精品解析：吉林省长春市北湖学校2025-2026学年上学期八年级开学考数学试卷

长春北湖学校2025-2026学年度八年级上学期 假期成果验收 数学学科试卷 满分：120分 时长：90分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 已知，则下列等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图是一枚2025年发行的正十二边形纪念币（每个内角相等），则该正十二边形的每个内角为（ ） A. 150° B. 145° C. 140° D. 135° 4. 如图，为估计池塘两岸A，B两点之间的距离，在池塘的一侧选取一点O，测得，，则A，B两点间的距离可能是（　　） A. 5 B. 10 C. 16 D. 17 5. 下列方程中与的解相同的是（ ） A. B. C. D. 6. 如图，一条笔直的河L，牧马人从P地出发,到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ） A. B. C. D. 7. 如图，平分，点A，B是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点P．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，的面积为为边上的中线，点是线段的五等分点，点、、是线段的四等分点，点是线段的中点，则四边形的面积为（　　） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 命题“若则”是______．（填“真命题”或“假命题”） 10. 平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这是利用了三角形的_________． 11. 如图，在和中，，添加一个条件：______，使得． 12. 若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为______． 13. 如图，在中，，，于，于，那么______． 14. 如图，在四边形中，，，于点，点、分别在、上，若，，有下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中结论正确的为__________．（填序号） 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程 （1） （2） 16. （1）解不等式，并把解集表示在所给的数轴上：． （2）求不等式组的整数解． 17. 一个正多边形的每个内角都是相邻外角的3倍，求这个正多边形的边数． 18. 某工厂的产值连续增长，2022年是2021年的1.5倍，2023年是2022年的2倍，这三年的总产值为550万元．2021年的产值是多少万元？ 19. 已知，在中，，点D为的中点，，且．求证：是等边三角形． 20. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，点也在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）平移，使点移动到点位置，画出平移后的； （2）画出关于点对称的； （3）的面积为______． 21. 如图所示，PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，且PB＝PC，D是AP上一点． 求证：∠BDP＝∠CDP. 22. 为了支持贫困地区发展，某企业需运输一批扶贫物资．据调查得知，2辆大货车与4辆小货车一次可以运输1000箱物资；5辆大货车与2辆小货车一次可以运输1300箱物资． （1）求1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输多少箱物资？ （2）该企业计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元，若一次运输物资不少于2200箱，且总费用小于5600元，请你列出所有运输方案，并指出哪种运输方案所需总费用最少，最少总费用是多少？ 23. 【问题初探】（1）在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题：     如图1，在中，高交于点F，且，试说明有怎样的数量关系．小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证，从而得出．小明证明的依据可能是______（填序号）． ① ② ③ ④ 【引导发现】（2）老师看同学们的兴致很高，又出了一道题：如图2，在中，，，平分，垂足E在的延长线上． ①_______°； ②判断线段与的数量关系，并写出证明过程． 24. 如图，在长方形中，，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． （1）当点P在运动的过程中，________； ________；（用含的代数式表示） （2）当时，的面积=_________； （3）当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积； （4）当点P在边或边上运动时，作点P关于点B的中心对称点，直接写出的面积是面积的时的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 长春北湖学校2025-2026学年度八年级上学期 假期成果验收 数学学科试卷 满分：120分 时长：90分钟 一、选择题（本大题共8小题，每小题3分，共24分） 1. 下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查轴对称图形及中心对称图形的定义，掌握中心对称图形与轴对称图形的概念，要注意：轴对称图形的关键是寻找对称轴，使图形两部分折叠后可重合；中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．根据轴对称图形与中心对称图形的概念逐项判断即可． 【详解】解：．是中心对称图形不是轴对称图形，故该选项不符合题意； ． 是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； ．是中心对称图形也是轴对称图形，故该选项符合题意； ．是轴对称图形不是中心对称图形，故该选项不符合题意； 故选：C． 2. 已知，则下列等式不一定成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了等式的基本性质，根据等式的基本性质逐项判断即可，解题的关键是正确理解等式性质：、等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；、等式的两边同时乘以或除以同一个不为数或字母，等式仍成立． 【详解】解：、如果，那么，原选项正确，不符合题意； 、如果，那么，原选项正确，不符合题意； 、如果，那么，原选项正确，不符合题意； 、如果，当时，无意义，原选项错误，符合题意； 故选：． 3. 如图是一枚2025年发行的正十二边形纪念币（每个内角相等），则该正十二边形的每个内角为（ ） A. 150° B. 145° C. 140° D. 135° 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了正多边形的性质和内角和公式，要注意多边形内角和不是边数，边数还要减2．根据正多边形内角和公式求出正十二边形的内角和再除以12得到正十二边形一个内角的大小即可． 【详解】解：该正十二边形一个内角的大小为：, 故选：A． 4. 如图，为估计池塘两岸A，B两点之间的距离，在池塘的一侧选取一点O，测得，，则A，B两点间的距离可能是（　　） A. 5 B. 10 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系定理的应用，熟练掌握两边之和大于第三边，两边之差小于第三边是解题的关键．根据三角形的三边关系求出的取值范围即可求解． 【详解】解：根据三角形的三边关系定理得： ， 即：， ∴AB的值在6和16之间， ∴A、B间的距离可能是10． 故选：B． 5. 下列方程中与的解相同的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查一元一次方程的解的应用，解题关键在于掌握使方程左右两边相等的未知数的值叫方程的解．求出已知方程的解，再把求出的数代入每个方程，看看左、右两边是否相等即可． 【详解】解：由方程得：， A、把代入方程得：，左边右边，故本选项正确； B、把代入方程得：，左边右边，故本选项错误； C、把代入方程得：，左边右边，故本选项错误； D、把代入方程得：，左边右边，故本选项错误． 故选：A． 6. 如图，一条笔直的河L，牧马人从P地出发,到河边M处饮马，然后到Q地，现有如下四种方案，可使牧马人所走路径最短的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】用对称的性质，通过等线段代换，将所求路线长转化为两定点之间的距离；以及垂线段最短求解． 【详解】作点P关于直线l的对称点P′，连接QP′交直线l于M． 如图， 根据两点之间，线段最短，可知选项B使牧马人所走路径最短． 故选D． 【点睛】本题考查了最短路径的数学问题．这类问题的解答依据是“两点之间，线段最短”． 7. 如图，平分，点A，B是射线，上的点，连接．按以下步骤作图：①以点B为圆心，任意长为半径作弧，交于点C，交于点D；②分别以点C和点D为圆心，大于长为半径作弧，两弧相交于点E；③作射线，交于点P．若，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查作图—基本作图、角平分线的定义．由作图过程可知，为的平分线，可得．根据，可得．由题意得，则． 【详解】解：由作图过程可知，为的平分线， ∴． ∵， ∴． ∵平分， ∴． ∵， ∴． 故选：D． 8. 如图，的面积为为边上的中线，点是线段的五等分点，点、、是线段的四等分点，点是线段的中点，则四边形的面积为（　　） A. 14 B. 15 C. 16 D. 17 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查三角形中线的性质，全等三角形的判定与性质．根据三角形中线的性质得，证明，根据全等三角形的性质可得，再利用等高模型求得，同理求得，据此求解即可． 【详解】解：连接、、、、， ∵的面积为，为边上的中线， ∴， ∵点、、是线段的四等分点， ∴， ∵点是线段的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点、、是线段的四等分点， ∴， ∴， ∵点是线段的五等分点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵点是线段的五等分点， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴四边形的面积为， 故选：B； 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 9. 命题“若则”是______．（填“真命题”或“假命题”） 【答案】假命题 【解析】 【分析】本题主要考查对命题真假的判断，正确的命题叫做真命题，错误的命题叫做假命题， 举出一个符合条件，而不符合结论的例子即可． 【详解】解：命题“若则”是假命题，举例如下： ， ， 但， 满足，但是不满足， 命题“若则”是假命题． 故答案为：假命题． 10. 平板电脑是我们日常生活中经常使用的电子产品，它的很多保护壳还兼具支架功能，有一种如图所示，平板电脑放在上面就可以很方便地使用了，这是利用了三角形的_________． 【答案】稳定性 【解析】 【分析】本题考查了三角形的稳定性的应用，根据三角形具有稳定性即可求解，熟练掌握基础知识是解题的关键． 【详解】解：这是利用了三角形的稳定性， 故答案为：稳定性． 11. 如图，在和中，，添加一个条件：______，使得． 【答案】(答案不唯一) 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定，注意：判定两个三角形全等的方法有，，，，．从图中知道，，结合，再添加一个条件或或，都使得． 【详解】解：由题意知：，， 添加，则； 添加，则； 添加，则． 故答案为：或或． 12. 若是关于x，y的二元一次方程的一组解，则a的值为______． 【答案】3 【解析】 【分析】根据题意，得，计算即可，本题考查了二元一次方程的解，熟练掌握解的定义是解题的关键． 【详解】是关于x，y的二元一次方程的一组解， ， 解得， 故答案为：3． 13. 如图，在中，，，于，于，那么______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题主要考查了平角的定义，三角形内角和定理，垂线的定义，先由垂线的定义得到，再由三角形内角和定理求出的度数，最后根据平角的定义可得答案． 【详解】解；∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 故答案为：． 14. 如图，在四边形中，，，于点，点、分别在、上，若，，有下列结论：①是等边三角形；②；③；④．其中结论正确的为__________．（填序号） 【答案】①②③④ 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质、等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，由等腰三角形的性质可得，，求出结合即可得出是等边三角形，即可判断①；证明，得出即可判断②；证明即可判断③；根据并结合即可判断④；熟练掌握以上知识点并灵活运用是解此题的关键． 【详解】解：，， ，， ， ， ． ， 是等边三角形，故①正确； 是等边三角形， ，． ， ∴， ． 在和中， ， ∴， ， ，故②正确； 同理可得为等边三角形， ∴， ∴， ． 又，， ，故③正确； ，，， ． ， ，故④正确， 综上所述，正确的有①②③④， 故答案为：①②③④． 三、解答题（本大题共10小题，共78分） 15. 解方程 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了解一元一次方程，解二元一次方程组， 对于（1），先去括号，再移项合并同类项求出解即可； 对于（2）根据加减消元法求出解即可． 【小问1详解】 解：， 去括号，得， 移项合并同类项，得； 【小问2详解】 ，得， 解得， 将代入①，得， 解得． ∴这个方程组的解是． 16. （1）解不等式，并把解集表示在所给的数轴上：． （2）求不等式组的整数解． 【答案】 （1），将数集表示在数轴如下： （2），0，1，2，3 【解析】 【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键． （1）根据不等式的基本性质进行移项、合并同类项、系数化为1即可求出解集，并把解集表示在数轴上， （2）分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，然后求出整数解即可． 【详解】（1） ， （2） 解：解不等式①得， 解不等式②得， ∴原不等式的解集为， 满足条件的整数x的值是，0，1，2，3． 17. 一个正多边形的每个内角都是相邻外角的3倍，求这个正多边形的边数． 【答案】8 【解析】 【分析】先根据一个正多边形的内角和外角互补关系列方程求解出正多边形的外角,再根据多边形的外角和等于即可求出正多边形的边数. 【详解】设多边形的每个外角的度数为，则内角为， ， 解得， 即这个多边形的数是：． 【点睛】此题主要考查了多边形的内角和外角的关系，关键是计算出外角的度数，进而得到边数． 18. 某工厂的产值连续增长，2022年是2021年的1.5倍，2023年是2022年的2倍，这三年的总产值为550万元．2021年的产值是多少万元？ 【答案】100万元 【解析】 【分析】本题考查了一元一次方程的应用，设2021年的产值是x万元，则2022年的产值是万元，2023年的产值是万元，根据这三年的总产值为550万元，可列出关于x的一元一次方程，解之可得出x的值． 【详解】解： 设 2021 年产值为  万元，根据题意得，  ， 解得，  ， 答： 2021 年的产值为 100 万元． 19. 已知，在中，，点D为的中点，，且．求证：是等边三角形． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的判定和性质、等边三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，只要证明，推出，又，即可推出，进而证明． 【详解】证明：点D是中点， ． 在和中 ， ， ， ， ， 是等边三角形． 20. 如图是由小正方形组成的网格，每个小正方形的顶点叫做格点，的顶点在格点上，点也在格点上，仅用无刻度的直尺在给定网格中画图，画图过程用虚线表示，画图结果用实线表示，按步骤完成下列问题： （1）平移，使点移动到点位置，画出平移后的； （2）画出关于点对称的； （3）的面积为______． 【答案】（1） 如图所示，即为所求； （2） 如图所示，即为所求； （3） 【解析】 【分析】本题考查作图中心对称变换、三角形的面积、作图－平移变换，熟练掌握平移的性质、中心对称的性质是解答本题的关键． （1）根据平移的性质作图即可得到答案； （2）根据中心对称的性质作图即可得到答案； （3）利用割补法求三角形的面积即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：如图所示： 的面积为． 21. 如图所示，PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，且PB＝PC，D是AP上一点． 求证：∠BDP＝∠CDP. 【答案】见解析 【解析】 【分析】根据条件，利用“HL”证明Rt△ABP≌Rt△ACP，可知∠APB=∠APC，再利用“SAS”证明△PBD≌△PCD即可． 【详解】∵PB⊥AB于点B，PC⊥AC于点C，∴∠ABP=∠ACP=90°． 在Rt△ABP和Rt△ACP中，∵，∴Rt△ABP≌Rt△ACP（HL），∴∠APB=∠APC． 在△PBD与△PCD中，∵，∴△PBD≌△PCD（SAS），∴∠BDP=∠CDP． 【点睛】本题考查了角平分线性质，全等三角形的判定与性质．关键是明确图形中相等线段，相等角及全等三角形． 22. 为了支持贫困地区发展，某企业需运输一批扶贫物资．据调查得知，2辆大货车与4辆小货车一次可以运输1000箱物资；5辆大货车与2辆小货车一次可以运输1300箱物资． （1）求1辆大货车和1辆小货车一次分别可以运输多少箱物资？ （2）该企业计划用两种货车共12辆运输这批物资，每辆大货车一次需费用500元，每辆小货车一次需费用300元，若一次运输物资不少于2200箱，且总费用小于5600元，请你列出所有运输方案，并指出哪种运输方案所需总费用最少，最少总费用是多少？ 【答案】（1）1辆大货车一次可运输200箱物资，1辆小货车一次可运输150箱物资；（2）方案①：大货车用8辆，小货车用4辆，方案②：大货车用9辆，小货车用3辆；方案①所需费用最少，最少费用是5200元 【解析】 【分析】（1）设1辆大货车一次可运输x箱物资，1辆小货车一次可运输y箱物资，根据题意即可列出关于x、y的二元一次方程组，解出x、y即可． （2）设该企业用大货车a辆，则小货车用辆，根据题意即可列出关于a的一元一次不等式组，求出a的解集．再结合题意a必须为整数，即得出a的具体值．在分类讨论，即可得出答案． 【详解】解：（1）设1辆大货车一次可运输x箱物资，1辆小货车一次可运输y箱物资， 根据题意，得：， 解得：． 因此，1辆大货车一次可运输200箱物资，1辆小货车一次可运输150箱物资． （2）设该企业用大货车a辆，则小货车用辆， 根据题意，得：， 解得：． 因为a为正整数，所以或，共有两种运输方案， 即方案①：大货车用8辆，小货车用4辆， 所需费用为（元）； 方案②：大货车用9辆，小货车用3辆， 所需费用为（元）． 因此，方案①所需费用最少，最少费用是5200元． 【点睛】本题考查二元一次方程组的应用和一元一次不等式组的应用．根据题意找出等量关系或数量关系是解答本题的关键． 23. 【问题初探】（1）在数学社团活动中，李老师给同学们出了这样一道题：     如图1，在中，高交于点F，且，试说明有怎样的数量关系．小明经过思考，说出了他的方法：根据已知条件，易证，从而得出．小明证明的依据可能是______（填序号）． ① ② ③ ④ 【引导发现】（2）老师看同学们的兴致很高，又出了一道题：如图2，在中，，，平分，垂足E在的延长线上． ①_______°； ②判断线段与的数量关系，并写出证明过程． 【答案】（1）②； （2）①22.5； ②，证明如下： 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 在和中， ， ∴， ∴， ∴． 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，其中根据全等三角形的判定方法构造全等是解决本题的关键． （1）先证明，则，从而即可根据全等三角形的判定定理“”证明； （2）①由余角的性质得，结合角平分线的定义可求出；②根据证明得，根据证明得，进而可求出． 【详解】（1）证明：∵，， ∴． ∴． ∴． 在和中， ， ∴． 故答案为：②； （2）①延长交延长线于F，    ∵， ∴． ∵， ∴， ∴． ∵，， ∴． ∵平分， ∴， ∴． ②略 24. 如图，在长方形中，，，，点P以的速度从点A出发，沿运动，同时点Q以的速度从点A出发，沿运动，当P、Q两点有一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动，设运动时间为． （1）当点P在运动的过程中，________； ________；（用含的代数式表示） （2）当时，的面积=_________； （3）当是以为底的等腰三角形时，求t的值及此时的面积； （4）当点P在边或边上运动时，作点P关于点B的中心对称点，直接写出的面积是面积的时的值． 【答案】（1）； （2） （3）t的值为；此时的面积为 （4）点P在上运动时，的面积是面积的时的值为，点P在上运动时，的面积是面积的时的值为 【解析】 【分析】（1）根据点P运动的速度和时间即可表示出，然后根据即可求解； （2）首先画出图形，然后根据题意得到 （3）根据是以为底的等腰三角形，则点P在边上，根据等腰三角形的性质得，又，然后根据，得方程，求解得到t值；最后根据三角形面积公式求出的面积即可； （4）根据轴对称的性质和三角形的面积公式，分别求出点P在上运动时和点P在上运动时的t值即可． 【小问1详解】 解：∵点P以的速度从A点出发，沿运动， ∴， ∵， ∴． 故答案为：；． 【小问2详解】 解：当时P运动的路程为：， ∵， 又∵， ∴此时点P在边上 ， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 【小问3详解】 解：∵是以为底的等腰三角形 ∴点P在边上， 过点P作交于点E，如图， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∵长方形， ∴根据题意可得四边形是长方形， ∴， ∵， ∴， 解得：， ∴， ∴． 【小问4详解】 解：分二种情况：①点P在上运动时，如图， 则，，， ∵点P与点关于点B的中心对称， ∴ ∴， ， ∵的面积是面积的 ∴， 即， ∵， ∴； ②点P在上运动时，如图， 则，， ∵点P与点关于点B的中心对称， ∴ ∴， ， ∵的面积是面积的 ∴ 解得：； ∴点P在上运动时，的面积是面积的时的值为，点P在上运动时，的面积是面积的时的值为． 【点睛】本题考查动点问题，等腰三角形的性质，轴对称的性质，三角形面积，熟练掌握相关性质是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $