精品解析：河北省保定市部分高中2025-2026学年高三上学期开学考试数学试题

高三上学期开学考 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 4. 已知是抛物线上两点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 5. 下列区间中，函数存在零点的是（ ） A. B. C. D. 6. 圆上的点到直线的距离可能为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 7. 我们称各个数位上的数字之和为8的三位数为“幸运数”，例如107和224，则所有的“幸运数”共有（ ） A. 66个 B. 55个 C. 36个 D. 28个 8. 在中，是关于的方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有一组数据，则（ ） A. 该组数据的极差为70 B. 该组数据的众数为30 C. 该组数据的第60百分位数为40 D. 该组数据的平均数为60 10. 已知函数的最小正周期为，且，则（ ） A. B. C. 在上恰有4个零点 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象 11. 如图，这是一副直角三角板组成的平面图形，从中抽象出四边形，其中，.现将沿着折起，连接，得到三棱锥，取的中点分别为，连接.下列结论正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的最大值为 C. 若，则三棱锥外接球的半径为 D. 若，则直线与平面所成的角为 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量.若，则__________. 13. 已知为坐标原点，为双曲线的左焦点，过且斜率为的直线与在第二象限交于点，线段的中点为.若，则的离心率为__________. 14. 已知是定义域为的奇函数，的导函数为，且当时，恒成立.若关于的方程有解，则正实数的取值范围为__________. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 16. 如图，在正三棱柱中，，是的中点. （1）证明：平面. （2）求点到平面的距离. 17. 某新能源汽车门店为了解某款汽车的销售情况，将每个月的销售量（单位：辆）进行等级划分：若当月的销售量在内，则等级为“良”；若当月的销售量在内，则等级为“优”；若当月的销售量在内，则等级为“特优”.已知该门店该款汽车2024年每个月的销售量如表所示. 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 销售量 65 23 31 42 52 28 37 45 44 51 25 38 （1）求2024年月销售等级为“特优”的频率. （2）若从2024年任选两个月的销售情况进行分析，求至少有一个销售等级为“良”的月份被选中的概率. （3）为了鼓励销售团队，销售等级为“良”“优”“特优”的月份销售团队将分别获得5万元、10万元、20万元的奖金.以2024年各销售等级的频率代替2026年各销售等级的概率，记销售团队2026年某两个月获得的总奖金为万元，求的分布列与期望. 18. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）若，证明：. 19. 已知动点到点的距离与它到直线的距离的比值为，记的运动轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）设、是与轴的交点，是上异于、的一点，直线、的斜率分别为、.证明：为定值. （3）已知为坐标原点，点，、是上异于的两点，若直线与的斜率之和为，求的面积的最大值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三上学期开学考 数学 注意事项： 1.答题前，考生务必将自己的姓名､考生号､考场号､座位号填写在答题卡上. 2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上.写在本试卷上无效. 3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 4.本试卷主要考试内容：高考全部内容. 一､选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知复数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据复数的运算法则计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：A. 2. 已知集合，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】化简集合A，再利用交集的定义直接求解. 【详解】依题意，，而，所以. 故选：C 3. 已知实数满足，则的最小值为（ ） A. B. C. 3 D. 6 【答案】B 【解析】 【分析】根据给定条件，利用基本不等式求出最小值. 【详解】依题意，，， 由，得，当且仅当即时取等号， 所以的最小值为. 故选：B 4. 已知是抛物线上两点，则（ ） A. 1 B. 2 C. 4 D. 8 【答案】B 【解析】 【分析】根据点在抛物线上，建立方程组解出对应的参数，可得的值. 【详解】由在抛物线上上， 可得解得 故选：B. 5. 下列区间中，函数存在零点的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】分段讨论，通过求函数值的范围和解方程的方法，求出函数零点所在区间. 【详解】当时，，不存在零点. 当时，，由，可得. 因为，所以的零点在区间内. 故选：A. 6. 圆上的点到直线的距离可能为（ ） A. 8 B. 6 C. 4 D. 2 【答案】D 【解析】 【分析】先求出圆心到直线的距离，进而求解即可. 【详解】由圆，圆心，半径为， 由题可知，圆心到直线的距离， 则圆上的点到直线的距离的取值范围为. 故选：D. 7. 我们称各个数位上的数字之和为8的三位数为“幸运数”，例如107和224，则所有的“幸运数”共有（ ） A. 66个 B. 55个 C. 36个 D. 28个 【答案】C 【解析】 【分析】按照首位数字为1~8进行分类，相加得到答案. 【详解】当首位数字为1时，后两位相加为7， “幸运数”分别是116,161,125,152,134,143,107,170，共8个； 当首位数字为2时，后两位相加为6， “幸运数”分别是206,260,215,251,224,242,233，共7个； 当首位数字为3时，后两位相加为5，“幸运数”分别是305,350,314,341,323,332，共6个； 当首位数字为4时，后两位相加为4，“幸运数”分别是404,440,413,431,422，共5个； 当首位数字为5时，后两位相加为3，“幸运数”分别是503,530,512,521，共4个； 当首位数字为6时，后两位相加为2，“幸运数”分别是602,620,611，共3个； 当首位数字为7时，后两位相加为1，“幸运数”分别是701,710，共2个； 当首位数字为8时，后两位相加为0，“幸运数”是800，共1个. 因此，所有的“幸运数”共有个. 故选：C. 8. 在中，是关于的方程的两个实数根，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，由韦达定理结合正切函数的和角公式，代入计算，即可得到结果. 【详解】由题可得则， 则，所以为钝角，则均为锐角， 所以 解得. 故选：D 二､多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 现有一组数据，则（ ） A. 该组数据的极差为70 B. 该组数据的众数为30 C. 该组数据的第60百分位数为40 D. 该组数据的平均数为60 【答案】AB 【解析】 【分析】利用所给数据，结合极差，众数，百分位数，平均数的公式进行计算即可. 【详解】由题可知，该组数据的极差为，众数为30，故A，B正确； 因为，故该组数据第60百分位数为第5个数据，故C错误； 该组数据的平均数为，故D错误. 故选：AB. 10. 已知函数的最小正周期为，且，则（ ） A. B. C. 在上恰有4个零点 D. 将的图象向右平移个单位长度后得到一个偶函数的图象 【答案】BD 【解析】 【分析】由函数的周期及最值求得，进而逐项判断即可. 【详解】因为的最小正周期为，所以，A不正确. 由，得，则. 因为，所以，B正确. 所以，由，得， 由， 可得和， 得和， 则在上恰有2个零点，C不正确. 由，得，是偶函数，D正确. 故选：BD 11. 如图，这是一副直角三角板组成的平面图形，从中抽象出四边形，其中，.现将沿着折起，连接，得到三棱锥，取的中点分别为，连接.下列结论正确的是（ ） A. B. 直线与所成角的最大值为 C. 若，则三棱锥外接球的半径为 D. 若，则直线与平面所成的角为 【答案】ABD 【解析】 【分析】对于A，通过证明平面可判断；对于B，易得当点在平面上的投影为点时，取得最大值；对于C，易得平面，球心在过点且与平面垂直的直线上，设球心到点的距离为，外接球半径为，根据即可求解；对于D，过点作的平行线，并与的延长线交于点，连接，易得平面，则直线与平面所成的角为，解三角形求出即可. 【详解】因为为的中点，，所以. 又是的中点，所以， 由，可得，又平面， 所以平面，从而，故A正确； 由题可知，是直线与所成的角或其补角， 由平面，可得平面平面， 则点在平面上的投影在直线上的一段线段内（包含）， 当点在平面上的投影为点时，取得最大值，且最大值为，故B正确； 当时，即，又平面，所以， 又平面，所以平面， 又是以为斜边的直角三角形， 所以三棱锥外接球的球心在过点且与平面垂直的直线上， 设球心到点的距离为，外接球半径为，则， 由题知， 所以，解得0， 则三棱锥外接球的半径为，故C不正确； 过点作的平行线，并与的延长线交于点，连接 易得平面，则直线与平面所成的角为， 在中，， 由，可得， 由，可得， 则，则，故D正确. 故选：ABD. 三､填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 已知向量.若，则__________. 【答案】8 【解析】 【分析】利用平面向量坐标的线性运算求得，再由向量垂直的坐标运算列式求解即可． 【详解】因为，所以. 又，所以， 解得. 故答案为：8. 13. 已知为坐标原点，为双曲线的左焦点，过且斜率为的直线与在第二象限交于点，线段的中点为.若，则的离心率为__________. 【答案】## 【解析】 【分析】记的右焦点为，连接,利用双曲线的性质求出的三边，代入余弦定理构造齐次式解出离心率即可. 【详解】记的右焦点为，连接, 因为线段的中点为为的中点，所以， 又因为是双曲线上一点，，所以， 由直线的斜率为，可得， 在中，由余弦定理可得， 即，整理得， 解得或（舍去），即的离心率为， 故答案为： 14. 已知是定义域为的奇函数，的导函数为，且当时，恒成立.若关于的方程有解，则正实数的取值范围为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由时，，得到与同号，求得的单调性，根据为奇函数，得到在和的单调性相同，方程有解，转化为，令，得到，结合二次函数的性质，即可求解. 【详解】由题意知，当时，恒成立，即与同号， 当时，可得，所以在上单调递增； 当时，可得，所以在上单调递减， 因为是定义域为的奇函数， 根据奇函数的性质，可得函数在关于原点对称的区间上单调性相同， 即在和的单调性相同，即要么递增，要么递减； 又因为， 由，可得，而， 要使方程有解，则， 令，则， 所以正实数的取值范围为. 故答案为：. 四､解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明､证明过程或演算步骤. 15. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求的通项公式； （2）求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据等差数列的通项公式和前项和公式进行求解即可； （2）根据绝对值的性质，运用分类讨论思想，结合等差数列的前项和公式进行求解即可. 【小问1详解】 设的公差为. 由， 可得 解得 则. 【小问2详解】 由（1）可知，当时，，则， 则. 当时，，则， 则. 故 16. 如图，在正三棱柱中，，是的中点. （1）证明：平面. （2）求点到平面的距离. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）将证明线面平行问题转换为证明线线平行问题，即在平面内寻找一条直线与要求直线平行；（2）通过等体积法求距离 【小问1详解】 证明：连接并与交于点，连接. 在正三棱柱中，四边形为矩形， 则是的中点. 因为是的中点，所以. 又平面平面， 所以平面. 【小问2详解】 由（1）可知平面， 所以点到平面的距离等于点到平面的距离. 因为三棱柱为正三棱柱，所以平面. 又平面，所以. 因为是的中点，所以. 因为，所以平面. 由，可得. 连接，则. 设点到平面的距离为， 则. 由，得， 解得，即点到平面的距离为. 17. 某新能源汽车门店为了解某款汽车的销售情况，将每个月的销售量（单位：辆）进行等级划分：若当月的销售量在内，则等级为“良”；若当月的销售量在内，则等级为“优”；若当月的销售量在内，则等级为“特优”.已知该门店该款汽车2024年每个月的销售量如表所示. 月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 销售量 65 23 31 42 52 28 37 45 44 51 25 38 （1）求2024年月销售等级为“特优”的频率. （2）若从2024年任选两个月的销售情况进行分析，求至少有一个销售等级为“良”的月份被选中的概率. （3）为了鼓励销售团队，销售等级为“良”“优”“特优”的月份销售团队将分别获得5万元、10万元、20万元的奖金.以2024年各销售等级的频率代替2026年各销售等级的概率，记销售团队2026年某两个月获得的总奖金为万元，求的分布列与期望. 【答案】（1） （2） （3）分布列见解析， 【解析】 【分析】（1）结合题设数据直接求解即可； （2）结合组合知识及古典概型的概率公式求解即可； （3）先求出每个月的销售等级为“良”“优”“特优”的概率，由题意可得的可能取值为，进而求出对应的概率值，再计算数学期望. 【小问1详解】 由题可知，2024年中1月、5月、10月的销售等级均为“特优”， 故2024年月销售等级为“特优”的频率为. 【小问2详解】 由题可知，2024年2月、6月、11月的销售等级均为“良”， 从2024年中任选两个月的销售情况进行分析， 则至少有一个销售等级为“良”的月份被选中的概率为 （或）. 【小问3详解】 由题可知，2024年，有6个月的销售等级为“优”， 从而每个月的销售等级为“良”“优”“特优”的概率分别为， 的可能取值为， 且，，， 则的分布列为 10 15 20 25 30 40 . 18. 已知函数. （1）若，求曲线在点处的切线方程； （2）若在上单调递减，求的取值范围； （3）若，证明：. 【答案】（1） （2） （3）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由，得，求导，根据导数的几何意义即可得； （2）对函数求导得，令，则，再根据函数单调性与导数的关系可得； （3）由，可得，切线放缩后即可利用导数证明. 【小问1详解】 由，得，则，则， 从而曲线在点处的切线方程为，即. 【小问2详解】 由，得， 因为在上单调递减，所以在上恒成立， 令，则， 显然在上恒成立，则在上单调递减，即在上单调递减， 则，解得， 即的取值范围为. 【小问3详解】 由，可得. 令，则. 当时，单调递增，当时，单调递减， 则，即，当且仅当时，等号成立. 由，可得，则，当且仅当时，等号成立. 因为上面两个不等式的取等条件不同，所以， 从而当时，. 19. 已知动点到点的距离与它到直线的距离的比值为，记的运动轨迹为曲线. （1）求的方程. （2）设、是与轴的交点，是上异于、的一点，直线、的斜率分别为、.证明：为定值. （3）已知为坐标原点，点，、是上异于的两点，若直线与的斜率之和为，求的面积的最大值. 【答案】（1）； （2）证明见解析； （3）1 【解析】 【分析】（1）设，根据题意列出方程，化简即得曲线的方程； （2）根据题意，设，再结合斜率公式，代入化简整理即可； （3）根据直线的斜率是否存在，进行分类讨论.若直线的斜率不存在，可知此时不符合题意；若直线的斜率存在，则直线的方程为，与曲线联立，可得，再结合几何关系，求得面积的表达式，结合的取值范围进行求解即可. 【小问1详解】 设，由题可知， 整理得，即的方程为. 【小问2详解】 因为是与轴的交点，是上异于的一点， 由（1）可知，不妨设， 则. 又在上，所以， 所以， 故为定值，定值为. 【小问3详解】 若直线的斜率不存在，设， 因为直线与的斜率之和为， 则， 解得，不符合题意. 若直线的斜率存在，设直线的方程为， 由，整理得， 则，. 所以 ， 整理得. 若，则直线经过点，不符合题意. 若，则，得. 又，点到的距离， 所以的面积 . 由，得， 令，则，， 则当时，取得最大值， 所以， 故的面积的最大值为1. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $