数解的条件等知识点，正确得到a和b的值是解题的关键． 把代入方程，由k可以取得任意值可得到关于a和b式子，进而求得a和b的值，最后代入代数式计算即可． 【详解】解：把代入方程得， 化简得：， 由于k可以取任意值，则，解得：， ∴． 故答案为：． 14．（24-25七年级下·安徽芜湖·阶段练习）已知关于x，y的方程组的解满足． （1）若，则的值为 ； （2）若m，n为有理数，则的值为 ． 【答案】 3 【分析】本题主要考查了二元一次方程组的解以及二元一次方程的解，代数式求值，运用了整体代入的思想． （1）得，，得到，然后根据求解即可； （2）得，，由得到，然后根据m，n为有理数，求出，，然后代数求解即可． 【详解】（1） 得， ∴ ∵ ∴； （2） 得， ∵ ∴ ∵m，n为有理数， ∴ ∴ ∴ ∴． 故答案为：3，． 三、解答题 15．（24-25七年级下·四川资阳·阶段练习）解方程组： (1) (2) (3) 【答案】(1) (2) (3) 【分析】本题主要考查解二元一次方程组和三元一次方程组，灵活选用解方程组的方法是解答本题的关键． （1）将方程①和方程②相加，消去x，进而求解y，再将y的值代入方程求出x； （2）求出，把代入②，求出，从而得方程组的解； （3）得，得，由④⑤组成二元一次方程组，运用加减消元法求出值，并代入①求出的值即可． 【详解】（1）解： 得， 解得， 把代入①得：， 解得：， 所以，方程组的解为； （2）解： 得， 解得， 把代入②，得， 解得， 所以，方程组的解为 （3）解：， 得， 得， 由④⑤组成二元一次方程组， 解得， 把代入①得， 所以方程组的解为． 16．（21-22七年级下·贵州黔南·期末）《算法统宗》中记载着一首饮酒数学诗：“肆中饮客乱纷纷，薄酒名酶厚酒醇，醇酒一瓢醉三客，薄酒三瓶醉一人，共同饮了一十九，三十三客醉颜生，试问高明能算士，几多酶酒几多醇？”其意思是：醇酒1瓶，可以醉倒3位客人，薄酒3瓶，可以醉倒1位客人，如果33位客人醉倒了，那么他们总共饮下了19瓶酒，问饮下醇酒，薄酒分别多少瓶？ 【答案】醇酒有10瓶，薄酒有 9瓶 【分析】设醇酒有瓶，则薄酒有瓶，根据“醇酒瓶醉了位客人，薄酒瓶醉了位客人，且共醉了位客人”，即可得出关于的一元一次方程，解之即可求出醇酒的瓶数，再将其代入中即可求出薄酒的瓶数． 【详解】解：设醇酒有瓶，则薄酒有瓶，， 依题意得：， 解得：， ∴， 答：醇酒有瓶，薄酒有瓶． 【点睛】本题考查了一元一次方程的应用以及数学常识，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 17．（20-21七年级下·四川眉山·期中）甲、乙两人同时解方程组，甲解题看错了①中的m，解得，乙解题时看错②中的n，解得． (1)求m，n的值； (2)求原方程组的解． 【答案】(1)， (2) 【分析】（1）把甲的解代入②中求出n的值，把乙的解代入①中求出m的值； （2）把m与n的值代入方程组求解即可得到答案． 本题考查了二元一次方程组的解，加减消元法解方程组，掌握方程组的解即为能使方程组中两方程成立的未知数的值是解题关键． 【详解】（1）解：把代入②得：，解得：， 把代入①得：，解得：， ，； （2）解：把，代入方程组得：， 则方程组的解为． 18．（24-25七年级下·浙江丽水·阶段练习）若关于的方程组和方程组有相同的解． (1)求关于的方程组正确的解． (2)求的值． 【答案】(1)； (2)，． 【分析】本题考查了二元一次方程组： （1）利用加减法求解比较简便； （2）把的值代入方程组得关于的方程组，求解即可． 【详解】（1）解：， ①+②，得 把代入②，得 原方程组的解为 （2）解：把代入方程组， 得， 把代入，得， 把代入，得． 19．（24-25七年级上·陕西咸阳·阶段练习）定义：如果两个一元一次方程的解之和为2，我们就称这两个方程为“成双方程”．例如：方程和为“成双方程”． (1)请判断方程与方程是否为“成双方程”； (2)若关于x的方程与方程互为“成双方程”，求的值． 【答案】(1)方程与方程不是互为“成双方程” (2) 【分析】本题考查了解一元一次方程和应用一元一次方程的根求参数的值，理解新定义是解题的关键． （1）根据题意，分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义验证即可求解； （2）分别解一元一次方程，根据“成双方程”的定义列出关于的方程，解方程即可求解． 【详解】（1）解：方程与方程不是互为“成双方程”，理由如下： 解，得， 解，得， ， 方程与方程不是互为“成双方程”． （2）解，得， 解，得， 关于x的方程与方程互为“成双方程”， ， ． 20．（24-25七年级下·湖南衡阳·阶段练习）观察发现： 材料：解方程组． 将①整体代入②，得．解得． 把代入①得，所以． 这种解法称为“整体代入法”，你若留心观察，有很多方程组可采用此方法解答， (1)请直接写出方程组的解为_______． (2)实践运用：请用“整体代入法”解方程组． 【答案】(1) (2) 【分析】本题考查解二元一次方程组．理解并掌握整体代入法解方程组，是解题的关键． （1）利用整体代入法解方程组即可； （2）利用整体代入法解方程组即可． 【详解】（1）解： 将①代入②得， 解得：， 将代入①得：， 解得：， ∴方程组的解为： 故答案为：， （2）解： 由①得：， 将③代入得：， 解得：， 将代入③得：， 解得， ∴方程组的解：. 21．（23-24七年级上·江苏盐城·期中）某商场购进了A、B两种商品，其中A种商品每件的进价比B种商品每件的进价多20元，购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同． (1)求A、B两种商品每件的进价分别是多少元？ (2)该商场购进了A、B两种商品共100件，所用资金为6900元，出售时，A种商品按标价出售每件的利润率为25%，B种商品按标价出售每件可获利10元．若按标价出售A、B两种商品，则全部售完商场共可获利多少元？ 【答案】(1)A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进是60元； (2)全部售完共可获利1450元． 【分析】本题考查一元一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，列出一元一次方程解决问题． （1）设A种商品每件的进价是x元，由购进A种商品3件与购进B种商品4件的进价相同得：，即可解得答案； （2）设购进A种商品a件，则购进B商品件，由所用资金为6900元得 ，解出a的值，即可列式求出答案． 【详解】（1）设A种商品每件的进价是x元，则B种商品每件的进价是元， 由题意得：， 解得， ∴（元）， 答：A种商品每件的进价是80元，B种商品每件的进价是60元； （2）设购进A种商品a件，则购进B商品件， 由题意得 ， 解得， ∴， ∴（元）， 答：全部售完共可获利1450元． 22．（23-24七年级上·湖南娄底·阶段练习）某市对居民生活用电实行阶梯电价，具体收费标准如下表： 档次 月用电量 电价（元/度） 第1档 不超过240度的部分 第2档 超过240度但不超过400度的部分 第3档 超过400度的部分 已知10月份该市居民老李家用电200度，交电费120元；9月份老李家交电费183元. (1)表中的值为________； (2)求老李家9月份的用电量； (3)若8月份老李家用电的平均电价为元/度，求老李家8月份的用电量. 【答案】(1) (2)300 (3)800 【分析】本题考查了一元一次方程的实际应用，正确理解分档用电量的计算是解题的关键． （1）利用电费=电价×月用电量，即可得出关于a的一元一次方程，解之即可求出a的值． （2）设老李家9月份的用电量为x度，先求出月用电量为240度时的电费，由该值小于183，可得出，再利用电费超过240度的部分，即可得出关于x的一元一次方程，解之即可得出结论． （3）设老李家8月份的用电量为y度，根据8月份老李家用电的平均电价为元/度，即可得出关于y的一元一次方程，解之即可得出结论． 本题考查了一元一次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键． 【详解】（1）依题意得：， 解得：． 故答案为：． （2）设老李家9月份的用电量为x度， ∵（元），， ∴． 依题意得：， 解得：． 答：老李家9月份的用电量为300度． （3）．∵三个档次的平均价格为（元），8月份老李家用电的平均电价为元/度， ∴老李家8月份用电量一定超过400度， 设老李家8月份的用电量为y度， 依题意得：， 解得：． 答：老李家8月份的用电量为800度． 23．（22-23七年级下·福建漳州·期中）如图，在长方形中，，，点M以的速度从点A出发，沿的路线运动，点N以的速度从点D出发，沿的路线运动．若点M，N同时出发，当点N回到点D时，M，N两点同时停止运动．运动时间为t（s）． (1)当t为何值时，点M，N在运动路线上相遇； (2)当t为何值时，点M，N在运动路线上相距的路程为； (3)在整个运动过程中，是否存在直线把长方形分成两个梯形，且这两个梯形的面积比为，若存在，求出t的值；若不存在，请说明理由． 【答案】(1)当时，点M，N在运动路线上相遇； (2)当或时，点M，N在运动路线上相距的路程为； (3)当时，直线把长方形分成两个梯形，且这两个梯形的面积比为． 【分析】（1）根据题意，M的运动的路程为，N的运动的路程为，点M，N在运动路线上相遇，则有，解方程即可； （2）分情况讨论：当点M，N在运动路线上相遇前，当点M，N在运动路线上相遇后分别求解方程即可； （3）N的运动时间为，M在运动时间为，即在整个运动过程中M一直在上运动，当直线把长方形分成两个梯形，时N在，如图求得，，，，及、，当时与时分别求出符合条件的解即可． 【详解】（1）解：根据题意， M的运动的路程为：， N的运动的路程为：， 点M，N在运动路线上相遇，则有： ， 解得：， ∴当时，点M，N在运动路线上相遇； （2）根据题意， M的运动的路程为：， N的运动的路程为： 当点M，N在运动路线上相遇前： ， 解得：， 当点M，N在运动路线上相遇后： ， 解得：； 当或时，点M，N在运动路线上相距的路程为； （3）存在，理由如下： N的运动时间为：（s）， M在运动时间为：（s）， 即在整个运动过程中M一直在上运动， 当直线把长方形分成两个梯形，时N在， 如图： ，则， ，则， ， ， 当时， ， 解得：， 当时， ， 解得：（不合题意，舍去）， 故：当时，直线把长方形分成两个梯形，且这两个梯形的面积比为． 【点睛】本题考查了动点问题，一元一次方程——行程问题及几何问题；解题的关键熟练掌握行程问题中的相遇、相距问题及几何问题的数量关系． 1 / 3 学科网（北京）股份有限公司 $$