精品解析：广东省茂名市高州市高州市第一中学2025-2026学年九年级上学期开学数学试题

2025-2026学年度第一学期学情练习（9月） 九年级数学试卷 （满分为120分，考试时间为120分钟） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育，下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列等式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，为了测量湖两岸、两点间的距离，可在、外选一点，再确定、的中点、，测得，则两点间的距离是（　　） A. B. C. D. 4. 若分式的值为零，则等于（ ） A. B. 0 C. 2 D. 0和 5. 用配方法解方在，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，四边形是菱形，于点E，则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 12 7. 如图，四边形是正方形，将绕点顺时针旋转得，连接，则的角度为（ ） A. B. C. D. 8. 一次抛掷两枚相同的硬币，则这两枚硬币都是正面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 10. 如图，在正方形中，，延长至点，使得．分别连接，为的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在菱形中，已知，则__________． 12. 据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆．设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，则可列方程________． 13. 分解因式：______． 14. 将点沿x轴方向向右平移3个单位，再沿y轴方向向上平移2个单位，所得的点的坐标是_____． 15. 如图，在中，是上的动点，过点分别作的垂线段，垂足分别为，连接，则的最小值为__________． 三、解答题（一）（本大题4小题，其中第16，17题每题7分，18，19每题6分，共26分） 16. （1）解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来； （2）因式分解：． 17. 解方程 （1）； （2）． 18. 小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程． 小颖：原式 … 小红：原式 … （1）小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______． A．分式的基本性质 B．等式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律 （2）请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 19. 已知关于x的方程． （1）若该方程的一个根为，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20. 仁寿县鳌峰中学组织学生开展了“青春心向党，红色永传承”党史知识竞赛，为了解学生对党史的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图 （1）本次共抽取了_____名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； （2）若本校共有3200人参加本次竞赛活动，请估计竞赛成绩为B等级的学生人数； （3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加学校党史报告活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 21. 某商店以元千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量千克与销售单价元千克之间的函数关系如图中线段所示． （1）求与的函数表达式； （2）要使每天的销售利润达到元，销售单价应定为每千克多少元？ 22. 如图，在中，连接． （1）用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点O，交于点E，交于点F，连接，；（保留作图痕迹，不写作法，标记字母） （2）猜想四边形是什么图形，并加以证明． 五、解答题（三）（本大题2小题，23题10分，24题12分，共22分） 23. 综合实践 背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利． 素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等． 素材2 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架． 问题解决 任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 24. 如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为． （1）求当为何值时，四边形是矩形； （2）求当为何值时，四边形是菱形； （3）在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025-2026学年度第一学期学情练习（9月） 九年级数学试卷 （满分为120分，考试时间为120分钟） 一、单选题（每小题3分，共30分） 1. 教育部门高度重视校园安全教育，要求各级各类学校从认识安全警告标志入手开展安全教育，下列安全图标既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形和中心对称图形的概念，如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴．把一个图形绕某一点旋转180度，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形． 【详解】解：A．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； B．既是轴对称图形又是中心对称图形，故该选项符合题意； C．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； D．既不是轴对称图形又不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：B． 2. 下列等式由左边到右边的变形，属于因式分解的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查分解因式，根据因式分解的定义，判断各选项是否将多项式转化为几个整式的积的形式． 【详解】解：A、是因式分解，故此选项符合题意； B、属于整式乘法运算，而非因式分解，故此选项不符合题意； C、不是因式分解，故此选项不符合题意； D、不是因式分解，故此选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，为了测量湖两岸、两点间的距离，可在、外选一点，再确定、的中点、，测得，则两点间的距离是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了中位线判定和性质，根据题意得到是中位线，则由即可求解． 【详解】解：确定、的中点、，测得， ∴是中位线， ∴， 故选：D ． 4. 若分式的值为零，则等于（ ） A. B. 0 C. 2 D. 0和 【答案】A 【解析】 【分析】分式的值为零的条件为分子等于0且分母不等于0，据此求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴． 故选：A． 【点睛】本题考查了分式的值为零的条件，熟练掌握分式的值为零的条件：分子等于0且分母不等于0是解题的关键． 5. 用配方法解方在，下列配方正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了解一元二次方程-配方法，掌握配方法的步骤是解本题的关键． 根据配方法解题步骤：先移项、把二次项系数化为1，然后利用完全平方公式配方，即可作出判断． 【详解】解：， 方程移项得， 配方得，即． 故选：D． 6. 如图，四边形是菱形，于点E，则的长是（ ） A. B. 6 C. D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查菱形的性质，勾股定理，掌握菱形的性质是解题的关键． 根据菱形的性质可得，运用勾股定理可得的长，再根据菱形面积的计算方法，即可求解． 【详解】解：∵四边形是菱形，， ， ． 在中，由勾股定理，得， ∴， ， ． 故选：A． 7. 如图，四边形是正方形，将绕点顺时针旋转得，连接，则的角度为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形性质，旋转的性质，等腰三角形的判定与性质，熟记各性质并准确识图是解题的关键． 根据旋转的性质可得，，由正方形性质可得，得． 【详解】解：∵四边形是正方形， ∴， 由旋转知，，， ∴， ∴． 故选：D． 8. 一次抛掷两枚相同的硬币，则这两枚硬币都是正面向上的概率是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据题意可以通过树状图写出所有的可能性，从而可以得到两个都是正面向上的概率． 【详解】解：由题意可得， ∴总可能发生的情况有4种，两个都朝上是1种，故两个都是正面向上的概率为：， 故选：B； 【点睛】本题主要考查了列表法与树状图法，解题的关键是明确题意，可以写出所有的可能性． 9. 如图，在四边形中，对角线相交于点O，下列条件不能判定这个四边形是平行四边形的是（ ） A. ， B. ， C. ， D. ， 【答案】D 【解析】 【分析】根据平行四边形的判定逐项判断即可． 【详解】解：A、∵，， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； B、∵，， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； C、∵，， ∴四边形是平行四边形，故此选项不符合题意； D、由，不能判定四边形是平行四边形，故此选项符合题意， 故选:D． 【点睛】本题考查平行四边形的判定，熟练掌握平行四边形的判定方法是解答的关键． 10. 如图，在正方形中，，延长至点，使得．分别连接，为的中点，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查的是正方形的性质，根据题意作出辅助线，构造出直角三角形是解答此题的关键． 连接，易得是直角三角形，再根据直角三角形的性质即可得出结论． 【详解】解：连接， ∵四边形是正方形， ∴． ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵M为的中点， ∴． 故选C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 如图，在菱形中，已知，则__________． 【答案】64 【解析】 【分析】本题主要考查了菱形的性质．平行线的性质，熟练掌握菱形的对角线平分一组对角，是解题的关键．根据菱形的对角线平分一组对角，以及邻角互补，即可得解． 【详解】解：∵菱形中，， ∴， ∵菱形中，， ∴， ∴． 故答案为：64． 12. 据乘用车市场信息联席会数据显示，我国新能源车发展迅速，2024年4月至6月，新能源车月销量由68.3万辆增加到82.7万辆．设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，则可列方程________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用，设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，根据题意列出一元二次方程，即可求解． 【详解】解：设2024年4月至6月新能源车销量的月平均增长率为x，依题意得， ， 故答案为：． 13. 分解因式：______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了多项式的因式分解，熟练掌握分解因式的方法是解题的关键； 原多项式先提取公因式3，再利用公式法分解因式即可． 【详解】解： ． 14. 将点沿x轴方向向右平移3个单位，再沿y轴方向向上平移2个单位，所得的点的坐标是_____． 【答案】 【解析】 【分析】根据点的平移规律：左减右加，上加下减，进行计算即可． 【详解】将点沿x轴方向向右平移3个单位，再沿y轴方向向上平移2个单位，所得的点的坐标是，即 故答案为： 【点睛】本题考查了坐标与图形变化-平移，熟记平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减是解题的关键． 15. 如图，在中，是上的动点，过点分别作的垂线段，垂足分别为，连接，则的最小值为__________． 【答案】 【解析】 【分析】连接，根据矩形的判定与性质可得，根据垂线段最短可知当时最短，即最小，利用勾股定理求出的长，再利用等面积法求出的长即可． 【详解】 解：如图，连接，  ，，，  ，  四边形是矩形，  ． 当时，有最小值，此时有最小值， 在中，， ∴．  ，  ． 即的最小值为． 三、解答题（一）（本大题4小题，其中第16，17题每题7分，18，19每题6分，共26分） 16. （1）解不等式组：，并把不等式组的解集在数轴上表示出来； （2）因式分解：． 【答案】 （1），在数轴上表示如下图所示： （2） 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式组、在数轴上表示不等式的解集、因式分解，熟练掌握相关知识点是解题的关键． （1）先求出各不等式的解集，求出它们公共部分得到不等式组的解集，再将其解集表示在数轴上即可； （2）先提取公因式，再利用平方差公式分解因式即可． 【详解】解：（1）解不等式①得：， 解不等式②得：， 故原不等式组的解集为， （2）． 17. 解方程 （1）； （2）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的解法，熟练掌握一元二次方程的解法是解题的关键； （1）根据配方法可进行求解方程； （2）根据因式分解法可进行求解方程． 【小问1详解】 解： ∴； 【小问2详解】 解： 或 ∴． 18. 小颖和小红在化简的过程中，分别给出如下的部分运算过程． 小颖：原式 … 小红：原式 … （1）小颖解法的依据是______，小红解法的依据是______． A．分式的基本性质 B．等式的基本性质 C．乘法结合律 D．乘法分配律 （2）请你选择一种解法，写出完整的解答过程，并从“，，”中选一个合适的数作为的值，代入求该分式的值． 【答案】（1）， （2），当时，原式 【解析】 【分析】本题考查分式化简求值，解题的关键是掌握分式分式的基本性质，把所求式子化简． （1）观察小颖和小红的解法即可得到答案； （2）选择小颖的解法，先算出括号里的值，再运用分式的乘法运算计算，根据分式的性质得到，代入计算即可；选择小红解法，先用乘法分配律，约分后再相加，化简后将有意义的的值代入计算即可． 【小问1详解】 解：观察小颖的解法，依据是分式的基本性质；小红的解法，依据是乘法分配律； 故答案为：，； 【小问2详解】 解：选择小颖的解法： ， ∵， ∴， ∴，则原式； 选择小红的解法， ， ， ； ∵当为，时，原式无意义， ∴当时，原式． 19. 已知关于x的方程． （1）若该方程的一个根为，求m的值； （2）求证：不论m取何实数，该方程总有实数根． 【答案】（1） （2） 证明：∵一元二次方程中，，，， ∴， ∴不论m取何实数，该方程总有实数根． 【解析】 【分析】本题主要考查了一元二次方程的解，一元二次方程根的判别式，解题的关键是熟练掌握一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根． （1）把代入得出关于m的方程，再解关于m的方程即可； （2）根据一元二次方程根的判别式进行求解即可． 【小问1详解】 解：将代入原方程可得： ， 解得：； 【小问2详解】 略 四、解答题（二）（本大题3小题，每小题9分，共27分） 20. 仁寿县鳌峰中学组织学生开展了“青春心向党，红色永传承”党史知识竞赛，为了解学生对党史的掌握情况，该校随机抽取了部分学生的竞赛成绩，将成绩分为A，B，C，D四个等级，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图 （1）本次共抽取了_____名学生的竞赛成绩，并补全条形统计图； （2）若本校共有3200人参加本次竞赛活动，请估计竞赛成绩为B等级的学生人数； （3）学校在竞赛成绩为A等级中的甲、乙、丙、丁这4名学生里，随机选取2人参加学校党史报告活动，用画树状图或列表法求出甲、乙两人同时被选中的概率． 【答案】（1）， 补全图，如下 （2）估计竞赛成绩为B等级的学生人数为名 （3） 【解析】 【分析】本题考查了从统计图获取信息，样本估计总体，用列表或画树状图求概率； （1）由等级名占可求出总人数，即可求解； （2）竞赛成绩为B等级的百分比，即可求解； （3）画树状图法或列表法，可得所有的结果，利用概率计算公式，进行计算即可； 能从统计图获取正确信息，会用样本估计总体，并会用列表或画树状图求概率是解题的关键． 【小问1详解】 解：本次共抽取的人数为：（名）， 故答案为：； 等级的人数为：（名）， 【小问2详解】 解：由题意得 （名）， 答：估计竞赛成绩为B等级的学生人数为名； 【小问3详解】 解：列表如下： 甲 乙 丙 丁 甲 甲，乙 甲，并 甲，丁 乙 乙，甲 乙，丙 乙，丁 丙 丙，甲 丙，乙 丙，丁 丁 丁，甲 丁，乙 丁，丙 共有种等可能结果，甲、乙两人同时被选中的结果有种， ， 故甲、乙两人同时被选中的概率为． 21. 某商店以元千克的单价进货了一批商品，经调查发现，每天的销售量千克与销售单价元千克之间的函数关系如图中线段所示． （1）求与的函数表达式； （2）要使每天的销售利润达到元，销售单价应定为每千克多少元？ 【答案】（1） （2）元或元 【解析】 【分析】本题考查了一元二次方程的应用以及一次函数的应用． 观察函数图象找出点的坐标，利用待定系数法可求出与的函数表达式； 根据总利润每千克利润销售数量，即可得出关于的一元二次方程，解之即可得出 【小问1详解】 解：设与的函数表达式为， 将代入， 得：， 解得： 与的函数表达式为 【小问2详解】 根据题意得：， 整理得：， 解得： 答：销售单价应定为每千克元或元． 22. 如图，在中，连接． （1）用尺规作线段的垂直平分线，垂足为点O，交于点E，交于点F，连接，；（保留作图痕迹，不写作法，标记字母） （2）猜想四边形是什么图形，并加以证明． 【答案】（1） 如图，直线即为所求． （2） 四边形是菱形． 证明：∵直线垂直平分线， ∴，，． ∵四边形为平行四边形， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是菱形． 【解析】 【分析】本题考查了尺规作图，垂直平分线的性质，菱形的性质，全等三角形的判定，利用全等三角形的性质证明边的等长是解题的关键． （1）分别以为圆心，以大于的等长为半径画弧，两弧交于两点，过这两点做直线，交于E，交于F，交于点O，以此作图即可； （2）先根据平行四边形的性质证明，然后根据垂直平分线的性质证明，，接下来证，，最后根据四边相等的四边形是菱形来证明即可． 【详解】解：（1）略 （2）略 五、解答题（三）（本大题2小题，23题10分，24题12分，共22分） 23. 综合实践 背景 随着我国科技事业的不断发展，国产无人机越来越多应用于实际生活，为人们的生活带来了便利． 素材1 某农业公司预购进A，B两种型号的植保无人机用来喷洒农药，A型机比B型机平均每小时少喷洒2公顷农田，A型机喷洒40公顷农田所用时间与B型机喷洒50公顷农田所用时间相等． 素材2 若农业公司共购进20架无人机，A型无人机5万元/架，B型无人机6万元/架． 问题解决 任务1 A，B两种型号无人机平均每小时分别喷洒多少公顷地？ 任务2 若公司要求这批无人机每小时至少喷洒180公顷农田，那么该公司如何购买A型和B型无人机，才能使总成本最低？并求出最低成本． 【答案】任务1：A型无人机每小时喷洒8公顷，B型无人机每小时喷洒10公顷；任务2：采购A型无人机10台，B型机10台时总费用最少，最少费用为110万元 【解析】 【分析】本题考查了分式方程的应用，一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，找准等量关系，正确列出分式方程和一次函数是解题的关键． 任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷，列分式方程求解即可； 任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元，根据题意得 ，求出；，当，（万元），此时B型无人机（台）． 【详解】解：任务1，设A型无人机每小时送喷洒x公顷，则B型每小时喷洒公顷 由题意可得： 解得： 经检验：是原分式方程的根， 答：A型无人机每小时喷洒8公顷，B型无人机每小时喷洒10公顷． 任务2，设A型无人机a台，则B型无人机台，总费用为w万元， 由题意可知： 解得： ∵， ∴w随a的增大而减小， ∴当，（万元） 此时B型无人机（台）． 答：采购A型无人机10台，B型机10台时总费用最少，最少费用为110万元． 24. 如图，在矩形中，，．点从点出发向点运动，运动到点即停止；同时，点从点出发向点运动，运动到点即停止，点、的速度都是．连接、、，设点、运动的时间为． （1）求当为何值时，四边形是矩形； （2）求当为何值时，四边形是菱形； （3）在运动过程中，沿着把翻折，求当为何值时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 【答案】（1） （2） （3）1或3 【解析】 【分析】（1）由题意得，，，根据矩形的性质可得，，，当时，四边形是矩形，据此列出关于的方程，即可求解； （2）先证明四边形是平行四边形，当时，四边形是菱形，利用勾股定理表示出，利用列出关于的方程，即可求解； （3）由折叠的性质可得，，，，由可得，进而得到，在中利用勾股定理列出方程，求出的值即可解答． 【小问1详解】 解：由题意得，，， 在矩形中，，，， 当时，四边形是矩形，则，解得， ∴当时，四边形是矩形； 【小问2详解】 解：∵，， ∴四边形是平行四边形， ∴当时，四边形是菱形， 根据勾股定理得：， 则， 解得， ∴当时，四边形是菱形； 【小问3详解】 解：如图2， 由折叠的性质可得，，，，， 在矩形中，， ， ， ， ， ， 在中，由勾股定理得：， ， 整理得：， 解得，， 即当等于1或3时，翻折后点的对应点恰好落在边上． 【点睛】本题考查了矩形的性质与判定、菱形的判定、翻折的性质、勾股定理、一元二次方程的应用，熟练掌握矩形与菱形的判定是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $