精品解析：山东省日照市东港区新营中学2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试卷

2025－2026学年度上学期阶段性检测九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列各组数中，是勾股数的是（　　） A. 3，4，6 B. 5，12，13 C. 9，16，25 D. 1，2，3 3. 某中学举办智力问答比赛，九年级参赛的35名同学的成绩整理后，如统计图所示，这些成绩的众数是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 5. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 6. 已知二次函数的自变量与函数值之间满足下列数量关系： 3 4 10 10 202 那么的值为（　　） A. 2023 B. 2022 C. 2021 D. 2020 7. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 8. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. 且 C. 且 D. 9. 如图，在正方形ABCD中，O为对角线BD的中点，E为边AB上一点，于点F，，，则正方形的边长为（ ） A. 3 B. C. D. 10. 在测浮力的实验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F（N）与铁块下降的高度h（cm）之间的关系如图所示．（温馨提示：当铁块位于水面上方时，，当铁块入水后，．）则以下说法正确的是（ ） A. 当铁块下降3cm时，此时铁块在水里． B. 当时，F（N）与h（cm）之间的函数表达式为． C. 当铁块下降高度为6cm时，此时铁块所受浮力是1.5N． D. 当弹簧测力计的示数为8N时，此时铁块底面距离水底8.5cm． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量的取值范围是________． 12. 如图，在直角坐标系中，以原点O为旋转中心，将线段顺时针旋转得到线段，点A的对应点为．若点A的坐标为，则点的坐标为__________． 13. 设，是一元一次方程的两根，____________． 14. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是__________填序号 15. 如图，正方形中，，点E在边BC上，，点F、G分别在边上，且，则的最小值是__________． 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程： （1） （2） 17. 如图，将绕点逆时针旋转至的位置，此时A、B、D三点共线． （1）求的大小； （2）若，，求的长． 18. 莲池区某学校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为米，立柱间距为3米． 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） （1）根据如图所示，将表格补充完整； （2）设有根立柱，护栏总长度为米，则与之间的关系式是______． （3）求护栏总长度为93米时立柱的根数？ 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 20. 抛物线的图像与x轴交于A，B两点，A在B左侧，与y轴交于点C． （1）点C坐标为 ，顶点坐标为 ； （2）不等式的解集是 ； （3）当x满足时，y的取值范围是 ． （4）当y满足时，x的取值范围是 ． 21. 如图，在中，对角线交于点，过点作于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的面积． 22. 在直角坐标系中，设函数（a，b是常数，）． （1）已知函数的图象经过点和，求函数的表达式． （2）若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：． （3）若，当时，函数随x的增大而增大，求a的取值范围． 23. 数学学习的主要思想方法是：抽象、推理、模型，逆向思维帮助我们发现和提出问题、演绎推理帮助我们分析和解决问题，建立模型帮助我们深度思考，请同学们完成以下任务： 【任务1】逆向思维：“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”请补充写出它的逆命题：在直角三角形中，如果__________，那么__________． 【任务2】推理建模：请补充完成任务1中逆命题的推理过程． 已知：如图1，在中，，__________，求证：__________． 证明：延长到点D，使，连接．（请完成剩余过程） 【任务3】模型应用：动手操作： 第1步：如图2，四边形是一张正方形纸片，先将正方形对折，使与重合，折痕为，再把这个正方形展平； 第2步：如图3，将正方形沿直线折叠，使A点的对应点P落在上，再把这个正方形展平，连接，． 第3步：如图4，延长交于点Q，连接． 数学思考：（1）图3中的__________． （2）图3中的是什么特殊的三角形？说明理由． （3）图4中，若正方形的边长为，则__________． 【任务4】拓展应用：当改变点E在上的位置（点E不与点A，D重合），使点P不在上时，连接，若正方形纸片的边长为6，当的周长最小时，请直接写出的长为多少？ 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025－2026学年度上学期阶段性检测九年级数学试题 一、选择题（共10小题，每小题3分，共30分） 1. 下列式子中，为最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查最简二次根式定义，根据最简二次根式的定义，需满足：①被开方数不含能开方的因数；②被开方数不含分母，逐一分析各选项即可确定答案． 【详解】A、被开方数含分母，需化简为，则不是最简二次根式； B、分解质因数为，无平方数因子，且不含分母，则是最简二次根式； C、转化为分数，被开方数含分母，需化简为，则不是最简二次根式； D、分解质因数为，其中是平方数，可化简为，则不是最简二次根式． 故选：B． 2. 下列各组数中，是勾股数的是（　　） A. 3，4，6 B. 5，12，13 C. 9，16，25 D. 1，2，3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了勾股数．解题的关键是理解勾股数的定义：有a，b，c三个正整数，满足，称为勾股数．据此求解即可． 【详解】解：A．，不能构成勾股数，故该选项错误； B．，能构成勾股数，故该选项正确； C．，不能构成勾股数，故该选项错误； D．，不能构成勾股数，故该选项错误． 故选B． 3. 某中学举办智力问答比赛，九年级参赛的35名同学的成绩整理后，如统计图所示，这些成绩的众数是（ ） A. 5 B. 10 C. 15 D. 20 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了众数，解题的关键是根据众数的定义进行解答． 根据一组数据中，出现次数最多的数据叫众数进行解答． 【详解】解：因为10分出现了12次，出现的次数最多， 所以众数为10， 故选：B． 4. 抛物线的对称轴是（ ） A. 直线 B. 直线 C. 直线 D. 直线 【答案】B 【解析】 【分析】由抛物线解析式的顶点式即可求得抛物线的对称轴． 【详解】抛物线的对称轴是直线， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的图象与性质，当抛物线的解析式为时，对称轴为直线；当抛物线的解析式为时，对称轴为直线x=h． 5. 如图，在平面直角坐标系中，直线与直线交于点，则关于的方程组的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了两直线交点坐标问题，解题的关键是理解两直线的交点坐标与方程组的解之间的关系，两直线的交点坐标就是两函数解析式组成方程组的解． 先将代入求出的值，再根据题意作答即可． 【详解】将代入得，即 ∵直线与直线交于点， ∴关于的方程组的解为， 即关于的方程组的解为， 故选：B 6. 已知二次函数的自变量与函数值之间满足下列数量关系： 3 4 10 10 202 那么的值为（　　） A. 2023 B. 2022 C. 2021 D. 2020 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，由表格得出点和为抛物线上的对称点，对称轴为直线，由二次函数的对称性得出和所对应的函数值相等，从而得出，，整体代入进行计算即可，熟练掌握此函数的性质是解此题的关键． 【详解】解：当，，当时，， 点和为抛物线上的对称点， 抛物线的对称轴为直线， ， 和所对应的函数值相等， 当时，， 当时，，即， 当，，即， ， 故选：D． 7. 如图，中，，将绕点顺时针旋转得到，点的对应点分别为，延长交于点，下列结论一定正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了旋转性质以及两个锐角互余的三角形是直角三角形，平行线的判定，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先根据旋转性质得，结合，即可得证，再根据同旁内角互补证明两直线平行，来分析不一定成立；根据图形性质以及角的运算或线段的运算得出A和C选项是错误的． 【详解】解：记与相交于一点H，如图所示： ∵中，将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∵ ∴在中， ∴ 故D选项是正确的，符合题意； 设 ∴ ∵ ∴ ∴ ∵不一定等于 ∴不一定等于 ∴不一定成立， 故B选项不正确，不符合题意； ∵不一定等于 ∴不一定成立， 故A选项不正确，不符合题意； ∵将绕点顺时针旋转得到， ∴ ∴ 故C选项不正确，不符合题意； 故选：D 8. 关于的一元二次方程有实数根，则满足（　　） A. B. 且 C. 且 D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的定义、一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程的定义可知，根据一元二次方程有实数根，可知，解不等式可得：． 【详解】解：是一元二次方程， ， 解得：， 一元二次方程有实数根， ， 解得：， 满足且． 故选：C． 9. 如图，在正方形ABCD中，O为对角线BD的中点，E为边AB上一点，于点F，，，则正方形的边长为（ ） A. 3 B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】连接AC，AC交ED于M，则AC过点O，作ON⊥OF交FD于N，求出∠FAO＝∠NDO，∠AOF＝∠DON，根据正方形的性质得出AO＝DO，根据全等三角形的判定定理得出△AOF≌△DON，根据全等三角形的性质得出ON＝OF＝，DN＝AF＝1，根据勾股定理求出NF，得到DF＝3，再根据勾股定理求出AD即可． 【详解】解：连接AC，AC交ED于M，则AC过点O，作ON⊥OF交FD于N， ∵四边形ABCD是正方形， ∴AC⊥BD，OD＝OA， ∵AC⊥BD，OF⊥ON， ∴∠FON＝∠AOD＝90°， ∴∠AOF＝∠DON＝90°−∠AON， ∵AF⊥DE， ∴∠AFM＝90°， ∴∠FAO＋∠AMF＝90°， ∵∠AOD＝90°， ∴∠NDO＋∠DMO＝90°， ∵∠AMF＝∠DMO， ∴∠FAO＝∠NDO， 在△AFO和△DNO中，， ∴△AFO≌△DNO（ASA）， ∴DN＝AF＝1，ON＝OF＝， 在Rt△FON中，由勾股定理得：FN＝， ∴DF＝FN＋DN＝2＋1＝3， 在Rt△AFD中，由勾股定理得：AD＝， 即正方形ABCD的边长是， 故选：B． 【点睛】本题考查了全等三角形的判定和性质，正方形的性质，勾股定理等知识点，解此题的关键是作辅助线，构造全等三角形． 10. 在测浮力的实验中，将一长方体铁块由玻璃器皿的上方，向下缓慢移动浸入水里的过程中，弹簧测力计的示数F（N）与铁块下降的高度h（cm）之间的关系如图所示．（温馨提示：当铁块位于水面上方时，，当铁块入水后，．）则以下说法正确的是（ ） A. 当铁块下降3cm时，此时铁块在水里． B. 当时，F（N）与h（cm）之间的函数表达式为． C. 当铁块下降高度为6cm时，此时铁块所受浮力是1.5N． D. 当弹簧测力计的示数为8N时，此时铁块底面距离水底8.5cm． 【答案】D 【解析】 【分析】根据函数图像待定系数法求得线段的解析式，进而逐项分析判断即可求解． 本题考查了一次函数的应用，求得函数解析式，数形结合是解题的关键． 【详解】解：由图知，铁块下降到5cm时，刚好接触水面， ∴A选项错误； 当时，设所在直线的关系式为：， 把，代入得， 解得， ∴F与h的关系式为：， ∴B选项错误； 当时，， 由图知， ∵， ∴， ∴C选项错误； 当时，， 解得， 此时铁块底面距离水底， ∴D选项正确； 故选：D． 二、填空题（本大题共5小题，每小题3分，共15分） 11. 函数中，自变量的取值范围是________． 【答案】且 【解析】 【分析】本题考查的是函数自变量的取值范围的确定．根据二次根式的被开方数是非负数、分式分母不为列出不等式组，解不等式组得到答案． 【详解】解：由题意得：且， 解得：且， 故答案为：且． 12. 如图，在直角坐标系中，以原点O为旋转中心，将线段顺时针旋转得到线段，点A的对应点为．若点A的坐标为，则点的坐标为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键． 过点A作轴于点B，过点作轴于点C，由旋转得，，，可得，则，．由已知条件可得，，则，，可得点的坐标． 【详解】解：过点A作轴于点B，过点作轴于点C， ∴， ∴． 由旋转得，，， ∴， ∴， ∴， ∴，． ∵点A的坐标为， ∴，， ∴，， ∵点在第四象限内， ∴点的坐标为． 故答案为：． 13. 设，是一元一次方程的两根，____________． 【答案】5 【解析】 【分析】由题意易得，则根据一元二次方程根与系数的关系可知，然后代入求解即可． 【详解】解：由一元二次方程的解可得，根据一元二次方程根与系数的关系可知， ∴； 故答案为5． 【点睛】本题主要考查一元二次方程的解及根与系数的关系，熟练掌握一元二次方程的解及根与系数的关系是解题的关键． 14. 已知二次函数的图象如图所示，对称轴是直线．给出下列结论：①；②；③；④．其中正确的是__________填序号 【答案】①④ 【解析】 【分析】本题考查的是二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、灵活运用数形结合思想是解题的关键，解答时，要熟练运用抛物线的对称性和抛物线上的点的坐标满足抛物线的解析式．根据开口方向、对称轴、抛物线与y轴的交点，确定a、b、c的符号，根据对称轴和图象确定当时，当时，的范围，确定代数式的符号． 【详解】解：由题图知，， ， 抛物线与轴交于负半轴， ， ，故正确； 对称轴为直线， ，即， ，故错误； 当时，， ，故错误； 当时，，对称轴为直线， 当时，， ，故正确． 故答案为：①④． 15. 如图，正方形中，，点E在边BC上，，点F、G分别在边上，且，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，平行四边形的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理等知识，过点作于，过点作，过作交于，连接，先求出，证和全等得，再证四边形为平行四边形得，，然后证为直角三角形，进而可求出，最后根据得当点在同一条直线上时，为最小，最小值为线段的长，进而可得出答案，掌握相关知识是解题的关键． 【详解】解：过点作于，过点作，过作交于，连接，如图： ∵四边形为正方形， ， ∴， 在中， ， 由勾股定理得：， ∵， ∴四边形为矩形， ∴， ∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ， ∵， ∴四边形为平行四边形， ，， ，， ， 为直角三角形， 在中，，， 由勾股定理得：， ， ， 根据“两点之间线段最短”得：，当点在同一条直线上时，为最小，最小值为线段的长为， 的最小值为， 故答案为： 三、解答题（本大题共8小题，共75分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．） 16. 解方程： （1） （2） 【答案】（1）， （2）， 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟练掌握解一元二次方程的方法是解题的关键． （1）直接利用十字相乘法因式分解求解即可； （2）先去括号，移项合并同类项，再利用因式分解法求解即可． 【小问1详解】 解： 或 ，； 【小问2详解】 解： 或 ，． 17. 如图，将绕点逆时针旋转至的位置，此时A、B、D三点共线． （1）求的大小； （2）若，，求的长． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理，旋转的性质，熟知旋转前后对应边相等，对应角相等是解题的关键． （1）由旋转可知，，，根据A、B、D三点共线，结合等边对等角即可求解； （2）由旋转可知，，，，得，再结合勾股定理即可求解． 【小问1详解】 解：由旋转可知，，， ∵A、B、D三点共线， ∴， 即：； 【小问2详解】 由旋转可知，，，， 则， 由勾股定理可得：， ∴． 18. 莲池区某学校门口道路中间的隔离护栏平面示意图如图所示，假如每根立柱宽为米，立柱间距为3米． 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） （1）根据如图所示，将表格补充完整； （2）设有根立柱，护栏总长度为米，则与之间的关系式是______． （3）求护栏总长度为93米时立柱的根数？ 【答案】（1）， （2） （3）护栏总长度为93米时立柱的根数为30 【解析】 【分析】本题主要考查了列函数关系式，求自变量． （1）根据图示列出式子求解即可． （2）由题意得y与x之间的关系式为：； （3）当时，代入y与x之间的关系式，求解． 【小问1详解】 解：当有3根立柱时，（米）， 当有5根立柱时，（米）； 将表格补充完整： 立柱根数 1 2 3 4 5 护栏总长度（米） 【小问2详解】解：根据题意得：与之间的关系式为： ； 【小问3详解】 解：当时，， 解得：， 即护栏总长度为93米时立柱的根数为30根． 19. 已知关于的一元二次方程有实数根． （1）求实数的取值范围． （2）设方程的两个实数根分别为，，若，求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用一元二次方程根的判别式计算即可； （2）利用一元二次方程的根与系数关系，代入所给的等式即可求值． 【小问1详解】 解：∵关于的一元二次方程有实数根， ∴， 即， 解得； 【小问2详解】 解：∵方程的两个实数根分别为，， ∴，， ∵， ∴， ∴， 解得或， ∵， ∴只取． 【点睛】本题考查了一元二次方程的根的判别式与根与系数关系，熟记一元二次方程中，是解题的关键． 20. 抛物线的图像与x轴交于A，B两点，A在B左侧，与y轴交于点C． （1）点C坐标为 ，顶点坐标为 ； （2）不等式的解集是 ； （3）当x满足时，y的取值范围是 ． （4）当y满足时，x的取值范围是 ． 【答案】（1） （2）或 （3） （4）或 【解析】 【分析】本题考查了二次函数的性质，抛物线与两坐标轴的交点及与不等式的关系，利用数形结合的思想解答是解题的关键． （1）把代入可得点坐标，把函数解析转化为顶点式可得顶点坐标； （2）把代入求出点、坐标，再结合图象解答即可求解； （3）分别求出的函数值，再结合函数的性质即可求解； （4）把代入求出对应的的值，再结合图象解答即可求解； 【小问1详解】 解：把代入得，， ∴点坐标为， ∵， ∴顶点坐标为， 故答案为：； 【小问2详解】 解：把代入得，， 解得：， ， 由图象可得，当或时，，即， ∴不等式的解集是或， 故答案为：或； 【小问3详解】 解：当时，， 当时，， 顶点为，开口向上， ∴当时，， 故答案为：； 【小问4详解】 解：把代入得，， 解得：， ∴当时，或， 故答案为：或． 21. 如图，在中，对角线交于点，过点作于点，延长至点，使，连接． （1）求证：四边形是矩形； （2）若，，，求的面积． 【答案】（1） 证明：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴，即， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵， ∴， ∴平行四边形是矩形； （2） 【解析】 【分析】（）由平行四边形的性质可得，，由得，即得，即可得四边形是平行四边形，再根据即可求证； （）利用矩形和勾股定理可得，再根据平行四边形的面积公式计算即可求解； 本题考查了平行四边形的性质，矩形的判定和性质，勾股定理，掌握以上知识点是解题的关键． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：∵四边形是矩形， ∴，， 在中，由勾股定理得：， ∵， ∴， ∴， 解得， ∴， ∵， ∴． 22. 在直角坐标系中，设函数（a，b是常数，）． （1）已知函数的图象经过点和，求函数的表达式． （2）若函数图象的顶点在函数的图象上，求证：． （3）若，当时，函数随x的增大而增大，求a的取值范围． 【答案】（1）函数表达式为 （2）见解析 （3）a的取值范围为 【解析】 【分析】（1）将和代入函数表达式即可； （2）先得出函数顶点坐标，代入化简即可得出结论； （3）根据二次函数性质求解． 【小问1详解】 解：将和代入函数中， 得： ， 解得 ， 故函数表达式为：； 【小问2详解】 证明：函数图象的顶点坐标为， 代入函数中得：， 化简得：， ∴； 【小问3详解】 解：∵， ∴抛物线的对称轴为直线 ∵当时，函数随x的增大而增大 ∴，且 ∴a的取值范围为 【点睛】本题考查二次函数的综合应用，理解点在函数图象上的含义是求解本题的关键． 23. 数学学习的主要思想方法是：抽象、推理、模型，逆向思维帮助我们发现和提出问题、演绎推理帮助我们分析和解决问题，建立模型帮助我们深度思考，请同学们完成以下任务： 【任务1】逆向思维：“在直角三角形中，如果一个锐角等于，那么它所对的直角边等于斜边的一半”请补充写出它的逆命题：在直角三角形中，如果__________，那么__________． 【任务2】推理建模：请补充完成任务1中逆命题的推理过程． 已知：如图1，在中，，__________，求证：__________． 证明：延长到点D，使，连接．（请完成剩余过程） 【任务3】模型应用：动手操作： 第1步：如图2，四边形是一张正方形纸片，先将正方形对折，使与重合，折痕为，再把这个正方形展平； 第2步：如图3，将正方形沿直线折叠，使A点的对应点P落在上，再把这个正方形展平，连接，． 第3步：如图4，延长交于点Q，连接． 数学思考：（1）图3中的__________． （2）图3中的是什么特殊的三角形？说明理由． （3）图4中，若正方形的边长为，则__________． 【任务4】拓展应用：当改变点E在上的位置（点E不与点A，D重合），使点P不在上时，连接，若正方形纸片的边长为6，当的周长最小时，请直接写出的长为多少？ 【答案】任务1：一条直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的锐角等于； 任务2：，， 则， ， ， ，且， 垂直平分， ， ， 则是等边三角形， ， ． 故答案为：，； 任务3：（1）； （2）解：是等边三角形，理由如下： 如图3，由对折的性质可知：， ，， 垂直平分， ， ， 是等边三角形． （3）； 任务4： 【解析】 【分析】任务1：根据原命题写出逆命题即可； 任务2：根据命题条件和结论分别补全求证的题干和结论；延长到点D，使，连接，即可证明垂直平分，进一步有是等边三角形，利用三角形内角和定理即可证明； 任务3：（1）由任务2的结论进行求解即可； （2）由对折的性质可知：，，，可得垂直平分，得到，再证得，最后可证得是等边三角形； （3）由对折的性质可知：，，，再证明，可得，再求得，从而得出，，由对折的性质知，，，得出，即可求得的长； 任务4：由对折的性质可知：，，，利用正方形的性质可得，由此得知当最小时，的周长最小，由翻折可知：，由两点之间线段最短，可知当三点共线时，最小，即最小，此时，根据正方形性质可证得是等腰直角三角形，则可得，在中，利用勾股定理求解出，得出的长，即可得的长． 【详解】解：任务1： 逆命题为：在直角三角形中，如果一条直角边等于斜边的一半，那么这条直角边所对的锐角等于． 故答案为：一条直角边等于斜边的一半，这条直角边所对的锐角等于； 任务2： 已知：如图1，在中，，， 求证：． 证明：略 任务3： （1）如图3，由对折的性质可知：， ，， ， ． 故答案为：； （2）略 （3）是等边三角形， ， 四边形是正方形， ，， ， 由对折的性质可知：，， ， ，， ， ， 在和中， ， ， ， 中，， ， ，， 由对折的性质知，， ， ， ， ． 故答案为：； 任务4： 如下图： 由对折的性质可知：，，， ， 正方形纸片的边长为6， ， ， 当最小时，的周长最小， 由翻折可知：，由两点之间线段最短，可知当三点共线时，最小，即最小， ∵， ， 四边形是正方形， ， ， 为等腰直角三角形， ， 在中，， ， ， 则的长为． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，折叠的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质，二次根式的混合运算等，熟练掌握正方形的性质，折叠的性质，轴对称的性质，等边三角形的判定和性质，勾股定理，全等三角形的判定和性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $