21.3实际问题与一元二次方程知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版

本讲义聚焦“实际问题与一元二次方程”核心知识点，系统梳理从实际问题中抽象等量关系、列方程的步骤，涵盖数字、增长率、形积、运动点四类应用问题及“审设列解验答”六字诀，搭建起一元二次方程解法与实际应用的学习支架。 资料精选无人机降价、票房增长等真实情境题目，引导学生用数学眼光观察现实世界的数量关系，通过规范解题步骤培养推理能力（数学思维），列方程过程强化数学语言表达。课中助力教师高效教学，课后学生可通过分层练习巩固应用，查漏补缺。

21.3实际问题与一元二次方程知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 知识梳理 由实际问题抽象出一元二次方程 在解决实际问题时，要全面、系统地审清问题的已知和未知，以及它们之间的数量关系，找出并全面表示问题的相等关系，设出未知数，用方程表示出已知量与未知量之间的等量关系，即列出一元二次方程． 一元二次方程的应用 1、列方程解决实际问题的一般步骤是：审清题意设未知数，列出方程，解所列方程求所列方程的解，检验和作答． 2、列一元二次方程解应用题中常见问题： （1）数字问题：个位数为a，十位数是b，则这个两位数表示为10b+a． （2）增长率问题：增长率＝增长数量/原数量×100%．如：若原数是a，每次增长的百分率为x，则第一次增长后为a（1+x）；第二次增长后为a（1+x）2，即 原数×（1+增长百分率）2＝后来数． （3）形积问题：①利用勾股定理列一元二次方程，求三角形、矩形的边长．②利用三角形、矩形、菱形、梯形和圆的面积，以及柱体体积公式建立等量关系列一元二次方程．③利用相似三角形的对应比例关系，列比例式，通过两内项之积等于两外项之积，得到一元二次方程． （4）运动点问题：物体运动将会沿着一条路线或形成一条痕迹，运行的路线与其他条件会构成直角三角形，可运用直角三角形的性质列方程求解． 【规律方法】列一元二次方程解应用题的“六字诀” 1．审：理解题意，明确未知量、已知量以及它们之间的数量关系． 2．设：根据题意，可以直接设未知数，也可以间接设未知数． 3．列：根据题中的等量关系，用含所设未知数的代数式表示其他未知量，从而列出方程． 4．解：准确求出方程的解． 5．验：检验所求出的根是否符合所列方程和实际问题． 6．答：写出答案． 精选题练习 一．选择题（共8小题） 1．（2025春•道里区校级期中）端午节当天某班同学向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送1560份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　） A．x（x+1）＝1560 B．x（x﹣1）＝1560×2 C．x（x﹣1）＝1560 D．2x（x+1）＝1560 2．（2025•青秀区校级二模）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（　　） A．x（x+1）＝90 B．x（x+1）＝90 C．x（x﹣1）＝90 D．x（x﹣1）＝90 3．（2025•五华区校级模拟）在2025年的第五届中国国际消贵品博览会上，首次亮相的“低空经济展示专区”成为本届展会的一大亮点．在博览会上，某商家对一款无人机进行降价促销，其售价由最初的8000元经过两次降价后变为6480元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A．8000（1﹣2x）＝6480 B．8000（1+x）2＝6480 C．8000（1﹣x）2＝6480 D．8000（1﹣x2）＝6480 4．（2025•富民县三模）2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，截至2月18日已登顶全球动画电影票房榜首，在全球影史榜单排名还在上升．据网络平台数据统计在2月1日哪吒的单日票房为7.22亿，2月3日的单日票房达到8.43亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．7.22（1+2x）＝8.43 B．7.22（1+2x）2＝8.43 C．7.22（1+x2）＝8.43 D．7.22（1+x）2＝8.43 5．（2025•易门县二模）初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）．已知全组共赠送了306张卡片，如果该兴趣小组的人数为x人，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B．x（x﹣1）＝306 C． D．x（x+1）＝306 6．（2025•新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为x m，根据题意可列方程（　　） A．x（24﹣2x）＝40 B．x（24﹣x）＝40 C．2x（24﹣2x）＝40 D．2x（24﹣x）＝40 7．（2025•雁塔区校级一模）我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年5月新能源汽车销量约为95.5万辆，2024年7月新能源汽车销量约为99.1万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为x，则x满足的方程是（　　） A．95.5（1+2x）＝99.1 B．95.5（1+2x）2＝99.1 C．95.5（1+x）2＝99.1 D．95.5（1+x2）＝99.1 8．（2025•吴川市校级模拟）如图，从一块长10m、宽8m的长方形中间截去一个小长方形，使剩下的长方形框四周的宽度一样，且小长方形的面积为24m2，求长方形框的宽度．设长方形框的宽度为x m，则可列方程为（　　） A．（10﹣2x）（8﹣2x）＝24 B．（10+2x）（8﹣2x）＝24 C．（10﹣2x）（8+2x）＝24 D．（10+2x）（8+2x）＝24 二．填空题（共8小题） 9．（2025•鲤城区校级模拟）某药品原价60元/盒，降价两次后，现在售价48.6元/盒，则该药品平均降价率是 　 　 ． 10．（2024春•相山区校级期中）“国庆”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手28次，则参加聚会的人数是 　 　 ． 11．（2024春•徐汇区期末）某企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，如果这三年中每年的增长率相同，在求这三年中每年的增长率时，如果设这三年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是　 　 ． 12．（2024春•大同区校级期中）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长为 　 　 m时，猪舍面积为80m2． 13．（2024春•拱墅区校级期中）为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有100种种子，经过两年不断地努力，现在已有144种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为 　 　 ． 14．（2024秋•太谷区期中）某县开展老旧小区改造，2021年投入此项工程的专项资金为300万元，2022、2023年投入资金一共为1248万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　 　 ． 15．（2024春•花山区校级期中）如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t． （1）当点P和点Q距离是3cm时，t＝ 　 　 ． （2）当t＝ 　 　 ，△PQD为直角三角形（t≠0）． 16．（2024秋•怀仁市期中）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x＝14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形ABCD，它由四个全等的长方形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得x．根据此法，图中正方形ABCD的面积是 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2025•环翠区一模）“五一”期间，威海某景点迎来了大量游客．景区管理部门发现，景区单日门票收入与游客人数相关．若门票价格每降低10元，日均游客人数可增加50人；反之，每提高10元，日均游客人数减少50人．若当前门票价格为120元/人，日均游客量为2000人，原价定为多少元（以10元为调整单位），能使该景点“五一”某天的门票总收入为21万元？ 18．（2025春•界首市期中）如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC边上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积恰好为40m2． （1）求此时花圃AB边的长； （2）花圃的面积能达到50m2吗？若能，求出AB边的长；若不能，请说明理由． 19．（2025春•昭平县期中）山东潍坊风筝节期间，王大伯决定销售一批风筝，计划第一次购进熊猫和金鱼两种风筝共300个，熊猫风筝进价为20元，售价定为23元，金鱼风筝的进价为30元，售价定为36元． （1）若王大伯将这批风筝全部售完，要求总获利不低于1500元，求王大伯最多购进熊猫风筝多少个？ （2）王大伯第二次购进熊猫风筝的进价不变．由于销量火爆，王大伯决定购进熊猫风筝的数量在（1）中的最多进货量的基础上增加50m个，售价比第一次提高m元，最终这批熊猫风筝全部销售完后获利1000元，求m的值． 20．（2025春•青神县期中）东方超市销售一种利润为每千克10元的水产品，一个月能销售出500千克．经市场分析，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，若设单价每千克涨价x元，请解答以下问题： （1）填空：每千克水产品获利　 　 元，月销售量减少　 　 千克； （2）要使月销售利润达到8750元，又要“薄利多销”，销售单价应涨价为多少元？ （3）月销售利润能否达到10000元，若能，销售单价应涨价为多少元？若不能，请说明理由． 21．（2025春•利辛县期中）滁菊是安徽滁州特有的菊花，在我国药用菊花中排名第一．某抖音主播以每罐（35克）20元的价格新进一批滁菊，根据以往的销售经验，当销售价格定为每罐24元时，每天可售出200罐．后来经过市场调查发现，每罐滁菊的售价每涨价2元，则平均每天少卖出10罐，若设该种滁菊的售价为x（x＞24）元． （1）该抖音主播每天售出滁菊　 　 罐；（用含x的式子表示） （2）抖音平台规定：在抖音平台销售的商品的利润率都不能超过60%，若该抖音主播销售该种滁菊要想平均每天获利1700元，求该种滁菊每罐的售价． （3）在（2）的条件下，抖音主播为回馈粉丝，每天从利润中拿出510元返还给购买滁菊的粉丝，求抖音主播实际是按照原售价的几折出售？ 22．（2025春•藤县期中）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系． （1）求出y与x的函数关系式； （2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少元？ （3）在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的40%的前提下，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 21.3实际问题与一元二次方程知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 C D C D B A C A 一．选择题（共8小题） 1．（2025春•道里区校级期中）端午节当天某班同学向全班其他同学各送一份小礼品，全班共送1560份小礼品，如果全班有x名同学，根据题意，列出方程为（　　） A．x（x+1）＝1560 B．x（x﹣1）＝1560×2 C．x（x﹣1）＝1560 D．2x（x+1）＝1560 【解答】解：设全班有x名同学，根据题意得： x（x﹣1）＝1560， 故选：C． 2．（2025•青秀区校级二模）参加足球联赛的每两队之间都进行两场比赛，共要比赛90场，设共有x个队参加比赛，则下列方程符合题意的是（　　） A．x（x+1）＝90 B．x（x+1）＝90 C．x（x﹣1）＝90 D．x（x﹣1）＝90 【解答】解：设有x个队参赛，则 x（x﹣1）＝90． 故选：D． 3．（2025•五华区校级模拟）在2025年的第五届中国国际消贵品博览会上，首次亮相的“低空经济展示专区”成为本届展会的一大亮点．在博览会上，某商家对一款无人机进行降价促销，其售价由最初的8000元经过两次降价后变为6480元，且两次降价的百分率相同．设每次降价的百分率为x，则下列方程正确的是（　　） A．8000（1﹣2x）＝6480 B．8000（1+x）2＝6480 C．8000（1﹣x）2＝6480 D．8000（1﹣x2）＝6480 【解答】解：由题意可得， 8000（1﹣x）2＝6480， 故选：C． 4．（2025•富民县三模）2025年春节档动画电影《哪吒之魔童闹海》票房记录一再刷新，截至2月18日已登顶全球动画电影票房榜首，在全球影史榜单排名还在上升．据网络平台数据统计在2月1日哪吒的单日票房为7.22亿，2月3日的单日票房达到8.43亿，假设平均每天的票房增长率为x，则下列方程正确的是（　　） A．7.22（1+2x）＝8.43 B．7.22（1+2x）2＝8.43 C．7.22（1+x2）＝8.43 D．7.22（1+x）2＝8.43 【解答】解：假设平均每天的票房增长率为x， 根据题意可列方程：7.22（1+x）2＝8.43， 故选：D． 5．（2025•易门县二模）初中毕业前夕，某数学学习兴趣小组的成员互赠纪念卡片作为毕业礼物．小组里每两名成员之间互相赠送一张卡片（即A送给B一张，B也送给A一张）．已知全组共赠送了306张卡片，如果该兴趣小组的人数为x人，根据题意，下列方程正确的是（　　） A． B．x（x﹣1）＝306 C． D．x（x+1）＝306 【解答】解：设该兴趣小组的人数为x人，则每个同学需送出（x﹣1）张卡片， 由题意得：x（x﹣1）＝306， 故选：B． 6．（2025•新疆）如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和24m长的围栏围成一个面积为40m2的矩形场地．设矩形的宽为x m，根据题意可列方程（　　） A．x（24﹣2x）＝40 B．x（24﹣x）＝40 C．2x（24﹣2x）＝40 D．2x（24﹣x）＝40 【解答】解：∵围栏的长度为24m，矩形的宽为x m， ∴矩形的长为（24﹣2x）m． 根据题意得：x（24﹣2x）＝40． 故选：A． 7．（2025•雁塔区校级一模）我国新能源汽车产业为应对全球气候变化、推动低碳发展做出了巨大贡献．根据中国汽车工业协会发布的数据，2024年5月新能源汽车销量约为95.5万辆，2024年7月新能源汽车销量约为99.1万辆，设新能源汽车销量的月平均增长率为x，则x满足的方程是（　　） A．95.5（1+2x）＝99.1 B．95.5（1+2x）2＝99.1 C．95.5（1+x）2＝99.1 D．95.5（1+x2）＝99.1 【解答】解：根据题意得：95.5（1+x）2＝99.1． 故选：C． 8．（2025•吴川市校级模拟）如图，从一块长10m、宽8m的长方形中间截去一个小长方形，使剩下的长方形框四周的宽度一样，且小长方形的面积为24m2，求长方形框的宽度．设长方形框的宽度为x m，则可列方程为（　　） A．（10﹣2x）（8﹣2x）＝24 B．（10+2x）（8﹣2x）＝24 C．（10﹣2x）（8+2x）＝24 D．（10+2x）（8+2x）＝24 【解答】解：∵长方形的长为10m，宽为8m，且长方形框的宽度为x m， ∴小长方形的长为（10﹣2x）m，宽为（8﹣2x）m． 根据题意得：（10﹣2x）（8﹣2x）＝24． 故选：A． 二．填空题（共8小题） 9．（2025•鲤城区校级模拟）某药品原价60元/盒，降价两次后，现在售价48.6元/盒，则该药品平均降价率是 　10%　 ． 【解答】解：设该药品平均每次降价率是x， 依题意，得：60（1﹣x）2＝48.6， 解得：x1＝0.1＝10%，x2＝1.9（不合题意，舍去）． 故答案为：10%． 10．（2024春•相山区校级期中）“国庆”节老同学聚会，每两个人都握一次手，所有人共握手28次，则参加聚会的人数是 　8人　 ． 【解答】解：设参加聚会的人数是x人， 根据题意得：x（x﹣1）＝28， 解得：x1＝8，x2＝﹣7（不合题意，舍去）． 即参加聚会的人数是8人． 故答案为：8人． 11．（2024春•徐汇区期末）某企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，如果这三年中每年的增长率相同，在求这三年中每年的增长率时，如果设这三年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是　1000（1+x）3＝1331　 ． 【解答】解：∵企业的年产值三年内从1000万元增加到1331万元，这三年中每年的增长率相同， ∴设这三年中每年的增长率为x，那么可以列出的方程是 1000（1+x）3＝1331． 12．（2024春•大同区校级期中）如图，一农户要建一个矩形猪舍，猪舍的一边利用长为12m的住房墙，另外三边用25m长的建筑材料围成，为方便进出，在垂直于住房墙的一边留一个1m宽的门，所围矩形猪舍的长为 　10　 m时，猪舍面积为80m2． 【解答】解：设矩形猪舍垂直于住房墙一边长为xm，则平行于墙的一边的长为（25﹣2x+1）m， 根据题意，得x（25﹣2x+1）＝80， 解得x1＝5，x2＝8． 当x＝5时，25﹣2x+1＝16＞12，不符合题意； 当x＝8时，25﹣2x+1＝10＜12，符合题意， 所以所围矩形猪舍的长为10m，宽为8m时，猪舍面积为80m2． 故答案为：10． 13．（2024春•拱墅区校级期中）为了让农民能种植高产、易发芽的种子，某农科实验基地大力开展种子实验．该实验基地两年前有100种种子，经过两年不断地努力，现在已有144种种子．若培育的种子平均每年的增长率为x，则x的值为 　20%　 ． 【解答】解：根据题意得：100（1+x）2＝144， 解得：x1＝0.2＝20%，x2＝﹣2.2（不符合题意，舍去）， ∴x的值为20%． 故答案为：20%． 14．（2024秋•太谷区期中）某县开展老旧小区改造，2021年投入此项工程的专项资金为300万元，2022、2023年投入资金一共为1248万元．设该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为x，根据题意，可列方程为 　300（1+x）+300（1+x）2＝1248　 ． 【解答】解：∵2021年投入此项工程的专项资金为300万元，且该县这两年投入老旧小区改造工程专项资金的年平均增长率为x， ∴2022年投入此项工程的专项资金为300（1+x）万元，2023年投入此项工程的专项资金为300（1+x）2万元． 根据题意得：300（1+x）+300（1+x）2＝1248． 故答案为：300（1+x）+300（1+x）2＝1248． 15．（2024春•花山区校级期中）如图，长方形ABCD（长方形的对边相等，每个角都是90°），AB＝6cm，AD＝2cm，动点P、Q分别从点A、C同时出发，点P以2厘米/秒的速度向终点B移动，点Q以1厘米/秒的速度向D移动，当有一点到达终点时，另一点也停止运动．设运动的时间为t． （1）当点P和点Q距离是3cm时，t＝ 　或　 ． （2）当t＝ 　或　 ，△PQD为直角三角形（t≠0）． 【解答】解：（1）如图1，作QE⊥AB于E， ∴∠PEQ＝90°， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴四边形BCQE是矩形， ∴QE＝BC＝2cm，BE＝CQ＝t， ∵AP＝2t， ∴PE＝6﹣2t﹣t＝6﹣3t． 在Rt△PQE中，由勾股定理，得， （6﹣3t）2+4＝9， 解得：， 如图2，作PE⊥CD于E， ∴∠PEQ＝90°， ∵∠B＝∠C＝90°， ∴四边形BCEP是矩形， ∴PE＝BC＝2cm，BP＝CE＝6﹣2t， ∵CQ＝t， ∴QE＝t﹣（6﹣2t）＝3t﹣6． 在Rt△PEQ中，由勾股定理，得， （3t﹣6）2+4＝9， 解得， 综上：或． 故答案为：或； （2）如图，连接DP，过点P作PG⊥CD， ∵点P，Q，D为顶点的三角形是等腰三角形． ∴①当PD＝PQ时，即PD2＝PQ2， 在Rt△APD中，AD＝2，AP＝2t， ∴PD2＝AD2+AP2＝4+4t2， 由（2）知，PQ2＝PG2+QG2＝4+（6﹣3t）2， ∴4+4t2＝4+（6﹣3t）2， ∴t＝6（舍去）或， ②当PD＝DQ时，即PD2＝DQ2， ∴4+4t2＝（6﹣t）2， ∴（舍去）或， 综上：或， 故答案为：或． 16．（2024秋•怀仁市期中）我国古代数学家曾经研究过一元二次方程的几何解法，以方程x2+5x＝14为例，三国时期的数学家赵爽在其所著的《勾股圆方图注》中记载的方法是：构造如图所示的大正方形ABCD，它由四个全等的长方形和中间一个小正方形组成，根据面积关系可求得AB的长，从而解得x．根据此法，图中正方形ABCD的面积是 　81　 ． 【解答】解：由x2+5x＝14得到：． 解得：x1＝2，x2＝﹣7（负值舍去）， 所以正方形ABCD的面积＝（x+x+5）2＝（4+5）2＝81， 故答案为：81． 三．解答题（共6小题） 17．（2025•环翠区一模）“五一”期间，威海某景点迎来了大量游客．景区管理部门发现，景区单日门票收入与游客人数相关．若门票价格每降低10元，日均游客人数可增加50人；反之，每提高10元，日均游客人数减少50人．若当前门票价格为120元/人，日均游客量为2000人，原价定为多少元（以10元为调整单位），能使该景点“五一”某天的门票总收入为21万元？ 【解答】解：设原价定为x元，则日均游客量为2000+50（2600﹣5x）人， 根据题意得：（2600﹣5x）x＝210000， 整理得：x2﹣520x+42000＝0， 解得：x1＝100，x2＝420． 答：原价定为100或420元（以10元为调整单位），能使该景点“五一”某天的门票总收入为21万元． 18．（2025春•界首市期中）如图，用长为20m的篱笆，一面利用墙（墙的最大可用长度为11m）围成中间隔有一道篱笆的长方形花圃．为了方便出入，在建造篱笆花圃时，在BC边上用其他材料做了宽为1m的两扇小门．若花圃的面积恰好为40m2． （1）求此时花圃AB边的长； （2）花圃的面积能达到50m2吗？若能，求出AB边的长；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）设花圃AB边的长为x，则花圃的边BC的长为（22﹣3x）米， ∵墙的最大可用长度为11m， ∴根据题意列一元一次不等式得，22﹣3x≤11， 整理得，3x≥11， 解得：， 由题意可列方程得：x（22﹣3x）＝40， 整理得：3x2﹣22x+40＝0， 解得：x＝4或（舍弃）． 答：花圃AB边的长为4米； （2）花圃的面积不能达到50m2，理由如下： 令x（22﹣3x）＝50， 整理得：3x2﹣22x+50＝0， 因为Δ＝（﹣22）2﹣4×3×40＝﹣116＜0， 所以方程3x2﹣22x+50＝0无解，即花圃的面积不能达到50m2． 19．（2025春•昭平县期中）山东潍坊风筝节期间，王大伯决定销售一批风筝，计划第一次购进熊猫和金鱼两种风筝共300个，熊猫风筝进价为20元，售价定为23元，金鱼风筝的进价为30元，售价定为36元． （1）若王大伯将这批风筝全部售完，要求总获利不低于1500元，求王大伯最多购进熊猫风筝多少个？ （2）王大伯第二次购进熊猫风筝的进价不变．由于销量火爆，王大伯决定购进熊猫风筝的数量在（1）中的最多进货量的基础上增加50m个，售价比第一次提高m元，最终这批熊猫风筝全部销售完后获利1000元，求m的值． 【解答】解：（1）设王大伯购进熊猫风筝x个，则购进金鱼风筝（300﹣x）个， 根据题意列方程得：（23﹣20）x+（36﹣30）（300﹣x）≥1500， 整理得，3x≤300， 解得x≤100， 所以x的最大值为100， 答：王大伯最多购进熊猫风筝100个； （2）根据题意列方程得：（100+50m）（23+m﹣20）＝1000， 整理得：m2+5m﹣14＝0， 解方程，得m1＝2，m2＝﹣7， m2＝﹣7不合题意，舍去， 所以m＝2， 答：m的值为2． 20．（2025春•青神县期中）东方超市销售一种利润为每千克10元的水产品，一个月能销售出500千克．经市场分析，销售单价每涨价1元，月销售量就减少10千克．针对这种水产品的销售情况，若设单价每千克涨价x元，请解答以下问题： （1）填空：每千克水产品获利　（10+x）　 元，月销售量减少　10x　 千克； （2）要使月销售利润达到8750元，又要“薄利多销”，销售单价应涨价为多少元？ （3）月销售利润能否达到10000元，若能，销售单价应涨价为多少元？若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）由题意可得：每千克水产品获利（10+x）元，月销售量减少10x千克； 故答案为：（10+x），10x； （2）由题意可列方程：（10+x）（500﹣10x）＝8750， 化为：x2﹣40x+375＝0， 解得：x1＝15，x2＝25， 因为又要“薄利多销”， 所以x＝25不符合题意，舍去． 答：销售单价应涨价15元； （3）由题意可列方程：（10+x）（500﹣10x）＝10000， 整理得：x2﹣40x+500＝0， b2﹣4ac＝1600﹣2000＝﹣400＜0， 故此方程无实数根； 答：月销售利润不能达到10000元． 21．（2025春•利辛县期中）滁菊是安徽滁州特有的菊花，在我国药用菊花中排名第一．某抖音主播以每罐（35克）20元的价格新进一批滁菊，根据以往的销售经验，当销售价格定为每罐24元时，每天可售出200罐．后来经过市场调查发现，每罐滁菊的售价每涨价2元，则平均每天少卖出10罐，若设该种滁菊的售价为x（x＞24）元． （1）该抖音主播每天售出滁菊　（320﹣5x）　 罐；（用含x的式子表示） （2）抖音平台规定：在抖音平台销售的商品的利润率都不能超过60%，若该抖音主播销售该种滁菊要想平均每天获利1700元，求该种滁菊每罐的售价． （3）在（2）的条件下，抖音主播为回馈粉丝，每天从利润中拿出510元返还给购买滁菊的粉丝，求抖音主播实际是按照原售价的几折出售？ 【解答】解：（1）， 故答案为：（320﹣5x）； （2）根据题意列方程得（320﹣5x）（x﹣20）＝1700， 整理得x2﹣84x+1620＝0， 解得x1＝30，x2＝54． ∵20×（1+60%）＝20×1.6＝32， ∴x≤32， ∴x＝54不符合题意，舍去， ∴x＝30． 答：该抖音主播销售该种滁菊要想平均每天获利1700元，每罐的售价应为30元； （3）由（2）知每罐滁菊的售价为30元，每天能售出170罐， 设实际是按照原售价的a折出售， 根据题意列方程得，， 整理得，51a＝4590， 解得a＝9． 答：抖音主播实际是按照原售价的九折出售． 22．（2025春•藤县期中）某运动品牌销售一款运动鞋，已知每双运动鞋的成本价为60元，当售价为100元时，平均每天能售出200双；经过一段时间销售发现，平均每天售出的运动鞋数量y（双）与降低价格x（元）之间存在如图所示的函数关系． （1）求出y与x的函数关系式； （2）公司希望平均每天获得的利润达到8910元，且优惠力度最大，则每双运动鞋的售价应该定为多少元？ （3）在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的40%的前提下，公司每天能否获得9000元的利润？若能，求出定价；若不能，请说明理由． 【解答】解：（1）设y与x的函数关系式为y＝kx+b（k≠0）， 由图可知，函数图象经过点（0，200）和（10，300）， 将其代入y＝kx+b得：， 解得：， ∴y与x的函数关系式为y＝10x+200； （2）由题意可知，每双运动鞋的售价应该定为（100﹣x）元， 根据题意得：（10x+200）（100﹣x﹣60）＝8910， 整理得：x2﹣20x+91＝0， 解得：x1＝7（不符合题意，舍去），x2＝13， ∴100﹣x＝100﹣13＝87， 答：每双运动鞋的售价应该定为87元； （3）公司每天能获得9000元的利润，理由如下： ∵保证每双运动鞋的利润率不低于成本价的40%， ∴100﹣60﹣x≥60×40%， 解得：x≤16， 根据题意得：（100﹣60﹣x）（10x+200）＝9000， 整理得：x2﹣20x+100＝0， 解得：x1＝x2＝10（符合题意）， ∴100﹣x＝90， 答：在保证每双运动鞋的利润不低于成本价的40%的前提下，公司每天能获得9000元的利润，定价为90元． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$