精品解析：重庆市万州区三峡初级中学2025-2026学年九年级上学期开学考试数学试题

数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题4分） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 3. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员各进行20次射击测试，他们的测试平均成绩相同，方差分别是，，，，则这四名射击运动员中成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 4. 随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3600件提高到4800件，平均每人每周比原来多投递60件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件．设原来平均每人每周投递快件x件，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 5. 已知关于的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（　　） A. B. C. D. 6. 若一次函数（为常数且）的图像经过点，，则下列说法中，正确的是（ ） A. 该函数图像不经过第三象限 B. 关于的方程的解为 C. 该函数图像与坐标轴围成的三角形面积为8 D. 该函数值随的增大而增大 7. 小泽和小帅分别从甲地骑自行车沿同一条路到乙地．如图是小泽和小帅离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中信息，下列说法有误的是（ ） A. 从甲到乙地共24千米 B. 小帅的骑车速度为8千米/小时 C. 小泽出发0.5小时后小帅才出发 D. 当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有4千米 8. 如图，在中，平分，交边于点，过点作交的延长线于点，交于点，则图中一定是等腰三角形的有（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 9. 如图，在正方形中，，为中点，点在边上，连接、，若，则的长为（    ） A. B. C. D. 10. 已知整式M：，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，其中n，为自然数，，为正整数，且．例如，当，时，整式，则，，下列说法： ①当时，满足条件的整式M共有4个； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有13个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 二、填空题（共6小题，每小题4分） 11. 在中，的取值范围为______． 12. 如图，，若，则_____度． 13. 若是关于x的方程的解，则的值为_____ 14. 若关于m的不等式组有解且最多有4个整数解，且关于x的一次函数的图象不经过第四象限，则满足条件的所有整数a的和为_______． 15. 如图，正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，，则的大小为_______，四边形的面积大小为_______． 16. 我们规定，一个四位自然数，各数位数字均不相同且均不为零，满足，则称该自然数为“长久”数，．如1386满足，所以1386是“长久”数，，如2772满足，但不满足各数位数字均不相同，所以2772不是“长久”数．若四位自然数（且x，y均为整数）是“长久数”，则_____；已知四位自然数（且a，b，c，d均为整数）是“长久”数，将B的千位数字作为十位数字，将B的十位数字作为个位数字得到的两位数记为s，将B的百位数字作为十位数字，将B的个位数字作为个位数字得到的两位数记为t，若是整数，且能被10整除，则满足条件的B的最大值为_____ 三、解答题（共9小题，其中17、18题8分，其余每小题10分） 17. 计算 （1） （2） 18. 先化简，再求值：，其中 19. 如图，在平行四边形中，，于点F． （1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交BC于点E，连接交于点G；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，若，求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴①________， ∵， ∴②________， ∴， ∴③________， ∵平分， ∴④________， 在△ABE和△AGE中， ， ∴（⑤________）， ∴． 20. 2025年3月16日，2025重庆长寿湖半程马拉松比赛在长寿湖畔鸣枪起跑．某校为了解学生对长寿湖半程马拉松比赛的了解情况，举办了长寿湖半程马拉松知识竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．）． 下面给出部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩为：68，70，74，76，81，82，82，82，82，83，84，86，88，93，94，96，97，98，100，100 八年级20名学生的竞赛成绩分布如扇形图所示，其中在B组的数据是： 84，86，84，82，88，84，86，88，84 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.8 83.5 b 94 八年级 85.8 a 84 102 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为这次竞赛中该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校七年级有名学生，八年级有1100名学生参加了此次知识竞赛，请你结合数据，估计七、八年级学生中半程马拉松比赛竞赛成绩在90分及以上的学生共有多少人？ 21. 如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． （1）求修建的公路的长； （2）若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 22. 每年的4月23日为“世界读书日”，育才中学为了培养学生的阅读兴趣，计划开展以“春来复‘书’，万物生长”为主题的读书月活动．校读书社计划购买A、B两类图书，据了解，其中A类图书的单价比B类图书的单价少10元，用360元单独购买B类图书的数量是用360元单独购买A类图书数量的． （1）求A类图书和B类图书的单价分别是多少? （2）在这次活动中，校读书社准备统一采购这两类图书共120本，且购买的A类图书的数量，不超过B类图书数量的，由于采购量比较大，书店打折优惠，其中A类图书打9折出售，B类图书单价降价6元出售，求购买A类图书多少本时，总费用最低，并求出最低费用． 23. 如图1，在平行四边形中，，过点B作于点E，，．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点E时停止．设点P的运动时间x秒，的面积为y． （1）请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____． （3）若直线与该函数图象恰有两个交点，则常数b的取值范围是_____． 24. 如图，直线：交轴于点，交轴于点．直线过点交轴于点． （1）求直线的解析式； （2）x轴上存在点D，使得，求点D的坐标； （3）在第一象限内是否存在一点使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 25. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，E为边BC上一点． （1）如图1，F为AB上一点，且BF=CE，连接CF、AE交于点P，求∠APF； （2）如图2，BE>CE，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转120°得到AH，连接CH交AB于点M，求证：BM=AM+CE； （3）在（2）的条件下，若E为直线BC上一动点，连接DH，当DH最小时，直接写出△DEH的面积． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 数学试卷 一、选择题（共10小题，每小题4分） 1. 下列各式中，是分式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了分式，熟练掌握分母整式中含有字母是解题的关键． 【详解】解：根据题意，得是分式，其余都不是，故B正确． 故选：B． 2. 下列二次根式中，最简二次根式是（　　） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据最简二次根式的概念判断即可． 【详解】解：A、，被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意； B、＝，被开方数中含能开得尽方的因数，不是最简二次根式，不符合题意； C、，是最简二次根式，符合题意； D、＝|x|，被开方数中含能开得尽方的因式，不是最简二次根式，不符合题意； 故选：C． 【点睛】本题考查的是最简二次根式的概念，被开方数不含分母、被开方数中不含能开得尽方的因数或因式的二次根式，叫做最简二次根式． 3. 甲、乙、丙、丁四名射击运动员各进行20次射击测试，他们的测试平均成绩相同，方差分别是，，，，则这四名射击运动员中成绩最稳定的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了方差，方差是反映一组数据的波动大小的一个量，方差越大，则平均值的离散程度越大，稳定性也越小；反之，则它与其平均值的离散程度越小，稳定性越好．根据方差的意义即可得出结论． 【详解】解：，，，，且， 丁的方差最小， 成绩最稳定的是丁． 故选：D． 4. 随着人们对网上购物的热衷程度日益增长，快递业务也随之快速增加，某快递公司为快递员更换了快捷的交通工具，公司投递快件的能力由每周3600件提高到4800件，平均每人每周比原来多投递60件，若快递公司的快递员人数不变，求原来平均每人每周投递快件多少件．设原来平均每人每周投递快件x件，则可列方程为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了由实际问题抽象出分式方程，找准等量关系，正确列出分式方程是解题的关键．设原来平均每人每周投递快件件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件件，根据快递公司的快递员人数不变，即可得出关于的分式方程，此题得解． 【详解】解：设原来平均每人每周投递快件件，则更换了快捷的交通工具后平均每人每周投递快件件， 依题意得：． 故选：A 5. 已知关于的函数和，它们在同一坐标系内的图象大致是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的图象的判断，根据反比例函数判断出的取值，进而判断出一次函数所在象限即可，熟练掌握反比例函数与一次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：A、由反比例函数图象可得，即，∴一次函数应经过一、三、四象限，故A选项正确； B、由反比例函数图象可得，即，∴一次函数应经过一、二、四象限，故B选项错误； C、由反比例函数图象可得，即，∴一次函数应经过一、二、四象限，故C选项错误； D、由反比例函数图象可得，即，∴一次函数应经过一、三、四象限，故D选项错误； 故选：A． 6. 若一次函数（为常数且）的图像经过点，，则下列说法中，正确的是（ ） A. 该函数图像不经过第三象限 B. 关于的方程的解为 C. 该函数图像与坐标轴围成的三角形面积为8 D. 该函数值随的增大而增大 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了待定系数法求一次函数解析式、一次函数的图像与性质等知识，正确求得函数解析式是解题关键．首先利用待定系数法求一次函数解析式为，根据的取值范围确定函数图像经过的象限，即可判断选项A；确定该函数图像与轴交点，即可判断选项B；确定函数图像与轴交点，结合该函数图像与轴交点，计算函数图像与坐标轴围成的三角形面积，即可判断选项C；根据的取值范围确定增减性，即可判断选项D． 【详解】解：将点，代入一次函数， 可得，解得， 所以，该一次函数的解析式为， ∵，， ∴该函数图像经过第二、三、四象限，不经过第一象限，故选项A错误，不符合题意； 对于一次函数，令，可得， 即该函数图像与轴交点为， ∴关于的方程的解为，故选项B错误，不符合题意； 对于一次函数，令，可得， 即该函数图像与轴交点为， ∴函数图像与坐标轴围成的三角形面积，故选项C正确，符合题意； ∵， ∴该函数值随的增大而减小，故选项D错误，不符合题意． 故选：C． 7. 小泽和小帅分别从甲地骑自行车沿同一条路到乙地．如图是小泽和小帅离甲地的距离y（单位：千米）与时间x（单位：小时）之间函数关系的图象．根据图中信息，下列说法有误的是（ ） A. 从甲到乙地共24千米 B. 小帅的骑车速度为8千米/小时 C. 小泽出发0.5小时后小帅才出发 D. 当小帅到达乙地时，小泽距乙地还有4千米 【答案】B 【解析】 【分析】本题首先要读懂轴及轴表示的实际意义是什么，可通过单位获取信息，分别是时间和距离甲地的路程，从轴的最大值和最小值的差，可以得出甲、乙两地的距离；本题并没有指明小帅的出发时间，不能主观猜测，纵观整张图，可以从表示小帅运动的图象中，找点关键点和，求出小帅的速度，再借助路程公式，求出小帅出发的时间；同理，小泽在小帅到达终点后，距乙地的距离，也可利用关键点和，求出小泽行驶了8千米时的速度，便可求出小泽行驶2小时时，距离乙地的距离． 【详解】解：A、纵轴表示的是小帅与小泽从甲地出发前往乙地，距甲地的距离，且最小值为0千米，最大值都为24千米， 甲、乙两地的距离为：（千米）； 故选项正确，不符合题意； B、由图可知小帅从甲地匀速行驶前往乙地，小泽行驶1小时后，小帅从距离甲地8千米的地方继续匀速行驶，小泽行驶2小时后到达终点，此时距离甲地24千米， （千米小时）， 故选项错误，符合题意； C、（千米小时）， 小帅行驶8千米所用的时间为：（小时）， 小帅出发前，小泽行驶的时间为：（小时），即小泽出发0.5小时后小帅才出发，故选项正确，不符合题意； D、小泽出发0.5小时时，行驶了8千米，之后匀速行驶，行驶了2.5小时后，到达终点，此时距离甲地24千米， 小时后（千米小时）， 当小帅到达终点时，小泽一共行驶了2小时， （千米）， 小泽一共行驶了：（千米），则小泽距离乙地还有：（千米）， 故选项正确，不符合题意， 故选：B． 【点睛】本题考查了一次函数的综合应用，解题的关键是读懂一次函数图象的实际意义，要抓住关键的转折点，结合转折点的横、纵坐标，理解其代表的实际意义，理清题意，才能准确答题． 8. 如图，在中，平分，交边于点，过点作交的延长线于点，交于点，则图中一定是等腰三角形的有（　　） A. 3个 B. 4个 C. 5个 D. 6个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了等腰三角形的性质与判定，角平分线的定义，平行四边形的性质，先由平行线的性质得到，，再由角平分线的定义推出，进而由三线合一定理推出，据此可得答案． 【详解】解：∵在中，，， ，， 平分， ， ， ∴，即是等腰三角形； ， ， ， ∴，即是等腰三角形；，即是等腰三角形；，即是等腰三角形； ∴共有四个等腰三角形．分别是， 故选：B． 9. 如图，在正方形中，，为中点，点在边上，连接、，若，则的长为（    ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】作的平分线交于点，连接，过点作于点，则，，进而得，根据点是的中点得，证明和全等得，则，证明和全等得，，则，再依据“”判定和全等，设，则，，然后在中，由勾股定理求出，继而可得的长． 【详解】解：如下图所示：作的平分线交于点，连接，过点作于点， ，，， ， ， 四边形是正方形，， ，， 点是的中点， ， 在和中， ， ， ， ， 即， 在和中， ， ， ，， ， ， 和都是直角三角形， 在和中， ， ， ， 设， ，， 在中，由勾股定理得：， ， 解得：， ． 故选：C． 【点睛】本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，理解正方形的性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理是解决问题的关键． 10. 已知整式M：，规定：M中各项系数之和为A，M中各项次数之和为B，，其中n，为自然数，，为正整数，且．例如，当，时，整式，则，，下列说法： ①当时，满足条件的整式M共有4个； ②当时，满足条件的所有整式M的和为； ③满足条件的整式M共有13个． 其中正确的个数是（ ） A. 0 B. 1 C. 2 D. 3 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查的是整式的规律探究，分类讨论思想的应用，由条件可得，再分类讨论，依次判断得到答案即可． 【详解】解：∵为自然数，为正整数，且， ∴， 当时，则， ∴， ∵， ∴， ∴满足条件的整式M共有4个，故①正确； 当时，当时，，不符合题意； 当时，， ∴， ∴， 满足条件的整式有：， 当时，， ∴， ∴，， 满足条件的整式有：，， ∴满足条件的所有整式M的和为，故②错误； 由①得当时，满足条件的整式M共有4个； 当时，则， ∴ ∴，，，满足条件的整式M共有6个； 当时，则， ∴ ∴，，，满足条件的整式M共有4个； 当时，则， ∴ ∴，满足条件的整式M共有1个； 当时，则，（不符合题意，舍去） ∴满足条件的整式共有个．故③错误； 故选B 二、填空题（共6小题，每小题4分） 11. 在中，的取值范围为______． 【答案】x>-3 【解析】 【分析】根据二次根式的被开方数是非负数、分母不为0列出不等式，解不等式得到答案． 【详解】解：由题意得：2x+6>0， 解得：x>-3， 故答案为：x>-3． 【点睛】本题考查的是二次根式有意义的条件，掌握二次根式的被开方数是非负数、分母不为0是解题的关键． 12. 如图，，若，则_____度． 【答案】40 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，余角的性质，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 先根据互余求出，再根据平行得到内错角相等即可求解． 【详解】解：∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， 故答案为：40． 13. 若是关于x的方程的解，则的值为_____ 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是一元二次方程的解的定义及求代数式的值．一元二次方程的解，就是能够使方程左右两边相等的未知数的值．即用这个数代替未知数所得式子仍然成立．把代入方程得出，然后将原式化简，整体代入求解即可． 【详解】解：把代入方程得，， ∴， ∴ 故答案为：． 14. 若关于m的不等式组有解且最多有4个整数解，且关于x的一次函数的图象不经过第四象限，则满足条件的所有整数a的和为_______． 【答案】21 【解析】 【分析】先分别解不等式组中的两个不等式，根据不等式组有解且最多4个整数解确定的范围；再根据一次函数图象不经过第四象限的条件确定的另一范围，综合两个范围得到的取值，最后求满足条件的整数的和．本题主要考查了一元一次不等式组的解法、整数解的确定以及一次函数图象性质，熟练掌握不等式组的求解步骤和一次函数图象与系数的关系是解题的关键． 【详解】解：解不等式： ， ， ． 解不等式： ， ， ． 因为不等式组有解，所以，即；又因为最多有4个整数解，大于2的连续4个整数为3、4、5、6，所以，即，故． 对于一次函数，图象不经过第四象限，则． 解，得； 解，得． 所以． 综合与，得，满足条件的整数为6、7、8． 它们的和为． 故答案为：21． 15. 如图，正方形外取一点E，连接．过点A作的垂线交于点P，若，，则的大小为_______，四边形的面积大小为_______． 【答案】 ①. ②. 6 【解析】 【分析】此题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，理解正方形的性质，熟练掌握全等三角形的判定与性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积公式，勾股定理是解决问题的关键．证明是等腰直角三角形得，则，再证明和全等得；过点A作于点F，先求出，得，证明和，则可求出，进而得，由勾股定理得，则正方形的面积为10，再求出，，继而得，据此即可得出四边形的面积． 【详解】解：∵，， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴， 在正方形中，，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， 过点A作于点F，如图所示： 在等腰中，， 由勾股定理得：， ∵， ∴， 在中，， ∴是直角三角形， ∵，， 由勾股定理得：， ∴， ∴， 在中，由勾股定理得：， ∴正方形的面积为10， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 故答案为：；6． 16. 我们规定，一个四位自然数，各数位数字均不相同且均不为零，满足，则称该自然数为“长久”数，．如1386满足，所以1386是“长久”数，，如2772满足，但不满足各数位数字均不相同，所以2772不是“长久”数．若四位自然数（且x，y均为整数）是“长久数”，则_____；已知四位自然数（且a，b，c，d均为整数）是“长久”数，将B的千位数字作为十位数字，将B的十位数字作为个位数字得到的两位数记为s，将B的百位数字作为十位数字，将B的个位数字作为个位数字得到的两位数记为t，若是整数，且能被10整除，则满足条件的B的最大值为_____ 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题主要考查了新定义，根据题意可得四位数A的千位数字为，十位数字为，当时，四位数的百位数字为，此时不是“长久数”，则，进而可得，解得，则四位数即为，；分当时，B的千位数字为a，百位数字为，十位数字为，个位数字为，当时， 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为，两种情况求出对应的、，，进而表示出，再根据是整数，且能被10整除推出b与c的关系式，据此讨论求解即可． 【详解】解：，，， 四位数的千位数字为，十位数字为， 当时，四位数的百位数字与十位数字均为， 不是“长久数”， ， 四位数的百位数字为， ， ， 四位数即为， ； 当时， ，且， 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ，， ， ， ， ； ， ， 能被整除， 一定能被整除， 一定能被整除， 或， 当时， ， 此时，，不符合题意； 当时，则， 是整数， 一定能被整除， 或或或， 当时， ，， ， ， 此时为； 当时， ，(不符合题意，舍去）； 当时， 可得：，， ， ， 为； 当时， 可得：，(不符合题意，舍去)； 当时， ，且，，，， 的千位数字为，百位数字为，十位数字为，个位数字为， ，， ， ， ， ； ∵ ， ， 能被整除， 一定能被整除， 一定能被整除， 或， 当时， ， ，不符合题意； 当时，则 是整数， 一定能被整除， 或或或， 当时， 要满足最大，则首先要满足最大， 当时，， ， ， 此时为； 当或或时，此时的值一定小于， 综上所述，的最大值即为， 故答案为：；． 三、解答题（共9小题，其中17、18题8分，其余每小题10分） 17. 计算 （1） （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的加减运算以及解分式方程，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． （1）先化简各二次根式，然后按顺序进行加减运算即可； （2）先将分式方程转化为整式方程，求解并检验即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：， 方程两边同乘得： ， ， ， 检验：当时，， ∴原分式方程的解是． 18. 先化简，再求值：，其中 【答案】． 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，分母有理化，先把小括号内的式子通分化简，再把第一个分式的分子与分母分解因式后约分，接着把除法变成乘法后约分化简，最后计算分式减法化简并代值计算即可得到答案． 【详解】解： 当时，原式． 19. 如图，在平行四边形中，，于点F． （1）用尺规完成以下基本作图：作的平分线交BC于点E，连接交于点G；（保留作图痕迹，不写作法） （2）在（1）所作的图形中，若，求证：．（请补全下面的证明过程） 证明：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴①________， ∵， ∴②________， ∴， ∴③________， ∵平分， ∴④________， 在△ABE和△AGE中， ， ∴（⑤________）， ∴． 【答案】（1） 如图所示， （2）①；②；③；④；⑤ 【解析】 【分析】（1）先利用尺规作出的平分线，再连线即可； （2）根据平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质，对推理过程逐一分析，再填空． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 证明：（1）∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵平分， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴． 故答案为：①；②；③；④；⑤． 【点睛】本题考查了尺规作角平分线，平行四边形的性质，全等三角形的判定，平行线的性质等知识点，解题关键是准确作出图形． 20. 2025年3月16日，2025重庆长寿湖半程马拉松比赛在长寿湖畔鸣枪起跑．某校为了解学生对长寿湖半程马拉松比赛的了解情况，举办了长寿湖半程马拉松知识竞赛，现从该校七、八年级学生中各随机抽取20名学生的竞赛成绩（百分制）进行整理、描述和分析（成绩得分用x表示，共分为四组：A．；B．；C．；D．）． 下面给出部分信息： 七年级20名学生竞赛成绩为：68，70，74，76，81，82，82，82，82，83，84，86，88，93，94，96，97，98，100，100 八年级20名学生的竞赛成绩分布如扇形图所示，其中在B组的数据是： 84，86，84，82，88，84，86，88，84 七、八年级抽取的学生竞赛成绩统计表 年级 平均数 中位数 众数 方差 七年级 85.8 83.5 b 94 八年级 85.8 a 84 102 根据以上信息，回答下列问题： （1）直接写出：______，______，______； （2）根据以上数据，你认为这次竞赛中该校七、八年级中哪个年级学生的竞赛成绩更好？请说明理由（一条理由即可）； （3）若该校七年级有名学生，八年级有1100名学生参加了此次知识竞赛，请你结合数据，估计七、八年级学生中半程马拉松比赛竞赛成绩在90分及以上的学生共有多少人？ 【答案】（1）85，82，15 （2）七年级的学生竞赛成绩更好， 理由：七、八年级学生竞赛成绩的平均数相同均为85.8，但七年级学生竞赛成绩的方差94小于八年级学生竞赛成绩的方差102(答案不唯一) ； （3）575人 【解析】 【分析】本题考查扇形统计图、用样本估计总体、求中位数、众数； （1）根据众数的定义求得，利用八年级20名学生的竞赛成绩在B组的人数除以样本总数求得其所占的百分比，进而求得，最后根据中位数的定义求得； （2）根据平均数、方差的意义进行求解即可； （3）先分别利用七、八年级学生中半程马拉松比赛竞赛成绩在90分及以上的学生除以样本总数求得其所占的百分比，再分别利用其所占的百分比乘以其年级的总人数，再求和即可． 【小问1详解】 解：由题意得，八年级20名学生的竞赛成绩在B组所占百分比为：， ∴， ∵把八年级20名学生的竞赛成绩按照从小到大的顺序排列，处于最中间的两个数分别为84、86， ∴， 由题意得，， 故答案为：85，82，15； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 答：估计七、八年级学生中半程马拉松竞赛成绩在90分及以上的人数约为575人． 21. 如图，在笔直的公路旁有一座山，为方便运输货物现要从公路上的D处开凿隧道修通一条公路到C处，已知点C与公路上的停靠站A的距离为，与公路上另一停靠站B的距离为，停靠站A、B之间的距离为，且． （1）求修建的公路的长； （2）若公路修通后，一辆货车从C处经过D点到B处的路程是多少？ 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】此题考查了勾股定理及其逆定理的应用． （1）先利用勾股定理的逆定理可得是直角三角形，，再结合三角形的面积求出的长即可； （2）先利用勾股定理求出的长，再利用线段的和差求解即可。 【小问1详解】 解：∵，， ∴是直角三角形，， ∵， ∴． 故修建的公路的长是； 【小问2详解】 解：在中，， 一辆货车从C处经过D点到B处的路程． 故一辆货车从C处经过D点到B处的路程是． 22. 每年的4月23日为“世界读书日”，育才中学为了培养学生的阅读兴趣，计划开展以“春来复‘书’，万物生长”为主题的读书月活动．校读书社计划购买A、B两类图书，据了解，其中A类图书的单价比B类图书的单价少10元，用360元单独购买B类图书的数量是用360元单独购买A类图书数量的． （1）求A类图书和B类图书的单价分别是多少? （2）在这次活动中，校读书社准备统一采购这两类图书共120本，且购买的A类图书的数量，不超过B类图书数量的，由于采购量比较大，书店打折优惠，其中A类图书打9折出售，B类图书单价降价6元出售，求购买A类图书多少本时，总费用最低，并求出最低费用． 【答案】（1）A类图书单价是元，B类图书的单价为元． （2）购买A类图书本，总费用最低，最少费用是元． 【解析】 【分析】本题考查一次函数、分式方程和一元一次不等式的应用，掌握分式方程和一元一次不等式的解法和一次函数的增减性是解题的关键． （1）设A类图书单价是x元，B类图书的单价为元，根据题意，列方程并求解即可； （2）设购买A类图书m本，则购买B类图书本，根据题意列关于m的一元一次不等式并求解；采购这两类图书费用为w元，写出w关于m的函数关系式，根据该函数的增减性和m的取值范围进行解答即可． 【小问1详解】 解：设A类图书单价是x元，B类图书的单价为元． 根据题意，得， 解得， 经检验，是所列分式方程的解， （元）， ∴A类图书单价是元，B类图书的单价为元． 【小问2详解】 解：设购买A类图书m本，则购买B类图书本． 根据题意，得， 解得； 设采购这两类图书费用为w元，则， ∵， ∴w随m的增大而减小， ∴当时，w的值最小，， ∴购买A类图书本，总费用最低，最少费用是元． 23. 如图1，在平行四边形中，，过点B作于点E，，．点P从点A出发，以每秒1个单位的速度沿折线运动，到达点E时停止．设点P的运动时间x秒，的面积为y． （1）请直接写出与的函数关系式，并注明自变量的取值范围； （2）在如图2所示的平面直角坐标系中画出y的函数图象，并写出函数y的一条性质：_____． （3）若直线与该函数图象恰有两个交点，则常数b的取值范围是_____． 【答案】（1） （2） 函数图象如图： 当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小 （3） 【解析】 【分析】（1）直接确定三角形的底和高求解即可，注意分类讨论； （2）先确定然后连接即可画出图象，再观察函数图象，可以从增减性写出函数的一条性质； （3）通过平移直线， 与相交，找到有两个交点时的临界点，根据函数图象求解即可． 【小问1详解】 解：在平行四边形中，，过点作于点． ， ， ， ， ， ， ∵点P从点出发，以每秒 1 个单位的速度沿折线运动，到达点时停止，设点的运动时间为秒，的面积为， ∴当点P到达点时（秒），当点到达点时（秒）， ∴当时，点在线段上， 此时； 当时，点P在线段上， 此时； ∴与的函数关系式为； 【小问2详解】 解：由函数图象可得：当时，y随x增大而增大；当时，y随x增大而减小； （答案不唯一）； 【小问3详解】 解：平移直线与相交，函数图象如图： 把代入可得； 把代入可得， 解得：； 把代入可得， 解得； 由函数图象可得，直线与该函数图象有两个交点， 则常数的取值范围是． 【点睛】本题是一次函数综合题，考查了动点的函数，包括求函数的解析式，画函数图象，根据图象写函数的性质，比较函数值的大小，平行四边形的性质，勾股定理，解答本题的关键是熟练运用数形结合的思想解决问题． 24. 如图，直线：交轴于点，交轴于点．直线过点交轴于点． （1）求直线的解析式； （2）x轴上存在点D，使得，求点D的坐标； （3）在第一象限内是否存在一点使得，若存在，请直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由． 【答案】（1） （2）D的坐标为或 （3）存在，P的坐标为或 【解析】 【分析】（1）根据直线求得点A，利用待定系数法即可求得直线； （2）在x轴正半轴取一点，使得，由于，则，结合，则有，根据即可求得点，同理可求得与点对称点； （3）设直线与x轴交于点Q，过点Q作于点T，则有，得到，进一步有，设点，利用等面积法得，利用勾股定理得，解得，可求得直线解析式，由题意得点P在直线上，即可求得点；因为另一个点与点关于点N对称，利用中点坐标即可求得． 【小问1详解】 解：直线：交轴于点，当，则，则点， 设直线的解析式， ， 解得， 则直线的解析式； 【小问2详解】 解：在x轴正半轴取一点，使得，如图， ∵直线：交轴于点，当，则， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴； 同理，在x轴负半轴也存在， 故点D的坐标为或； 【小问3详解】 解：设直线与x轴交于点Q，过点Q作于点T，如图， ∵， ∴， 则， ∵，， ∴， 设点，则， 那么，， 即， 解得或（舍去）， 则直线解析式为， ∵第一象限内的点， ∴点P在直线上， ， 解得， 则点， ， 解得， 则点， ∵点与点关于直线对称， ∴， 解得， 则点， 故满足条件的点P的坐标为：或． 【点睛】本题主要考查一次函数的性质，涉及待定系数法求一次函数、等腰三角形的性质、三角形等面积法、勾股定理、中点公式和解一元二次方程，解题的关键是理解一次函数的性质和等面积法． 25. 如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠ABC=60°，E为边BC上一点． （1）如图1，F为AB上一点，且BF=CE，连接CF、AE交于点P，求∠APF； （2）如图2，BE>CE，连接AE，将AE绕点A顺时针旋转120°得到AH，连接CH交AB于点M，求证：BM=AM+CE； （3）在（2）的条件下，若E为直线BC上一动点，连接DH，当DH最小时，直接写出△DEH的面积． 【答案】（1）； （2） 证明：如图，在上截取，连接、，与相交于点P， 由（1）知，， ∴， 由旋转性质知，， ∴，， ∴， ∴， 在和中 ∵ ∴（） ∴， ∵， ∴； （3） 【解析】 【分析】（1）先利用菱形的性质，结合，可证明为等边三角形，再利用证明，从而可得，进而求得； （2）先利用证明，从而可得，结合，可得； （3）连结并延长到，使，过点作交直线于点，当点在直线上运动时，点在直线上运动，当时，有最小值，此时，与重合，与重合，再利用等边三角形的性质，得出，然后根据菱形的性质得出，再根据平行线的性质得出，从而可得，再利用含有角的直角三角形的性质求得，最后利用勾股定理求得． 【小问1详解】 解：如图，连接， ∵四边形为菱形， ∴， 又∵， ∴为等边三角形， ∴，， 在和中， ∵， ∴（）， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 连结并延长到，使，过点作交直线于点， 当点在直线上运动时，点在直线上运动， 当时，有最小值， 此时，如图，与重合，与重合， 由（1）知为等边三角形， ∴，， ∴， ∵四边形为菱形， ， ， ， ， ． 【点睛】本题考查了菱形的性质，全等三角形的判定与性质，等边三角形判定与性质，平行线的性质，含有角的直角三角形的性质，解题关键是准确作出辅助线． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $