21.2解一元二次方程知识梳理+精选题练习-2025-2026学年人教版数学九年级上册

21.2解一元二次方程知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 知识梳理 解一元二次方程-配方法 （1）将一元二次方程配成（x+m）2＝n的形式，再利用直接开平方法求解，这种解一元二次方程的方法叫配方法． （2）用配方法解一元二次方程的步骤： ①把原方程化为ax2+bx+c＝0（a≠0）的形式； ②方程两边同除以二次项系数，使二次项系数为1，并把常数项移到方程右边； ③方程两边同时加上一次项系数一半的平方； ④把左边配成一个完全平方式，右边化为一个常数； ⑤如果右边是非负数，就可以进一步通过直接开平方法来求出它的解，如果右边是一个负数，则判定此方程无实数解． 解一元二次方程-公式法 （1）把x（b2﹣4ac≥0）叫做一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的求根公式． （2）用求根公式解一元二次方程的方法是公式法． （3）用公式法解一元二次方程的一般步骤为： ①把方程化成一般形式，进而确定a，b，c的值（注意符号）； ②求出b2﹣4ac的值（若b2﹣4ac＜0，方程无实数根）； ③在b2﹣4ac≥0的前提下，把a、b、c的值代入公式进行计算求出方程的根． 注意：用公式法解一元二次方程的前提条件有两个：①a≠0；②b2﹣4ac≥0． 解一元二次方程-因式分解法 （1）因式分解法解一元二次方程的意义 因式分解法就是利用因式分解求出方程的解的方法，这种方法简便易用，是解一元二次方程最常用的方法． 因式分解法就是先把方程的右边化为0，再把左边通过因式分解化为两个一次因式的积的形式，那么这两个因式的值就都有可能为0，这就能得到两个一元一次方程的解，这样也就把原方程进行了降次，把解一元二次方程转化为解一元一次方程的问题了（数学转化思想）． （2）因式分解法解一元二次方程的一般步骤： ①移项，使方程的右边化为零；②将方程的左边分解为两个一次因式的乘积；③令每个因式分别为零，得到两个一元一次方程；④解这两个一元一次方程，它们的解就都是原方程的解． 根的判别式 利用一元二次方程根的判别式（△＝b2﹣4ac）判断方程的根的情况． 一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根与△＝b2﹣4ac有如下关系： ①当△＞0时，方程有两个不相等的两个实数根； ②当△＝0时，方程有两个相等的两个实数根； ③当△＜0时，方程无实数根． 上面的结论反过来也成立． 根与系数的关系 （1）若二次项系数为1，常用以下关系：x1，x2是方程x2+px+q＝0的两根时，x1+x2＝﹣p，x1x2＝q，反过来可得p＝﹣（x1+x2），q＝x1x2，前者是已知系数确定根的相关问题，后者是已知两根确定方程中未知系数． （2）若二次项系数不为1，则常用以下关系：x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的两根时，x1+x2，x1x2，反过来也成立，即（x1+x2），x1x2． （3）常用根与系数的关系解决以下问题： ①不解方程，判断两个数是不是一元二次方程的两个根．②已知方程及方程的一个根，求另一个根及未知数．③不解方程求关于根的式子的值，如求，x12+x22等等．④判断两根的符号．⑤求作新方程．⑥由给出的两根满足的条件，确定字母的取值．这类问题比较综合，解题时除了利用根与系数的关系，同时还要考虑a≠0，△≥0这两个前提条件． 精选题练习 一．选择题（共8小题） 1．（2025•广州校级二模）若关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则b的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 2．（2024秋•通川区期末）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的过程中，配方正确的是（　　） A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9 3．（2025•昭阳区校级模拟）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　） A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 4．（2025•合肥校级一模）已知a，b，c是互不相等的实数，且a＝b2﹣b+1，c＝﹣a2+5a﹣4，那么a，b，c中最大的数为（　　） A．a B．b C．c D．不能确定 5．（2024秋•宽城县期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤5 B．k≤5且k≠1 C．k＜5且k≠1 D．k＜5 6．（2025•怀远县二模）已知m≥2，a2﹣2ma+2＝0，b2﹣2mb+2＝0（a≠b）则（a﹣1）2+（b﹣1）2的最小值是（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．6 7．（2024秋•睢县期末）下列关于一元二次方程ax2+bx＝0（a，b是不为0的常数）的根的情况判断正确的是（　　） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程没有实数根 D．方程有一个实数根 8．（2025•邵阳模拟）已知a，b是方程x2+6x﹣2＝0的两个实数根，则a2+7a+b的值为（　　） A．﹣4 B．﹣9 C．0 D．9 二．填空题（共8小题） 9．（2025•五河县三模）关于x的一元二次方程（m﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　 　 ． 10．（2025•重庆模拟）若m，n为一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则（m﹣2）（n﹣2）的值为　 　 ． 11．（2025•宿松县模拟）已知a和b是方程x2+4x﹣4＝0的两个根，则a2+5a﹣b（a﹣1）的值为　 　 ． 12．（2025春•海淀区校级期末）关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　 　 ． 13．（2025春•浦东新区校级月考）如果关于x的方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，那么k的值为 　 　 ． 14．（2025•正定县三模）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则x1+x2+x1x2＝　 　 ． 15．（2025春•招远市期末）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝1，x2＝4；小颖看错了常数项e，得到的解为x1＝2，x2＝3．请你写出正确的一元二次方程 　 　 ． 16．（2025•汶上县一模）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 　 　 ． 三．解答题（共6小题） 17．（2024秋•光山县期末）用适当方法解下列方程： （1）x2﹣8x+12＝0； （2）（x﹣3）2＝2x（x﹣3）． 18．（2025春•通州区期末）解方程： （1）x（x﹣3）＝2x﹣6； （2）x2﹣6x+8＝0． 19．（2024秋•澧县期末）已知方程x2﹣6x+m2﹣2m+5＝0的一个根为2，求另一个根和m的值． 20．（2025春•房山区期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围． 21．（2024秋•富锦市期末）若a2+b2＝c2，则我们把形如ax2cx+b＝0（a≠0）的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）当a＝3，b＝4时，写出相应的“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0（a≠0）必有实数根． 22．（2025春•牟平区期末）关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0中a、b、c分别是△ABC的三边． （1）若x＝﹣1是该一元二次方程的一个根，试判断△ABC的形状； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状； （3）若△ABC是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根． 21.2解一元二次方程知识梳理+精选题练习-2025-2026学年数学九年级上册人教版 参考答案与试题解析 一．选择题（共8小题） 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 答案 B D C A B D B A 一．选择题（共8小题） 1．（2025•广州校级二模）若关于x的方程x2﹣4x+b＝0有两个相等的实数根，则b的值是（　　） A．3 B．4 C．5 D．6 【解答】解：Δ＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×b＝16﹣4b， ∵方程有两个相等的实数根， ∴Δ＝0， 即16﹣4b＝0， ﹣4b＝﹣16， b＝4． 故选B． 2．（2024秋•通川区期末）用配方法解一元二次方程x2﹣4x﹣5＝0的过程中，配方正确的是（　　） A．（x+2）2＝1 B．（x﹣2）2＝1 C．（x+2）2＝9 D．（x﹣2）2＝9 【解答】解：移项得：x2﹣4x＝5， 配方得：x2﹣4x+22＝5+22， （x﹣2）2＝9， 故选：D． 3．（2025•昭阳区校级模拟）关于x的一元二次方程（a﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有实数根，则a满足（　　） A．a≥1 B．a＞1且a≠5 C．a≥1且a≠5 D．a≠5 【解答】解：由已知得：， 解得：a≥1且a≠5． 故选：C． 4．（2025•合肥校级一模）已知a，b，c是互不相等的实数，且a＝b2﹣b+1，c＝﹣a2+5a﹣4，那么a，b，c中最大的数为（　　） A．a B．b C．c D．不能确定 【解答】解：由条件可得a﹣c＝a+a2﹣5a+4＝（a﹣2）2， ∵a，b，c是互不相等的实数， ∴a﹣c＞0， ∴a＞c， ∵a﹣b＝b2﹣b+1﹣b＝b2﹣2b+1＝（b﹣1）2， ∵a，b，c是互不相等的实数， ∴a﹣b＞0， ∴a＞b； ∴a最大； 故选：A． 5．（2024秋•宽城县期末）若关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根，则k的取值范围是（　　） A．k≤5 B．k≤5且k≠1 C．k＜5且k≠1 D．k＜5 【解答】解：∵关于x的一元二次方程（k﹣1）x2+4x+1＝0有实数根， ∴Δ＝42﹣4（k﹣1）≥0，k﹣1≠0， 解得k≤5且k≠1． 故选：B． 6．（2025•怀远县二模）已知m≥2，a2﹣2ma+2＝0，b2﹣2mb+2＝0（a≠b）则（a﹣1）2+（b﹣1）2的最小值是（　　） A．﹣3 B．0 C．3 D．6 【解答】解：由条件可知a，b是一元二次方程x2﹣2mx+2＝0的两个不相等的实数根， ∴a+b＝2m，ab＝2，Δ＝b2﹣4ac＝（﹣2m）2﹣4×2×1＞0， ∴（a﹣1）2+（b﹣1）2＝a2﹣2a+b2﹣2b+2＝（a+b）2﹣2（a+b）+2﹣2ab ， ∵4＞0， ∴抛物线开口向上， ∴（a﹣1）2+（b﹣1）2有最小值，且对称轴的右侧y随x的增大而增大， ∵m≥2， ∴m＝2时，（a﹣1）2+（b﹣1）2有最小值，且为， 故选：D． 7．（2024秋•睢县期末）下列关于一元二次方程ax2+bx＝0（a，b是不为0的常数）的根的情况判断正确的是（　　） A．方程有两个相等的实数根 B．方程有两个不相等的实数根 C．方程没有实数根 D．方程有一个实数根 【解答】解：∵Δ＝b2﹣4a×0＝b2＞0， ∴方程有两个不相等的实数根， 故选：B． 8．（2025•邵阳模拟）已知a，b是方程x2+6x﹣2＝0的两个实数根，则a2+7a+b的值为（　　） A．﹣4 B．﹣9 C．0 D．9 【解答】解：因为a，b是方程x2+6x﹣2＝0的两个实数根， 所以a+b＝﹣6， 将x＝a代入方程得， a2+6a﹣2＝0， 即a2+6a＝2， 所以a2+7a+b＝a2+6a+a+b＝2+（﹣6）＝﹣4． 故选：A． 二．填空题（共8小题） 9．（2025•五河县三模）关于x的一元二次方程（m﹣5）x2﹣4x﹣1＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围是　m＞1且m≠5　 ． 【解答】解：由条件可知Δ＝（﹣4）2+4（m﹣5）＞0， 解得：m＞1， 由一元二次方程定义得m﹣5≠0， 解得：m≠5， 综上可知：m＞1且m≠5， 故答案为：m＞1且m≠5． 10．（2025•重庆模拟）若m，n为一元二次方程x2﹣3x﹣1＝0的两个根，则（m﹣2）（n﹣2）的值为　﹣3　 ． 【解答】解：由条件可知m+n＝3，mn＝﹣1， ∴（m﹣2）（n﹣2）＝mn﹣2m﹣2n+4＝mn﹣2（m+n）+4＝﹣1﹣2×3+4＝﹣3． 故答案为：﹣3． 11．（2025•宿松县模拟）已知a和b是方程x2+4x﹣4＝0的两个根，则a2+5a﹣b（a﹣1）的值为　4　 ． 【解答】解：由条件可知a2+4a﹣4＝0，ab＝﹣4，a+b＝﹣4， ∴a2+4a＝4， ∴a2+5a﹣b（a﹣1） ＝a2+5a﹣ab+b ＝a2+4a﹣ab+（a+b） ＝4﹣（﹣4）+（﹣4） ＝4． 故答案为：4． 12．（2025春•海淀区校级期末）关于x的方程x2﹣6x+2m﹣1＝0有两个相等的实数根，则m的值是 　5　 ． 【解答】解：由题意Δ＝0， ∴36﹣4（2m﹣1）＝0， 解得m＝5． 故答案为：5． 13．（2025春•浦东新区校级月考）如果关于x的方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根，那么k的值为 　±4　 ． 【解答】解：由题意，∵方程x2﹣kx+4＝0有两个相等的实数根， ∴Δ＝k2﹣16＝0． ∴k＝±4． 故答案为：±4． 14．（2025•正定县三模）已知x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根，则x1+x2+x1x2＝　﹣3　 ． 【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程x2﹣2x﹣5＝0的两个实数根， ∴x1+x2＝2，x1x2＝﹣5， ∴x1+x2+x1x2＝2+（﹣5）＝﹣3， 故答案为：﹣3． 15．（2025春•招远市期末）在解一元二次方程x2+bx+c＝0时，小明看错了一次项系数b，得到的解为x1＝1，x2＝4；小颖看错了常数项e，得到的解为x1＝2，x2＝3．请你写出正确的一元二次方程 　x2﹣5x+4＝0　 ． 【解答】解：根据题意得1×4＝c，2+3＝﹣b， 解得b＝﹣5，c＝4， 所以正确的一元二次方程为x2﹣5x+4＝0． 故答案为：x2﹣5x+4＝0． 16．（2025•汶上县一模）规定：对于任意实数a、b、c，有【a，b】★c＝ac+b，其中等式右面是通常的乘法和加法运算，如【2，3】★1＝2×1+3＝5．若关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为 　且m≠0　 ． 【解答】解：∵【x，x+1】★（mx）＝0，【a，b】★c＝ac+b， ∴x•mx+x+1＝0， ∴mx2+x+1＝0， 即【x，x+1】★（mx）＝mx2+x+1＝0， ∵关于x的方程【x，x+1】★（mx）＝0有两个不相等的实数根， ∴Δ＝12﹣4×m×1＝1﹣4m＞0，且m≠0， 解得：且m≠0， 故答案为：且m≠0． 三．解答题（共6小题） 17．（2024秋•光山县期末）用适当方法解下列方程： （1）x2﹣8x+12＝0； （2）（x﹣3）2＝2x（x﹣3）． 【解答】解：（1）原方程配方得：x2﹣8x+16＝4， （x﹣4）2＝4， x﹣4＝±2， x1＝6，x2＝2； （2）原方程因式分解可得： （x﹣3）[（x﹣3）﹣2x]＝0， （x﹣3）（﹣x﹣3）＝0， x﹣3＝0或﹣x﹣3＝0， x1＝3，x2＝﹣3． 18．（2025春•通州区期末）解方程： （1）x（x﹣3）＝2x﹣6； （2）x2﹣6x+8＝0． 【解答】解：（1）x（x﹣3）＝2x﹣6， x（x﹣3）﹣2（x﹣3）＝0， （x﹣3）（x﹣2）＝0， ∴x﹣3＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝3，x2＝2； （2）x2﹣6x+8＝0， （x﹣4）（x﹣2）＝0， ∴x﹣4＝0或x﹣2＝0， ∴x1＝4，x2＝2． 19．（2024秋•澧县期末）已知方程x2﹣6x+m2﹣2m+5＝0的一个根为2，求另一个根和m的值． 【解答】解：设另一根为t， 根据题意得2+t＝6，2t＝m2﹣2m+5， 所以t＝4，m2﹣2m+5＝8，即m2﹣2m﹣3＝0， 解得m1＝3，m2＝﹣1， 所以另一个根为4，m的值为3或﹣1． 20．（2025春•房山区期末）已知关于x的一元二次方程x2+mx+m﹣1＝0． （1）求证：方程总有两个实数根； （2）若方程有一个根为负数，求m的取值范围． 【解答】解：（1）由于Δ＝m2﹣4（m﹣1） ＝（m﹣2）2≥0， ∴方程总有两个实数根； （2）由于（x+1）（x+m﹣1）＝0， ∴x＝﹣1或x＝﹣m+1， ∵此方程有一个根是负数， ∴﹣m+1≥0， ∴m的取值范围是m≤1． 21．（2024秋•富锦市期末）若a2+b2＝c2，则我们把形如ax2cx+b＝0（a≠0）的一元二次方程称为“勾系一元二次方程”． （1）当a＝3，b＝4时，写出相应的“勾系一元二次方程”； （2）求证：关于x的“勾系一元二次方程”ax2cx+b＝0（a≠0）必有实数根． 【解答】（1）解：当a＝3，b＝4时，c＝±5，相应的勾系一元二次方程为3x2±5x+4＝0； （2）证明：根据题意，得Δ＝（c）2﹣4ab ＝2（a2+b2）﹣4ab ＝2（a﹣b）2≥0即△≥0 ∴勾系一元二次方程ax2cx+b＝0（a≠0）必有实数根． 22．（2025春•牟平区期末）关于x的一元二次方程（a+c）x2+2bx+（a﹣c）＝0中a、b、c分别是△ABC的三边． （1）若x＝﹣1是该一元二次方程的一个根，试判断△ABC的形状； （2）若该一元二次方程有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状； （3）若△ABC是等边三角形，试求出这个一元二次方程的根． 【解答】解：（1）△ABC是等腰三角形；理由如下： 把x＝﹣1代入方程得a+c﹣2b+a﹣c＝0， 则a＝b， 所以△ABC为等腰三角形； （2）△ABC为直角三角形；理由如下： 根据题意得Δ＝（2b）2﹣4（a+c）（a﹣c）＝0，即b2+c2＝a2， 所以△ABC为直角三角形； （3）∵△ABC是等边三角形， ∴a＝b＝c， ∴方程化为2x2+2x＝0， 2x（x+1）＝0， 2x＝0或x+1＝0， 解得x1＝0，x2＝﹣1． 第1页（共1页） 学科网（北京）股份有限公司 $$