精品解析：安徽省合肥市肥东县2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 3. 若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 4. 已知两个单位向量满足，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 5. 已知是等比数列的公比，则“数列是递增数列”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 6. 已知实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 7. 在中，，，以为直径的半圆弧和的外接圆的部分弧围成一个月牙形区域（如图阴影部分），则该月牙形区域的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 已知是定义在上的偶函数，且为奇函数，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组样本数据3，4，4，2，5，3，3，5，7，则该组数据的（ ） A. 众数为3 B. 极差为4 C. 平均数为4 D. 标准差为2 10. 设为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则下列命题正确的有（ ） A. 若与不垂直，则也不垂直 B. 若，且，则 C. 若，则或 D. 若，，则 11. 已知为抛物线的焦点，为上的两个动点，则下列命题正确的是（ ） A. 若点的坐标为，则的最小值为3 B. 若，则线段的中点到轴的最小距离为2 C. 若线段的中点的横坐标为3，则的最大值为8 D. 若直线过点，则，（为坐标原点）的斜率之积为定值 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的常数项为__________________．（用数字作答） 13. 已知函数在区间上既有最大值，也有最小值，则实数的取值范围为______． 14. 已知且，若，则_____________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列{an}的前n项和为Sn，且. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn. 16. 随着科技的发展，AI技术已经深度介入普通人的生活，正在改变着人们的生活和工作．为了调查AI技术在普通人中的使用情况，一调查机构对此进行了调查，并从参与调查的市民中分别抽取男，女各100人进行统计分析，整理得到如下列联表： 性别 经常借助AI技术 不经常借助AI技术 合计 男 女 50 合计 120 （1）完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析是否经常借助AI技术与性别有关联； （2）采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从表中不经常借助AI技术的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记3人中男性人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 参考公式：，． 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 17. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，是E上一点． （1）求的方程； （2）过F的直线交于两点，求（为坐标原点）的面积的最大值． 18. 如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，为在平面上的射影，且． （1）求证：； （2）若三棱锥的四个顶点均在球的表面上． （i）求平面截球的表面所得圆的周长； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的值域； （3）若关于的方程在内有两个根，证明：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 考生注意： 1.本试卷分选择题和非选择题两部分.满分150分，考试时间120分钟. 2.答题前，考生务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将密封线内项目填写清楚. 3.考生作答时，请将答案答在答题卡上.选择题每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑；非选择题请用直径0.5毫米黑色墨水签字笔在答题卡上各题的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效，在试题卷、草稿纸上作答无效. 4.本卷命题范围：高考范围. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】利用复数的除法运算、共轭复数和模的概念即可求解. 【详解】，则，所以. 故选：D． 2. 已知集合，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】法1：先求出集合，再和集合求交集即可； 法2：可把集合中的元素代入集合中的不等式中进行验证符合的元素即可求出交集. 【详解】法1：由，得或，所以，所以． 故选：C． 法2：将代入，只有符合，所以． 故选：C． 3. 若双曲线的离心率为，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定的离心率求出，进而求出渐近线方程. 【详解】由双曲线的离心率为，得，解得， 因为，所以. 而双曲线的渐近线方程为，所以的渐近线方程为，即. 故选：B. 4. 已知两个单位向量满足，则（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】C 【解析】 【分析】由通过平方得到，再通过平方即可求解. 【详解】由，得，所以， 所以． 故选：C． 5. 已知是等比数列的公比，则“数列是递增数列”是“”的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 【答案】D 【解析】 【详解】充分性：若数列是递增数列，则，或者，，故充分性不成立； 必要性：等比数列中，，若，则等比数列单调递减，故必要性不成立. 综上，“数列是递增数列”是“”的既不充分也不必要条件 故选D. 6. 已知实数满足，则的取值范围为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】设，运用转化思想，把问题转化为直线与圆有公共点问题，结合点到直线距离公式进行求解即可. 【详解】设， 问题可转化为直线与圆有公共点． 由，得，所以的取值范围为， 故选：A 7. 在中，，，以为直径的半圆弧和的外接圆的部分弧围成一个月牙形区域（如图阴影部分），则该月牙形区域的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】设外接圆的圆心为，半径为，连接，先利用正弦定理可求得再在中利用余弦定理可求得,由扇形的面积减去的面积得弓形的面积，再结合为直径的半圆的面积即可求得结果. 【详解】设外接圆的圆心为，半径为，连接， ∵，,由正弦定理，得. 所以，即． 在中，由余弦定理，得， 又，所以，， 所以弓形的面积为， 又因为以为直径的半圆的面积为， 所以月牙形区域的面积为． 故选：B． 8. 已知是定义在上的偶函数，且为奇函数，若，则（ ） A. B. 0 C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查奇偶性和周期性的应用，根据是定义在上的偶函数及为奇函数可求得为周期是4的函数，再对x进行赋值求出，根据周期性即可求和得到答案． 【详解】令， 由为奇函数， 得， 又为偶函数，∴， ∴， 用替换，则， ∴，即4为的周期． 根据， 令，得， 令，得， 又为偶函数，且，∴，， 又的周期为4，∴，， ∴． ∵余， ∴． 故选：A． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 一组样本数据3，4，4，2，5，3，3，5，7，则该组数据的（ ） A. 众数为3 B. 极差为4 C. 平均数为4 D. 标准差为2 【答案】AC 【解析】 【分析】由众数定义判断选项A；计算极差判断选项B；计算数据平均数判断选项C；计算数据标准差判断选项D. 【详解】在样本数据3，4，4，2，5，3，3，5，7中， 3出现了3次，出现的次数最多，所以众数是3，A选项正确； 在这组数据中，最大值是7，最小值是2，则极差为，B选项错误； 平均数为，故C选项正确； ， 数据方差，所以其标准差为，故D选项错误． 故选：AC． 10. 设为两条不同的直线，为两个不同的平面，且，则下列命题正确的有（ ） A. 若与不垂直，则也不垂直 B. 若，且，则 C. 若，则或 D. 若，，则 【答案】BC 【解析】 【分析】举反例可判断A，利用线面平行的判定与性质判断B，由线面平行的判定判断C，根据题意列举其他情况判断D. 【详解】 对于A，在正方体中，如图，取分别为直线, 平面，分别为，因直线与平面不垂直，,但，知A错误； 对于B，根据线面平行的性质定理，一条直线平行于两个相交平面，则该直线平行于这两个平面的交线，即由，，且，可得，故B正确； 对于C，因为，所以，，若，又，则； 同理可得若，又，则．若，都不成立，则，且， 所以．又，所以与是同一条直线，这与题设矛盾． 故，中至少有一个成立，故，中至少有一个成立，故C正确； 对于D，由，，可得或，故D错误． 故选：BC． 11. 已知为抛物线的焦点，为上的两个动点，则下列命题正确的是（ ） A. 若点的坐标为，则的最小值为3 B. 若，则线段的中点到轴的最小距离为2 C. 若线段的中点的横坐标为3，则的最大值为8 D. 若直线过点，则，（为坐标原点）的斜率之积为定值 【答案】BCD 【解析】 【分析】利用抛物线焦点坐标得出，从而得出抛物线方程，准线方程，设抛物线上动点，利用两点间距离公式结合抛物线方程构建关于的不等式，求出最小值，判断选项A；根据抛物线定义，抛物线上点到焦点距离等于到准线距离，结合图像判断选项B和C；设过点的的方程为，代入抛物线方程，利用韦达定理得出，结合抛物线方程得出，计算的值，判断选项D. 【详解】已知，即，所以，故的方程为， 设，则，所以， 所以当时，，故A错误； 如下图，过分别作准线的垂线，垂足分别为， 则的中点到轴的距离， 当且仅当过点时等号成立，故B正确； 如上图，中点横坐标为3，且抛物线准线为， 则， 当且仅当过点时等号成立，故C正确； 若过点，设其方程为，代入的方程并整理，得， 设，，则，所以， 所以，故D正确． 故选：BCD． 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 的展开式中的常数项为__________________．（用数字作答） 【答案】28 【解析】 【分析】根据二项式定理的展开通项即可得出答案. 【详解】展开式的通项为，令，得， 故展开式的常数项为. 故答案为： 13. 已知函数在区间上既有最大值，也有最小值，则实数的取值范围为______． 【答案】 【解析】 【分析】先把函数化成的形式，再利用正弦函数图象性质求解. 【详解】，由，则. 结合的图象（如图），当时，函数单调递减；当时，函数单调递增，并以为周期. 故当时，此时在区间上单调递减，故该函数没有最小值； 当时，该函数有最小值，有最大值. 当时，该函数有最小值，没有最大值. 当时，该函数有最小值，有最大值. 综上，当或时，该函数有最大值也有最小值. 故实数的取值范围为． 故答案为： 14. 已知且，若，则_____________． 【答案】 【解析】 【分析】先设，对原方程进行同构，转化为，再利用导数分析函数（）的单调性，求的值，再结合对数的运算法则求解. 【详解】令，则， 若，则，所以不成立， 所以，由，得，且， 由，得，所以，所以， 令，则，所以在上单调递增， 所以，即，所以． 故答案为： 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 设数列{an}的前n项和为Sn，且. （1）求数列{an}的通项公式； （2）设bn=，求数列{bn}的前n项和Tn. 【答案】（1）an=3n-1；（2）Tn=. 【解析】 【分析】（1）由求得数列是等比数列，从而易得其通项公式； （2）由错位相减法求和. 【详解】（1）由，① 得（n≥2），② ①－②，得，∴， 又，∴a1=1， ∴{an}是首项为1，公比为3的等比数列， ∴an=3n-1. （2）由（1）得，bn=， ∴Tn=， Tn=， 两式相减，得Tn= ， ∴Tn=. 16. 随着科技的发展，AI技术已经深度介入普通人的生活，正在改变着人们的生活和工作．为了调查AI技术在普通人中的使用情况，一调查机构对此进行了调查，并从参与调查的市民中分别抽取男，女各100人进行统计分析，整理得到如下列联表： 性别 经常借助AI技术 不经常借助AI技术 合计 男 女 50 合计 120 （1）完成上述列联表，并根据小概率值的独立性检验，分析是否经常借助AI技术与性别有关联； （2）采用按比例分配的分层随机抽样的方法，从表中不经常借助AI技术的人中抽取8人，再从这8人中随机抽取3人，记3人中男性人数为随机变量，求的分布列和数学期望． 参考公式：，． 0.050 0.010 0.005 3.841 6.635 7.879 【答案】（1）列联表为： 性别 经常借助AI技术 不经常借助AI技术 合计 男 70 30 100 女 50 50 100 合计 120 80 200 有关联 （2）的分布列为： 0 1 2 3 期望为 【解析】 【分析】（1）根据题意完成表格，然后利用公式计算的值进行分析即可； （2）根据题意先利用分层抽样的方法抽取男、女生人数，找出随机变量的值，计算出各值对应的概率，计算出数学期望值即可. 【小问1详解】 列联表为： 性别 经常借助AI技术 不经常借助AI技术 合计 男 70 30 100 女 50 50 100 合计 120 80 200 零假设为：是否经常借助AI技术与性别无关联． 根据表中数据，得: ， 根据小概率值的独立性检验，可以推断不成立，即是否经常借助AI技术与性别有关联，这种推断犯错误的概率不超过0.005． 【小问2详解】 采用按比例分配的分层随机抽样， 男性抽取人数为，女性抽取人数为， 所以随机变量的可能取值为， ， ， ， ， 所以的分布列为： 0 1 2 3 所以. 17. 已知椭圆的离心率为，右焦点为，是E上一点． （1）求的方程； （2）过F的直线交于两点，求（为坐标原点）的面积的最大值． 【答案】（1）； （2）. 【解析】 【分析】（1）根据给定条件，列式求出即可. （2）由（1）设出直线的方程，与椭圆方程联立，利用韦达定理，结合三角形面积求出函数关系，进而求出最大值. 【小问1详解】 因为是E上一点，代入椭圆方程解得， 又，解得， 所以椭圆的方程为. 【小问2详解】 由（1）得半焦距，点，显然的斜率不为零， 设直线的方程为，， 由消去，得，显然， 则，， 所以， 则的面积， 令，函数在上单调递增，当时，取得最小值4， 则当时，取得最小值4，， 所以的面积的最大值为. 18. 如图，在直三棱柱中，，为棱的中点，为在平面上的射影，且． （1）求证：； （2）若三棱锥的四个顶点均在球的表面上． （i）求平面截球的表面所得圆的周长； （ii）求直线与平面所成角的正弦值． 【答案】（1）证明见解析 （2）（ⅰ）；（ⅱ）． 【解析】 【分析】（1）利用线面垂直的判定定理求证平面即可； （2）以为原点建系，求出平面的一个法向量，的外心为线段的中点，根据平面即可知球心在上，设，根据球的定义即可求出点坐标或直接设根据球的定义求出点坐标； （i）根据公式求出点到平面的距离为，再根据求出截面圆的半径即可； （ii）计算即可. 【小问1详解】 由题意知平面，又平面，所以， 又，平面，则平面， 又平面，所以． 【小问2详解】 由（1）得两两垂直，以为原点，直线分别为轴，轴，轴建立如图所示的空间直角坐标系， 则，，，， 所以， 设平面的一个法向量，则， 令，得，，所以， 法1：因为是以为斜边的直角三角形，所以的外心为线段的中点，其坐标为， 故，故平面，所以在上，于是设， 由，得，解得，所以， 所以，球的半径． 法2：设，由， 得，解得，，即， 所以，球的半径． （i）设点到平面的距离为，则， 所以截面圆的半径， 故截面圆的周长为． （ii），则， 所以直线与平面所成角的正弦值为． 19. 已知函数． （1）求曲线在点处的切线方程； （2）求的值域； （3）若关于的方程在内有两个根，证明：． 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）先求出导函数，再代入得出切线斜率，最后点斜式得出切线方程； （2）法1：先根据函数的周期取上的值域解题，结合三倍角余弦化简，再求出导函数得出函数单调性结合周期及特殊值即可得出值域；法2：先根据函数的周期取上的值域解题，结合三倍角余弦化简，再求出导函数得出函数单调性结合周期及特殊值即可得出值域； （3）由（2）知在上单调递增，在上单调递减，构造函数结合导函数及辅助角公式化简证明即可. 【小问1详解】 ，所以， 又， 故所求切线方程为，即； 【小问2详解】 法1：为以为周期的函数，所以在上的值域即为在定义域上的值域． 由（1）知， ， ． ①当时，，，，所以； ②当时，，，，所以； ③当时，，，，所以， 所以在，上单调递增，在上单调递减， 又，，， 所以在上的值域为． 因为，所以． 当时，，所以在上的值域也为， 所以的值域为． 法2：为以为周期的函数，所以在上的值域即为在定义域上的值域． 由（1）知， 因为， ， 所以． 当时，，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以； 当时，，，所以， 所以在和上单调递增，在和上单调递减， 又，，， 所以在上的值域为， 因为为奇函数，所以在上的值域为． 所以在上的值域为， 又是的一个周期，所以的值域为． 【小问3详解】 由（2）知在上单调递增，在上单调递减， 所以，要证，只需证， 因为，所以，所以只需证， 因为，所以只需证． 令，则 ． 因为，所以，， 所以，，所以， 所以在上单调递增，所以． 又，所以，所以，问题得证． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $