21.2 解一元二次方程知识归纳与题型突破-2025-2026学年人教版九年级上册（10题型60题）

21.2解一元二次方程知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版九年级上册(10题型60题) 知识归纳: 知识点一:直接开平方法 把方程变成的形式,当m>0时,方程的解为;当m=0时,方程的解;当m<0时,方程没有实数解. 知识点二:配方法 通过配方把一元二次方程变形为的形式,再利用直接开平方法求得方程的解. 知识点三:公式法 对于一元二次方程,当时,它的解为. 知识点四:因式分解法 把方程变形为一边是零,而另一边是两个一次因式积的形式,使每一个因式等于零,就得到两个一元一次方程,分别解这两个方程,就得到原方程的解. 要点诠释: 直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法,配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法. 知识点五:一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式为. >0方程有两个不相等的实数根; =0方程有两个相等的实数根; <0方程没有实数根. 上述由左边可推出右边,反过来也可由右边推出左边. 要点诠释: ≥0方程有实数根. 知识点六:一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程(a≠0)的两个根是,那么. 题型突破: 题型一:利用直接开平方法解一元二次方程 1.解下列一元二次方程可以直接开平方的是 A. B. C. D. 2.方程的根为( ) A. B. C. D. 3.一元二次方程的根为 A. B. C., D. 4.关于的方程无实数根,那么满足的条件是 A. B. C. D. 5.直接开平方法解下列方程: (1);(2). 题型二:利用配方法法解一元二次方程 6.用配方法解方程,应在方程两边同时加上 A.9 B.6 C.36 D.3 7.用配方法解一元二次方程时.原方程应变形为( ) A. B. C. D. 8.将一元二次方程x2+4x+3=0配方后可得到方程( ) A. B. C. D. 9.用配方法解方程,下列配方正确的是( ) A. B. C. D. 10.用配方法解一元二次方程,此方程可变形为( ) A. B. C. D. 11.用配方法将方程变形为,则m的值是( ). A. B. 4 C. D. 8 12.用配方法解下列方程: (1);(2); 题型三:用公式法解一元二次方程 13.用公式法解方程时,求根公式中a,b,c的值分别是( ). A.,, B.,, C.,, D.,, 14.下列各项中,以为根的一元二次方程可能是 A. B. C. D. 15.若可以表示某个一元二次方程的根,则这个一元二次方程为 A. B. C. D. 16.方程的根是( ) A. B. C. D. 17.用公式法解下列方程: (1);(2); 题型四:判断一元二次方程根的情况 18.方程的根的情况为( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D. 无法确定 19.方程根的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.只有一个实数根 C.没有实数根 D.有两个不相等的实数根 20.一元二次方程2x2﹣3x﹣4=0的根的情况是( ) A.有一个实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个相等的实数根 21.下列关于x 的一元二次方程,有两个不相等的实数根的方程的是( ) A. x2+1=0 B. x2+2x+1=0 C. x2+2x+3=0 D. x2+2x-3=0 22.下列一元二次方程没有实数根的是( ) A.x2+2x+1=0 B.x2+x+2=0 C.x2﹣1=0 D.x2﹣2x﹣1=0 23.已知a,b,c为常数,点在第四象限,则关于x的一元二次方程 的根的情况为( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 题型五:已知一元二次方程根的情况求参数范围 24.关于x的方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( ) A. k<1 B. k>1 C. k<-1 D. k>-1 25.若关于的一元二次方程有实数根,则字母的取值范围是( ) A.且 B. C. D.且 26.关于x的方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是_. 27.关于的一元二次方程有两个相等的实数根,则的值为_. 28.若关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是_. 题型六:利用因式分解法解一元二次方程 29.关于x的一元二次方程的解是( ) A. B., C., D.以上都不对 30.方程的解是( ) A.-2 B.1,-2 C.-1,1 D.-1,3 31.阳阳在解方程,只得一个解,阳阳漏掉的那个解是( ) A.x=3 B.x=1 C.x=0 D.x=2 32.用因式分解法解方程,下列过程正确的是( ) A. 化为或 B. 化为或 C. 化为或 D. 化为 33.方程x2=2x的解是_. 34.方程x(x﹣3)=0的解为_. 35.用因式分解法解下列方程: (1);(2); (3);(4). 题型七:用合适的方法解一元二次方程 36.小明在解方程时,他是这样求解的:移项得,两边同时加4得,∴,∴,∴,,这种解方程的方法称为( ) A.待定系数法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 37.解方程4(3x+2)2=3x+2,较恰当的解法是( ) A.直接开方法 B.因式分解法 C.配方法 D.公式法 38.下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是( ) A. B. C. D. 39.用合适的方法解下列方程: (1);(2); (3);(4). 题型八:因式分解法的应用 40.已知三角形两边长为4和7,第三边的长是方程 的一个根,则第三边长是 ( ) A.5 B.5或11 C.6 D.11 41.已知 ABC为等腰三角形,若BC=6,且AB,AC为方程x2﹣8x+m=0两根,则m的值等于( ) A.12 B.16 C.﹣12或﹣16 D.12或16 42.若直角三角形的两边长分别是方程的两根,则该直角三角形的面积是( ) A.6 B.12 C.12或 D.6或 43.已知菱形ABCD的两条对角线长是方程x2-7x+12=0的两个根,则菱形ABCD的面积为( ) A.6 B.7.5 C.10 D.12.5 44.矩形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长是方程的一个根,则矩形ABCD的面积为( ) A. B.12 C. D.或 45.方程的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个等腰三角形的周长为 . 46.三角形两边长分别为2和4,第三边是方程的一个解,则这个三角形的周长是_. 47.已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长,则这个菱形的周长_. 题型九:一元二次方程的根与系数的关系 48.关于x的一元二次方程x2+px﹣2=0的一个解为x1=2,则另一个解x2为( ) A.1 B.﹣1 C.﹣2 D.2 49.关于x的一元二次方程的一个根是1,则另一个根是( ) A.3 B.-2 C.-3 D.-4 50.若一元二次方程x2﹣5x﹣7=0有两实数根x1和x2,下列选项正确的是( ) A.x1+x2=﹣5 B.x1x2=7 C.x1=x2 D.x1x2﹣x1﹣x2=﹣12 51.若一元二次方程的两根为,,则的值是( ) A. 4 B. C. 2 D. 52.若p,q是一元二次方程x2+3x﹣9=0的两个根,则p2+2p﹣q的值是( ) A.6 B.9 C.12 D.13 53.若、是关于的一元二次方程的两个实数根,则代数式的值是_. 54.若是方程2x2+4x-3=0的两个根,则的值为_. 55.若、是关于的一元二次方程的两个实数根,则代数式的值是_. 题型十:判别式和根与系数的关系综合问题 56.已知关于x的方程有两个实数根和. (1)求实数m的取值范围; (2)若,满足,求实数m的值 57.关于x的一元二次方程x2+(m+4)x+2m=0. (1)求证:方程总有两个不相等的实数根; (2)若x1、x2是方程的两个实根,且x1+x2+x1x2=m2﹣4m,求m的值. 58.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+k=0. (1)求证:无论k取何值,方程都有两个不相等的实数根. (2)若该方程的两个不相等的实数根分别为x1、x2,且满足,求k的值. 59.已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2﹣2=0 (1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围; (2)若方程的两个实数根为x1、x2,且满足x12+x22=11,求k的值. 60.已知关于x的一元二次方程x2+(2m﹣1)x+m2﹣1=0有实数根. (1)求m的取值范围; (2)若该方程的两个实数根分别为x1,x2.且x12+x22=9,求m的值. 【答案】 21.2解一元二次方程知识归纳与题型突破2025-2026学年 人教版九年级上册(10题型60题) 知识归纳: 知识点一:直接开平方法 把方程变成的形式,当m>0时,方程的解为;当m=0时,方程的解;当m<0时,方程没有实数解. 知识点二:配方法 通过配方把一元二次方程变形为的形式,再利用直接开平方法求得方程的解. 知识点三:公式法 对于一元二次方程,当时,它的解为. 知识点四:因式分解法 把方程变形为一边是零,而另一边是两个一次因式积的形式,使每一个因式等于零,就得到两个一元一次方程,分别解这两个方程,就得到原方程的解. 要点诠释: 直接开平方法和因式分解法是解一元二次方程的特殊方法,配方法和公式法是解一元二次方程的一般方法. 知识点五:一元二次方程根的判别式 一元二次方程根的判别式为. >0方程有两个不相等的实数根; =0方程有两个相等的实数根; <0方程没有实数根. 上述由左边可推出右边,反过来也可由右边推出左边. 要点诠释: ≥0方程有实数根. 知识点六:一元二次方程根与系数的关系 如果一元二次方程(a≠0)的两个根是,那么. 题型突破: 题型一:利用直接开平方法解一元二次方程 1.解下列一元二次方程可以直接开平方的是 A. B. C. D. 【答案】 2.方程的根为( ) A. B. C. D. 【答案】D 3.一元二次方程的根为 A. B. C., D. 【答案】 4.关于的方程无实数根,那么满足的条件是 A. B. C. D. 【答案】 5.直接开平方法解下列方程: (1);(2). 【分析】(1)先把方程变形为,然后利用直接开平方法解方程; (2)先把方程变形为,然后利用直接开平方法解方程. 【详解】解:(1), , 所以,; (2), , 所以,. 题型二:利用配方法法解一元二次方程 6.用配方法解方程,应在方程两边同时加上 A.9 B.6 C.36 D.3 【答案】 7.用配方法解一元二次方程时.原方程应变形为( ) A. B. C. D. 【答案】B 8.将一元二次方程x2+4x+3=0配方后可得到方程( ) A. B. C. D. 【答案】B 9.用配方法解方程,下列配方正确的是( ) A. B. C. D. 【答案】D 10.用配方法解一元二次方程,此方程可变形为( ) A. B. C. D. 【答案】A 11.用配方法将方程变形为,则m的值是( ). A. B. 4 C. D. 8 【答案】B 12.用配方法解下列方程: (1);(2); 【答案】(1),; (2),; 【详解】解:(1), 移项得:, 配方得:, 即, 开平方得:, 解得:,; (2), 移项得:, 配方得:, 即, 开平方得:, 解得:,; 题型三:用公式法解一元二次方程 13.用公式法解方程时,求根公式中a,b,c的值分别是( ). A.,, B.,, C.,, D.,, 【答案】C 14.下列各项中,以为根的一元二次方程可能是 A. B. C. D. 【答案】 15.若可以表示某个一元二次方程的根,则这个一元二次方程为 A. B. C. D. 【答案】 16.方程的根是( ) A. B. C. D. 【答案】D 17.用公式法解下列方程: (1);(2); 【答案】(1);(2); 【详解】(1), ,,, , , ; (2), ,,, , , ; 题型四:判断一元二次方程根的情况 18.方程的根的情况为( ) A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D. 无法确定 【答案】A 19.方程根的情况是( ) A.有两个相等的实数根 B.只有一个实数根 C.没有实数根 D.有两个不相等的实数根 【答案】D 20.一元二次方程2x2﹣3x﹣4=0的根的情况是( ) A.有一个实数根 B.有两个不相等的实数根 C.没有实数根 D.有两个相等的实数根 【答案】B 21.下列关于x 的一元二次方程,有两个不相等的实数根的方程的是( ) A. x2+1=0 B. x2+2x+1=0 C. x2+2x+3=0 D. x2+2x-3=0 【答案】D 22.下列一元二次方程没有实数根的是( ) A.x2+2x+1=0 B.x2+x+2=0 C.x2﹣1=0 D.x2﹣2x﹣1=0 【答案】B 23.已知a,b,c为常数,点在第四象限,则关于x的一元二次方程 的根的情况为( ) A. 有两个相等的实数根 B. 有两个不相等的实数根 C. 没有实数根 D. 无法判定 【答案】B 题型五:已知一元二次方程根的情况求参数范围 24.关于x的方程有两个不相等的实数根,则k的取值范围是( ) A. k<1 B. k>1 C. k<-1 D. k>-1 【答案】A 25.若关于的一元二次方程有实数根,则字母的取值范围是( ) A.且 B. C. D.且 【答案】D 26.关于x的方程有两个不相等的实数根,则m的取值范围是_. 【答案】 27.关于的一元二次方程有两个相等的实数根,则的值为_. 【答案】 28.若关于的一元二次方程有实数根,则的取值范围是_. 【答案】且 题型六:利用因式分解法解一元二次方程 29.关于x的一元二次方程的解是( ) A. B., C., D.以上都不对 【答案】C 30.方程的解是( ) A.-2 B.1,-2 C.-1,1 D.-1,3 【答案】C 31.阳阳在解方程,只得一个解,阳阳漏掉的那个解是( ) A.x=3 B.x=1 C.x=0 D.x=2 【答案】B 32.用因式分解法解方程,下列过程正确的是( ) A. 化为或 B. 化为或 C. 化为或 D. 化为 【答案】A 33.方程x2=2x的解是_. 【答案】x1=0,x2=2 34.方程x(x﹣3)=0的解为_. 【答案】x1=0,x2=3. 35.用因式分解法解下列方程: (1); (2); (3); (4). 【答案】(1)原方程可变形为: , 或. ,. (2)原方程可变形为 , . . (3)原方程可变形为 , 或 ,. (4)原方程可变形为 , , 即. 或. ,. 题型七:用合适的方法解一元二次方程 36.小明在解方程时,他是这样求解的:移项得,两边同时加4得,∴,∴,∴,,这种解方程的方法称为( ) A.待定系数法 B.配方法 C.公式法 D.因式分解法 【答案】B 37.解方程4(3x+2)2=3x+2,较恰当的解法是( ) A.直接开方法 B.因式分解法 C.配方法 D.公式法 【答案】B 38.下列一元二次方程中最适合用因式分解法来解的是( ) A. B. C. D. 【答案】B 39.用合适的方法解下列方程: (1);(2); (3);(4). 【答案】(1),; (2),; (3),. (4),. 【详解】(1)原方程可化为,即, 或, ,; (2)原方程可化为, 或, ,; (3)原方程可化为,其中,,, , , ,. (4)原方程可化为, , 或, ,. 题型八:因式分解法的应用 40.已知三角形两边长为4和7,第三边的长是方程 的一个根,则第三边长是 ( ) A.5 B.5或11 C.6 D.11 【答案】A 41.已知 ABC为等腰三角形,若BC=6,且AB,AC为方程x2﹣8x+m=0两根,则m的值等于( ) A.12 B.16 C.﹣12或﹣16 D.12或16 【答案】D 42.若直角三角形的两边长分别是方程的两根,则该直角三角形的面积是( ) A.6 B.12 C.12或 D.6或 【答案】D 43.已知菱形ABCD的两条对角线长是方程x2-7x+12=0的两个根,则菱形ABCD的面积为( ) A.6 B.7.5 C.10 D.12.5 【答案】A 44.矩形ABCD的一条对角线长为6,边AB的长是方程的一个根,则矩形ABCD的面积为( ) A. B.12 C. D.或 【答案】D 45.方程的两个根是等腰三角形的底和腰,则这个等腰三角形的周长为 . 【答案】15 46.三角形两边长分别为2和4,第三边是方程的一个解,则这个三角形的周长是_. 【答案】10 47.已知一元二次方程的两个根是菱形的两条对角线长,则这个菱形的周长_. 【答案】20 题型九:一元二次方程的根与系数的关系 48.关于x的一元二次方程x2+px﹣2=0的一个解为x1=2,则另一个解x2为( ) A.1 B.﹣1 C.﹣2 D.2 【答案】B 49.关于x的一元二次方程的一个根是1,则另一个根是( ) A.3 B.-2 C.-3 D.-4 【答案】A 50.若一元二次方程x2﹣5x﹣7=0有两实数根x1和x2,下列选项正确的是( ) A.x1+x2=﹣5 B.x1x2=7 C.x1=x2 D.x1x2﹣x1﹣x2=﹣12 【答案】D 51.若一元二次方程的两根为,,则的值是( ) A. 4 B. C. 2 D. 【答案】C 52.若p,q是一元二次方程x2+3x﹣9=0的两个根,则p2+2p﹣q的值是( ) A.6 B.9 C.12 D.13 【答案】C 53.若、是关于的一元二次方程的两个实数根,则代数式的值是_. 【答案】1 54.若是方程2x2+4x-3=0的两个根,则的值为_. 【答案】 55.若、是关于的一元二次方程的两个实数根,则代数式的值是_. 【答案】1 题型十:判别式和根与系数的关系综合问题 56.已知关于x的方程有两个实数根和. (1)求实数m的取值范围; (2)若,满足,求实数m的值 【答案】(1) 解:关于的方程有两个实数根和. , . (2) 解:,,, ,即, 解得:或, , . 57.关于x的一元二次方程x2+(m+4)x+2m=0. (1)求证:方程总有两个不相等的实数根; (2)若x1、x2是方程的两个实根,且x1+x2+x1x2=m2﹣4m,求m的值. 【答案】(1)证明:∵ =(m+4)2﹣4 2m =m2+8m+16﹣8m =m2+16>0, ∴方程总有两个不相等的实数根; (2)解:根据题意得x1+x2=﹣(m+4),x1x2=2m, ∵x1+x2+x1x2=m2﹣4m, ∴﹣(m+4)+2m=m2﹣4m, 解得m=1或4, 即m的值为1或4. 58.已知关于x的一元二次方程x2﹣(2k+1)x+k2+k=0. (1)求证:无论k取何值,方程都有两个不相等的实数根. (2)若该方程的两个不相等的实数根分别为x1、x2,且满足,求k的值. 【答案】(1)证明:∵ =[﹣(2k+1)]2﹣4(k2+k) =4k2+4k+1﹣4k2﹣4k) =1>0, ∴无论k取何值,方程都有两个不相等的实数根; (2)解:根据根与系数的关系得x1+x2=2k+1,x1x2=k2+k, ∵, ∴,即, 整理得k2﹣3k﹣2=0, 解得k1=,k2=, 经检验,k1=,k2=为原方程的解, 所以k的值为或. 59.已知关于x的方程x2+(2k+1)x+k2﹣2=0 (1)若方程有两个不相等的实数根,求k的取值范围; (2)若方程的两个实数根为x1、x2,且满足x12+x22=11,求k的值. 【答案】解:(1)∵方程有两个不相等的实数根, ∴ =(2k+1)2﹣4 1 (k2﹣2)=4k+9>0, 解得:k>﹣, 即k的取值范围是k>﹣; (2)根据根与系数的关系得:x1+x2=﹣(2k+1),x1•x2=k2﹣2, ∵方程的两个实数根为x1、x2,且满足x12+x22=11, ∴(x1+x2)2﹣2x1•x2=11, [﹣(2k+1)]2﹣2(k2﹣2)=11, 解得:k=﹣3或1, ∵关于x的方程x2+(2k+1)x+k2﹣2=0有两个不相等的实数根, 必须k>﹣, ∴k=﹣3舍去, 所以k=1. 60.已知关于x的一元二次方程x2+(2m﹣1)x+m2﹣1=0有实数根. (1)求m的取值范围; (2)若该方程的两个实数根分别为x1,x2.且x12+x22=9,求m的值. 【答案】解:(1)∵关于x的一元二次方程x2+(2m﹣1)x+m2﹣1=0有实数根, ∴ ≥0,即(2m﹣1)2﹣4(m2﹣1)≥0, 整理得:﹣4m+5≥0, 解得:m≤; (2)∵该方程的两个实数根分别为x1,x2, ∴x1+x2=1﹣2m,x1x2=m2﹣1, ∵x12+x22=9, ∴(x1+x2)2﹣2x1x2=9,即(1﹣2m)2﹣2(m2﹣1)=9, 整理得:m2﹣2m﹣3=0,即(m﹣3)(m+1)=0, 解得:m=3(舍去)或m=﹣1, 则m的值为﹣1. 学科网(北京)股份有限公司 $