21.3 实际问题与一元二次方程 教材知识背默清单 课时练习 -2025-2026学年人教版九年级数学上册

21.3 实际问题与一元二次方程 教材知识背默清单 课时练习 班级： 姓名： 传播问题 树干问题 主干长出n个小支干，第二轮主干不再分支，n个支干进行小分支，第二轮有n×n个小支干，总共有 个主干及小支干 传染问题 若传染源人数为1，每轮传染中平均一个人传染了 x个人，则第n轮传染后的总人数为 循环问题 单循环问题 单循环赛每两队之间只进行一次比赛，每个队要和其他（n－1）个队比赛一场，n个队共有 场比赛 双循环问题 双循环赛每两队之间进行两次比赛，每个队要和其他（n－1）个队比赛两场，n个队共有 场比赛 平均增长（降低）率问题 平均增长率问题 a为增长前的量，b为增长后的量，n为增长的次数，当平均增长率为x时，公式为 平均降低率问题 a为降低前的量，b为降低后的量，n为降低的次数，当平均降低率为x时，公式为 每每问题 利润＝售价－成本，总利润＝（每件售价－每件成本）×数量 单价每涨a元，少卖b件.若涨价y元，则少卖的数量为 件 几何图形问题 规则图形 利用规则图形的面积、体积、周长公式及勾股定理等知识求解 S阴影＝ 不规则图形 采用割补平移或旋转等方法，将其转化为规则图形，再根据面积（体积）间的关系求解 S阴影＝ 参考答案 1＋n＋n×n （1＋x）n n（n－1） a（1＋x）n＝b a（1－x）n＝b ·y （a－x）（b－x） （a－x）（b－x） 课时练习 一、单选题（本大题共10小题） 1．小明同学是一位古诗文的爱好者，在学习了一元二次方程这一章后，改编 了苏轼诗词《念奴娇·赤壁怀古》：“大江东去浪淘尽，千古风流人物．而立之年督东吴，早逝英年两位数．十位恰小个位三，个位平方与寿同．哪位学子算得快，多少年华数周瑜？”假设周瑜去世时年龄的十位数字是，则可列方程为（    ） A． B． C． D． 2．淇淇在计算正数的平方时，误算成与2的积，求得的答案比正确答案小1,则（ ） A. 1 B. C. D. 1或 3．如图，小明在数学综合实践活动中，利用一面墙（墙足够长）和长的围栏围成一个面积为的矩形场地.设矩形的宽为，根据题意可列方程（ ） A. B. C. D. 4．某中学有一块长，宽的矩形空地．计划在这块空地上划出四分之一的区域种花．小禹同学设计方案如图所示，求花带的宽度．设花带的宽度为，则可列方程为（    ）    A． B． C． D． 5．某厂家今年一月份的口罩产量是30万个，三月份的口罩产量是50万个，若设该厂家一月份到三月份的口罩产量的月平均增长率为x．则所列方程为(   ) A．30（1+x）2＝50 B．30（1﹣x）2＝50 C．30（1+x2）＝50 D．30（1﹣x2）＝50 6．某书店今年3月份盈利6 000元，5月份盈利6 200元.设该书店每月盈利的平均增长率为.根据题意，下列方程正确的是（ ） A. B. C. D. 7．我国古代数学家杨辉的《田亩比数乘除减法》中记载：“直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步？”翻译成数学问题是：一块矩形田地的面积为864平方步，它的宽比长少12步．如果设宽为x步，则可列出方程（    ） A． B． C． D． 8．如图，其小区在一块长为16m，宽为的矩形空地上新修三条宽度相同的小路，其中一条和矩形的一边平行．另外两条和矩形的另一边平行，空地剩下的部分种植花草，使得小路占地面积为，求小路的宽度．设小路的宽度为，甲、乙两位同学分别得到如下方程： 甲：； 乙： 其中正确的是（   ） A．甲对、乙不对 B．甲不对、乙对 C．甲、乙均对 D．甲、乙均不对 9．我国南宋数学家杨辉在《田亩比类乘除算法》中提出这样一个问题：直田积八百六十四步，只云阔不及长一十二步，问阔及长各几步．意思是：矩形面积864平方步，宽比长少12步，问宽和长各几步．设长为x步，则可列方程为（） A．x（x - 12）= 864 B．x（x + 12）= 864 C．x（12 - x）= 864 D．2（2x - 12）= 864 10．如图,在△ABC中,∠ABC=90°,AB=4 cm,BC=3 cm,动点P,Q分别从点A,B同时开始移动(移动方向如图所示),点P的速度为 cm/s,点Q的速度为1 cm/s,点Q移动到点C后停止,同时点P也停止运动．若使△PBQ的面积为 cm2,则点P运动的时间是 (　　) A．2 s B．3 s C．4 s D．5 s 二、填空题（本大题共6小题） 11．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干长出同样数量的小分支．若主干，支干和小分支的总数是73，设每个支干长出x个小分支，则可列方程为 ． 12．已知一个两位数，个位上的数字比十位上的数字小4，且个位上的数字与十位上的数字的平方和比这个两位数小4，则这个两位数是  . 13．如图，在Rt△ACB中，∠C＝90°，AC＝30 cm，BC＝25 cm.动点P从点C出发，沿CA方向运动，速度是2 cm/s；动点Q从点B出发，沿BC方向运动，速度是1 cm/s，则经过 秒后，P，Q两点之间相距25 cm.      14．有一人患了流感，经过两轮传染后共有人患了流感，那么每轮传染中平均一个人传染给 个人. 15．已知，则 ． 16．某菜农在2022年11月底投资1 600元种植大棚黄瓜，春节期间，共采摘黄瓜400千克，当天就可以按6元/千克的价格售出．若将所采摘的黄瓜先储藏起来，其质量每天损失10千克，且每天需支付各种费用共40元，但每天每千克的价格能上涨0.5元(储藏时间不超过10天)．若该菜农想获得1 175元的利润，需要将采摘的黄瓜储藏_____________天． 三、解答题（本大题共5小题） 17．某一农家计划用篱笆围一个面积为12m2的矩形园子ABCD，其中AD边利用已有的一堵墙，其余三边用篱笆围起来．现已知墙的长为7.9m，可以选用的篱笆总长为11m． （1）若取矩形园子的边长都是整数米，问一共有哪些围法？ （2）当矩形园子的边AB和BC分别是多长时，11m长的篱笆恰好用完？ 18．如图，老李想用长为的栅栏，再借助房屋的外墙（外墙足够长）围成一个矩形羊圈，并在边上留一个宽的门（建在处，另用其他材料）．    （1）当羊圈的长和宽分别为多少米时，能围成一个面积为640的羊圈？ （2）羊圈的面积能达到吗？如果能，请你给出设计方案；如果不能，请说明理由． 19．超市销售某种商品，每件盈利50元，平均每天可达到30件．为尽快减少库存，现准备降价以促进销售，经调查发现：一件商品每降价1元平均每天可多售出2件． （1）当一件商品降价5元时，每天销售量可达到　　件，每天共盈利　　元； （2）在上述条件不变，销售正常情况下，每件商品降价多少元时超市每天盈利可达到2100元？ （3）在上述条件不变，销售正常情况下，超市每天盈利可以达到2200元吗？如果可以，请求出销售价；如果不可以，请说明理由． 20．在水果销售旺季，某水果店购进一优质水果，进价为20元/千克，售价不低于20元/千克，且不超过32元/千克，根据销售情况，发现该水果一天的销售量y（千克）与该天的售价x（元/千克）满足如下表所示的一次函数关系． 销售量y（千克） … 34.8 32 29.6 28 … 售价x（元/千克） … 22.6 24 25.2 26 … （1）某天这种水果的售价为23.5元/千克，求当天该水果的销售量． （2）如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为多少元？ 21．随着农业技术的现代化，节水型灌溉得到逐步推广.喷灌和滴灌是比漫灌更节水的灌溉方式，喷灌和滴灌时每亩用水量分别是漫灌时的和.去年，新丰收公司用各100亩的三块试验田分别采用喷灌、滴灌和漫灌的灌溉方式，共用水15 000吨. （1） 请问用漫灌方式每亩用水多少吨？去年每块试验田各用水多少吨？ （2） 今年该公司加大对农业灌溉的投入，喷灌和滴灌试验田的面积都增加了，漫灌试验田的面积减少了.同时，该公司通过维修灌溉输水管道，使得三种灌溉方式下的每亩用水量都进一步减少了.经测算，今年的灌溉用水量比去年减少，求的值. （3） 节水不仅为了环保，也与经济收益有关系.今年，该公司全部试验田在灌溉输水管道维修方面每亩投入30元，在新增的喷灌、滴灌试验田添加设备所投入经费为每亩100元.在（2）的情况下，若每吨水收费2.5元，请判断，去年因用水量减少所节省的水费是否大于今年以上两项投入之和. 参考答案 1．【答案】C 【分析】根据题意可得个位数为x+3，根据个位数字平方与这个两位数相等列出方程即可； 【详解】设设周瑜去世时年龄的十位数字是，则个位数上的数字是x+3， 由题意可得：． 故选C． 2．【答案】C 【解析】由题意得，解得或（舍）.故选. 3．【答案】A 【详解】矩形的宽为，则长为.依题意，得.故选. 4．【答案】A 【分析】本题主要考查由实际问题抽象出一元二次方程，解题的关键是根据图形得出面积的相等关系． 根据空白区域的面积等于矩形空地的面积可得． 【详解】解：设花带的宽度为， 则可列方程为， 故选． 5．【答案】A 【分析】根据题意和题目中的数据，可以得到，从而可以判断哪个选项是符合题意的． 【详解】解：由题意可得， ． 6．【答案】A 【详解】根据题意得 故选. 7．【答案】D 【分析】设宽为x步，则长为步，然后根据长方形面积公式列出方程即可． 【详解】解：设宽为x步，则长为步， 由题意得，， 故此题答案为D． 8．【答案】A 【详解】解：矩形的长为16m，宽为，则矩形的面积为，小路占地面积为， 种植花草的面积为， 从平移的角度考虑，把种植花草的区域拼成一个矩形，矩形的长为，宽为， 矩形的面积为， 可列方程， 甲列的方程正确； 两条竖着的小路的长为，宽为， 两条竖着的小路的面积为， 横着的小路的长度为16m，宽为， 横着的小路的面积为， 三条小路有两个重叠的区域，重叠区域是边长为的正方形， 重叠部分的面积为， 小路的面积可表示为， 可列方程为， 乙列的方程错误. 综上所述，甲对、乙不对． 故此题答案为 A． 9．【答案】A 【分析】由宽比长少12步可得宽为（x-12）步，再由面积列方程即可； 【详解】解：由题意得：x（x-12）=864， 故选 A． 10．【答案】B　 【解析】设动点P,Q运动t s后,能使△PBQ的面积为 cm2,则BP为cm,BQ为t cm．根据题意,得×t=．解得t1=3,t2=5(不合题意,舍去),∴动点P运动3 s时,△PBQ的面积为 cm2． 11．【答案】 【分析】由题意设每个支干长出个小分支，每个小分支又长出个分支，则又长出个分支，则共有个分支，即可列方程． 【详解】解：设每个支干长出个小分支， 根据题意列方程得：． 12．【答案】84 【解析】设这个两位数的个位上的数字为，则十位上的数字为.根据题意，得.整理，得,解得，．又为非负整数，，．故答案为84. 【思路分析】 一元二次方程中的数字问题 13．【答案】10 【分析】设x秒后，P、Q两点相距25cm，根据时间和速度求出路程，然后根据勾股定理列式解答即可. 【详解】设x秒后，P、Q两点相距25cm，据题意列式得： (2x)2+(25-x)2=252， 4x2-50x+x2=0， 5x(x-10)=0， x1=0 (舍去), x2=10 (秒). ∴10秒后P、Q两点相距25cm. 14．【答案】7 【详解】设每轮传染中平均一个人传染给x个人， 则根据题意可知：， 解得：x=7或x=-9(舍去)， 故每轮传染中平均一个人传染给7个人． 15．【答案】3． 【分析】 先将要求解的式子进行改写整理再利用已知方程进行求解即可． 【详解】 解：， 又∵， ∴， 则， 故答案为：3． 【点睛】 本题是一元二次方程求对应解的题目，解题的关键是将求解式子进行变形再利用已知方程进行简便运算． 16．【答案】5 【详解】 设储藏x天出售这批黄瓜可获利1 175元．由题意得(6＋0.5x)×(400－10x)－(1 600＋40x)＝1 175，解得x1＝5，x2＝15.∵储藏时间不超过10天，∴x2＝15舍去．故答案为5. 17．【答案】（1）3种；宽为2m时，长为6m；宽为3m时，长为4m；宽为4m时，长为3m； （2）4；3 【分析】（1）设园子的长为ym，宽为xm，根据墙长7.9m，围成矩形的园子面积为12m2，列出方程和不等式，求出x，y的值，即可得出答案； （2）根据（1）得出的结果，选取宽为4m时，长为3m的篱笆正好使11m长的篱笆恰好用完． 【详解】解：（1）设园子的长为ym，宽为xm，根据题意得： ， ∵园子的长、宽都是整数米， ∴x＝6，y＝2或x＝4，y＝3或x＝3，y＝4， ∴一共有3种围法： 宽为2m时，长为6m， 宽为3m时，长为4m， 宽为4m时，长为3m； （2）∵要使11m长的篱笆恰好用完，则2x+y＝11， ∴x＝4，y＝3， ∴要使11m长的篱笆恰好用完，应使宽为4m，长为3m． 【点睛】此题主要考查了一元一次不等式组的应用问题，解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出不等式组，注意园子的长、宽都为整数． 18．【答案】（1）当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈； （2）不能，理由见详解． 【分析】（1）设矩形的边，则边，根据题意列出一元二次方程，解方程即可求解； （2）同（1）的方法建立方程，根据方程无实根即可求解． 【详解】（1）解：设矩形的边，则边． 根据题意，得． 化简，得． 解得，． 当时，； 当时，． 答：当羊圈的长为，宽为或长为，宽为时，能围成一个面积为的羊圈． （2）解：不能，理由如下： 由题意，得． 化简，得． ∵， ∴一元二次方程没有实数根． ∴羊圈的面积不能达到． 19．【答案】（1）40，1800；（2）每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元；（3）商场日盈利不可以达到2200元，理由见解析． 【分析】（1）降价1元，可多售出2件，降价5元，可多售出2×5件，盈利的钱数＝原来的盈利﹣降低的钱数，日盈利＝每件商品盈利的钱数×当天实际销售商品的件数； （2）根据日盈利＝每件商品盈利的钱数×（原来每天销售的商品件数30+2×降价的钱数），列出方程求解即可； （3）根据题意列出方程，利用根的判别式进行判断即可． 【详解】解：（1）降价5元，销售量达到30+2×5＝40件， 当天盈利：（50﹣5）×（30+2×5）＝1800（元）； 故此题答案为：40，1800； （2）根据题意，得：（50﹣x）×（30+2x）＝2100， 解得：x＝15或x＝20， ∵该商场为了尽快减少库存， ∴降的越多，越吸引顾客， ∴选x＝20， 答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元； （3）根据题意可得（30+2x）（50﹣x）＝2200， 整理得到：x2﹣35x+350＝0． 由于△＝b2﹣4ac＝1225﹣1400＝﹣175＜0， 所以该方程无解． 故商场日盈利不可以达到2200元． 【关键点拨】本题考查一元二次方程的应用，将实际问题转化为数学问题，正确列出方程是解题关键． 20．【答案】（1）当天该水果的销售量为33千克；（2）如果某天销售这种水果获利150元，该天水果的售价为25元 【分析】（1）根据表格内的数据，利用待定系数法可求出y与x之间的函数关系式，再代入x=23.5即可求出结论； （2）根据总利润每千克利润销售数量，即可得出关于x的一元二次方程，解之取其较小值即可得出结论． 【详解】解：（1）设y与x之间的函数关系式为y=kx+b， 将（22.6，34.8）、（24，32）代入y=kx+b， ， 解得：， ∴y与x之间的函数关系式为y=﹣2x+80． 当x=23.5时，y=﹣2x+80=33． 答：当天该水果的销售量为33千克． （2）根据题意得：（x﹣20）（﹣2x+80）=150， 解得：x1=35，x2=25． ∵20≤x≤32， ∴x=25． 答：如果某天销售这种水果获利150元，那么该天水果的售价为25元． 21．【答案】 （1） 【解】设用漫灌方式每亩用水吨，则，解得，则漫灌用水（吨），喷灌用水（吨），滴灌用水（吨）. 答：用漫灌方式每亩用水100吨，去年每块试验田用漫灌、喷灌、滴灌方式分别用水10 000吨、3 000吨、2 000吨. （2） 由题意，得， 解得（舍去），，所以. （3） 节省水费（元），维修投入（元），新增设备投入（元）.因为，所以去年因用水量减少所节省的水费大于今年两项投入之和. 学科网（北京）股份有限公司 $